이 자료의 틀 내에서 하나의 직선에 있지 않은 세 점의 좌표를 안다면 평면의 방정식을 찾는 방법을 분석할 것입니다. 이를 위해서는 3차원 공간에서 직교 좌표계가 무엇인지 기억해야 합니다. 먼저 이 방정식의 기본 원리를 소개하고 특정 문제를 해결하는 데 사용하는 방법을 보여줍니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

우선 다음과 같이 들리는 하나의 공리를 기억해야 합니다.

정의 1

세 점이 서로 일치하지 않고 하나의 직선 위에 있지 않으면 3차원 공간에서 하나의 평면만 통과합니다.

다시 말해서 셋이 있다면 다른 점, 좌표가 일치하지 않고 직선으로 연결할 수 없는 경우 이를 통과하는 평면을 결정할 수 있습니다.

직교 좌표계가 있다고 가정 해 봅시다. O x y z 로 표시합시다. 직선으로 연결할 수 없는 M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) 좌표를 가진 세 점 M을 포함합니다. 선. 이러한 조건을 기반으로 필요한 평면의 방정식을 쓸 수 있습니다. 이 문제를 해결하기 위한 두 가지 접근 방식이 있습니다.

1. 첫 번째 접근 방식은 평면의 일반 방정식을 사용합니다. 리터럴 형식으로 A(x - x 1) + B(y - y 1) + C(z - z 1) = 0으로 작성됩니다. 이를 통해 직교 좌표계에서 첫 번째 주어진 점 M 1 (x 1 , y 1 , z 1) 을 통과하는 특정 평면 알파를 설정할 수 있습니다. 법선 평면 벡터 α 는 좌표 A , B , C 를 갖습니다.

N의 정의

법선 벡터의 좌표와 평면이 통과하는 점의 좌표를 알면 이 평면의 일반 방정식을 쓸 수 있습니다.

이것에서 우리는 더 나아갈 것입니다.

따라서 문제의 조건에 따라 평면이 통과하는 원하는 점 (심지어 3)의 좌표가 있습니다. 방정식을 찾으려면 법선 벡터의 좌표를 계산해야 합니다. n → 로 표시하십시오.

규칙을 상기하십시오. 주어진 평면의 0이 아닌 벡터는 동일한 평면의 법선 벡터에 수직입니다. 그러면 n → 은 초기 점 M 1 M 2 → 및 M 1 M 3 → 로 구성된 벡터에 수직이 됩니다. 그런 다음 n →을 M 1 M 2 → · M 1 M 3 → 형식의 벡터 곱으로 나타낼 수 있습니다.

이후 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) 및 M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (이 평등의 증거는 점 좌표에서 벡터 좌표를 계산하는 데 전념하는 기사에 나와 있습니다.) 그러면 다음과 같이 나타납니다.

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 하나

행렬식을 계산하면 법선 벡터 n → 필요한 좌표를 얻을 수 있습니다. 이제 우리는 주어진 세 점을 통과하는 평면에 필요한 방정식을 작성할 수 있습니다.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) 를 지나는 방정식을 찾는 두 번째 방법은 다음과 같습니다. 벡터의 평면도와 같은 개념을 기반으로 합니다.

점 집합 M (x, y, z) 가 있으면 직교 좌표계에서 주어진 점 M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y)에 대한 평면을 정의합니다. 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) 벡터 M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) 및 M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) 은 동일 평면상에 있습니다.

다이어그램에서 다음과 같이 보일 것입니다.

이것은 벡터 M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , 이것이 동등성의 주요 조건이기 때문에: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) 및 M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

결과 방정식을 좌표 형식으로 작성합니다.

행렬식을 계산한 후에는 한 직선 위에 있지 않은 세 점에 대해 필요한 평면의 방정식을 얻을 수 있습니다. M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

결과 방정식에서 문제의 조건에 따라 필요한 경우 세그먼트의 평면 방정식 또는 평면의 일반 방정식으로 이동할 수 있습니다.

다음 단락에서는 우리가 제시한 접근 방식이 실제로 어떻게 구현되는지에 대한 예를 제공할 것입니다.

세 점을 통과하는 평면의 방정식을 컴파일하는 작업의 예

이전에는 원하는 방정식을 찾는 데 사용할 수 있는 두 가지 접근 방식을 식별했습니다. 문제 해결에 어떻게 사용되고 언제 각각을 선택해야 하는지 살펴보겠습니다.

실시예 1

좌표가 M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) 인 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 있습니다. 그들을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결책

우리는 두 가지 방법을 차례로 사용합니다.

1. 필요한 두 벡터의 좌표를 찾으십시오. M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

남 1 남 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ 남 1 남 2 → = (2, 0, 5) 남 1 남 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ 남 1 남 3 → = 6 , 1 , 0

이제 우리는 그들의 벡터 곱을 계산합니다. 이 경우 행렬식의 계산을 설명하지 않습니다.

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

세 개의 필수 점을 통과하는 평면의 법선 벡터가 있습니다: n → = (- 5 , 30 , 2) . 다음으로 점 중 하나를 가져와야 합니다(예: M 1 (- 3 , 2 , - 1) ). 평면에 대한 방정식을 벡터 n → = (- 5 , 30 , 2) 로 작성해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

이것은 세 점을 통과하는 우리가 필요로 하는 평면의 방정식입니다.

2. 우리는 다른 접근 방식을 사용합니다. 우리는 세 개의 점 M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3)을 가진 평면에 대한 방정식을 씁니다. 다음 형식:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

여기에서 문제의 조건에서 데이터를 대체할 수 있습니다. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, 결과적으로 우리는 다음을 얻을 것입니다:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

필요한 방정식을 얻었습니다.

대답:- 5x + 30y + 2z - 73 .

그러나 주어진 점이 여전히 동일한 직선 위에 있고 그것들에 대한 평면 방정식을 작성해야 한다면 어떻게 될까요? 여기서 이 조건이 완전히 올바르지 않을 것이라고 즉시 말해야 합니다. 무한히 많은 평면이 그러한 지점을 통과할 수 있으므로 단일 답을 계산하는 것은 불가능합니다. 질문의 그러한 공식화의 부정확성을 증명하기 위해 그러한 문제를 고려합시다.

실시예 2

좌표가 M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) 인 세 점을 포함하는 3D 공간의 직교 좌표계가 있습니다. 그것을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성할 필요가 있습니다.

해결책

우리는 첫 번째 방법을 사용하고 두 벡터 M 1 M 2 → 및 M 1 M 3 → 의 좌표를 계산하는 것으로 시작합니다. 좌표를 계산해 봅시다: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

벡터 곱은 다음과 같습니다.

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → 이므로 벡터는 동일선상에 있습니다(이 개념의 정의를 잊었다면 이에 대한 기사를 다시 읽으십시오). 따라서 초기 점 M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) 은 같은 직선 위에 있으며 우리의 문제는 무한히 많은 옵션 응답.

두 번째 방법을 사용하면 다음을 얻습니다.

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

결과 평등에서 주어진 점 M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) 이 같은 선에 있다는 것도 따릅니다.

무한한 수의 옵션에서 이 문제에 대한 적어도 하나의 답을 찾으려면 다음 단계를 따라야 합니다.

1. 직선 M 1 M 2, M 1 M 3 또는 M 2 M 3의 방정식을 씁니다(필요한 경우 이 동작에 대한 자료 참조).

2. 선 M 1 M 2 에 있지 않은 점 M 4 (x 4 , y 4 , z 4)를 취합니다.

3. 한 직선 위에 있지 않은 세 점 M 1 , M 2 및 M 4 를 지나는 평면의 방정식을 쓰십시오.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

이번 시간에는 행렬식을 사용하여 구성하는 방법을 살펴보겠습니다. 평면 방정식. 행렬식이 무엇인지 모르는 경우 수업의 첫 번째 부분인 " 행렬 및 행렬식»으로 이동하십시오. 그렇지 않으면 오늘의 자료에서 아무것도 이해하지 못할 위험이 있습니다.

세 점에 의한 평면의 방정식

왜 우리는 평면의 방정식이 필요합니까? 간단합니다. 알고 있으면 문제 C2에서 각도, 거리 및 기타 쓰레기를 쉽게 계산할 수 있습니다. 일반적으로 이 방정식은 필수 불가결합니다. 따라서 우리는 문제를 공식화합니다.

작업. 공간에는 같은 직선 위에 있지 않은 세 점이 있습니다. 그들의 좌표:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

이 세 점을 지나는 평면의 방정식을 작성해야 합니다. 방정식은 다음과 같아야 합니다.

Ax + By + Cz + D = 0

여기서 숫자 A , B , C 및 D는 실제로 찾고자 하는 계수입니다.

글쎄, 점의 좌표 만 알려진 경우 평면의 방정식을 얻는 방법은 무엇입니까? 가장 쉬운 방법은 좌표를 방정식 Ax + By + Cz + D = 0에 대입하는 것입니다. 쉽게 풀 수 있는 3개의 방정식 시스템을 얻습니다.

많은 학생들이 이 솔루션이 매우 지루하고 신뢰할 수 없다고 생각합니다. 작년 수학 시험은 계산 오류가 발생할 확률이 정말 높다는 것을 보여주었습니다.

따라서 가장 고급 교사들은 더 간단하고 우아한 솔루션을 찾기 시작했습니다. 그리고 그들은 그것을 찾았습니다! 사실, 얻은 기술은 고등 수학과 관련될 가능성이 더 높습니다. 개인적으로 저는 정당화 및 증거 없이 이 기술을 사용할 권리가 있는지 확인하기 위해 전체 연방 교과서 목록을 뒤져야 했습니다.

행렬식을 통한 평면 방정식

욕설은 충분하니 본론으로 들어가자. 먼저 행렬 행렬식과 평면의 방정식이 어떻게 관련되어 있는지에 대한 정리입니다.

정리. 평면이 그려져야 하는 세 점의 좌표가 주어집니다. M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). 그러면 이 평면의 방정식은 행렬식으로 쓸 수 있습니다.

예를 들어, C2 문제에서 실제로 발생하는 한 쌍의 평면을 찾아봅시다. 모든 것이 얼마나 빠른지 살펴보십시오.

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

우리는 행렬식을 구성하고 그것을 0과 동일시합니다:

행렬식 열기:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0

보시다시피, 숫자 d를 계산할 때 변수 x, y, z가 올바른 순서로 되도록 방정식을 약간 수정했습니다. 그게 다야! 평면의 방정식이 준비되었습니다!

작업. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

행렬식의 점 좌표를 즉시 대체합니다.

행렬식을 다시 확장:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a-b \u003d z-(x + y) \u003d z-x-y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

따라서 평면 방정식이 다시 얻어집니다! 다시 말하지만, 마지막 단계에서 더 "아름다운" 공식을 얻기 위해 기호를 변경해야 했습니다. 이 솔루션에서 이 작업을 수행할 필요는 없지만 문제의 추가 솔루션을 단순화하기 위해 여전히 권장됩니다.

보시다시피, 이제 평면의 방정식을 작성하는 것이 훨씬 쉽습니다. 행렬에 점을 대입하고 행렬식을 계산하면 방정식이 준비됩니다.

이것으로 수업이 끝날 수 있습니다. 그러나 많은 학생들이 행렬식 안에 무엇이 있는지 끊임없이 잊어버립니다. 예를 들어, 어떤 줄에 x 2 또는 x 3 이 포함되어 있고 어떤 줄에는 x 만 포함되어 있는지 알 수 있습니다. 마지막으로 이 문제를 처리하기 위해 각 숫자가 어디에서 왔는지 추적해 보겠습니다.

행렬식이 있는 공식은 어디에서 왔습니까?

그래서, 행렬식이 있는 그런 가혹한 방정식이 어디에서 왔는지 알아봅시다. 이것은 당신이 그것을 기억하고 성공적으로 적용하는 데 도움이 될 것입니다.

문제 C2에서 발생하는 모든 평면은 세 점으로 정의됩니다. 이러한 점은 항상 도면에 표시되거나 문제 텍스트에 직접 표시됩니다. 어쨌든 방정식을 컴파일하려면 좌표를 작성해야 합니다.

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

임의의 좌표가 있는 평면의 한 점을 더 고려하십시오.

T = (x, y, z)

처음 세 점(예: 점 M)에서 임의의 점을 가져와서 나머지 세 점 각각으로 벡터를 그립니다. 우리는 세 개의 벡터를 얻습니다.

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

이제 이 벡터에서 정방 행렬을 만들고 행렬식을 0과 동일시합시다. 벡터의 좌표는 행렬의 행이되며 정리에 표시된 것과 동일한 행렬식을 얻습니다.

이 공식은 벡터 MN, MK 및 MT에 구축된 상자의 부피가 0임을 의미합니다. 따라서 세 벡터는 모두 같은 평면에 있습니다. 특히 임의의 점 T = (x, y, z)가 바로 우리가 찾고 있던 것입니다.

행렬식의 점과 행 바꾸기

행렬식에는 다음을 훨씬 더 쉽게 만드는 몇 가지 놀라운 속성이 있습니다. 문제 C2의 솔루션. 예를 들어, 벡터를 그릴 지점은 중요하지 않습니다. 따라서 다음 행렬식은 위와 동일한 평면 방정식을 제공합니다.

행렬식의 행을 바꿀 수도 있습니다. 방정식은 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. 예를 들어, 많은 사람들이 T = (x; y; z)의 좌표를 맨 위에 있는 선을 쓰는 것을 좋아합니다. 편리한 경우 다음을 수행하십시오.

선 중 하나에 점을 대체할 때 사라지지 않는 변수 x , y 및 z 가 포함되어 있다는 사실이 일부 사람들을 혼란스럽게 합니다. 그러나 그들은 사라지면 안됩니다! 숫자를 행렬식에 대입하면 다음 구성을 얻을 수 있습니다.

그런 다음 수업 시작 부분에 제공된 계획에 따라 행렬식이 확장되고 평면의 표준 방정식이 얻어집니다.

Ax + By + Cz + D = 0

예를 살펴보십시오. 그는 오늘 수업의 마지막 사람입니다. 나는 그 답이 평면의 동일한 방정식이 되도록 의도적으로 선을 바꿀 것입니다.

작업. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

따라서 4가지 사항을 고려합니다.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

먼저 표준 행렬식을 만들고 0과 동일시합시다.

행렬식 열기:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a-b \u003d y-(2-x-z) \u003d y-2 + x + z \u003d x + y + z-2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0

그게 다야, 우리는 답을 얻었습니다: x + y + z − 2 = 0 .

이제 행렬식에서 몇 줄을 재정렬하고 무슨 일이 일어나는지 봅시다. 예를 들어 변수 x, y, z가 맨 아래가 아니라 맨 위에 있는 행을 작성해 보겠습니다.

결과 행렬식을 다시 확장해 보겠습니다.

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

x + y + z − 2 = 0과 정확히 같은 평면 방정식을 얻었습니다. 따라서 실제로 행의 순서에 의존하지 않습니다. 답을 기록하는 일만 남았습니다.

그래서 우리는 평면의 방정식이 선의 순서에 의존하지 않는다는 것을 보았습니다. 유사한 계산을 수행하고 평면의 방정식이 다른 점에서 좌표를 빼는 점에 의존하지 않는다는 것을 증명할 수 있습니다.

위에서 고려한 문제에서 B 1 = (1, 0, 1) 점을 사용했지만 C = (1, 1, 0) 또는 D 1 = (0, 1, 1)을 취하는 것이 가능했습니다. 일반적으로 좌표가 알려진 모든 점은 원하는 평면에 있습니다.

공간의 세 점을 통해 단일 평면을 그리려면 이 점들이 한 직선 위에 있지 않아야 합니다.

공통 직교 좌표계에서 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) 점을 고려하십시오.

임의의 점 M(x, y, z) 이 점 M 1 , M 2 , M 3 과 같은 평면에 놓이려면 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다.

(
) = 0

이런 식으로,

세 점을 지나는 평면의 방정식:

두 점에 대한 평면과 평면과 동일선상에 있는 벡터의 방정식.

점 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) 및 벡터
.

주어진 점 M 1 및 M 2와 벡터에 평행한 임의의 점 M(x, y, z)을 통과하는 평면의 방정식을 작성합시다. .

벡터
및 벡터
동일 평면에 있어야 합니다.

(
) = 0

평면 방정식:

한 점과 두 벡터에 대한 평면의 방정식,

동일선상의 평면.

두 개의 벡터가 주어질 때
그리고
, 동일선상의 평면. 그런 다음 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터
동일 평면에 있어야 합니다.

평면 방정식:

점과 법선 벡터에 의한 평면 방정식 .

정리. 공간에서 점 M이 주어지면 0 (엑스 0 , 요 0 , 지 0 ), 그런 다음 점 M을 통과하는 평면의 방정식 0 법선 벡터에 수직 (ㅏ, 비, 씨)는 다음과 같습니다.

ㅏ(엑스 – 엑스 0 ) + 비(와이 – 와이 0 ) + 씨(지 – 지 0 ) = 0.

증거. 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터를 구성합니다. 왜냐하면 벡터 - 법선 벡터는 평면에 수직이므로 벡터에 수직입니다.
. 그러면 스칼라 곱

= 0

따라서 우리는 평면의 방정식을 얻습니다.

정리가 증명되었습니다.

세그먼트의 평면 방정식.

일반 방정식 Ax + Wu + Cz + D \u003d 0인 경우 두 부분을 (-D)로 나눕니다.

,

교체
, 우리는 세그먼트의 평면 방정식을 얻습니다.

숫자 a, b, c는 각각 x, y, z 축과 평면의 교차점입니다.

벡터 형태의 평면 방정식.

어디

- 현재 점 M(x, y, z)의 반경 벡터,

원점에서 평면에 수직으로 떨어지는 방향을 갖는 단위 벡터입니다.

,  및 는 이 벡터가 x, y, z 축과 이루는 각도입니다.

p는 이 수직선의 길이입니다.

좌표에서 이 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

xcos + ycos + zcos - p = 0.

점에서 평면까지의 거리입니다.

임의의 점 M 0 (x 0, y 0, z 0)에서 평면 Ax + Vy + Cz + D \u003d 0까지의 거리는 다음과 같습니다.

예시.점 P(4; -3; 12)가 원점에서 이 평면으로 떨어지는 수직선의 밑이라는 것을 알고 평면의 방정식을 찾으십시오.

따라서 A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, 공식 사용:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

예시.두 점 P(2; 0; -1)를 지나는 평면의 방정식을 구하고

Q(1; -1; 3)은 평면 3x + 2y - z + 5 = 0에 수직입니다.

평면에 대한 법선 벡터 3x + 2y - z + 5 = 0
원하는 평면에 평행합니다.

우리는 다음을 얻습니다.

예시.점 A(2, -1, 4)를 지나는 평면의 방정식을 구하고

В(3, 2, -1) 평면에 수직 엑스 + ~에 + 2지 – 3 = 0.

원하는 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 엑스+ 나 와이+C 지+ D = 0, 이 평면에 대한 법선 벡터 (A, B, C). 벡터
(1, 3, -5)는 평면에 속합니다. 원하는 평면에 수직인 우리에게 주어진 평면에는 법선 벡터가 있습니다. (1, 1, 2). 왜냐하면 점 A와 B는 두 평면에 속하고 평면은 서로 수직인 경우

따라서 법선 벡터 (11, -7, -2). 왜냐하면 점 A가 원하는 평면에 속하면 좌표는 이 평면의 방정식을 충족해야 합니다. 112 + 71 - 24 + D= 0, D= -21.

전체적으로 우리는 평면의 방정식을 얻습니다. 11 엑스 - 7와이 – 2지 – 21 = 0.

예시.점 P(4, -3, 12)가 원점에서 이 평면으로 떨어지는 수직선의 밑이라는 것을 알고 평면의 방정식을 찾으십시오.

법선 벡터의 좌표 찾기
= (4, -3, 12). 평면의 원하는 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 4 엑스 – 3와이 + 12지+ D = 0. 계수 D를 찾기 위해 점 Р의 좌표를 방정식에 대입합니다.

16 + 9 + 144 + D = 0

전체적으로 원하는 방정식을 얻습니다. 4 엑스 – 3와이 + 12지 – 169 = 0

예시.피라미드 꼭짓점 A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1)의 좌표가 주어지면,

모서리 A 1 A 2 의 길이를 구합니다.

모서리 A 1 A 2 와 A 1 A 4 사이의 각도를 찾으십시오.

모서리 A 1 A 4 와 면 A 1 A 2 A 3 사이의 각도를 구합니다.

먼저 면 A 1 A 2 A 3에 대한 법선 벡터를 찾습니다. 벡터의 외적
그리고
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

법선 벡터와 벡터 사이의 각도 찾기
.

-4 – 4 = -8.

벡터와 평면 사이의 원하는 각도 는  = 90 0 - 와 같습니다.

A 1 A 2 A 3 면의 면적을 구하십시오.

피라미드의 부피를 찾으십시오.

평면 А 1 А 2 А 3 의 방정식을 찾으십시오.

우리는 세 점을 통과하는 평면의 방정식에 대한 공식을 사용합니다.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

"의 PC 버전을 사용하는 경우 고등 수학 코스" 피라미드 꼭짓점의 모든 좌표에 대해 위의 예를 해결하는 프로그램을 실행할 수 있습니다.

아이콘을 두 번 클릭하여 프로그램을 시작합니다.

열리는 프로그램 창에서 피라미드 정점의 좌표를 입력하고 Enter 키를 누릅니다. 따라서 모든 결정 포인트를 하나씩 얻을 수 있습니다.

참고: 프로그램을 실행하려면 컴퓨터에 Maple( Waterloo Maple Inc.)이 설치되어 있어야 하며, MapleV Release 4부터 시작하는 모든 버전이 있어야 합니다.

다양한 방식으로 지정할 수 있습니다(1점과 벡터, 2점과 벡터, 3점 등). 이를 염두에 두고 평면의 방정식은 다른 형태를 가질 수 있습니다. 또한 특정 조건에서 평면은 평행, 수직, 교차 등이 될 수 있습니다. 이 기사에서 이에 대해 이야기하겠습니다. 우리는 평면의 일반 방정식을 작성하는 방법뿐만 아니라 방법을 배울 것입니다.

방정식의 정규형

직교 좌표계 XYZ를 갖는 공간 R 3 이 있다고 가정해 보겠습니다. 초기 점 O에서 해제될 벡터 α를 설정합니다. 벡터 α의 끝을 통해 수직인 평면 P를 그립니다.

임의의 점 Q=(x, y, z)를 P로 표시합니다. 점 Q의 반지름 벡터를 문자 p로 서명합니다. 벡터 α의 길이는 p=IαI이고 Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)입니다.

이것은 벡터 α와 마찬가지로 옆으로 가리키는 단위 벡터입니다. α, β 및 γ는 각각 벡터 Ʋ와 공간 축 x, y, z의 양의 방향 사이에 형성되는 각도입니다. 어떤 점 QϵП를 벡터 Ʋ에 투영하는 것은 р와 같은 상수 값입니다: (р,Ʋ) = р(р≥0).

이 방정식은 p=0일 때 의미가 있습니다. 유일한 것은 이 경우 평면 P가 원점인 점 O(α=0)와 교차하고 점 O에서 분리된 단위 벡터 Ʋ는 방향에 관계없이 P에 수직이라는 것입니다. 벡터 Ʋ는 부호 정확도에서 결정됩니다. 이전 방정식은 벡터 형식으로 표현된 P 평면의 방정식입니다. 그러나 좌표에서는 다음과 같이 보일 것입니다.

여기서 P는 0보다 크거나 같습니다. 우리는 정규 형태의 공간에서 평면의 방정식을 찾았습니다.

일반 방정식

좌표의 방정식에 0이 아닌 숫자를 곱하면 동일한 평면을 결정하는 주어진 방정식과 동일한 방정식을 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 표시됩니다.

여기서 A, B, C는 0과 동시에 다른 숫자입니다. 이 방정식을 일반 평면 방정식이라고 합니다.

평면 방정식. 특수한 상황들

방정식 일반보기추가 조건에 따라 수정될 수 있습니다. 그 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

계수 A가 0이라고 가정합니다. 이것은 주어진 평면이 주어진 축 Ox에 평행하다는 것을 의미합니다. 이 경우 방정식의 형식이 변경됩니다. Ву+Cz+D=0.

마찬가지로 방정식의 형식은 다음 조건에서 변경됩니다.

• 먼저 B = 0이면 방정식이 Ax + Cz + D = 0으로 변경되어 Oy 축에 대한 평행도를 나타냅니다.
• 둘째, С=0이면 방정식은 Ах+Ву+D=0으로 변환되어 주어진 축 Oz에 대한 평행도를 나타냅니다.
• 셋째, D=0이면 방정식은 Ax+By+Cz=0과 같이 표시되며 평면이 O(원점)과 교차한다는 의미입니다.
• 넷째, A=B=0이면 방정식은 Cz+D=0으로 변경되어 Oxy와 평행이 됩니다.
• 다섯째, B=C=0이면 방정식은 Ax+D=0이 되며, 이는 Oyz에 대한 평면이 평행함을 의미합니다.
• 여섯째, A=C=0이면 방정식은 Ву+D=0 형식을 취합니다. 즉, Oxz에 병렬성을 보고합니다.

세그먼트의 방정식 유형

숫자 A, B, C, D가 0이 아닌 경우 식 (0)의 형식은 다음과 같을 수 있습니다.

x/a + y/b + z/c = 1,

여기서 a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

우리는 결과적으로 이 평면이 좌표 (a,0,0), Oy - (0,b,0) 및 Oz - (0,0,c)가 있는 점에서 Ox 축과 교차한다는 점에 주목할 가치가 있습니다. .

방정식 x/a + y/b + z/c = 1을 고려하면 주어진 좌표계를 기준으로 평면의 배치를 시각적으로 쉽게 나타낼 수 있습니다.

법선 벡터 좌표

평면 P에 대한 법선 벡터 n은 계수인 좌표를 가집니다. 일반 방정식주어진 평면, 즉 n(A, B, C).

법선 n의 좌표를 결정하려면 주어진 평면의 일반 방정식을 아는 것으로 충분합니다.

x/a + y/b + z/c = 1 형식을 갖는 세그먼트의 방정식을 사용할 때와 일반 방정식을 사용할 때 주어진 평면의 법선 벡터의 좌표를 쓸 수 있습니다. (1 /a + 1/b + 1/ 포함).

법선 벡터는 다양한 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다. 가장 일반적인 작업은 평면의 직각도 또는 평행도를 증명하는 작업, 평면 사이의 각도 또는 평면과 선 사이의 각도를 찾는 문제입니다.

점의 좌표와 법선 벡터에 따른 평면의 방정식 보기

주어진 평면에 수직인 0이 아닌 벡터 n을 주어진 평면에 대한 법선(법선)이라고 합니다.

좌표 공간(직사각 좌표계)에서 Oxyz가 다음과 같이 주어진다고 가정합니다.

• 좌표(xₒ,yₒ,zₒ)가 있는 점 Mₒ;
• 제로 벡터 n=A*i+B*j+C*k.

법선 n에 수직인 점 Mₒ을 지나는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

공간에서 임의의 점을 선택하고 M(x y, z)으로 표시합니다. 임의의 점 M(x, y, z)의 반지름 벡터를 r=x*i+y*j+z*k라고 하고 점 Mₒ의 반지름 벡터(xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. 벡터 MₒM이 벡터 n에 수직이면 점 M은 주어진 평면에 속합니다. 스칼라 곱을 사용하여 직교성 조건을 작성합니다.

[MₒM, n] = 0.

MₒM \u003d r-rₒ이므로 평면의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.

이 방정식은 다른 형태를 취할 수 있습니다. 이를 위해 스칼라 곱의 속성이 사용되며 방정식의 왼쪽이 변환됩니다. = - . c로 표시되는 경우 다음 방정식이 얻어집니다. - c \u003d 0 또는 \u003d c, 평면에 속하는 주어진 점의 반경 벡터의 법선 벡터에 대한 투영의 불변성을 나타냅니다.

이제 평면 = 0의 벡터 방정식을 작성하는 좌표 형식을 얻을 수 있습니다. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k 및 n = A*i+B *j+C*k, 우리는:

법선 n에 수직인 점을 통과하는 평면에 대한 방정식이 있음이 밝혀졌습니다.

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

두 점의 좌표와 평면과 동일선상에 있는 벡터에 따른 평면 방정식 보기

두 개의 임의의 점 M′(x′,y′,z′)과 M″(x″,y″,z″)와 벡터 a(a′,a″,a‴)를 정의합니다.

이제 우리는 주어진 벡터 a에 평행한 좌표(x, y, z)를 가진 점 M 뿐만 아니라 사용 가능한 점 M'과 M'을 통과하는 주어진 평면에 대한 방정식을 작성할 수 있습니다.

이 경우 벡터 M'M=(x-x';y-y';z-z') 및 M″M=(x″-x';y″-y';z″-z')는 벡터와 동일 평면에 있어야 합니다. a=(a′,a″,a‴), 이는 (M′M, M″M, a)=0을 의미합니다.

따라서 공간의 평면 방정식은 다음과 같습니다.

세 점을 교차하는 평면의 방정식 유형

(x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)의 세 점은 같은 직선에 속하지 않습니다. 주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식을 쓸 필요가 있습니다. 기하학 이론은 이런 종류의 평면이 실제로 존재하며, 유일하고 흉내낼 수 없다고 주장합니다. 이 평면은 점(x', y', z')과 교차하므로 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

여기서 A, B, C는 동시에 0과 다릅니다. 또한 주어진 평면은 (x″,y″,z″) 및 (x‴,y‴,z‴)의 두 점을 더 교차합니다. 이와 관련하여 다음 조건이 충족되어야 합니다.

이제 우리는 작곡할 수 있습니다 균질 시스템알 수 없는 u, v, w:

우리의 케이스 x,y또는 z는 식 (1)을 만족하는 임의의 점이다. 방정식 (1)과 방정식 (2) 및 (3)의 시스템을 고려하면 위 그림에 표시된 방정식 시스템은 사소하지 않은 벡터 N(A, B, C)을 충족합니다. 이것이 이 시스템의 행렬식이 0인 이유입니다.

우리가 얻은 식 (1)은 평면의 방정식입니다. 정확히 3점을 통과하므로 확인하기 쉽습니다. 이렇게 하려면 첫 번째 행의 요소에 대해 행렬식을 확장해야 합니다. 행렬식의 기존 속성에 따르면 평면이 처음에 주어진 세 점 (x', y', z'), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)과 동시에 교차합니다. . 즉, 우리는 우리 앞에 놓인 과제를 해결했습니다.

평면 사이의 이면각

2면각은 공간적 기하 도형, 하나의 직선에서 나오는 두 개의 반면으로 형성됩니다. 즉, 이것은 이러한 반면에 의해 제한되는 공간의 일부입니다.

다음 방정식을 가진 두 개의 평면이 있다고 가정해 보겠습니다.

우리는 벡터 N=(A,B,C) 및 N¹=(A¹,B¹,C¹)이 주어진 평면에 따라 수직임을 알고 있습니다. 이와 관련하여 벡터 N과 N¹ 사이의 각도 φ는 이러한 평면 사이의 각도(2면체)와 같습니다. 스칼라 곱의 형식은 다음과 같습니다.

NN¹=|N||N¹|cos φ,

정확히 때문에

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π를 고려하면 충분합니다.

사실, 교차하는 두 개의 평면은 두 개의 (2면체) 각인 φ 1 과 φ 2 를 형성합니다. 그들의 합은 π(φ 1 + φ 2 = π)와 같습니다. 그들의 코사인은 절대 값이 동일하지만 부호가 다릅니다. 즉, cos φ 1 =-cos φ 2입니다. 방정식 (0)에서 A, B 및 C를 각각 숫자 -A, -B 및 -C로 바꾸면 우리가 얻는 방정식은 동일한 평면, 방정식 cos φ= NN의 유일한 각도 φ를 결정할 것입니다 1 /| N||N 1 | π-φ로 대체됩니다.

수직 평면 방정식

평면 사이의 각도가 90도이면 평면을 수직이라고합니다. 위에서 설명한 재료를 사용하여 다른 평면에 수직인 평면의 방정식을 찾을 수 있습니다. Ax+By+Cz+D=0 및 A¹x+B¹y+C¹z+D=0이라는 두 개의 평면이 있다고 가정해 보겠습니다. cosφ=0이면 그것들이 수직이 될 것이라고 말할 수 있습니다. 즉, NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0입니다.

평행 평면 방정식

평행은 공통점을 포함하지 않는 두 평면입니다.

조건(방정식은 이전 단락과 동일)은 수직인 벡터 N과 N¹이 동일선상에 있다는 것입니다. 이는 다음과 같은 비례 조건이 충족됨을 의미합니다.

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

비례 조건이 확장되면 - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

이것은 이러한 평면이 일치함을 나타냅니다. 이는 방정식 Ax+By+Cz+D=0 및 A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0이 하나의 평면을 설명한다는 것을 의미합니다.

점에서 평면까지의 거리

방정식 (0)에 의해 주어진 평면 P가 있다고 가정해 봅시다. 좌표(xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ인 점에서 그 점까지의 거리를 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 평면 P의 방정식을 정규식으로 가져와야 합니다.

(ρ,v)=p(p≥0).

이 경우 ρ(x,y,z)는 P에 있는 점 Q의 반경 벡터, p는 영점에서 해제된 P에 수직인 길이, v는 다음 위치에 있는 단위 벡터입니다. 방향.

주어진 점 Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ)의 반경 벡터뿐만 아니라 P에 속하는 일부 점 Q \u003d (x, y, z)의 반경 벡터의 차이 ρ-ρº는 다음과 같습니다. 벡터, v에 대한 투영의 절대 값은 거리 d와 같으며 Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ)에서 P까지 찾아야 합니다.

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = р-(ρ 0 ,v).

그래서 밝혀졌다

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

따라서 결과 표현식의 절대 값, 즉 원하는 d를 찾을 수 있습니다.

매개변수 언어를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

주어진 점 Q 0 이 원점뿐만 아니라 평면 P의 다른 쪽에 있으면 벡터 ρ-ρ 0과 v 사이는 따라서 다음과 같습니다.

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

점 Q 0이 원점과 함께 P의 같은 면에 있는 경우 생성된 각도는 예각입니다. 즉,

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p-(ρ 0, v)>0.

결과적으로 첫 번째 경우 (ρ 0 ,v)> р, 두 번째 경우 (ρ 0 ,v)<р.

접평면과 그 방정식

Mº의 접점에서 표면에 대한 접평면은 표면에서 이 점을 통해 그린 곡선에 대한 가능한 모든 접선을 포함하는 평면입니다.

이 형태의 표면 방정식 F(x, y, z) \u003d 0을 사용하면 접선점 Mº(xº, yº, zº)에서의 접평면 방정식은 다음과 같이 표시됩니다.

F x(xº, yº, zº)(x- xº)+ F x(xº, yº, zº)(y-yº)+ F x(xº, yº, zº)(z-zº)=0.

표면을 명시적 형식 z=f(x, y)로 지정하면 접평면은 다음 방정식으로 설명됩니다.

z-zº = f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

두 평면의 교차점

좌표계 (직사각형) Oxyz가 위치하고 교차하고 일치하지 않는 두 개의 평면 П'와 П″가 제공됩니다. 직교 좌표계에 위치한 평면은 일반 방정식에 의해 결정되므로 P' 및 P″는 방정식 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x에 의해 제공된다고 가정합니다. +B″y+ С″z+D″=0. 이 경우 P' 평면의 법선 n'(A', B', C')과 P" 평면의 법선 n"(A", B", C")이 있습니다. 평면이 평행하지 않고 일치하지 않기 때문에 이러한 벡터는 동일선상에 있지 않습니다. 수학의 언어를 사용하여 이 조건을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′와 P″의 교차점에 있는 선을 문자 a로 표시합니다. 이 경우에는 a = P′ ∩ P″입니다.

a는 (공통) 평면 П′와 П″의 모든 점의 집합으로 구성된 직선입니다. 이것은 선 a에 속하는 점의 좌표가 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x+B″y+C″z+D″= 방정식을 동시에 만족해야 함을 의미합니다. 0. 이것은 점의 좌표가 다음 방정식 시스템의 특정 솔루션이 된다는 것을 의미합니다.

결과적으로이 방정식 시스템의 (일반) 솔루션은 П'와 П″의 교차점으로 작용할 직선의 각 점의 좌표를 결정하고 직선을 결정합니다. 공간에서 좌표계 Oxyz(직사각형)의 라인 a.

평면 방정식. 평면에 대한 방정식을 작성하는 방법?
비행기의 상호 배열. 작업

공간 기하학은 "평평한" 기하학보다 훨씬 더 복잡하지 않으며 우리의 우주 비행은 이 기사에서 시작됩니다. 주제를 제대로 이해하려면 벡터, 또한 평면의 기하학에 익숙해지는 것이 바람직합니다. 많은 유사점과 많은 유사점이 있으므로 정보가 훨씬 더 잘 소화될 것입니다. 일련의 수업에서 2D 세계는 기사와 함께 열립니다. 평면 위의 직선 방정식. 그러나 이제 배트맨은 평면 TV에서 물러나 바이코누르 우주기지에서 발사됩니다.

그림과 기호부터 시작하겠습니다. 도식적으로 평면은 평행사변형으로 그려질 수 있으며 공간의 느낌을 줍니다.

평면은 무한하지만, 우리는 그 중 일부만을 묘사할 기회가 있습니다. 실제로 평행 사변형 외에도 타원 또는 구름도 그려집니다. 기술적 인 이유로 비행기를 이런 식으로 그리고이 위치에서 묘사하는 것이 더 편리합니다. 실제 예에서 고려할 실제 평면은 원하는 대로 배열할 수 있습니다. 정신적으로 그림을 손에 들고 공간에서 비틀어서 평면에 기울기와 각도를 부여합니다.

표기법: 비행기와 혼동하지 않도록 소문자 그리스 문자로 비행기를 지정하는 것이 일반적입니다. 비행기에서 바로또는 우주에서 똑바로. 나는 편지를 사용하는 데 익숙하다. 도면에서 그것은 문자 "시그마"이며 전혀 구멍이 아닙니다. 비록 구멍이 뚫린 비행기지만 확실히 매우 재미있습니다.

어떤 경우에는 첨자와 같은 그리스 문자를 사용하여 평면을 지정하는 것이 편리합니다(예: .

평면은 동일한 직선 위에 있지 않은 세 개의 다른 점에 의해 고유하게 결정된다는 것이 분명합니다. 따라서 비행기의 세 글자 지정은 예를 들어 비행기에 속한 포인트 등에 따라 매우 유명합니다. 종종 문자는 괄호로 묶입니다. , 평면을 다른 기하학적 도형과 혼동하지 않도록.

숙련 된 독자를 위해 나는 줄 것입니다. 바로 가기 메뉴:

• 점과 두 벡터를 사용하여 평면에 대한 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?
• 점과 법선 벡터를 사용하여 평면에 대한 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

그리고 우리는 긴 기다림에 시들지 않을 것입니다:

평면의 일반 방정식

평면의 일반 방정식은 계수가 동시에 0이 아닌 형식을 갖습니다.

많은 이론적 계산과 실제 문제는 일반적인 직교 정규화와 공간의 아핀 기저에 모두 유효합니다(기름이 기름이라면 단원으로 돌아가십시오. 벡터의 선형(비) 종속성. 벡터 기초). 단순화를 위해 모든 이벤트가 직교 및 직교 직교 좌표계에서 발생한다고 가정합니다.

이제 약간의 공간적 상상력을 훈련해 봅시다. 안 좋으셔도 괜찮습니다. 이제 조금 발전시켜 보겠습니다. 신경을 건드리는 것조차 연습이 필요합니다.

가장 일반적인 경우 숫자가 0이 아닐 때 평면은 세 좌표축을 모두 교차합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

나는 비행기가 모든 방향으로 무한정 계속된다는 것을 다시 한 번 반복합니다. 그리고 우리는 그것의 일부만을 묘사할 기회가 있습니다.

가장 간단한 평면 방정식을 고려하십시오.

이 방정식을 이해하는 방법? 그것에 대해 생각해보십시오. "Z"는 항상 "X"와 "Y"의 값이 0과 같습니다. 이것은 "기본" 좌표 평면의 방정식입니다. 실제로 공식적으로 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. , 우리가 상관하지 않는다는 것이 명확하게 보이는 곳에서 "x"와 "y" 값이 무엇을 취하는지, "z"가 0과 같은 것이 중요합니다.

비슷하게:
는 좌표 평면의 방정식입니다.
좌표평면의 방정식이다.

문제를 조금 복잡하게 하고 평면을 고려해 보겠습니다(여기서 더 나아가 단락에서 수치 계수가 0과 같지 않다고 가정합니다). 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 그것을 이해하는 방법? "X"는 "y"의 값과 "z"가 특정 숫자와 같기 때문에 항상입니다. 이 평면은 좌표 평면에 평행합니다. 예를 들어, 평면은 평면에 평행하고 점을 통과합니다.

비슷하게:
- 좌표 평면에 평행한 평면의 방정식;
- 좌표 평면에 평행한 평면의 방정식.

회원 추가: . 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. 즉, "Z"는 무엇이든 될 수 있습니다. 무슨 뜻인가요? "X"와 "Y"는 평면에 일정한 직선을 그리는 비율로 연결되어 있습니다. 평면에서 직선의 방정식?). Z는 무엇이든 될 수 있으므로 이 선은 모든 높이에서 "복제"됩니다. 따라서 방정식은 좌표축에 평행한 평면을 정의합니다.

비슷하게:
- 좌표축에 평행한 평면의 방정식;
- 좌표축에 평행한 평면의 방정식.

자유 항이 0이면 평면은 해당 축을 직접 통과합니다. 예를 들어, 고전적인 "직접 비례":. 평면에 직선을 그리고 정신적으로 위아래로 곱하십시오("z"는 임의이므로). 결론: 방정식으로 주어진 평면은 좌표축을 통과합니다.

우리는 검토를 마칩니다 : 평면의 방정식 원점을 통과합니다. 자, 여기에서 점이 주어진 방정식을 만족한다는 것은 아주 분명합니다.

그리고 마지막으로 그림에 표시된 경우: - 평면은 모든 좌표축과 친구 관계이지만 항상 8개의 8분원 중 하나에 위치할 수 있는 삼각형을 "차단"합니다.

공간의 선형 부등식

정보를 이해하기 위해서는 잘 공부해야 합니다 평면의 선형 부등식많은 것들이 비슷할 것이기 때문입니다. 그 자료는 실제로 매우 드물기 때문에 이 단락은 몇 가지 예와 함께 간략한 개요가 될 것입니다.

방정식이 평면을 정의하면 부등식
물어보기 반 공백. 부등식이 엄밀하지 않은 경우(목록의 마지막 두 개), 부등식의 해에는 반쪽 공간 외에 평면 자체가 포함됩니다.

실시예 5

평면의 단위 법선 벡터 찾기 .

해결책: 단위 벡터는 길이가 1인 벡터입니다. 이 벡터를 로 표시합시다. 벡터가 동일선상에 있다는 것은 매우 분명합니다.

먼저 평면의 방정식에서 법선 벡터를 제거합니다.

단위 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까? 단위 벡터를 찾으려면 다음이 필요합니다. 모든벡터 좌표를 벡터 길이로 나눈 값.

형식의 법선 벡터를 다시 작성하고 길이를 구해 보겠습니다.

위에 따르면:

대답:

확인: , 확인하는 데 필요했습니다.

공과의 마지막 단락을 주의 깊게 공부한 독자들은 아마도 단위 벡터의 좌표는 정확히 벡터의 방향 코사인입니다.:

분해된 문제에서 벗어나자: 임의의 0이 아닌 벡터가 주어졌을 때, 그리고 방향 코사인을 찾아야 하는 조건에 따라(수업의 마지막 작업 참조 벡터의 내적), 그러면 실제로 주어진 단위 벡터와 동일선상에 있는 단위 벡터도 찾습니다. 실제로 한 병에 두 가지 작업이 있습니다.

단위 법선 벡터를 찾아야 할 필요성은 수학적 분석의 일부 문제에서 발생합니다.

우리는 법선 벡터의 낚시를 알아 냈으므로 이제 반대 질문에 답할 것입니다.

점과 법선 벡터를 사용하여 평면에 대한 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

법선 벡터와 점의 이 엄격한 구성은 다트 타겟으로 잘 알려져 있습니다. 손을 앞으로 뻗어 마음속으로 공간의 임의의 지점(예: 찬장에 있는 작은 고양이)을 선택하십시오. 분명히, 이 점을 통해 손에 수직인 단일 평면을 그릴 수 있습니다.

벡터에 수직인 점을 지나는 평면의 방정식은 다음 공식으로 표현됩니다.