주기 함수에 대한 삼각 푸리에 급수. 삼각 푸리에 시리즈

표준 방법이지만 다른 예에서는 막다른 골목에 도달했습니다.

어려움은 무엇이며 어디에 걸림돌이 있을 수 있습니까? 비눗물은 잠시 접어두고 차분하게 원인을 분석하고 실질적인 해결 방법을 알아봅시다.

첫 번째이자 가장 중요한: 대부분의 경우 급수의 수렴을 연구하기 위해서는 익숙한 방법을 적용할 필요가 있지만, 급수의 일반적인 용어는 어찌할 바를 모를 정도로 까다로운 스터핑으로 가득 차 있음 . 그리고 당신은 원을 그리며 돌아갑니다. 첫 번째 표시가 작동하지 않고 두 번째가 작동하지 않으며 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 방법이 작동하지 않으면 초안을 버리고 모든 것이 새로 시작됩니다. 이것은 일반적으로 미적분학의 다른 부분에서 경험이 부족하거나 공백이 있기 때문입니다. 특히, 실행 중인 경우 시퀀스 제한그리고 표면적으로 분해 기능 제한, 그러면 어려울 것입니다.

즉, 지식이나 경험이 부족하여 필요한 솔루션을 보지 못하는 것입니다.

때로는 "일식"도 책임이 있습니다. 예를 들어 시리즈 수렴에 필요한 기준이 단순히 충족되지 않지만 무지, 부주의 또는 과실로 인해 이것이 보이지 않는 경우입니다. 그리고 그것은 수학 교수가 야생 순환 수열과 숫자 시리즈의 도움으로 어린이 문제를 해결한 자전거에서와 같이 밝혀졌습니다 =)

최고의 전통에서 즉시 살아있는 예: 행 그리고 그들의 친척 - 이론상 증명되기 때문에 갈라진다. 시퀀스 제한. 아마도 첫 학기에는 1-2-3 페이지의 증명을 위해 당신의 영혼을 때릴 것입니다. 그러나 지금은 시리즈의 수렴을위한 필요 조건이 충족되지 않는다는 것을 보여주기에 충분합니다. 에게 알려진 사실. 유명한? 학생이 n차의 근이 매우 강력한 것임을 모른다면, 말하자면, 그를 틀에 박아 넣습니다. 솔루션은 2와 2와 같지만, 즉 명백한 이유로 두 시리즈는 발산합니다. "이러한 한계는 이론상으로 입증되었습니다."(또는 아예 없는 경우에도) 겸손한 의견은 상쇄에 충분합니다. 결국 계산은 상당히 무거우며 숫자 시리즈 섹션에 속하지 않습니다.

그리고 다음 예제를 공부한 후에는 많은 솔루션의 간결함과 투명성에 놀랄 것입니다.

실시예 1

급수의 수렴을 조사하다

해결책: 우선 실행 확인 수렴에 필요한 기준. 이것은 형식이 아니지만 "작은 유혈 사태"의 예를 다룰 수있는 좋은 기회입니다.

"장면 조사"는 발산 급수(일반화된 고조파 급수의 경우)를 제안하지만, 다시 질문이 생깁니다. 분자의 로그를 고려하는 방법은 무엇입니까?

수업이 끝날 때 작업의 대략적인 예.

양방향(또는 3방향) 추론을 수행해야 하는 경우는 드문 일이 아닙니다.

실시예 6

급수의 수렴을 조사하다

해결책: 먼저 분자의 횡설수설을 주의 깊게 다루십시오. 순서가 제한됩니다: . 그 다음에:

시리즈와 시리즈를 비교해 보겠습니다. 방금 얻은 이중 부등식 덕분에 모든 "en"에 대해 다음과 같이 사실이 됩니다.

이제 시리즈를 발산 고조파 시리즈와 비교하겠습니다.

분수 분모 더 적은분수의 분모, 그래서 분수 자체 – 더분수(명확하지 않은 경우 처음 몇 개의 용어를 기록). 따라서 모든 "en"에 대해:

따라서 비교하여 시리즈 발산하모닉 시리즈와 함께.

분모를 조금 바꾸면: , 추론의 첫 번째 부분은 비슷할 것입니다. . 그러나 급수의 발산을 증명하기 위해 부등식이 거짓이므로 비교 극한 검정만 이미 적용할 수 있습니다.

수렴 시리즈의 상황은 "거울"입니다. 즉, 예를 들어 시리즈의 경우 두 비교 기준을 모두 사용할 수 있고(부등식이 참) 계열의 경우 제한 기준만 사용할 수 있습니다(부등식이 거짓).

우리는 사파리를 계속합니다 야생의 자연, 우아하고 즙이 많은 영양 무리가 수평선에 어렴풋이 어렴풋이 보이는 곳:

실시예 7

급수의 수렴을 조사하다

해결책: 필요한 수렴 기준이 충족되고 우리는 다시 고전적인 질문을 던집니다. 무엇을 해야 할까요? 그러나 우리 앞에는 수렴 급수와 유사한 것이 있지만 여기에는 명확한 규칙이 없습니다. 그러한 연관성은 종종 기만적입니다.

종종 있지만 이번에는 아닙니다. 사용하여 한계 비교 기준우리의 시리즈를 수렴 시리즈와 비교합시다. 한도를 계산할 때 다음을 사용합니다. 멋진 한계 , 반면 극소스탠드:

수렴와 함께 옆에 .

"3"으로 곱셈과 나눗셈의 표준 인공 기술을 사용하는 대신 처음에는 수렴 급수와 비교할 수 있었습니다.
그러나 여기서 주의할 점은 일반항의 상수 승수가 급수의 수렴에 영향을 미치지 않는다는 점입니다. 그리고 바로 이 스타일로 다음 예제의 솔루션이 설계되었습니다.

실시예 8

급수의 수렴을 조사하다

수업이 끝날 때 샘플.

실시예 9

급수의 수렴을 조사하다

해결책: 이전 예에서 사인의 경계를 사용했지만 이제 이 속성은 쓸모가 없습니다. 더 높은 분수의 분모 성장의 순서분자보다, 그래서 사인 인수와 전체 공통 항 무한히 작은. 수렴을 위한 필요조건은 아시다시피 충족되어 일을 게을리 하지 않습니다.

우리는 정찰을 수행할 것입니다: 놀라운 동등성 , 정신적으로 사인을 버리고 급수를 얻습니다. 뭐, 그런 것이…….

결정하기:

연구 중인 계열을 분기 계열과 비교하겠습니다. 한계 비교 기준을 사용합니다.

무한소를 동등한 것으로 바꾸자: .

0이 아닌 유한한 숫자가 얻어지며, 이는 연구 중인 시리즈가 발산하모닉 시리즈와 함께.

실시예 10

급수의 수렴을 조사하다

이것은 직접 만든 예입니다.

이러한 예에서 추가 작업을 계획하려면 사인, 아크사인, 탄젠트, 아크탄젠트에 대한 정신적 거부가 많은 도움이 됩니다. 그러나 이 가능성은 다음과 같은 경우에만 존재한다는 것을 기억하십시오. 극소논쟁, 얼마 전에 나는 도발적인 시리즈를 발견했습니다.

실시예 11

급수의 수렴을 조사하다
.

해결책: 여기서 아크탄젠트의 제한을 사용하는 것은 무의미하며 등가도 작동하지 않습니다. 출력은 놀라울 정도로 간단합니다.


스터디 시리즈 발산, 급수의 수렴에 필요한 기준을 만족하지 못하기 때문이다.

두 번째 이유"개그 작업"은 공통 구성원의 적절한 정교함으로 구성되어 기술적인 성격의 어려움을 유발합니다. 대략적으로 말하면, 위에서 논의한 시리즈가 "추측한 수치" 범주에 속한다면 이 시리즈는 "당신이 결정하는" 범주에 속합니다. 실제로 이것은 "일반적인" 의미에서 복잡성이라고 합니다. 모든 사람이 사바나의 여러 요인, 정도, 뿌리 및 기타 거주자를 올바르게 해결하지는 않습니다. 물론 계승은 대부분의 문제를 일으킵니다.

실시예 12

급수의 수렴을 조사하다

계승을 거듭제곱하는 방법은 무엇입니까? 용이하게. 힘을 사용하는 작업 규칙에 따라 제품의 각 요소를 거듭제곱으로 올릴 필요가 있습니다.

그리고 물론, 주의와 다시 한 번 주의, d'Alembert 기호 자체는 전통적으로 작동합니다.

따라서 연구 중인 시리즈 수렴.

불확실성을 제거하기 위한 합리적인 기술을 상기시켜 드립니다. 불확실성이 분명할 때 성장의 순서분자와 분모 - 고통을 겪고 괄호를 열 필요가 전혀 없습니다.

실시예 13

급수의 수렴을 조사하다

야수는 매우 드물지만 발견되며 카메라 렌즈로 우회하는 것은 불공평합니다.

이중 느낌표 계승이란 무엇입니까? 팩토리얼 "바람"의 곱 짝수:

유사하게, 계승은 양의 홀수의 곱을 "감기"합니다.

의 차이점이 무엇인지 분석

실시예 14

급수의 수렴을 조사하다

그리고 이 과제에서 학위와 혼동하지 않도록 노력하고, 멋진 등가물그리고 멋진 한계.

강의 끝에 샘플 솔루션과 답변이 있습니다.

그러나 학생은 호랑이뿐만 아니라 교활한 표범도 먹이를 추적합니다.

실시예 15

급수의 수렴을 조사하다

해결책: 수렴의 필요기준, 한계기준, 달랑베르, 코시기준이 거의 순식간에 사라진다. 그러나 무엇보다 우리를 반복적으로 구해 온 불평등한 특징이 무력하다. 실제로 발산 급수와 비교하는 것은 불가능합니다. 잘못된 - 승수-로그는 분모만 증가시키고 분수 자체를 줄입니다. 분수와 관련하여. 그리고 또 다른 글로벌 질문: 왜 처음에 우리 시리즈가 발산할 수밖에 없으며 일부 발산 계열과 비교되어야 합니까? 그는 전혀 어울리나요?

통합 기능? 부적절한 적분 우울한 분위기를 자아냅니다. 이제 행이 있으면 … 그럼 네. 중지! 아이디어는 이렇게 탄생합니다. 우리는 두 단계로 결정을 내립니다.

1) 먼저 급수의 수렴을 연구한다. . 우리는 사용 통합 기능:

적분 마디 없는에

따라서 숫자 해당 부적절한 적분과 함께 발산합니다.

2) 우리 시리즈를 분기 시리즈와 비교 . 한계 비교 기준을 사용합니다.

0이 아닌 유한한 숫자가 얻어지며, 이는 연구 중인 시리즈가 발산나란히 나란히 .

그리고 그러한 결정에는 이상하거나 창의적인 것이 없습니다. 그렇게 결정해야합니다!

다음 두 가지 움직임을 독립적으로 작성할 것을 제안합니다.

실시예 16

급수의 수렴을 조사하다

대부분의 경우 경험이 있는 학생은 계열이 수렴하거나 발산하는지 여부를 즉시 알 수 있지만 포식자가 덤불에서 교묘하게 위장합니다.

실시예 17

급수의 수렴을 조사하다

해결책: 언뜻보기에는이 시리즈가 어떻게 작동하는지 명확하지 않습니다. 그리고 우리 앞에 안개가 있다면 시리즈의 수렴에 필요한 조건을 대략적으로 확인하는 것으로 시작하는 것이 논리적입니다. 불확실성을 제거하기 위해 우리는 unsinkable을 사용합니다. 인접 표현에 의한 곱셈과 나눗셈 방법:

수렴에 필요한 기준은 작동하지 않았지만 깨끗한 물우리의 탐보프 동지. 변환을 수행한 결과 등가 급수를 얻었습니다. , 이는 수렴 급수와 매우 유사합니다.

우리는 깨끗한 솔루션을 작성합니다.

이 급수를 수렴 급수와 비교하십시오. 한계 비교 기준을 사용합니다.

인접 표현식으로 곱하고 나눕니다.

0이 아닌 유한한 숫자가 얻어지며, 이는 연구 중인 시리즈가 수렴와 함께 옆에 .

일부 사람들은 아프리카 사파리에서 늑대가 어디에서 왔는지 궁금해 할 것입니다. 모르겠어. 아마 가져왔을 겁니다. 다음 트로피 스킨을 얻을 수 있습니다.

실시예 18

급수의 수렴을 조사하다

샘플 샘플수업이 끝날 때의 솔루션

그리고 마지막으로 많은 학생들을 절망에 빠뜨리는 또 하나의 생각: 계열의 수렴에 대해 더 희귀한 기준을 사용할지 여부 대신? Raabe의 표시, Abel의 표시, Gauss의 표시, Dirichlet 및 기타 미지의 동물의 표시. 아이디어는 효과가 있지만 실제 사례에서는 매우 드물게 구현됩니다. 개인적으로, 연습의 모든 년에서 나는 단지 2-3 번만 의지했습니다. 라베의 표시표준 무기고에서 아무 것도 실제로 도움이되지 않았을 때. 나는 나의 극단적인 탐구의 과정을 완전히 재현한다:

실시예 19

급수의 수렴을 조사하다

해결책: 두말할 것 없이 달랑베르의 흔적. 계산 과정에서 나는 도의 속성을 적극적으로 사용합니다. 두 번째 멋진 한계:

여기 하나가 있습니다. D' Alembert의 기호는 대답을 제공하지 않았지만 그러한 결과를 예고하는 것은 없었습니다.

매뉴얼을 살펴본 후 이론상으로 입증된 잘 알려지지 않은 한계를 발견하고 보다 강력한 급진적 코시 기준을 적용했습니다.

여기 두 가지가 있습니다. 그리고 가장 중요한 것은 시리즈가 수렴하는지 발산하는지가 전혀 명확하지 않다는 것입니다(저에게는 극히 드문 상황입니다). 비교의 필요 표시? 별 기대 없이 - 분자와 분모의 성장 순서를 상상도 할 수 없는 방법으로 알아내더라도 보상이 보장되지는 않습니다.

완전한 달랑베르지만 최악은 시리즈를 풀어야 한다는 점이다. 필요. 결국, 내가 포기하는 것은 이번이 처음이 될 것입니다. 그리고 나서 나는 더 많은 것이 있었던 것 같다는 것을 기억했다 강한 징후. 내 앞에는 더 이상 늑대도, 표범도, 호랑이도 아니었다. 이했다 거대한 코끼리큰 트렁크를 흔들며. 유탄 발사기를 집어들어야 했습니다.

라베의 표시

양수 계열을 고려하십시오.
한계가 있는 경우 , 그 다음에:
가) 연속으로 발산. 또한 결과 값은 0 또는 음수일 수 있습니다.
b) 연속으로 수렴. 특히 시리즈는 에 대해 수렴합니다.
다) 언제 Raabe의 기호는 대답을 제공하지 않습니다.

우리는 극한을 구성하고 분수를 조심스럽게 단순화합니다.


네, 그 그림은, 조금 말하자면, 불쾌하지만, 나는 더 이상 놀라지 않았습니다. 위치 규칙, 그리고 나중에 밝혀진 것처럼 첫 번째 생각은 올바른 것으로 판명되었습니다. 하지만 먼저 1시간 정도 '평범한' 방법으로 한계를 비틀고 돌렸지만 불확실성은 해소되고 싶지 않았다. 경험에서 알 수 있듯이 원을 그리며 걷는 것은 잘못된 해결 방법을 선택했다는 전형적인 신호입니다.

나는 러시아어로 방향을 전환해야했습니다 민속 지혜: "다른 모든 방법이 실패하면 지침을 읽으십시오." 그리고 내가 Fichtenholtz의 2권을 펼쳤을 때 나는 큰 기쁨으로 동일한 시리즈에 대한 연구를 발견했습니다. 그리고 나서 솔루션은 모델에 따라 진행되었습니다.

여러 호의 코사인 및 사인, 즉 일련의 형식

또는 복잡한 형태로

어디 케이,b k또는 각각, ㄷ~라고 불리는 T. r의 계수
처음으로 T. r. L. Euler에서 만나다(L. Euler, 1744). 그는 확장을 얻었다

모든 R. 18 세기 현의 자유진동 문제에 대한 연구와 관련하여 현의 초기 위치를 특성화하는 함수를 T. r의 합으로 나타낼 가능성에 대한 질문이 제기되었습니다. 이 질문은 당시 최고의 분석가인 D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler(L. Euler)와 같은 수십 년 동안 지속된 열띤 토론을 일으켰습니다. 기능 개념의 내용과 관련된 분쟁. 그 당시 기능은 일반적으로 분석과 연결되었습니다. 할당, 분석 또는 조각별 분석 기능만 고려하게 되었습니다. 그리고 여기서 그래프가 충분히 임의적인 함수가 이 함수를 나타내는 T.r.을 구성하는 것이 필요하게 되었습니다. 그러나 이러한 논쟁의 의미는 더 크다. 사실, 그들은 수학의 근본적으로 중요한 많은 개념 및 아이디어와 관련된 질문과 관련하여 토론하거나 발생했습니다. 일반적으로 분석 - Taylor 급수 및 분석에 의한 함수 표현. 함수의 연속, 발산 급수의 사용, 극한, 무한 방정식 시스템, 다항식에 의한 함수 등
그리고 미래에는이 초기 이론에서와 같이 T. r. 수학에서 새로운 아이디어의 원천으로 사용되었습니다. 푸리에 적분, 거의 주기적인 함수, 일반 직교 급수, 추상 . T. 강에 대한 연구. 집합론의 창설의 출발점이 되었다. 티.알. 기능을 표현하고 탐색하기 위한 강력한 도구입니다.
18세기 수학자들 사이에서 논쟁을 불러일으킨 질문은 1807년 J. Fourier에 의해 해결되었는데, 그는 T. r의 계수를 계산하는 공식을 제시했습니다. (1), 반드시. 함수 f(x)에 표현:

열전도 문제를 해결하는 데 적용했습니다. 공식 (2)는 A. Clairaut(1754)와 L. Euler(1777)가 항별 통합을 사용하여 처음 접했지만 푸리에 공식이라고 합니다. 티.알. (1), 그 계수는 공식 (2)에 의해 결정됩니다. 푸리에 함수 f 근처 및 숫자 ㄱ , ㄴ ㄴ- 푸리에 계수.
얻은 결과의 특성은 함수의 표현을 급수로 이해하는 방법, 공식 (2)의 적분을 이해하는 방법에 따라 다릅니다. 현대 이론티.알. Lebegue 적분의 출현 후에 획득했습니다.
T. r.의 이론 조건부로 두 개의 큰 섹션으로 나눌 수 있습니다 - 이론 푸리에 시리즈, 급수 (1)이 특정 함수의 푸리에 급수라고 가정하고, 그러한 가정이 이루어지지 않는 일반 T.R.의 이론. 다음은 일반 T. r의 이론에서 얻은 주요 결과입니다. (이 경우 함수의 집합과 측정가능성은 르베그에 따라 이해된다).
최초의 체계적인 이 급수가 푸리에 급수라고 가정하지 않은 연구 T.r.은 V. Riemann의 논문이었습니다(V. Riemann, 1853). 따라서 일반 T. r. ~라고 불리는 때때로 열역학의 리만 이론.
임의의 T. r.의 특성을 연구합니다. (1) 계수가 0인 경향이 있음 B. Riemann은 연속 함수 F(x)를 고려했습니다. , 이는 균일하게 수렴하는 급수의 합입니다.

시리즈 (1)의 2배 항별 적분 후에 얻어진다. 급수 (1)이 어떤 점 x에서 숫자 s로 수렴하면 이 지점에서 두 번째 대칭이 존재하고 s와 같습니다. F 기능:

그러면 이는 요인에 의해 생성된 계열(1)의 합으로 이어집니다. ~라고 불리는 리만 합산법에 의해 함수 F를 사용하여 리만 지역화 원리가 공식화되며, 이에 따라 점 x에서 급수 (1)의 동작은 이 점의 임의의 작은 이웃에서 함수 F의 동작에만 의존합니다.
만약 T. r. 양수 측정값으로 수렴하면 계수가 0이 되는 경향이 있습니다(Cantor-Lebesgue). 계수가 0이 되는 경향 T. r. 또한 두 번째 범주(W. Young, W. Young, 1909)의 집합에 대한 수렴에서 비롯됩니다.
일반 열역학 이론의 핵심 문제 중 하나 임의의 함수 T.r을 나타내는 문제입니다. Abel-Poisson 및 Riemann 합산 방법에 의한 T.R. 함수의 표현에 대한 N. N. Luzin(1915)의 결과를 강화하여 D. E. Men'shov는 다음 정리를 증명했습니다(1940). T. r로 이해됩니다. 에게 에프(x) 거의 모든 곳에서. 모든 측정 가능하고 유한한 거의 모든 곳에서 함수 f에 대해 거의 모든 곳에서 이에 수렴하는 T.R이 존재합니다(Men'shov의 정리). f가 적분 가능하더라도, 일반적으로 말하면 모든 곳에서 발산하는 푸리에 급수가 있기 때문에 함수 f의 푸리에 급수를 그러한 급수로 취할 수 없다는 점에 유의해야 합니다.
위의 Men'shov 정리는 다음과 같은 개선을 인정합니다. 함수 f가 거의 모든 곳에서 측정 가능하고 유한한 경우 다음과 같은 것이 존재합니다. 거의 모든 곳에서 함수 j의 항별 미분 푸리에 급수는 거의 모든 곳에서 f(x)로 수렴합니다(N. K. Bari, 1952).
Men'shov의 정리에서 거의 모든 곳에서 함수 f에 대한 유한 조건을 생략하는 것이 가능한지 여부는 알려져 있지 않습니다(1984). 특히 T. r. 거의 모든 곳에서 수렴
따라서 더 약한 요구 사항 - 으로 대체되는 경우에 대해 양의 측정 집합에 대해 무한한 값을 취할 수 있는 함수를 나타내는 문제를 고려했습니다. 무한한 값을 취할 수 있는 기능에 대한 측정 수렴은 다음과 같이 정의됩니다. T. p. 엔(x)는 측정값이 f(x)로 수렴합니다. . 만약 어디에 f n(x) 거의 모든 곳에서 / (x)로 수렴하고 시퀀스는 측정값이 0으로 수렴합니다. 이 설정에서 함수 표현의 문제는 끝까지 해결되었습니다. 모든 측정 가능한 함수에 대해 측정에 수렴하는 T.R.이 존재합니다(D. E. Men'shov, 1948).
T. r.의 고유성 문제에 대해 많은 연구가 수행되었습니다. 두 개의 다른 T.가 동일한 기능으로 분기할 수 있습니까? 다른 공식에서: 만약 T. r. 0으로 수렴하면 계열의 모든 계수가 0과 같습니다. 여기서 하나는 모든 점 또는 특정 집합 밖의 모든 점에서 수렴을 의미할 수 있습니다. 이러한 질문에 대한 답은 본질적으로 수렴이 가정되지 않는 외부 집합의 속성에 따라 달라집니다.
다음 용어가 설정되었습니다. 많은 이름. 고유성 세트또는 유- T. r의 수렴에서 인 경우 설정합니다. 집합의 점을 제외하고 모든 곳에서 0으로 설정 이자형,이 계열의 모든 계수는 0과 같습니다. 그렇지 않으면 에나즈. M 세트.
G. Cantor(1872)가 보여주듯이 모든 유한은 U-집합입니다. 임의의 것도 U-집합입니다(W. Jung, 1909). 반면에 모든 양수 측정 세트는 M 세트입니다.
M-sets of measure의 존재는 D. E. Men'shov(1916)에 의해 확립되었으며, 그는 이러한 속성을 가진 완벽한 집합의 첫 번째 예를 구성했습니다. 이 결과는 고유성 문제에서 근본적으로 중요합니다. 거의 모든 곳에서 수렴하는 T.R.의 함수 표현에서 측정값이 0인 M-집합의 존재에서 이러한 급수가 변함없이 모호하게 정의됩니다.
완전 집합은 U-집합일 수도 있습니다(N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). 측정값 0의 매우 미묘한 특성은 고유성 문제에서 필수적인 역할을 합니다. 측정값 0의 분류에 대한 일반적인 질문 중- U-sets(1984)는 열려 있습니다. 완벽한 세트에도 해결되지 않습니다.
다음 문제는 고유성 문제와 관련이 있습니다. 만약 T. r. 기능으로 수렴 그런 다음 이 급수가 함수 /의 푸리에 급수여야 하는지 여부. P. Dubois-Reymond(P. Du Bois-Reymond, 1877)는 f가 Riemann의 의미에서 적분 가능하고 급수가 모든 점에서 f(x)로 수렴하는 경우 이 질문에 긍정적인 답변을 제공했습니다. 결과에서 III. J. Vallee Poussin(Ch. J. La Vallee Poussin, 1912)은 시리즈가 셀 수 있는 점 집합을 제외하고 모든 곳에서 수렴하고 그 합이 유한하더라도 답이 양수임을 의미합니다.
T.p가 어떤 점 x 0에서 절대적으로 수렴하면 이 급수의 수렴점과 절대 수렴점은 점 x 0에 대해 대칭으로 위치합니다. (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
에 따르면 덴조이 - 루진 정리 T. r의 절대 수렴에서. (1) 양의 측정값 집합에서 계열이 수렴합니다. 결과적으로 모든 것에 대한 급수 (1)의 절대 수렴 엑스.이 속성은 두 번째 범주의 집합과 특정 측정값 0 집합에도 포함됩니다.
이 설문 조사는 1차원 T. r만 다룹니다. (하나). 일반 T.p와 관련된 별도의 결과가 있습니다. 여러 변수에서. 여기에서 많은 경우에 여전히 자연스러운 문제 설명을 찾는 것이 필요합니다.

문학.: Bari N. K., 삼각법 시리즈, M., 1961; Sigmund A., 삼각법 시리즈, trans. 영어, vol.1-2, M., 1965; Luzin N. N., 적분 및 삼각 시리즈, M.-L., 1951; Riemann B., Works, trans. 독일어, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Telyakovsky.

수학 백과 사전. - M.: 소련 백과사전. I.M. 비노그라도프. 1977-1985.

과학과 기술에서는 종종 주기적인 현상을 다루어야 합니다. 일정 기간 후에 재생산되는 것 티기간이라고 합니다. 가장 단순한 주기 함수(상수 제외)는 사인파 값입니다. 아신(엑스+ ), 비율에 의해 주기와 관련된 "주파수"가 있는 고조파 진동: . 이러한 단순한 주기 함수에서 더 복잡한 함수를 구성할 수 있습니다. 분명히, 구성 사인파 양은 다른 주파수여야 합니다. 왜냐하면 동일한 주파수의 사인파 양을 추가하면 동일한 주파수의 사인파 양이 생성되기 때문입니다. 양식의 여러 값을 추가하면

예를 들어, 여기에서 세 개의 정현파 양을 추가하여 재현합니다. . 이 함수의 그래프를 고려하십시오.

이 그래프는 사인파와 크게 다릅니다. 이 유형의 항으로 구성된 무한 급수의 합에 대해서는 더욱 그렇습니다. 다음과 같은 질문을 해보자. 주어진 주기의 함수가 가능한가? 티유한한 또는 최소한 무한한 사인파 양 세트의 합으로 나타낼 수 있습니까? 많은 종류의 함수와 관련하여 이 질문에 긍정적으로 대답할 수 있지만 이는 그러한 용어의 전체 무한 시퀀스를 정확하게 포함하는 경우에만 가능합니다. 기하학적으로 이것은 주기 함수의 그래프가 일련의 정현파를 중첩하여 얻어짐을 의미합니다. 각 정현파 값을 특정 고조파 진동 운동으로 간주하면 이것이 함수 또는 단순히 고조파(첫 번째, 두 번째 등)로 특징 지어지는 복잡한 진동이라고 말할 수 있습니다. 주기 함수를 고조파로 분해하는 과정을 고조파 분석.

이러한 확장은 특정 유한 간격에서만 제공되고 진동 현상에 의해 전혀 생성되지 않는 함수 연구에 유용한 것으로 판명되는 경우가 많다는 점에 유의하는 것이 중요합니다.

정의.삼각 시리즈는 다음 형식의 시리즈입니다.

또는 (1).

실수는 삼각 급수의 계수라고 합니다. 이 시리즈는 다음과 같이 작성할 수도 있습니다.

위에 제시된 유형의 계열이 수렴하면 그 합은 주기가 2p인 주기 함수입니다.

정의.삼각 시리즈의 푸리에 계수는 다음과 같습니다. (2)

(3)

(4)

정의.함수에 대한 푸리에에 가까움 f(x)계수가 푸리에 계수인 삼각 급수라고 합니다.

함수의 푸리에 급수인 경우 f(x)모든 연속성 점에서 수렴하면 함수가 f(x)푸리에 급수로 확장됩니다.

정리.(디리클레의 정리) 함수의 주기가 2p이고 선분에서 연속적이거나 제1종 불연속점이 유한한 경우 해당 선분을 유한한 수의 선분으로 나눌 수 있으므로 각 선분 내에서 함수가 단조롭습니다. 그 중 함수에 대한 푸리에 급수는 모든 값에 대해 수렴합니다. 엑스, 그리고 함수의 연속성 점에서, 그 합 에스(x)는 와 같고 불연속점에서 합은 , 즉 왼쪽과 오른쪽의 한계 값의 산술 평균.

이 경우 함수의 푸리에 급수 f(x)함수의 연속성 구간에 속하는 구간에서 균일하게 수렴합니다.

이 정리의 조건을 만족하는 함수를 구간에 대해 조각평활이라고 합니다.

푸리에 급수에서 함수의 확장에 대한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1. 푸리에 급수의 기능 확장 f(x)=1-x, 마침표가 있는 2p세그먼트에 주어집니다.

해결책. 이 함수를 플로팅하자

이 함수는 세그먼트, 즉 기간 길이의 세그먼트에서 연속적이므로 이 세그먼트의 각 지점에서 수렴하는 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 공식 (2)를 사용하여 이 계열의 계수를 찾습니다.

부품별 적분 공식을 적용하고 각각 공식 (3)과 (4)를 찾아 사용합니다.

계수를 공식 (1)에 대입하면 다음을 얻습니다. 또는 .

이 평등은 점과 (그래프의 접착 점)을 제외한 모든 점에서 발생합니다. 이 각 지점에서 계열의 합은 오른쪽과 왼쪽의 극한값의 산술 평균, 즉 산술 평균과 같습니다.

함수를 확장하는 알고리즘을 제시하자푸리에 급수에서.

제기된 문제를 해결하기 위한 일반적인 절차는 다음과 같습니다.

많은 경우에 형식 (C)의 계열의 계수를 검사하거나 이러한 계열이 수렴하고(개별 점을 제외하고) 그 합계에 대해 푸리에 급수임을 설정할 수 있습니다(예: 이전 n° 참조). ) 하지만 이러한 모든 경우에 자연스럽게 의문이 제기됩니다.

이러한 급수의 합을 찾는 방법 또는 더 정확하게는 기본 기능의 관점에서 최종 형식으로 표현하는 방법이 있습니다. 오일러(그리고 라그랑주)조차도 삼각함수 급수를 최종 형태로 요약하기 위해 복잡한 변수의 분석 함수를 성공적으로 사용했습니다. 오일러 방법의 기본 개념은 다음과 같습니다.

특정 계수 집합에 대해 급수(C)가 개별 점만 제외하고 구간의 모든 곳에서 함수로 수렴한다고 가정합니다. 이제 복소수 변수의 거듭제곱으로 배열된 동일한 계수를 갖는 거듭제곱 급수를 고려하십시오.

단위 원의 원주, 즉 에서 이 급수는 개별 점을 제외하고 가정에 의해 수렴됩니다.

이 경우 잘 알려진 거듭제곱 급수의 특성에 따라 급수 (5)는 복소수 변수의 특정 기능을 정의하는 단위 원 내부에 확실히 수렴합니다. 우리에게 알려진 사용 [참조. § 5 of Chapter XII] 복잡한 변수의 기본 기능 확장의 경우 함수를 해당 기능으로 줄이는 것이 종종 가능합니다.

그리고 아벨 정리에 의해 급수 (6)이 수렴하자마자 그 합은 극한으로 얻어진다.

일반적으로 이 한계는 최종 형식으로 함수를 계산할 수 있는 것과 같습니다.

예를 들어 시리즈를 보자.

이전 단락에서 입증된 진술은 이 두 급수가 수렴한다는 결론에 이르게 합니다(첫 번째, 점 0과

그들이 정의하는 기능에 대한 푸리에 급수 역할을 하지만 이러한 기능은 무엇입니까? 이 질문에 답하기 위해 우리는 시리즈를 만듭니다.

대수 급수와의 유사성으로 그 합은 쉽게 설정됩니다.

따라서,

이제 쉬운 계산은 다음을 제공합니다.

따라서 이 표현식의 계수는 이고 인수는 입니다.

그리하여 마침내

이러한 결과는 우리에게 친숙하며 "복잡한" 고려 사항의 도움으로 한 번이라도 얻은 것입니다. 그러나 첫 번째 경우에는 함수 및 , 두 번째 경우에는 분석 함수에서 시작했습니다. 여기에서 처음으로 시리즈 자체가 시작점 역할을 했습니다. 독자는 다음 섹션에서 이러한 종류의 추가 예를 찾을 수 있습니다.

우리는 수렴과 급수(C)에 앞서 그리고 극한 등식(7)을 사용하여 그 합을 결정할 권리를 갖기 위해 반드시 확신해야 한다는 것을 다시 한 번 강조합니다. 이 평등의 우변에 극한이 있다는 것만으로는 언급된 급수가 수렴한다는 결론을 내릴 수 없습니다. 예를 들어 이것을 보여주기 위해 시리즈를 고려하십시오.

Hölder의 상태.단측 유한한계 $f(x_0 \pm 0)$와 이러한 수 $\delta > 0$, $\가 있는 경우 $f(x)$ 함수는 $x_0$ 점에서 Hölder 조건을 충족한다고 말합니다. alpha \in ( 0,1]$ 및 $c_0 > 0$ $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^( \alpha )$, $|f(x_0-t )-f(x_0-0)|\leq c_0t^(\alpha )$.

디리클레 공식.변환된 Dirichlet 공식은 다음 형식의 공식이라고 합니다.
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ 여기서 $D_n(t)=\frac(1)(2)+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac(\sin(n+\frac(1)(2))t) (2\sin\frac(t)(2)) (2)$ — .

$(1)$ 및 $(2)$ 공식을 사용하여 푸리에 급수의 부분 합을 다음 형식으로 씁니다.
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t)+f(x_0-t))(2\sin\ frac(t)(2))\sin \left (n+\frac(1)(2) \right) t dt$$
$$\오른쪽 화살표 \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0) — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t) +f(x_0-t))(2\sin\frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t dt = 0 \quad (3)$$

$f \equiv \frac(1)(2)$의 경우 공식 $(3)$은 다음과 같습니다. $$ \lim\limits_(n \to \infty )\frac(1)(\delta)\frac(\ sin (n+\frac(1)(2))t)(2\sin\frac(t)(2))dt=\frac(1)(2), 0

한 점에서 푸리에 급수의 수렴

정리.$f(x)$를 $[-\pi,\pi]$에 대한 $2\pi$-주기적 절대 적분 함수라고 하고 $x_0$ 지점에서 Hölder 조건을 충족합니다. 그런 다음 $x_0$ 지점에서 $f(x)$ 함수의 푸리에 급수는 $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$ 수로 수렴합니다.

$x_0$ 지점에서 $f(x)$ 함수가 연속이면 이 지점에서 급수의 합은 $f(x_0)$와 같습니다.

증거

$f(x)$ 함수는 $x_0$ 지점에서 Hölder 조건을 충족하므로 $\alpha > 0$ 및 $0에 대해< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

주어진 $\delta > 0$에 대해 $(3)$ 및 $(4)$ 등식을 씁니다. $(4)$에 $f(x_0+0)+f(x_0-0)$를 곱하고 $(3)$에서 결과를 빼면 $$ \lim\limits_(n \to \infty) (S_n (x_0) - \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) - \\ - \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\delta)\ frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\sin \frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \ sin \left (n + \frac(1)(2) \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$

Hölder의 조건에서 $$\Phi(t)= \frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\ sin \frac(t)(2)).$$는 $$에서 절대적으로 적분할 수 있습니다. 실제로 Hölder의 부등식을 적용하면 $\Phi(t)$ 함수에 대해 다음 부등식이 성립함을 알 수 있습니다. $|\Phi(t)| \leq \frac(2c_0t^(\alpha ))(\frac(2)(\pi)t) = \pi c_0t^(\alpha - 1) (6)$, 여기서 $\alpha \in (0,1 ]$.

부적절한 적분에 대한 비교 기준으로 인해 $(6)$ 부등식은 $\Phi(t)$가 $.$에서 절대적으로 적분할 수 있음을 의미합니다.

리만의 보조정리 $$\lim\limits_(n \to \infty)\int\limits_(0)^(\delta)\Phi(t)\sin \left (n + \frac(1)(2) \ right )t\cdot dt = 0 .$$

$(5)$ 공식에서 $$\lim\limits_(n \to \infty)S_n(x_0) = \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) . $$

[숨다]

결과 1.$2\pi$-주기적이고 $[-\pi,\pi]$ 함수 $f(x)$에서 절대적으로 적분할 수 있는 경우 $x_0$ 지점에서 도함수가 있으면 해당 푸리에 급수는 이 지점에서 $f로 수렴합니다. (x_0) $.

결과 2.$2\pi$-주기적이고 $[-\pi,\pi]$ 함수 $f(x)$에서 절대적으로 적분할 수 있는 경우 $x_0$ 지점에서 단측 도함수가 모두 있으면 해당 푸리에 급수는 이 지점에서 수렴합니다. $\frac (f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$

결과 3.$2\pi$-주기적이고 $[-\pi,\pi]$ 함수 $f(x)$에서 절대적으로 적분 가능한 $-\pi$ 및 $\pi$ 지점에서 Hölder 조건을 충족하면 주기성에 대한 시리즈의 합 $-\pi$ 및 $\pi$에서의 푸리에 변환은 $$\frac(f(\pi-0)+ f(-\pi+0))( 2).$$

디니 사인

정의.$f(x)$를 $2\pi$-주기 함수라고 하면 $x_0$ 지점은 $f(x)$ 함수의 일반 지점이 됩니다.

1) 유한한 왼쪽 및 오른쪽 한계가 있습니다. $\lim\limits_(x \to x_0+0 )f(x)= \lim\limits_(x \to x_0-0 )f(x)= f(x_0+0) = f(x_0-0),$

2) $f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$

정리.$f(x)$를 $[-\pi,\pi]$에 대한 $2\pi$-주기적 절대 적분 함수라고 하고 $x_0 \in \mathbb(R)$ 지점을 함수 $의 정규 지점이라고 하자. f(x)$ . $f(x)$ 함수가 $x_0$ 지점에서 Dini 조건을 만족하도록 하십시오. 부적절한 적분이 존재합니다. $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f( x_0+0) |)(t)dt, \\ \int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0-t)-f(x_0-0)|)(t)dt,$$

그러면 $x_0$ 지점에서 $f(x)$ 함수의 푸리에 급수는 $f(x_0)$ 합계를 갖습니다. 즉, $$ \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0)=f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

증거

푸리에 급수의 부분합 $S_n(x)$는 적분 표현 $(1)$을 갖는다. 그리고 등식 때문에 $\frac(2)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac(1)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$

그러면 $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0) ) D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0-t)-f(x_0-0)) D_n (t) \, dt. \쿼드(7)$$

분명히, 공식 $(7)$의 두 적분 모두 $n \to \infty $가 $0$와 같은 한계를 갖는다는 것을 증명하면 정리가 증명될 것입니다. 첫 번째 적분 $$I_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt를 고려하십시오. $$

Dini 조건은 $x_0$ 지점에서 충족됩니다. 부적절한 적분 $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)(t) \, dt .$$

따라서 $\varepsilon > 0$에 대해 $$\int\limits_(0)^(\delta )\frac(\left | f(x_0+) $\delta \in (0, h)$가 존재합니다. t) -f(x_0+0) \right |)(t)dt

선택한 $\varepsilon > 0$ 및 $\delta > 0$이 주어지면 적분 $I_n(x_0)$은 $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$로 나타낼 수 있습니다. 여기서
$$A_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\delta )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\ int\limits_(\delta)^(\pi )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$

먼저 $A_n(x_0)$를 고려하십시오. $\left | D_n(t)\오른쪽 |

모든 $t \in (0, \delta)$에 대해.

따라서 $$A_n(x_0) \leq \frac(\pi)(2) \int\limits_(0)^(\delta ) \frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)( t)dt

적분 $B_n(x_0)$을 $n \to \infty $로 추정하는 과정을 살펴보겠습니다. 이를 위해 $$ \Phi (t)=\left\(\begin(matrix) 함수를 소개합니다.
\frac(f(x_0+t)-f(x_0+0))(2\sin \frac(t)(2)), 0

$$B_n(x_0)=\int\limits_(-\pi)^(\pi)\Phi (t) \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t\,dt.$$ 우리는 $\lim\limits_(n \to \infty )B_n(x_0)=0$를 얻습니다. 이는 이전에 선택한 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 모든 $n>에 대해 $N$가 존재한다는 것을 의미합니다. N$ 부등식 $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|

공식 $(7)$의 두 번째 적분은 $n \to \infty $로 극한이 0인 것과 똑같은 방식으로 증명됩니다.

[숨다]

결과$2\pi$ 주기 함수 $f(x)$가 $[-\pi,\pi]$에 대해 부분 미분 가능하면 $x \in [-\pi,\pi]$ 지점에서 푸리에 급수는 수렴합니다. $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

$[-\pi,\pi]$ 세그먼트에서 $f(x)=\left\(\begin(matrix) 함수의 삼각 푸리에 급수를 찾습니다.
1, x \in(0,\pi),\\ -1, x \in(-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end(행렬)\right.$

결과 계열의 수렴을 조사합니다.

$f(x)$를 전체 실제 축으로 주기적으로 확장하면 그래프가 그림에 표시된 $\widetilde(f)(x)$ 함수를 얻습니다.

$f(x)$ 함수가 홀수이므로 $$a_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\cos kx dx =0 ; $$

$$b_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac(2)(\ 파이)\int\limits_(0)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac(2)(\pi k)(1- \cos k\pi) $$

$$b_(2n)=0, b_(2n+1) = \frac(4)(\pi(2n+1)).$$

따라서 $\tilde(f)(x)\sim \frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^(\infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1 ).$

$(f)"(x)$가 $x\neq k \pi$에 대해 존재하므로 $\tilde(f)(x)=\frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^ ( \infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1)$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb(Z).$

$x=k \pi$, $k \in \mathbb(Z)$에서 함수 $\widetilde(f)(x)$는 정의되지 않고 푸리에 급수의 합은 0입니다.

$x=\frac(\pi)(2)$를 설정하면 $1 — \frac(1)(3) + \frac(1)(5)- \ldots + \frac((-1)^ n) (2n+1)+ \ldots = \frac(\pi)(4)$.

[숨다]

$[-\pi,\pi]$ 함수에서 다음 $2\pi$-주기적이고 절대적으로 적분 가능한 푸리에 급수를 찾으십시오.
$f(x)=-\ln |
\sin \frac(x)(2)|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb(Z)$, 그리고 수렴에 대한 결과 계열을 검사합니다.

$(f)"(x)$는 $ x \neq 2k \pi$에 대해 존재하므로 $f(x)$ 함수의 푸리에 급수는 $ x \neq 2k \pi$의 모든 점에서 값으로 수렴됩니다. 분명히 $f(x)$는 짝수 함수이므로 푸리에 급수 확장에는 코사인이 포함되어야 합니다. \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$= -2 \int\limits_( 0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x)(2) dx \,- \, 2\int\limits_(\frac(\pi)(2))^( \pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx =$$ $$= -2 \int \limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac( x)(2)dx \, — \, 2\int\limits_(0)^(\frac(\pi )(2))\ln\cos \frac(x)(2)dx=$$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln (\frac (1)(2)\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \ sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_( 0)^(\pi)\ln \sin \frac(t)(2)dt = \pi\ln 2 + \frac(\pi a_0)(2),$$ whence $a_0= \pi \ln 2$ .

이제 $n \neq 0$에 대해 $a_n$를 구합시다. $$\pi a_n = -2 \int\limits_(0)^(\pi)\cos nx \ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$ = \int\limits_(0 ) ^(\pi) \frac(\sin(n+\frac(1)(2))x+\sin (n-\frac(1)(2))x)(2n \sin\frac(x)(2 ) )dx=$$ $$= \frac(1)(2n) \int\limits_(-\pi)^(\pi) \begin(bmatrix)
D_n(x)+D_(n-1)(x)\\ \end(bmatrix)dx.$$

여기서 $D_n(x)$는 공식 (2)에 의해 정의된 Dirichlet 커널이고 $\pi a_n = \frac(\pi)(n)$, 결과적으로 $a_n = \frac(1)(n ) $. 그래서 $$-\ln |
\sin \frac(x)(2)| = \ln 2 + \sum_(n=1)^(\infty ) \frac(\cos nx)(n), x \neq 2k\pi, k \in \mathbb(Z).$$

[숨다]

문학

• Lysenko Z.M., 수학적 분석에 대한 강의 노트, 2015-2016
• Ter-Krikorov A.M. 그리고 샤부닌 M.I. 수학적 분석 과정, pp. 581-587
• Demidovich B.P., 수학적 분석의 과제 및 연습 모음, 13판, 개정판, CheRo Publishing House, 1997, pp. 259-267

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   $2\pi$ -주기적이고 $[−\pi,\pi]$ 함수 $f(x)$에 절대적으로 적분할 수 있는 $f(x)$ 지점 $x_0$에서 도함수가 있는 경우 해당 푸리에 급수는 이 지점에서 무엇으로 수렴할까요? ?

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   Dini 테스트의 모든 조건이 충족되면 $f$ 함수의 푸리에 급수가 $x_0$ 지점에서 수렴하는 수는?