선형 대수 방정식의 균질 시스템. 선형 대수 방정식의 풀이 시스템, 솔루션 방법, 예제

매트릭스 데이터

찾기: 1) aA - bB,

해결책: 1) 행렬에 숫자를 곱하고 행렬을 더하는 규칙을 사용하여 순차적으로 찾습니다.

2. 다음과 같은 경우 A*B 찾기

해결책: 행렬 곱셈 규칙 사용

대답:

3. 주어진 행렬에 대해 마이너 M 31을 찾아 행렬식을 계산합니다.

해결책: 마이너 M 31은 A에서 구한 행렬의 행렬식

행 3과 열 1을 삭제한 후. 찾기

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

행렬식을 변경하지 않고 행렬 A를 변환해 봅시다(행 1에서 0을 만들자).

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

이제 행 1을 따라 확장하여 행렬 A의 행렬식을 계산합니다.

답변: M 31 = 0, detA = 0

Gauss 방법과 Cramer 방법을 사용하여 풉니다.

2x1 + x2 + x3 = 2

엑스 1 + 엑스 2 + 3엑스 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

해결책: 점검 해보자

Cramer의 방법을 사용할 수 있습니다.

시스템 솔루션: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

가우스 방법을 적용합니다.

시스템의 확장 행렬을 삼각형 형태로 줄입니다.

계산의 편의를 위해 행을 바꿉니다.

두 번째 행에 (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) 세 번째 항목에 추가합니다.

	1 / 2		7 / 2

첫 번째 행에 (k = -2 / 2 = -1 ) 두 번째 항목에 추가합니다.

이제 원래 시스템은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

두 번째 줄부터 우리는 표현

첫 줄부터 우리는 표현합니다

해결책은 동일합니다.

답변: (2; -5; 3)

찾다 일반적인 결정시스템 및 FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 6x5 = 0

7x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 0

해결책: 가우스법을 적용합니다. 시스템의 확장 행렬을 삼각형 형태로 줄입니다.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
× 1	x2	x 3	x4	x5

첫 번째 행에 (-11)을 곱합니다. 두 번째 행에 (13)을 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

	-2		-2	-3

두 번째 행에 (-5)를 곱합니다. 세 번째 행에 (11)을 곱합니다. 두 번째 줄에 세 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

세 번째 행에 (-7)을 곱합니다. 4번째 행에 (5)를 곱합니다. 4번째 줄을 3번째 줄에 추가해 보겠습니다.

두 번째 방정식은 나머지 방정식의 선형 조합입니다.

행렬의 순위를 찾습니다.

	-18	-24	-18	-27
× 1	x2	x 3	x4	x5

선택된 마이너는 (가능한 모든 마이너 중에서) 가장 높은 차수를 가지며 0이 아니므로(역대각선에 있는 요소의 곱과 같음) rang(A) = 2입니다.

이 마이너는 기본입니다. 여기에는 알려지지 않은 x 1, x 2에 대한 계수가 포함되며, 이는 알려지지 않은 x 1, x 2가 종속(기본)이고 x 3, x 4, x 5가 자유임을 의미합니다.

이 행렬의 계수가 있는 시스템은 원래 시스템과 동일하며 형식은 다음과 같습니다.

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

미지의 제거 방법으로, 우리는 일반적인 결정:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

× 1 = - 1 / 3 × 3

우리는 (n-r) 솔루션으로 구성된 솔루션의 기본 시스템(FSR)을 찾습니다. 우리의 경우 n=5, r=2이므로 솔루션의 기본 시스템은 3개의 솔루션으로 구성되며 이러한 솔루션은 선형적으로 독립적이어야 합니다.

행이 선형독립이 되려면 행의 요소로 구성된 행렬의 랭크가 행의 개수, 즉 3개와 같아야 합니다.

0이 아닌 3차 행렬식의 행에서 자유 미지수 x 3 ,x 4 ,x 5 값을 제공하고 x 1 ,x 2 를 계산하는 것으로 충분합니다.

가장 간단한 0이 아닌 행렬식은 항등 행렬입니다.

그러나 여기에서 복용하는 것이 더 편리합니다

일반적인 솔루션을 사용하여 다음을 찾습니다.

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = -1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4Þ

나 FSR 결정: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = -1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR 결정: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = -1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR 결정: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. 주어진 경우 : z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2-4i. 찾기: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

해결책: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

답변: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i

허락하다 중 0은 균질 시스템(4)의 솔루션 세트입니다. 선형 방정식.

정의 6.12.벡터 와 함께 1 ,와 함께 2 , …, 피와 함께, 선형 방정식의 균질 시스템의 해인 을 호출합니다. 기본 솔루션 세트(약칭 FNR) 경우

1) 벡터 와 함께 1 ,와 함께 2 , …, 피와 함께선형 독립(즉, 어느 것도 다른 것으로 표현될 수 없음);

2) 선형 방정식의 균질 시스템의 다른 모든 솔루션은 솔루션으로 표현될 수 있습니다. 와 함께 1 ,와 함께 2 , …, 피와 함께.

만약 와 함께 1 ,와 함께 2 , …, 피와 함께일부 f.n.r.인 경우 다음 식으로 케이 1× 와 함께 1 + 케이 2배 와 함께 2 + … + kp× 피와 함께전체 세트를 설명할 수 있습니다. 중시스템 (4)에 대한 0 솔루션이므로 호출됩니다. 시스템 솔루션의 일반적인 모습 (4).

정리 6.6.선형 방정식의 무한 균질 시스템에는 기본 솔루션 세트가 있습니다.

기본 솔루션 세트를 찾는 방법은 다음과 같습니다.

선형 방정식의 균질 시스템의 일반 솔루션을 찾으십시오.

짓다 ( N – 아르 자형) 이 시스템의 부분 솔루션인 반면 자유 미지수의 값은 항등 행렬을 형성해야 합니다.

써 일반적인 형태에 포함된 솔루션 중 0 .

예 6.5.다음 시스템의 기본 솔루션 세트를 찾으십시오.

해결책. 이 시스템의 일반적인 솔루션을 찾아봅시다.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ 이 시스템에는 5개의 미지수( N= 5), 그 중 2개의 주요 미지수( 아르 자형= 2), 3개의 자유 미지수( N – 아르 자형), 즉 기본 솔루션 세트에는 세 개의 솔루션 벡터가 포함됩니다. 그것들을 만들어 봅시다. 우리는 엑스 1과 엑스 3 - 주요 미지수, 엑스 2 , 엑스 4 , 엑스 5 - 무료 미지수

무료 미지수의 값 엑스 2 , 엑스 4 , 엑스 5 항등 행렬 형성 이자형세 번째 주문. 그 벡터를 얻었다 와 함께 1 ,와 함께 2 , 와 함께 3형 f.n.r. 이 시스템. 그러면 이 균질 시스템의 솔루션 세트는 중 0 = {케이 1× 와 함께 1 + 케이 2배 와 함께 2 + 케이 3배 와 함께 3 , 케이 1 , 케이 2 , 케이 3 О R).

이제 균질 선형 방정식 시스템의 0이 아닌 솔루션의 존재 조건, 즉 기본 솔루션 세트의 존재 조건을 알아 보겠습니다.

선형 방정식의 균질 시스템은 0이 아닌 솔루션을 갖습니다. 즉, 다음과 같은 경우 부정확합니다.

1) 시스템의 메인 매트릭스의 랭크 숫자보다 작음알려지지 않은;

2) 동차 선형 방정식 시스템에서 방정식의 수는 미지의 수보다 적습니다.

3) 선형 방정식의 균질 시스템에서 방정식의 수가 미지의 수와 같고 주 행렬의 결정자가 0과 같은 경우(즉, | ㅏ| = 0).

예제 6.6. 매개변수의 어떤 값에서 ㅏ선형 방정식의 균질 시스템 0이 아닌 솔루션이 있습니까?

해결책. 이 시스템의 주행렬을 구성하고 행렬식을 찾아봅시다: = = 1×(–1) 1+1 × = – ㅏ– 4. 이 행렬의 행렬식은 다음과 같은 경우 0과 같습니다. ㅏ = –4.

대답: –4.

7. 산술 N-차원 벡터 공간

기본 컨셉

이전 섹션에서 우리는 이미 특정 순서로 배열된 실수 집합의 개념을 접했습니다. 이것은 행 행렬(또는 열 행렬)이며 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션입니다. N알려지지 않은. 이 정보는 요약될 수 있습니다.

정의 7.1. N-차원 산술 벡터의 순서 집합이라고 합니다. N실수.

수단 ㅏ= (a 1 , a 2 , …, a N), 여기서 나오 R, 나 = 1, 2, …, N벡터의 일반적인 보기입니다. 숫자 N~라고 불리는 치수벡터와 숫자 a 나그를 불렀다 좌표.

예를 들어: ㅏ= (1, –8, 7, 4, )는 5차원 벡터입니다.

모든 설정 N-차원 벡터는 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다. R n.

정의 7.2.두 벡터 ㅏ= (a 1 , a 2 , …, a N) 그리고 비= (b1, b2, …, b N) 같은 차원의 동일한각각의 좌표가 동일한 경우에만, 즉 a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.

정의 7.3.합집합둘 N-차원 벡터 ㅏ= (a 1 , a 2 , …, a N) 그리고 비= (b1, b2, …, b N)를 벡터라고 합니다. ㅏ + 비= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a N+비 N).

정의 7.4. 일하다실수 케이벡터당 ㅏ= (a 1 , a 2 , …, a N)를 벡터라고 합니다. 케이× ㅏ = (케이×a 1 , 케이×a2, …, 케이×a N)

정의 7.5.벡터 ~에 대한= (0, 0, …, 0)이 호출됩니다. 영(또는 널 벡터).

벡터를 더하고 실수로 곱하는 동작(연산)이 다음과 같은 속성을 갖는지 쉽게 확인할 수 있습니다. ㅏ, 비, 씨 Î R n, " 케이, 엘또는:

1) ㅏ + 비 = 비 + ㅏ;

2) ㅏ + (비+ 씨) = (ㅏ + 비) + 씨;

3) ㅏ + ~에 대한 = ㅏ;

4) ㅏ+ (–ㅏ) = ~에 대한;

5) 1× ㅏ = ㅏ, 1 о R;

6) 케이×( 엘× ㅏ) = 엘×( 케이× ㅏ) = (엘× 케이)× ㅏ;

7) (케이 + 엘)× ㅏ = 케이× ㅏ + 엘× ㅏ;

8) 케이×( ㅏ + 비) = 케이× ㅏ + 케이× 비.

정의 7.6.많은 R n벡터를 더하고 여기에 주어진 실수를 곱하는 연산을 호출합니다. 산술 n차원 벡터 공간.

필드에 대한 선형 방정식의 균질 시스템

정의. 방정식 (1) 시스템의 기본 솔루션 시스템은 솔루션의 비어 있지 않은 선형 독립 시스템이며 선형 범위는 시스템 (1)의 모든 솔루션 세트와 일치합니다.

제로 해만 있는 선형 방정식의 균질 시스템은 다음을 갖지 않습니다. 기본 시스템솔루션.

발의안 3.11. 균질 선형 방정식 시스템의 두 가지 기본 솔루션 시스템은 다음으로 구성됩니다. 같은 번호솔루션.

증거. 실제로 방정식 (1)의 균질 시스템의 두 가지 기본 솔루션 시스템은 동등하고 선형적으로 독립적입니다. 따라서 발의안 1.12에 따라 이들의 순위는 동일합니다. 따라서 하나의 기본 시스템에 포함된 솔루션의 수는 다른 기본 솔루션 시스템에 포함된 솔루션의 수와 같습니다.

등식(1)의 균질 시스템의 주 행렬 A가 0이면 시스템(1)의 모든 벡터가 해입니다. 이 경우 선형 독립 벡터의 모든 컬렉션은 솔루션의 기본 시스템입니다. 행렬 A의 열 랭크가 이면 시스템(1)에는 하나의 솔루션(0)만 있습니다. 따라서 이 경우 방정식(1)의 시스템에는 기본 솔루션 시스템이 없습니다.

정리 3.12. 균질 선형 방정식 시스템(1)의 주 행렬 순위가 변수 수보다 작은 경우 시스템(1)은 솔루션으로 구성된 기본 솔루션 시스템을 갖습니다.

증거. 동차계(1)의 주행렬 A의 랭크가 0 또는 이면 정리가 참임을 위에서 보여주었다. 따라서 아래에서 가정하면 행렬 A의 첫 번째 열이 선형 독립이라고 가정합니다. 이 경우 행렬 A는 행 방향으로 축소된 계단 행렬과 동일하며 시스템 (1)은 다음과 같은 축소된 계단 방정식 시스템과 동일합니다.

시스템 (2)의 자유 변수 값 시스템이 시스템 (2)의 유일한 하나의 솔루션, 따라서 시스템 (1)에 해당하는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 특히, 계(2)와 계(1)의 영해만이 영값의 계에 해당한다.

시스템 (2)에서는 자유 변수 중 하나에 1과 같은 값을 할당하고 다른 변수에는 0 값을 할당합니다. 결과적으로 우리는 다음 행렬 C의 행으로 쓰는 방정식 (2)의 시스템에 대한 솔루션을 얻습니다.

이 행렬의 행 시스템은 선형 독립입니다. 실제로 평등의 모든 스칼라에 대해

평등은 다음과 같다

따라서 평등

행렬 C의 행 시스템의 선형 범위가 시스템 (1)의 모든 솔루션 집합과 일치함을 증명해 보겠습니다.

시스템의 임의 솔루션(1). 그런 다음 벡터

또한 시스템 (1)에 대한 솔루션이며,

가우스 방법에는 여러 가지 단점이 있습니다. 가우시안 방법에 필요한 모든 변환이 수행될 때까지 시스템이 일관성이 있는지 여부를 알 수 없습니다. 가우시안 방법은 문자 계수가 있는 시스템에는 적합하지 않습니다.

선형 방정식 시스템을 푸는 다른 방법을 고려하십시오. 이러한 방법은 행렬의 순위 개념을 사용하고 임의의 결합 시스템의 솔루션을 Cramer의 규칙이 적용되는 시스템의 솔루션으로 축소합니다.

예 1감소된 균질 시스템의 기본 솔루션 시스템과 비균질 시스템의 특정 솔루션을 사용하여 다음 선형 방정식 시스템의 일반 솔루션을 찾으십시오.

1. 행렬을 만든다 ㅏ및 시스템의 증강 매트릭스(1)

2. 시스템 탐색 (1) 호환성을 위해. 이를 위해 행렬의 순위를 찾습니다. ㅏ및 https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). 그것이 밝혀지면 시스템 (1) 호환되지 않습니다. 우리가 그것을 얻는다면 , 그러면 이 시스템은 일관되고 우리는 그것을 해결할 것입니다. (일관성 연구는 Kronecker-Capelli 정리를 기반으로 합니다).

ㅏ. 우리는 찾는다 rA.

찾다 rA, 우리는 행렬의 첫 번째, 두 번째 등의 연속적으로 0이 아닌 마이너를 고려할 것입니다. ㅏ그리고 그들을 둘러싼 미성년자들.

M1=1≠0 (1은 행렬의 왼쪽 상단 모서리에서 가져옵니다. 하지만).

경계 M1이 행렬의 두 번째 행과 두 번째 열입니다. . 우리는 계속 국경 M1두 번째 줄과 세 번째 열..gif" width="37" height="20 src=">. 이제 우리는 0이 아닌 마이너를 접합니다. М2′두 번째 순서.

우리는: (처음 두 열이 동일하기 때문에)

(두 번째와 세 번째 줄이 비례하기 때문입니다).

우리는 그것을 본다 rA=2, 그리고 행렬의 기본 마이너입니다 ㅏ.

비. 우리는 찾는다 .

충분히 기본적인 마이너 М2′행렬 ㅏ자유 멤버의 열과 모든 행이 있는 경계(마지막 행만 있음).

. 이것으로부터 М3''행렬 https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

왜냐하면 М2′- 행렬의 기초 마이너 ㅏ시스템 (2) , 이 시스템은 시스템과 동일합니다. (3) , 시스템의 처음 두 방정식으로 구성 (2) (을 위한 М2′행렬 A)의 처음 두 행에 있습니다.

(3)

기본 마이너는 https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">이므로 (4)

이 시스템에서 두 개의 무료 미지수( x2 그리고 x4 ). 그래서 FSR 시스템 (4) 두 가지 솔루션으로 구성되어 있습니다. 그것들을 찾기 위해 우리는 무료 미지수를 (4) 가치를 먼저 x2=1 , x4=0 , 그리고 - x2=0 , x4=1 .

~에 x2=1 , x4=0 우리는 얻는다:

.

이 시스템은 이미 유일한 것 솔루션(Cramer의 규칙 또는 다른 방법으로 찾을 수 있음). 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면 다음을 얻습니다.

그녀의 결정은 x1= -1 , x3=0 . 주어진 값 x2 그리고 x4 , 우리는 시스템의 첫 번째 기본 솔루션을 얻습니다. (2) : .

이제 우리는 (4) x2=0 , x4=1 . 우리는 다음을 얻습니다.

.

Cramer의 정리를 사용하여 이 시스템을 해결합니다.

.

시스템의 두 번째 기본 솔루션을 얻습니다. (2) : .

솔루션 β1 , β2 그리고 구성하다 FSR 시스템 (2) . 그런 다음 일반적인 솔루션은

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

여기 C1 , C2 임의의 상수입니다.

4. 하나 찾기 사적인 해결책 이기종 시스템(1) . 단락에서와 같이 3 , 시스템 대신 (1) 동등한 시스템을 고려 (5) , 시스템의 처음 두 방정식으로 구성 (1) .

(5)

무료 미지수를 오른쪽으로 옮깁니다. x2그리고 x4.

(6)

미지수를 무료로 제공하자 x2 그리고 x4 예를 들어, 임의의 값 x2=2 , x4=1 그리고 그들을 연결 (6) . 시스템을 잡자

이 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다(그 결정 요인이 М2′0). 이를 풀면(Cramer 정리 또는 Gauss 방법 사용) 다음을 얻습니다. x1=3 , x3=3 . 무료 미지의 값이 주어지면 x2 그리고 x4 , 우리는 얻는다 비균질 시스템의 특정 솔루션(1)α1=(3,2,3,1).

5. 이제 쓸 일이 남았다 비균질 시스템의 일반 솔루션 α(1) : 합과 같다 사적인 결정이 시스템과 축소된 균질 시스템의 일반 솔루션 (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

이는 다음을 의미합니다. (7)

6. 시험.시스템을 올바르게 해결했는지 확인하려면 (1) , 우리는 일반적인 솔루션이 필요합니다 (7) 대체하다 (1) . 각 방정식이 항등식( C1 그리고 C2 제거해야 함) 솔루션을 올바르게 찾은 것입니다.

우리는 대체할 것입니다 (7) 예를 들어 시스템의 마지막 방정식에서만 (1) (엑스1 + 엑스2 + 엑스3 ‑9 엑스4 =‑1) .

(3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

여기서 -1=-1. 우리는 정체성을 얻었다. 우리는 시스템의 다른 모든 방정식으로 이것을 수행합니다. (1) .

논평.확인은 일반적으로 상당히 번거롭습니다. 다음과 같은 "부분 검증"을 권장할 수 있습니다. 시스템의 전체 솔루션에서 (1) 임의의 상수에 일부 값을 할당하고 결과 특정 솔루션을 폐기된 방정식으로만 대체합니다(즉, (1) 에 포함되지 않는 것 (5) ). 신분증을 받으면 아마도, 시스템 솔루션 (1) 올바르게 찾았습니다(그러나 이러한 검사는 정확성을 완전히 보장하지 않습니다!). 예를 들어 (7) 놓다 C2=- 1 , C1=1, x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0을 얻습니다. 시스템 (1)의 마지막 방정식으로 대체하면 다음과 같습니다. - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , 즉 –1=–1. 우리는 정체성을 얻었다.

예 2선형 방정식 시스템에 대한 일반 솔루션 찾기 (1) , 주요 미지수를 무료로 표현합니다.

해결책.에서와 같이 예 1, 행렬 작성 ㅏ및 https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> 이 행렬의. 이제 우리는 시스템의 방정식 만 남깁니다. (1) , 계수는 이 기본 미성년자(즉, 처음 두 개의 방정식이 있음)에 포함되며 시스템(1)과 동일한 이들로 구성된 시스템을 고려합니다.

자유 미지수를 이 방정식의 우변으로 옮기자.

체계 (9) 올바른 부분을 자유 구성원으로 간주하여 가우시안 방법으로 해결합니다.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

옵션 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" 폭="192" 높이="106 src=">

옵션 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

옵션 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

옵션 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

모든 자유 항이 0과 같은 선형 방정식 시스템을 호출합니다. 동종의 :

모든 동종 시스템은 항상 일관적입니다. 영 (하찮은 ) 해결책. 문제는 어떤 조건에서 동종 시스템이 중요하지 않은 솔루션을 가질 수 있는지입니다.

정리 5.2.동종 시스템은 기본 행렬의 순위가 미지의 수보다 작은 경우에만 중요한 솔루션을 갖습니다.

결과. 정사각 균질 시스템은 시스템의 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우에만 중요한 솔루션을 갖습니다.

예 5.6.시스템에 중요한 솔루션이 있는 매개변수 l의 값을 결정하고 다음 솔루션을 찾습니다.

해결책. 이 시스템은 기본 행렬의 결정자가 0과 같을 때 중요한 솔루션을 갖습니다.

따라서 시스템은 l=3 또는 l=2일 때 사소하지 않습니다. l=3인 경우 시스템의 메인 행렬의 랭크는 1이다. 그러면 하나의 방정식만 남기고 다음과 같이 가정한다. 와이=ㅏ그리고 지=비, 우리는 얻는다 x=b-a, 즉.

l=2인 경우 시스템의 기본 매트릭스 순위는 2입니다. 그런 다음 기본 마이너로 선택합니다.

우리는 단순화 된 시스템을 얻습니다

여기에서 우리는 x=지/4, y=지/2. 가정 지=4ㅏ, 우리는 얻는다

동종 시스템의 모든 솔루션 세트는 매우 중요합니다. 선형 속성 : X 열인 경우 1 그리고 X 2 - 균질 시스템의 솔루션 AX = 0, 그런 다음 이들의 선형 조합ㅏ 엑스 1+b 엑스 2 또한 이 시스템의 솔루션이 될 것입니다.. 사실, 이후 도끼 1 = 0 그리고 도끼 2 = 0 , 그 다음에 ㅏ(ㅏ 엑스 1+b 엑스 2) = 도끼 1+b 도끼 2 = a · 0 + b · 0 = 0. 이 속성으로 인해 선형 시스템에 하나 이상의 솔루션이 있는 경우 이러한 솔루션이 무한히 많이 있을 것입니다.

선형 독립 열 이자형 1 , 이자형 2 , 에크균질 시스템의 솔루션인 을 이라고 합니다. 근본적인 의사결정 시스템 이 시스템의 일반 솔루션이 다음 열의 선형 조합으로 작성될 수 있는 경우 선형 방정식의 균일 시스템:

동종 시스템이 있는 경우 N변수이며 시스템의 주 행렬의 순위는 다음과 같습니다. 아르 자형, 그 다음에 케이 = n-r.

예 5.7.다음 선형 방정식 시스템의 기본 솔루션 시스템을 찾으십시오.

해결책. 시스템의 기본 행렬의 순위를 찾으십시오.

따라서, 이 방정식 시스템의 솔루션 세트는 차원의 선형 부분 공간을 형성합니다. n-r= 5 - 2 = 3. 기본 마이너로 선택

.

그런 다음 기본 방정식(나머지는 이러한 방정식의 선형 조합이 됨)과 기본 변수(나머지는 소위 자유 변수, 오른쪽으로 이동)만 남겨두고 단순화된 방정식 시스템을 얻습니다.

가정 엑스 3 = ㅏ, 엑스 4 = 비, 엑스 5 = 씨, 우리는 찾는다

, .

가정 ㅏ= 1, b=c= 0, 첫 번째 기본 솔루션을 얻습니다. 가정 비= 1, a = c= 0, 두 번째 기본 솔루션을 얻습니다. 가정 씨= 1, a = b= 0이면 세 번째 기본 솔루션을 얻습니다. 결과적으로 정상적인 기본 솔루션 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

기본 시스템을 사용하여 동종 시스템의 일반 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

엑스 = AE 1 + 이다 2 + CE삼 . ㅏ

선형 방정식의 비균질 시스템 솔루션의 일부 속성에 주목합시다. AX=B및 해당 동차 방정식 시스템과의 관계 도끼 = 0.

비균질 시스템의 일반 솔루션해당 균질 시스템 AX = 0의 일반 솔루션과 비균질 시스템의 임의의 특정 솔루션의 합과 같습니다.. 사실, 하자 와이 0은 비균질 시스템의 임의의 특정 솔루션, 즉 찬성 0 = 비, 그리고 와이비균질 시스템의 일반 솔루션, 즉 AY=비. 하나의 평등을 다른 평등에서 빼면
ㅏ(Y-Y 0) = 0, 즉 Y-Y 0은 해당 균질 시스템의 일반 솔루션입니다. 도끼=0. 따라서, Y-Y 0 = 엑스, 또는 Y=Y 0 + 엑스. Q.E.D.

비균질 시스템을 AX = B 형식으로 지정하십시오. 1 + 비 2 . 그런 다음 그러한 시스템의 일반적인 솔루션은 X = X로 쓸 수 있습니다. 1 + 엑스 2 , 여기서 AX 1 = 비 1 그리고 도끼 2 = 비 2. 이 속성은 일반적으로 모든 선형 시스템(대수, 미분, 함수 등)의 보편적 속성을 나타냅니다. 물리학에서는 이 속성을 중첩 원리, 전기 및 무선 공학 - 오버레이 원리. 예를 들어, 선형 전기 회로 이론에서 모든 회로의 전류는 각 에너지원에 의해 개별적으로 발생하는 전류의 대수적 합으로 얻을 수 있습니다.