푸리에 급수 솔루션. 예제와 문제의 푸리에 급수

주기가 2π인 주기 함수의 푸리에 계열.

푸리에 급수를 사용하면 주기 함수를 구성 요소로 분해하여 연구할 수 있습니다. 교류 및 전압, 변위, 크랭크 메커니즘의 속도 및 가속도와 음파는 엔지니어링 계산에서 주기 함수를 사용하는 전형적인 실제 예입니다.

푸리에 급수 확장은 다음과 같은 가정에 기초합니다. 실질적인 의미구간 -π ≤x≤ π의 함수는 수렴으로 표현될 수 있습니다. 삼각함수 계열(항으로 구성된 부분합의 수열이 수렴하면 급수는 수렴하는 것으로 간주됩니다):

sinx와 cosx의 합을 통한 표준(=보통) 표기법

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

여기서 a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,..는 실수 상수입니다. 즉,

여기서 -π에서 π까지의 범위에 대해 푸리에 급수의 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

계수 a o , an 및 bn 을 푸리에 계수라고 하며, 찾을 수 있으면 계열(1)을 호출합니다. 푸리에 근처, 함수 f(x)에 해당합니다. 급수 (1)의 경우 (a 1 cosx+b 1 sinx) 항을 첫 번째 또는 기본 고조파라고 합니다.

시리즈를 작성하는 또 다른 방법은 acosx+bsinx=csin(x+α) 관계를 사용하는 것입니다.

f(x)=a o +c 1 죄(x+α 1)+c 2 죄(2x+α 2)+...+c n 죄(nx+α n)

a o가 상수인 경우 c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(an 2 +b n 2) 1/2는 다양한 구성 요소의 진폭이며 a n =arctg an과 같습니다. /b n.

급수(1)의 경우, (a 1 cosx+b 1 sinx) 또는 c 1 sin(x+α 1) 항은 첫 번째 또는 기본 고조파(a 2 cos2x+b 2 sin2x) 또는 c 2 sin(2x)라고 합니다. +α 2) 두 번째 고조파 등을 호출합니다.

복잡한 신호를 정확하게 표현하려면 일반적으로 무한한 수의 항이 필요합니다. 그러나 많은 실제 문제에서는 처음 몇 가지 항만 고려하는 것으로 충분합니다.

주기가 2π인 비주기 함수의 푸리에 급수.

비주기적 기능의 확장.

함수 f(x)가 비주기적이라면 x의 모든 값에 대해 푸리에 급수로 확장할 수 없다는 의미입니다. 그러나 너비 2π의 모든 범위에 대한 함수를 나타내는 푸리에 급수를 정의하는 것이 가능합니다.

비주기 함수가 주어지면 특정 범위 내에서 f(x)의 값을 선택하고 그 범위 밖에서 2π 간격으로 반복함으로써 새로운 함수를 구성할 수 있습니다. 왜냐하면 새로운 기능는 2π 주기로 주기적이므로 모든 x 값에 대해 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 함수 f(x)=x는 주기적이지 않습니다. 그러나 o에서 2π까지의 구간에서 푸리에 급수로 확장해야 하는 경우 이 구간 밖에서 주기가 2π인 주기 함수가 구성됩니다(아래 그림 참조).

f(x)=x와 같은 비주기 함수의 경우 푸리에 급수의 합은 주어진 범위의 모든 점에서 f(x) 값과 동일하지만 점에 대해서는 f(x)와 같지 않습니다. 범위 밖에 있습니다. 2π 범위에서 비주기 함수의 푸리에 계열을 찾으려면 동일한 푸리에 계수 공식이 사용됩니다.

짝수 및 홀수 기능.

그들은 x의 모든 값에 대해 f(-x)=f(x)인 경우에도 함수 y=f(x)가 짝수라고 말합니다. 짝수 함수의 그래프는 항상 y축을 중심으로 대칭입니다(즉, 거울상입니다). 짝수 함수의 두 가지 예: y=x2 및 y=cosx.

함수 y=f(x)는 x의 모든 값에 대해 f(-x)=-f(x)이면 홀수라고 합니다. 홀수 함수의 그래프는 항상 원점을 기준으로 대칭입니다.

많은 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

코사인의 푸리에 급수 전개.

주기가 2π인 짝수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수는 코사인 항만 포함하며(즉, 사인 항을 포함하지 않음) 다음을 포함할 수 있습니다. 영구회원. 따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

주기가 2π인 홀수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수에는 사인이 있는 항만 포함됩니다(즉, 코사인이 있는 항은 포함되지 않습니다).

따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

반주기의 푸리에 시리즈.

함수가 0에서 2π가 아니라 0에서 π까지의 범위에 대해 정의된 경우 사인 또는 코사인에서만 계열로 확장할 수 있습니다. 결과적인 푸리에 급수를 반주기 푸리에 급수라고 합니다.

0부터 π까지의 범위에서 함수 f(x)의 코사인의 반주기 푸리에 확장을 얻으려면 짝수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 짝수 함수는 f(x) 축에 대해 대칭이므로 그림 3과 같이 선 AB를 그립니다. 아래에. 고려된 간격 외부에서 결과 삼각형 모양이 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 다음과 같습니다. 그림에서 아래에. 이전과 마찬가지로 코사인에서 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수 a o 및 an n을 계산합니다.

0부터 π까지의 범위에서 함수 f(x)의 사인으로 반주기 푸리에 전개를 얻으려면 홀수 주기 함수를 생성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 홀수 함수는 원점을 기준으로 대칭이므로 그림 3과 같이 선 CD를 구성합니다. 고려된 간격 외부에서 결과 톱니파 신호가 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 그림 1에 표시된 형태를 갖습니다. 이전과 마찬가지로 사인으로 반주기의 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수를 계산합니다. 비

임의의 간격에 대한 푸리에 시리즈.

주기 L을 사용한 주기 함수의 확장

주기 함수 f(x)는 x가 L만큼 증가함에 따라 반복됩니다. 즉, 에프(엑스+엘)=에프(엑스). 이전에 고려한 주기가 2π인 함수에서 주기가 L인 함수로 전환하는 것은 매우 간단합니다. 변수 변경을 사용하여 수행할 수 있기 때문입니다.

-L/2≤x≤L/2 범위에서 함수 f(x)의 푸리에 급수를 찾기 위해 함수 f(x)가 u에 대해 2π의 주기를 갖도록 새 변수 u를 도입합니다. u=2πx/L이면 u=-π에 대해 x=-L/2이고 u=π에 대해 x=L/2입니다. 또한 f(x)=f(Lu/2π)=F(u)로 둡니다. 푸리에 급수 F(u)는 다음 형식을 갖습니다.

(적분 한계는 길이 L의 간격(예: 0에서 L까지)으로 대체될 수 있습니다.)

간격 L≠2π에 지정된 함수에 대한 반주기의 푸리에 급수.

u=πх/L 치환의 경우 x=0에서 x=L까지의 구간은 u=0에서 u=π까지의 구간에 해당합니다. 결과적으로 함수는 코사인 또는 사인에서만 계열로 확장될 수 있습니다. 반주기에서 푸리에 급수로 변환됩니다.

0에서 L까지의 범위에서 코사인 전개는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

주기가 2p인 짝수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수는 코사인이 있는 항만 포함하고(즉, 사인이 있는 항은 포함하지 않음) 상수 항을 포함할 수 있습니다. 따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

주기가 2p인 홀수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수에는 사인이 있는 항만 포함됩니다(즉, 코사인이 있는 항은 포함되지 않습니다).

따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

함수가 0에서 2p가 아니라 0에서 p까지의 범위에 대해 정의된 경우 사인 또는 코사인에서만 계열로 확장될 수 있습니다. 결과적인 푸리에 급수를 반주기 푸리에 급수라고 합니다.

0에서 p까지의 범위에서 함수 f(x)의 코사인의 반주기 푸리에 확장을 얻으려면 짝수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 아래는 x = 0에서 x = p까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x) = x입니다. 짝수 함수는 f(x)축을 기준으로 대칭이므로 그림 3과 같이 선 AB를 그립니다. 아래에. 고려된 간격 외부에서 결과 삼각형 모양이 2p의 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 다음과 같습니다. 그림에서 아래에. 이전과 마찬가지로 코사인에서 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수 a o 및 an n을 계산합니다.

0에서 p까지의 범위에서 함수 f(x)의 사인을 기준으로 반주기의 푸리에 전개를 얻으려면 홀수 주기 함수를 생성해야 합니다. 그림에서. 아래는 x=0에서 x=p까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x) =x입니다. 홀수 함수는 원점을 기준으로 대칭이므로 그림 3과 같이 선 CD를 구성합니다.

고려된 간격 외부에서 결과 톱니파 신호가 2p 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 그림 1에 표시된 형태를 갖습니다. 이전과 마찬가지로 사인으로 반주기의 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수를 계산합니다. 비

웹사이트에 수학 공식을 삽입하는 방법은 무엇입니까?

웹 페이지에 하나 또는 두 개의 수학 공식을 추가해야 하는 경우 가장 쉬운 방법은 기사에 설명된 대로입니다. 수학 공식은 Wolfram Alpha에서 자동으로 생성된 그림 형식으로 사이트에 쉽게 삽입됩니다. . 단순함 외에도 이 보편적인 방법검색 엔진에서 사이트 가시성을 향상시키는 데 도움이 됩니다. 그것은 오랫동안 작동해 왔지만(제 생각에는 영원히 작동할 것입니다) 이미 도덕적으로 구식입니다.

사이트에서 수학 공식을 지속적으로 사용하는 경우 다음을 표시하는 특수 JavaScript 라이브러리인 MathJax를 사용하는 것이 좋습니다. 수학 표기법 MathML, LaTeX 또는 ASCIIMathML 마크업을 사용하는 웹 브라우저에서.

MathJax 사용을 시작하는 방법에는 두 가지가 있습니다: (1) 간단한 코드를 사용하여 MathJax 스크립트를 웹사이트에 빠르게 연결할 수 있습니다. 이 스크립트는 적시에 원격 서버에서 자동으로 로드됩니다(서버 목록). (2) MathJax 스크립트를 원격 서버에서 귀하의 서버로 다운로드하고 이를 귀하 사이트의 모든 페이지에 연결하십시오. 더 복잡하고 시간이 많이 걸리는 두 번째 방법은 사이트 페이지 로딩 속도를 높이고, 어떤 이유로 상위 MathJax 서버를 일시적으로 사용할 수 없게 되더라도 이는 귀하의 사이트에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 이러한 장점에도 불구하고 저는 첫 번째 방법이 더 간단하고 빠르며 기술이 필요하지 않기 때문에 선택했습니다. 내 예를 따르면 단 5분 안에 귀하의 사이트에서 MathJax의 모든 기능을 사용할 수 있습니다.

기본 MathJax 웹사이트나 문서 페이지에서 가져온 두 가지 코드 옵션을 사용하여 원격 서버에서 MathJax 라이브러리 스크립트를 연결할 수 있습니다.

이러한 코드 옵션 중 하나를 복사하여 웹페이지의 코드에 붙여넣어야 합니다. 태그 사이나 태그 바로 뒤에 붙여넣는 것이 좋습니다. 첫 번째 옵션에 따르면 MathJax는 더 빠르게 로드되고 페이지 속도가 덜 느려집니다. 그러나 두 번째 옵션은 최신 버전의 MathJax를 자동으로 모니터링하고 로드합니다. 첫 번째 코드를 삽입하면 정기적으로 업데이트해야 합니다. 두 번째 코드를 삽입하면 페이지가 더 느리게 로드되지만 MathJax 업데이트를 지속적으로 모니터링할 필요는 없습니다.

MathJax를 연결하는 가장 쉬운 방법은 Blogger 또는 WordPress에 있습니다. 사이트 제어판에서 타사 JavaScript 코드를 삽입하도록 설계된 위젯을 추가하고 위에 제시된 다운로드 코드의 첫 번째 또는 두 번째 버전을 복사한 다음 위젯을 더 가까이 배치합니다. 템플릿의 시작 부분까지(그런데 MathJax 스크립트가 비동기적으로 로드되기 때문에 이것은 전혀 필요하지 않습니다). 그게 다야. 이제 MathML, LaTeX 및 ASCIIMathML의 마크업 구문을 배우고 사이트의 웹 페이지에 수학 공식을 삽입할 준비가 되었습니다.

모든 프랙탈은 무제한으로 일관되게 적용되는 특정 규칙에 따라 구성됩니다. 이러한 각 시간을 반복이라고 합니다.

멩거 스펀지를 구성하기 위한 반복 알고리즘은 매우 간단합니다. 측면 1이 있는 원래 정육면체는 면에 평행한 평면에 의해 27개의 동일한 정육면체로 나뉩니다. 하나의 중앙 큐브와 면을 따라 인접한 6개의 큐브가 제거됩니다. 결과는 나머지 20개의 작은 큐브로 구성된 세트입니다. 각 큐브에 동일한 작업을 수행하면 400개의 작은 큐브로 구성된 세트가 생성됩니다. 이 과정을 끝없이 계속하면 Menger 스폰지가 생깁니다.

1 RF 노보시비르스크 주립 대학 물리학부 R. K. Belkheeva FOURIER 시리즈의 교육 과학부 예제 및 문제 교과서 노보시비르스크 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. 예제 및 문제의 푸리에 시리즈: 교과서/노보시비르스크. 상태 대학 노보시비르스크, s. ISBN B 교과서푸리에 급수에 대한 기본 정보가 제시되고 연구된 각 주제에 대한 예가 제공됩니다. 끈의 횡진동 문제를 해결하기 위해 푸리에 방법을 적용한 예를 자세히 분석합니다. 예시 자료가 제공됩니다. 독립적인 해결을 위한 과제가 있습니다. NSU 물리학부의 학생과 교사를 대상으로 합니다. NSU 물리학부의 방법론 위원회의 결정에 따라 출판되었습니다. 검토자: Dr. Phys.-Math. 과학. V. A. Aleksandrov 매뉴얼은 수년간 NRU-NSU 개발 프로그램 구현의 일부로 준비되었습니다. 노보시비르스크의 ISBN 주립대학교, 211c Belkheeva R.K., 211

3 1. 2π 주기 함수를 푸리에 급수 정의로 확장합니다. 함수 f(x)의 푸리에 급수는 함수 급수 a 2 + (an cosnx + b n sin nx)입니다. (1) 여기서 계수 a n, b n은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다. a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,... (3) 공식 (2) (3)을 오일러 푸리에 공식이라고 합니다. 함수 f(x)가 푸리에 급수 (1)에 해당한다는 사실은 공식 f(x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) (4)로 쓰여지며, 우리는 공식 ( 4)는 형식 급수 푸리에 함수 f(x)입니다. 즉, 식 (4)는 식 (2), (3)을 이용하여 계수 a n, b n 을 구했다는 의미일 뿐입니다. 삼

4 정의. 간격 [, π]에 유한 개수의 점 = x가 있는 경우 2π 주기 함수 f(x)를 조각별 평활이라고 합니다.< x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Lyapunov의 평등 정리 (Lyapunov의 평등). 함수 f: [, π] R을 f 2 (x) dx로 설정합니다.< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 an = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. 따라서 함수 f(x)에 대한 Lyapunov 등식은 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π 형식을 취합니다. a π에 대한 마지막 등식에서 우리는 sin 2 na n 2 = a(π a) 2 를 찾습니다. a = π 2를 설정하면 n = 2k 1에 대해 sin2 na = 1을 얻고 n = 2k에 대해 sin 2 na =를 얻습니다. 따라서 k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. 예 14. 함수 f(x) = x cosx, x [, π]에 대한 Lyapunov의 등식을 작성하고 이를 사용하여 숫자의 합을 구해 보겠습니다. 계열 (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π 해. 직접 계산하면 = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 f(x)는 짝수 함수이므로, 모든 n에 대해 bn =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) n = 2k이면 2, n = 2k + 1이면 2. n = 1에 대한 일반 공식에서 분수의 분모는 다음과 같으므로 계수 a 1은 별도로 계산해야 합니다. 0으로. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 따라서 함수 f(x)에 대한 Lyapunov의 등식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, 여기에서 숫자 시리즈의 합을 찾습니다 (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π 문제 32. 함수에 대한 Lyapunov 방정식을 작성하십시오 ( x f(x) = 2 πx, x인 경우< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π 죄 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 정답 + 4 죄2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, 여기서 c n은 함수 f(x)의 푸리에 계수 2π입니다. d n 은 푸리에 계수 함수 g(x)입니다. 6. 푸리에 급수의 미분 f: R R을 연속 미분 가능한 2π 주기 함수라고 하자. 푸리에 급수는 f(x) = a 2 + (an cos nx + b n sin nx) 형식을 갖습니다. 이 함수의 도함수 f(x)는 연속적이고 2π 주기 함수가 되며, 이에 대해 형식적인 푸리에 급수를 쓸 수 있습니다: f (x) a 2 + (an cos nx + b n sin nx), 여기서 a, an n , bn, n = 1 , 2,... 함수 f(x)의 푸리에 계수. 51

52 정리(푸리에 급수의 용어별 차별화에 관한). 위의 가정 하에서 등식 a =, a n = nb n, b n = na n, n 1은 유효합니다.예 15. 조각별 평활 함수 f(x)가 구간 [, π]에서 연속이라고 가정합니다. f(x)dx = 조건이 충족되면 스테클로프 부등식(Steklov's inequality)이라고 불리는 부등식 2dx 2dx가 성립하고, 그 부등식은 f(x) = 형식의 함수에 대해서만 성립함을 확인하겠습니다. 코스엑스. 즉, 스테클로프 부등식은 (평균 제곱에서) 도함수가 작다는 것이 (평균 제곱에서) 함수가 작다는 것을 의미하는 조건을 제공합니다. 해결책. 함수 f(x)를 간격 [, ]까지 균등하게 확장해 보겠습니다. 확장 함수를 동일한 기호 f(x)로 표시하겠습니다. 그러면 확장 함수는 구간 [, π]에서 연속적이고 부분적으로 매끄러워집니다. 함수 f(x)가 연속이므로 f 2 (x)는 구간에서 연속이고 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 연속함수는 짝수이므로 조건에 따라 bn =, a =입니다. 결과적으로 Lyapunov의 등식은 1 π 2 dx = a 2 π n 형식을 취합니다. (17) f(x)에 대해 푸리에 급수의 항별 미분에 대한 정리의 결론, 즉 a =, an = nb n, b n = na n, n이 충족되는지 확인합시다. 1. 도함수 f(x)가 구간 [, π]의 x 1, x 2,..., x N 지점에서 꼬임을 겪게 합니다. x =, x N+1 = π를 나타내자. 적분 구간 [, π]를 N +1 구간 (x, x 1),..., (x N, x N+1)로 나누어 보겠습니다. 각 구간에서 f(x)는 연속적으로 미분 가능합니다. 그런 다음 적분의 가산성 속성을 사용하고 부분별로 통합하여 다음을 얻습니다. b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) 죄 nx 1 f(x) 죄 nx) + + (f(x 2) 죄 nx 2 f(x 1) 죄 nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= 함수 f(x)가 짝수 방식으로 계속된다는 사실로 인해 마지막 동일성이 발생합니다. 이는 f(π) = f()를 의미합니다. 마찬가지로 n = nb n을 얻습니다. 우리는 간격 [, π]의 도함수가 제1종 불연속성을 겪는 연속 조각별 평활 2π 주기 함수에 대한 푸리에 급수의 항별 미분에 대한 정리가 정확하다는 것을 보여주었습니다. 이것은 f (x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx를 의미합니다. 왜냐하면 a =, a n = nb n =, bn = na n, n = 1, 2,...이기 때문입니다. 2dx부터< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 (18)의 계열에 있는 각 항은 (17)에 있는 계열의 해당 항보다 크거나 같으므로 2dx 2dx입니다. f(x)가 원래 함수의 짝수 연속임을 상기하면 2dx 2dx가 됩니다. Steklov의 평등을 증명합니다. 이제 우리는 스테클로프 부등식에서 평등이 어떤 기능을 갖는지 살펴보겠습니다. 적어도 하나의 n 2에 대해 계수 an n이 0과 다르면 a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 문제 37. 조각별 평활 함수 f(x)를 구간 [, π]에서 연속이라고 둡니다. 조건 f() = f(π) =가 충족되면 부등식 2dx 2dx(스테클로프 부등식이라고도 함)가 유지된다는 것을 증명하고, 그 부등식은 f(x) 형식의 함수에 대해서만 유지되는지 확인하세요. = B 죄 x. 38. 함수 f가 구간 [, π]에서 연속이고 그 안에 (아마도 유한 개수의 점은 제외) 제곱 적분 가능한 도함수 f(x)가 있다고 가정합니다. f() = f(π) 및 f(x) dx = 조건이 충족되면 Wirtinger 부등식이라고 하는 부등식 2 dx 2 dx가 유지되고 그 안의 평등은 f 형식의 함수에 대해서만 유지됨을 증명하십시오. (x) = Acosx + Bsinx. 56

57 7. 편미분방정식 풀이를 위한 푸리에 급수 적용 실제 물체(자연현상, 생산과정, 제어시스템 등)를 연구할 때 두 가지 요소가 중요하다. 수학적 장치의 발달. ~에 현대 무대과학 연구는 현상 물리적 모델 수학적 모델이라는 체인을 개발했습니다. 문제의 물리적 공식화(모델)는 다음과 같습니다. 프로세스 개발 조건과 이에 영향을 미치는 주요 요인이 식별됩니다. 수학적 공식(모델)은 방정식 시스템(대수, 미분, 적분 등)의 형태로 물리적 공식에서 선택된 요소와 조건을 설명하는 것으로 구성됩니다. 특정 기능 공간에 문제에 대한 해결책이 존재하고 초기 및 경계 조건에 따라 고유하고 지속적으로 의존하는 경우 문제를 잘 제기된 문제라고 합니다. 수학적 모델은 고려 중인 물체와 동일하지 않지만 그에 대한 대략적인 설명입니다. 끈의 자유로운 작은 가로 진동에 대한 방정식 유도교과서를 따르겠습니다. 끈의 끝을 고정하고 끈 자체를 팽팽하게 잡아당깁니다. 줄을 평형 위치에서 움직이면(예를 들어 뒤로 당기거나 부딪히는 경우) 줄은 57에서 시작됩니다.

58 망설이다. 끈의 모든 점은 평형 위치에 수직으로 움직이고(횡방향 진동) 매 순간 끈은 동일한 평면에 있다고 가정합니다. 이 평면에서 시스템을 살펴 보겠습니다. 직사각형 좌표 xou. 그런 다음 초기 순간에 t = 끈이 Ox 축을 따라 위치했다면 u는 평형 위치, 즉 가로축 x가 있는 끈 점의 위치에서 끈의 편차를 의미합니다. 임의의 순간 t는 함수 u(x, t)의 값에 해당합니다. t의 각 고정값에 대해 함수 u(x, t)의 그래프는 시간 t에서의 진동하는 끈의 모양을 나타냅니다(그림 32). x의 상수 값에서 함수 u(x, t)는 Ou 축에 평행한 직선을 따라 가로좌표 x가 있는 점의 운동 법칙을 제공하며 도함수 u t는 이 이동 속도이고 이차 도함수는 2 u t 2 가속도입니다. 쌀. 32. 문자열의 극소 부분에 적용되는 힘 u(x, t) 함수가 만족해야 하는 방정식을 만들어 보겠습니다. 이를 위해 몇 가지 단순화된 가정을 더 만들어 보겠습니다. 우리는 문자열이 절대적으로 유연하다고 생각합니다 - 58

59 koy, 즉 끈이 굽힘에 저항하지 않는다고 가정합니다. 이는 스트링에서 발생하는 응력이 항상 순간 프로파일에 접선 방향으로 향함을 의미합니다. 끈은 탄력성이 있고 Hooke의 법칙을 따르는 것으로 가정됩니다. 이는 장력 크기의 변화가 끈 길이의 변화에 ​​비례한다는 것을 의미합니다. 문자열이 동질적이라고 가정해 보겠습니다. 이것은 그녀가 선형 밀도ρ는 일정합니다. 우리는 외부의 힘을 무시합니다. 이는 우리가 자유 진동을 고려하고 있음을 의미합니다. 우리는 현의 작은 진동만을 연구할 것입니다. 가로좌표 축과 시간 t에서 가로좌표 x가 있는 지점에서 끈에 대한 접선 사이의 각도를 ф(x, t)로 표시하면 작은 진동에 대한 조건은 값 ф 2 (x, t)입니다. 는 ψ (x, t), 즉 ψ 2와 비교하여 무시될 수 있습니다. 각도 ψ가 작기 때문에 cosψ 1, ψ sin ψ tan ψ u 따라서 값 (u x x,) 2도 무시할 수 있습니다. 진동 과정 중에 끈의 어떤 부분의 길이 변화도 무시할 수 있다는 사실이 바로 뒤따릅니다. 실제로, x 2 = x 1 + x인 가로축의 간격으로 투영된 문자열 M 1 M 2의 길이는 l = x 2 x () 2 u dx x와 같습니다. x 우리의 가정 하에서 인장력 T의 크기는 전체 스트링을 따라 일정할 것임을 보여드리겠습니다. 이를 위해 시간 t에서 문자열 M 1 M 2(그림 32)의 임의 섹션을 가져와서 폐기된 섹션의 동작을 교체해 보겠습니다. - 59

60은 장력 T 1 및 T 2입니다. 조건에 따라 끈의 모든 점이 Ou 축과 평행하게 움직이고 외부 힘이 없기 때문에 Ox 축에 대한 장력 투영의 합은 다음과 같습니다. 0과 같아야 함: T 1 cosψ(x 1, t) + T 2 cosψ(x 2, t) =. 따라서 각도 Φ 1 = Φ(x 1, t) 및 Φ 2 = Φ(x 2, t)의 크기가 작기 때문에 T 1 = T 2라고 결론을 내립니다. T 1 =의 총 값을 표시해 보겠습니다. T 2 by T. 이제 Ou 축에서 동일한 힘의 투영 F u의 합을 계산합니다. (2) 작은 각도 sin ψ(x, t) tan ψ(x, t) 및 tan ψ(x, t) u(x, t)/ x에 대해 방정식 (2)는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. T (tg ψ(x 2, t) tan ψ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . 점 x 1이 임의로 선택되었으므로 F u T 2 u x2(x, t) x. M 1 M 2 단면에 작용하는 모든 힘을 찾은 후 질량과 가속도의 곱이 모든 작용 힘의 합과 같다는 뉴턴의 제2법칙을 적용합니다. 끈 M 1 M 2의 질량은 m = ρ l ρ x와 같고 가속도는 2u(x, t)와 같습니다. 뉴턴의 t 2 방정식은 다음 형식을 취합니다. 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, 여기서 α 2 = T ρ는 상수 양수입니다. 6

61 x로 줄이면 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t)가 됩니다. (21) 그 결과, 계수가 일정한 선형 균질 2차 편미분 방정식을 얻었다. 이를 끈 진동 방정식 또는 1차원 파동 방정식이라고 합니다. 방정식 (21)은 본질적으로 뉴턴의 법칙을 다시 공식화한 것이며 끈의 운동을 설명합니다. 그러나 문제의 물리적 공식화에는 끈의 끝이 고정되어 있어야 하고 특정 시점에서 끈의 위치를 ​​알아야 한다는 요구 사항이 있었습니다. 우리는 이러한 조건을 다음과 같은 방정식으로 작성할 것입니다: a) 문자열의 끝이 점 x = 및 x = l에 고정되어 있다고 가정합니다. 즉, 모든 t에 대해 관계 u(, t) =, u (l,t) = ; (22) b) 시간 t = 문자열의 위치가 함수 f(x)의 그래프와 일치한다고 가정합니다. 즉, 모든 x [, l]에 대해 동등함 u(x,) = f(x); (23) c) 순간 t = 가로좌표 x가 있는 끈의 지점에 속도 g(x)가 주어진다고 가정합니다. 즉, u(x,) = g(x)라고 가정합니다. (24) t 관계식 (22)를 경계조건이라 하고, 관계식 (23)과 (24)를 초기조건이라 한다. 자유 작은 횡단의 수학적 모델 61

62 끈 진동은 경계 조건 (22)와 초기 조건 (23) 및 (24)를 사용하여 방정식 (21)을 푸는 것이 필요하다는 것입니다. 푸리에 방법으로 자유 작은 가로 끈 진동의 방정식을 풀면 방정식 (21)을 지역 x l,< t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63은 상수여야 하며 이를 λ로 표시합니다: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. 여기에서 우리는 두 개의 상미분 방정식을 얻습니다: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) 이 경우 경계 조건 (22)는 X()T(t) = 및 X(l)T(t) = 형식을 취합니다. 모든 t, t >에 대해 만족해야 하므로 X() = X(l) =. (3) 경계조건 (3)을 만족하는 식 (28)의 해를 찾아보자. 세 가지 경우를 고려해 보겠습니다. 사례 1: λ >. λ = β 2라고 하자. 방정식 (28)은 X (x) β 2 X(x) = 형식을 취한다. 그 특성 방정식 k 2 β 2 = 는 근 k = ±β를 갖습니다. 따라서, 공동의 결정방정식 (28)은 X(x) = C e βx + De βx 형식을 갖습니다. 경계 조건 (3)이 충족되도록 상수 C와 D를 선택해야 합니다. 즉, X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. β이므로 이 연립방정식은 고유한 해 C = D =를 갖습니다. 따라서 X(x)와 63

64u(x, t). 따라서 사례 1에서 우리는 사소한 해결책을 얻었으며 더 이상 고려하지 않을 것입니다. 사례 2: λ =. 그런 다음 방정식 (28)은 X (x) = 형식을 취하고 그 해는 분명히 X(x) = C x+d 공식으로 제공됩니다. 이 해를 경계 조건 (3)에 대입하면 X() = D = 및 X(l) = Cl =을 얻습니다. 이는 C = D =를 의미합니다. 그러므로 X(x)와 u(x, t), 그리고 우리는 다시 간단한 해를 얻습니다. 사례 3: λ