푸리에 급수의 합을 그리는 방법. 예제와 문제의 푸리에 급수

60강

6.21. 짝수 및 홀수 함수에 대한 푸리에 시리즈.

정리:짝수 함수의 경우 푸리에 급수는 코사인으로만 구성됩니다.

이상한 기능의 경우:
.

증거: 짝수 및 홀수 함수의 정의로부터 ψ(x)가 짝수 함수이면

.

정말,

왜냐하면 짝수 함수 ψ(- x) = ψ(x)의 정의에 의한 것입니다.

마찬가지로, ψ(x)가 홀수 함수라면 다음을 증명할 수 있습니다.

홀수 함수 fc(x)가 푸리에 급수로 확장되면 곱 fc(x) ·coskx도 홀수 함수이고 f(x) ·sinkx는 짝수 함수입니다. 따라서,

(21)

즉, 홀수 함수의 푸리에 급수에는 "사인만" 포함됩니다.

짝수 함수가 푸리에 급수로 확장되면 곱 θ(x)·sinkx는 홀수 함수이고 θ(x)·coskx는 짝수 함수이므로 다음과 같습니다.

(22)

즉, 짝수 함수의 푸리에 급수에는 "코사인만" 포함됩니다.

결과 공식을 사용하면 주어진 함수가 짝수 또는 홀수인 경우 푸리에 계수를 찾을 때 계산을 단순화하고 다음을 얻을 수도 있습니다. 구간의 일부에 정의된 함수의 푸리에 급수 전개 .

많은 작업에서 기능
간격으로 지정됩니다.
. 이 함수를 자연수의 배수인 각도의 사인과 코사인의 무한합으로 표현해야 합니다. 함수를 푸리에 급수로 확장할 필요가 있습니다. 일반적으로 이러한 경우에는 다음과 같이 진행됩니다.

주어진 함수를 코사인으로 확장하려면 다음 함수를 사용하세요.
간격으로 추가로 결정됨
균등한 방식으로, 즉 그래서 그 간격에

. 그런 다음 "확장된" 짝수 함수의 경우 이전 단락의 모든 인수가 유효하며 결과적으로 계수는 푸리에 급수공식에 의해 결정됨

,

우리가 볼 수 있듯이 이러한 공식에는 함수 값이 포함됩니다.
, 간격으로만 지정됨
. 기능을 확장하려면
, 간격으로 지정됨
, 사인에 의해 이 함수를 간격에서 추가로 정의해야 합니다.
이상한 방식으로, 즉 그래서 그 간격에

.

그런 다음 푸리에 급수의 계수 계산은 다음 공식을 사용하여 수행되어야 합니다.

.

정리 1.구간에 주어진 함수는 무한한 방법으로 삼각 푸리에 급수, 특히 cos 또는 sin으로 확장될 수 있습니다.

논평.기능
, 간격으로 지정됨
간격에서 추가로 정의할 수 있습니다.
어떤 식으로든 위에서 했던 것과는 다릅니다. 그러나 함수를 임의로 재정의하면 푸리에 급수의 확장은 사인이나 코사인으로 확장할 때 얻은 것보다 더 복잡해집니다.

예.코사인의 푸리에 급수 함수 확장
, 간격으로 지정됨
(그림 2a).

해결책.함수를 정의해보자
그 간격에
짝수(그래프가 축을 기준으로 대칭임)
)

,

왜냐하면
, 저것

~에

,

~에

6.22. 임의의 간격으로 지정된 함수에 대한 푸리에 계열

지금까지 우리는 간격에 정의된 함수를 살펴보았습니다.
, 이 간격 밖에서 ​​주기적으로 고려하면 마침표가 있습니다.
.

이제 함수를 고려해 보겠습니다.
, 기간은 2 엘, 즉.
간격에
, 이 경우 함수는 다음과 같습니다.
푸리에 급수로 확장할 수 있습니다.

넣어보자
, 또는
. 그럼 바꿀때 에서 - 엘~ 전에 엘새 변수 다양하다
~ 전에 따라서 기능 는 간격에 지정된 함수로 간주될 수 있습니다.
~ 전에 이 간격 밖에서는 주기적으로, 마침표를 사용하여
.

그래서,
.

퍼져나간
푸리에 급수에서 우리는 다음을 얻습니다.

,

.

이전 변수로 이동합니다. 믿는

, 우리는 얻는다
,
그리고
.

즉, 함수에 대한 푸리에 급수
, 간격으로 지정됨
, 다음과 같습니다:

,

,

.

기능의 경우
짝수이면 푸리에 급수의 계수를 결정하는 공식이 단순화됩니다.

,

,

.

기능의 경우
이상한:

,

,

.

기능의 경우
간격으로 지정
, 그러면 해당 간격 동안 계속될 수 있습니다.
짝수든 홀수든. 해당 간격 내에서 기능이 균등하게 계속되는 경우

,

.

간격 내에서 함수가 홀수 확장되는 경우
푸리에 급수의 계수는 다음 공식으로 구합니다.

,

.

예. 함수를 푸리에 급수로 확장

여러 호의 사인을 따라.

해결책. 주어진 함수의 그래프가 그림 3에 나와 있습니다. 이상한 방식으로 함수를 계속해 보겠습니다(그림 4). 우리는 사인의 관점에서 확장을 수행할 것입니다.

모든 확률

,

대체품을 소개해보자
. 그런 다음
우리는 얻는다
, 에
우리는
.

따라서

.

6.23. .비주기 함수의 푸리에 급수 확장 개념

주 영역(-ℓ, ℓ)에 정의된 함수는 함수 관계 θ(x+2 ℓ) = θ(x)를 사용하여 주 영역을 넘어 주기적으로 확장될 수 있습니다.

비주기 함수의 경우 f(x) (-무한대

Φ(x)=
(2.18)

공식 (2.18)은 전체 -무한 축에서 참이 됩니다.< x< ∞ . Можно написать подобное разложение для функции

f(x)=
(2.19)

공식 (2.19)은 유한 구간 (-ℓ, ℓ)에서만 참이 될 것입니다. 왜냐하면 이 구간에서 f(x)와 ψ(x)가 일치하기 때문입니다.

따라서 비주기 함수는 유한 간격의 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다.

자연과 기술에서 발생하는 많은 과정은 일정한 간격을 두고 반복되는 경향이 있습니다. 이러한 프로세스를 주기적이라고 하며 수학적으로 주기 함수로 설명됩니다. 이러한 기능에는 다음이 포함됩니다. 죄(엑스) , 코사인(엑스) , 죄(wx), 코사인(wx) . 2의 합 주기적인 함수, 예를 들어 다음 형식의 함수 , 일반적으로 말하면 더 이상 주기적이지 않습니다. 그러나 관계가 있는 경우 증명할 수 있습니다. 승 1 / 승 2 가 유리수이면 이 합은 주기 함수입니다.

가장 간단한 주기 과정(고조파 진동)은 주기 함수로 설명됩니다. 죄(wx) 그리고 코사인(wx). 보다 복잡한 주기 과정은 다음 형식의 유한 또는 무한 수의 항으로 구성된 함수로 설명됩니다. 죄(wx) 그리고 코사인(wx).

3.2. 삼각함수 시리즈. 푸리에 계수

다음과 같은 형식의 기능적 계열을 고려해 보겠습니다.

이 시리즈는 이렇게 불린다. 삼각법; 숫자 ㅏ 0 , 비 0 , ㅏ 1 , 비 1 ,ㅏ 2 , 비 2 …, ㅏ N , 비 N ,… 호출된다 계수삼각함수 시리즈. 시리즈 (1)은 종종 다음과 같이 작성됩니다.

. (2)

삼각함수 급수(2)의 구성원은 공통 주기를 갖기 때문에
, 수렴하는 경우 급수의 합은 주기를 갖는 주기 함수이기도 합니다.
.

함수가 다음과 같다고 가정해보자. 에프(엑스) 이 계열의 합계는 다음과 같습니다.

. (3)

이 경우 그들은 다음과 같은 기능을 말합니다. 에프(엑스) 삼각함수 계열로 확장됩니다. 이 계열이 간격에서 균일하게 수렴한다고 가정합니다.
, 다음 공식을 사용하여 계수를 결정할 수 있습니다.

,
,
. (4)

이 공식에 의해 결정된 계열의 계수를 다음과 같이 부릅니다. 푸리에 계수.

푸리에 공식 (4)에 의해 계수가 결정되는 삼각 급수 (2)를 다음과 같이 부릅니다. 푸리에 근처, 함수에 해당 에프(엑스).

따라서 주기함수라면 에프(엑스) 는 수렴 삼각 급수의 합이고, 이 급수는 푸리에 급수입니다.

3.3. 푸리에 급수의 수렴

공식 (4)는 푸리에 계수가 구간의 적분 가능 항목에 대해 계산될 수 있음을 보여줍니다.

-주기적인 함수, 즉 이러한 함수의 경우 항상 푸리에 급수를 구성할 수 있습니다. 하지만 이 계열이 다음 함수로 수렴될까요? 에프(엑스) 그리고 어떤 조건에서?

다음 기능을 기억하세요. 에프(엑스), 세그먼트에 정의됨 [ ㅏ; 비] , 그것과 그 파생물이 제1종 불연속점의 유한한 수 이하인 경우 조각별 평활이라고 합니다.

다음 정리는 푸리에 급수에서 함수의 분해 가능성에 대한 충분한 조건을 제공합니다.

디리클레의 정리. 허락하다
-주기적인 기능 에프(엑스) 부분적으로 매끄럽다
. 그러면 푸리에 급수는 다음과 같이 수렴됩니다. 에프(엑스) 각각의 연속성 지점과 가치에 대해 0,5(에프(엑스+0)+ 에프(엑스-0)) 한계점에서.

예시 1.

함수를 푸리에 급수로 확장 에프(엑스)= 엑스, 간격에 지정됨
.

해결책.이 함수는 Dirichlet 조건을 만족하므로 푸리에 급수로 확장할 수 있습니다. 식 (4)와 부분적분법을 이용하여
, 우리는 푸리에 계수를 찾습니다:

따라서, 함수에 대한 푸리에 급수 에프(엑스) 봐.

짝수 및 홀수 함수의 푸리에 급수 전개 간격에 주어진 함수를 사인 또는 코사인의 급수로 확장 임의의 주기를 갖는 함수에 대한 푸리에 급수 푸리에 급수의 복합 표현 일반적인 함수의 직교 시스템에서 푸리에 급수 직교 시스템 푸리에 계수의 최소 특성 베셀 부등식 평등 구문 분석 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성

짝수 및 홀수 함수의 푸리에 급수 전개 I > 0인 구간 \-1에 정의된 함수 f(x)는 짝수 함수의 그래프가 세로축을 기준으로 대칭인 경우에도 호출됩니다. I > 0인 세그먼트 J)에 정의된 함수 f(x)는 홀수 함수의 그래프가 원점을 기준으로 대칭인 경우 홀수라고 합니다. 예. a) 함수는 구간 |-jt, jt)에서 짝수입니다. 왜냐하면 모든 x e에 대해 b) 함수는 홀수입니다. 왜냐하면 짝수 및 홀수 함수의 푸리에 급수 전개는 구간에 주어진 함수를 사인 또는 계열로 확장하는 것이기 때문입니다. 코사인 임의 주기를 갖는 함수에 대한 푸리에 급수 푸리에 급수의 복소 표현 함수의 일반적인 직교 시스템에 대한 푸리에 급수 직교 시스템에 대한 푸리에 급수 푸리에 계수의 최소 특성 베셀의 부등식 파세발의 평등 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성 c) 함수 f (x)=x2-x, 여기서는 짝수 함수나 홀수 함수에도 속하지 않습니다. 왜냐하면 정리 1의 조건을 만족하는 함수 f(x)가 구간 x|에서 짝수라고 가정하기 때문입니다. 그러면 모든 사람에게 즉 /(x) cos nx는 짝수 함수이고, f(x) sinnx는 홀수 함수입니다. 따라서 짝수 함수 f(x)의 푸리에 계수는 동일하므로 짝수 함수의 푸리에 급수는 f(x) sin х - 짝수 함수 형식을 갖습니다. 따라서, 홀수 함수의 푸리에 급수는 예 1의 형태를 갖습니다. 함수 4를 구간 -x ^x ^n에서 푸리에 급수로 확장합니다. 이 함수는 짝수이고 정리 1의 조건을 만족하므로, 푸리에 급수는 푸리에 계수 찾기 형식을 갖습니다. 우리는 부분별 적분을 두 번 적용하여 다음을 얻습니다. 따라서 이 함수의 푸리에 급수는 다음과 같습니다. 또는 확장된 형태로 이 동등성은 모든 x €에 대해 유효합니다. 왜냐하면 x = ±ir 지점에서 합이 시리즈는 함수 f(x) = x2의 값과 일치합니다. 왜냐하면 함수 f(x) = x의 그래프와 결과 시리즈의 합이 그림에 나와 있기 때문입니다. 논평. 이 푸리에 급수를 사용하면 수렴하는 숫자 급수 중 하나의 합을 찾을 수 있습니다. 즉, x = 0에 대해 예 2를 얻습니다. 함수 /(x) = x를 구간에서 푸리에 급수로 확장합니다. 함수 /(x)는 정리 1의 조건을 만족하므로 푸리에 급수로 확장될 수 있으며, 이 함수의 기이함 때문에 부분을 적분하면 푸리에 계수를 찾을 수 있습니다. 따라서 이 함수의 푸리에 계열은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 이 평등은 x - ±t 지점에서 모든 x B에 대해 유지됩니다. 푸리에 계열의 합은 함수 /(x) = x의 값과 일치하지 않습니다. 간격 [-*, i-] 외부에서 계열의 합은 함수 /(x) = x의 주기적 연속입니다. 그 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 6. § 6. 구간에 주어진 함수를 사인 또는 코사인 계열로 확장 유계 조각별 단조 함수 /가 구간에 주어지도록 합니다. 간격 0|에서 이 함수의 값 다양한 방식으로 추가로 정의할 수 있습니다. 예를 들어 세그먼트 tc]에 / 함수를 정의하여 /가 되도록 할 수 있습니다. 이 경우 그들은 "균등한 방식으로 세그먼트 0]으로 확장된다"고 말합니다. 푸리에 급수에는 코사인만 포함됩니다. 함수 /(x)가 [-l-, mc] 간격에 정의되어 /(가 되도록 정의된 경우 결과는 홀수 함수이고 /는 "구간 [-*, 0]으로 확장됩니다."라고 말합니다. 이 경우 푸리에 급수에는 사인만 포함됩니다. 따라서 간격에 정의된 각 경계 구분 단조 함수 /(x)는 사인과 코사인 모두에서 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 예 1 . 함수를 푸리에 급수로 확장합니다: a) 코사인 기준; b) 사인에 의해. M 세그먼트 |-x,0)에 짝수 및 홀수 연속이 있는 이 함수는 경계가 있고 부분적으로 단조롭습니다. a) /(z)를 세그먼트 0으로 확장합니다. a) j\x)를 세그먼트 (-π,0|로 균등한 방식으로 확장합니다(그림 7). 그러면 푸리에 급수 i는 Π = 1 형식을 갖게 됩니다. 여기서 푸리에 계수는 각각 동일합니다. 따라서 b) /(z)를 이상한 방식으로 세그먼트 [-x,0]으로 확장해 보겠습니다(그림 8). 그런 다음 푸리에 시리즈 §7. 임의의 주기를 갖는 함수에 대한 푸리에 계열 함수 fix)를 21.1 ^ 0의 주기로 주기적이라고 가정합니다. 이를 I > 0인 구간에서 푸리에 계열로 확장하기 위해 x = jt를 설정하여 변수를 변경합니다. . 그러면 함수 F(t) = / ^tj는 주기가 있는 인수 t의 주기 함수가 되며 세그먼트에서 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 변수 x로 돌아가서 즉, 설정하면 유효한 모든 정리를 얻습니다. 주기가 2π인 주기 함수의 푸리에 계열의 경우 임의의 주기가 21인 주기 함수에 대해 유효한 상태로 유지됩니다. 특히 푸리에 계열의 함수 분해 가능성에 대한 충분한 기준도 유효합니다. 예 1. 공식(그림 9)에 의해 간격 [-/,/]에 주어진 주기가 21인 주기 함수를 푸리에 급수로 확장합니다. 이 함수는 짝수이므로 푸리에 급수는 발견된 푸리에 계수 값을 푸리에 급수로 대체하는 형식을 갖습니다. 주기 함수의 중요한 속성 중 하나를 살펴보겠습니다. 정리 5. 함수가 주기 T를 갖고 적분 가능하면 임의의 수 a에 대해 m이 동일하게 유지됩니다. 즉, 길이가 주기 T와 동일한 세그먼트의 적분은 숫자 축에서 이 세그먼트의 위치에 관계없이 동일한 값을 갖습니다. 실제로 우리는 두 번째 적분에서 변수를 변경한다고 가정합니다. 이는 기하학적으로, 이 속성은 그림에서 음영 처리된 영역의 경우를 의미합니다. 10개의 영역은 서로 동일합니다. 특히, 짝수 및 홀수 함수의 푸리에 계열로의 확장에서 얻은 주기를 갖는 함수 f(x)의 경우, 구간에 주어진 함수를 사인 또는 코사인 푸리에 계열의 계열로 확장하여 임의의 함수에 대해 주기 푸리에 급수의 복소 표기법 일반적인 직교 시스템의 푸리에 급수 함수 직교 시스템의 푸리에 급수 푸리에 계수의 최소 특성 베셀 부등식 파세발 평등 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성 예 2. 함수 x는 주기를 가지고 주기적입니다. 이 함수의 이상한 점은 적분을 계산하지 않고도 다음과 같이 말할 수 있습니다. 입증된 속성은 특히 주기가 21인 주기 함수 f(x)의 푸리에 계수가 a가 다음 공식을 사용하여 계산될 수 있음을 보여줍니다. 임의의 실수(함수 cos - 및 sin의 주기는 2/입니다.) 예 3. 2x 주기의 간격으로 주어진 함수를 푸리에 급수로 확장합니다(그림 11). 4 이 함수의 푸리에 계수를 찾아봅시다. 따라서 우리가 찾은 공식을 넣으면 푸리에 급수는 다음과 같습니다. x = jt(제1종 불연속점) 지점에서 §8을 얻습니다. 푸리에 급수의 복합 기록 이 섹션에서는 복합 분석의 일부 요소를 사용합니다(복잡한 표현을 사용하여 여기에서 수행되는 모든 작업이 엄격하게 정당화되는 XXX장 참조). 함수 f(x)가 푸리에 급수로 확장되기 위한 충분한 조건을 충족한다고 가정합니다. 그런 다음 세그먼트 x]에서 일련의 형식으로 나타낼 수 있습니다. 오일러 공식을 사용하여 이러한 표현식을 cos πx 및 sin ψx 대신 계열 (1)로 대체하면 다음과 같은 표기법을 소개합니다. 그런 다음 계열 (2)는 다음을 사용합니다. form 따라서 푸리에 급수(1)는 복소수 형태(3)로 표현됩니다. 적분을 통해 계수에 대한 표현식을 찾아보겠습니다. 마찬가지로 с``, с_п 및 с의 최종 공식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. . 계수 с "는 함수의 복소 푸리에 계수라고 합니다. 주기가 있는 주기 함수의 경우 푸리에 급수의 복소 형태는 계수 Cn이 공식을 사용하여 계산되는 형식을 취합니다. 급수의 수렴(3 ) 및 (4)는 다음과 같이 이해됩니다. 계열 (3)과 (4)는 수렴이라고 합니다. 주어진 값 g, 제한이 있는 경우 예시. 주기 함수를 복소 푸리에 급수로 확장합니다. 이 함수는 푸리에 급수로 확장하기 위한 충분한 조건을 충족합니다. 이 함수의 복소 푸리에 계수를 찾아보겠습니다. 우리는 짝수 n에 대해 홀수를 얻습니다. 간단히 말해서. 값을 대체하여), 우리는 마침내 다음을 얻습니다. 이 계열은 다음과 같이 작성될 수도 있습니다: 함수의 일반적인 직교 시스템에 대한 푸리에 계열 9.1. 함수의 직교 시스템 간격 [a, 6]에서 정의되고 적분 가능한 모든 (실제) 함수 집합을 정사각형으로 표시하겠습니다. 즉, 적분이 존재하는 함수입니다. 특히 모든 함수 f(x) 연속 구간 [a, 6]에서는 6]에 속하며 르베그 적분 값은 리만 적분 값과 일치합니다. 정의. 조건 (1)이 특히 어떤 함수도 동일하게 0이 아니라고 가정하는 경우 구간 [a, b\에서 직교라고 불리는 함수 시스템. 적분은 르베그 의미로 이해됩니다. 그리고 우리는 수량을 함수의 노름이라고 부릅니다. 만약 우리가 가지고 있는 임의의 n에 대한 직교 시스템에 있다면, 함수 시스템은 직교라고 불립니다. 시스템 (y>„(x))이 직교하면 시스템 예 1. 삼각 시스템은 세그먼트에서 직교합니다. 함수 시스템은 예제 2의 정규 직교 함수 시스템입니다. 코사인 시스템과 사인 시스템은 정규 직교입니다. 간격(0, f|에서 직교하지만 정규직교는 아님(I Ф- 2의 경우)이라는 표기법을 소개하겠습니다. 해당 노름은 COS이므로 예 3. 동등으로 정의된 다항식을 르장드르 다항식(다항식)이라고 합니다. n = 0 입니다. 함수가 구간에서 정규 직교 시스템을 형성한다는 것을 증명할 수 있습니다. 예를 들어 르장드르 다항식의 직교성을 보여드리겠습니다. m > n이라고 합니다. 이 경우 n 번 적분하면 다음과 같습니다. 부분, 우리는 함수 t/m = (z2 - I)m에 대해 m - I(포함) 차수까지의 모든 도함수가 세그먼트 [-1,1)의 끝에서 사라지기 때문에 찾습니다. 정의. 함수 시스템(pn(x))은 다음과 같은 경우 돌출부 p(x)에 의해 구간 (a, b)에서 직교라고 합니다. 1) 모든 n = 1,2,... 적분이 있습니다. 여기서는 다음과 같습니다. 가중치 함수 p(x)는 p(x)가 사라질 수 있는 유한한 개수의 점을 제외하고 구간 (a, b)의 모든 곳에서 정의되고 양수라고 가정합니다. 식(3)에서 미분을 행한 결과, 발견된다. Chebyshev-Hermite 다항식은 구간 예 4에서 직교임을 알 수 있습니다. Bessel 함수 시스템(jL(pix)^은 Bessel 함수의 구간 0에서 직교합니다. 예 5. Chebyshev-Hermite 다항식을 고려해 보겠습니다. , 동등성을 사용하여 정의할 수 있습니다. 직교 시스템의 푸리에 급수 구간 (a, 6)에 직교 함수 시스템이 있고 급수(cj = const)가 이 구간에서 함수 f(x)로 수렴한다고 가정합니다. 마지막 등식의 양쪽에 곱하기 by - 고정) 시스템의 직교성으로 인해 x에서 a부터 6까지 통합하면 이 연산이 일반적으로 순전히 형식적인 특성을 가짐을 알 수 있습니다. 그러나 어떤 경우에는 급수(4)가 균일하게 수렴하고 모든 함수가 연속이고 간격(a, 6)이 유한한 경우 이 작업은 적법합니다. 그러나 지금 우리에게 중요한 것은 공식적인 해석입니다. 그럼, 함수를 하나 주어 보겠습니다. 식 (5)에 따라 숫자 c*를 형성하고 다음과 같이 적습니다. 오른쪽의 급수는 시스템 (^n(i))에 대한 함수 f(x)의 푸리에 급수라고 합니다. 숫자 Cn 이 시스템과 관련하여 함수 f(x)의 푸리에 계수라고 합니다. 공식 (6)의 부호 ~는 숫자 Cn이 공식 (5)에 의해 함수 f(x)와 관련되어 있음을 의미합니다(오른쪽 계열이 전혀 수렴한다고 가정하지 않으며 훨씬 더 함수 f에 수렴한다고 가정하지 않음). (엑스)). 따라서 자연스럽게 질문이 생깁니다. 이 시리즈의 속성은 무엇입니까? 이것은 어떤 의미에서 함수 f(x)를 “나타내는” 것입니까? 9.3. 평균 정의에 대한 수렴. 수열은 노름이 공간에 있으면 평균적으로 요소 ]에 수렴합니다. 정리 6. 수열 )이 균일하게 수렴하면 평균적으로 수렴합니다. M 수열 ())이 구간 [a, b]에서 함수 /(x)로 균일하게 수렴하도록 합니다. 이는 모든 사람에 대해, 충분히 큰 n에 대해 우리는 그러므로 우리의 진술이 이어지는 것을 의미합니다. 그 반대는 참이 아닙니다. 수열 ()은 평균적으로 /(x)로 수렴할 수 있지만 균일하게 수렴하지는 않습니다. 예. 수열 nx를 생각해 보면 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 이 수렴은 균일하지 않습니다. 예를 들어 n이 아무리 크더라도 임의의 주기를 갖는 함수에 대한 구간 코사인 푸리에 급수인 e가 존재합니다. 푸리에 급수의 일반 직교 함수 시스템에 대한 푸리에 급수 직교 시스템에 대한 푸리에 급수 푸리에 계수의 최소 특성 베셀 부등식 파세발 평등 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성 및 함수의 푸리에 계수를 c*로 표시합니다. /(x ) 정규 직교 시스템에 의해 b n^1이 고정된 정수인 선형 결합을 고려하고, 적분이 최소값을 취하는 상수 값을 찾습니다. 좀 더 자세히 작성해 보겠습니다. 시스템의 직교 정규성으로 인해 항별로 적분하면 등식 오른쪽의 처음 두 항(7)은 독립적이고 세 번째 항은 음수가 아닙니다. 따라서 적분(*)은 ak = sk에서 최소값을 취하며, 적분은 Tn(x)의 선형 결합에 의한 함수 /(x)의 평균 제곱 근사라고 합니다. 따라서 함수 /\의 제곱 평균 제곱근사는 다음과 같은 경우 최소값을 취합니다. Tn(x)가 시스템(. ak = sk로 설정)에 대한 함수 /(x)의 푸리에 급수의 71번째 부분합일 때, (7)에서 우리는 평등(9)을 얻습니다. 이를 베셀 항등식이라고 합니다. 왼쪽부터 측면이 음수가 아닌 경우 베셀 부등식은 다음과 같습니다. 내가 여기에 임의로 있기 때문에 베셀 부등식은 강화된 형태로 표현될 수 있습니다. 즉, 모든 함수에 대해 / 직교 시스템에서 이 함수의 일련의 제곱된 푸리에 계수 )는 수렴합니다 . 시스템이 간격 [-x, m]에서 정규직교이므로 삼각 푸리에 급수의 일반적인 표기법으로 변환된 부등식(10)은 적분 가능한 제곱을 갖는 모든 함수 /(x)에 대해 유효한 관계 do를 제공합니다. f2(x)가 적분 가능하면 부등식의 좌변(11)에서 계열의 수렴에 필요한 조건으로 인해 다음을 얻습니다. Parseval의 등식 일부 시스템(^„(x))의 경우 공식(10)의 부등호는 (모든 함수 f(x) 6 ×에 대해) 등호로 대체될 수 있습니다. 결과적인 동등성을 Parseval-Steklov 동등성(완전성 조건)이라고 합니다. 베셀의 항등식(9)을 통해 조건(12)을 등가 형식으로 작성할 수 있으므로 완전성 조건이 충족된다는 것은 함수 /(x)의 푸리에 급수 부분합 Sn(x)가 다음 함수로 수렴한다는 것을 의미합니다. /(x) 평균, 즉 공간 6의 규범에 따르면]. 정의. 정규 직교 시스템( 모든 함수가 c 형식의 선형 조합에 의해 평균적으로 어느 정도 정확도로 근사화될 수 있는 경우 b2[ау b]에서 완전이라고 합니다. 큰 수용어, 즉 어떤 함수 /(x) € b2[a, b\ 및 e > 0에 대해 자연수 nq와 숫자 a\, a2y...가 있는 경우 No 위의 추론에서 정리를 따릅니다. 7. 직교 정규화에 의해 시스템 )이 공간에서 완전하다면, 이 시스템에 대한 임의의 함수의 푸리에 급수 /는 평균적으로, 즉 노름에 따라 f(x)로 수렴합니다. 삼각법 시스템은 다음에서 완전하다는 것을 알 수 있습니다. 공간 이것은 진술을 의미합니다. 정리 8. 함수 /o의 삼각 푸리에 급수는 평균적으로 함수에 수렴합니다. 9.5. 폐쇄형 시스템. 시스템 정의의 완전성과 폐쇄성. 정규 직교 함수 시스템 \은 공간 Li\a, b)에 모든 함수에 직교하는 0이 아닌 함수가 없으면 폐쇄형이라고 합니다. 공간 L2\a, b\에서는 정규 직교 시스템의 완전성과 폐쇄성의 개념이 일치합니다. 연습 1. 함수 2를 (-i-, x) 구간에서 푸리에 계열로 확장합니다. 2. 함수를 (-tr, tr) 구간에서 푸리에 계열로 확장합니다. 3. 함수 4를 다음에서 푸리에 계열로 확장합니다. 구간 (-tr, tr)을 구간 (-jt, tr)의 푸리에 계열로 확장합니다. 함수 5. 함수 f(x) = x + x를 구간 (-tr, tr)의 푸리에 계열로 확장합니다. 6. 함수 n을 (-jt, tr) 구간의 푸리에 계열로 확장합니다. 7. /(x) = sin2 x 함수를 (-tr, x) 구간의 푸리에 계열로 확장합니다. 8. 함수 f(x) = y를 구간 (-tr, jt)의 푸리에 계열로 확장합니다. 9. 함수 f(x) = |를 확장합니다. 죄 x|. 10. 함수 f(x) = §를 구간 (-π-, π)의 푸리에 계열로 확장합니다. 11. 함수 f(x) = sin §를 (-tr, tr) 구간의 푸리에 급수로 확장합니다. 12. (0, x) 구간에 주어진 함수 f(x) = n -2x를 푸리에 급수로 확장하고 이를 구간 (-x, 0)으로 확장합니다. a) 짝수 방식으로; b) 이상한 방식으로. 13. 구간 (0, x)에 주어진 함수 /(x) = x2를 사인의 푸리에 급수로 확장합니다. 14. 구간 (-2,2)에 주어진 함수 /(x) = 3을 푸리에 급수로 확장합니다. 15. (-1,1) 구간에 주어진 함수 f(x) = |x|를 푸리에 급수로 확장합니다. 16. 간격 (0,1)에 지정된 함수 f(x) = 2x를 사인의 푸리에 계열로 확장합니다.

주기가 2π인 주기 함수의 푸리에 계열.

푸리에 급수를 사용하면 주기 함수를 구성 요소로 분해하여 연구할 수 있습니다. 교류 및 전압, 변위, 크랭크 메커니즘의 속도 및 가속도와 음파는 엔지니어링 계산에서 주기 함수를 사용하는 전형적인 실제 예입니다.

푸리에 급수 확장은 다음과 같은 가정에 기초합니다. 실질적인 의미간격 -π ≤x≤ π의 함수는 수렴 삼각 급수의 형태로 표현될 수 있습니다(해당 항으로 구성된 부분합의 수열이 수렴하는 경우 급수는 수렴하는 것으로 간주됩니다).

sinx와 cosx의 합을 통한 표준(=보통) 표기법

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

여기서 a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,..는 실수 상수입니다. 즉,

여기서 -π에서 π까지의 범위에 대해 푸리에 급수의 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

계수 a o , an 및 bn 을 호출합니다. 푸리에 계수, 찾을 수 있으면 계열 (1)이 호출됩니다. 푸리에 옆에,함수 f(x)에 해당합니다. 급수 (1)의 경우 (a 1 cosx+b 1 sinx) 항을 첫 번째 또는 기본 고조파,

시리즈를 작성하는 또 다른 방법은 acosx+bsinx=csin(x+α) 관계를 사용하는 것입니다.

f(x)=a o +c 1 죄(x+α 1)+c 2 죄(2x+α 2)+...+c n 죄(nx+α n)

a o가 상수인 경우 c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(an 2 +b n 2) 1/2는 다양한 구성 요소의 진폭이며 a n =arctg an과 같습니다. /b n.

계열 (1)의 경우 항 (a 1 cosx+b 1 sinx) 또는 c 1 sin(x+α 1)을 첫 번째 또는 기본 고조파,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) 또는 c 2 sin(2x+α 2)가 호출됩니다. 두 번째 고조파등등.

복잡한 신호를 정확하게 표현하려면 일반적으로 무한한 수의 항이 필요합니다. 그러나 많은 실제 문제에서는 처음 몇 가지 항만 고려하는 것으로 충분합니다.

주기가 2π인 비주기 함수의 푸리에 급수.

비주기적 기능의 확장.

함수 f(x)가 비주기적이라면 x의 모든 값에 대해 푸리에 급수로 확장할 수 없다는 의미입니다. 그러나 너비 2π의 모든 범위에 대한 함수를 나타내는 푸리에 급수를 정의하는 것이 가능합니다.

비주기 함수가 주어지면 특정 범위 내에서 f(x)의 값을 선택하고 그 범위 밖에서 2π 간격으로 반복함으로써 새로운 함수를 구성할 수 있습니다. 왜냐하면 새로운 기능는 2π 주기로 주기적이므로 모든 x 값에 대해 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 함수 f(x)=x는 주기적이지 않습니다. 그러나 o에서 2π까지의 구간에서 푸리에 급수로 확장해야 하는 경우 이 구간 밖에서 주기가 2π인 주기 함수가 구성됩니다(아래 그림 참조).

f(x)=x와 같은 비주기 함수의 경우 푸리에 급수의 합은 주어진 범위의 모든 점에서 f(x) 값과 동일하지만 점에 대해서는 f(x)와 같지 않습니다. 범위 밖에 있습니다. 2π 범위에서 비주기 함수의 푸리에 계열을 찾으려면 동일한 푸리에 계수 공식이 사용됩니다.

짝수 및 홀수 기능.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 심지어, x의 모든 값에 대해 f(-x)=f(x)인 경우. 짝수 함수의 그래프는 항상 y축을 중심으로 대칭입니다(즉, 거울상입니다). 짝수 함수의 두 가지 예: y=x2 및 y=cosx.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 이상한, x의 모든 값에 대해 f(-x)=-f(x)인 경우. 홀수 함수의 그래프는 항상 원점을 기준으로 대칭입니다.

많은 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

코사인의 푸리에 급수 전개.

주기가 2π인 짝수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수는 코사인 항만 포함하며(즉, 사인 항을 포함하지 않음) 다음을 포함할 수 있습니다. 영구회원. 따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

주기가 2π인 홀수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수에는 사인이 있는 항만 포함됩니다(즉, 코사인이 있는 항은 포함되지 않습니다).

따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

반주기의 푸리에 시리즈.

함수가 0에서 2π가 아니라 0에서 π까지의 범위에 대해 정의된 경우 사인 또는 코사인에서만 계열로 확장할 수 있습니다. 결과 푸리에 급수는 다음과 같습니다. 반주기에서 푸리에 근처.

분해를 원하시면 코사인에 의한 반주기 푸리에함수 f(x)가 0에서 π 사이의 범위에 있는 경우 짝수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 짝수 함수는 f(x) 축에 대해 대칭이므로 그림 3과 같이 선 AB를 그립니다. 아래에. 고려된 간격 외부에서 결과 삼각형 모양이 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 다음과 같습니다. 그림에서 아래에. 이전과 마찬가지로 코사인에서 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수 a o 및 an n을 계산합니다.

당신이 얻을 필요가 있다면 푸리에 반주기 사인 확장 0에서 π 사이의 함수 f(x)를 사용하려면 홀수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 홀수 함수는 원점을 기준으로 대칭이므로 그림 3과 같이 선 CD를 구성합니다. 고려된 간격 외부에서 결과 톱니파 신호가 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 그림 1에 표시된 형태를 갖습니다. 이전과 마찬가지로 사인으로 반주기의 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수를 계산합니다. 비

임의의 간격에 대한 푸리에 시리즈.

주기 L을 사용한 주기 함수의 확장

주기 함수 f(x)는 x가 L만큼 증가함에 따라 반복됩니다. 즉, 에프(엑스+엘)=에프(엑스). 이전에 고려한 주기가 2π인 함수에서 주기가 L인 함수로 전환하는 것은 매우 간단합니다. 변수 변경을 사용하여 수행할 수 있기 때문입니다.

-L/2≤x≤L/2 범위에서 함수 f(x)의 푸리에 급수를 찾기 위해 함수 f(x)가 u에 대해 2π의 주기를 갖도록 새 변수 u를 도입합니다. u=2πx/L이면 u=-π에 대해 x=-L/2이고 u=π에 대해 x=L/2입니다. 또한 f(x)=f(Lu/2π)=F(u)로 둡니다. 푸리에 급수 F(u)는 다음 형식을 갖습니다.

(적분 한계는 길이 L의 간격(예: 0에서 L까지)으로 대체될 수 있습니다.)

간격 L≠2π에 지정된 함수에 대한 반주기의 푸리에 급수.

u=πх/L 치환의 경우 x=0에서 x=L까지의 구간은 u=0에서 u=π까지의 구간에 해당합니다. 결과적으로, 함수는 코사인 또는 사인에서만 계열로 확장될 수 있습니다. V 반주기의 푸리에 급수.

0에서 L까지의 범위에서 코사인 전개는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

푸리에 급수는 특정 주기를 갖는 임의의 함수를 급수 형태로 표현한 것입니다. 안에 일반적인 견해 이 결정직교 기반으로 요소를 분해하는 것을 말합니다. 함수를 푸리에 급수로 확장하는 것은 적분, 미분, 인수 및 컨볼루션에 의한 표현 이동 중에 이러한 변환의 특성으로 인해 다양한 문제를 해결하는 매우 강력한 도구입니다.

고등 수학과 프랑스 과학자 푸리에의 작품에 익숙하지 않은 사람은 이러한 "시리즈"가 무엇인지, 무엇이 필요한지 이해하지 못할 가능성이 높습니다. 한편, 이러한 변화는 우리 삶에 상당히 통합되었습니다. 이는 수학자뿐만 아니라 물리학자, 화학자, 의사, 천문학자, 지진학자, 해양학자 등 많은 사람들이 사용합니다. 또한 시대를 앞선 발견을 한 위대한 프랑스 과학자의 작품을 자세히 살펴보겠습니다.

인간과 푸리에 변환

푸리에 급수(Fourier series)는 (분석 등과 함께) 방법 중 하나로 사람이 소리를 들을 때마다 이 과정이 일어난다. 우리의 귀는 탄성 매체의 기본 입자를 다양한 높이의 톤에 대한 연속적인 볼륨 수준의 행(스펙트럼을 따라)으로 자동으로 변환합니다. 다음으로, 뇌는 이 데이터를 우리에게 친숙한 소리로 바꿉니다. 이 모든 일은 우리의 욕망이나 의식 없이 저절로 발생하지만 이러한 과정을 이해하려면 고등 수학을 연구하는 데 몇 년이 걸릴 것입니다.

푸리에 변환에 대한 추가 정보

푸리에 변환은 분석적, 수치적 및 기타 방법을 사용하여 수행할 수 있습니다. 푸리에 급수는 바다의 조수와 광파에서 태양(및 기타 천체) 활동의 주기에 이르기까지 모든 진동 과정을 분해하는 수치적 방법을 나타냅니다. 이러한 수학적 기술을 사용하면 모든 진동 프로세스를 최소에서 최대로 그리고 그 반대로 이동하는 일련의 정현파 구성 요소로 나타내는 함수를 분석할 수 있습니다. 푸리에 변환은 특정 주파수에 해당하는 정현파의 위상과 진폭을 설명하는 함수입니다. 이 프로세스는 열, 빛 또는 전기 에너지의 영향으로 발생하는 동적 프로세스를 설명하는 매우 복잡한 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다. 또한 푸리에 계열을 사용하면 복잡한 진동 신호에서 상수 성분을 분리할 수 있으므로 의학, 화학, 천문학에서 얻은 실험 관찰을 정확하게 해석할 수 있습니다.

역사적 참고자료

이 이론의 창시자는 프랑스 수학자 장 바티스트 조제프 푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)입니다. 이 변화는 이후 그의 이름을 따서 명명되었습니다. 처음에 과학자는 자신의 방법을 사용하여 열전도도 메커니즘, 즉 열 확산을 연구하고 설명했습니다. 고체. 푸리에는 초기의 불규칙 분포가 단순한 정현파로 분해될 수 있으며, 각각은 고유한 온도 최소값과 최대값은 물론 자체 위상을 갖게 될 것이라고 제안했습니다. 이 경우 각 구성 요소는 최소값에서 최대값까지 측정되며 그 반대도 됩니다. 곡선의 위쪽 및 아래쪽 피크와 각 고조파의 위상을 설명하는 수학 함수를 온도 분포 표현의 푸리에 변환이라고 합니다. 이론의 저자가 모였습니다. 일반 기능수학적으로 설명하기 어려운 분포를 매우 편리한 코사인 및 사인 계열로 변환하여 함께 원래 분포를 제공합니다.

변혁의 원리와 동시대인의 견해

과학자의 동시대 사람들(19세기 초의 주요 수학자)은 이 이론을 받아들이지 않았습니다. 주된 반대는 직선이나 불연속 곡선을 설명하는 불연속 함수가 연속적인 정현파 표현의 합으로 표현될 수 있다는 푸리에의 주장이었습니다. 예를 들어 헤비사이드(Heaviside) 단계를 생각해 보세요. 해당 값은 불연속점 왼쪽에서 0이고 오른쪽에서 1입니다. 이 기능은 회로가 닫혀 있을 때 임시 변수에 대한 전류의 의존성을 설명합니다. 그 당시 이론의 동시대인들은 불연속 표현이 지수, 사인, 선형 또는 2차와 같은 연속적이고 일반적인 함수의 조합으로 설명되는 유사한 상황을 결코 경험하지 못했습니다.

푸리에의 이론에 대해 프랑스 수학자들을 혼란스럽게 한 것은 무엇입니까?

결국, 수학자의 진술이 옳았다면 무한 삼각 푸리에 급수를 합산함으로써 유사한 단계가 많더라도 단계 표현의 정확한 표현을 얻을 수 있습니다. 19세기 초에는 그러한 진술이 터무니없는 것처럼 보였습니다. 그러나 모든 의심에도 불구하고 많은 수학자들은 이 현상에 대한 연구 범위를 열전도율 연구 이상으로 확대했습니다. 그러나 대부분의 과학자들은 "정현파 급수의 합이 불연속 함수의 정확한 값으로 수렴할 수 있는가?"라는 질문에 계속해서 괴로워했습니다.

푸리에 급수의 수렴: 예

수렴의 문제는 무한한 수열의 합이 필요할 때마다 발생합니다. 이 현상을 이해하려면 전형적인 예를 생각해 보십시오. 이후의 각 단계가 이전 단계의 절반 크기라면 과연 벽에 도달할 수 있을까요? 목표로부터 2미터 떨어져 있다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 단계에서는 중간 지점으로 이동하고 다음 단계에서는 3/4 지점으로 이동하며 5번째 단계 이후에는 거의 97%의 경로를 이동하게 됩니다. 그러나 아무리 많은 단계를 밟아도 엄격한 수학적 의미에서 의도한 목표를 달성할 수는 없습니다. 수치 계산을 사용하면 결국 주어진 거리만큼 가까워지는 것이 가능하다는 것을 증명할 수 있습니다. 이 증명은 2분의 1, 4분의 1 등의 합이 1이 되는 경향이 있음을 입증하는 것과 같습니다.

융합의 문제: 재림, 혹은 켈빈 경의 장치

이 문제는 19세기 말에 푸리에 급수를 사용하여 조수의 강도를 예측하려고 시도하면서 다시 제기되었습니다. 이때 켈빈 경은 군대와 상선 선원들이 이를 추적할 수 있는 아날로그 컴퓨팅 장치인 도구를 발명했습니다. 자연 현상. 이 메커니즘은 일년 내내 특정 항구에서 주의 깊게 측정된 조수 높이 및 해당 시점 테이블에서 위상 및 진폭 세트를 결정합니다. 각 매개변수는 조수 표현의 정현파 성분이었으며 정규 성분 중 하나였습니다. 측정값은 Lord Kelvin의 계산 도구에 입력되어 다음 해의 시간 함수로 물의 높이를 예측하는 곡선을 합성했습니다. 곧 세계의 모든 항구에 대해 유사한 곡선이 그려졌습니다.

불연속적인 기능으로 인해 프로세스가 중단되면 어떻게 되나요?

그 당시에는 많은 수의 계수 요소를 가진 해일 예측기가 많은 수의 위상과 진폭을 계산하여 보다 정확한 예측을 제공할 수 있다는 것이 명백해 보였습니다. 그러나 합성되어야 할 조석 표현이 급격한 점프를 포함하는, 즉 불연속적인 경우에는 이러한 패턴이 관찰되지 않는 것으로 밝혀졌다. 시간 순간 테이블의 데이터가 장치에 입력되면 여러 푸리에 계수가 계산됩니다. 발견된 계수에 따라 정현파 성분 덕분에 원래 기능이 복원됩니다. 원본 표현과 재구성된 표현 사이의 불일치는 어느 지점에서나 측정될 수 있습니다. 반복적인 계산과 비교를 수행하면 가장 큰 오류의 값이 감소하지 않는 것이 분명합니다. 그러나 불연속점에 해당하는 영역에 국한되어 있으며 다른 지점에서는 0이 되는 경향이 있습니다. 이 결과는 1899년 예일대학교의 조슈아 윌라드 깁스(Joshua Willard Gibbs)에 의해 이론적으로 확인되었습니다.

푸리에 급수의 융합과 수학 전반의 발전

푸리에 분석은 특정 간격에 걸쳐 무한한 수의 스파이크를 포함하는 표현식에는 적용할 수 없습니다. 일반적으로 푸리에 급수는 원래의 함수를 실수의 결과로 표현하면 물리적 차원, 항상 수렴합니다. 특정 함수 클래스에 대한 이 프로세스의 수렴에 대한 질문은 일반화 함수 이론과 같은 수학의 새로운 분야의 출현으로 이어졌습니다. 그녀는 L. Schwartz, J. Mikusinski 및 J. Temple과 같은 이름과 관련이 있습니다. 이 이론의 틀 내에서 Dirac 델타 함수(한 점의 극미한 이웃에 집중된 단일 영역의 영역을 설명함) 및 Heaviside "단계"와 같은 표현에 대한 명확하고 정확한 이론적 기초가 만들어졌습니다. 이 연구 덕분에 푸리에 급수는 점 전하, 점 질량, 자기 쌍극자 및 빔의 집중 하중과 같은 직관적인 개념과 관련된 방정식 및 문제를 해결하는 데 적용 가능해졌습니다.

푸리에 방법

푸리에 급수는 간섭 원리에 따라 복잡한 형태를 단순한 형태로 분해하는 것부터 시작됩니다. 예를 들어, 열 흐름의 변화는 불규칙한 모양의 단열재로 만들어진 다양한 장애물을 통과하거나 지구 표면의 변화(지진, 궤도 변화)로 설명됩니다. 천체- 행성의 영향. 일반적으로 간단한 고전 시스템을 설명하는 방정식은 각 개별 파동에 대해 쉽게 풀 수 있습니다. 푸리에는 단순한 해를 합산하여 더 복잡한 문제에 대한 해를 산출할 수도 있음을 보여주었습니다. 수학적인 용어로 푸리에 급수는 표현을 코사인과 사인의 고조파의 합으로 표현하는 기술입니다. 따라서 이 분석을 "조화 분석"이라고도 합니다.

푸리에 급수 - "컴퓨터 시대" 이전의 이상적인 기술

컴퓨터 기술이 탄생하기 전에는 푸리에 기술이 사용되었습니다. 최고의 무기우리 세계의 파동 특성을 다룰 때 과학자들의 무기고에서. 복잡한 형태의 푸리에 급수는 뉴턴의 역학 법칙을 직접 적용할 수 있는 간단한 문제뿐만 아니라 기본 방정식. 19세기 뉴턴 과학의 대부분의 발견은 푸리에의 기술에 의해서만 가능해졌습니다.

오늘의 푸리에 급수

컴퓨터의 발달로 푸리에 변환이 질적인 수준으로 올라갔습니다. 새로운 레벨. 이 기술은 과학 기술의 거의 모든 분야에서 확고히 자리 잡았습니다. 디지털 오디오와 비디오가 그 예입니다. 그 구현은 19세기 초 프랑스 수학자에 의해 개발된 이론 덕분에 가능해졌습니다. 따라서 복잡한 형태의 푸리에 급수는 연구에 획기적인 발전을 가능하게 했습니다. 대기권 밖. 또한 반도체 재료 및 플라즈마 물리학, 마이크로파 음향학, 해양학, 레이더 및 지진학 연구에도 영향을 미쳤습니다.

삼각 푸리에 급수

수학에서 푸리에 급수는 임의의 복잡한 함수를 더 간단한 함수의 합으로 표현하는 방법입니다. 일반적으로 이러한 표현의 수는 무한할 수 있습니다. 또한 계산 시 숫자를 더 많이 고려할수록 최종 결과가 더 정확해집니다. 대부분의 경우 코사인 또는 사인의 삼각 함수가 가장 간단한 함수로 사용됩니다. 이 경우 푸리에 급수를 삼각함수라고 하며, 이러한 표현의 해를 조화팽창이라고 합니다. 이 방법은 수학에서 중요한 역할을 합니다. 우선, 삼각함수 계열은 함수를 묘사하고 연구하는 수단을 제공하며 이론의 주요 장치입니다. 또한 수리 물리학의 여러 문제를 해결할 수 있습니다. 마지막으로, 이 이론은 수학 과학의 매우 중요한 여러 분야(적분 이론, 주기 함수 이론)의 발전에 기여했습니다. 또한 실변수의 다음 함수 개발의 출발점이 되었으며, 조화해석의 초석을 마련하였다.