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오늘은 동차 삼각 방정식을 다룰 것입니다. 먼저, 동차 삼각 방정식이란 무엇인가라는 용어를 다루겠습니다. 다음과 같은 특징이 있습니다.
- 여러 용어가 있어야 합니다.
- 모든 용어는 동일한 학위를 가져야 합니다.
- 동종 삼각법 항등식에 포함된 모든 함수는 반드시 동일한 인수를 가져야 합니다.
솔루션 알고리즘
용어 분리
그리고 첫 번째 요점으로 모든 것이 명확하다면 두 번째 요점에 대해 더 자세히 이야기 할 가치가 있습니다. 같은 정도의 용어는 무엇을 의미합니까? 첫 번째 작업을 살펴보겠습니다.
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
이 방정식의 첫 번째 항은 3cosx 3\cos x. 여기에는 삼각 함수가 하나만 있습니다. 코스\cos x - 여기에는 다른 삼각 함수가 없으므로 이 항의 차수는 1입니다. 두 번째와 동일 - 5싱크스 5 \ sin x - 여기에는 사인만 있습니다. 즉, 이 항의 차수도 1과 같습니다. 따라서 우리는 각각 삼각 함수를 포함하고 동시에 하나만 포함하는 두 개의 요소로 구성된 정체성을 가지고 있습니다. 이것은 1차 방정식입니다.
두 번째 표현으로 넘어가겠습니다.
4죄2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
이 건설의 첫 번째 기간은 4죄2 엑스 4((\sin)^(2))x.
이제 다음 솔루션을 작성할 수 있습니다.
죄2 x=sinx⋅sinx
((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x
즉, 첫 번째 항은 두 가지를 포함합니다. 삼각 함수, 즉 그 정도는 2와 같습니다. 두 번째 요소를 처리합시다 - 죄2x\죄 2배. 다음 공식을 기억하십시오 - 이중 각도 공식 :
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
그리고 다시 결과 공식에는 사인과 코사인의 두 가지 삼각 함수가 있습니다. 따라서이 구성 요소의 전력 값도 2와 같습니다.
세 번째 요소로 넘어 갑시다 - 3. 수학 과정에서 고등학교우리는 모든 숫자에 1을 곱할 수 있다는 것을 기억하므로 다음과 같이 작성합니다.
˜ 3=3⋅1
기본 삼각 항등식을 사용하는 단위는 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.
1=죄2 x⋅ 코사인2 엑스
1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x
따라서 3을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
3=3(죄2 x⋅ 코사인2 엑스)=3죄2 x+3 코사인2 엑스
3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
따라서 우리의 항 3은 두 개의 요소로 나뉘며, 각각은 동질적이며 두 번째 차수를 갖습니다. 첫 번째 항의 사인은 두 번 발생하고 두 번째 항의 코사인도 두 번 발생합니다. 따라서 3은 지수가 2인 항으로도 나타낼 수 있습니다.
세 번째 표현과 동일:
죄3 엑스+ 죄2 xcosx=2 코사인3 엑스
봅시다. 첫 번째 용어 - 죄3 엑스((\sin )^(3))x는 3차 삼각 함수입니다. 두 번째 요소는 죄2 엑스코스((\sin )^(2))x\cos x.
죄2 ((\sin )^(2)) 는 2의 거듭제곱 값을 곱한 링크입니다. 코스\cos x는 첫 번째 항입니다. 전체적으로 세 번째 항의 검정력 값도 3입니다. 마지막으로 오른쪽에 또 다른 링크가 있습니다. 2코사인3 엑스 2((\cos )^(3))x 는 3차 요소입니다. 따라서 우리는 3차 균질 삼각 방정식을 갖게 됩니다.
우리는 다른 정도의 세 가지 신원을 기록했습니다. 두 번째 표현을 다시 주목하십시오. 원래 항목에서 구성원 중 하나에 인수가 있습니다. 2배 2x. 우리는 우리의 정체성에 포함된 모든 함수가 반드시 같은 인수를 가져야 하기 때문에 이중 각의 사인 공식에 따라 이 인수를 변환하여 이 인수를 제거해야 합니다. 그리고 이것은 균질 삼각 방정식에 대한 요구 사항입니다.
우리는 주요 삼각법의 공식을 사용하고 최종 솔루션을 기록
조건을 파악하고 솔루션으로 이동합니다. 거듭제곱 지수에 관계없이 이 유형의 등식 풀이는 항상 두 단계로 수행됩니다.
1) 증명하다
cosx≠0
\cos x\ne 0. 이렇게 하려면 기본 삼각법 항등식을 상기하는 것으로 충분합니다. (죄2 x⋅ 코사인2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) 이 공식에 대입 cosx=0\cosx=0. 우리는 다음 표현식을 얻을 것입니다:
죄2 x=1sinx=±1
\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)
얻은 값을 대체합니다. 코스\cos x는 0이고 대신 싱크\sin x - 1 또는 -1, 원래 표현식에서 잘못된 수치 평등을 얻습니다. 이것이 사실에 대한 근거이다.
cosx≠0
2) 두 번째 단계는 첫 번째 단계에서 논리적으로 이어집니다. 왜냐하면
cosx≠0
\cos x\ne 0, 구성의 양쪽을 다음으로 나눕니다. 코사인N엑스((\cos )^(n))x, 여기서 N n은 균일 삼각 방정식의 거듭제곱 지수입니다. 이것은 우리에게 무엇을 제공합니까?
\[\begin(배열)((35)(l))
싱크코스=tgx코스코스=1
\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\end(align) \\() \\ \끝(배열)\]
이 때문에 우리의 성가신 초기 구성은 다음 방정식으로 줄어듭니다. N접선에 대한 n-제곱으로, 변수의 변경을 사용하여 해를 쉽게 작성할 수 있습니다. 이것이 전체 알고리즘입니다. 실제로 어떻게 작동하는지 봅시다.
우리는 실제 문제를 해결
작업 #1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
우리는 이것이 거듭제곱 지수가 1인 균일 삼각 방정식이라는 것을 이미 알아냈습니다. 그러므로 먼저 알아보자. cosx≠0\cos x\ne 0. 반대로 가정
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
결과 값을 표현식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
3⋅0+5⋅(±1)=0±5=0
\begin(정렬)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\end(정렬)
이를 바탕으로 다음과 같이 말할 수 있다. cosx≠0\cos x\ne 0. 방정식을 다음으로 나눕니다. 코스\cos x는 전체 표현식의 거듭제곱 값이 1이기 때문입니다. 우리는 다음을 얻습니다.
3(코스코스) +5(싱크코스) =0 3+5tgx=0tgx=- 3 5
\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\end(정렬)
이것은 테이블 값이 아니므로 답변에는 다음이 포함됩니다. arctgx arctgx:
x=호 (−3 5 ) + πn,n∈Z
x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
왜냐하면 아크티지 arctg arctg는 이상한 함수입니다. 인수에서 "빼기"를 빼서 arctg 앞에 놓을 수 있습니다. 우리는 최종 답을 얻습니다.
x=−arctg 3 5 + πn,n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
작업 #2
4죄2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
기억하시겠지만 솔루션을 진행하기 전에 몇 가지 변환을 수행해야 합니다. 변환을 수행합니다.
4죄2 x+2sinxcosx−3 (죄2 엑스+ 코사인2 엑스)=0 4죄2 x+2sinxcosx−3 죄2 x−3 코사인2 x=0죄2 x+2sinxcosx−3 코사인2 x=0
\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (맞추다)
우리는 세 가지 요소로 구성된 구조를 받았습니다. 첫 번째 용어에서 우리는 죄2 ((\sin )^(2)), 즉 그 거듭제곱 값은 2입니다. 두 번째 항에서 우리는 싱크\sin x 및 코스\cos x - 다시 두 개의 함수가 있으며 곱하므로 총 차수는 다시 2입니다. 세 번째 링크에서 우리는 코사인2 엑스((\cos )^(2))x - 첫 번째 값과 유사합니다.
그것을 증명하자 cosx=0\cos x=0은 이 구성에 대한 솔루션이 아닙니다. 이렇게 하려면 반대를 가정합니다.
\[\begin(배열)((35)(l))
\cos x=0 \\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(배열)\]
우리는 그것을 증명했습니다 cosx=0\cos x=0은 해가 될 수 없습니다. 우리는 두 번째 단계로 넘어갑니다. 우리는 전체 표현을 다음으로 나눕니다. 코사인2 엑스((\cos )^(2))x. 왜 광장에서? 이 지수 때문에 균질 방정식 2와 같습니다:
죄2 엑스코사인2 엑스+2sinxcosx코사인2 엑스−3=0 티 g2 x+2tgx−3=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\end(정렬)
이 식은 판별식을 사용하여 풀 수 있습니까? 예, 당신은 확실히 할 수 있습니다. 그러나 나는 Vieta의 정리에 대한 정리를 상기할 것을 제안합니다. 그리고 우리는 이 다항식이 다음과 같은 두 개의 간단한 다항식으로 표현될 수 있음을 얻습니다.
(tgx+3) (tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk,k∈Z
\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(정렬)
많은 학생들이 ID에 대한 솔루션의 각 그룹에 대해 별도의 계수를 작성할 가치가 있는지 또는 모든 곳에서 동일한 계수를 귀찮게 작성하고 작성하지 않아도 되는지 묻습니다. 개인적으로 다른 문자를 사용하는 것이 더 좋고 더 신뢰할 수 있기 때문에 수학 추가 시험으로 심각한 기술 대학에 입학 할 때 검사관이 답을 잘못 찾지 않도록 생각합니다.
작업 #3
죄3 엑스+ 죄2 xcosx=2 코사인3 엑스
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x
우리는 이것이 3차의 균질 삼각 방정식이라는 것을 이미 알고 있으며 특별한 공식이 필요하지 않으며 우리에게 필요한 것은 용어를 전송하는 것뿐입니다. 2코사인3 엑스 2((\cos )^(3))x 왼쪽. 다시 쓰기:
죄3 엑스+ 죄2 xcosx−2 코사인3 x=0
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0
각 요소에는 3개의 삼각 함수가 포함되어 있으므로 이 방정식의 거듭제곱 값은 3입니다. 우리는 그것을 해결합니다. 우선, 우리는 그것을 증명해야합니다 cosx=0\cos x=0은 루트가 아닙니다.
\[\begin(배열)((35)(l))
\cos x=0 \\sin x=\pm 1 \\end(배열)\]
이 숫자를 원래 구성에 대입합니다.
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0
\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\end(정렬)
따라서, cosx=0\cos x=0은 솔루션이 아닙니다. 우리는 그것을 증명했습니다 cosx≠0\cos x\ne 0. 이제 이것을 증명했으므로 원래 방정식을 다음과 같이 나눕니다. 코사인3 엑스((\cos )^(3))x. 큐브에 왜? 원래 방정식에 3승이 있음을 방금 증명했기 때문입니다.
죄3 엑스코사인3 엑스+죄2 엑스코스코사인3 엑스−2=0 티 g3 x+t g2 x−2=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\끝(정렬)
새로운 변수를 소개하겠습니다.
tgx=t
구조 다시 쓰기:
티3 +티2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
3차 방정식이 있습니다. 그것을 해결하는 방법? 처음에 이 비디오 자습서를 컴파일할 때 다항식을 인수 및 기타 트릭으로 분해하는 것에 대해 먼저 이야기할 계획이었습니다. 하지만 에 이 경우모든 것이 훨씬 쉽습니다. 보세요, 가장 높은 차수가 있는 항을 가진 축소된 항등식은 1입니다. 또한 모든 계수는 정수입니다. 그리고 이것은 우리가 모든 근이 숫자 -2의 약수, 즉 자유 항이라는 Bezout의 정리의 결과를 사용할 수 있음을 의미합니다.
문제가 발생합니다. -2로 나눈 값은 무엇입니까? 2는 소수이기 때문에 선택지가 많지 않습니다. 다음 숫자일 수 있습니다. 1; 2; -하나; -2. 부정적인 뿌리는 즉시 사라집니다. 왜요? 둘 다 절대값이 0보다 크므로, 티3 ((t)^(3)) 모듈러스가 다음보다 큽니다. 티2 ((t)^(2)). 그리고 큐브는 홀수 함수이기 때문에 큐브의 숫자는 음수가 될 것이고, 티2 ((t)^(2)) 는 양수이고 이 전체 구성은 다음과 같습니다. t=−1 t=-1 및 t=−2 t=-2는 0보다 크지 않을 것입니다. 그것에서 -2를 빼고 분명히 0보다 작은 숫자를 얻으십시오. 1과 2만 남습니다. 이 숫자를 각각 대체합시다:
˜ t=1→1+1−2=0→0=0
~t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0
정확한 수치 평등을 얻었습니다. 따라서, t=1 t=1은 루트입니다.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\~8+4-2=0\~10\ne 0
t=2 t=2는 루트가 아닙니다.
결론과 동일한 Bezout 정리에 따르면, 근이 다음과 같은 다항식은 엑스0 ((x)_(0)), 다음과 같이 나타냅니다.
Q(x)=(x= 엑스0 )피(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
우리의 경우와 같이 엑스 x는 변수입니다 티 t, 그리고 역할에서 엑스0 ((x)_(0))은 1과 같은 루트입니다. 우리는 다음을 얻습니다.
티3 +티2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)
다항식을 찾는 방법 피 (티) P\왼쪽(t\오른쪽)? 분명히 다음을 수행해야 합니다.
P(t)= 티3 +티2 −2 t−1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
우리는 다음을 대체합니다:
티3 +티2 +0⋅t−2t−1=티2 +2t+2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
따라서 우리의 원래 다항식은 나머지 없이 나뉩니다. 따라서 원래 평등을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
(t−1)( 티2 +2t+2)=0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
요인 중 하나 이상이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다. 우리는 이미 첫 번째 요소를 고려했습니다. 두 번째를 살펴보겠습니다.
티2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
숙련된 학생들은 이미 이 구성에 근이 없다는 것을 이해했을 것입니다. 하지만 여전히 판별식을 계산해 보겠습니다.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
판별식이 0보다 작으므로 표현식에 근이 없습니다. 전체적으로 거대한 구조가 일반적인 평등으로 축소되었습니다.
\[\begin(배열)((35)(l))
t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(배열)\]
결론적으로 마지막 작업에 대해 몇 가지 의견을 추가하고 싶습니다.
- 조건이 항상 충족되는지 여부 cosx≠0\cos x\ne 0 및 이 검사를 전혀 수행해야 하는지 여부. 물론 항상 그런 것은 아닙니다. 다음과 같은 경우 cosx=0\cos x=0은 우리의 평등에 대한 솔루션입니다. 대괄호에서 빼야 합니다. 그러면 본격적인 동차 방정식이 대괄호 안에 남아 있습니다.
- 다항식을 다항식으로 나누는 것은 무엇입니까? 실제로 대부분의 학교에서는 이를 공부하지 않고, 이런 구조를 처음 본 학생들은 약간의 충격을 받는다. 그러나 실제로 이것은 방정식의 해를 크게 용이하게 하는 간단하고 아름다운 기술입니다. 더 높은 학위. 물론 이에 대한 별도의 비디오 자습서가 제공되며 가까운 시일 내에 게시할 예정입니다.
키 포인트
동차 삼각 방정식은 모든 종류의 주제에서 가장 좋아하는 주제입니다. 제어 작업. 그들은 매우 간단하게 해결됩니다. 한 번만 연습하면 충분합니다. 우리가 말하는 내용을 명확히 하기 위해 새로운 정의를 도입합니다.
동차 삼각 방정식은 0이 아닌 각 항이 동일한 수의 삼각 인수로 구성된 방정식입니다. 사인, 코사인 또는 이들의 조합이 될 수 있습니다. 솔루션 방법은 항상 동일합니다.
균질 삼각 방정식의 차수는 0이 아닌 항에 포함된 삼각 인수의 수입니다. 예:
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text( cos )x=0 — 1차 항등식;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text( 죄)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2차;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3차;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 - 오른쪽에 단위가 있기 때문에 이 방정식은 균질하지 않습니다. 삼각 요소가 없는 0이 아닌 항입니다.
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0도 이차 방정식입니다. 요소 죄2x\sin 2x - 2차(상상할 수 있기 때문에)
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2싱크스 2 \ sin x - 첫 번째이고 3이라는 용어는 일반적으로 사인이나 코사인이 없기 때문에 일반적으로 0입니다.
일반 솔루션 체계
솔루션 구성표는 항상 동일합니다.
그런 척 하자 cosx=0\cosx=0. 그 다음에 sinx=±1\sin x=\pm 1 - 이것은 주 ID에서 따릅니다. 대리자 싱크\sin x 및 코스\cos x를 원래 표현식에 넣고 결과가 넌센스인 경우(예: 표현식 5=0 5=0), 두 번째 지점으로 이동합니다.
우리는 모든 것을 코사인의 거듭제곱으로 나눕니다: cosx, cos2x, cos3x ... - 방정식의 거듭제곱 값에 따라 다릅니다. 우리는 tgx=t 교체 후에 성공적으로 해결된 접선과의 일반적인 평등을 얻습니다.
tgx=t찾은 근이 원래 표현에 대한 답이 됩니다.
이 비디오 수업의 도움으로 학생들은 동차 삼각 방정식의 주제를 공부할 수 있습니다.
정의를 내리자:
1) 1차 균질 삼각 방정식은 sin x + b cos x = 0처럼 보입니다.
2) 2차 동차 삼각 방정식은 sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0처럼 보입니다.
방정식 a sin x + b cos x = 0을 고려하십시오. a가 0이면 방정식은 b cos x = 0과 같을 것입니다. b가 0이면 방정식은 sin x = 0처럼 보일 것입니다. 이것은 우리가 이전 주제에서 가장 간단하고 해결한 방정식입니다.
이제 및 b가 0이 아닐 때 옵션을 고려하십시오. 방정식의 일부를 코사인 x로 나누어 변환을 수행합니다. tg x + b = 0을 얻으면 tg x는 -b/a와 같습니다.
위에서부터 방정식 a sin mx + b cos mx = 0은 1차 동차 삼각 방정식임을 알 수 있습니다. 방정식을 풀려면 해당 부분을 cos mx로 나눕니다.
예제 1을 분석해 봅시다. 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0을 풉니다. 먼저 방정식의 부분을 코사인 (x / 2)으로 나눕니다. 사인을 코사인으로 나눈 값이 탄젠트임을 알면 7 tg(x / 2) - 5 = 0이 됩니다. 표현식을 변환하면 탄젠트 값(x / 2)이 5/7임을 알 수 있습니다. 이 방정식의 해는 x = arctan a + πn이며, 이 경우 x = 2 arctan (5/7) + 2πn입니다.
방정식 a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0을 고려하십시오.
1) 0과 같으면 방정식은 b sin x cos x + c cos 2 x = 0처럼 보일 것입니다. 변환하면 cos x (b sin x + c cos x) = 0이라는 표현을 얻고 솔루션으로 진행합니다. 두 방정식의. 방정식의 일부를 코사인 x로 나눈 후 b tg x + c = 0을 얻습니다. 이는 tg x = - c/b를 의미합니다. x \u003d arctan a + πn을 알면 이 경우의 해는 x \u003d arctg (- c / b) + πn이 됩니다.
2) a가 0이 아닌 경우 방정식의 일부를 코사인 제곱으로 나눔으로써 제곱이 될 탄젠트를 포함하는 방정식을 얻습니다. 이 방정식은 새로운 변수를 도입하여 풀 수 있습니다.
3) c가 0일 때 방정식은 a sin 2 x + b sin x cos x = 0의 형식을 취합니다. 이 방정식은 대괄호에서 x의 사인을 빼면 풀 수 있습니다.
1. 방정식에 sin 2 x가 있는지 확인하십시오.
2. 방정식에 a sin 2 x라는 용어가 포함되어 있으면 두 부분을 코사인 제곱으로 나눈 다음 새 변수를 도입하여 방정식을 풀 수 있습니다.
3. 방정식 a sin 2 x에 포함되지 않은 경우 대괄호 cosx를 제거하여 방정식을 풀 수 있습니다.
예 2를 고려하십시오. 코사인을 제거하고 두 개의 방정식을 얻습니다. 첫 번째 방정식의 근은 x = π/2 + πn입니다. 두 번째 방정식을 풀기 위해 이 방정식의 부분을 코사인 x로 나누고 변환을 통해 x = π/3 + πn을 얻습니다. 답: x = π/2 + πn 및 x = π/3 + πn.
예제 3, 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 형식의 방정식을 풀고 - π에서 π까지의 세그먼트에 속하는 근을 찾습니다. 왜냐하면 이 방정식은 비균일이므로 이를 동질 형태로 줄여야 합니다. 공식 sin 2 x + cos 2 x = 1을 사용하여 방정식 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0을 얻습니다. 방정식의 모든 부분을 cos 2 x로 나누면 tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 새로운 변수 z = tg 2x의 도입을 사용하여 근이 z = 1인 방정식을 풉니다. 그런 다음 tg 2x = 1, 즉 x = π/8 + (πn)/2를 의미합니다. 왜냐하면 문제의 조건에 따라 - π에서 π까지의 세그먼트에 속하는 근을 찾아야 합니다. 솔루션은 - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
텍스트 해석:
동차 삼각 방정식
오늘 우리는 "균일 삼각 방정식"이 어떻게 해결되는지 분석할 것입니다. 이것은 특별한 종류의 방정식입니다.
정의에 대해 알아봅시다.
유형 방정식 그리고 sinx+비코사인엑스 = 0 (그리고 사인 x 더하기 코사인 x는 0임) 1차 동차 삼각 방정식이라고 합니다.
형태의 방정식 죄 2 x+비죄 x코사인엑스+c코사인 2 엑스= 0 (그리고 사인 제곱 x 더하기 사인 x 코사인 x 플러스 se 코사인 제곱 x는 0임) 2차 동차 삼각 방정식이라고 합니다.
만약 a=0, 방정식은 다음 형식을 취합니다. 비코사인엑스 = 0.
만약 비 = 0 , 그럼 우리는 그리고 sin x = 0입니다.
이 방정식은 기본 삼각법이며 이전 주제에서 해당 솔루션을 고려했습니다.
고려하다두 계수가 모두 0이 아닌 경우. 방정식의 양변을 나눕니다. ㅏ죄엑스+ 비코사인엑스 = 0 기간별 코사인엑스.
코사인 x가 0이 아니기 때문에 우리는 이것을 할 수 있습니다. 결국, 만약 코사인엑스 = 0 , 다음 방정식 ㅏ죄엑스+ 비코사인엑스 = 0 형태를 취할 것이다 ㅏ죄엑스 = 0 , ㅏ≠ 0, 따라서 죄엑스 = 0 . 기본 삼각법에 따르면 불가능합니다. 죄 2x+코사인 2 엑스=1 .
방정식의 양변 나누기 ㅏ죄엑스+ 비코사인엑스 = 0 기간별 코사인엑스, 우리는 다음을 얻습니다: + =0
변환을 수행해 보겠습니다.
1. 이후 = tg x, 그럼 =그리고 tg x
2 감소 코사인엑스, 그 다음에
따라서 우리는 다음 표현식을 얻습니다. 및 tg x + b = 0.
변환을 해보자:
1. b를 반대 기호가 있는 식의 오른쪽으로 이동
및 tg x \u003d - b
2. 승수를 없애라 방정식의 양변을 다음으로 나눕니다.
tg x= -.
결론: 형식의 방정식 그리고 죄중엑스+비코사인MX = 0 (그리고 사인 em x 더하기 코사인 em x는 0임) 1차 동차 삼각 방정식이라고도 합니다. 이를 해결하려면 양변을 다음으로 나눕니다. 코사인MX.
예 1. 방정식 7 sin - 5 cos \u003d 0 풀기(7 사인 x 2 빼기 5 코사인 x 2는 0임)
해결책. 방정식 항의 두 부분을 cos로 항으로 나눕니다.
1. \u003d 7 tg (사인 대 코사인의 비율이 접선이므로 7 사인 x 2를 코사인 x 2로 나눈 값은 7 탄젠트 x 2와 같습니다.)
2. -5 = -5(Cos로 축약된 경우)
따라서 우리는 방정식을 얻었다
7tg - 5 = 0, 식을 변환하고 마이너스 5를 오른쪽으로 이동하여 부호를 변경해 보겠습니다.
방정식을 tg t = a 형식으로 축소했습니다. 여기서 t=, a =입니다. 그리고 이 방정식에는 모든 값에 대한 솔루션이 있으므로 ㅏ 이러한 솔루션은 다음과 같습니다.
x \u003d arctg a + πn이면 방정식의 해는 다음과 같습니다.
Arctg + πn, x 찾기
x \u003d 2 arctan + 2πn.
답: x \u003d 2 arctg + 2πn.
2차 균질 삼각 방정식으로 이동합시다.
ㅏ죄 2 x+b 죄 x cos x +와 함께cos2 x= 0.
몇 가지 경우를 생각해 보자.
나. 만약 a=0, 방정식은 다음 형식을 취합니다. 비죄엑스코사인엑스+c코사인 2 엑스= 0.
전자를 풀 때그런 다음 방정식의 인수분해 방법을 사용합니다. 테이크 아웃하자 코사인엑스대괄호와 우리는 다음을 얻습니다. 코사인엑스(비죄엑스+c코사인엑스)= 0 . 어디에 코사인엑스= 0 또는
b 죄 x +와 함께코사인 x= 0.그리고 우리는 이미 이 방정식을 푸는 방법을 알고 있습니다.
방정식 항의 두 부분을 cosx로 항으로 나눕니다.
1(사인 대 코사인의 비율이 탄젠트이기 때문).
따라서 우리는 방정식을 얻습니다. 비 tg x+c=0
방정식을 tg t = a 형식으로 축소했습니다. 여기서 t= x, a =입니다. 그리고 이 방정식에는 모든 값에 대한 솔루션이 있으므로 ㅏ이러한 솔루션은 다음과 같습니다.
x \u003d arctg a + πn이면 방정식의 해는 다음과 같습니다.
x \u003d arctg + πn, .
Ⅱ. 만약 ≠0, 그런 다음 방정식 항의 두 부분을 항으로 나눕니다. 코사인 2 엑스.
(유사하게 논증하면 1차 동차 삼각 방정식의 경우 코사인 x는 사라질 수 없습니다).
III. 만약 c=0, 방정식은 다음 형식을 취합니다. ㅏ죄 2 엑스+ 비죄엑스코사인엑스= 0. 이 방정식은 인수분해 방법(take out 죄엑스대괄호).
따라서 방정식을 풀 때 ㅏ죄 2 엑스+ 비죄엑스코사인엑스+c코사인 2 엑스= 0 알고리즘을 따를 수 있습니다.
예 2. sinxcosx - cos 2 x= 0 방정식을 풉니다(사인 x 곱하기 코사인 x 빼기 3 곱하기 코사인 제곱 x는 0과 같음).
해결책. 인수분해(괄호 cosx)합시다. 얻다
cos x(sin x - cos x)= 0, 즉 cos x=0 또는 sin x - cos x= 0입니다.
답: x \u003d + πn, x \u003d + πn.
예 3. 방정식 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2를 풉니다(2 x의 3 사인 제곱 빼기 2 x의 사인과 2 x의 코사인 더하기 2 x의 3 코사인 제곱 곱의 곱) 간격(- π; π)에 속하는 근을 찾습니다.
해결책. 이 방정식은 동질적이지 않으므로 변환을 수행합니다. 방정식의 오른쪽에 포함된 숫자 2는 곱 2 1로 대체됩니다.
기본 삼각법 항등식에 따르면 sin 2 x + cos 2 x \u003d 1이므로
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 괄호를 열면 다음과 같이 됩니다. 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x
따라서 방정식 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2는 다음과 같은 형식을 취합니다.
3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
죄 2 2x - 2 죄 2x cos2 x + cos 2 2x =0.
우리는 2차 균질 삼각 방정식을 얻었습니다. cos 2 2x로 기간별 나누기를 적용해 보겠습니다.
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
새로운 변수 z= tg2x를 소개하겠습니다.
z 2 - 2 z + 1 = 0입니다. 이것은 이차 방정식입니다. 왼쪽에 있는 약식 곱셈 공식-차이의 제곱()을 보면 (z - 1) 2 = 0, 즉 z = 1. 역 치환으로 돌아가 봅시다.
방정식을 tg t \u003d a 형식으로 줄였습니다. 여기서 t \u003d 2x, a \u003d 1입니다. 그리고 이 방정식에는 모든 값에 대한 솔루션이 있으므로 ㅏ이러한 솔루션은 다음과 같습니다.
x \u003d arctg x a + πn이면 방정식의 해는 다음과 같습니다.
2x \u003d arctg1 + πn,
x \u003d + , (x는 pi 곱하기 8과 pi en 곱하기 2의 합과 같습니다).
간격에 포함 된 x 값을 찾는 것은 우리에게 남아 있습니다.
(- π; π), 즉 이중 부등식 - π x π를 충족합니다. 왜냐하면
x= + , - π + π. 이 부등식의 모든 부분을 π로 나누고 8을 곱하면 다음을 얻습니다.
단위를 오른쪽과 왼쪽으로 이동하고 기호를 마이너스 1로 변경
우리는 4로 나눕니다
편의를 위해 분수에서 정수 부분을 선택합니다.
- 이 부등식은 다음 정수 n으로 충족됩니다. -2, -1, 0, 1 정의 1 . A를 일부라고 하자 숫자 쌍의 집합 (엑스; 와이) . 집합 A가 주어진다고 한다. 숫자 함수지 두 변수로부터 x 및 y , 규칙이 지정된 경우 집합 A의 각 숫자 쌍에 특정 숫자가 할당됩니다. 두 변수 x와 y의 수치 함수 z를 지정하는 것은 종종 가리키다그래서: 어디 에프 (엑스 , 와이)
- 기능 이외의 모든 기능 에프 (엑스 , 와이) = ax+by+c , 여기서, b, c는 숫자가 주어집니다. 정의 3 . 식 (2) 해숫자 쌍의 이름을 지정 엑스; 와이) , 여기서 공식 (2)는 진정한 평등입니다. 예 1 . 방정식을 풀다 임의의 수의 제곱은 음이 아니므로 미지수 x와 y가 연립방정식을 만족한다는 공식 (4)를 따릅니다. 그 해는 한 쌍의 숫자 (6 ; 3) 입니다. 답: (6; 3) 예 2 . 방정식을 풀다 따라서 식 (6)의 해는 무한한 숫자 쌍친절한 (1 + 와이 ; 와이) , 여기서 y는 임의의 숫자입니다. 정의 4 . 연립방정식 풀기 숫자 쌍의 이름을 지정 엑스; 와이) , 이 시스템의 각 방정식에 대입하면 올바른 평등을 얻습니다. 둘 중 하나가 선형인 두 방정식의 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다. g(엑스 , 와이)
예 4 . 연립방정식 풀기 해결책 . 시스템 (7)의 첫 번째 방정식에서 미지수 y를 미지수 x로 표현하고 결과 식을 시스템의 두 번째 방정식에 대입합시다. 방정식 풀기 엑스 1 = - 1 , 엑스 2 = 9 . 따라서, 와이 1 = 8 - 엑스 1 = 9 , 둘 중 하나가 동질인 두 방정식의 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 여기서 a , b , c 는 숫자가 주어지고 g(엑스 , 와이)
두 변수 x 와 y 의 함수입니다. 실시예 6. 연립방정식 풀기 해결책 . 동차방정식을 풀자 3엑스 2 + 2xy - 와이 2 = 0 , 3엑스 2 + 17xy + 10와이 2 = 0 , 미지의 x에 대한 이차 방정식으로 처리: 경우에 엑스 = - 5와이, 시스템 (11)의 두 번째 방정식에서 우리는 방정식을 얻습니다. 5와이 2 = - 20 , 뿌리가 없는 것. 경우에 시스템 (11)의 두 번째 방정식에서 우리는 방정식을 얻습니다. 그 뿌리는 숫자 와이 1 = 3 , 와이 2 = - 3 .
이러한 값 y 각각에 대해 해당 값 x 를 찾으면 시스템에 대한 두 가지 솔루션을 얻습니다. (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) . 답: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) 실시예 8 . 연립방정식(MIPT) 풀기 해결책 . 새로운 미지수 u 와 v 를 소개합니다. 이는 다음 공식으로 x와 y로 표현됩니다. 새로운 미지수로 시스템 (12)를 다시 작성하려면 먼저 미지수 x와 y를 u와 v로 표현합니다. 다음은 시스템 (13)에서 다음과 같습니다. 이 시스템의 두 번째 방정식에서 변수 x를 제외하여 선형 시스템(14)을 풉니다. 이를 위해 시스템(14)에서 다음 변환을 수행합니다. 결과적으로 시스템(14)은 등가 시스템으로 변환됩니다. 우리가 찾는 공식 (13)과 (15)를 사용하여 원래 시스템 (12)를 다음과 같이 다시 작성합니다. 시스템 (16)의 첫 번째 방정식은 선형이므로 미지 u를 미지수 v로 표현하고 이 식을 시스템의 두 번째 방정식으로 대입할 수 있습니다. 수업 주제: "동차 삼각 방정식"
(10 학년)
표적:
I 및 II도의 균질 삼각 방정식의 개념을 소개합니다. I 및 II 도의 균질 삼각 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화하고 계산합니다. 학생들에게 I 및 II도의 균질 삼각 방정식을 풀도록 가르칩니다. 패턴을 식별하고 일반화하는 능력을 개발하십시오. 주제에 대한 관심을 자극하고 결속력과 건전한 경쟁심을 키웁니다. 수업 유형:
새로운 지식 형성의 교훈. 행동 양식:
그룹 작업. 장비:
컴퓨터, 멀티미디어 설치 수업 중 조직 시간
학생들에게 인사를 하고 이목을 집중시킵니다. 수업에서 지식 평가를위한 평가 시스템 (교사는 지식 평가 시스템을 설명하고 교사가 학생 중에서 선택한 독립적 인 전문가에 의해 평가 시트를 작성합니다).
강의에는 프레젠테이션이 동반됩니다. .
기본 지식의 업데이트.
숙제는 수업과 평가 시트가 완성되기 전에 독립적인 전문가와 컨설턴트에 의해 확인되고 평가됩니다. 선생님은 숙제를 요약합니다. 선생님:
우리는 "삼각 방정식"이라는 주제에 대한 연구를 계속합니다. 오늘 수업에서 우리는 삼각 방정식의 또 다른 유형과 해결 방법으로 당신을 알게 될 것이므로 배운 것을 반복 할 것입니다. 풀 때 모든 유형의 삼각 방정식은 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다. 그룹으로 수행한 개별 숙제를 확인합니다. "가장 간단한 삼각 방정식의 해" 프레젠테이션 방어 (그룹의 작업은 독립적인 전문가에 의해 평가됩니다)
학습 동기.
선생님:
우리는 십자말풀이 퍼즐을 푸는 일을 해야 합니다. 그것을 푼 후에 우리는 오늘 수업에서 해결하는 방법을 배울 새로운 유형의 방정식의 이름을 배웁니다. 질문은 칠판에 투사됩니다. 학생들은 독립적인 전문가가 답한 학생의 점수 시트에 점수를 입력한다고 추측합니다. 십자말 풀이를 풀면 사람들은 "균질"이라는 단어를 읽습니다.
새로운 지식의 동화.
선생님:
수업 주제는 "균일 삼각 방정식"입니다. 공과의 주제를 노트에 적어봅시다. 동차 삼각 방정식은 1차 및 2차입니다. 1차 동차 방정식의 정의를 적어 보겠습니다. 나는 이 유형의 방정식의 해를 보여주기 위해 예를 사용하고, 당신은 1차 동차 삼각 방정식을 푸는 알고리즘을 구성합니다. 유형 방정식 ㅏ싱크 + 비 cosx = 0은 1차 동차 삼각 방정식이라고 합니다. 계수가 다음과 같을 때 방정식의 해를 고려하십시오. ㅏ그리고 안에 0과 다릅니다. 예시:
sinx + cosx = 0 아르 자형 주목!
0으로 나누는 것은 이 표현이 어디에서도 0이 되지 않을 때만 가능하므로 분석해보자. 코사인이 0이면 계수가 0과 다르면 사인도 0이지만 사인과 코사인은 서로 다른 지점에서 사라진다는 것을 알고 있습니다. 따라서 이러한 유형의 방정식을 풀 때 이 연산을 수행할 수 있습니다. 1차 동차 삼각 방정식을 푸는 알고리즘: 방정식의 두 부분을 cosx, cosx 0으로 나누기 유형 방정식 ㅏ
죄 mx +비
코스 mx = 0그들은 또한 1차 균질 삼각 방정식을 호출하고 방정식의 두 부분을 코사인 mx로 나누기도 합니다. 유형 방정식 ㅏ
죄 2
x +비
싱크 콕스 +씨
cos2x = 0 2차 동차 삼각 방정식이라고 합니다. 예시
:
죄
2
x + 2sinx cosx - 3cos
2
x=0
계수 a는 0과 다르므로 이전 방정식에서와 같이 cosx는 0과 같지 않으므로 방정식의 두 부분을 cos 2 x로 나누는 방법을 사용할 수 있습니다. 우리는 tg 2 x + 2tgx - 3 = 0을 얻습니다. 새로운 변수 let tgx = a를 도입하여 풀고 방정식을 얻습니다. 2 + 2a - 3 = 0 D \u003d 4-4 (-3) \u003d 16 1 = 1 2 = -3 교체로 돌아가기 대답:
계수 a \u003d 0이면 방정식은 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0 형식을 취하며 공통 인자 cosx를 대괄호에서 빼서 해결합니다. 계수 c \u003d 0이면 방정식은 sin2x + 2sinx cosx \u003d 0 형식을 취하며 공통 인자 sinx를 대괄호에서 빼서 해결합니다. 1차 균질 삼각 방정식을 푸는 알고리즘: asin2 x 항이 방정식에 있는지 확인하십시오. 방정식에 asin2 x라는 용어가 포함되어 있으면(즉, a 0) 방정식의 양변을 cos2x로 나눈 다음 새 변수를 도입하여 방정식을 풉니다. asin2 x라는 용어가 방정식에 포함되지 않은 경우(즉, a = 0), 방정식은 인수분해 방법으로 풀립니다. cosx는 대괄호에서 제외됩니다. a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 형식의 동차 방정식은 같은 방식으로 풀립니다. 균질 삼각 방정식을 푸는 알고리즘은 102페이지의 교과서에 나와 있습니다. 체육 분 동차 삼각 방정식 풀이 능력 배양
문제집 열기 53페이지 1, 2군 결정 361-c 3,4조 363-v 결정 칠판에 해결책을 보여주고 설명하고 보완하십시오. 독립적인 전문가가 평가합니다. 문제집 No. 361-c의 문제 풀이 363-v 새로운 변수를 도입하여 해결 독립적 인 일.
방정식을 풉니다. 2 코사인 - 2 = 0 2cos2x – 3cosx +1 = 0 3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0 독립적인 작업이 끝나면 작업과 상호 검증이 바뀝니다. 정답은 칠판에 표시됩니다. 그런 다음 독립적인 전문가에게 전달됩니다. DIY 솔루션 수업을 요약합니다.
수업에서 어떤 종류의 삼각 방정식을 만났습니까? 1차 및 2차 삼각 방정식을 푸는 알고리즘. 숙제:
§
20.3 읽기. 361(d), 363(b), 난이도 추가 380(a). 십자말풀이.
올바른 단어를 입력하면 삼각 방정식 유형 중 하나의 이름을 얻게 됩니다. 방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 변수의 값은? (뿌리)
각도 단위? (라디안)
제품의 숫자 승수? (계수)
삼각함수를 연구하는 수학의 한 분야? (삼각법)
삼각 함수를 도입하려면 어떤 수학적 모델이 필요합니까? (원)
삼각함수 중 짝수인 것은? (코사인)
진정한 평등이란 무엇입니까? (신원)
변수와의 평등? (방정식)
뿌리가 같은 방정식은? (동등한)
방정식의 근 세트 ? (해결책)
평가지 № 성, 선생님 이름 숙제 프레젠테이션 인지 활동 방정식 풀기 독립적인 숙제 - 12점 (3개의 방정식 4 x 3 = 12가 숙제로 주어졌습니다) 프레젠테이션 - 1점 학생 활동 - 1개 답변 - 1점(최대 4점) 방정식 풀기 1점 독립적인 작업 - 4점 그룹 등급:
"5" - 22점 이상 두 미지수의 비선형 방정식
선의
와이 2 = 8 - 엑스 2 = - 1 .
두 방정식의 시스템, 그 중 하나는 동차
.
,다른 유형의 방정식 풀이 시스템의 예
방정식 항의 두 부분을 항으로 cosx로 나누면 다음을 얻습니다.
sinx - 3cosx = 0
방정식의 양변을 cosx 0으로 나누면 다음을 얻습니다. 
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
방정식의 양변을 cos2x로 나누면 tg2x + tgx – 2 = 0이 됩니다.
tgx = a라고 하면 방정식을 얻습니다.
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
교체로 돌아가기
n\n
공부하다
일하다
"4" - 18 - 21점
"3" - 12 - 17점
