기본 의사결정 시스템(구체적인 예). 선형 방정식의 동차 시스템

체계 중 선형 방정식씨 N알 수 없는 선형 균질 시스템모든 자유 항이 0인 경우 방정식. 이러한 시스템은 다음과 같습니다.

어디 그리고 ij (나는 = 1, 2, …, 중; 제이 = 1, 2, …, N) - 주어진 숫자; 엑스 나- 알려지지 않은.

선형 시스템 동차 방정식항상 호환 가능하기 때문에 아르 자형(A) = 아르 자형(). 항상 최소한 0( 하찮은) 솔루션 (0; 0; ...; 0).

어떤 조건에서 동종 시스템이 0이 아닌 솔루션을 갖는지 고려해 보겠습니다.

정리 1.선형 동차 방정식 시스템은 주 행렬의 순위가 다음과 같은 경우에만 0이 아닌 해를 갖습니다. 아르 자형 숫자보다 작음알려지지 않은 N, 즉. 아르 자형 < N.

□ 하나). 선형 동차 방정식의 시스템이 0이 아닌 해를 갖도록 합니다. 순위는 행렬의 크기를 초과할 수 없으므로 아르 자형 ≤ N. 허락하다 아르 자형 = N. 그런 다음 크기의 미성년자 중 하나 n n제로와 다릅니다. 따라서 해당 선형 방정식 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. , , . 따라서 사소한 것 외에는 해결책이 없습니다. 따라서 사소한 해결책이 있다면 아르 자형 < N.

2). 허락하다 아르 자형 < N. 그러면 일관성이 있는 균질한 시스템은 무한합니다. 따라서 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 0이 아닌 솔루션도 있습니다. ■

동종 시스템 고려 N선형 방정식 c N알려지지 않은:

(2)

정리 2.균질 시스템 N선형 방정식 c N미지수(2)는 행렬식이 0인 경우에만 0이 아닌 해를 갖습니다: = 0.

□ 시스템(2)에 0이 아닌 솔루션이 있으면 = 0입니다. at 의 경우 시스템에는 고유한 0 솔루션만 있습니다. = 0이면 순위 아르 자형시스템의 주 행렬은 미지수의 수보다 작습니다. 아르 자형 < N. 따라서 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 0이 아닌 솔루션도 있습니다. ■

시스템의 솔루션을 나타냅니다 (1) 엑스 1 = 케이 1 , 엑스 2 = 케이 2 , …, x n = k n문자열로 .

선형 동차 방정식 시스템의 솔루션에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1. 문자열의 경우 시스템(1)에 대한 솔루션이면 문자열도 시스템(1)에 대한 솔루션입니다.

2. 만약 라인이 그리고 - 시스템 (1)의 솔루션, 모든 값에 대해 와 함께 1 및 와 함께 2 그들의 선형 조합은 또한 시스템 (1)에 대한 솔루션입니다.

시스템의 방정식에 직접 대입하여 이러한 속성의 유효성을 확인할 수 있습니다.

공식화된 속성에서 선형 동차 방정식 시스템에 대한 솔루션의 선형 조합도 이 시스템에 대한 솔루션이 됩니다.

선형 독립 솔루션 시스템 이자형 1 , 이자형 2 , …, 어~라고 불리는 근본적인, 시스템 (1)의 각 솔루션이 이러한 솔루션의 선형 조합인 경우 이자형 1 , 이자형 2 , …, 어.

정리 3.순위라면 아르 자형선형 동차 방정식 시스템의 변수에 대한 계수 행렬(1)이 변수의 수보다 작습니다. N, 시스템 (1)에 대한 솔루션의 기본 시스템은 다음으로 구성됩니다. n–r솔루션.

그렇기 때문에 공통의 결정선형 동차 방정식 (1)의 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 이자형 1 , 이자형 2 , …, 어시스템(9)에 대한 솔루션의 기본 시스템입니다. 와 함께 1 , 와 함께 2 , …, 피와 함께- 임의의 숫자, 아르 자형 = n–r.

정리 4.일반 시스템 솔루션 중선형 방정식 c N미지수는 선형 동차 방정식(1)의 해당 시스템의 일반 솔루션과 이 시스템(1)의 임의의 특정 솔루션의 합과 같습니다.

예시.시스템을 해결

해결책.이 시스템의 경우 중 = N= 3. 행렬식

Theorem 2에 따르면 시스템에는 다음과 같은 간단한 솔루션만 있습니다. 엑스 = 와이 = 지 = 0.

예시. 1) 시스템의 일반 및 특정 솔루션 찾기

2) 근본적인 해결책 체계를 찾는다.

해결책. 1) 이 시스템의 경우 중 = N= 3. 행렬식

정리 2에 따르면 시스템에는 0이 아닌 해가 있습니다.

시스템에 독립 방정식이 하나만 있기 때문에

엑스 + 와이 – 4지 = 0,

그런 다음 우리는 표현합니다. 엑스 =4지- 와이. 무한한 솔루션 세트를 얻는 곳: (4 지- 와이, 와이, 지)는 시스템의 일반적인 솔루션입니다.

~에 지= 1, 와이= -1, 우리는 하나의 특정 솔루션을 얻습니다: (5, -1, 1). 퍼팅 지= 3, 와이= 2, 우리는 두 번째 특정 솔루션((10, 2, 3) 등)을 얻습니다.

2) 일반 솔루션에서 (4 지- 와이, 와이, 지) 변수 와이그리고 지자유롭고 변수 엑스- 그들에게 의존. 솔루션의 기본 시스템을 찾기 위해 자유 변수에 값을 할당합니다. 먼저 와이 = 1, 지= 0, 그러면 와이 = 0, 지= 1. 우리는 솔루션의 기본 시스템을 형성하는 특정 솔루션 (-1, 1, 0), (4, 0, 1)을 얻습니다.

삽화:

쌀. 1 선형 연립방정식의 분류

쌀. 2 선형 연립방정식의 연구

프레젠테이션:

SLAU 솔루션_ 매트릭스 방법

솔루션 SLAU_Cramer의 방법

솔루션 SLAE_Gauss 방법

· 수학 문제를 풀기 위한 패키지 수학: 선형 연립방정식의 해석적 및 수치적 해를 구합니다.

시험 문제:

1. 선형 방정식 정의

2. 어떤 시스템이 중선형 방정식 N알려지지 않은?

3. 선형 연립방정식의 해라고 하는 것은 무엇입니까?

4. 등가라고 하는 시스템은 무엇입니까?

5. 호환되지 않는 시스템은 무엇입니까?

6. 조인트라고 하는 시스템은 무엇입니까?

7. 정의된 시스템은 무엇입니까?

8. 무기한이라고 불리는 시스템

9. 선형 방정식 시스템의 기본 변환 나열

10. 행렬의 기본 변환 나열

11. 선형 방정식 시스템에 기본 변환 적용에 대한 정리 공식화

12. 행렬 방법으로 풀 수 있는 시스템은 무엇입니까?

13. Cramer의 방법으로 풀 수 있는 시스템은 무엇입니까?

14. 가우스 방법으로 풀 수 있는 시스템은 무엇입니까?

15. 가우스 방법을 사용하여 선형 연립방정식을 풀 때 발생할 수 있는 3가지 경우를 나열하십시오.

16. 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 행렬 방법 설명

17. 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 Cramer의 방법 설명

18. 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법 설명

19. 어떤 시스템을 사용하여 해결할 수 있습니까? 역행렬?

20. Cramer 방법을 사용하여 선형 연립방정식을 풀 때 발생할 수 있는 3가지 경우를 나열하십시오.

문학:

1. 경제학자를 위한 고등 수학: 대학 교과서 / N.Sh. 크레머, B.A. 푸트코, I.M. Trishin, M.N. Fridman. 에드. N.Sh. 크레머. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. 경제학자를 위한 고등 수학 일반 과정: 교과서. / 에드. 에서 그리고. 에르마코프. -M.: INFRA-M, 2006. - 655p.

3. 경제학자를 위한 고등 수학 문제 모음: 지도 시간/ V.I.의 편집 하에 에르마코프. M.: INFRA-M, 2006. - 574페이지.

4. V. E. Gmurman, 확률 이론 및 마그마틱 통계의 문제 해결 가이드. - M.: Higher School, 2005. - 400 p.

5. 그무르만. VE 확률 및 수학 통계 이론. - 남: 고등학교, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. 연습 및 작업에서 더 높은 수학. 파트 1, 2. - M .: 오닉스 21세기: 세계와 교육, 2005. - 304 p. 1 부; – 416쪽 2 부

7. 경제학에서의 수학: 교과서: 2시간 이내 / A.S. 솔로도브니코프, V.A. Babaitsev, A.V. 브라이로프, I.G. 샨다라. - M.: 재무 및 통계, 2006.

8. Shipachev V.S. 고등 수학: 학생들을 위한 교과서. 대학 - M .: Higher School, 2007. - 479 p.

비슷한 정보입니다.

필드에 대한 균질 선형 방정식 시스템

정의. 방정식 시스템 (1)의 솔루션의 기본 시스템은 시스템 (1)의 모든 솔루션 세트와 일치하는 선형 범위의 솔루션의 비어 있지 않은 선형 독립 시스템입니다.

해가 0인 균질 선형 방정식 시스템에는 기본 솔루션 시스템이 없습니다.

발의안 3.11. 균질 선형 방정식 시스템의 솔루션에 대한 두 가지 기본 시스템은 다음으로 구성됩니다. 같은 숫자솔루션.

증거. 실제로, 방정식 (1)의 동종 시스템의 솔루션에 대한 두 가지 기본 시스템은 동등하고 선형적으로 독립적입니다. 따라서 발의안 1.12에 따르면 이들의 순위는 동일합니다. 따라서 하나의 기본 시스템에 포함된 솔루션의 수는 다른 기본 솔루션 시스템에 포함된 솔루션의 수와 같습니다.

동차 방정식 (1) 시스템의 주 행렬 A가 0이면 의 모든 벡터는 시스템 (1)에 대한 해입니다. 이 경우 선형 독립 벡터의 컬렉션은 기본 솔루션 시스템입니다. 행렬 A의 열 순위가 이면 시스템 (1)에는 0의 해만 있습니다. 따라서 이 경우 방정식 (1)의 시스템에는 기본 솔루션 시스템이 없습니다.

정리 3.12. 동종 선형 방정식 시스템(1)의 주행렬의 순위가 변수의 수보다 작은 경우 시스템(1)은 솔루션으로 구성된 기본 솔루션 시스템을 갖습니다.

증거. 균질계(1)의 주행렬 A의 순위가 0 또는 이면 정리가 참임을 위에서 보여주었다. 따라서 아래에서 가정한다고 가정하면 행렬 A의 첫 번째 열이 선형 독립이라고 가정합니다. 이 경우 행렬 A는 축소 단계 행렬과 행 단위로 동일하고 시스템 (1)은 다음 방정식의 축소 단계 시스템과 동일합니다.

시스템 (2)의 자유 변수 값 시스템이 시스템 (2), 따라서 시스템 (1)의 단 하나의 솔루션에 해당하는지 확인하는 것은 쉽습니다. 특히, 시스템(2)과 시스템(1)의 0 솔루션만이 0 값의 시스템에 해당합니다.

시스템 (2)에서 우리는 자유 변수 중 하나에 1과 같은 값을 할당하고 다른 변수에는 0 값을 할당합니다. 결과적으로 다음 행렬 C의 행으로 쓰는 방정식 (2) 시스템에 대한 솔루션을 얻습니다.

이 행렬의 행 시스템은 선형 독립입니다. 실제로 평등의 모든 스칼라에 대해

평등이 따른다

따라서 평등

행렬 C 행 시스템의 선형 범위가 시스템 (1)의 모든 솔루션 집합과 일치함을 증명합시다.

시스템(1)의 임의 솔루션. 그러면 벡터

또한 시스템 (1)에 대한 솔루션이며,

Gaussian 방법에는 여러 가지 단점이 있습니다. Gaussian 방법에 필요한 모든 변환이 수행될 때까지 시스템이 일관성이 있는지 여부를 알 수 없습니다. 가우스 방법은 문자 계수가 있는 시스템에 적합하지 않습니다.

선형 방정식 시스템을 풀기 위한 다른 방법을 고려하십시오. 이러한 방법은 행렬의 순위 개념을 사용하고 모든 결합 시스템의 솔루션을 Cramer의 규칙이 적용되는 시스템의 솔루션으로 축소합니다.

실시예 1기약 동차 시스템의 해의 기본 시스템과 비균일 시스템의 특정 솔루션을 사용하여 다음 선형 방정식 시스템의 일반 솔루션을 찾으십시오.

1. 행렬을 만든다 ㅏ시스템의 증강 행렬 (1)

2. 시스템 탐색 (1) 호환성을 위해. 이를 위해 행렬의 순위를 찾습니다. ㅏ및 https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). 그것이 밝혀지면 시스템은 (1) 호환되지 않습니다. 우리가 그것을 얻는다면 , 이 시스템은 일관성이 있고 우리는 그것을 해결할 것입니다. (일관성 연구는 Kronecker-Capelli 정리를 기반으로 함).

ㅏ. 우리는 찾는다 RA.

찾다 RA, 우리는 행렬의 첫 번째, 두 번째 등의 차수의 연속적으로 0이 아닌 미성년자를 고려할 것입니다. ㅏ그리고 그들을 둘러싼 미성년자.

M1=1≠0 (1은 행렬의 왼쪽 상단에서 가져옴 하지만).

경계 M1이 행렬의 두 번째 행과 두 번째 열입니다. . 우리는 국경을 계속 M1두 번째 줄과 세 번째 열..gif" width="37" height="20 src=">. 이제 0이 아닌 보조와 경계를 맞춥니다. M2′두 번째 순서.

우리는 다음을 가지고 있습니다: (처음 두 열이 같기 때문에)

(두 번째와 세 번째 줄이 비례하기 때문입니다).

우리는 그것을 본다 rA=2, 그리고 행렬의 기초 마이너 ㅏ.

비. 우리는 찾는다 .

충분히 기본적인 마이너 M2′행렬 ㅏ자유 회원 열과 모든 줄로 경계를 지정합니다(마지막 줄만 있음).

. 이에 따른다. M3′′매트릭스 https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">의 기본 마이너로 남아 있습니다. (2)

왜냐하면 M2′- 행렬의 기초 마이너 ㅏ시스템 (2) , 이 시스템은 시스템과 동일합니다. (3) , 시스템의 처음 두 방정식으로 구성 (2) (을 위한 M2′행렬 A)의 처음 두 행에 있습니다.

(3)

기본 마이너는 https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">이므로 (4)

이 시스템에서 두 개의 무료 미지수( x2 그리고 x4 ). 그렇기 때문에 FSR 시스템 (4) 두 가지 솔루션으로 구성됩니다. 그것들을 찾기 위해 우리는 무료 미지수를 할당합니다. (4) 가치를 먼저 x2=1 , x4=0 , 그리고 - x2=0 , x4=1 .

~에 x2=1 , x4=0 우리는 얻는다:

.

이 시스템은 이미 유일한 것 솔루션(Cramer의 규칙 또는 다른 방법으로 찾을 수 있음). 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면 다음을 얻습니다.

그녀의 결정은 x1= -1 , x3=0 . 주어진 가치 x2 그리고 x4 , 우리가 준, 우리는 첫 번째 근본적인 결정시스템 (2) : .

이제 우리는 (4) x2=0 , x4=1 . 우리는 다음을 얻습니다.

.

Cramer의 정리를 사용하여 이 시스템을 풉니다.

.

우리는 시스템의 두 번째 기본 솔루션을 얻습니다. (2) : .

솔루션 β1 , β2 그리고 메이크업 FSR 시스템 (2) . 그러면 일반적인 솔루션은

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

여기 C1 , C2 임의의 상수입니다.

4. 하나 찾기 사적인 해결책 이기종 시스템(1) . 단락에서와 같이 3 , 시스템 대신 (1) 동등한 시스템을 고려 (5) , 시스템의 처음 두 방정식으로 구성 (1) .

(5)

우리는 자유 미지수를 우변으로 옮깁니다. x2그리고 x4.

(6)

미지수를 무료로 제공하자 x2 그리고 x4 예를 들어 임의의 값, x2=2 , x4=1 그리고 그것들을 꽂으십시오 (6) . 시스템을 잡자

이 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. М2′0). 그것을 풀면 (Cramer 정리 또는 Gauss 방법을 사용하여) 다음을 얻습니다. x1=3 , x3=3 . 자유 미지수의 값이 주어지면 x2 그리고 x4 , 우리는 얻는다 비균질 시스템의 특정 솔루션(1)α1=(3,2,3,1).

5. 이제 쓸 일만 남았다 비균일 시스템의 일반 솔루션 α(1) : 합과 같다 개인적인 결정이 시스템과 감소된 균질 시스템의 일반적인 솔루션 (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

이것은 다음을 의미합니다: (7)

6. 시험.시스템을 올바르게 해결했는지 확인하려면 (1) , 일반적인 솔루션이 필요합니다 (7) 대신하다 (1) . 각 방정식이 항등식( C1 그리고 C2 파기해야 함), 그러면 솔루션이 올바르게 발견됩니다.

우리는 대체 할 것입니다 (7) 예를 들어, 시스템의 마지막 방정식에서만 (1) (엑스1 + 엑스2 + 엑스3 ‑9 엑스4 =‑1) .

우리는 다음을 얻습니다: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

여기서 -1=-1입니다. 우리는 정체성을 얻었습니다. 우리는 시스템의 다른 모든 방정식으로 이것을 수행합니다. (1) .

논평.확인은 일반적으로 상당히 복잡합니다. 시스템의 전체 솔루션에서 다음과 같은 "부분 검증"을 권장할 수 있습니다. (1) 임의의 상수에 일부 값을 할당하고 결과 특정 솔루션을 폐기된 방정식으로만 대체합니다(즉, (1) 에 포함되지 않은 (5) ). 신분을 얻으면, 가장 가능성이, 시스템 솔루션 (1) 올바르게 찾았습니다(그러나 그러한 검사는 정확성에 대한 완전한 보증을 제공하지 않습니다!). 예를 들어 (7) 놓다 C2=- 1 , C1=1, 그러면 x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0을 얻습니다. 시스템 (1)의 마지막 방정식을 대입하면 다음과 같습니다. - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , 즉 –1=–1. 우리는 정체성을 얻었습니다.

실시예 2선형 방정식 시스템에 대한 일반 솔루션 찾기 (1) , 주요 미지수를 무료로 표현합니다.

해결책.에서와 같이 예 1, 행렬을 구성 ㅏ이 행렬의 https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> 이제 시스템의 해당 방정식만 남깁니다. (1) , 계수가 이 기본 마이너에 포함되어 있고(즉, 처음 두 방정식이 있음) 시스템 (1)과 동일한 이들로 구성된 시스템을 고려합니다.

자유 미지수를 이 방정식의 우변으로 옮깁시다.

체계 (9) 우리는 올바른 부분을 자유 구성원으로 간주하여 가우스 방법으로 해결합니다.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

옵션 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

옵션 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" 너비="172" 높이="80">

옵션 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

옵션 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

학교에서도 우리 각자는 방정식과 방정식 시스템을 공부했습니다. 그러나 여러 가지 해결 방법이 있다는 것을 아는 사람은 많지 않습니다. 오늘 우리는 두 개 이상의 방정식으로 구성된 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 모든 방법을 자세히 분석할 것입니다.

이야기

오늘날 방정식과 그 체계를 푸는 기술은 고대 바빌론과 이집트에서 시작된 것으로 알려져 있습니다. 그러나 1556년 영국 수학자 레코드에 의해 도입된 등호 "="가 등장한 후 일반적인 형태의 평등이 나타났습니다. 그건 그렇고,이 기호는 두 개의 평행 한 동일한 세그먼트를 의미하는 이유로 선택되었습니다. 사실, 평등의 더 나은 예는 없습니다.

미지수와 학위 기호에 대한 현대 문자 지정의 창시자는 프랑스 수학자이지만 그의 지정은 오늘날과 크게 다릅니다. 예를 들어, 그는 알 수 없는 숫자의 제곱을 문자 Q(위도 "quadratus")로 표시하고 큐브를 문자 C(위도 "cubus")로 표시했습니다. 이러한 표기법은 지금은 어색해 보이지만 당시에는 선형 대수 방정식 시스템을 작성하는 가장 이해하기 쉬운 방법이었습니다.

그러나 당시 해법의 단점은 수학자들이 양의 근만을 고려했다는 점이었습니다. 아마도 이것은 음수 값이 없었기 때문일 것입니다. 실용적인 응용 프로그램. 어떤 식으로든 16세기에 처음으로 음의 근을 고려한 사람은 이탈리아 수학자 Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano 및 Rafael Bombelli였습니다. 하지만 현대적인 모습, 판별식을 통한 주요 솔루션 방법은 Descartes와 Newton의 작업 덕분에 17세기에만 만들어졌습니다.

18세기 중반 스위스의 수학자 가브리엘 크라머(Gabriel Cramer)는 새로운 방법선형 방정식의 시스템을 더 쉽게 풀기 위해. 이 방법은 이후에 그의 이름을 따서 명명되었으며 오늘날까지 사용하고 있습니다. 그러나 우리는 Cramer의 방법에 대해 조금 후에 이야기할 것이지만, 지금은 시스템과 별도로 선형 방정식과 이를 푸는 방법에 대해 논의할 것입니다.

선형 방정식

선형 방정식은 변수가 있는 가장 단순한 등식입니다. 그것들은 대수학으로 분류됩니다. 에 기록하다 일반보기그래서 : a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. 시스템과 행렬을 추가로 컴파일할 때 이 형식으로 표현해야 합니다.

선형 대수 방정식 시스템

이 용어의 정의는 다음과 같습니다. 공통 미지수와 공통 솔루션을 갖는 방정식 세트입니다. 일반적으로 학교에서는 2개 또는 3개의 방정식이 있는 시스템으로 모든 것이 해결되었습니다. 그러나 4개 이상의 구성 요소가 있는 시스템이 있습니다. 나중에 풀기 편하도록 어떻게 쓰는지 먼저 알아봅시다. 첫째, 선형 대수 방정식 시스템은 모든 변수가 적절한 인덱스(1,2,3 등)와 함께 x로 작성되면 더 좋아 보입니다. 둘째, 모든 방정식은 a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b와 같은 표준 형식으로 가져와야 합니다.

이 모든 작업이 끝나면 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾는 방법에 대해 이야기할 수 있습니다. 매트릭스는 이를 위해 매우 유용합니다.

행렬

행렬은 행과 열로 구성된 테이블이며 교차점에 요소가 있습니다. 이들은 특정 값 또는 변수일 수 있습니다. 대부분의 경우 요소를 지정하기 위해 아래 첨자가 표시됩니다(예: 11 또는 23). 첫 번째 인덱스는 행 번호를 의미하고 두 번째 인덱스는 열 번호를 의미합니다. 행렬 및 기타 수학적 요소에서 다양한 연산을 수행할 수 있습니다. 따라서 다음을 수행할 수 있습니다.

2) 행렬에 어떤 숫자나 벡터를 곱합니다.

3) 전치: 행렬 행을 열로, 열을 행으로 바꿉니다.

4) 행렬 중 하나의 행 수가 다른 행렬의 열 수와 같으면 행렬을 곱합니다.

이 모든 기술은 앞으로 유용할 것이므로 더 자세히 논의할 것입니다. 행렬의 뺄셈과 덧셈은 매우 쉽습니다. 같은 크기의 행렬을 취하기 때문에 한 테이블의 각 요소는 다른 테이블의 각 요소에 해당합니다. 따라서 우리는 이 두 요소를 더(빼기)합니다(행렬에서 동일한 위치에 있는 것이 중요함). 행렬에 숫자나 벡터를 곱할 때 행렬의 각 요소에 해당 숫자(또는 벡터)를 곱하면 됩니다. 조옮김은 매우 흥미로운 과정입니다. 때때로 그를 보는 것은 매우 흥미 롭습니다. 실생활, 예를 들어 태블릿이나 휴대전화의 방향을 변경할 때. 바탕화면의 아이콘은 매트릭스로 위치를 변경하면 위치가 바뀌면서 넓어지지만 높이는 낮아집니다.

우리에게 유용하지는 않지만 그것을 아는 것은 여전히 ​​​​유용할 것입니다. 한 테이블의 열 수가 다른 테이블의 행 수와 같은 경우에만 두 행렬을 곱할 수 있습니다. 이제 한 행렬의 행 요소와 다른 행렬의 해당 열 요소를 살펴보겠습니다. 우리는 그것들을 서로 곱한 다음 더합니다 (즉, 예를 들어 요소 a 11 및 a 12 x b 12 및 b 22의 곱은 다음과 같습니다. a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . 따라서 테이블의 한 요소가 얻어지고 유사한 방법으로 추가로 채워집니다.

이제 선형 방정식 시스템이 해결되는 방법을 고려할 수 있습니다.

가우스 방법

이 주제는 학교에서 시작됩니다. 우리는 "2개의 선형 방정식 시스템"의 개념을 잘 알고 있으며 이를 푸는 방법을 알고 있습니다. 그러나 방정식의 수가 2보다 크면 어떻게 될까요? 이것은 우리를 도울 것입니다

물론 이 방법은 시스템에서 행렬을 만들 때 사용하는 것이 편리합니다. 그러나 그것을 변환하여 순수한 형태로 해결할 수는 없습니다.

그렇다면 이 방법으로 선형 가우스 방정식 시스템을 어떻게 풀 수 있습니까? 그건 그렇고,이 방법은 그의 이름을 따서 명명되었지만 고대에 발견되었습니다. Gauss는 다음을 제안합니다. 결국 전체 집합을 계단식 형태로 줄이기 위해 방정식으로 연산을 수행합니다. 즉, 첫 번째 방정식에서 마지막 방정식까지 위에서 아래로(올바르게 배치된 경우) 하나의 미지수가 감소해야 합니다. 다시 말해, 첫 번째 - 세 개의 미지수, 두 번째 - 두 번째, 세 번째 - 하나의 세 방정식을 얻어야 합니다. 그런 다음 마지막 방정식에서 첫 번째 미지수를 찾고 그 값을 두 번째 또는 첫 번째 방정식에 대입한 다음 나머지 두 변수를 찾습니다.

크래머 방식

이 방법을 마스터하려면 행렬의 덧셈, 뺄셈 기술을 마스터하는 것이 중요하며 행렬식도 찾을 수 있어야 합니다. 그러므로 이 모든 것을 서투르게 하거나 방법을 전혀 모른다면 배우고 연습해야 합니다.

이 방법의 본질은 무엇이며 선형 Cramer 방정식 시스템을 얻도록 만드는 방법은 무엇입니까? 모든 것이 매우 간단합니다. 선형 대수 방정식 시스템의 수치적(거의 항상) 계수로부터 행렬을 구성해야 합니다. 이를 위해 우리는 미지수 앞에 있는 숫자를 시스템에 기록된 순서대로 테이블에 넣기만 하면 됩니다. 숫자 앞에 "-"기호가 있으면 음수 계수를 기록합니다. 그래서 우리는 등호 뒤의 숫자를 포함하지 않고 미지수 계수의 첫 번째 행렬을 컴파일했습니다(자연스럽게 방정식은 숫자만 오른쪽에 있고 모든 미지수가 계수는 왼쪽에 있음). 그런 다음 각 변수에 대해 하나씩 여러 행렬을 더 만들어야 합니다. 이를 위해 첫 번째 행렬에서 차례로 각 열을 등호 뒤의 숫자 열로 계수로 바꿉니다. 따라서 우리는 여러 행렬을 얻은 다음 행렬식을 찾습니다.

행렬식을 찾은 후에는 문제가 작습니다. 초기 행렬이 있고 다른 변수에 해당하는 여러 결과 행렬이 있습니다. 시스템의 솔루션을 얻기 위해 결과 테이블의 행렬식을 초기 테이블의 행렬식으로 나눕니다. 결과 숫자는 변수 중 하나의 값입니다. 마찬가지로 우리는 모든 미지의 것을 찾습니다.

기타 방법

선형 연립방정식의 해를 구하는 몇 가지 방법이 더 있습니다. 예를 들어, 시스템에 대한 솔루션을 찾는 데 사용되는 소위 Gauss-Jordan 방법 이차 방정식또한 행렬의 사용과 관련이 있습니다. 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 Jacobi 방법도 있습니다. 컴퓨터에 적응하기 가장 쉽고 컴퓨터 기술에 사용됩니다.

어려운 경우

복잡성은 일반적으로 방정식의 수가 변수의 수보다 적을 때 발생합니다. 그러면 시스템이 일관성이 없거나(즉, 루트가 없음) 솔루션의 수가 무한대가 되는 경향이 있다고 확실히 말할 수 있습니다. 두 번째 경우가 있으면 선형 방정식 시스템의 일반 솔루션을 기록해야 합니다. 여기에는 적어도 하나의 변수가 포함됩니다.

결론

여기서 끝입니다. 요약하자면, 시스템과 행렬이 무엇인지 분석하고 선형 방정식 시스템에 대한 일반적인 솔루션을 찾는 방법을 배웠습니다. 또한 다른 옵션이 고려되었습니다. 우리는 선형 방정식 시스템이 해결되는 방법을 알아냈습니다: 가우스 방법과 우리는 솔루션을 찾는 어려운 경우와 다른 방법에 대해 이야기했습니다.

사실, 이 주제는 훨씬 더 광범위하며, 더 잘 이해하려면 더 전문화된 문헌을 읽는 것이 좋습니다.

모든 자유 항이 0과 같은 선형 방정식 시스템을 동종의 :

모든 동종 시스템은 항상 일관성이 있습니다. 영 (하찮은 ) 해결책. 어떤 조건에서 동질 시스템이 중요한 솔루션을 가질 것인지에 대한 질문이 발생합니다.

정리 5.2.균질 시스템은 기본 행렬의 순위가 미지수의 수보다 작은 경우에만 중요하지 않은 솔루션을 갖습니다.

결과. 정사각형 균질 시스템은 시스템의 주 행렬의 행렬식이 0과 같지 않은 경우에만 중요하지 않은 솔루션을 갖습니다.

예 5.6.시스템에 중요한 솔루션이 있는 매개변수 l의 값을 결정하고 다음 솔루션을 찾습니다.

해결책. 이 시스템은 주 행렬의 행렬식이 0과 같을 때 사소하지 않은 솔루션을 갖습니다.

따라서 시스템은 l=3 또는 l=2일 때 중요하지 않습니다. l=3의 경우 시스템의 주 행렬의 순위는 1입니다. 그런 다음 하나의 방정식만 남기고 다음을 가정합니다. 와이=ㅏ그리고 지=비, 우리는 얻는다 x=b-a, 즉.

l=2의 경우 시스템의 주 행렬의 순위는 2입니다. 그런 다음 기본 마이너로 선택합니다.

우리는 단순화 된 시스템을 얻습니다

여기에서 우리는 그것을 발견합니다 x=z/4, y=z/2. 가정 지=4ㅏ, 우리는 얻는다

균질 시스템의 모든 솔루션 세트는 매우 중요합니다. 선형 속성 : X 열인 경우 1 그리고 X 2 - 동종 시스템의 솔루션 AX = 0, 그런 다음 이들의 선형 조합ㅏ 엑스 1+b 엑스 2 또한 이 시스템의 솔루션이 될 것입니다. 실제로, 이후 도끼 1 = 0 그리고 도끼 2 = 0 , 그 다음에 ㅏ(ㅏ 엑스 1+b 엑스 2) = 에이 도끼 1+b 도끼 2 = a · 0 + b · 0 = 0. 이 속성으로 인해 선형 시스템에 솔루션이 두 개 이상인 경우 이러한 솔루션은 무한히 많습니다.

선형 독립 열 이자형 1 , 이자형 2 , 전자는 균질 시스템의 솔루션이라고 합니다. 근본적인 의사결정 시스템 이 시스템의 일반 솔루션을 다음 열의 선형 조합으로 작성할 수 있는 경우 균질 선형 방정식 시스템:

균질한 시스템이 있는 경우 N변수이고 시스템의 주 행렬의 순위는 다음과 같습니다. 아르 자형, 그 다음에 케이 = n-r.

예 5.7.다음 선형 방정식 시스템의 기본 솔루션 시스템을 찾으십시오.

해결책. 시스템의 주 행렬의 순위를 찾으십시오.

따라서이 방정식 시스템의 솔루션 세트는 차원의 선형 부분 공간을 형성합니다. n - r= 5 - 2 = 3. 기본 마이너로 선택

.

그런 다음 기본 방정식(나머지는 이러한 방정식의 선형 조합이 됨)과 기본 변수(나머지, 소위 자유 변수, 오른쪽으로 이동)만 남기고 단순화된 방정식 시스템을 얻습니다.

가정 엑스 3 = ㅏ, 엑스 4 = 비, 엑스 5 = 씨, 우리는 찾는다

, .

가정 ㅏ= 1, b=c= 0, 우리는 첫 번째 기본 솔루션을 얻습니다. 가정하다 비= 1, a = c= 0, 우리는 두 번째 기본 솔루션을 얻습니다. 가정하다 씨= 1, 에이 = ㄴ= 0이면 세 번째 기본 솔루션을 얻습니다. 결과적으로 정상적인 기본 솔루션 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

기본 시스템을 사용하여 균질 시스템의 일반 솔루션은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

엑스 = 에이 1 + 이다 2 + CE삼 . ㅏ

선형 방정식의 비균일 시스템 솔루션의 몇 가지 속성을 살펴보겠습니다. AX=B상응하는 균질 방정식 시스템과의 관계 AX = 0.

불균일 시스템의 일반 솔루션대응하는 동차 시스템 AX = 0의 일반 솔루션과 비균일 시스템의 임의의 특정 솔루션의 합과 같습니다.. 과연, 하자 와이 0은 비균질 시스템의 임의의 특정 솔루션입니다. 찬성 0 = 비, 그리고 와이는 비균일 시스템의 일반적인 솔루션입니다. AY=B. 하나의 평등을 다른 평등에서 빼면 다음을 얻습니다.
ㅏ(Y-Y 0) = 0, 즉 Y-Y 0은 해당 동종 시스템의 일반 솔루션입니다. 도끼=0. 따라서, Y-Y 0 = 엑스, 또는 Y=Y 0 + 엑스. Q.E.D.

비균일 시스템이 AX = B 형식을 갖도록 하십시오. 1 + 비 2 . 그런 다음 이러한 시스템의 일반 솔루션은 X = X 1 + 엑스 2 , 여기서 AX 1 = 비 1 및 AX 2 = 비 2. 이 속성은 일반적으로 모든 선형 시스템(대수, 미분, 함수 등)의 보편적 속성을 나타냅니다. 물리학에서는 이 속성을 중첩 원리, 전기 및 무선 공학 - 오버레이 원리. 예를 들어, 선형 전기 회로 이론에서 모든 회로의 전류는 각 에너지 소스에 의해 개별적으로 발생하는 전류의 대수적 합으로 얻을 수 있습니다.