파생상품이란?

파생 테이블.

미분은 고등 수학의 주요 개념 중 하나입니다. 이 수업에서는 이 개념을 소개합니다. 엄격한 수학적 공식과 증명 없이 친해지자.

이 소개를 통해 다음을 수행할 수 있습니다.

파생 상품으로 간단한 작업의 본질을 이해하십시오.

이러한 매우 간단한 작업을 성공적으로 해결하십시오.

보다 진지한 파생 수업을 준비하십시오.

첫째, 즐거운 놀라움.

도함수의 엄밀한 정의는 극한 이론에 기반을 두고 있으며, 이는 다소 복잡합니다. 짜증나네요. 그러나 파생 상품의 실제 적용에는 일반적으로 그러한 광범위하고 깊은 지식이 필요하지 않습니다!

학교와 대학에서 대부분의 작업을 성공적으로 완료하려면 다음을 아는 것으로 충분합니다. 몇 가지 용어- 작업을 이해하고, 몇 가지 규칙- 그것을 해결하기 위해. 그리고 그게 다야. 이것은 저를 행복하게 합니다.

서로 알아볼까요?)

용어 및 명칭.

초등 수학에는 많은 수학적 연산이 있습니다. 더하기, 빼기, 곱하기, 지수, 로그 등 이러한 연산에 연산을 하나 더 추가하면 초등 수학이 높아집니다. 이 새로운 작업은 분화.이 작업의 정의와 의미는 별도의 수업에서 설명합니다.

여기서 미분은 함수에 대한 수학적인 연산이라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 우리는 모든 기능을 취하고 특정 규칙에 따라 변형합니다. 결과는 새로운 기능. 이 새 함수는 다음과 같이 호출됩니다. 유도체.

분화- 함수에 대한 작업.

유도체이 조치의 결과입니다.

예를 들어, 합집합더한 결과입니다. 또는 사적인나눗셈의 결과이다.

용어를 알면 최소한 작업을 이해할 수 있습니다.) 문구는 다음과 같습니다. 함수의 도함수를 찾습니다. 파생 상품을 가져 가라. 기능을 차별화하십시오. 도함수를 계산하다등. 그게 다야 같은.물론 도함수(미분)를 찾는 것이 작업을 해결하는 단계 중 하나일 뿐인 더 복잡한 작업이 있습니다.

도함수는 함수 위의 오른쪽 상단에 대시로 표시됩니다. 이와 같이: 와이"또는 f"(x)또는 성)등등.

읽다 y 스트로크, x에서 ef 스트로크, te에서 es 스트로크,잘 알겠습니다...)

소수는 특정 함수의 도함수를 나타낼 수도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. (2x+3)", (엑스 3 )" , (싱스)"등. 종종 미분은 미분을 사용하여 표시되지만 이 단원에서는 이러한 표기법을 고려하지 않습니다.

우리가 작업을 이해하는 법을 배웠다고 가정합니다. 문제를 푸는 방법을 배우기 위해 남은 것은 없습니다.) 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 도함수를 찾는 것은 특정 규칙에 따라 기능을 변환합니다.이러한 규칙은 놀랍게도 거의 없습니다.

함수의 도함수를 찾으려면 세 가지만 알면 됩니다. 모든 차별화의 기반이 되는 세 가지 기둥. 다음은 세 마리의 고래입니다.

1. 파생 상품 표(미분 공식).

3. 복소수 함수의 미분.

순서대로 시작합시다. 이번 시간에는 도함수 표를 살펴보겠습니다.

파생 테이블.

세상은 무한한 기능을 가지고 있습니다. 이 세트에는 다음을 위해 가장 중요한 기능이 있습니다. 실용적인 응용 프로그램. 이러한 기능은 모든 자연 법칙에 있습니다. 벽돌에서와 같이 이러한 기능에서 다른 모든 것을 구성할 수 있습니다. 이 클래스의 함수를 호출합니다. 기본 기능.선형, 이차, 쌍곡선 등 학교에서 공부하는 것은 이러한 기능입니다.

"처음부터" 기능의 차별화, 즉 도함수의 정의와 극한 이론을 기반으로 - 다소 시간이 많이 소요되는 것. 그리고 수학자들도 사람입니다. 예, 그렇습니다!) 그래서 그들은 그들의 삶(그리고 우리)을 단순화했습니다. 그들은 우리보다 먼저 기본 함수의 도함수를 계산했습니다. 결과는 모든 것이 준비된 파생 상품 테이블입니다.)

여기, 가장 인기 있는 기능을 위한 이 플레이트입니다. 왼쪽 - 기본 기능, 오른쪽 - 파생물.

	기능 와이	함수 y의 도함수 와이"
1	C(상수)	C" = 0
2	엑스	x" = 1
3	x n(n은 임의의 숫자임)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	죄 x	(sinx)" = cosx
	코엑스	(cos x)" = - 죄 x
	tg x
	씨티엑스
5	아크신 엑스
	아크코스 x
	아크티엑스
	arcctg x
4	ㅏ엑스
	이자형엑스
5	통나무 ㅏ엑스
	ln x ( 에이 = 전자)

이 도함수 표에서 세 번째 함수 그룹에 주의를 기울이는 것이 좋습니다. 거듭제곱 함수의 도함수는 가장 일반적이지는 않더라도 가장 일반적인 공식 중 하나입니다! 힌트가 명확한가?) 네, 도함수의 표를 마음으로 아는 것이 바람직합니다. 그건 그렇고, 이것은 보이는 것만큼 어렵지 않습니다. 더 많은 예제를 해결하려고하면 테이블 자체가 기억됩니다!)

도함수의 표 형식 값을 찾는 것은 이해하는 대로 가장 어려운 작업이 아닙니다. 따라서 이러한 작업에는 종종 추가 칩이 있습니다. 작업의 공식화에서 또는 테이블에 없는 것 같은 원래 기능에서 ...

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1. 함수 y = x의 도함수 찾기 3

테이블에는 그러한 기능이 없습니다. 그러나 제곱 함수의 도함수가 있습니다. 일반보기(세 번째 그룹). 우리의 경우 n=3입니다. 그래서 우리는 n 대신에 트리플을 대체하고 결과를 주의 깊게 기록합니다:

(엑스 3) " = 3 x 3-1 = 3배 2

그게 전부입니다.

대답: y" = 3x 2

2. 점 x = 0에서 함수 y = sinx의 도함수 값을 찾습니다.

이 작업은 먼저 사인의 도함수를 찾은 다음 값을 대체해야 함을 의미합니다. x = 0이 동일한 파생 상품에. 그 순서에요!그렇지 않으면 원래 함수에 즉시 0을 대입하는 일이 발생합니다 ... 원래 함수의 값이 아니라 값을 찾으라는 요청을 받습니다. 그 파생물.도함수는 이미 새로운 기능입니다.

판에서 사인과 해당 도함수를 찾습니다.

y" = (sinx)" = cosx

도함수에 0을 대입:

y"(0) = 코사인 0 = 1

이것이 답이 될 것입니다.

3. 기능 미분:

영감을주는 것은 무엇입니까?) 파생 상품 테이블에는 그러한 기능이 없습니다.

함수를 미분하는 것은 단순히 이 함수의 도함수를 찾는 것임을 상기시켜 드리겠습니다. 기본 삼각법을 잊어버리면 함수의 도함수를 찾는 것이 상당히 번거롭습니다. 테이블은 도움이되지 않습니다 ...

그러나 우리의 기능이 이중 각의 코사인, 그러면 모든 것이 즉시 좋아집니다!

예 예! 원래 함수의 변환을 기억하십시오. 차별화 전꽤 받아 들일 수 있습니다! 그리고 그것은 삶을 훨씬 더 쉽게 만들어줍니다. 이중 각의 코사인 공식에 따르면:

저것들. 우리의 까다로운 기능은 y = 콕스. 그리고 이것은 테이블 기능입니다. 우리는 즉시 다음을 얻습니다.

대답: y" = - 죄 x.

고급 졸업생 및 학생의 예:

4. 함수의 도함수 찾기:

물론 파생 상품 테이블에는 그러한 기능이 없습니다. 하지만 기억한다면 초등 수학, 권한이 있는 작업... 이 기능을 단순화하는 것이 가능합니다. 이와 같이:

그리고 x의 1/10의 거듭제곱은 이미 표 함수입니다! 세 번째 그룹, n=1/10. 공식에 따라 직접 작성하십시오.

그게 다야. 이것이 답이 될 것입니다.

나는 미분의 첫 번째 고래 - 파생 상품의 표 - 모든 것이 명확하기를 바랍니다. 남은 두 마리의 고래를 처리하는 일만 남았습니다. 다음 시간에는 미분법에 대해 알아보겠습니다.

좌표평면에서 외치는 소리함수의 그래프를 고려하십시오 y=f(x). 포인트 수정 M(x 0, f(x 0)). 가로 좌표를 지정합시다 x 0증가 Δх. 우리는 새로운 가로 좌표를 얻을 것입니다 x 0 +Δx. 이것은 요점의 가로 좌표입니다. N, 그리고 세로 좌표는 f (х 0 +Δх). 가로 좌표의 변경은 세로 좌표의 변경을 수반했습니다. 이 변화를 함수의 증분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. △y.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0).점을 통해 중그리고 N할선을 그리다 미네소타, 각도를 형성하는 φ 양의 축 방향으로 오. 각도의 탄젠트 결정 φ ~에서 정삼각형 MPN.

허락하다 Δх제로 경향이 있습니다. 그런 다음 시컨트 미네소타접선의 위치를 ​​취하는 경향이 있습니다 산, 그리고 각도 φ 모퉁이가 될 것입니다 α . 따라서 각도의 탄젠트 α 각도의 접선의 한계 값입니다 φ :

인수 증가에 대한 함수 증가 비율의 한계(후자가 0이 되는 경향이 있을 때)를 주어진 지점에서 함수의 도함수라고 합니다.

도함수의 기하학적 의미 주어진 점에서 함수의 수치적 도함수는 이 점을 통해 주어진 곡선에 그려진 접선과 축의 양의 방향에 의해 형성된 각도의 접선과 같다는 사실에 있습니다. 오:

예.

1. 인수 증가 및 함수 증가 찾기 y= x2인수의 초기 값이 4 , 그리고 새로운 4,01 .

해결책.

새 인수 값 x \u003d x 0 + Δx. 데이터 대체: 4.01=4+Δx, 따라서 인수의 증분 Δх=4.01-4=0.01. 정의에 따라 함수의 증분은 함수의 새 값과 이전 값의 차이와 같습니다. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). 기능이 있기 때문에 y=x2, 그 다음에 Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

대답: 인수 증분 Δх=0.01; 함수 증분 Δу=0,0801.

다른 방법으로 함수 증분을 찾는 것이 가능했습니다. △y\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. 함수 그래프에 대한 접선의 경사각 찾기 y=f(x)그 시점에 x 0, 만약에 f "(x 0) \u003d 1.

해결책.

접점에서의 미분 값 x 0그리고 는 접선 기울기의 접선 값(도함수의 기하학적 의미)입니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,왜냐하면 tg45°=1.

대답: 이 함수의 그래프에 접하는 접선은 다음과 같은 Ox 축의 양의 방향과 각도를 형성합니다. 45°.

3. 함수의 미분에 대한 공식 유도 y=xn.

분화함수의 도함수를 찾는 행위입니다.

도함수를 찾을 때 도함수의 정의를 기반으로 파생된 공식이 사용되며, 이는 도함수에 대한 공식을 유도한 것과 같은 방식입니다. (x n)" = nx n-1.

다음은 공식입니다.

파생 테이블구두 공식을 발음하여 암기하는 것이 더 쉬울 것입니다.

1. 상수 값의 도함수는 0입니다.

2. X 스트로크는 1과 같습니다.

3. 상수 인자는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

4. 차수의 미분은 이 차수의 지수를 밑수가 같은 차수로 곱한 것과 같지만 지수는 1이 적습니다.

5. 근의 도함수는 1을 동일한 근의 2로 나눈 것과 같습니다.

6. 1의 도함수를 x로 나눈 값은 빼기 1을 x 제곱으로 나눈 것입니다.

7. 사인의 도함수는 코사인과 같습니다.

8. 코사인의 도함수는 마이너스 사인과 같습니다.

9. 탄젠트의 도함수는 1을 코사인의 제곱으로 나눈 것과 같습니다.

10. 코탄젠트의 도함수는 마이너스 1을 사인의 제곱으로 나눈 값입니다.

우리는 가르친다 차별화 규칙.

1. 대수합의 도함수는 도함수 항의 대수합과 같습니다.

2. 곱의 도함수는 첫 번째 인자의 두 번째 도함수와 첫 번째 인자의 두 번째 도함수의 곱의 곱과 같습니다.

3. "y"를 "ve"로 나눈 도함수는 분자에서 "y는 "ve"에서 "y를 곱한 획"을 곱한 획이고 분모에서 "ve 제곱"인 분수와 같습니다. ".

4. 공식의 특별한 경우 3.

(\large\bf 함수 도함수)

기능을 고려하십시오 y=f(x), 간격에 주어진 (a,b). 허락하다 엑스- 모든 고정 소수점 간격 (a,b), ㅏ Δx- 값과 같은 임의의 숫자 x+Δx또한 간격에 속합니다. (a,b). 이 번호 Δx인수 증분이라고 합니다.

정의. 기능 증분 y=f(x)그 시점에 엑스, 인수의 증분에 해당 Δx, 전화를 걸자

Δy = f(x+Δx) - f(x).

우리는 믿습니다 Δx ≠ 0. 주어진 고정점에서 고려 엑스인수의 해당 증분에 대한 해당 지점의 함수 증분 비율 Δx

이 관계를 차분 관계라고 합니다. 값부터 엑스우리는 고정된 것으로 간주하고, 차이 관계는 인수의 함수입니다. Δx. 이 함수는 모든 인수 값에 대해 정의됩니다. Δx, 점의 충분히 작은 이웃에 속함 ∆x=0, 점을 제외하고 ∆x=0. 따라서 우리는 지정된 기능의 한계가 존재하는지에 대한 문제를 고려할 권리가 있습니다. ∆x → 0.

정의. 미분 함수 y=f(x)주어진 고정점에서 엑스한계라고 한다 ∆x → 0미분 관계, 즉

이 제한이 있는 경우에 한합니다.

지정. y(x)또는 f′(x).

도함수의 기하학적 의미: 함수의 미분 f(x)이 지점에서 엑스축 사이 각도의 탄젠트와 동일 황소해당 점에서 이 함수의 그래프에 대한 접선:

f′(x 0) = \tgα.

파생 상품의 기계적 의미: 시간에 대한 경로의 미분은 점의 직선 운동 속도와 같습니다.

선 접선 방정식 y=f(x)그 시점에 M0(x0,y0)형태를 취한다

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

어떤 점에서 곡선의 법선은 같은 점에서 접선에 수직입니다. 만약 f′(x 0)≠ 0, 선에 대한 법선의 방정식 y=f(x)그 시점에 M0(x0,y0)다음과 같이 작성됩니다.

함수의 미분 가능성 개념

기능을 보자 y=f(x)일정 간격으로 정의 (a,b), 엑스- 이 간격에서 인수의 일부 고정 값, Δx- 인수의 값과 같은 인수의 모든 증분 x+Δx ∈ (a, b).

정의. 기능 y=f(x)주어진 점에서 미분가능하다고 한다 엑스증가하는 경우 △y시점에서 이 기능 엑스, 인수의 증분에 해당 Δx, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

Δy = A Δx + αΔx,

어디 ㅏ에 독립적인 일부 숫자입니다. Δx, ㅏ α - 인수 함수 Δx에서 무한히 작은 ∆x → 0.

두 개의 극소 함수의 곱 이후 αΔx보다 극소 고차이다. Δx(극소 함수의 속성 3), 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

∆y = A ∆x +o(∆x).

정리. 기능을 위해서는 y=f(x)주어진 지점에서 미분 가능 엑스, 이 시점에서 유한 도함수를 갖는 것이 필요하고 충분합니다. 어디에서 A=f′(x), 그건

Δy = f'(x) Δx +o(Δx).

도함수를 찾는 작업을 일반적으로 미분이라고 합니다.

정리. 기능의 경우 y=f(x) 엑스, 그 지점에서 연속입니다.

논평. 기능의 연속성에서 y=f(x)이 지점에서 엑스, 일반적으로 말해서, 함수가 미분 가능하다는 것을 따르지 않습니다. f(x)이 지점에서. 예를 들어, 함수 y=|x|- 한 점에서 연속 x=0, 그러나 파생 상품이 없습니다.

함수 미분의 개념

정의. 기능 미분 y=f(x)이 함수의 도함수와 독립 변수의 증가분의 곱이라고 합니다. 엑스:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

기능을 위해 y=x우리는 얻는다 dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, 그건 dx=Δx- 독립 변수의 미분은 이 변수의 증분과 같습니다.

따라서 우리는 쓸 수 있습니다

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

미분 다이및 증분 △y기능 y=f(x)이 지점에서 엑스, 둘 다 인수의 동일한 증분에 해당합니다. Δx일반적으로 서로 같지 않습니다.

미분의 기하학적 의미: 함수의 미분은 인수가 증가할 때 주어진 함수의 그래프에 대한 접선의 세로좌표의 증가와 같습니다. Δx.

차별화 규칙

정리. 각각의 기능이라면 유(x)그리고 v(x)주어진 점에서 미분 가능 엑스, 그런 다음 이러한 함수의 합, 차, 곱 및 몫(다음이 제공된 몫 v(x)≠ 0)도 이 지점에서 미분 가능하며 다음 공식이 성립합니다.

복잡한 기능을 고려하십시오 y=f(φ(x))≡ F(x), 어디 y=f(u), 유=φ(x). 이 경우 유~라고 불리는 중간 인수, 엑스 - 독립 변수.

정리. 만약 y=f(u)그리고 유=φ(x)인수의 미분 가능한 함수이고 복소수 함수의 도함수 y=f(φ(x))존재하고 중간 인수에 대한 이 함수의 곱과 독립 변수에 대한 중간 인수의 미분, 즉

논평. 세 함수의 중첩인 복잡한 함수의 경우 y=F(f(φ(x))), 미분 규칙의 형식은

y′ x = y′ 유 u′ v v′ x,

기능 v=φ(x), u=f(v)그리고 y=F(u)그들의 주장의 미분 가능한 기능.

정리. 기능을 보자 y=f(x)점의 일부 부근에서 증가(또는 감소)하고 연속적입니다. x0. 또한 이 함수가 표시된 지점에서 미분 가능하다고 하자. x0이 시점에서 파생 상품 f′(x 0) ≠ 0. 그런 다음 해당 지점의 일부 이웃에서 y0=f(x0)에 대한 역 y=f(x)기능 x=f -1(y), 표시된 역함수는 해당 지점에서 미분 가능 y0=f(x0)이 시점에서 파생 상품에 대해 와이공식이 유효하다

파생 테이블

첫 번째 미분 형태의 불변성

복소수 함수의 미분을 고려하십시오. 만약 y=f(x), x=φ(t)인수의 미분 가능한 함수이고, 함수의 도함수 y=f(φ(t))공식으로 표현된다

y′t = y′x x′t.

정의상 dy=y가 아니라 dt, 그럼 우리는

dy = y' t dt = y' x x' t dt = y' x (x' t dt) = y' x dx,

다이 = y′ x dx.

그래서 우리는 증명했습니다

함수의 첫 번째 미분 형태의 불변 속성: 인수의 경우와 같이 엑스는 독립 변수이며 인수가 엑스그 자체가 새로운 변수의 미분 가능한 함수인 미분 다이기능 y=f(x)이 함수의 도함수에 인수의 미분을 곱한 것과 같습니다. DX.

근사 계산에서 미분의 적용

우리는 차동 다이기능 y=f(x), 일반적으로 말해서, 증분과 같지 않습니다 △y이 기능. 그럼에도 불구하고, 보다 높은 차수의 작은 함수의 무한히 작은 함수까지 Δx, 대략적인 평등

∆y ≈ dy.

비율은 이 평등의 평등의 상대 오차라고 합니다. 왜냐하면 ∆y-dy=o(∆x), 그 다음에 상대 오차이 평등은 다음과 같이 임의로 작아집니다. |Δх|.

을 고려하면 Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f'(x)Δx, 우리는 얻는다 f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx또는

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

이 대략적인 평등은 오류를 허용합니다. o(Δx)교체 기능 f(x)점의 작은 이웃에서 엑스(즉, 작은 값의 경우 Δx) 인수의 선형 함수 Δx오른쪽에 서.

고차 파생상품

정의. 함수의 2차 도함수(또는 2차 도함수) y=f(x) 1차 도함수의 도함수라고 합니다.

함수의 2차 도함수에 대한 표기법 y=f(x):

이차 도함수의 기계적 의미. 기능의 경우 y=f(x)운동의 법칙을 설명 재료 포인트직선으로, 다음 이차 도함수 f″(x)는 시간에 움직이는 점의 가속도와 같습니다. 엑스.

세 번째 및 네 번째 도함수는 유사하게 정의됩니다.

정의. N- 차 도함수(또는 도함수 N차) 기능 y=f(x)그것의 파생물이라고 하는 n-1- 차 도함수:

y(n) =(y(n-1))′, f(n)(x)=(f(n-1)(x))′.

명칭: 와이"', y IV, y V등.

도함수를 찾는 작업을 미분이라고 합니다.

도함수를 인수의 증분에 대한 증분 비율의 극한으로 정의하여 가장 단순한(매우 간단하지 않은) 함수의 도함수를 찾는 문제를 해결한 결과 도함수 테이블과 정확하게 정의된 미분 규칙이 나타났습니다. . 아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1643-1727)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)는 도함수를 찾는 분야에서 처음으로 작업했습니다.

따라서 우리 시대에는 어떤 함수의 도함수를 찾기 위해 위에서 언급한 함수 증분 대 인수 증분 비율의 한계를 계산할 필요가 없으며 표만 사용하면 됩니다. 파생 상품과 미분 규칙. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

파생 상품을 찾으려면, 획 기호 아래에 표현식이 필요합니다. 간단한 기능을 분해그리고 어떤 행동을 결정 (곱, 합, 몫)이러한 기능은 관련되어 있습니다. 또한 미분 규칙에서 파생 상품, 합계 및 몫의 파생 상품에 대한 공식을 파생 테이블에서 기본 기능의 파생 상품을 찾습니다. 도함수 및 미분 규칙의 표는 처음 두 가지 예 다음에 제공됩니다.

실시예 1함수의 도함수 찾기

해결책. 미분 규칙에서 우리는 함수의 도함수의 도함수가 함수의 도함수의 합이라는 것을 알 수 있습니다.

도함수 표에서 "X"의 도함수는 1이고 사인의 도함수는 코사인임을 알 수 있습니다. 우리는 이러한 값을 도함수의 합으로 대체하고 문제의 조건에 필요한 도함수를 찾습니다.

실시예 2함수의 도함수 찾기

해결책. 상수 인자를 갖는 두 번째 항이 도함수의 부호에서 제거될 수 있는 합계의 도함수로 미분:

무언가가 어디에서 왔는지에 대한 질문이 여전히있는 경우 일반적으로 파생 상품 표와 가장 간단한 미분 규칙을 읽은 후에 명확 해집니다. 우리는 지금 그들에게 가고 있습니다.

단순 함수의 도함수 표

1. 상수(숫자)의 미분. 함수 표현식에 있는 임의의 숫자(1, 2, 5, 200...). 항상 제로. 이것은 매우 자주 필요하므로 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립변수의 도함수. 가장 자주 "x". 항상 1과 같습니다. 이것은 또한 기억하는 것이 중요합니다
3. 학위의 파생. 문제를 풀 때 제곱근이 아닌 것을 거듭제곱으로 변환해야 합니다.
4. -1의 거듭제곱에 대한 변수의 도함수
5. 파생상품 제곱근
6. 사인 미분
7. 코사인 도함수
8. 접선 미분
9. 코탄젠트의 도함수
10. 아크사인의 도함수
11. 아크 코사인의 미분
12. 아크 탄젠트의 미분
13. 역탄젠트의 미분
14. 자연 로그의 미분
15. 로그 함수의 도함수
16. 지수의 도함수
17. 지수 함수의 미분

차별화 규칙

1. 합 또는 차의 미분
2. 제품의 파생물
2a. 상수 인수를 곱한 식의 도함수
3. 몫의 도함수
4. 복소수 함수의 미분

규칙 1함수라면

어떤 지점에서 미분 가능하고 같은 지점에서 기능

그리고

저것들. 함수의 대수합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수합과 같습니다.

결과. 두 개의 미분 가능한 함수가 상수로 다른 경우 해당 도함수는 다음과 같습니다., 즉.

규칙 2함수라면

어떤 점에서 미분 가능하고, 그 제품도 같은 점에서 미분 가능

그리고

저것들. 두 함수의 곱의 도함수는 이러한 각 함수의 곱과 다른 함수의 도함수의 합과 같습니다.

결과 1. 상수 인자는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다.:

결과 2. 여러 미분 가능한 함수의 곱의 도함수는 각 요인과 다른 모든 요인의 도함수 곱의 합과 같습니다.

예를 들어, 3개의 승수의 경우:

규칙 3함수라면

어느 시점에서 미분 가능 그리고 , 이 시점에서 몫도 미분 가능합니다.u/v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분자가 분모와 분자의 도함수와 분자와 분모의 도함수 간의 차이인 분수와 같고, 분모는 전자의 분자의 제곱입니다. .

다른 페이지에서 볼 수 있는 위치

실제 문제에서 곱과 몫의 미분을 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 한 번에 적용해야 하므로 이러한 미분에 대한 더 많은 예가 기사에 있습니다."곱과 몫의 미분".

논평.상수(즉, 숫자)를 합과 상수 인수로 혼동해서는 안 됩니다! 항의 경우 도함수는 0이고 상수인 경우 도함수의 부호에서 빼낸다. 그것 전형적인 실수에 발생 첫 단계파생 상품을 학습하지만, 몇 가지 1-2 구성요소 예제를 풀기 때문에 일반 학생은 더 이상 이 실수를 하지 않습니다.

제품이나 몫을 미분할 때 항이 있는 경우 유"V, 여기서 유- 숫자, 예를 들어 2 또는 5, 즉 상수인 경우 이 숫자의 도함수는 0과 같으므로 전체 항은 0이 됩니다(이러한 경우는 예 10에서 분석됨) .

또 다른 일반적인 실수는 복잡한 함수의 도함수를 단순 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그렇기 때문에 복소수 함수의 도함수별도의 기사에 전념. 그러나 먼저 간단한 함수의 파생물을 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현의 변형 없이는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 Windows 설명서에서 열어야 할 수도 있습니다. 힘과 뿌리를 가진 행동그리고 분수를 사용한 작업 .

거듭제곱과 근이 있는 도함수에 대한 솔루션을 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때 , 그런 다음 " 거듭제곱과 근이 있는 분수의 합의 도함수" 단원을 따르십시오.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , 그러면 "단순 삼각 함수의 미분" 단원에 있습니다.

단계별 예제 - 파생 상품을 찾는 방법

실시예 3함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현식의 부분을 결정합니다. 전체 표현식은 곱을 나타내고 그 요인은 합계이며 두 번째 항 중 하나는 상수 요인을 포함합니다. 우리는 곱 미분 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 도함수는 이러한 각 함수의 곱과 다른 함수의 도함수의 합과 같습니다.

다음으로, 합 미분 규칙을 적용합니다. 대수 함수 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 빼기 기호가 있는 두 번째 항. 각 합계에서 도함수가 1인 독립 변수와 도함수가 0인 상수(숫자)가 모두 표시됩니다. 따라서 "x"는 1로 바뀌고 빼기 5는 0으로 바뀝니다. 두 번째 식에서 "x"는 2를 곱하므로 "x"의 도함수와 동일한 단위로 2를 곱합니다. 파생 상품의 다음 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대입하고 문제의 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

실시예 4함수의 도함수 찾기

해결책. 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 몫을 미분하는 공식을 적용합니다. 두 함수의 몫의 도함수는 분자가 분모의 곱과 분자와 분자의 도함수와 분모의 도함수의 차이인 분수와 같습니다. 분모는 이전 분자의 제곱입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

우리는 이미 예제 2에서 분자에서 인수의 미분을 찾았습니다. 또한 현재 예제에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호로 취해진 것을 잊지 마십시오.

예를 들어, 근과 차수의 연속적인 더미가 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 솔루션을 찾고 있다면, 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근이 있는 분수의 합을 도함수" .

사인, 코사인, 탄젠트 등의 도함수에 대해 더 자세히 알아야 하는 경우 삼각 함수, 즉, 함수가 다음과 같을 때 , 당신은 교훈을 가지고 "단순 삼각 함수의 도함수" .

실시예 5함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 요인 중 하나가 독립 변수의 제곱근인 제품을 볼 수 있으며 파생 상품은 파생 상품 표에서 친숙합니다. 곱 미분 규칙과 제곱근 도함수의 표 값에 따라 다음을 얻습니다.

실시예 6함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 독립 변수의 제곱근인 피제수인 몫을 봅니다. 예제 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근 도함수의 표 값에 따르면 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 없애려면 분자와 분모에 를 곱하십시오.

어떤 사람이 수학적 분석 연구에서 첫 번째 독립적인 단계를 밟고 질문하기 시작할 때 불편한 질문, 그러면 더 이상 " 미분학양배추에서 발견. 그러므로 이제 탄생의 미스터리를 결단하고 풀어야 할 때이다. 도함수 및 미분 규칙 표. 기사에서 시작됨 파생어의 의미에 대해여기에서 파생 개념을 고려하고 주제에 대한 작업을 클릭하기 시작했기 때문에 연구에 적극 권장합니다. 같은 수업은 실용적인 지향성이 뚜렷하며,

아래에서 고려되는 예는 원칙적으로 순전히 형식적으로 숙달될 수 있습니다. (예를 들어, 파생 상품의 본질을 탐구할 시간/의지가 없을 때). 최소한 두 가지 기본 클래스 수준에서 "일반적인" 방법을 사용하여 파생 상품을 찾을 수 있는 것도 매우 바람직합니다(그러나 꼭 필요한 것은 아님).도함수를 찾는 방법과 복소수 함수의 도함수.

그러나 지금은 확실히 없어서는 안 될 어떤 것이 없으면 기능 제한. 한계가 무엇인지 이해하고 최소한 중급 수준에서 해결할 수 있어야 합니다. 그리고 파생 상품 때문에

점에서의 함수는 다음 공식으로 정의됩니다.

나는 당신에게 명칭과 용어를 상기시켜줍니다. 인수 증분;

– 기능 증가;

- 이들은 단일 기호입니다("델타"는 "X" 또는 "Y"에서 "분리"할 수 없음).

분명히 "동적"변수는 상수이며 한계를 계산한 결과입니다. - 숫자 (때로는 "플러스" 또는 "마이너스" 무한대).

요점으로 에 속하는 모든 값을 고려할 수 있습니다. 도메인도함수가 있는 함수.

참고: "파생이 존재하는" 절 - 일반적으로 중요합니다.! 따라서 예를 들어 점은 함수의 영역에 들어가지만 도함수는

거기에 존재하지 않습니다. 따라서 공식

시점에서 적용되지 않음

예약 없이 단축된 문구는 올바르지 않습니다. 그래프에서 "중단"이 있는 다른 함수, 특히 아크사인 및 아크코사인에 대해서도 유사한 사실이 유효합니다.

따라서 교체 후 두 번째 작업 공식을 얻습니다.

찻주전자를 혼동할 수 있는 교활한 상황에 주의하십시오. 이 한계에서 "x"는 그 자체로 독립 변수의 역할을 하며 "역학"은 다시 증분에 의해 설정됩니다. 한계 계산 결과

는 미분 함수입니다.

위의 내용을 기반으로 두 가지 일반적인 문제의 조건을 공식화합니다.

- 찾다 점에서 미분파생 상품의 정의를 사용합니다.

- 찾다 미분 함수파생 상품의 정의를 사용합니다. 내 관찰에 따르면 이 버전은 훨씬 더 자주 발생하며 주요 관심을 받을 것입니다.

작업 간의 근본적인 차이점은 첫 번째 경우에 숫자를 찾아야 한다는 것입니다. (선택적으로 무한대), 그리고 두 번째

기능 . 또한 파생 상품이 전혀 없을 수도 있습니다.

어떻게 ?

비율을 만들고 한계를 계산하십시오.

어디서도함수 및 미분 규칙 표 ? 단일 제한으로

마법처럼 보이지만

현실 - 속임수와 사기 없음. 수업 중 파생상품이란?나는 찾기 시작했다 구체적인 예, 여기서 정의를 사용하여 선형 및 이차 함수. 인지 워밍업의 목적으로, 우리는 계속 방해합니다 파생 테이블, 알고리즘 및 기술 솔루션 연마:

사실, 일반적으로 표에 나타나는 거듭제곱 함수의 도함수의 특수한 경우를 증명해야 합니다. .

솔루션은 기술적으로 두 가지 방식으로 공식화됩니다. 이미 친숙한 첫 번째 접근 방식부터 시작하겠습니다. 사다리는 판자로 시작하고 미분 함수는 한 지점에서 미분으로 시작합니다.

에 속하는 일부 (구체적인) 점을 고려하십시오. 도메인도함수가 있는 함수. 이 지점에서 증분을 설정합니다. (물론 그 이상은 아니다. o / o - z) 함수의 해당 증분을 구성합니다.

한계를 계산해 봅시다.

불확실성 0:0은 기원전 1세기까지 거슬러 올라가는 표준 기술에 의해 제거됩니다. 곱하다

인접 표현식당 분자 및 분모 :

이러한 한계를 해결하는 기술은 입문 단원에서 자세히 설명합니다. 기능의 한계에 대해.

간격의 모든 지점을 다음과 같이 선택할 수 있기 때문에

그런 다음 대체하여 다음을 얻습니다.

다시 한 번 로그에 기뻐합시다.

도함수의 정의를 사용하여 함수의 도함수 찾기

솔루션: 동일한 작업을 실행하는 다른 접근 방식을 고려해 보겠습니다. 그것은 정확히 동일하지만 디자인 측면에서 더 합리적입니다. 아이디어는 제거하는 것입니다.

아래 첨자를 입력하고 문자 대신 문자를 사용합니다.

에 속하는 임의의 점을 고려하십시오. 도메인기능(간격)을 설정하고 증분을 설정합니다. 그런데 여기서 대부분의 경우와 마찬가지로 대수 함수는 정의 영역의 어느 지점에서나 미분할 수 있기 때문에 예약 없이 수행할 수 있습니다.

그러면 해당 함수 증분은 다음과 같습니다.

도함수를 구해봅시다:

디자인의 단순성은 혼란으로 균형을 이룹니다.

초보자 (뿐만 아니라)에서 발생합니다. 결국, 우리는 문자 "X"가 한계에서 변경된다는 사실에 익숙합니다! 그러나 여기 모든 것이 다릅니다. - 골동품 동상, - 살아 있는 방문자, 박물관 복도를 빠르게 걷고 있습니다. 즉, "x"는 "상수와 같다"입니다.

불확실성 제거에 대해 단계별로 설명하겠습니다.

(1) 로그 속성 사용.

(2) 괄호 안의 분자를 분모로 나눕니다.

(3) 분모에서 우리는 인위적으로 "x"를 곱하고 나눕니다.

멋진 이용 , 동안 극소수행합니다.

답변: 파생 상품의 정의:

또는 간단히 말해서:

두 가지 더 많은 표 형식을 독립적으로 구성할 것을 제안합니다.

정의로 파생 상품 찾기

에 이 경우증가분을 공통 분모로 즉시 줄이는 것이 편리합니다. 샘플 샘플수업이 끝날 때 작업을 완료합니다(첫 번째 방법).

정의로 파생 상품 찾기

그리고 여기에서 모든 것을 놀라운 한계로 줄여야 합니다. 솔루션은 두 번째 방식으로 구성됩니다.

마찬가지로 다른 여러 표 파생 상품. 전체 목록학교 교과서, 예를 들어 Fichtenholtz의 1권에서 찾을 수 있습니다. 나는 책과 미분 규칙의 증거에서 다시 작성하는 데 많은 의미가 없다고 생각합니다.

공식 .

실제 작업으로 이동해 보겠습니다. 예 5

함수의 도함수 찾기 , 도함수의 정의를 사용하여

해결책: 첫 번째 스타일을 사용하십시오. 속하는 어떤 점을 고려하고 그 안에 인수의 증분을 설정합시다. 그러면 해당 함수 증분은 다음과 같습니다.

아마도 일부 독자는 증가가 이루어져야 하는 원칙을 아직 완전히 이해하지 못했을 것입니다. 우리는 점(숫자)을 취하고 그 안에 있는 함수의 값을 찾습니다. , 즉, 함수에

"x" 대신에 대체되어야 합니다. 이제 우리는

구성된 함수 증분 즉시 단순화하는 것이 좋습니다.. 무엇 때문에? 추가 한계의 솔루션을 촉진하고 단축하십시오.

우리는 공식을 사용하고 대괄호를 열고 줄일 수 있는 모든 것을 줄입니다.

칠면조는 내장이 없어 로스트에 문제가 없습니다.

결국:

임의의 실수를 품질로 선택할 수 있으므로 대체하고 다음을 얻습니다. .

대답 : 정의에 의해.

검증을 위해 규칙을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

차별화 및 표:

정답을 미리 아는 것은 항상 유익하고 즐거운 일이므로, 솔루션의 맨 처음에 제안된 기능을 "빠른" 방식으로 정신적으로 또는 초안에서 차별화하는 것이 좋습니다.

도함수의 정의에 의해 함수의 도함수 찾기

이것은 직접 만든 예입니다. 결과는 표면에 있습니다.

스타일 #2로 돌아가기: 예 7

어떤 일이 일어나야 하는지 즉시 알아봅시다. 에 의해 복잡한 함수의 미분 법칙:

결정: 속하는 임의의 점을 고려하고, 그 안에 인수의 증분을 설정하고 증분을 만듭니다.

도함수를 구해봅시다:

(1) 삼각 공식을 사용합니다.

(2) 사인 아래에서 대괄호를 열고 코사인 아래에서 같은 용어를 제공합니다.

(3) 사인 아래에서는 항을 줄이고 코사인 아래에서는 분자를 항으로 분모로 나눕니다.

(4) 사인의 기이함으로 인해 "빼기"를 제거합니다. 언더 코사인

라는 용어를 나타냅니다.

(5) 분모를 인위적으로 곱하여 사용합니다. 첫 번째 멋진 한계. 따라서 불확실성이 제거되고 결과를 빗질합니다.

답변: 정의에 따라 보시다시피, 고려 중인 문제의 주요 어려움은 다음과 같습니다.

한계 자체의 복잡성 + 포장의 약간의 독창성. 실제로 두 가지 설계 방법이 모두 발생하므로 가능한 한 자세히 두 가지 방법을 모두 설명합니다. 그것들은 동등하지만 여전히 내 주관적인 느낌으로는 인형이 "X 0"으로 첫 번째 옵션을 고수하는 것이 더 편리합니다.

정의를 사용하여 함수의 도함수를 찾습니다.

이것은 독립적인 결정을 위한 작업입니다. 샘플은 이전 예제와 동일한 방식으로 형식이 지정됩니다.

좀 더 희귀한 버전의 문제를 분석해 보겠습니다.

도함수의 정의를 사용하여 한 점에서 함수의 도함수를 찾습니다.

첫째, 결론은 무엇이어야 하는가? 숫자 표준 방식으로 답을 계산합니다.

결정: 명확성의 관점에서 이 작업은 훨씬 간단합니다.

특정 값으로 간주됩니다.

점에서 증분을 설정하고 함수의 해당 증분을 구성합니다.

한 점에서 도함수를 계산합니다.

접선의 차이에 대해 매우 드문 공식을 사용합니다. 그리고 열 번째로 우리는 솔루션을 첫 번째로 줄입니다.

놀라운 한계:

답: 한 점에서 도함수의 정의에 따라.

이 작업은 해결하기가 그렇게 어렵지 않고 "일반적으로"디자인 방법에 따라 못을 교체하거나 간단하게 충분합니다. 이 경우 물론 숫자가 아니라 파생 함수를 얻습니다.

예 10 정의를 사용하여 함수의 도함수 찾기 그 시점에

이것은 직접 만든 예입니다.

최종 보너스 과제는 주로 수학적 분석에 대한 심도 있는 연구를 하는 학생들을 위한 것이지만 다른 모든 사람에게도 피해를 주지는 않습니다.

함수를 미분할 수 있습니까? 그 시점에?

솔루션: 조각별로 주어진 함수가 한 지점에서 연속적이라는 것은 분명하지만 거기에서 미분할 수 있습니까?

조각별 함수뿐만 아니라 솔루션 알고리즘은 다음과 같습니다.

1) 주어진 점에서 좌변 도함수를 구합니다: .

2) 주어진 점에서 우변 도함수를 구합니다: .

3) 단측 도함수가 유한하고 일치하는 경우:

, 함수는 점에서 미분 가능하고

기하학적으로 여기에 공통 접선이 있습니다(수업의 이론적 부분 참조 파생상품의 정의와 의미).

2개를 받은 경우 다른 의미: (그 중 하나는 무한할 수 있음), 그러면 함수는 한 지점에서 미분할 수 없습니다.

두 단측 도함수가 무한대인 경우

(심지어 다른 기호가 있더라도) 함수는

한 점에서 미분 가능하지만 그래프에 무한 도함수와 공통 수직 접선이 존재합니다. (수업의 예 5 참조정규 방정식) .