선형 방정식의 동종 시스템. 균질 선형 방정식 시스템에 대한 기본 솔루션 세트

도움되는 힌트 14.10.2019

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학교에서도 우리 각자는 방정식과 방정식 시스템을 공부했습니다. 그러나 여러 가지 해결 방법이 있다는 것을 아는 사람은 많지 않습니다. 오늘 우리는 두 개 이상의 방정식으로 구성된 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 모든 방법을 자세히 분석할 것입니다.

이야기

오늘날 방정식과 그 체계를 푸는 기술은 고대 바빌론과 이집트에서 시작된 것으로 알려져 있습니다. 그러나 1556년 영국 수학자 레코드에 의해 도입된 등호 "="가 등장한 후 일반적인 형태의 평등이 나타났습니다. 그건 그렇고,이 기호는 두 개의 평행 한 동일한 세그먼트를 의미하는 이유로 선택되었습니다. 사실, 평등의 더 나은 예는 없습니다.

미지수와 학위 기호에 대한 현대 문자 지정의 창시자는 프랑스 수학자이지만 그의 지정은 오늘날과 크게 다릅니다. 예를 들어, 그는 알 수 없는 숫자의 제곱을 문자 Q(위도 "quadratus")로 표시하고 큐브를 문자 C(위도 "cubus")로 표시했습니다. 이러한 표기법은 지금은 어색해 보이지만 당시에는 선형 대수 방정식 시스템을 작성하는 가장 이해하기 쉬운 방법이었습니다.

그러나 당시 해법의 단점은 수학자들이 양의 근만을 고려했다는 점이었습니다. 아마도 이것은 음수 값이 없었기 때문일 것입니다. 실용적인 응용 프로그램. 어떤 식으로든 16세기에 처음으로 음의 근을 고려한 사람은 이탈리아 수학자 Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano 및 Rafael Bombelli였습니다. 하지만 현대적인 모습, 판별식을 통한 주요 솔루션 방법은 Descartes와 Newton의 작업 덕분에 17세기에만 만들어졌습니다.

18세기 중반 스위스의 수학자 가브리엘 크라머(Gabriel Cramer)는 새로운 방법시스템을 결정하기 위해 선형 방정식더 쉽게. 이 방법은 이후에 그의 이름을 따서 명명되었으며 오늘날까지 사용하고 있습니다. 그러나 우리는 Cramer의 방법에 대해 조금 후에 이야기할 것이지만, 지금은 시스템과 별도로 선형 방정식과 이를 푸는 방법에 대해 논의할 것입니다.

선형 방정식

선형 방정식은 변수가 있는 가장 단순한 등식입니다. 그것들은 대수학으로 분류됩니다. 에 기록하다 일반보기그래서 : a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. 시스템과 행렬을 추가로 컴파일할 때 이 형식으로 표현해야 합니다.

선형 대수 방정식 시스템

이 용어의 정의는 다음과 같습니다. 공통 미지수와 공통의 결정. 일반적으로 학교에서는 2개 또는 3개의 방정식이 있는 시스템으로 모든 것이 해결되었습니다. 그러나 4개 이상의 구성 요소가 있는 시스템이 있습니다. 나중에 풀기 편하도록 어떻게 쓰는지 먼저 알아봅시다. 첫째, 선형 대수 방정식 시스템은 모든 변수가 적절한 인덱스(1,2,3 등)와 함께 x로 작성되면 더 좋아 보입니다. 둘째, 모든 방정식은 a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b와 같은 표준 형식으로 가져와야 합니다.

이 모든 작업이 끝나면 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾는 방법에 대해 이야기할 수 있습니다. 매트릭스는 이를 위해 매우 유용합니다.

행렬

행렬은 행과 열로 구성된 테이블이며 교차점에 요소가 있습니다. 이들은 특정 값 또는 변수일 수 있습니다. 대부분의 경우 요소를 지정하기 위해 아래 첨자가 표시됩니다(예: 11 또는 23). 첫 번째 인덱스는 행 번호를 의미하고 두 번째 인덱스는 열 번호를 의미합니다. 행렬 및 기타 수학적 요소에서 다양한 연산을 수행할 수 있습니다. 따라서 다음을 수행할 수 있습니다.

2) 행렬에 어떤 숫자나 벡터를 곱합니다.

3) 전치: 행렬 행을 열로, 열을 행으로 바꿉니다.

4) 행렬 중 하나의 행 수가 다른 행렬의 열 수와 같으면 행렬을 곱합니다.

이 모든 기술은 앞으로 유용할 것이므로 더 자세히 논의할 것입니다. 행렬의 뺄셈과 덧셈은 매우 쉽습니다. 같은 크기의 행렬을 취하기 때문에 한 테이블의 각 요소는 다른 테이블의 각 요소에 해당합니다. 따라서 우리는 이 두 요소를 더(빼기)합니다(행렬에서 동일한 위치에 있는 것이 중요함). 행렬에 숫자나 벡터를 곱할 때 행렬의 각 요소에 해당 숫자(또는 벡터)를 곱하면 됩니다. 조옮김은 매우 흥미로운 과정입니다. 때때로 그를 보는 것은 매우 흥미 롭습니다. 실생활, 예를 들어 태블릿이나 휴대전화의 방향을 변경할 때. 바탕화면의 아이콘은 매트릭스로 위치를 변경하면 위치가 바뀌면서 넓어지지만 높이는 낮아집니다.

우리에게 유용하지는 않지만 그것을 아는 것은 여전히 유용할 것입니다. 한 테이블의 열 수가 다른 테이블의 행 수와 같은 경우에만 두 행렬을 곱할 수 있습니다. 이제 한 행렬의 행 요소와 다른 행렬의 해당 열 요소를 살펴보겠습니다. 우리는 그것들을 서로 곱한 다음 더합니다 (즉, 예를 들어 요소 a 11 및 a 12 x b 12 및 b 22의 곱은 다음과 같습니다. a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . 따라서 테이블의 한 요소가 얻어지고 유사한 방법으로 추가로 채워집니다.

이제 선형 방정식 시스템이 해결되는 방법을 고려할 수 있습니다.

가우스 방법

이 주제는 학교에서 시작됩니다. 우리는 "2개의 선형 방정식 시스템"의 개념을 잘 알고 있으며 이를 푸는 방법을 알고 있습니다. 그러나 방정식의 수가 2보다 크면 어떻게 될까요? 이것은 우리를 도울 것입니다

물론 이 방법은 시스템에서 행렬을 만들 때 사용하는 것이 편리합니다. 그러나 그것을 변환하여 순수한 형태로 해결할 수는 없습니다.

그렇다면 이 방법으로 선형 가우스 방정식 시스템을 어떻게 풀 수 있습니까? 그건 그렇고,이 방법은 그의 이름을 따서 명명되었지만 고대에 발견되었습니다. Gauss는 다음을 제안합니다. 결국 전체 집합을 계단식 형태로 줄이기 위해 방정식으로 연산을 수행합니다. 즉, 첫 번째 방정식에서 마지막 방정식까지 위에서 아래로(올바르게 배치된 경우) 하나의 미지수가 감소해야 합니다. 다시 말해, 첫 번째 - 세 개의 미지수, 두 번째 - 두 번째, 세 번째 - 하나의 세 방정식을 얻어야 합니다. 그런 다음 마지막 방정식에서 첫 번째 미지수를 찾고 그 값을 두 번째 또는 첫 번째 방정식에 대입한 다음 나머지 두 변수를 찾습니다.

크래머 방식

이 방법을 마스터하려면 행렬의 덧셈, 뺄셈 기술을 마스터하는 것이 중요하며 행렬식도 찾을 수 있어야 합니다. 그러므로 이 모든 것을 서투르게 하거나 방법을 전혀 모른다면 배우고 연습해야 합니다.

이 방법의 본질은 무엇이며 선형 Cramer 방정식 시스템을 얻도록 만드는 방법은 무엇입니까? 모든 것이 매우 간단합니다. 선형 대수 방정식 시스템의 수치적(거의 항상) 계수로부터 행렬을 구성해야 합니다. 이를 위해 우리는 미지수 앞에 있는 숫자를 시스템에 기록된 순서대로 테이블에 넣기만 하면 됩니다. 숫자 앞에 "-"기호가 있으면 음수 계수를 기록합니다. 그래서 우리는 등호 뒤의 숫자를 포함하지 않고 미지수 계수의 첫 번째 행렬을 컴파일했습니다(자연스럽게 방정식은 숫자만 오른쪽에 있고 모든 미지수가 계수는 왼쪽에 있음). 그런 다음 각 변수에 대해 하나씩 여러 행렬을 더 만들어야 합니다. 이를 위해 첫 번째 행렬에서 차례로 각 열을 등호 뒤의 숫자 열로 계수로 바꿉니다. 따라서 우리는 여러 행렬을 얻은 다음 행렬식을 찾습니다.

행렬식을 찾은 후에는 문제가 작습니다. 초기 행렬이 있고 다른 변수에 해당하는 여러 결과 행렬이 있습니다. 시스템의 솔루션을 얻기 위해 결과 테이블의 행렬식을 초기 테이블의 행렬식으로 나눕니다. 결과 숫자는 변수 중 하나의 값입니다. 유사하게, 우리는 모든 미지수를 찾습니다.

기타 방법

선형 연립방정식의 해를 구하는 몇 가지 방법이 더 있습니다. 예를 들어, 시스템에 대한 솔루션을 찾는 데 사용되는 소위 Gauss-Jordan 방법 이차 방정식또한 행렬의 사용과 관련이 있습니다. 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 Jacobi 방법도 있습니다. 컴퓨터에 적응하기 가장 쉽고 컴퓨터 기술에 사용됩니다.

어려운 경우

복잡성은 일반적으로 방정식의 수가 다음과 같을 때 발생합니다. 숫자보다 작음변수. 그러면 시스템이 일관성이 없거나(즉, 루트가 없음) 솔루션의 수가 무한대가 되는 경향이 있다고 확실히 말할 수 있습니다. 두 번째 경우가 있으면 선형 방정식 시스템의 일반 솔루션을 기록해야 합니다. 여기에는 적어도 하나의 변수가 포함됩니다.

결론

여기서 끝입니다. 요약하자면, 시스템과 행렬이 무엇인지 분석하고 선형 방정식 시스템에 대한 일반적인 솔루션을 찾는 방법을 배웠습니다. 또한 다른 옵션이 고려되었습니다. 우리는 선형 방정식 시스템이 해결되는 방법을 알아냈습니다: 가우스 방법과 우리는 솔루션을 찾는 어려운 경우와 다른 방법에 대해 이야기했습니다.

사실, 이 주제는 훨씬 더 광범위하며, 더 잘 이해하려면 더 전문화된 문헌을 읽는 것이 좋습니다.

필드에 대한 균질 선형 방정식 시스템

정의. 방정식 시스템 (1)의 솔루션의 기본 시스템은 시스템 (1)의 모든 솔루션 세트와 일치하는 선형 범위의 솔루션의 비어 있지 않은 선형 독립 시스템입니다.

해가 0인 균질 선형 방정식 시스템에는 기본 솔루션 시스템이 없습니다.

발의안 3.11. 두 가지 기본 의사결정 시스템 균질 시스템선형 방정식은 다음으로 구성됩니다. 같은 숫자솔루션.

증거. 실제로, 방정식 (1)의 동종 시스템의 솔루션에 대한 두 가지 기본 시스템은 동등하고 선형적으로 독립적입니다. 따라서 발의안 1.12에 따르면 이들의 순위는 동일합니다. 따라서 하나의 기본 시스템에 포함된 솔루션의 수는 다른 기본 솔루션 시스템에 포함된 솔루션의 수와 같습니다.

동차 방정식 (1) 시스템의 주 행렬 A가 0이면 의 모든 벡터는 시스템 (1)에 대한 해입니다. 이 경우 선형 독립 벡터의 컬렉션은 기본 솔루션 시스템입니다. 행렬 A의 열 순위가 이면 시스템 (1)에는 0의 해만 있습니다. 따라서 이 경우 방정식 (1)의 시스템에는 기본 솔루션 시스템이 없습니다.

정리 3.12. 균질 선형 방정식 시스템(1)의 주행렬의 순위가 변수의 수보다 작은 경우 시스템(1)은 솔루션으로 구성된 기본 솔루션 시스템을 갖습니다.

증거. 균질계(1)의 주행렬 A의 순위가 0 또는 이면 정리가 참임을 위에서 보여주었다. 따라서 아래에서 가정한다고 가정하면 행렬 A의 첫 번째 열이 선형 독립이라고 가정합니다. 이 경우 행렬 A는 축소 단계 행렬과 행 단위로 동일하고 시스템 (1)은 다음 방정식의 축소 단계 시스템과 동일합니다.

시스템 (2)의 자유 변수 값 시스템이 시스템 (2) 및 따라서 시스템 (1)의 단 하나의 솔루션에 해당하는지 확인하는 것은 쉽습니다. 특히, 시스템(2)과 시스템(1)의 0 솔루션만이 0 값의 시스템에 해당합니다.

시스템 (2)에서 우리는 자유 변수 중 하나에 1과 같은 값을 할당하고 다른 변수에는 0 값을 할당합니다. 결과적으로 다음 행렬 C의 행으로 쓰는 방정식 (2) 시스템에 대한 솔루션을 얻습니다.

이 행렬의 행 시스템은 선형 독립입니다. 실제로 평등의 모든 스칼라에 대해

평등이 따른다

따라서 평등

행렬 C 행 시스템의 선형 범위가 시스템 (1)의 모든 솔루션 집합과 일치함을 증명합시다.

시스템(1)의 임의 솔루션. 그러면 벡터

또한 시스템 (1)에 대한 솔루션이며,

예 1 . 시스템에 대한 일반적인 솔루션 및 몇 가지 기본 솔루션 시스템 찾기

해결책계산기로 찾으십시오. 해 알고리즘은 선형 비균일 방정식 시스템의 경우와 동일합니다.
행으로만 작동하여 기본 마이너인 행렬의 순위를 찾습니다. 우리는 종속 및 자유 미지수를 선언하고 일반적인 솔루션을 찾습니다.

첫 번째 줄과 두 번째 줄은 비례하며 그 중 하나가 삭제됩니다.

.
종속 변수 - x 2, x 3, x 5, 자유 - x 1, x 4. 첫 번째 방정식 10x 5 = 0에서 x 5 = 0을 찾은 다음

; .
일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.

(n-r) 솔루션으로 구성된 솔루션의 기본 시스템을 찾습니다. 우리의 경우 n=5, r=3이므로, 기본 시스템의 솔루션은 두 개의 솔루션으로 구성되며 이러한 솔루션은 선형 독립적이어야 합니다. 행이 선형 독립성을 갖기 위해서는 행의 요소로 구성된 행렬의 순위가 행의 수, 즉 2와 같아야 하고 충분합니다. 자유 미지수 x 1 및 x를 제공하는 것으로 충분합니다. 0이 아닌 2차 행렬식의 행에서 4개의 값을 구하고 x 2 , x 3 , x 5 를 계산합니다. 가장 단순한 0이 아닌 행렬식은 입니다.
따라서 첫 번째 솔루션은 다음과 같습니다.

, 두번째 -

.
이 두 가지 결정이 기본적인 의사결정 시스템을 구성합니다. 기본 시스템은 고유하지 않습니다(0 이외의 행렬식은 원하는 만큼 구성할 수 있음).

예 2 . 시스템의 일반 솔루션 및 솔루션의 기본 시스템 찾기
해결책.

,
행렬의 순위는 3이고 미지수의 수와 같습니다. 이것은 시스템에 무료 미지수가 없으므로 고유한 솔루션, 즉 사소한 솔루션이 있음을 의미합니다.

운동 . 선형 방정식 시스템을 탐색하고 해결합니다.
실시예 4

운동 . 각 시스템에 대한 일반 및 특정 솔루션을 찾으십시오.
해결책.우리는 시스템의 기본 매트릭스를 작성합니다.

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

행렬을 삼각형 형태로 가져옵니다. 행렬 행에 0 이외의 숫자를 곱하고 시스템의 다른 행에 추가하는 것은 방정식에 동일한 숫자를 곱하고 다른 방정식에 추가하는 것을 의미하므로 행으로만 작업할 것이며, 이는 시스템의 해를 변경하지 않습니다. .
두 번째 행에 (-5)를 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

두 번째 행에 (6)을 곱합니다. 세 번째 행에 (-1)을 곱합니다. 세 번째 줄을 두 번째 줄에 추가해 보겠습니다.
행렬의 순위를 찾습니다.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

선택된 마이너는 (가능한 모든 마이너 중에서) 가장 높은 차수를 가지며 0이 아니므로(대각선에 있는 요소의 곱과 같음), 따라서 rang(A) = 2입니다.
이 마이너는 기본입니다. 여기에는 미지수 x 1, x 2에 대한 계수가 포함됩니다. 즉, 미지수 x 1, x 2는 종속(기본)이고 x 3, x 4, x 5는 자유입니다.
행렬을 변환하고 왼쪽에는 기본 마이너만 남깁니다.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

이 행렬의 계수가 있는 시스템은 원래 시스템과 동일하며 형식은 다음과 같습니다.
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
미지수를 제거하는 방법으로 우리는 사소하지 않은 솔루션:
자유 x 3 ,x 4 ,x 5 를 통해 종속 변수 x 1 ,x 2 를 표현하는 관계를 얻었습니다. 즉, 공통의 결정:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
(n-r) 솔루션으로 구성된 솔루션의 기본 시스템을 찾습니다.
따라서 우리의 경우 n=5, r=2이므로 해의 기본 시스템은 3개의 해로 구성되며 이들 해는 선형 독립이어야 합니다.
행이 선형 독립성을 가지려면 행의 요소로 구성된 행렬의 순위가 행의 수, 즉 3과 같아야 하고 충분합니다.
0이 아닌 3차 행렬식의 행에서 자유 미지수 x 3 ,x 4 ,x 5 값을 제공하고 x 1 , x 2 를 계산하는 것으로 충분합니다.
가장 단순한 0이 아닌 행렬식은 단위 행렬입니다.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

작업 . 균질 선형 방정식 시스템에 대한 기본 솔루션 세트를 찾습니다.

선형 대수 방정식의 동차 시스템

수업 내에서 가우스 방법그리고 공통 솔루션이 있는 호환되지 않는 시스템/시스템우리는 고려 선형 방정식의 불균일 시스템, 어디 무료 회원(보통 오른쪽에 있음) 적어도 하나방정식의 0과 다릅니다.
그리고 이제 충분한 워밍업을 한 후 매트릭스 순위, 우리는 기술을 연마하는 것을 계속할 것입니다 기본 변환에 균질 선형 방정식 시스템.
첫 번째 단락에 따르면 자료가 지루하고 평범해 보일 수 있지만 이 인상은 기만적입니다. 추가적인 기술 개발 외에도 새로운 정보가 많이 나올 예정이니 이 글의 예시를 소홀히 하지 않도록 하시기 바랍니다.

선형 방정식의 동종 시스템이란 무엇입니까?

대답은 스스로 제안합니다. 자유 항이 여러분시스템 방정식은 0입니다. 예를 들어:

그것은 아주 분명하다 균질한 시스템은 항상 일관성이 있습니다.즉, 항상 솔루션이 있습니다. 그리고 우선 이른바 하찮은해결책 . Trivial은 형용사의 의미를 전혀 이해하지 못하는 사람들에게 bespontovoe를 의미합니다. 물론 학문적으로는 아니지만 이해하기 쉽도록 =) ... 왜 덤벼들고 이 시스템에 다른 솔루션이 있는지 알아봅시다.

실시예 1

해결책: 균질 시스템을 해결하려면 다음을 작성해야 합니다. 시스템 매트릭스기본 변형의 도움으로 계단 모양으로 가져옵니다. 여기에 자유 회원의 세로 막대와 0 열을 기록할 필요가 없습니다. 결국 0으로 무엇을 하든 0으로 유지됩니다.

(1) 첫 번째 행을 두 번째 행에 더하고 -2를 곱합니다. 첫 번째 줄을 세 번째 줄에 추가하고 -3을 곱했습니다.

(2) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 -1을 곱합니다.

세 번째 행을 3으로 나누는 것은 의미가 없습니다.

기본 변환의 결과로 등가 균질 시스템이 얻어집니다. , 그리고 Gaussian 방식의 역이동을 적용하면 해가 유일함을 쉽게 확인할 수 있다.

대답:

명백한 기준을 공식화하자: 선형 방정식의 균질 시스템은 사소한 해결책, 만약에 시스템 매트릭스 순위(안에 이 경우 3) 변수의 개수와 같습니다(이 경우 3개).

우리는 라디오를 워밍업하고 기본 변형의 물결로 조정합니다.

실시예 2

1차 방정식의 동종 시스템 풀기

기사에서 행렬의 순위를 찾는 방법은 무엇입니까?우리는 행렬의 수를 부수적으로 줄이는 합리적인 방법을 기억합니다. 그렇지 않으면 크고 자주 물고 있는 물고기를 도살해야 합니다. 샘플 샘플수업이 끝나면 과제.

0은 좋고 편리하지만 실제로는 시스템 행렬의 행이 다음과 같을 때 훨씬 더 일반적입니다. 선형 종속. 그런 다음 일반적인 솔루션의 출현은 불가피합니다.

실시예 3

1차 방정식의 동종 시스템 풀기

해결책: 우리는 시스템의 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계 형식으로 가져옵니다. 첫 번째 조치는 단일 값을 얻는 것뿐만 아니라 첫 번째 열의 숫자를 줄이는 것입니다.

(1) 세 번째 행이 첫 번째 행에 추가되고 -1이 곱해집니다. 세 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 왼쪽 상단에는 "빼기"가 있는 단위가 있는데, 이는 종종 추가 변환에 훨씬 더 편리합니다.

(2) 처음 두 줄은 동일하며 그 중 하나가 제거되었습니다. 솔직히, 나는 결정을 조정하지 않았습니다. 그것은 일어났습니다. 템플릿에서 변환을 수행하는 경우 선형 의존성라인은 조금 후에 나타납니다.

(3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 3을 곱합니다.

(4) 첫 번째 줄의 부호가 변경되었습니다.

기본 변환의 결과로 동등한 시스템이 얻어집니다.

알고리즘은 다음과 정확히 동일하게 작동합니다. 이기종 시스템. "계단에 앉는" 변수가 주요 변수이며 "계단"을 얻지 못한 변수는 무료입니다.

자유 변수로 기본 변수를 표현합니다.

대답: 일반적인 결정:

일반식에 사소한 해가 포함되어 있어 따로 쓸 필요가 없다.

검증은 또한 일반적인 계획에 따라 수행됩니다. 결과 일반 솔루션은 시스템의 각 방정식의 왼쪽으로 대체되어야 하며 모든 대체에 대해 합법적인 0이 얻어집니다.

이것은 조용히 끝날 수 있지만, 균질 방정식 시스템의 솔루션은 종종 다음을 표현해야 합니다. 벡터 형태로사용하여 근본적인 의사결정 시스템. 잠시 잊어주세요 해석 기하학, 지금부터 우리는 일반적인 대수적 의미의 벡터에 대해 이야기 할 것입니다. 매트릭스 순위. 음영 처리에는 용어가 필요하지 않으며 모든 것이 매우 간단합니다.

우리는 계속 기술을 연마 할 것입니다 기본 변환에 균질 선형 방정식 시스템.
첫 번째 단락에 따르면 자료가 지루하고 평범해 보일 수 있지만 이 인상은 기만적입니다. 추가적인 기술 개발 외에도 새로운 정보가 많이 나올 예정이니 이 글의 예시를 소홀히 하지 않도록 하시기 바랍니다.