이차 방정식을 제품으로 작성하는 방법. 이차방정식의 해, 근의 공식, 예

우리는 주제를 계속 연구합니다 방정식의 해". 우리는 이미 선형 방정식에 대해 알게 되었고 이제 우리는 이차방정식.

먼저 이차 방정식이 무엇인지, 어떻게 쓰여지는지 분석합니다. 일반적인 견해, 관련 정의를 제공합니다. 그런 다음 예제를 사용하여 불완전한 이차 방정식이 어떻게 해결되는지 자세히 분석합니다. 다음으로 완전한 방정식을 풀고 근에 대한 공식을 구하고 판별식에 익숙해지도록 합시다. 이차 방정식전형적인 예의 솔루션을 고려하십시오. 마지막으로 근과 계수 사이의 연결을 추적합니다.

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이차방정식이란? 그들의 유형

먼저 이차 방정식이 무엇인지 명확하게 이해해야 합니다. 따라서 이차 방정식의 정의 및 이와 관련된 정의로 이차 방정식에 대해 이야기하기 시작하는 것이 논리적입니다. 그런 다음 주요 유형의 이차 방정식을 고려할 수 있습니다: 감소 및 비환원, 완전 및 불완전 방정식.

이차방정식의 정의와 예

정의.

이차 방정식형식의 방정식입니다. x 2 +b x+c=0여기서 x는 변수이고, a, b 및 c는 일부 숫자이고 a는 0이 아닙니다.

이차 방정식은 종종 2차 방정식이라고 합니다. 이차 방정식이 다음이기 때문입니다. 대수 방정식 두번째 등급.

사운드 정의를 통해 이차 방정식의 예를 제공할 수 있습니다. 따라서 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 등이 됩니다. 이차 방정식입니다.

정의.

번호 a , b 및 c 가 호출됩니다. 이차 방정식의 계수 a x 2 + b x + c \u003d 0이고 계수 a는 첫 번째 또는 선배 또는 x 2의 계수, b는 두 번째 계수 또는 x의 계수, c는 자유 멤버입니다.

예를 들어, 5 x 2 −2 x−3=0 형식의 이차 방정식을 가정해 보겠습니다. 여기서 선행 계수는 5이고 두 번째 계수는 −2이며 자유 항은 −3입니다. 방금 주어진 예에서와 같이 계수 b 및/또는 c가 음수일 때 5 x 2 +(- 2 )x+(−3)=0 .

계수 a 및 / 또는 b가 1 또는 -1과 같을 때 일반적으로 2차 방정식의 표기법에 명시적으로 표시되지 않는다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이는 그러한 표기법의 특성 때문입니다. 예를 들어, 이차 방정식 y 2 −y+3=0에서 선행 계수는 1이고 y에서의 계수는 −1입니다.

축소 및 축소되지 않은 이차 방정식

선행 계수의 값에 따라 환산 2차 방정식과 비환원 2차 방정식이 구별됩니다. 해당 정의를 제공합시다.

정의.

선행 계수가 1인 이차 방정식을 호출합니다. 감소된 이차 방정식. 그렇지 않으면 이차 방정식은 다음과 같습니다. 환원되지 않은.

에 따르면 이 정의, 이차방정식 x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 등 -감소, 각각의 첫 번째 계수는 1과 같습니다. 그리고 5 x 2 −x−1=0 등입니다. - 축소되지 않은 이차방정식의 선행 계수는 1과 다릅니다.

감소되지 않은 이차 방정식에서 두 부분을 선행 계수로 나누면 감소된 것으로 이동할 수 있습니다. 이 작업은 등가 변환입니다. 즉, 이렇게 얻은 축소된 이차 방정식은 원래의 축소되지 않은 이차 방정식과 동일한 근을 갖거나, 이와 같이 근이 없습니다.

축소되지 않은 2차 방정식에서 축소된 2차 방정식으로의 전환이 어떻게 수행되는지 예를 들어 보겠습니다.

예시.

방정식 3 x 2 +12 x−7=0에서 해당 축소된 이차 방정식으로 이동합니다.

해결책.

선행 계수 3으로 원래 방정식의 두 부분을 나누는 것으로 충분하며 0이 아니므로 이 작업을 수행할 수 있습니다. (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 이며 이는 (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 과 동일합니다. (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , 언제 . 그래서 우리는 원래의 것과 동등한 축소된 이차 방정식을 얻었습니다.

대답:

완전하고 불완전한 이차방정식

이차 방정식의 정의에는 a≠0이라는 조건이 있습니다. 이 조건은 방정식 a x 2 +b x+c=0 이 정확히 정사각형이 되기 위해 필요합니다. 왜냐하면 a=0 이면 실제로 b x+c=0 형식의 선형 방정식이 되기 때문입니다.

계수 b와 c는 개별적으로 또는 함께 0과 같을 수 있습니다. 이 경우 이차 방정식을 불완전이라고 합니다.

정의.

이차방정식 a x 2 +b x+c=0은 다음과 같습니다. 불완전한, 계수 b 중 적어도 하나가 있으면 c는 0과 같습니다.

그 차례에

정의.

완전한 이차 방정식모든 계수가 0이 아닌 방정식입니다.

이 이름은 우연히 주어지지 않습니다. 이는 다음 논의에서 분명해질 것입니다.

계수 b가 0이면 이차 방정식은 a x 2 +0 x+c=0 형식을 취하고 방정식 a x 2 +c=0 과 같습니다. c=0 , 즉 이차 방정식의 형식이 a x 2 +b x+0=0 인 경우 a x 2 +b x=0 으로 다시 작성할 수 있습니다. 그리고 b=0 및 c=0으로 우리는 이차 방정식 a·x 2 =0을 얻습니다. 결과 방정식은 좌변에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다 포함되어 있지 않다는 점에서 완전 이차 방정식과 다릅니다. 따라서 그들의 이름은 불완전한 이차 방정식입니다.

따라서 방정식 x 2 +x+1=0 및 −2 x 2 −5 x+0,2=0은 완전한 이차 방정식의 예이며 x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 은 불완전한 2차 방정식입니다.

불완전한 이차방정식 풀기

이전 단락의 정보에서 다음이 있습니다. 세 종류의 불완전한 이차방정식:

• a x 2 =0 , 계수 b=0 및 c=0이 이에 해당합니다.
• b=0 일 때 a x 2 +c=0 ;
• 및 a x ​​2 +b x=0 일 때 c=0 .

이러한 각 유형의 불완전한 이차방정식이 어떻게 풀이되는지 순서대로 분석해 보자.

× 2 \u003d 0

계수 b와 c가 0인 불완전한 이차 방정식, 즉 a x 2 =0 형식의 방정식을 풀면서 시작하겠습니다. 방정식 a·x 2 =0은 방정식 x 2 =0과 동일하며, 두 부분을 0이 아닌 숫자 a로 나누어 원본에서 구합니다. 분명히 방정식 x 2 \u003d 0의 근은 0 2 \u003d 0이므로 0입니다. 이 방정식에는 다른 근이 없으며, 이는 실제로 0이 아닌 숫자 p에 대해 부등식 p 2 >0이 발생하며, 이는 p≠0에 대해 등식 p 2 =0이 달성되지 않는다는 것을 의미합니다.

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 \u003d 0은 단일 루트 x \u003d 0을 갖습니다.

예를 들어, 불완전한 이차 방정식 −4·x 2 =0의 해를 제공합니다. 방정식 x 2 \u003d 0과 동일하며 유일한 루트는 x \u003d 0이므로 원래 방정식에는 단일 루트 0이 있습니다.

이 경우 짧은 솔루션은 다음과 같이 발행될 수 있습니다.
-4 x 2 \u003d 0,
엑스 2 \u003d 0,
x=0 .

x 2 +c=0

이제 계수 b가 0이고 c≠0인 불완전한 2차 방정식, 즉 a x 2 +c=0 형식의 방정식을 푸는 방법을 고려하십시오. 우리는 방정식의 한 쪽에서 반대 부호가 있는 다른 쪽으로 항을 옮기고 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누면 등가 방정식이 된다는 것을 알고 있습니다. 따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 +c=0의 다음 등가 변환을 수행할 수 있습니다.

• c를 오른쪽으로 이동하면 방정식 a x 2 =−c가 됩니다.
• 두 부분을 a로 나누면 을 얻습니다.

결과 방정식을 통해 근에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. a와 c의 값에 따라 식의 값은 음수(예: a=1 및 c=2이면 ) 또는 양수(예: a=−2 및 c=6인 경우)가 될 수 있습니다. , then ), 조건 c≠0 때문에 0이 아닙니다. 사례와 .

이면 방정식에 근이 없습니다. 이 진술은 모든 숫자의 제곱이 음수가 아닌 숫자라는 사실에서 따릅니다. 이것으로부터 , 어떤 숫자 p에 대해 평등이 참일 수 없다는 것이 이어집니다.

이면 방정식의 근이 있는 상황이 다릅니다. 이 경우 우리가 기억하면 방정식의 근이 즉시 명백해집니다. 숫자가 방정식의 근이기도 하다고 추측하기 쉽습니다. 이 방정식에는 예를 들어 모순으로 표시될 수 있는 다른 근이 없습니다. 해보자.

방정식의 유성근을 x 1 및 −x 1 로 표시해 봅시다. 방정식에 표시된 근 x 1 및 -x 1 과 다른 또 다른 근 x 2 가 있다고 가정합니다. 근의 x 대신 방정식에 대입하면 방정식이 진정한 수치적 평등으로 바뀌는 것으로 알려져 있습니다. x 1과 -x 1에 대해 우리는 를 갖고, x 2에 대해 우리는 를 가집니다. 수치적 등식의 속성은 진정한 수치적 등식을 용어별로 뺄셈을 수행할 수 있도록 하므로 등식의 해당 부분을 빼면 x 1 2 − x 2 2 =0이 됩니다. 숫자를 사용한 연산의 속성을 통해 결과 동등성을 (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 으로 다시 작성할 수 있습니다. 우리는 두 숫자 중 적어도 하나가 0인 경우에만 두 숫자의 곱이 0과 같다는 것을 알고 있습니다. 따라서 x 1 −x 2 =0 및/또는 x 1 +x 2 =0, 이는 x 2 =x 1 및/또는 x 2 = −x 1 과 동일합니다. 그래서 우리는 처음에 방정식 x 2의 근이 x 1 및 −x 1과 다르다고 말했기 때문에 모순에 이르렀습니다. 이것은 방정식에 및 이외의 다른 근이 없음을 증명합니다.

이 단락의 정보를 요약해 보겠습니다. 불완전한 이차방정식 a x 2 +c=0은 방정식 와 동등합니다.

• 뿌리가 없는 경우 ,
• 두 개의 뿌리가 있고 if .

a·x 2 +c=0 형식의 불완전한 2차 방정식을 푸는 예를 고려하십시오.

이차방정식 9 x 2 +7=0부터 시작해 봅시다. 자유 항을 방정식의 우변으로 옮기면 9·x 2 =−7의 형식을 취하게 됩니다. 결과 방정식의 양변을 9로 나누면 에 도달합니다. 우변에 음수가 나오므로 이 방정식은 근이 없으므로 원래 불완전한 이차방정식 9 x 2 +7=0은 근이 없습니다.

불완전한 이차방정식 −x 2 +9=0을 하나 더 풀어봅시다. 9를 오른쪽으로 옮깁니다 : -x 2 \u003d -9. 이제 두 부분을 −1로 나누면 x 2 =9가 됩니다. 오른쪽에는 양수가 포함되어 있으며 여기서 결론을 내립니다. 또는 . 최종 답을 적어 놓은 후: 불완전한 이차 방정식 −x 2 +9=0은 두 개의 근 x=3 또는 x=−3을 가집니다.

x 2 +b x=0

c=0에 대한 마지막 유형의 불완전한 이차 방정식의 솔루션을 처리해야 합니다. a x 2 +b x=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 사용하면 다음을 풀 수 있습니다. 인수분해 방법. 분명히, 우리는 방정식의 왼쪽에 위치할 수 있으며, 대괄호에서 공통 인수 x를 취하는 것으로 충분합니다. 이를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식에서 x·(a·x+b)=0 형식의 등가 방정식으로 이동할 수 있습니다. 그리고 이 방정식은 두 개의 방정식 x=0 및 a x+b=0 의 집합과 동일하며, 마지막 방정식은 선형이고 루트 x=−b/a 를 갖습니다.

따라서 불완전한 이차방정식 a x 2 +b x=0은 두 개의 근 x=0과 x=−b/a를 가집니다.

자료를 통합하기 위해 특정 예의 솔루션을 분석합니다.

예시.

방정식을 푸십시오.

해결책.

대괄호에서 x를 빼면 방정식이 됩니다. 두 방정식 x=0 및 . 접수를 해결합니다 일차 방정식: , 그리고 대분수를 일반 분수로 나눈 후 를 찾습니다. 따라서 원래 방정식의 근은 x=0이고 .

필요한 연습을 마친 후에는 이러한 방정식의 해를 간단히 작성할 수 있습니다.

대답:

x=0 , .

판별식, 이차방정식 근의 공식

이차방정식을 풀기 위해서는 근식이 있습니다. 적어보자 이차 방정식의 근의 공식: , 어디 D=비2-4에씨-소위 이차 방정식의 판별식. 표기법은 본질적으로 .

근 공식을 구한 방법과 이차 방정식의 근을 찾는 데 어떻게 적용되는지 아는 것이 유용합니다. 이것을 처리합시다.

이차방정식의 근의 공식 유도

이차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0 을 풀어야 합니다. 몇 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.

• 우리는 이 방정식의 두 부분을 0이 아닌 숫자 a로 나눌 수 있으며, 결과적으로 축소된 이차 방정식을 얻습니다.
• 지금 전체 사각형을 선택왼쪽에: . 그 후 방정식은 .
• 이 단계에서 반대 부호를 사용하여 마지막 두 항을 오른쪽으로 옮길 수 있습니다.
• 또한 오른쪽에 있는 표현식을 변환해 보겠습니다. .

그 결과 원래의 2차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0과 동일한 방정식 에 도달합니다.

이전 단락에서 분석할 때 형식이 유사한 방정식을 이미 풀었습니다. 이를 통해 방정식의 근에 대해 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

• 이면 방정식에 실해가 없습니다.
• 이면 방정식의 형식은 이므로 , 유일한 루트가 표시됩니다.
• if , then or , 이것은 or 와 동일합니다. 즉, 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

따라서 방정식의 근의 존재 여부, 즉 원래의 이차 방정식은 오른쪽에 있는 식의 부호에 따라 달라집니다. 차례로, 이 표현의 부호는 분자의 부호에 의해 결정됩니다. 분모 4a 2는 항상 양수, 즉 표현 b 2 −4 a c 의 부호이기 때문입니다. 이 식 b 2 −4 a c는 이차 방정식의 판별식그리고 문자로 표시 디. 여기에서 판별 자의 본질은 분명합니다. 그 값과 부호에 따라 이차 방정식에 실제 근이 있는지 여부와 그렇다면 숫자가 1 또는 2인지 여부가 결정됩니다.

방정식으로 돌아가 판별식의 표기법을 사용하여 다시 작성합니다. 그리고 우리는 결론을 내립니다.

• 만약 D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0이면 이 방정식은 단일 루트를 갖습니다.
• 마지막으로, D>0이면 방정식은 두 개의 근을 갖습니다. or , 형태로 다시 쓸 수 있습니다 or , 그리고 분수를 공통 분모로 확장하고 줄이면 를 얻습니다.

그래서 우리는 이차 방정식의 근에 대한 공식을 도출했습니다. 그들은 다음과 같이 보입니다. 여기서 판별식 D는 공식 D=b 2 −4 a c로 계산됩니다.

그들의 도움으로 양의 판별식을 사용하여 이차 방정식의 실근을 모두 계산할 수 있습니다. 판별식이 0이면 두 공식은 이차 방정식의 유일한 해에 해당하는 동일한 루트 값을 제공합니다. 그리고 음의 판별식을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하려고 할 때 음수에서 제곱근을 추출해야 하는 상황에 직면하게 됩니다. 이는 학교 커리큘럼의 범위를 넘어섭니다. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에 실근이 없지만 쌍이 있습니다. 복소 공액우리가 얻은 것과 동일한 루트 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

근 공식을 사용하여 이차방정식을 푸는 알고리즘

실제로 이차 방정식을 풀 때 값을 계산하는 데 사용되는 근 공식을 즉시 사용할 수 있습니다. 그러나 이것은 복잡한 뿌리를 찾는 것에 관한 것입니다.

그러나 학교 대수학 과정에서는 일반적으로 우리 대화하는 중이 야복잡한 것이 아니라 이차 방정식의 실근에 관한 것입니다. 이 경우 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 찾고 음수가 아닌지 확인한 다음(그렇지 않으면 방정식에 실근이 없다고 결론을 내릴 수 있음) 그 후에 판별식을 찾는 것이 좋습니다. 근의 값을 계산하십시오.

위의 추론을 통해 우리는 다음을 작성할 수 있습니다. 이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘. 이차 방정식 a x 2 + b x + c \u003d 0을 풀려면 다음이 필요합니다.

• 판별식 D=b 2 −4 a c를 사용하여 값을 계산합니다.
• 판별식이 음수이면 이차 방정식에 실근이 없다고 결론을 내립니다.
• D=0인 경우 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• 판별식이 양수이면 근 공식을 사용하여 이차 방정식의 두 실근을 찾으십시오.

여기서 우리는 판별식이 0과 같으면 공식도 사용할 수 있으며 와 동일한 값을 제공한다는 점에 유의하십시오.

이차 방정식을 푸는 알고리즘을 적용하는 예제로 이동할 수 있습니다.

이차 방정식 풀이의 예

양수, 음수 및 0 판별식을 갖는 세 가지 이차 방정식의 해를 고려하십시오. 그들의 솔루션을 다루었으므로 유추하여 다른 이차 방정식을 풀 수 있습니다. 시작하자.

예시.

방정식 x 2 +2 x−6=0 의 근을 구합니다.

해결책.

이 경우 다음과 같은 이차 방정식의 계수가 있습니다: a=1 , b=2 및 c=−6 . 알고리즘에 따르면 먼저 판별식을 계산해야 합니다. 이를 위해 표시된 a, b 및 c를 판별 공식으로 대체합니다. D=b 2 -4 a c=2 2 -4 1 (-6)=4+24=28. 28>0, 즉 판별식이 0보다 크므로 이차 방정식은 두 개의 실근을 갖습니다. 근의 공식으로 찾아보자 , 우리는 얻는다 , 여기서 우리는 루트의 부호를 인수분해분수 감소:

대답:

다음의 일반적인 예를 살펴보겠습니다.

예시.

이차방정식 −4 x 2 +28 x−49=0 을 풉니다.

해결책.

판별식을 찾는 것으로 시작합니다. D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. 따라서 이 이차방정식은 근이 하나이므로 , 즉

대답:

x=3.5 .

음의 판별식을 갖는 이차방정식의 해법을 고려해야 합니다.

예시.

방정식 5 y 2 +6 y+2=0 을 풉니다.

해결책.

다음은 이차 방정식의 계수입니다: a=5 , b=6 및 c=2 . 이 값을 판별 공식에 대입하면 D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. 판별식이 음수이므로 이 이차 방정식에는 실근이 없습니다.

복소수 근을 지정해야 하는 경우 이차 방정식의 근에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 다음을 수행합니다. 복소수 연산:

대답:

실제 근이 없으며 복소수 근은 다음과 같습니다. .

다시 한 번, 이차 방정식의 판별식이 음수이면 학교는 일반적으로 실제 근이 없음을 나타내는 답을 즉시 기록하고 복소수 근을 찾지 않습니다.

두 번째 계수의 근 공식

2차 방정식의 근에 대한 공식 , 여기서 D=b 2 −4 a c는 x에서 짝수 계수(또는 단순히 2 n처럼 보이는 계수를 사용하여 , 예를 들어, 또는 14 ln5=2 7 ln5 ). 그녀를 데리고 나가자.

a x 2 +2 n x + c=0 형식의 이차 방정식을 풀어야 한다고 가정해 봅시다. 우리에게 알려진 공식을 사용하여 그 뿌리를 찾으십시오. 이를 위해 판별식을 계산합니다. D=(2n) 2 −4a c=4n 2 −4a c=4 (n 2 -a c), 그런 다음 루트 공식을 사용합니다.

표현 n 2 -a c를 D 1로 표시합니다(때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 n을 사용하여 고려되는 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다. , 여기서 D 1 =n 2 -ac .

D=4·D 1 또는 D 1 =D/4 임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D 1은 판별식의 네 번째 부분입니다. D 1 의 부호가 D 의 부호와 같다는 것은 분명합니다. 즉, 기호 D 1은 이차 방정식의 근의 유무를 나타내는 지표이기도 합니다.

따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.

• D 1 =n 2 −a·c 를 계산하십시오.
• D 1인 경우<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0이면 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• D 1 >0이면 공식을 사용하여 두 개의 실근을 찾으십시오.

이 단락에서 얻은 루트 공식을 사용하여 예제의 솔루션을 고려하십시오.

예시.

이차방정식 5 x 2 −6 x−32=0 을 풉니다.

해결책.

이 방정식의 두 번째 계수는 2·(−3) 으로 나타낼 수 있습니다. 즉, 원래 이차 방정식을 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , 여기서 a=5 , n=−3 및 c=−32 형식으로 다시 작성하고 다음의 네 번째 부분을 계산할 수 있습니다. 판별식: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. 값이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실근이 있습니다. 해당 루트 공식을 사용하여 찾습니다.

2차 방정식의 근에 대한 일반적인 공식을 사용하는 것이 가능했지만 이 경우 더 많은 계산 작업을 수행해야 합니다.

대답:

이차방정식 형태의 단순화

때로는 수식을 사용하여 이차 방정식의 근 계산을 시작하기 전에 "이 방정식의 형태를 단순화하는 것이 가능합니까? "라는 질문을 던지는 것이 나쁘지 않습니다. 계산 측면에서 1100 x 2 −400 x−600=0 보다 2차 방정식 11 x 2 −4 x −6=0 을 푸는 것이 더 쉬울 것이라는 점에 동의합니다.

일반적으로 이차방정식의 형태를 단순화하는 것은 방정식의 양변에 어떤 숫자를 곱하거나 나누어서 이루어집니다. 예를 들어, 이전 단락에서 양변을 100으로 나누어 방정식 1100 x 2 −400 x −600=0을 단순화했습니다.

유사한 변환이 2차 방정식으로 수행되며 계수는 . 이 경우 방정식의 두 부분은 일반적으로 계수의 절대 값으로 나뉩니다. 예를 들어, 이차방정식 12 x 2 −42 x+48=0을 봅시다. 계수의 절대값: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . 원래 이차 방정식의 두 부분을 6 으로 나누면 동등한 이차 방정식 2 x 2 −7 x+8=0 에 도달합니다.

그리고 이차 방정식의 두 부분의 곱셈은 일반적으로 분수 계수를 제거하기 위해 수행됩니다. 이 경우 계수의 분모에서 곱셈이 수행됩니다. 예를 들어, 이차 방정식의 두 부분에 LCM(6, 3, 1)=6 을 곱하면 더 간단한 형식 x 2 +4 x−18=0 이 됩니다.

이 단락의 결론에서 우리는 거의 항상 모든 항의 부호를 변경하여 이차 방정식의 선행 계수에서 마이너스를 제거한다는 점에 주목합니다. 이는 두 부분을 -1로 곱하는(또는 나누는) 것에 해당합니다. 예를 들어, 일반적으로 이차 방정식 −2·x 2 −3·x+7=0에서 솔루션 2·x 2 +3·x−7=0으로 이동합니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계

이차 방정식의 근에 대한 공식은 방정식의 근을 계수로 표현합니다. 근의 공식을 기반으로 근과 계수 사이의 다른 관계를 얻을 수 있습니다.

형식의 Vieta 정리에서 가장 잘 알려지고 적용 가능한 공식 및 . 특히 주어진 이차방정식의 경우 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수와 같고 근의 곱이 자유항이 된다. 예를 들어, 이차방정식 3 x 2 −7 x+22=0의 형태로 근의 합은 7/3이고 근의 곱은 22/3이라고 즉시 말할 수 있습니다.

이미 작성된 공식을 사용하여 이차 방정식의 근과 계수 사이에 다른 여러 관계를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 계수의 관점에서 이차 방정식의 근의 제곱의 합을 표현할 수 있습니다: .

서지.

• 대수학:교과서 8셀용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 에드. S. A. Telyakovsky. - 16판. - M. : 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• 모드코비치 A. G.대수학. 8 학년. 오후 2시 1 부. 교육 기관 학생을위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 11판, 삭제됨. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: 아프다. ISBN 978-5-346-01155-2.

이차방정식은 8학년 때 공부하기 때문에 복잡한 것은 없습니다. 이를 해결하는 능력이 필수적입니다.

이차방정식은 ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식으로, 계수 a , b 및 c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.

특정 솔루션 방법을 연구하기 전에 모든 이차 방정식을 세 가지 클래스로 나눌 수 있음을 확인하십시오.

1. 뿌리가 없다.
2. 그들은 정확히 하나의 뿌리를 가지고 있습니다.
3. 그들은 두 가지 다른 뿌리를 가지고 있습니다.

이것은 루트가 항상 존재하고 고유한 2차 방정식과 1차 방정식 사이의 중요한 차이점입니다. 방정식의 근 수를 결정하는 방법은 무엇입니까? 이것에 대한 놀라운 일이 있습니다- 판별식.

판별식

이차방정식 ax 2 + bx + c = 0 이 주어진다면, 판별식은 단순히 숫자 D = b 2 − 4ac 입니다.

이 공식은 마음으로 알아야 합니다. 그것이 어디에서 왔는지는 지금 중요하지 않습니다. 또 다른 중요한 사항은 판별식의 부호로 이차 방정식의 근 수를 결정할 수 있다는 것입니다. 즉:

1. 만약 D< 0, корней нет;
2. D = 0이면 정확히 하나의 루트가 있습니다.
3. D > 0이면 두 개의 근이 있습니다.

참고: 어떤 이유로 많은 사람들이 생각하는 것처럼 판별식은 근의 수를 나타내며 기호가 아닙니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다.

작업. 이차 방정식의 근 수는 다음과 같습니다.

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

첫 번째 방정식에 대한 계수를 작성하고 판별식을 찾습니다.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

따라서 판별식은 양수이므로 방정식에는 두 개의 다른 근이 있습니다. 같은 방식으로 두 번째 방정식을 분석합니다.
a = 5; b = 3; 씨 = 7;
D \u003d 3 · 2-4 · 5 · 7 \u003d 9-140 \u003d -131.

판별식이 음수이고 근이 없습니다. 마지막 방정식은 다음과 같이 유지됩니다.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

판별식은 0과 같습니다. 루트는 1이 됩니다.

계수는 각 방정식에 대해 작성되었습니다. 예, 길어요, 예, 지루합니다. 하지만 가능성을 혼동하지 않고 어리석은 실수를 저 지르지 않을 것입니다. 속도 또는 품질 중에서 스스로 선택하십시오.

그건 그렇고, "손을 채우면"잠시 후 더 이상 모든 계수를 쓸 필요가 없습니다. 당신은 당신의 머리에서 그러한 작업을 수행합니다. 대부분의 사람들은 50-70개의 방정식을 풀고 나서 어딘가에서 이 작업을 시작합니다. 일반적으로 그리 많지는 않습니다.

이차 방정식의 근

이제 솔루션으로 넘어 갑시다. 판별식 D > 0인 경우 다음 공식을 사용하여 근을 찾을 수 있습니다.

이차 방정식의 근에 대한 기본 공식

D = 0이면 이러한 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 답이 될 동일한 숫자를 얻습니다. 마지막으로 만약 D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

첫 번째 방정식:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그것들을 찾아봅시다:

두 번째 방정식:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ 방정식은 다시 두 개의 근을 가집니다. 그들을 찾아보자

\[\begin(정렬) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \종료(정렬)\]

마지막으로 세 번째 방정식:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ 방정식에는 하나의 근이 있습니다. 모든 공식을 사용할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 항목은 다음과 같습니다.

예제에서 알 수 있듯이 모든 것이 매우 간단합니다. 공식을 알고 계산할 수 있다면 문제가 없을 것입니다. 대부분의 경우 오류는 음의 계수가 수식에 대체될 때 발생합니다. 여기서도 위에서 설명한 기술이 도움이 될 것입니다. 문자 그대로 공식을보고 각 단계를 칠하고 곧 실수를 제거하십시오.

불완전한 이차 방정식

이차 방정식은 정의에 주어진 것과 다소 다릅니다. 예를 들어:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

이 방정식에서 용어 중 하나가 빠져 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 이차 방정식은 표준 방정식보다 풀기가 훨씬 더 쉽습니다. 판별식을 계산할 필요조차 없습니다. 새로운 개념을 도입해 보겠습니다.

방정식 ax 2 + bx + c = 0은 b = 0 또는 c = 0인 경우 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 변수 x 또는 자유 요소의 계수는 0입니다.

물론 전적으로 가능합니다 어려운 경우, 이 두 계수가 모두 0인 경우: b \u003d c \u003d 0. 이 경우 방정식은 ax 2 \u003d 0 형식을 취합니다. 분명히 이러한 방정식에는 x \u003d 0이라는 단일 루트가 있습니다.

다른 경우를 생각해 봅시다. b \u003d 0이라고 하면 ax 2 + c \u003d 0 형식의 불완전한 이차 방정식을 얻습니다. 약간 변환해 보겠습니다.

산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자에서만 존재하므로 마지막 등식은 (−c / a ) ≥ 0인 경우에만 의미가 있습니다. 결론:

1. ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 2차 방정식이 부등식 (−c / a ) ≥ 0을 충족하면 두 개의 근이 있습니다. 공식은 위에 나와 있습니다.
2. 만약 (−c / a )< 0, корней нет.

보시다시피 판별식이 필요하지 않습니다. 불완전한 이차 방정식에는 복잡한 계산이 전혀 없습니다. 사실 부등식 (−c / a ) ≥ 0을 기억할 필요조차 없습니다. x 2의 값을 표현하고 등호 반대편에 무엇이 있는지 확인하는 것으로 충분합니다. 양수가 있으면 두 개의 근이 있습니다. 음수이면 근이 전혀 없습니다.

이제 자유 요소가 0인 ax 2 + bx = 0 형식의 방정식을 다루겠습니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 항상 두 개의 루트가 있습니다. 다항식을 인수분해하는 것으로 충분합니다:

대괄호에서 공약수 빼기

요인 중 적어도 하나가 0과 같을 때 곱은 0입니다. 이것은 뿌리가 나오는 곳입니다. 결론적으로 다음 방정식 중 몇 가지를 분석합니다.

작업. 이차방정식 풀기:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. 뿌리가 없기 때문에 제곱은 음수와 같을 수 없습니다.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

Kopyevskaya 농촌 중등 학교

이차 방정식을 푸는 10가지 방법

머리: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

수학 교사

s.Kopyevo, 2007

1. 이차방정식의 발전사

1.1 고대 바빌론의 이차방정식

1.2 Diophantus가 이차방정식을 작성하고 푸는 방법

1.3 인도의 이차방정식

1.4 al-Khwarizmi의 이차방정식

1.5 유럽 XIII - XVII 세기의 이차방정식

1.6 비에타 정리에 대하여

2. 이차 방정식을 푸는 방법

결론

문학

1. 이차 방정식 개발의 역사

1.1 고대 바빌론의 이차방정식

고대의 1도 방정식뿐만 아니라 2도 방정식을 풀어야 할 필요성은 군사적 성격의 토지 및 토공물을 찾는 것과 관련된 문제를 해결해야 할 필요성과 천문학 및 수학 그 자체. 이차 방정식은 기원전 2000년경에 풀 수 있었습니다. 이자형. 바빌론.

현대 대수 표기법을 적용하면 설형 문자 텍스트에는 불완전한 것 외에도 예를 들어 완전한 이차 방정식이 있다고 말할 수 있습니다.

엑스 2 + 엑스 = ¾; 엑스 2 - 엑스 = 14,5

바빌로니아 문서에 명시된 이러한 방정식을 푸는 규칙은 본질적으로 현대의 것과 일치하지만 바빌로니아 사람들이 어떻게 이 규칙에 도달했는지는 알려져 있지 않습니다. 지금까지 발견된 거의 모든 설형 문자 텍스트는 조리법의 형태로 기술된 솔루션에 대한 문제만 제공하며 어떻게 발견되었는지에 대한 표시가 없습니다.

바빌론의 높은 수준의 대수학 발전에도 불구하고 설형 문자에는 음수의 개념이 없으며 일반적인 방법이차 방정식의 해.

1.2 Diophantus가 이차방정식을 작성하고 푸는 방법.

Diophantus의 Arithmetic은 대수학에 대한 체계적인 설명을 포함하고 있지 않지만 설명과 함께 다양한 정도의 방정식을 작성하여 해결하는 체계적인 일련의 문제를 포함합니다.

방정식을 컴파일할 때 Diophantus는 솔루션을 단순화하기 위해 미지수를 능숙하게 선택합니다.

예를 들어 여기 그의 작업 중 하나가 있습니다.

작업 11."합이 20이고 곱이 96이라는 것을 알고 있는 두 개의 숫자를 찾으십시오."

Diophantus는 다음과 같이 주장합니다. 문제의 조건에서 원하는 숫자가 같지 않은 경우 결과가 같으면 제품이 96이 아니라 100이 되기 때문입니다. 따라서 그 중 하나는 절반 이상이 될 것입니다. 합계, 즉 . 10+엑스, 다른 하나는 더 작습니다. 10대. 그들 사이의 차이점 2배 .

따라서 방정식:

(10 + 엑스)(10 - 엑스) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

여기에서 엑스 = 2. 원하는 숫자 중 하나는 12 , 다른 8 . 해결책 x = -2왜냐하면 디오판토스는 존재하지 않기 때문입니다. 왜냐하면 그리스 수학은 오직 양수만을 알고 있었기 때문입니다.

원하는 숫자 중 하나를 미지수로 선택하여 이 문제를 풀면 방정식의 해를 얻을 수 있습니다.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Diophantus가 원하는 숫자의 반 차이를 미지수로 선택하여 솔루션을 단순화한 것은 분명합니다. 그는 불완전한 이차방정식(1)을 풀기 위해 문제를 줄이는 데 성공했습니다.

1.3 인도의 이차방정식

499년 인도의 수학자이자 천문학자인 Aryabhatta가 편찬한 천문학 책자 "Aryabhattam"에서 이차방정식의 문제를 이미 발견했습니다. 또 다른 인도 학자인 브라마굽타(7세기)는 다음과 같이 설명했습니다. 일반 규칙단일 표준 형식으로 축소된 이차 방정식의 해:

아 2+ 비 x = c, a > 0. (1)

방정식 (1)에서 다음을 제외한 계수 ㅏ, 또한 음수가 될 수 있습니다. Brahmagupta의 규칙은 본질적으로 우리의 규칙과 일치합니다.

에 고대 인도어려운 문제를 해결하기 위한 공개 경쟁이 일반적이었습니다. 오래된 인도 서적 중 하나에서 그러한 경쟁에 대해 다음과 같이 말합니다. 작업은 종종 시적인 형태로 옷을 입었습니다.

다음은 XII 세기의 유명한 인도 수학자 문제 중 하나입니다. 바스카라.

작업 13.

“유쾌한 원숭이 무리와 덩굴에 12 마리 ...

힘을 먹고 재미를 보았습니다. 그들은 뛰어 오르기 시작했고 매달렸다 ...

사각형에 있는 여덟 번째 부분 거기에 몇 마리의 원숭이가 있었는지,

초원에서 재미. 이 무리에서 말해?

Bhaskara의 솔루션은 그가 2차 방정식의 근의 2값에 대해 알고 있음을 나타냅니다(그림 3).

문제 13에 해당하는 방정식은 다음과 같습니다.

( 엑스 /8) 2 + 12 = 엑스

Bhaskara는 다음과 같이 가장합니다.

x 2 - 64x = -768

그리고 이 방정식의 좌변을 정사각형으로 완성하기 위해 양변에 더합니다. 32 2 , 다음을 얻습니다.

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 al-Khorezmi의 이차방정식

Al-Khorezmi의 대수학 논문은 선형 및 이차 방정식의 분류를 제공합니다. 저자는 6가지 유형의 방정식을 나열하여 다음과 같이 표현합니다.

1) "정사각형은 근과 같습니다", 즉 도끼 2 + c = 비 엑스.

2) "정사각형은 숫자와 같습니다", 즉 도끼 2 = 에스.

3) "근은 숫자와 같습니다", 즉 아 = 에스.

4) "정사각형과 숫자는 근과 같습니다", 즉 도끼 2 + c = 비 엑스.

5) "제곱과 근은 숫자와 같습니다", 즉 아 2+ bx = 에스.

6) "근과 숫자는 제곱과 같습니다", 즉 bx + c \u003d 도끼 2.

음수 사용을 피한 al-Khwarizmi에게 이러한 각 방정식의 항은 뺄셈이 아니라 덧셈입니다. 이 경우 양수 솔루션이 없는 방정식은 분명히 고려되지 않습니다. 저자는 al-jabr 및 al-muqabala 방법을 사용하여 이러한 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 물론 그의 결정은 우리의 결정과 완전히 일치하지 않습니다. 순전히 수사학적이라는 사실은 말할 것도 없고, 예를 들어 첫 번째 유형의 불완전한 이차 방정식을 풀 때 다음과 같은 점에 유의해야 합니다.

al-Khorezmi는 17세기 이전의 모든 수학자처럼 제로 솔루션을 고려하지 않습니다. 아마도 특정 실제 문제에서는 중요하지 않기 때문일 것입니다. 완전한 이차방정식을 풀 때, al-Khorezmi는 특정 수치 예를 사용하여 풀이 규칙을 설정한 다음 기하학적 증명을 설정합니다.

작업 14.“제곱과 숫자 21은 10근과 같습니다. 근본을 찾아라" (방정식 x 2 + 21 = 10x의 근을 가정).

저자의 해결책은 다음과 같습니다: 근의 수를 반으로 나누면 5가 되고, 5를 곱하고, 곱에서 21을 빼면 4가 남습니다. 4의 근을 취하면 2가 됩니다. 5에서 2를 빼면 get 3, 이것이 원하는 루트가 됩니다. 또는 2에 5를 더하면 7이 됩니다. 이것도 근입니다.

Treatise al - Khorezmi는 우리에게 내려온 첫 번째 책으로, 이차방정식의 분류가 체계적으로 기술되어 있고 해법이 제시되어 있습니다.

1.5 유럽의 이차방정식 XIII - XVII 세기

유럽의 al-Khorezmi 모델에 대한 이차 방정식을 풀기 위한 공식은 이탈리아 수학자 Leonardo Fibonacci가 1202년에 작성한 "Abacus의 책"에 처음 제시되었습니다. 수학의 영향을 반영하는 이 방대한 작업은 이슬람 국가와 고대 그리스, 프레젠테이션의 완전성과 명확성이 다릅니다. 저자는 문제 해결의 몇 가지 새로운 대수적 예를 독립적으로 개발했으며 유럽에서 처음으로 음수 도입에 접근했습니다. 그의 책은 이탈리아뿐만 아니라 독일, 프랑스 및 기타 유럽 국가에서 대수학 지식의 확산에 기여했습니다. "주판 책"의 많은 작업이 16-17 세기의 거의 모든 유럽 교과서에 전달되었습니다. 그리고 부분적으로 XVIII.

이차방정식을 풀기 위한 일반 규칙은 단일 정식 형식으로 축소되었습니다.

x 2+ bx = 함께,

계수 부호의 모든 가능한 조합에 대해 비 , 와 함께 M. Stiefel이 1544년에야 유럽에서 공식화했습니다.

Vieta는 2차 방정식을 풀기 위한 공식의 일반적인 유도를 가지고 있지만 Vieta는 양의 근만 인식했습니다. 이탈리아 수학자 Tartaglia, Cardano, Bombelli는 16세기 최초의 수학자였습니다. 긍정적이고 부정적인 뿌리 외에도 고려하십시오. XVII 세기에만. Girard, Descartes, Newton 및 기타 과학자들의 작업 덕분에 2차 방정식을 푸는 방법이 현대적으로 보입니다.

1.6 비에타 정리에 대하여

이차방정식의 계수와 그 근 사이의 관계를 표현하는 비에타(Vieta)라는 이름의 정리는 1591년에 처음으로 다음과 같이 공식화되었습니다. 비 + 디곱하기 ㅏ - ㅏ 2 , 같음 BD, 그 다음에 ㅏ같음 에그리고 평등 디 ».

Vieta를 이해하려면 다음을 기억해야 합니다. 하지만, 다른 모음과 마찬가지로 그에게 알려지지 않은 것을 의미했습니다 (우리의 엑스), 모음 에, 디- 미지의 계수. 현대 대수학의 언어에서 위의 Vieta 공식은 다음을 의미합니다.

(+ 비 )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + 비 )x + 에이 비 = 0,

엑스 1 = , 엑스 2 = 비 .

방정식의 근과 계수 사이의 관계를 기호를 사용하여 작성된 일반 공식으로 표현함으로써 Viet는 방정식을 푸는 방법의 균일성을 확립했습니다. 그러나 비에타의 상징성은 아직 멀었다. 현대적인 모습. 그는 음수를 인식하지 못했기 때문에 방정식을 풀 때 모든 근이 양수인 경우만 고려했습니다.

2. 이차 방정식을 푸는 방법

이차방정식은 장엄한 대수학의 기반이 되는 토대입니다. 이차방정식 찾기 넓은 적용삼각법, 지수, 대수, 비이성 및 초월 방정식과 부등식을 풀 때. 우리 모두는 다음과 같이 이차방정식을 푸는 방법을 알고 있습니다. 학교 벤치(8 학년), 졸업하기 전에.

방정식의 사용은 우리 삶에 널리 퍼져 있습니다. 그들은 많은 계산, 구조물 건설 및 스포츠에도 사용됩니다. 방정식은 고대부터 인간에 의해 사용되었으며 그 이후로 그 사용은 증가했습니다. 판별식을 사용하면 다음 형식의 일반 공식을 사용하여 모든 이차 방정식을 풀 수 있습니다.

판별 공식은 다항식의 차수에 따라 다릅니다. 위 공식은 다음 형식의 이차 방정식을 푸는 데 적합합니다.

판별식에는 알아야 할 다음 속성이 있습니다.

* "D"는 다항식이 여러 개의 근(동일한 근)을 가질 때 0입니다.

* "D"는 다항식의 근에 대한 대칭 다항식이므로 계수에서 다항식입니다. 더욱이, 이 다항식의 계수는 근이 취해지는 확장에 관계없이 정수입니다.

다음 형식의 이차방정식이 주어졌다고 가정합니다.

1 방정식

공식에 따르면 다음이 있습니다.

\이므로 방정식에는 2개의 근이 있습니다. 그것들을 정의해 봅시다:

판별 온라인 솔버를 통해 방정식을 어디에서 풀 수 있습니까?

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이차 방정식 - 쉽게 풀 수 있습니다! *텍스트 "KU"에 추가.친구 여러분, 수학에서는 그러한 방정식을 푸는 것보다 쉬울 수 있습니다. 그러나 많은 사람들이 그에게 문제가 있다고 말했습니다. 나는 Yandex가 한 달에 요청당 얼마나 많은 노출수를 제공하는지 확인하기로 결정했습니다. 무슨 일이 있었는지 살펴보십시오.

무슨 뜻인가요? 이것은 한 달에 약 70,000명의 사람들이 이 정보를 찾고 있다는 것을 의미하며, 지금은 여름이고 학년도 동안 일어날 일 - 두 배 많은 요청이 있을 것입니다. 오랫동안 학교를 졸업하고 시험을 준비하는 남녀들이이 정보를 찾고 있고 학생들도 기억을 되살리기 위해 노력하고 있기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

이 방정식을 푸는 방법을 알려주는 사이트가 많다는 사실에도 불구하고 나는 자료를 제공하고 게시하기로 결정했습니다. 첫째, 방문자가 이 요청에 따라 내 사이트를 방문하기를 바랍니다. 둘째, 다른 기사에서 "KU"라는 연설이 나오면 이 기사에 대한 링크를 제공합니다. 셋째, 다른 사이트에서 일반적으로 언급되는 것보다 그의 솔루션에 대해 조금 더 알려 드리겠습니다. 시작하자!기사 내용:

이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기서 계수 a,비a≠0인 임의의 숫자로.

학교 과정에서 자료는 다음 형식으로 제공됩니다. 방정식을 세 클래스로 나누는 것은 조건부로 수행됩니다.

1. 두 개의 뿌리가 있습니다.

2. * 루트가 하나만 있습니다.

3. 뿌리가 없다. 그들이 진정한 뿌리를 가지고 있지 않다는 것은 여기서 주목할 가치가 있습니다.

근은 어떻게 계산됩니까? 단지!

판별식을 계산합니다. 이 "끔찍한" 단어 아래에는 매우 간단한 공식이 있습니다.

루트 공식은 다음과 같습니다.

*이 공식은 마음으로 알고 있어야 합니다.

즉시 기록하고 해결할 수 있습니다.

예시:

1. D > 0이면 방정식에 두 개의 근이 있습니다.

2. D = 0이면 방정식에 하나의 근이 있습니다.

3. D인 경우< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

방정식을 살펴보겠습니다.

에 의해 이번 기회에, 판별식이 0일 때 학교 과정에서는 하나의 근을 얻었다고 말하며 여기서는 9와 같습니다. 그렇긴 한데...

이 표현은 다소 정확하지 않습니다. 사실 두 개의 뿌리가 있습니다. 예, 예, 놀라지 마십시오. 두 개의 동일한 근이 밝혀지고 수학적으로 정확하려면 답에 두 개의 근을 작성해야 합니다.

엑스 1 = 3 엑스 2 = 3

그러나 이것은 작은 여담입니다. 학교에서는 루트가 하나뿐이라고 적어서 말할 수 있습니다.

이제 다음 예:

우리가 알고 있듯이 음수의 근은 추출되지 않으므로 이 경우아니요.

그것이 전체 결정 과정입니다.

이차 함수.

솔루션이 기하학적으로 보이는 방식은 다음과 같습니다. 이것은 이해하는 것이 매우 중요합니다(앞으로 기사 중 하나에서 2차 부등식의 솔루션을 자세히 분석할 것입니다).

이것은 다음 형식의 함수입니다.

여기서 x와 y는 변수입니다.

a, b, c는 숫자가 주어집니다. 여기서 a ≠ 0

그래프는 포물선입니다.

즉, "y"가 0인 이차 방정식을 풀면 포물선과 x축의 교차점을 찾을 수 있습니다. 이러한 점이 두 개(판별자가 양수임), 하나(판별자가 0임) 또는 없음(판별자가 음수임)이 있을 수 있습니다. 에 대한 세부 정보 이차 함수 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman의 기사.

예를 고려하십시오.

예 1: 결정 2배 2 +8 엑스–192=0

a=2 b=8 c= -192

디 = 비 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

답: x 1 = 8 x 2 = -12

* 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 즉시 2로 나눌 수 있습니다. 즉, 단순화할 수 있습니다. 계산이 더 쉬울 것입니다.

예 2: 결정하다 x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

우리는 x 1 \u003d 11과 x 2 \u003d 11을 얻었습니다.

대답에서 x = 11이라고 쓰는 것이 허용됩니다.

답: x = 11

예 3: 결정하다 x 2 -8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

판별식은 음수이고 실수에는 해가 없습니다.

답변: 해결책 없음

판별식은 음수입니다. 해결책이 있습니다!

여기서 우리는 음의 판별식이 얻어지는 경우 방정식을 푸는 것에 대해 이야기할 것입니다. 복소수에 대해 아는 것이 있습니까? 나는 그들이 왜, 어디에서 발생했는지, 그리고 수학에서 그들의 특정한 역할과 필요성이 무엇인지에 대해 여기서 자세히 설명하지 않을 것입니다. 이것은 별도의 큰 기사에 대한 주제입니다.

복소수의 개념.

약간의 이론.

복소수 z는 다음 형식의 숫자입니다.

지 = a + 바이

여기서 a와 b는 실수이고 i는 소위 허수 단위입니다.

a+bi 추가가 아닌 단일 숫자입니다.

허수 단위는 마이너스 1의 근과 같습니다.

이제 방정식을 고려하십시오.

두 개의 켤레근을 구합니다.

불완전한 이차 방정식.

계수 "b" 또는 "c"가 0인 경우(또는 둘 다 0인 경우)와 같은 특수한 경우를 고려하십시오. 판별식 없이 쉽게 풀 수 있습니다.

사례 1. 계수 b = 0.

방정식은 다음 형식을 취합니다.

변환하자:

예시:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

사례 2. 계수 c = 0.

방정식은 다음 형식을 취합니다.

변환, 인수분해:

*요인 중 적어도 하나가 0과 같을 때 곱은 0입니다.

예시:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 또는 x–5 =0

엑스 1 = 0 엑스 2 = 5

사례 3. 계수 b = 0 및 c = 0.

여기서 방정식의 해는 항상 x = 0이라는 것이 분명합니다.

계수의 유용한 속성 및 패턴.

계수가 큰 방정식을 풀 수 있는 속성이 있습니다.

ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ + 비+ c = 0,그 다음에

— 방정식의 계수인 경우 ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ+ 와 =비, 그 다음에

이러한 속성은 특정 종류방정식.

예 1: 5001 엑스 2 –4995 엑스 – 6=0

계수의 합은 5001+( – 4995)+(– 6) = 0이므로

예 2: 2501 엑스 2 +2507 엑스+6=0

평등 ㅏ+ 와 =비, 수단

계수의 규칙성.

1. 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 수치 적으로 계수 "a"와 같으면 그 근은

도끼 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

예시. 방정식 6x 2 +37x+6 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. 방정식 ax 2-bx + c \u003d 0에서 계수 "b"는 (a 2 +1)이고 계수 "c"는 수치 적으로 계수 "a"와 같으면 그 근은

도끼 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 15x 2 –226x +15 = 0을 고려하십시오.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. 방정식에서 ax 2 + bx - c = 0 계수 "b" 같다 (a 2 – 1) 및 계수 "c" 계수 "a"와 수치적으로 동일, 그러면 그 뿌리는 같습니다

도끼 2 + (a 2 -1) ∙ x-a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d-a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 17x 2 + 288x - 17 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d-17 x 2 \u003d 1/17.

4. 방정식 ax 2 - bx - c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 - 1)이고 계수 c가 계수 "a"와 숫자로 같으면 그 근은

도끼 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

예시. 방정식 10x2 - 99x -10 = 0을 고려하십시오.

엑스 1 \u003d 10 엑스 2 \u003d-1/10

비에타의 정리.

Vieta의 정리는 유명한 프랑스 수학자 Francois Vieta의 이름을 따서 명명되었습니다. Vieta의 정리를 사용하여 임의의 KU 근의 합과 곱을 계수로 표현할 수 있습니다.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

요약하면 숫자 14는 5와 9만 제공합니다. 이것이 근입니다. 특정 기술을 사용하면 제시된 정리를 사용하여 즉시 구두로 많은 이차 방정식을 풀 수 있습니다.

게다가 비에타의 정리. (판별자를 통해) 일반적인 방법으로 이차 방정식을 풀면 결과 근을 확인할 수 있기 때문에 편리합니다. 나는 이것을 항상하는 것이 좋습니다.

송금 방법

이 방법을 사용하면 계수 "a"에 "이전"된 것처럼 자유 항이 곱해지기 때문에 호출됩니다. 전송 방법.이 방법은 Vieta의 정리를 사용하여 방정식의 근을 쉽게 찾을 수 있고 가장 중요한 것은 판별식이 정확한 제곱일 때 사용됩니다.

만약 ㅏ± b+c≠ 0이면 전송 기술이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

2엑스 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => 엑스 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

방정식 (2)의 Vieta 정리에 따르면 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1임을 쉽게 결정할 수 있습니다.

방정식의 얻은 근은 2로 나누어야 합니다(두 개는 x 2에서 "던져졌기" 때문에).

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

근거는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나고 있는지보십시오.

방정식 (1)과 (2)의 판별식은 다음과 같습니다.

방정식의 근을 보면 다른 분모만 얻어지고 결과는 x 2의 계수에 따라 정확하게 달라집니다.

두 번째(수정된) 근은 2배 더 큽니다.

따라서 결과를 2로 나눕니다.

*같은 종류의 세 개를 굴리면 결과를 3으로 나누는 식입니다.

답: x 1 = 5 x 2 = 0.5

제곱 ur-ie와 시험.

나는 그것의 중요성에 대해 간단히 말할 것입니다 - 당신은 신속하게 결정할 수 있어야 하고 생각하지 않고 근의 공식과 판별식을 마음으로 알아야 합니다. USE 작업의 일부인 많은 작업은 2차 방정식(기하학적 방정식 포함)을 푸는 것으로 귀결됩니다.

주목할 가치가 있는 것!

1. 방정식의 형식은 "암시적"일 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 입력할 수 있습니다.

15+ 9x 2 - 45x = 0 또는 15x+42+9x 2 - 45x=0 또는 15 -5x+10x 2 = 0.

표준 형식으로 가져와야 합니다(해결할 때 혼동하지 않도록).

2. x는 알 수 없는 값이며 t, q, p, h 등 다른 문자로 표시될 수 있음을 기억하십시오.