이차 함수의 도함수. 이차함수와 그 그래프

가족과 관계 13.10.2019

가족과 관계

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서적

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학교 수학의 가장 중요한 기능 - 이차 - 문제와 솔루션, Petrov N.N. 이차 함수는 학교 수학 과정의 주요 기능입니다. 이것은 놀라운 일이 아닙니다. 한편으로는 이 기능의 단순성과 다른 한편으로는 깊은 의미가 있습니다. 학교의 많은 작업 ...

이차 함수는 다음 형식의 함수입니다.
y=a*(x^2)+b*x+c,
여기서 a는 알려지지 않은 x의 가장 높은 차수의 계수이고,
b - 알려지지 않은 x에서의 계수,
c는 무료 회원입니다.
이차 함수의 그래프는 포물선이라고 하는 곡선입니다. 일반형포물선은 아래 그림에 나와 있습니다.

Fig.1 포물선의 일반적인 모습.

몇 가지가 있습니다 다양한 방법이차 함수를 플로팅합니다. 우리는 그들 중 가장 일반적인 것을 고려할 것입니다.

이차 함수의 그래프를 그리는 알고리즘 y=a(x^2)+bx+c

1. 좌표계를 만들고 단일 세그먼트를 표시하고 좌표축에 레이블을 지정합니다.

2. 포물선 가지의 방향(위 또는 아래)을 결정합니다.
이렇게하려면 계수 a의 부호를 확인해야합니다. 플러스이면 가지가 위쪽을 향하고 마이너스이면 가지가 아래쪽을 향합니다.

3. 포물선 상단의 x 좌표를 결정합니다.
이렇게 하려면 Tops = -b / 2 * a 공식을 사용해야 합니다.

4. 포물선 상단의 좌표를 결정합니다.
이렇게 하려면 Top = a * (x ^ 2) + b * x + c 방정식에서 x 대신 이전 단계에서 찾은 Top의 값을 대체합니다.

5. 결과 점을 그래프에 놓고 좌표축 Oy에 평행하게 대칭축을 그립니다.

6. 그래프와 x축의 교차점을 찾습니다.
이를 위해서는 알려진 방법 중 하나를 사용하여 이차 방정식 a*(x^2)+b*x+c = 0을 풀어야 합니다. 방정식에 실근이 없으면 함수의 그래프는 x축과 교차하지 않습니다.

7. 그래프와 Oy 축의 교점 좌표를 찾습니다.
이를 위해 x = 0 값을 방정식에 대입하고 y 값을 계산합니다. 그래프에서 이것과 대칭인 점을 표시합니다.

8. 임의의 점 A(x, y)의 좌표 찾기
이를 위해 x 좌표의 임의 값을 선택하고 이를 방정식에 대입합니다. 이 시점에서 y의 값을 얻습니다. 그래프에 점을 찍습니다. 또한 점 A(x, y)와 대칭인 그래프의 점을 표시합니다.

9. 그래프에서 얻은 점을 부드러운 선으로 연결하고 극점을 넘어 좌표축 끝까지 그래프를 계속하십시오. 콜아웃에 그래프에 서명하거나 공간이 허락하는 경우 그래프 자체에 서명하십시오.

그래프를 그리는 예

예를 들어 방정식 y=x^2+4*x-1로 주어진 이차 함수를 플로팅해 보겠습니다.
1. 좌표축을 그리고 서명하고 단일 세그먼트를 표시합니다.
2. 계수 값 a=1, b=4, c= -1. 0보다 큰 a \u003d 1이므로 포물선의 가지가 위쪽을 향합니다.
3. 포물선 상단의 X 좌표 Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2를 결정합니다.
4. 포물선 상단의 좌표 결정
상판 = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. 정점을 표시하고 대칭축을 그립니다.
6. 이차 함수 그래프와 Ox 축의 교차점을 찾습니다. 이차 방정식 x^2+4*x-1=0을 풉니다.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. 얻은 값을 그래프에 표시합니다.
7. 그래프와 Oy축의 교점을 찾습니다.
x=0; y=-1
8. 임의의 점 B를 선택합니다. 좌표 x=1을 갖도록 합니다.
그러면 y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4입니다.
9. 받은 포인트를 연결하고 차트에 서명합니다.

그만큼 체계적인 자료는 참조용이며 광범위한 주제를 다룹니다. 이 기사는 주요 기본 기능의 그래프에 대한 개요를 제공하고 다음을 고려합니다. 가장 중요한 질문 – 그래프를 정확하고 빠르게 작성하는 방법. 기본 초등 함수의 그래프에 대한 지식없이 고등 수학을 공부하는 과정에서는 어려울 것이므로 포물선, 쌍곡선, 사인, 코사인 등의 그래프가 어떻게 생겼는지 기억하는 것이 매우 중요합니다. 함수의 값. 주요 기능의 일부 속성에 대해서도 이야기하겠습니다.

나는 자료의 완전성과 과학적 완전성을 가장하지 않으며, 무엇보다도 연습에 중점을 둘 것입니다. 고등 수학의 모든 주제에서 모든 단계에서 문자 그대로 직면해야합니다.. 인형을 위한 차트? 그렇게 말할 수 있습니다.

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그리고 바로 시작합니다.

좌표축을 올바르게 만드는 방법은 무엇입니까?

실제로 테스트는 거의 항상 학생들이 새장에 줄을 댄 별도의 공책에 작성합니다. 체크 무늬 표시가 필요한 이유는 무엇입니까? 결국 작업은 원칙적으로 A4 용지에서 수행 할 수 있습니다. 그리고 도면의 고품질 및 정확한 설계를 위해서만 케이지가 필요합니다.

함수 그래프의 그리기는 좌표축으로 시작합니다..

도면은 2차원과 3차원입니다.

먼저 2차원의 경우를 살펴보자 직교 좌표계:

1) 좌표축을 그립니다. 축이라고 합니다 x축 , 그리고 축 y축 . 우리는 항상 그들을 그리려고 노력합니다 삐뚤어지지 않고 깔끔하다. 화살은 또한 Papa Carlo의 수염과 닮아서는 안됩니다.

2) 우리는 축에 서명합니다 대문자"x"와 "y". 축에 서명하는 것을 잊지 마십시오..

3) 축을 따라 스케일을 설정합니다. 0과 1 두 개 그리기. 그림을 그릴 때 가장 편리하고 일반적인 축척은 1 단위 = 2 셀(왼쪽 그림) - 가능하면 그대로 두는 것입니다. 그러나 때때로 도면이 노트북 시트에 맞지 않는 경우가 있습니다. 그런 다음 크기를 줄입니다. 1 단위 = 1 셀(오른쪽 그림). 드물지만 도면의 축척을 훨씬 더 축소(또는 증가)해야 하는 경우가 발생합니다.

기관총에서 낙서하지 마십시오 ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....좌표 평면은 데카르트의 기념비가 아니며 학생은 비둘기가 아닙니다. 우리는 넣어 영그리고 축을 따라 두 단위. 때때로 대신에예를 들어 가로축에 "2", 세로축에 "3"과 같은 다른 값을 "감지"하는 것이 편리합니다. 이 시스템(0, 2 및 3)도 좌표 그리드를 고유하게 설정합니다.

도면을 그리기 전에 도면의 예상 치수를 추정하는 것이 좋습니다.. 예를 들어 작업에 꼭지점 , , 가 있는 삼각형을 그려야 하는 경우 인기 있는 축척 1 단위 = 2 셀이 작동하지 않을 것이 분명합니다. 왜요? 요점을 살펴 보겠습니다. 여기서 15cm 아래로 측정해야하며 분명히 그림이 노트북 시트에 맞지 않습니다 (또는 거의 맞지 않습니다). 따라서 더 작은 규모인 1 단위 = 1 셀을 즉시 선택합니다.

그건 그렇고, 센티미터와 노트북 셀에 대해. 30개의 노트북 셀에 15센티미터가 있다는 것이 사실입니까? 눈금자로 15cm의 관심을 위해 노트북에서 측정하십시오. 소련에서는 아마도 이것이 사실이었을 것입니다 ... 이 동일한 센티미터를 수평 및 수직으로 측정하면 (셀에서) 결과가 다를 것이라는 점에 주목하는 것이 흥미 롭습니다! 엄밀히 말하면 현대 공책은 체크 무늬가 아니라 직사각형입니다. 말도 안되는 것처럼 보일 수 있지만, 예를 들어 그런 상황에서 나침반으로 원을 그리는 것은 매우 불편합니다. 솔직히 말해서 국내 자동차 산업, 비행기 추락 또는 발전소 폭발은 말할 것도없고 생산 해킹 작업을 위해 수용소로 보내진 스탈린 동지의 정확성에 대해 생각하기 시작합니다.

품질에 대해 말하자면, 문구류에 대한 간략한 추천입니다. 지금까지 판매되는 대부분의 노트북은 나쁜 말을하지 않고 완전한 도깨비입니다. 젤펜뿐만 아니라 볼펜에서도 젖기 때문에! 종이에 저장하십시오. 통관을 위해 제어 작업더 비싸지 만 Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 장, 케이지) 또는 Pyaterochka의 노트북을 사용하는 것이 좋습니다. 젤 펜을 선택하는 것이 좋습니다. 가장 저렴한 중국산 젤 리필이라도 종이가 번지거나 찢어지는 볼펜보다 훨씬 낫습니다. 내 기억에 유일한 "경쟁력 있는" 볼펜은 Erich Krause입니다. 그녀는 전체 줄기 또는 거의 비어있는 줄기로 명확하고 아름답고 안정적으로 씁니다.

추가적으로: 분석 기하학의 눈을 통한 직교 좌표계의 비전은 기사에서 다룹니다. 벡터의 선형(비) 의존성. 벡터 기저, 자세한 정보좌표 분기에 대한 내용은 수업의 두 번째 단락에서 찾을 수 있습니다. 선형 부등식.

3D 케이스

여기도 거의 똑같습니다.

1) 좌표축을 그립니다. 기준: 적용 축 – 위쪽을 향함, 축 – 오른쪽을 향함, 축 – 왼쪽을 향함 엄격하게 45도 각도로.

2) 축에 서명합니다.

3) 축을 따라 눈금을 설정합니다. 축을 따라 축척 - 다른 축을 따라 축척보다 2배 작음. 또한 오른쪽 그림에서 축을 따라 비표준 "serif"를 사용했습니다. (이 가능성은 위에서 이미 언급되었습니다). 제 관점에서는 더 정확하고 빠르며 미학적으로 더 만족스럽습니다. 현미경으로 세포의 중간을 찾고 원점까지 장치를 "조각"할 필요가 없습니다.

다시 3D 드로잉을 할 때 - 스케일 우선
1 단위 = 2 셀(왼쪽 그림).

이 모든 규칙은 무엇입니까? 규칙은 깨지기 위해 존재합니다. 나는 지금 무엇을 할 것인가? 사실 기사의 후속 그림은 Excel에서 제가 만들 것이며 좌표축은 적절한 디자인 측면에서 잘못 보일 것입니다. 모든 그래프를 손으로 그릴 수는 있지만, Excel은 그래프를 훨씬 더 정확하게 그리는 것을 꺼리기 때문에 그리는 것이 정말 무섭습니다.

기본 함수의 그래프 및 기본 속성

선형 함수는 방정식 . 선형 함수 그래프는 직접. 직선을 그리려면 두 점을 아는 것으로 충분합니다.

예 1

함수를 플로팅합니다. 두 가지 점을 찾아보자. 포인트 중 하나로 제로를 선택하는 것이 유리합니다.

그렇다면

예를 들어 1과 같은 다른 점을 살펴보겠습니다.

그렇다면

작업을 준비할 때 점의 좌표는 일반적으로 표에 요약됩니다.

그리고 값 자체는 구두로 또는 초안 계산기에서 계산됩니다.

두 점이 발견되었습니다. 그려봅시다.

도면을 작성할 때 항상 그래픽에 서명합니다..

선형 함수의 특별한 경우를 기억하는 것은 불필요한 일이 아닙니다.

캡션을 어떻게 배치했는지 확인하세요. 도면을 연구할 때 서명이 모호해서는 안 됩니다.. 에 이 경우선의 교차점 옆이나 그래프 사이의 오른쪽 하단에 서명하는 것은 매우 바람직하지 않았습니다.

1) () 형식의 선형 함수를 정비례라고 합니다. 예를 들어, . 정비례 그래프는 항상 원점을 통과합니다. 따라서 직선의 구성이 단순화됩니다. 한 점만 찾는 것으로 충분합니다.

2) 형식의 방정식은 축에 평행한 직선을 정의하며, 특히 축 자체는 방정식에 의해 주어집니다. 함수의 그래프는 점을 찾지 않고 즉시 작성됩니다. 즉, 항목은 다음과 같이 이해되어야 합니다. "y는 x의 모든 값에 대해 항상 -4와 같습니다."

3) 형식의 방정식은 축에 평행한 직선을 정의하며, 특히 축 자체는 방정식에 의해 주어집니다. 함수의 그래프도 즉시 작성됩니다. 항목은 다음과 같이 이해되어야 합니다. "x는 항상 y의 모든 값에 대해 1과 같습니다."

어떤 사람들은 왜 6학년을 기억하느냐고 물을 것입니다. 아마도 그럴 것입니다. 몇 년 동안 연습하는 동안에만 또는 와 같은 그래프를 구성하는 작업에 당황한 수십 명의 학생들을 만났습니다.

직선을 그리는 것은 그림을 그릴 때 가장 많이 하는 행동입니다.

직선은 해석 기하학 과정에서 자세히 논의되며 원하는 사람은 기사를 참조할 수 있습니다. 평면 위의 직선의 방정식.

2차 함수 그래프, 3차 함수 그래프, 다항식 그래프

포물선. 이차 함수의 그래프 ()는 포물선입니다. 유명한 사례를 생각해 보십시오.

함수의 일부 속성을 기억해 봅시다.

따라서 우리 방정식에 대한 해결책은 다음과 같습니다. - 포물선의 꼭지점이 위치한 지점입니다. 이것이 왜 그런지는 도함수에 대한 이론적 기사와 함수의 극한값에 대한 강의에서 알 수 있습니다. 그 동안 "y"의 해당 값을 계산합니다.

그래서 꼭짓점은 점에 있습니다.

이제 우리는 포물선의 대칭을 뻔뻔스럽게 사용하면서 다른 점을 찾습니다. 기능에 유의해야 합니다. – 심지어, 그러나 그럼에도 불구하고 아무도 포물선의 대칭을 취소하지 않았습니다.

나머지 포인트를 찾는 순서는 파이널 테이블에서 분명할 것이라고 생각합니다.

이 구성 알고리즘은 비유적으로 Anfisa Chekhova와 함께 "셔틀" 또는 "앞뒤로" 원리라고 부를 수 있습니다.

그림을 그려봅시다:

고려한 그래프에서 또 다른 유용한 기능이 떠오릅니다.

이차 함수의 경우 () 다음은 사실입니다.

이면 포물선의 가지는 위쪽을 향합니다..

이면 포물선의 가지는 아래쪽을 향합니다..

곡선에 대한 심층 지식은 쌍곡선 및 포물선 수업에서 얻을 수 있습니다.

3차 포물선은 다음 함수로 제공됩니다. 다음은 학교에서 친숙한 그림입니다.

함수의 주요 속성을 나열합니다.

함수 그래프

그것은 포물선의 가지 중 하나를 나타냅니다. 그림을 그려봅시다:

함수의 주요 속성:

이 경우 축은 수직 점근선 쌍곡선 그래프의 경우 .

될거야 나쁜 실수, 그림을 그릴 때 부주의로 그래프가 점근선과 교차하도록 허용하는 경우 .

또한 일방적 극한은 과장법이 위에서 제한되지 않음그리고 아래에서 제한되지 않음.

무한대의 기능을 살펴 보겠습니다. 즉, 축을 따라 왼쪽 (또는 오른쪽)에서 무한대로 이동하기 시작하면 "게임"은 날씬한 단계가 될 것입니다. 무한히 가까운 0에 접근하고 그에 따라 쌍곡선의 분기 무한히 가까운축에 접근합니다.

그래서 축은 수평 점근선 함수 그래프의 경우 "x"가 플러스 또는 마이너스 무한대 경향이 있는 경우.

기능은 이상한, 이는 쌍곡선이 원점에 대해 대칭임을 의미합니다. 이 사실도면에서 명백하며 분석적으로 쉽게 확인할 수 있습니다. .

() 형태의 함수 그래프는 쌍곡선의 두 가지를 나타냅니다..

이면 쌍곡선은 첫 번째와 세 번째 좌표 사분면에 위치합니다.(위 그림 참조).

이면 쌍곡선은 두 번째 및 네 번째 좌표 사분면에 위치합니다..

그래프의 기하학적 변환의 관점에서 쌍곡선 거주지의 지정된 규칙성을 분석하는 것은 어렵지 않습니다.

예 3

쌍곡선의 오른쪽 가지를 구성합니다.

우리는 pointwise 구성 방법을 사용하지만 완전히 나누도록 값을 선택하는 것이 유리합니다.

그림을 그려봅시다:

쌍곡선의 왼쪽 가지를 구성하는 것은 어렵지 않을 것입니다. 여기서 함수의 기이함이 도움이 될 것입니다. 대략적으로 말하면 점 구성 표에서 정신적으로 각 숫자에 마이너스를 추가하고 해당 점을 놓고 두 번째 가지를 그립니다.

고려한 선에 대한 자세한 기하학적 정보는 쌍곡선 및 포물선 문서에서 찾을 수 있습니다.

지수 함수의 그래프

이 단락에서는 지수 함수를 즉시 고려할 것입니다. 고등 수학 문제에서 95%의 경우에 지수 함수가 발생하기 때문입니다.

나는 당신에게 상기시켜줍니다-이것은 비합리적인 숫자입니다. , 그래프를 만들 때 필요하며 실제로 의식없이 만들 것입니다. 3점아마 충분히:

지금은 함수의 그래프를 그대로 두고 나중에 설명하겠습니다.

함수의 주요 속성:

기본적으로 함수의 그래프는 동일하게 보입니다.

두 번째 경우는 실제로는 덜 일반적이지만 실제로 발생하므로 이 문서에 포함할 필요가 있다고 느꼈습니다.

대수 함수의 그래프

자연 로그가 있는 함수를 고려하십시오.
선 그리기를 해봅시다.

로그가 무엇인지 잊었다면 학교 교과서를 참조하십시오.

함수의 주요 속성:

도메인:

값 범위: .

기능은 위에서 제한되지 않습니다. , 느리지만 로그의 가지가 무한대까지 올라갑니다.
오른쪽에서 0에 가까운 함수의 동작을 살펴보겠습니다. . 그래서 축은 수직 점근선 오른쪽에 "x"가 0이 되는 함수 그래프의 경우.

로그의 일반적인 값을 알고 기억하십시오.: .

근본적으로, 밑에서 로그의 플롯은 동일하게 보입니다: , , (밑이 10인 십진수 로그), 등. 동시에 베이스가 클수록 차트가 더 평평해집니다.

우리는 그러한 기초를 가지고 마지막으로 그래프를 만들었을 때 기억이 나지 않는 경우를 고려하지 않을 것입니다. 예, 대수는 고등 수학 문제에서 매우 드문 손님인 것 같습니다.

단락의 결론에서 한 가지 사실을 더 말할 것입니다. 지수함수와 대수함수두 개의 상호 역함수. 로그 그래프를 자세히 보면 위치가 조금 다를 뿐 같은 지수임을 알 수 있습니다.

삼각함수 그래프

삼각법 고통은 학교에서 어떻게 시작됩니까? 바르게. 사인에서

함수를 플로팅하자

이 라인은 정현파.

"pi"는 비합리적인 숫자이며 삼각법에서는 눈이 부시게 보입니다.

함수의 주요 속성:

이 기능은 정기 간행물기간으로. 무슨 뜻인가요? 컷을 봅시다. 그 왼쪽과 오른쪽으로 똑같은 그래프 조각이 끝없이 반복된다.

도메인: , 즉 "x"의 모든 값에 대해 사인 값이 있습니다.

값 범위: . 기능은 제한된즉, 모든 "게임"은 엄격하게 세그먼트에 위치합니다.
이것은 일어나지 않습니다. 또는 더 정확하게는 발생하지만 이러한 방정식에는 해가 없습니다.

포물선을 만드는 방법? 이차 함수를 그래프로 표시하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그들 각각은 장단점이 있습니다. 두 가지 방법을 고려해 봅시다.

y=x²+bx+c 및 y= -x²+bx+c와 같은 이차 함수를 플로팅하여 시작하겠습니다.

예시.

함수 y=x²+2x-3을 플로팅합니다.

해결책:

y=x²+2x-3은 2차 함수입니다. 그래프는 분기가 있는 포물선입니다. 포물선 정점 좌표

꼭지점 (-1;-4)에서 우리는 포물선 y=x²의 그래프를 작성합니다(원점에서와 같이. (0;0) 대신 - 꼭지점(-1;-4)에서. (-1;-에서) 4) 오른쪽으로 1 단위, 위로 1, 왼쪽으로 1, 위로 1, 2 - 오른쪽, 4 - 위쪽, 2 - 왼쪽, 4 - 위쪽, 3 - 오른쪽, 9 - 위쪽, 3 - 왼쪽, 9 - 위. 이 7 포인트로는 충분하지 않으며 - 4는 오른쪽, 16 - 위 등).

이차 함수 y= -x²+bx+c의 그래프는 가지가 아래쪽을 향하는 포물선입니다. 그래프를 만들기 위해 정점의 좌표를 찾고 여기에서 포물선 y= -x²를 만듭니다.

예시.

함수 y= -x²+2x+8을 플로팅합니다.

해결책:

y= -x²+2x+8은 2차 함수입니다. 그래프는 가지가 아래로 향하는 포물선입니다. 포물선 정점 좌표

위에서 우리는 포물선 y = -x² (1 - 오른쪽, 1 - 아래, 1 - 왼쪽, 1 - 아래, 2 - 오른쪽, 4 - 아래, 2 - 왼쪽, 4 - 아래 등)을 만듭니다.

이 방법을 사용하면 포물선을 빠르게 작성할 수 있으며 함수 y=x² 및 y= -x²를 플로팅하는 방법을 알고 있으면 어려움이 발생하지 않습니다. 단점: 꼭짓점 좌표가 분수인 경우 플로팅이 그리 편리하지 않습니다. x축과 그래프의 교차점의 정확한 값을 알고 싶다면 방정식 x² + bx + c = 0(또는 -x² + bx + c = 0)을 추가로 풀어야 합니다. 이러한 점이 그림에서 직접 결정될 수 있더라도.

포물선을 만드는 또 다른 방법은 점을 사용하는 것입니다. 즉, 그래프에서 여러 점을 찾고 이를 통해 포물선을 그릴 수 있습니다(x=xₒ 선이 대칭축이라는 점을 고려). 일반적으로 이를 위해 포물선의 상단, 좌표축과 그래프의 교차점 및 1-2개의 추가 점을 사용합니다.

함수 y=x²+5x+4를 플로팅합니다.

해결책:

y=x²+5x+4는 2차 함수입니다. 그래프는 분기가 있는 포물선입니다. 포물선 정점 좌표

즉, 포물선의 상단이 점(-2.5, -2.25)입니다.

를 찾고 있습니다 . Ox 축 y=0과의 교차점에서: x²+5x+4=0. 뿌리 이차 방정식 x1=-1, x2=-4, 즉 그래프에서 (-1; 0) 및 (-4; 0) 두 점을 얻었습니다.

Oy 축 x=0인 그래프의 교차점에서: y=0²+5∙0+4=4. 포인트(0, 4)를 얻었습니다.

그래프를 구체화하기 위해 추가 지점을 찾을 수 있습니다. x=1을 취한 다음 y=1²+5∙1+4=10, 즉 그래프의 또 다른 지점 - (1; 10). 이 점을 좌표 평면에 표시합니다. 정점을 통과하는 직선에 대한 포물선의 대칭을 고려하여 (-5; 6) 및 (-6; 10)의 두 점을 더 표시하고 포물선을 그립니다.