이 수학 프로그램을 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 이차방정식을 풀다.

이 프로그램은 문제에 대한 답을 제공할 뿐만 아니라 두 가지 방법으로 해결 프로세스를 표시합니다.
- 판별식 사용
- Vieta 정리를 사용합니다(가능한 경우).

또한 답은 대략적이지 않고 정확하게 표시됩니다.
예를 들어 방정식 \(81x^2-16x-1=0\)의 경우 답은 다음 형식으로 표시됩니다.

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) 다음 대신 $$: \(x_1 = 0.247; \ 쿼드 x_2 = -0.05 \)

이 프로그램은 고등학생에게 유용할 수 있습니다. 일반 교육 학교준비 중 제어 작업및 시험, 시험 전에 지식을 테스트할 때 부모는 수학 및 대수학의 많은 문제의 솔루션을 제어합니다. 아니면 튜터를 고용하거나 새 교과서를 구입하기에는 너무 비쌀까요? 아니면 가능한 한 빨리 끝내고 싶습니까? 숙제수학 또는 대수학? 이 경우 자세한 솔루션과 함께 프로그램을 사용할 수도 있습니다.

이러한 방식으로 자신의 훈련 및/또는 동생의 훈련을 수행할 수 있으며 해결해야 할 과제 분야의 교육 수준이 높아집니다.

제곱 다항식을 입력하는 규칙에 익숙하지 않은 경우 해당 규칙을 숙지하는 것이 좋습니다.

제곱 다항식 입력 규칙

모든 라틴 문자는 변수 역할을 할 수 있습니다.
예: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) 등

숫자는 정수 또는 분수로 입력할 수 있습니다.
또한, 분수는 소수의 형태뿐만 아니라 일반 분수의 형태로도 입력할 수 있습니다.

소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수 부분에서 정수의 소수 부분은 점이나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예를 들어 다음과 같이 입력할 수 있습니다. 소수그래서: 2.5x - 3.5x^2

일반 분수 입력 규칙.
정수만 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.

분모는 음수가 될 수 없습니다.

분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
전체 부분앰퍼샌드로 분수와 구분: &
입력: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
결과: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

표현식을 입력할 때 괄호를 사용할 수 있습니다. 이 경우 이차방정식을 풀 때 도입한 식을 먼저 단순화한다.
예: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

결정하다

이 작업을 해결하는 데 필요한 일부 스크립트가 로드되지 않았으며 프로그램이 작동하지 않을 수 있습니다.
AdBlock을 활성화했을 수 있습니다.
이 경우 비활성화하고 페이지를 새로 고칩니다.

브라우저에서 JavaScript를 비활성화했습니다.
솔루션을 표시하려면 JavaScript를 활성화해야 합니다.
다음은 브라우저에서 JavaScript를 활성화하는 방법에 대한 지침입니다.

왜냐하면 문제를 해결하려는 많은 사람들이 있습니다. 귀하의 요청이 대기 중입니다.
몇 초 후 솔루션이 아래에 나타납니다.
기다려주세요 비서...

만약 너라면 솔루션에서 오류를 발견했습니다., 그런 다음 피드백 양식에 그것에 대해 쓸 수 있습니다.
잊지 마요 어떤 작업을 표시당신은 무엇을 결정 필드에 입력.

당사의 게임, 퍼즐, 에뮬레이터:

약간의 이론.

이차방정식과 그 근. 불완전한 이차 방정식

각 방정식
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
형태를 갖는다
\(ax^2+bx+c=0, \)
여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 숫자입니다.
첫 번째 방정식에서 a = -1, b = 6 및 c = 1.4, 두 번째 방정식에서 a = 8, b = -7 및 c = 0, 세 번째 방정식에서 a = 1, b = 0 및 c = 4/9입니다. 이러한 방정식을 이차방정식.

정의.
이차 방정식 ax 2 +bx+c=0 형식의 방정식이 호출됩니다. 여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 일부 숫자이고 \(a \neq 0 \)입니다.

숫자 a, b 및 c는 이차 방정식의 계수입니다. 숫자 a는 첫 번째 계수, 숫자 b는 두 번째 계수, 숫자 c는 절편입니다.

형식 ax 2 +bx+c=0(여기서 \(a \neq 0 \))의 각 방정식에서 변수 x의 최대 거듭제곱은 제곱입니다. 따라서 이름: 이차 방정식.

이차방정식은 좌변이 2차 다항식이므로 2차방정식이라고도 합니다.

x 2에서의 계수가 1인 이차방정식을 감소된 이차 방정식. 예를 들어, 주어진 이차 방정식은 다음 방정식입니다.
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

이차 방정식에서 ax 2 +bx+c=0 계수 b 또는 c 중 적어도 하나가 0이면 이러한 방정식을 호출합니다. 불완전한 이차 방정식. 따라서 방정식 -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0은 불완전한 이차 방정식입니다. 첫 번째는 b=0, 두 번째는 c=0, 세 번째는 b=0, c=0입니다.

불완전한 이차 방정식은 세 가지 유형이 있습니다.
1) ax 2 +c=0, 여기서 \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, 여기서 \(b \neq 0 \);
3) x2=0.

이러한 각 유형의 방정식 솔루션을 고려하십시오.

\(c \neq 0 \)에 대해 ax 2 +c=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 자유항을 오른쪽으로 옮기고 방정식의 두 부분을 모두 a로 나눕니다.
\(x^2 = -\frac(c)(a) \오른쪽 화살표 x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \)이므로 \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0 \)이면 방정식에 두 개의 근이 있습니다.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \)에 대해 형식 ax 2 +bx=0의 불완전한 이차 방정식을 풀려면 좌변을 인수분해하여 다음 방정식을 얻습니다.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (배열)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

따라서 \(b \neq 0 \)에 대해 ax 2 +bx=0 형식의 불완전한 이차 방정식은 항상 두 개의 근을 가집니다.

ax 2 \u003d 0 형식의 불완전한 이차 방정식은 방정식 x 2 \u003d 0과 동일하므로 단일 루트 0을 갖습니다.

이차 방정식의 근에 대한 공식

이제 미지수와 자유 항의 계수가 모두 0이 아닌 2차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

우리는 일반적인 형태로 이차방정식을 풀고 그 결과 근의 공식을 얻습니다. 그런 다음 이 공식을 적용하여 모든 이차 방정식을 풀 수 있습니다.

이차방정식 풀기 ax 2 +bx+c=0

두 부분을 a로 나누면 등가 축소 이차 방정식을 얻습니다.
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

이항식의 제곱을 강조 표시하여 이 방정식을 변환합니다.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \오른쪽 화살표 \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \오른쪽 화살표 \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \오른쪽 화살표 x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \오른쪽 화살표 \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

루트 표현은 이차 방정식의 판별식 ax 2 +bx+c=0 (라틴어로 "판별" - 구분자). 문자 D로 표시됩니다.
\(D = b^2-4ac\)

이제 판별식 표기법을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 다시 작성합니다.
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), 여기서 \(D= b^2-4ac \)

그것은 명백하다:
1) D>0이면 이차 방정식은 두 개의 근을 가집니다.
2) D=0이면 이차방정식은 하나의 근 \(x=-\frac(b)(2a)\)을 가집니다.
3) D이면 판별식의 값에 따라 이차방정식은 두 개의 근(D > 0의 경우), 하나의 근(D = 0의 경우) 또는 근이 없을 수 있습니다(D의 경우 이 공식을 사용하여 이차 방정식을 풀 때 , 다음과 같은 방법을 수행하는 것이 좋습니다.
1) 판별식을 계산하고 0과 비교합니다.
2) 판별식이 양수이거나 0이면 근 공식을 사용하고 판별식이 음수이면 근이 없다고 기록하십시오.

비에타의 정리

주어진 이차 방정식 ax 2 -7x+10=0은 근 2와 5를 가집니다. 근의 합은 7이고 곱은 10입니다. 근의 합은 두 번째 계수와 같습니다. 부호가 반대이고 근의 곱은 자유 항과 같습니다. 근이 있는 축소된 이차 방정식은 이 속성을 가집니다.

주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.

저것들. Vieta의 정리는 축소된 이차 방정식 x 2 +px+q=0의 근 x 1 및 x 2가 다음 속성을 갖는다고 말합니다.
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

수학의 일부 문제는 제곱근 값을 계산하는 능력이 필요합니다. 이러한 문제에는 2차 방정식을 푸는 것이 포함됩니다. 이 글에서 소개하는 효과적인 방법제곱근을 계산하고 이차 방정식의 근 공식으로 작업할 때 사용합니다.

제곱근이란 무엇입니까?

수학에서 이 개념은 기호 √에 해당합니다. 역사적 자료에 따르면 독일에서 16세기 전반경에 처음으로 사용되기 시작했다고 합니다(Christoph Rudolf가 대수학에 대한 독일 최초의 작업). 과학자들은 이 기호가 변형된 라틴 문자 r(radix는 라틴어로 "뿌리"를 의미함)라고 믿습니다.

모든 숫자의 근은 그러한 값과 같으며 그 제곱은 근 표현에 해당합니다. 수학 언어에서 이 정의는 다음과 같습니다. √x = y if y 2 = x.

양수(x>0)의 근도 양수(y>0)이지만 음수(x)의 근을 취하면< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

다음은 두 가지 간단한 예입니다.

√9 = 3 왜냐하면 3 2 = 9; √(-9) = 3i, 왜냐하면 i 2 = -1이기 때문입니다.

제곱근 값을 찾기 위한 헤론의 반복 공식

위의 예는 매우 간단하며 근을 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 예를 들어 √10, √11, √12, √13과 같이 자연수의 제곱으로 나타낼 수 없는 값에 대한 루트 값을 찾을 때 어려움이 이미 나타나기 시작합니다. 정수가 아닌 숫자의 근을 찾는 데 필요합니다: 예를 들어 √(12.15), √(8.5) 등.

위의 모든 경우에 신청하십시오. 특별한 방법제곱근을 계산합니다. 현재 몇 가지 이러한 방법이 알려져 있습니다. 예를 들어 Taylor 시리즈의 확장, 열로 나누기 등이 있습니다. 알려진 모든 방법 중에서 아마도 가장 간단하고 효과적인 방법은 제곱근을 결정하는 바빌로니아 방법으로도 알려진 헤론의 반복 공식을 사용하는 것입니다(고대 바빌로니아 사람들이 실제 계산에 사용했다는 증거가 있습니다).

√x의 값을 결정하는 것이 필요하다고 하자. 제곱근을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

n+1 = 1/2(an +x/an), 여기서 lim n->∞(an) => x입니다.

이 수학적 표기법을 해독해 봅시다. √x를 계산하려면 어떤 숫자 a 0을 취해야 합니다(임의적일 수 있지만 결과를 빨리 얻으려면 (a 0) 2가 가능한 한 x에 가깝도록 선택해야 합니다. 그런 다음 제곱근을 계산하고 새로운 숫자를 얻기 위한 표시된 공식 1, 이미 원하는 값에 더 가까울 것입니다. 그 후에 1을 표현식으로 대체하고 2를 얻어야 합니다. 이 절차는 때까지 반복되어야 합니다. 필요한 정확도가 얻어집니다.

헤론의 반복 공식을 적용한 예

많은 사람들에게 주어진 숫자의 제곱근을 구하는 알고리즘은 다소 복잡하고 혼란스럽게 들릴 수 있지만 실제로는 이 공식이 매우 빠르게 수렴되기 때문에 모든 것이 훨씬 간단합니다(특히 좋은 숫자 0이 선택된 경우).

간단한 예를 들어 보겠습니다. √11을 계산해야 합니다. 3 2 \u003d 9이므로 4 2 \u003d 16보다 11에 더 가깝기 때문에 0 \u003d 3을 선택합니다. 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.

1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

2와 3은 소수점 이하 5번째 자리에서만 달라지기 시작하므로 계산을 계속할 필요가 없습니다. 따라서 0.0001의 정확도로 √11을 계산하기 위해 공식을 2번만 적용하면 충분했습니다.

현재 계산기와 컴퓨터는 근을 계산하는 데 널리 사용되지만 정확한 값을 수동으로 계산할 수 있도록 표시된 공식을 기억하는 것이 유용합니다.

2차 방정식

제곱근이 무엇인지 이해하고 이를 계산하는 능력은 이차 방정식을 풀 때 사용됩니다. 이 방정식은 미지수가 하나인 등식입니다. 일반적인 형태아래 그림에 나와 있습니다.

여기서 c, b 및 a는 숫자이며 a는 0이 아니어야 하며 c 및 b의 값은 0과 같은 것을 포함하여 완전히 임의적일 수 있습니다.

그림에 표시된 평등을 만족하는 x 값을 근이라고합니다 (이 개념은 제곱근 √와 혼동해서는 안됩니다). 고려 중인 방정식에는 2차(x 2)가 있으므로 두 숫자보다 더 많은 근이 있을 수 없습니다. 이 뿌리를 찾는 방법은 기사의 뒷부분에서 고려할 것입니다.

이차방정식(공식)의 근 구하기

고려중인 평등 유형을 해결하는이 방법은 보편적 또는 판별을 통한 방법이라고도합니다. 모든 이차 방정식에 적용할 수 있습니다. 이차방정식의 판별식과 근의 공식은 다음과 같습니다.

그것으로부터 근이 방정식의 세 계수 각각의 값에 의존한다는 것을 알 수 있습니다. 또한 x 1의 계산은 x 2의 계산과 제곱근 앞의 부호만 다릅니다. b 2 - 4ac와 같은 급진적 표현은 고려된 평등의 판별식에 지나지 않습니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식의 판별식은 솔루션의 수와 유형을 결정하기 때문에 중요한 역할을 합니다. 따라서 0이면 해가 하나만 있고 양수이면 방정식에 두 개의 실근이 있고 마지막으로 음의 판별식은 두 개의 복소수 근 x 1 및 x 2로 이어집니다.

Vieta의 정리 또는 2차 방정식 근의 일부 속성

16세기 말, 현대 대수학의 창시자 중 한 명인 프랑스인이 2차 방정식을 연구하면서 근의 속성을 얻을 수 있었습니다. 수학적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

x 1 + x 2 = -b / a 및 x 1 * x 2 = c / a.

두 등식은 누구나 쉽게 구할 수 있는데, 이를 위해서는 판별식이 있는 공식을 통해 구한 근으로 적절한 수학적 연산을 수행하면 됩니다.

이 두 식의 조합은 판별식을 사용하지 않고 해를 추측할 수 있게 해주는 이차 방정식의 근의 두 번째 공식이라고 할 수 있습니다. 여기에서 두 식 모두 항상 유효하지만 인수 분해할 수 있는 경우에만 방정식을 푸는 데 사용하는 것이 편리하다는 점에 유의해야 합니다.

습득한 지식을 통합하는 작업

기사에서 논의한 모든 기술을 시연하는 수학적 문제를 해결할 것입니다. 문제의 조건은 다음과 같습니다. 제품이 -13이고 합계가 4인 두 개의 숫자를 찾아야 합니다.

이 조건은 제곱근과 그 곱의 합에 대한 공식을 사용하여 Vieta의 정리를 즉시 상기시킵니다.

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

a = 1이라고 가정하면 b = -4이고 c = -13입니다. 이러한 계수를 통해 2차 방정식을 작성할 수 있습니다.

x 2 - 4x - 13 = 0.

판별식과 함께 공식을 사용하면 다음과 같은 근을 얻습니다.

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

즉, 작업은 숫자 √68을 찾는 것으로 축소되었습니다. 68 = 4 * 17이라는 점에 유의하십시오. 그런 다음 제곱근 속성을 사용하여 √68 = 2√17을 얻습니다.

이제 고려되는 제곱근 공식 인 a 0 \u003d 4를 사용합니다.

1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

찾은 값이 0.02만 다르기 때문에 3을 계산할 필요가 없습니다. 따라서 √68 = 8.246입니다. 이를 x 1,2에 대한 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 및 x 2 \u003d (4-8.246) / 2 \u003d -2.123.

보시다시피 찾은 숫자의 합은 실제로 4와 같지만 곱을 찾으면 정확도가 0.001인 문제의 조건을 만족하는 -12.999가 됩니다.

이 주제는 그다지 간단하지 않은 많은 수식으로 인해 처음에는 복잡해 보일 수 있습니다. 이차방정식 자체에 긴 항목이 있을 뿐만 아니라 판별식을 통해 근도 찾을 수 있습니다. 총 3개의 새로운 공식이 있습니다. 기억하기 쉽지 않습니다. 이것은 그러한 방정식의 빈번한 해결 후에만 가능합니다. 그러면 모든 수식이 저절로 기억됩니다.

이차 방정식의 일반 보기

여기서 가장 큰 정도가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여질 때 명시적인 표기법이 제안됩니다. 종종 용어가 분리되는 상황이 있습니다. 그런 다음 변수의 차수가 내림차순으로 방정식을 다시 작성하는 것이 좋습니다.

표기법을 소개합니다. 아래 표에 나와 있습니다.

이러한 표기법을 수락하면 모든 이차 방정식이 다음 표기법으로 축소됩니다.

또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 1로 표시하십시오.

방정식이 주어지면 답에 몇 개의 근이 있는지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문입니다.

• 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
• 대답은 하나의 숫자입니다.
• 방정식에는 근이 전혀 없습니다.

그리고 결정이 끝나지는 않았지만 특정 경우에 어떤 옵션이 떨어질지 이해하기 어렵습니다.

이차 방정식의 기록 유형

작업에는 다른 항목이 있을 수 있습니다. 항상 이차 방정식의 일반 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 부족합니다. 위에 쓰여진 것은 완전한 방정식입니다. 두 번째 또는 세 번째 항을 제거하면 다른 것을 얻습니다. 이러한 레코드는 2차 방정식이라고도 하며 불완전할 뿐입니다.

또한 계수 "b" 및 "c"가 사라질 수 있는 항만 있습니다. 숫자 "a"는 어떤 상황에서도 0과 같을 수 없습니다. 이 경우 수식이 선형 방정식으로 바뀌기 때문입니다. 방정식의 불완전한 형태에 대한 공식은 다음과 같습니다.

따라서 완전한 것 외에도 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 수식을 숫자 2로 하고 두 번째 수식을 3으로 합니다.

판별식과 그 값에 대한 뿌리 수의 의존성

방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 관계없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 합니다. 그러면 숫자 4가 됩니다.

계수의 값을 이 공식에 대입하면 다음과 같이 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 징후. 답이 '예'이면 방정식의 답은 두 개의 서로 다른 근이 됩니다. 음수를 사용하면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0과 같으면 답은 1이 됩니다.

완전한 이차방정식은 어떻게 풀까요?

사실, 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있고 그 수를 알고 있으면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 근이 두 개인 경우 이러한 공식을 적용해야 합니다.

"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 식은 판별식입니다. 따라서 수식을 다른 방식으로 다시 작성할 수 있습니다.

포뮬러 5. 동일한 레코드에서 판별식이 0이면 두 근이 동일한 값을 취하는 것을 볼 수 있습니다.

이차 방정식의 해가 아직 해결되지 않은 경우 판별 및 변수 공식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에 이 순간은 어려움을 일으키지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.

불완전한 이차방정식은 어떻게 풀까?

여기서 모든 것이 훨씬 간단합니다. 추가 공식이 필요하지 않습니다. 판별식과 미지식에 대해 이미 작성된 항목은 필요하지 않습니다.

먼저 불완전한 방정식 2를 고려하십시오. 이 등식에서는 괄호에서 알 수 없는 값을 꺼내고 괄호 안에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 대답에는 두 개의 뿌리가 있습니다. 변수 자체로 구성된 요인이 있기 때문에 첫 번째는 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻습니다.

세 번째의 불완전한 방정식은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 옮기면 해결됩니다. 그런 다음 미지수 앞의 계수로 나누어야 합니다. 제곱근을 추출하는 것만 남아 있으며 반대 기호로 두 번 적어 두는 것을 잊지 마십시오.

다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 등식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 그들은 학생이 부주의로 인한 실수를 피하도록 도울 것입니다. 이러한 단점은 광범위한 주제인 "Quadric Equations (Grade 8)"을 공부할 때 낮은 성적을 받는 원인입니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 습관이 생기기 때문입니다.

• 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 먼저 변수의 차수가 가장 큰 항, 차수가 없는 항, 마지막 항은 그냥 숫자입니다.

• 계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 초보자가 이차 방정식을 공부하는 작업이 복잡해질 수 있습니다. 그것을 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해 모든 동등성에 "-1"을 곱해야 합니다. 이것은 모든 용어가 반대 부호로 변경됨을 의미합니다.

• 같은 방식으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하기만 하면 됩니다.

예

다음 이차 방정식을 푸는 데 필요합니다.

x 2-7x \u003d 0;

15-2x-x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

첫 번째 방정식 : x 2 - 7x \u003d 0. 불완전하므로 공식 2 번에 설명 된대로 해결됩니다.

브라케팅 후 x (x-7) \u003d 0으로 밝혀졌습니다.

첫 번째 근은 x 1 = 0 값을 취합니다. 두 번째 근은 다음에서 찾을 수 있습니다. 일차 방정식: x - 7 = 0. x 2 = 7임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 등식: 5x2 + 30 = 0. 역시 불완전합니다. 세 번째 공식에 설명된 대로 해결됩니다.

방정식의 오른쪽으로 30을 옮긴 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 x 2 = 6입니다. 대답은 x 1 = √6, x 2 = - √입니다. 6.

세 번째 방정식 : 15 - 2x - x 2 \u003d 0. 여기와 아래에서 이차 방정식의 솔루션은 표준 형식으로 다시 작성하여 시작됩니다. - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. 이제 두 번째 방정식을 사용할 때입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. x 2 + 2x-15 \u003d 0으로 밝혀졌습니다. 네 번째 공식에 따르면 판별식을 계산해야 합니다. 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 근이 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식에 따라 계산해야 합니다. 그것에 따르면 x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2로 밝혀졌습니다. 그러면 x 1 \u003d 3, x 2 \u003d -5입니다.

네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x \u003d 0은 다음과 같이 변환됩니다. x 2 + 3x + 8 \u003d 0. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 답은 "루트가 없습니다."입니다.

다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성해야 합니다. x 2 + 12x + 36 = 0. 판별 공식을 적용한 후 숫자 0을 얻습니다. 이것은 하나의 루트, 즉 x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6을 갖게됨을 의미합니다.

여섯 번째 방정식 (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)는 괄호를 열기 전에 유사한 용어를 가져와야 한다는 사실로 구성된 변환이 필요합니다. 첫 번째 대신에 x 2 + 2x + 1과 같은 표현이 있을 것입니다. 등식 후에 x 2 + 3x + 2 항목이 나타납니다. 유사한 용어를 계산한 후 방정식은 x 2 형식을 취합니다. -x \u003d 0. 불완전해졌습니다. 그것과 유사하게 이미 조금 더 높은 것으로 간주되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.

이 기사를 공부한 후 완전한 이차 방정식의 근을 찾는 방법을 배우기를 바랍니다.

판별식의 도움으로 완전한 2차 방정식만 풀 수 있으며, 불완전한 2차 방정식을 풀기 위해 "불완전한 2차 방정식 풀기" 문서에서 찾을 수 있는 다른 방법이 사용됩니다.

완전한 이차 방정식은 무엇입니까? 그것 형식 ax 2 + b x + c = 0의 방정식, 여기서 계수 a, b 및 c는 0이 아닙니다. 따라서 완전한 이차 방정식을 풀려면 판별식 D를 계산해야 합니다.

D \u003d b 2-4ac.

판별식의 값에 따라 답을 적어보겠습니다.

판별식이 음수인 경우(D< 0),то корней нет.

판별식이 0이면 x \u003d (-b) / 2a입니다. 판별식이 양수일 때(D > 0),

그러면 x 1 = (-b - √D)/2a이고 x 2 = (-b + √D)/2a입니다.

예를 들어. 방정식을 풀다 × 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2-4 4 \u003d 0

x = (-(-4))/2 = 2

답변: 2.

방정식 2 풀기 × 2 + x + 3 = 0.

디 \u003d 1 2-4 2 3 \u003d-23

답: 뿌리가 없다.

방정식 2 풀기 × 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2-4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

답변: - 3.5; 하나.

따라서 그림 1의 체계에 의한 완전한 이차방정식의 해를 상상해 봅시다.

이 공식은 완전한 이차 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다. 당신은 단지 조심해야합니다 방정식은 표준 형식의 다항식으로 작성되었습니다.

ㅏ × 2 + bx + c,그렇지 않으면 실수할 수 있습니다. 예를 들어 방정식 x + 3 + 2x 2 = 0을 작성할 때 다음과 같이 잘못 결정할 수 있습니다.

a = 1, b = 3 및 c = 2. 그런 다음

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1이고 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그리고 이것은 사실이 아닙니다. (위의 예제 2 솔루션 참조).

따라서 방정식이 표준형의 다항식으로 작성되지 않으면 먼저 완전한 이차방정식을 표준형의 다항식으로 작성해야 합니다(우선 지수가 가장 큰 단항식이 있어야 합니다. 즉, ㅏ × 2 , 그런 다음 더 적은 – bx, 자유 기간 와 함께.

위의 이차방정식과 제2항에 짝수계수를 갖는 이차방정식을 풀 때 다른 식도 사용할 수 있다. 이 공식에 대해 알아 봅시다. 두 번째 항이 있는 완전 이차 방정식에서 계수가 짝수(b = 2k)인 경우 그림 2의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다.

완전한 이차방정식은 계수가 × 2 단일성과 같고 방정식은 다음 형식을 취합니다. x 2 + px + q = 0. 이러한 방정식은 해결하기 위해 주어지거나 방정식의 모든 계수를 계수로 나누어 얻을 수 있습니다. ㅏ에 서 × 2 .

그림 3은 감소된 제곱의 솔루션 다이어그램을 보여줍니다.
방정식. 이 기사에서 논의된 공식의 적용 예를 고려하십시오.

예시. 방정식을 풀다

3× 2 + 6x - 6 = 0.

그림 1에 표시된 공식을 사용하여 이 방정식을 풀어 보겠습니다.

D \u003d 6 2-4 3 (-6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

답변: -1 - √3; -1 + √3

이 방정식에서 x의 계수가 우수즉, b \u003d 6 또는 b \u003d 2k, 여기서 k \u003d 3입니다. 그런 다음 그림 D 1 \u003d 3 · 2 - 3 (- 6) \의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 방정식을 풀어 보겠습니다. u003d 9 + 18 \u003d 27

√(디 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

엑스 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

답변: -1 - √3; -1 + √3. 이 이차방정식의 모든 계수는 3으로 나눌 수 있고 나누면 축소된 이차방정식 x 2 + 2x - 2 = 0이 됩니다.
방정식 그림 3.

D 2 \u003d 2 2-4 (-2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

답변: -1 - √3; –1 + √3.

보시다시피 다른 공식을 사용하여 이 방정식을 풀면 같은 답을 얻습니다. 따라서 그림 1의 다이어그램에 표시된 공식을 숙지하면 완전한 이차 방정식을 항상 풀 수 있습니다.

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그것은 ax 2 + in + c \u003d o의 특정 버전으로 알려져 있습니다. 여기서 a, b 및 c는 알 수없는 x에 대한 실제 계수이고 a ≠ o이고 b와 c는 동시에 0입니다. 또는 별도로. 예를 들어, c = o, v ≠ o 또는 그 반대입니다. 우리는 이차 방정식의 정의를 거의 기억했습니다.

2차 삼항식은 0과 같습니다. 첫 번째 계수 a ≠ o, b 및 c는 모든 값을 가질 수 있습니다. 그러면 변수 x의 값은 대체할 때 정확한 수치적 평등으로 바뀔 때입니다. 방정식의 해가 완전할 수도 있지만 실근에 대해 살펴보겠습니다 계수 중 어느 것도 o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o와 같지 않은 방정식을 호출하는 것이 일반적입니다.
예를 들어 해결해 봅시다. 2x2 -9x-5 = 오, 찾았습니다
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D는 양수이므로 근이 있습니다. x 1 = (9+√121): 4 = 5, 두 번째 x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. 확인하면 올바른지 확인하는 데 도움이 됩니다.

다음은 이차 방정식에 대한 단계별 솔루션입니다.

판별식을 통해 왼쪽에 a ≠ o가 있는 알려진 제곱 삼항식이 있는 모든 방정식을 풀 수 있습니다. 우리의 예에서. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

2차 불완전 방정식이 무엇인지 고려하십시오.

1. 도끼 2 + in = o. 자유 항 x 0에서 계수 c는 여기서 ≠ o에서 0입니다.
   이런 종류의 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까? 괄호에서 x를 빼봅시다. 두 요소의 곱이 0일 때를 기억하십시오.
   x(ax+b) = o, 이것은 x = o일 때 또는 ax+b = o일 때일 수 있습니다.
   2차를 풀면 x = -v/a가 됩니다.
   결과적으로 x 2 \u003d -b / a 계산에 따라 루트 x 1 \u003d 0이 있습니다.
2. 이제 x의 계수는 o이지만 c는 o와 같지 않습니다(≠).
   x 2 + c \u003d 오. 우리는 c를 평등의 오른쪽으로 옮기고 x 2 \u003d -c를 얻습니다. 이 방정식은 -c가 양수(c ‹ o)인 경우에만 실근을 갖습니다.
   x 1은 각각 √(-c)와 같고, x 2는 -√(-c)입니다. 그렇지 않으면 방정식에 근이 전혀 없습니다.
3. 마지막 옵션 : b \u003d c \u003d o, 즉 ax 2 \u003d o. 당연히 이러한 간단한 방정식은 하나의 루트 x = o를 갖습니다.

특수한 상황들

우리는 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 고려했으며 이제 어떤 종류의 방정식을 취할 것입니다.

• 완전 이차 방정식에서 x의 두 번째 계수는 짝수입니다.
  k = o,5b라고 하자. 판별식과 근을 계산하는 공식이 있습니다.
  D / 4 \u003d k 2-ac, 근은 D › o에 대해 x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a로 계산됩니다.
  x = -k/a, D = o에서.
  D ‹ o에는 근이 없습니다.
• 감소 된 이차 방정식이 있으며 x 제곱 계수가 1이면 일반적으로 x 2 + px + q \u003d o로 작성됩니다. 위의 모든 공식이 적용되지만 계산은 다소 간단합니다.
  예, x 2 -4x-9 \u003d 0. D: 2 2 +9, D \u003d 13을 계산합니다.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• 또한 주어진 것에도 쉽게 적용할 수 있는데, 방정식의 근의 합은 -p, 두 번째 계수는 마이너스(반대 부호를 의미)가 붙고, 이 같은 근의 곱은 다음과 같다고 합니다. 자유 항인 q와 같습니다. 이 방정식의 근을 구두로 결정하는 것이 얼마나 쉬운지 확인하십시오. 비감소(0이 아닌 모든 계수에 대해)의 경우 이 정리는 다음과 같이 적용됩니다. 합계 x 1 + x 2는 -v / a와 같고 곱 x 1 x 2는 c / a와 같습니다. .

자유 항 c와 첫 번째 계수 a의 합은 계수 b와 같습니다. 이 상황에서 방정식에는 적어도 하나의 근이 있습니다 (증명하기 쉽습니다). 첫 번째는 반드시 -1과 같고 두 번째는 c / a입니다 (존재하는 경우). 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법은 직접 확인할 수 있습니다. 쉬워요. 계수는 그들 사이의 일부 비율일 수 있습니다.

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• 모든 계수의 합은 o입니다.
  이러한 방정식의 근은 1과 c/a입니다. 예, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

2차 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 예를 들어, 주어진 다항식에서 전체 제곱을 추출하는 방법이 있습니다. 몇 가지 그래픽 방법이 있습니다. 이러한 예를 자주 다룰 때 모든 방법이 자동으로 마음에 떠오르기 때문에 씨앗처럼 "클릭"하는 방법을 배우게 됩니다.