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이미지의 선형 필터링은 공간 및 주파수 영역 모두에서 수행할 수 있습니다. 이 경우 "낮은" 공간 주파수는 이미지의 주요 내용인 배경 및 대형 개체에 해당하고 "높은" 공간 주파수는 작은 개체, 큰 모양의 작은 세부 사항 및 노이즈에 해당하는 것으로 간주됩니다. 요소.
전통적으로 $\textit(Fourier transform)$ 기반의 방법은 공간 주파수 영역으로 이동하는 데 사용됩니다. 에 지난 몇 년$\textit(wavelet-transform)$ 기반 방법도 점점 더 많이 사용됩니다.
푸리에 변환.
푸리에 변환을 사용하면 거의 모든 함수 또는 데이터 세트를 사인 및 코사인과 같은 삼각 함수의 조합으로 나타낼 수 있습니다. 이를 통해 데이터의 주기적인 구성 요소를 식별하고 원래 데이터의 구조 또는 모양에 대한 기여도를 평가할 수 있습니다. 함수. 전통적으로 푸리에 변환에는 적분 푸리에 변환, 푸리에 급수 및 이산 푸리에 변환의 세 가지 주요 형태가 있습니다.
적분 푸리에 변환은 실수 함수를 한 쌍의 실수 함수로 변환하거나 하나의 복잡한 함수를 다른 함수로 변환합니다.
실수 함수 $f(x)$는 삼각 함수의 직교 시스템으로 확장될 수 있습니다. 즉, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
여기서 $A(\omega)$ 및 $B(\omega)$는 적분 코사인 및 사인 변환이라고 합니다.
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x )\right)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\오른쪽)dx. $$
푸리에 급수는 주기 함수 $f(x)$를 구간 $$에서 사인과 코사인의 무한 급수로 나타냅니다. 그건 주기 함수$f(x)$에는 푸리에 계수의 무한 시퀀스가 할당됩니다.
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
이산 푸리에 변환은 유한한 실수 시퀀스를 유한한 푸리에 계수 시퀀스로 변환합니다.
$\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $를 일련의 실수라고 가정합니다. 예를 들어 이미지 라인을 따라 픽셀 밝기를 읽습니다. 이 수열은 다음 형식의 유한 합의 조합으로 나타낼 수 있습니다.
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right) ), \quad i\le k 푸리에 변환의 세 가지 형태 사이의 주요 차이점은 적분 푸리에 변환이 함수 $f(x)$의 전체 도메인에 대해 정의되면 급수와 이산 푸리에 변환은 다음의 이산 집합에서만 정의된다는 것입니다. 푸리에 급수에 대해 무한하고 불연속 변환에 대해 유한한 점입니다. 푸리에 변환의 정의에서 알 수 있듯이 디지털 신호 처리 시스템에 대한 가장 큰 관심은 이산 푸리에 변환입니다. 디지털 미디어 또는 정보 소스에서 얻은 데이터는 벡터 또는 행렬로 작성된 정렬된 숫자 집합입니다. 일반적으로 불연속 변환을 위한 입력 데이터는 $\Delta$ 단계의 균일한 샘플이고 $T=N\Delta$ 값을 레코드의 길이 또는 주 주기라고 합니다. 기본 주파수는 $1/T$와 같습니다. 따라서 이산 푸리에 변환에서 입력 데이터는 기본 주파수의 정수배인 주파수로 분해됩니다. 입력 데이터의 차원에 의해 결정되는 최대 주파수는 $1/2 \Delta $이고 $\it(나이퀴스트 주파수)$라고 합니다. Nyquist 주파수를 고려하는 것은 불연속 변환을 사용할 때 필수적입니다. 입력 데이터에 Nyquist 주파수를 초과하는 주기적인 요소가 있는 경우 이산 푸리에 변환을 계산할 때 높은 주파수 데이터가 더 낮은 주파수로 대체되어 이산 변환 결과를 해석하는 데 오류가 발생할 수 있습니다. 데이터 분석을 위한 중요한 도구는 $\it(에너지 스펙트럼)$입니다. 주파수 $\omega $에서의 신호 강도는 다음과 같이 결정됩니다. $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ) . $$ 이 값은 종종 주파수 $\omega $에서 $\it(신호 에너지)$라고 합니다. Parseval의 정리에 따르면 입력 신호의 총 에너지는 모든 주파수에 대한 에너지의 합과 같습니다. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i ) \오른쪽)) . $$ 전력 대 주파수의 도표를 에너지 스펙트럼 또는 전력 스펙트럼이라고 합니다. 에너지 스펙트럼을 통해 입력 데이터의 숨겨진 주기성을 밝히고 입력 데이터의 구조에 대한 특정 주파수 구성 요소의 기여도를 평가할 수 있습니다. 이산 푸리에 변환의 삼각법 형식 외에도 $\it(complex representation)$이 널리 사용됩니다. 복잡한 형태의 푸리에 변환은 다변량 분석, 특히 이미지 처리에서 널리 사용됩니다. 삼각법에서 복잡한 형태로의 전환은 오일러 공식을 기반으로 수행됩니다. $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ 입력 시퀀스가 $N$ 복소수이면 이산 푸리에 변환은 다음과 같습니다. $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ 그리고 역변환 $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ 입력 시퀀스가 실수의 배열인 경우 복소수 및 사인-코사인 이산 변환이 모두 있습니다. 이러한 표현의 관계는 다음과 같이 표현됩니다. $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ 변환의 나머지 $N/2$ 값은 켤레 복소수이며 추가 정보를 전달하지 않습니다. 따라서 이산 푸리에 변환의 전력 스펙트럼 그래프는 $N/2$에 대해 대칭입니다. DFT(Discrete Fourier Transform)를 계산하는 가장 간단한 방법은 계수당 $N$ 연산을 수행하는 직접 합산입니다. 총 $N$개의 계수가 있으므로 총 복잡도는 $O\left((N^2) \right)$입니다. 이 접근 방식은 $O (N\log N)$ 복잡도를 갖는 고속 푸리에 변환(FFT)이라고 하는 DFT를 계산하는 훨씬 더 효율적인 방법이 있기 때문에 실질적인 관심이 없습니다. FFT는 길이(요소 수)가 2의 배수인 시퀀스에만 적용됩니다. FFT 알고리즘의 가장 일반적인 원칙은 입력 시퀀스를 두 개의 절반 길이 시퀀스로 분할하는 것입니다. 첫 번째 시퀀스는 짝수 데이터로 채워지고 두 번째 시퀀스는 홀수 데이터로 채워집니다. 이렇게 하면 두 개의 $N/2$ 변환을 통해 DFT 계수를 계산할 수 있습니다. $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$를 나타내면 $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/2) ^(mn) \omega _N^m $. $m에 대해< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. $M\times N$ 숫자의 2차원 배열에 대한 이산 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다. $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$ 그리고 역변환 $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$ 이미지 처리의 경우 2D 푸리에 변환의 구성 요소를 $\textit(공간 주파수)$라고 합니다. 2차원 푸리에 변환의 중요한 속성은 1차원 FFT 절차를 사용하여 계산할 수 있다는 것입니다. $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ 여기서 대괄호 안의 표현은 데이터 행렬의 1차원 행 변환으로 1차원 FFT로 수행할 수 있습니다. 따라서 2차원 푸리에 변환을 얻으려면 먼저 1차원 행 변환을 계산하고 결과를 원래 행렬에 쓰고 결과 행렬의 열에 대한 1차원 변환을 계산해야 합니다. 2차원 푸리에 변환을 계산할 때 매트릭스의 모서리에 저주파가 집중되어 수신된 정보의 추가 처리에 그다지 편리하지 않습니다. 낮은 주파수가 매트릭스 중앙에 집중되어 있는 2차원 푸리에 변환 표현을 변환하려면 원본 데이터에 $-1^(m+n)$을 곱하는 간단한 절차를 수행하면 됩니다. . 무화과. 그림 16은 원본 이미지와 푸리에 변환을 보여줍니다. 그레이스케일 이미지 및 푸리에 이미지(LabVIEW 시스템에서 얻은 이미지) 함수 $s(t)$ 및 $r(t)$의 컨벌루션은 다음과 같이 정의됩니다. $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ 실제로는 연속 함수가 균일 그리드의 노드에서 값 세트로 대체되는 이산 컨벌루션을 처리해야 합니다(일반적으로 정수 그리드가 사용됨). $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ 여기서 $-N$ 및 $P$는 $r(t) = 0$를 초과하는 범위를 정의합니다. 푸리에 변환을 사용하여 컨벌루션을 계산할 때 푸리에 변환의 속성이 사용되며, 이에 따라 주파수 영역에서 함수 이미지의 곱은 시간 영역에서 이러한 함수의 컨벌루션과 동일합니다. 조정을 계산하려면 원래 데이터를 주파수 영역으로 변환해야 합니다. 즉, 푸리에 변환을 계산하고 변환 결과를 곱한 다음 역 푸리에 변환을 수행하여 원래 표현을 복원해야 합니다. 알고리즘 작동의 유일한 미묘함은 이산 푸리에 변환(연속 변환과 반대)의 경우 두 개의 주기적 함수가 컨볼루션된다는 사실과 관련이 있습니다. 축의 일부 별도 섹션에 있는 값뿐만 아니라 이러한 함수의 주기를 정확하게 나타냅니다. 즉, 알고리즘은 점 $x_(N )$ 뒤에 0이 아니라 점 $x_(0)$ 등이 원으로 있다고 간주합니다. 따라서 컨벌루션을 올바르게 계산하려면 충분히 긴 0 시퀀스를 신호에 할당해야 합니다. 선형 필터링 방법은 빠른 컨벌루션 알고리즘과 스펙트럼 분석을 기반으로 하는 효율적인 계산 방식이 개발된 잘 구조화된 방법 중 하나입니다. 일반적으로 선형 필터링 알고리즘은 다음 형식의 변환을 수행합니다. $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ 여기서 $K(\zeta ,\eta)$는 선형 변환의 커널입니다. 신호의 불연속 표현으로 이 공식의 적분은 특정 조리개 내에서 원본 이미지 샘플의 가중 합계로 퇴보합니다. 이 경우 하나 또는 다른 최적성 기준에 따라 커널 $K(\zeta ,\eta)$를 선택하면 많은 유용한 속성(이미지의 수치 미분 문제의 정규화에서 가우시안 평활화)이 발생할 수 있습니다. , 등.). 선형 처리 방법은 주파수 영역에서 가장 효과적으로 구현됩니다. 이미지의 푸리에 이미지를 사용하여 필터링 작업을 수행하는 것은 주로 이러한 작업의 성능이 높기 때문입니다. 원칙적으로 2차원 정역 푸리에 변환을 수행하고 필터의 푸리에 이미지의 계수를 곱하는 것이 원본 이미지의 2차원 컨벌루션을 수행하는 것보다 시간이 덜 걸립니다. 주파수 영역의 필터링 알고리즘은 컨벌루션 정리를 기반으로 합니다. 2차원의 경우 컨볼루션 변환은 다음과 같습니다. $$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$ 여기서 $G$는 컨볼루션 결과의 푸리에 변환, $H$는 필터의 푸리에 변환, $F$는 원본 이미지의 푸리에 변환입니다. 즉, 주파수 영역에서 2차원 콘볼루션은 원본 영상의 영상과 해당 필터의 요소별 곱셈으로 대체된다. 롤업을 수행하려면 다음을 수행해야 합니다. 주파수 영역과 공간 영역의 필터 함수 간의 관계는 컨볼루션 정리를 사용하여 결정할 수 있습니다. $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \right), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\오른쪽). $$ 임펄스 함수가 있는 함수의 컨벌루션은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 ) \right)=s(x_0 ,y_0). $$ 임펄스 함수의 푸리에 변환 $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ 왼쪽((x,y) \right) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$ $f(x,y) = \delta (x,y)$라고 하면 컨볼루션 $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$ 이러한 식에서 주파수 영역과 공간 영역의 필터 기능이 푸리에 변환을 통해 상호 연결되어 있음을 알 수 있습니다. 주어진 주파수 도메인 필터 함수에 대해 역 푸리에 변환을 적용하여 항상 해당 공간 도메인 필터를 찾을 수 있습니다. 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이 관계를 사용하여 공간 선형 필터의 합성 절차를 결정할 수 있습니다. ($\textit(이상적인 저역 통과 필터)$) $H(u,v)$ is $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Ideal high-pass filter)$)는 이상적인 저역 통과 필터를 반전시켜 얻습니다. $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ 여기서 저주파 성분은 고주파 성분을 유지하면서 완전히 억제됩니다. 그러나 이상적인 저역 통과 필터의 경우와 마찬가지로 사용 시 상당한 왜곡이 나타납니다. 최소한의 왜곡으로 필터를 설계하기 위해 다양한 접근 방식이 사용됩니다. 그 중 하나는 지수 기반 필터 합성입니다. 이러한 필터는 결과 이미지에 최소한의 왜곡을 도입하고 주파수 영역에서 합성에 편리합니다. 이미지 처리에 널리 사용되는 것은 실제 가우시안 함수를 기반으로 하는 필터 제품군입니다. $\textit(Low Pass Gaussian Filter)$ 형식은 다음과 같습니다. $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( 및 ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ 주파수 영역에서 필터 프로파일이 좁을수록($\sigma $가 클수록) 공간 영역에서 더 넓어집니다. ($\textit(High Pass Gaussian Filter)$) 형식은 다음과 같습니다. $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ 2차원 사례($\it(low-pass)$)에서 가우시안 필터는 다음과 같습니다. $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High-Pass)$) 가우시안 필터의 형식은 다음과 같습니다. $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ 주파수 영역(그림 17 - 22)에서 이미지 필터링(그림 1)의 예를 고려하십시오. 이미지의 주파수 필터링은 평활화($\textit(저역 필터링)$)와 윤곽선 및 작은 크기의 개체 강조($\textit(고역 필터링)$) 모두에 적합할 수 있습니다. 그림에서 볼 수 있듯이. 도 17, 19에서, 이미지의 저주파 성분에서 필터링의 "파워"가 증가함에 따라 이미지의 "명백한 디포커싱" 또는 $\it(blur)$의 효과가 더욱 두드러진다. 동시에 이미지의 정보 내용의 상당 부분이 점차 고주파수 구성 요소로 전달되며 처음에는 물체의 윤곽만 관찰됩니다(그림 18, 20-22). 이제 이미지(그림 7)에 추가 가우시안 노이즈가 있을 때 고역 통과 및 저역 통과 필터(그림 23 - 28)의 동작을 고려해 보겠습니다. 그림에서 볼 수 있듯이. 23, 25에서 추가 랜덤 노이즈를 억제하는 저주파 필터의 속성은 이전에 고려한 선형 필터의 속성과 유사합니다. 필터 전력이 충분하면 노이즈가 억제되지만 이에 대한 대가는 윤곽이 심하게 흐려지고 전체 이미지의 "디포커싱". 노이즈 이미지의 고주파수 구성 요소는 윤곽선 및 물체 정보 외에도 이제 노이즈 구성 요소도 완전히 존재하기 때문에 더 이상 유익하지 않습니다 (그림 27, 28). 주파수 방법의 사용은 노이즈 프로세스의 통계적 모델 및/또는 이미지 전송 채널의 광 전달 함수를 알고 있을 때 가장 적합합니다. 복원 필터로 다음 형식의 일반화된 제어 가능(매개 변수 $\sigma$ 및 $\mu$에 의해) 필터를 선택하여 이러한 선험적 데이터를 고려하는 것이 편리합니다. $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$ 여기서 $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. 선형 필터링 방법의 장점은 명확한 물리적 의미와 결과 분석의 용이성입니다. 그러나 신호 대 잡음비의 급격한 저하, 면적 잡음의 변형 가능성 및 고진폭 임펄스 잡음의 존재로 인해 선형 전처리 방법으로는 충분하지 않을 수 있습니다. 이 상황에서는 비선형 방법이 훨씬 더 강력합니다. 이미지 샘플 행렬의 이산 2차원 푸리에 변환은 다음과 같이 시리즈로 정의됩니다. 여기서 , 이산 역변환의 형식은 다음과 같습니다. 연속 푸리에 변환의 용어와 유추하여 변수를 공간 주파수라고 합니다. 모든 연구자가 (4.97), (4.98)의 정의를 사용하는 것은 아닙니다. 일부는 모든 척도 상수를 역 표현에 넣는 것을 선호하는 반면 다른 일부는 커널의 부호를 뒤집습니다. 변환 커널이 대칭적이고 분리 가능하기 때문에 2차원 변환은 이미지 매트릭스의 행과 열에 대한 연속적인 1차원 변환으로 수행될 수 있습니다. 기본 변환 함수는 사인 및 코사인 구성 요소로 분해될 수 있는 복소수 지수가 있는 지수입니다. 이런 식으로, 이미지의 스펙트럼에는 많은 흥미로운 구조적 특징이 있습니다. 주파수 평면 원점의 스펙트럼 구성요소 의 증가와 동일 N이미지 밝기의 평균(원래 평면에서) 값을 곱합니다. 등식으로 대체(4.97) 여기서 및 상수는 다음과 같습니다. 모든 정수 값과 두 번째 지수 평등 계수(4.101)는 1이 됩니다. 따라서 에서 이는 주파수 평면의 주기성을 나타냅니다. 이 결과는 그림 4.14, a에 나와 있습니다. 이미지의 2D 푸리에 스펙트럼은 기본적으로 2D 필드를 푸리에 시리즈로 표현한 것입니다. 이러한 표현이 유효하려면 원본 이미지도 주기적인 구조를 가져야 합니다. 수직 및 수평으로 반복되는 패턴이 있습니다(그림 4.14, b). 따라서 이미지의 오른쪽 가장자리는 왼쪽에 인접하고 위쪽 가장자리는 아래쪽에 인접합니다. 이 위치에서 밝기 값의 불연속성으로 인해 주파수 평면의 좌표축에 있는 이미지 스펙트럼에 추가 구성 요소가 나타납니다. 이러한 구성 요소는 이미지 내부 픽셀의 밝기 값과 관련이 없지만 날카로운 가장자리를 재현하는 데 필요합니다. 이미지 샘플 배열이 휘도 필드를 설명하는 경우 숫자는 실수이고 양수입니다. 그러나 이 이미지의 푸리에 스펙트럼은 일반적으로 복잡한 값을 가집니다. 스펙트럼에는 실수부와 허수부를 나타내는 구성요소 또는 각 주파수에 대한 스펙트럼 구성요소의 위상과 모듈러스가 포함되어 있으므로 푸리에 변환이 이미지 차원을 증가시키는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 복소 켤레 아래에서 대칭을 갖기 때문에 그렇지 않습니다. 평등 (4.101)에서 정수로 설정하고 같으면 복합 활용 후 평등을 얻습니다. 대체 및 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif>의 도움으로 우리는 다음을 보여줄 수 있습니다. 복잡한 켤레 대칭의 존재로 인해 스펙트럼 구성 요소의 거의 절반이 중복됩니다. 나머지 구성 요소로 구성할 수 있습니다(그림 4.15). 물론 낮은 쪽이 아니라 오른쪽 반쪽 평면에 있는 고조파는 물론 초과 성분으로 간주될 수 있습니다. 이미지 처리에서 푸리에 분석은 1차원 신호와 동일한 목적으로 사용됩니다. 그러나 주파수 영역에서 이미지는 의미 있는 정보를 나타내지 않으므로 푸리에 변환은 이미지 분석에 유용한 도구가 아닙니다. 예를 들어 1차원 오디오 신호에 푸리에 변환을 적용하면 시간 영역에서 정형화하기 어렵고 복잡한 파형이 주파수 영역에서 이해하기 쉬운 스펙트럼으로 변환된다. 이에 비해 이미지의 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 공간 도메인(spatial domain)의 정렬된 정보를 주파수 도메인(frequency domain)의 인코딩된 형태로 변환합니다. 요컨대 푸리에 변환이 이미지에 인코딩된 정보를 이해하는 데 도움이 될 것이라고 기대하지 마십시오. 마찬가지로 필터를 설계할 때 주파수 영역을 참조하지 마십시오. 기초적인 특징이미지에서 테두리 - 하나를 구분하는 선입니다. 객체또는 지역다른 사람에게서 물체또는 지역. 이미지의 윤곽에는 광범위한 주파수 성분이 포함되어 있으므로 주파수 스펙트럼을 조작하여 이미지를 변경하려는 것은 비효율적인 작업입니다. 이미지 처리 필터는 일반적으로 정보가 가장 단순하고 접근하기 쉬운 형태로 제공되는 공간 영역에서 설계됩니다. 이미지 처리 문제를 해결할 때 오히려 연산 측면에서 연산이 필요하다. 스무딩그리고 밑줄등고선(공간 영역)보다 하이 패스 필터그리고 저역 통과 필터(주파수 영역). 그럼에도 불구하고 푸리에 이미지 분석에는 몇 가지 유용한 속성이 있습니다. 예를 들어, 회선공간 영역에서 곱셈주파수 영역에서. 곱셈은 컨볼루션보다 단순한 수학적 연산이기 때문에 이것은 중요합니다. 1D 신호와 마찬가지로 이 속성을 사용하면 FFT를 사용하여 컨볼루션하고 다양한 방법디컨볼루션. 다른 유용한 재산주파수 영역에서 푸리에 섹터 정리, 이미지와 투영 사이의 대응 관계를 설정합니다(동일한 이미지를 다양한 파티). 이 정리는 다음과 같은 방향의 이론적 기초를 형성합니다. 컴퓨터 단층 촬영, 투시법의학 및 산업 분야에서 널리 사용됩니다. 이미지의 주파수 스펙트럼은 여러 가지 방법으로 계산할 수 있지만 스펙트럼을 계산하는 가장 실용적인 방법은 FFT 알고리즘입니다. FFT 알고리즘을 사용할 때 원본 이미지에는 다음이 포함되어야 합니다. N라인과 N열과 숫자 N 2의 배수, 즉 256, 512, 1024 및 등. 소스 이미지가 차원에서 2의 거듭제곱이 아닌 경우 이미지를 원하는 크기로 패딩하기 위해 값이 0인 픽셀을 추가해야 합니다. 푸리에 변환이 정보의 순서를 유지한다는 사실로 인해 저주파 구성 요소의 진폭은 2차원 스펙트럼의 모서리에 위치하는 반면 고주파 구성 요소는 중앙에 위치합니다. 예를 들어, 연산 증폭기 입력단의 전자 현미경 이미지의 푸리에 변환 결과를 고려하십시오(그림 4.16). 주파수 영역은 음수 값을 가진 픽셀을 포함할 수 있기 때문에 음수 값은 이미지의 어두운 점으로 인식되고 0 값은 회색으로, 양수 값은 밝은. 일반적으로 이미지 스펙트럼의 저주파 성분은 고주파 성분보다 진폭이 훨씬 크므로 스펙트럼 이미지의 네 모서리에 매우 밝고 매우 어두운 점의 존재를 설명합니다(그림 4.16, b). 그림에서 볼 수 있듯이 전형적인 19 티켓 1. 팽창 연산 2. 공간 스펙트럼 특징 팽창 수술. 공간 Z 2 에서 A와 B를 집합이라고 합니다. 집합 B에 대한(또는 B에 대한) 집합 A의 확장은 A⊕B로 표시되며 다음과 같이 정의됩니다. 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 집합 B는 구조 형성 집합 또는 확장 프리미티브라고 합니다. 식 (11)은 초기 좌표(중심 B)에 상대적인 집합 B의 중앙 반사를 얻은 다음 이 집합을 점 z로 이동하고 B를 따라 집합 A를 팽창시키는 것을 기반으로 합니다. 여기서 및 A는 적어도 하나의 요소에서 일치합니다. 이 정의유일한 것이 아닙니다. 그러나 팽창 절차는 세트에서 수행되는 컨볼루션 연산과 어떤 면에서 유사합니다. 공간 스펙트럼 특징 (1.8)에 따라 2차원 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다. 어디 wx, 와 y공간 주파수입니다. 스펙트럼 계수의 제곱 M( wx, 와 y) = |Ф( wx, 와 y)| 2는 여러 기능을 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 기능 통합 중(wx, 와 y) 공간 주파수 평면의 각도에 의해 이미지의 이동 및 회전에 대해 변하지 않는 공간 주파수 특성을 제공합니다. 기능을 도입하여 중(wx, 와 y) 극좌표에서 이 기능을 다음과 같은 형식으로 작성합니다. 어디 큐= arctan( 와 y/wx); 아르 자형 2 = wx 2 +와 y 2 . 20 티켓 1. 침식 작용 허락하다 에프(엑스 1 , 엑스 2) 두 변수의 함수입니다. 1차원 푸리에 변환과 유사하게 2차원 푸리에 변환을 도입할 수 있습니다. 고정 값의 함수 ω 1 , ω 2는 평면의 평면파를 나타냅니다. 엑스 1 , 엑스 2(그림 19.1). 양 ω 1 , ω 2 는 공간 주파수와 차원의 의미를 갖습니다. mm−1 , 함수 F(ω 1 , ω 2)는 공간 주파수의 스펙트럼을 결정합니다. 구면 렌즈는 광학 신호의 스펙트럼을 계산할 수 있습니다(그림 19.2). 그림 19.2에는 다음과 같은 표기법이 도입되었습니다. φ - 초점 거리, 그림 19.1 - 공간 주파수의 정의 2차원 푸리에 변환은 1차원 변환의 모든 속성을 가지며, 추가로 2차원 푸리에 변환의 정의에서 쉽게 따를 수 있는 두 가지 추가 속성에 주목합니다. 그림 19.2 - 다음을 사용하여 광 신호의 스펙트럼 계산 채권 차압 통고. 2차원 신호를 인수분해하면 그런 다음 해당 스펙트럼도 분해됩니다. 방사형 대칭. 2D 신호가 방사형 대칭인 경우 즉, 0차 베셀 함수는 어디에 있습니까? 방사상으로 대칭인 2차원 신호와 해당 공간 스펙트럼 사이의 관계를 결정하는 공식을 Hankel 변환이라고 합니다. 강의 20. 이산 푸리에 변환. 저역 통과 필터 직접 2차원 이산 푸리에 변환(DFT)은 공간 좌표계( 엑스, 와이), 주파수 좌표계에 지정된 2차원 이산 이미지 변환( 유,브): 역 이산 푸리에 변환(IDFT)의 형식은 다음과 같습니다. DFT가 복잡한 변환임을 알 수 있습니다. 이 변환의 계수는 이미지 스펙트럼의 진폭을 나타내며 DFT의 실수부와 허수부의 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다. 위상(위상 편이 각도)은 실수 부분에 대한 DFT의 허수 부분 비율의 아크 탄젠트로 정의됩니다. 에너지 스펙트럼은 스펙트럼 진폭의 제곱 또는 스펙트럼의 허수 부분과 실제 부분의 제곱의 합과 같습니다. 컨벌루션 정리 컨볼루션 정리에 따르면 공간 영역에서 두 함수의 컨볼루션은 DFT 곱의 ODFT, 즉 주파수 영역에서 필터링하면 이미지의 DFT에서 필터의 주파수 응답을 선택하여 필요한 이미지 변환을 제공할 수 있습니다. 가장 일반적인 필터의 주파수 응답을 고려하십시오.푸리에 변환의 복잡한 표현.
고속 푸리에 변환.
2차원 푸리에 변환.
푸리에 변환을 사용한 컨벌루션.
주파수 영역에서 이미지 필터링.
이 기능은 규모에 따라 변하지 않습니다.
구면 렌즈
