설명: War Thunder는 차세대 군사 MMO 게임입니다...
"Titan Siege"는 스칸디나비아와 고대 그리스를 테마로 한 대규모 온라인 게임입니다.
행렬 A -1은 A * A -1 \u003d E인 경우 행렬 A에 대한 역행렬이라고 합니다. 여기서 E는 n차의 단위 행렬입니다. 역행렬은 정방행렬에만 존재할 수 있습니다.
서비스 할당. 이 서비스를 온라인으로 사용하여 대수 덧셈, 전치 행렬 A T , 합집합 행렬 및 역행렬을 찾을 수 있습니다. 솔루션은 사이트(온라인)에서 직접 수행되며 무료입니다. 계산 결과는 Word 형식과 Excel 형식의 보고서로 제공됩니다(즉, 솔루션 확인 가능). 디자인 예를 참조하십시오.
지침. 솔루션을 얻으려면 행렬의 차원을 지정해야 합니다. 그런 다음 새 대화 상자에서 행렬 A 를 채웁니다.
Jordan-Gauss 방법에 의한 역행렬도 참조하십시오.
역행렬을 찾는 알고리즘
- 전치 행렬 AT 찾기.
- 대수 덧셈의 정의. 행렬의 각 요소를 대수 보수로 바꿉니다.
- 대수 덧셈의 역행렬 편집: 결과 행렬의 각 요소는 원래 행렬의 행렬식으로 나뉩니다. 결과 행렬은 원래 행렬의 역행렬입니다.
- 행렬이 정사각형인지 확인합니다. 그렇지 않은 경우 역행렬이 없습니다.
- 행렬 A 의 행렬식 계산. 0이 아니면 솔루션을 계속 진행하고, 그렇지 않으면 역행렬이 존재하지 않습니다.
- 대수 덧셈의 정의.
- 합집합(상호, 인접) 행렬 C 채우기.
- 대수 덧셈의 역행렬 편집: 인접 행렬 C의 각 요소를 원래 행렬의 행렬식으로 나눕니다. 결과 행렬은 원래 행렬의 역행렬입니다.
- 확인: 원본 행렬과 결과 행렬을 곱합니다. 결과는 단위 행렬이어야 합니다.
예 #1. 행렬을 다음과 같은 형식으로 작성합니다.
대수 추가.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
그 다음에 역행렬다음과 같이 쓸 수 있습니다.
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
역행렬을 찾는 또 다른 알고리즘
역행렬을 찾는 또 다른 방식을 제시합니다.- 주어진 정사각 행렬 A 의 행렬식을 찾습니다.
- 행렬 A 의 모든 요소에 대수적 덧셈을 찾습니다.
- 행 요소의 대수적 보수를 열에 씁니다(전치).
- 결과 행렬의 각 요소를 행렬 A 의 행렬식으로 나눕니다.
특별한 경우: 단위 행렬 E 에 대한 역행렬은 단위 행렬 E 입니다.
행렬 대수학 - 역행렬역행렬
역행렬오른쪽과 왼쪽에 주어진 행렬을 곱하면 단위 행렬이 나오는 행렬이 호출됩니다.
행렬의 역행렬을 나타냅니다. 하지만를 통해 정의에 따라 다음을 얻습니다.
어디 이자형는 단위 행렬입니다.
정방행렬~라고 불리는 비특수 (비퇴화) 그 행렬식이 0이 아닌 경우. 그렇지 않으면 호출됩니다. 특별한 (퇴화하다) 또는 단수형.
정리가 있습니다. 모든 비특이 행렬에는 역행렬이 있습니다.
역행렬을 찾는 작업을 항소행렬. 행렬 반전 알고리즘을 고려하십시오. 비특이행렬이 주어졌다고 하자 N-번째 주문:
여기서 Δ = det ㅏ ≠ 0.
대수 요소 보수행렬 N-번째 주문 하지만행렬의 행렬식( N-1) 삭제하여 얻은 차수 나-번째 줄과 제이-행렬의 열 하지만:
소위 만들자 첨부된행렬:
행렬의 해당 요소에 대한 대수적 보수는 어디에 있습니까? 하지만.
행렬의 행 요소에 대한 대수적 보수 하지만행렬의 해당 열에 배치됩니다. Ã
즉, 행렬이 동시에 전치됩니다.
모든 행렬 요소 나누기 Ã
on Δ - 행렬의 행렬식 값 하지만, 결과적으로 역행렬을 얻습니다.
역행렬의 여러 가지 특수 속성에 주목합니다.
1) 주어진 행렬에 대해 하지만역행렬
유일한 것입니다;
2) 역행렬이 있는 경우 오른쪽 반전그리고 왼쪽 반전행렬은 그것과 일치합니다.
3) 특수(축퇴) 정방 행렬에는 역행렬이 없습니다.
역행렬의 주요 속성:
1) 역행렬의 행렬식과 원래 행렬의 행렬식이 역수입니다.
2) 정방 행렬 곱의 역행렬은 역순으로 취한 요인 역행렬의 곱과 같습니다.
3) 전치 된 역행렬은 주어진 전치 된 행렬의 역행렬과 같습니다.
예시 주어진 것의 역행렬을 계산합니다.
주어진 행렬에 대한 역행렬은 원래 행렬을 곱하여 단위 행렬을 제공하는 행렬입니다. 역행렬의 존재에 대한 필수 및 충분 조건은 원래 행렬의 행렬식의 부등식입니다(이는 차례로 행렬이 정사각형이어야 함을 의미합니다). 행렬의 행렬식이 0과 같으면 축퇴라고 하며 이러한 행렬에는 역행렬이 없습니다. 고등 수학에서 역행렬은 중요성및 여러 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 역행렬 찾기세워짐 매트릭스 방법연립방정식의 해. 우리의 서비스 사이트는 온라인 역행렬 계산두 가지 방법: Gauss-Jordan 방법 및 대수 덧셈 행렬 사용. 첫 번째는 행렬 내에서 많은 수의 기본 변환을 의미하고 두 번째는 모든 요소에 대한 행렬식 및 대수 추가 계산입니다. 행렬의 행렬식을 온라인으로 계산하려면 다른 서비스인 온라인 행렬의 행렬식 계산을 사용할 수 있습니다.
.사이트에서 역행렬 찾기
웹사이트당신이 찾을 수 있습니다 역행렬 온라인빠르고 무료입니다. 사이트에서 당사 서비스에서 계산을 수행하고 결과를 찾기 위한 자세한 솔루션과 함께 표시됩니다. 역행렬. 서버는 항상 정확하고 정확한 답변만을 제공합니다. 정의에 따른 작업에서 역행렬 온라인, 결정자가 필요하다. 행렬 0과 달랐습니다. 그렇지 않으면 웹사이트원래 행렬의 행렬식이 0과 같기 때문에 역행렬을 찾는 것이 불가능하다고 보고합니다. 작업 찾기 역행렬수학의 많은 분야에서 발견되는 가장 중요한 것 중 하나입니다. 기본 컨셉응용 문제의 대수학 및 수학 도구. 독립적인 역행렬 정의계산에서 실수나 작은 오류가 발생하지 않도록 상당한 노력, 많은 시간, 계산 및 세심한 주의가 필요합니다. 따라서 우리의 서비스 온라인에서 역행렬 찾기작업을 크게 촉진하고 수학 문제를 해결하는 데 없어서는 안될 도구가 될 것입니다. 당신이 역행렬 찾기서버에서 솔루션을 확인하는 것이 좋습니다. 온라인 역행렬 계산에 원래 행렬을 입력하고 답을 확인하십시오. 우리 시스템은 결코 틀리지 않으며 역행렬모드에서 주어진 차원 온라인곧! 그 자리에서 웹사이트요소에 문자 입력이 허용됩니다. 행렬, 이 경우 역행렬 온라인일반적인 상징적 형태로 제시될 것이다.
역행렬 찾기.
이 기사에서는 역행렬의 개념, 역행렬의 속성 및 찾는 방법을 다룰 것입니다. 주어진 하나에 대한 역행렬을 구성해야 하는 해결 예제에 대해 자세히 설명하겠습니다.
페이지 탐색.
역행렬 - 정의.
대수 덧셈 행렬을 사용하여 역행렬 찾기.
역행렬의 속성입니다.
Gauss-Jordan 방법으로 역행렬 찾기.
선형 대수 방정식의 해당 시스템을 해결하여 역행렬의 요소를 찾습니다.
역행렬 - 정의.
역행렬의 개념은 행렬식이 0과 다른 정방행렬, 즉 비특이 정방행렬에 대해서만 도입됩니다.
정의.
행렬역행렬이라고 합니다, 등식이 참인 경우 행렬식이 0과 다릅니다. 
, 어디 이자형는 순서의 단위 행렬입니다. N에 N.
대수 덧셈 행렬을 사용하여 역행렬 찾기.
주어진 것에 대한 역행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?
먼저 개념이 필요합니다. 전치행렬, 행렬 소수 및 행렬 요소의 대수 보수.
정의.
미성년자k번째 주문하다행렬 ㅏ주문하다 중에 N순서 행렬의 결정자입니다. 케이에 케이, 행렬의 요소에서 얻은 하지만선택한 위치에 있는 케이선과 케이열. ( 케이가장 작은 수를 초과하지 않습니다 중또는 N).
미성년자 (n-1)번째다음을 제외한 모든 행의 요소로 구성된 순서 i 번째및 다음을 제외한 모든 열 j번째, 정방 행렬 하지만주문하다 N에 N로 표기합시다.
즉, 정사각 행렬에서 소수를 얻습니다. 하지만주문하다 N에 N요소 건너뛰기 i 번째선과 j번째열.
예를 들어, 마이너라고 쓰자 2위행렬에서 얻은 차수 
두 번째, 세 번째 행 및 첫 번째, 세 번째 열의 요소 선택 
. 행렬에서 얻은 마이너도 표시합니다. 
두 번째 행과 세 번째 열 삭제 
. 다음 미성년자의 구성을 설명하겠습니다. 및 .
정의.
대수 덧셈정방 행렬의 요소는 소수라고합니다 (n-1)번째행렬에서 얻은 차수 하지만, 요소 삭제 i 번째선과 j번째열에 .
요소의 대수적 보수는 로 표시됩니다. 따라서, 
.
예를 들어, 행렬의 경우 
요소의 대수 보수는 입니다.
둘째, 섹션에서 논의한 행렬식의 두 가지 속성이 필요합니다. 행렬 행렬식 계산:
행렬식의 이러한 속성을 기반으로 정의 행렬에 숫자를 곱하는 연산역행렬의 개념은 다음과 같습니다. 
, 여기서 요소가 대수 보수인 전치 행렬입니다.
행렬 
실제로 행렬의 역행렬입니다. 하지만, 평등 이후 
. 보여줍시다 
작곡하자 역행렬 알고리즘평등을 사용하여 
.
예제를 사용하여 역행렬을 찾는 알고리즘을 분석해 보겠습니다.
예시.
주어진 행렬 
. 역행렬을 찾습니다.
해결책.
행렬 행렬식 계산 하지만, 세 번째 열의 요소로 확장: 
행렬식은 0이 아니므로 행렬 하지만거꾸로 할 수 있는.
대수 덧셈에서 행렬을 찾아봅시다. 
그렇기 때문에 
대수 덧셈에서 행렬의 전치를 수행해 보겠습니다. 
이제 우리는 역행렬을 다음과 같이 찾습니다. 
:
결과를 확인해보자: 
평등 
따라서 역행렬이 올바르게 발견됩니다.
역행렬의 속성입니다.
역행렬, 평등의 개념 
, 행렬에 대한 연산의 정의, 행렬 행렬식의 속성을 통해 다음을 입증할 수 있습니다. 역행렬 속성:
선형 대수 방정식의 해당 시스템을 해결하여 역행렬의 요소를 찾습니다.
정방 행렬에 대한 역행렬을 찾는 다른 방법을 고려하십시오. 하지만주문하다 N에 N.
이 방법은 솔루션을 기반으로 합니다. N선형 불균일 대수 방정식 시스템 N알려지지 않은. 이러한 연립방정식에서 알려지지 않은 변수는 역행렬의 요소입니다.
아이디어는 매우 간단합니다. 역행렬을 다음과 같이 표시합니다. 엑스, 그건, 
. 역행렬의 정의에 따르면, 
해당 요소를 열로 동일시하면 다음을 얻습니다. N시스템 선형 방정식
우리는 어떤 식으로든 그것들을 풀고 발견된 값으로부터 역행렬을 형성합니다.
이 방법을 예를 들어 분석해 보겠습니다.
예시.
주어진 행렬 
. 역행렬을 찾습니다.
해결책.
수용하다 
. 평등은 선형 비균일 대수 방정식의 세 가지 시스템을 제공합니다. 
이러한 시스템의 솔루션에 대해서는 설명하지 않겠습니다. 필요한 경우 섹션을 참조하십시오. 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션.
첫 번째 방정식 시스템에서 두 번째에서 세 번째에서 . 따라서 원하는 역행렬은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 
. 결과가 올바른지 확인하는 것이 좋습니다.
요약하다.
우리는 역행렬의 개념, 그 속성 및 그것을 찾는 세 가지 방법을 고려했습니다.
역행렬 솔루션의 예
연습 1.역행렬 방법을 사용하여 SLAE를 풉니다. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4
양식 시작
양식 끝
해결책. 행렬을 다음 형식으로 작성해 보겠습니다. Vector B: B T = (1,2,3,4) Major determinant Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 (2,1)에 대한 마이너: = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 마이너 (3,1)의 경우: = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 (4,1)의 경우: = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 작은 행렬식 ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
전치행렬대수적 보수 ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 역행렬 결과 벡터 X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1
또한보십시오 역행렬 방법에 의한 SLAE 솔루션온라인. 이렇게 하려면 데이터를 입력하고 자세한 설명과 함께 결정을 내리십시오.
작업 2. 연립방정식을 행렬 형식으로 작성하고 역행렬을 사용하여 풉니다. 얻은 솔루션을 확인하십시오. 해결책:XML:xls
실시예 2. 연립방정식을 행렬 형식으로 작성하고 역행렬을 사용하여 풉니다. 해결책:XML:xls
예시. 3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템이 제공됩니다. 필수: 1) 다음을 사용하여 솔루션 찾기 크래머의 공식; 2) 행렬 형식으로 시스템을 작성하고 행렬 미적분을 사용하여 풉니다. 지침. Cramer의 방법으로 해결한 후 "초기 데이터에 대한 역행렬 솔루션" 버튼을 찾으십시오. 적절한 결정을 받게 됩니다. 따라서 데이터를 다시 입력할 필요가 없습니다. 해결책. A로 표시 - 미지수에 대한 계수 행렬; X - 미지수의 열 행렬; B - 자유 구성원의 행렬 열:
|
|
벡터 B: B T =(4,-3,-3) 이러한 표기법이 주어지면 이 방정식 시스템은 다음과 같은 행렬 형식을 취합니다. А*Х = B. 행렬 А가 비특이 행렬이면(결정자가 0이 아닌 경우 역행렬 А -1. 방정식의 양변에 A -1을 곱하면 A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E가 됩니다. 이 평등을 이라고 합니다. 선형 방정식 시스템의 솔루션의 행렬 표기법. 연립방정식의 해를 찾으려면 역행렬 A -1 을 계산해야 합니다. 행렬 A의 행렬식이 0이 아닌 경우 시스템은 솔루션을 갖게 됩니다. 주요 결정 인자를 찾아보자. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 따라서 행렬식은 14 ≠ 0, 그래서 우리는 솔루션을 계속합니다. 이를 위해 대수적 덧셈을 통해 역행렬을 찾습니다. 비특이 행렬 A가 있다고 합시다.
|
|
대수 덧셈을 계산합니다.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 시험. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 문서:XML:xls 대답: -1,1,2.
많은 속성에서 역과 유사합니다.
백과사전 YouTube
1 / 5
✪ 역행렬을 찾는 방법 - bezbotvy
✪ 역행렬(찾는 2가지 방법)
✪ 역행렬 #1
✪ 2015-01-28. 역행렬 3x3
✪ 2015-01-27. 역행렬 2x2
자막
역행렬 속성
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), 어디 det (\displaystyle \ \det )결정자를 나타냅니다.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))두 개의 정사각형 가역행렬에 대해 A(\displaystyle A)그리고 B(\디스플레이 스타일 B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\디스플레이 스타일 \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), 어디 (. . .) T (\디스플레이 스타일 (...)^(T))전치 행렬을 나타냅니다.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))모든 계수에 대해 k ≠ 0(\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
- 선형 연립방정식을 풀어야 하는 경우 (b는 0이 아닌 벡터임) 여기서 x(\디스플레이 스타일 x)는 원하는 벡터이고, 만약 A − 1 (\displaystyle A^(-1))존재하면 x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). 그렇지 않으면 솔루션 공간의 차원이 0보다 크거나 전혀 없습니다.
역행렬을 찾는 방법
행렬이 역행렬이면 역행렬을 찾으려면 다음 방법 중 하나를 사용할 수 있습니다.
정확한(직접) 방법
가우스-조던 방법
두 개의 행렬을 살펴보겠습니다. 자체 ㅏ그리고 싱글 이자형. 매트릭스를 가져오자 ㅏ변환을 행에 적용하는 Gauss-Jordan 방법에 의해 단위 행렬에 변환합니다(열에 변환을 적용할 수도 있지만 혼합에는 적용할 수 없음). 첫 번째 행렬에 각 연산을 적용한 후 두 번째 행렬에 동일한 연산을 적용합니다. 첫 번째 행렬을 항등식으로 축소하는 작업이 완료되면 두 번째 행렬은 다음과 같습니다. A -1.
가우스 방법을 사용할 때 첫 번째 행렬은 왼쪽에서 기본 행렬 중 하나를 곱합니다. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(한 위치를 제외하고 주 대각선에 1이 있는 횡단 또는 대각선 행렬):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \오른쪽 화살표 \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / am 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a / 1 m +1 … 0 … 0 … 0 − an m / am m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).모든 연산을 적용한 후 두 번째 행렬은 다음과 같습니다. Λ (\displaystyle \Lambda )즉, 원하는 것이 됩니다. 알고리즘의 복잡성 - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
대수 덧셈 행렬 사용
행렬 역행렬 A(\displaystyle A), 형태로 표현
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
어디 adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- 첨부된 행렬 ;
알고리즘의 복잡도는 행렬식 O det 를 계산하기 위한 알고리즘의 복잡도에 따라 달라지며 O(n²) O det 와 같습니다.
LU/LUP 분해 사용
행렬 방정식 A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))역행렬의 경우 X(\디스플레이스타일 X)컬렉션으로 볼 수 있습니다 n (\디스플레이 스타일 n)형식의 시스템 A x = b (\displaystyle Ax=b). 나타내다 나(\디스플레이스타일 i)-행렬의 열 X(\디스플레이스타일 X)~을 통해 X i (\displaystyle X_(i)); 그 다음에 A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots,n), 왜냐하면 나(\디스플레이스타일 i)-행렬의 열 I n (\displaystyle I_(n))는 단위 벡터입니다 e i (\displaystyle e_(i)). 즉, 역행렬을 찾는 것은 동일한 행렬과 다른 우변을 가진 n개의 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다. LUP 확장(시간 O(n³))을 실행한 후 n개의 각 방정식을 푸는 데 O(n²) 시간이 걸리므로 작업의 이 부분도 O(n³) 시간이 걸립니다.
행렬 A가 비특이 행렬이면 이에 대한 LUP 분해를 계산할 수 있습니다. PA = L U (\displaystyle PA=LU). 허락하다 P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). 그런 다음 역행렬의 속성에서 다음과 같이 작성할 수 있습니다. D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). 이 평등에 U와 L을 곱하면 다음 형식의 두 평등을 얻을 수 있습니다. U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))그리고 D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). 이러한 등식 중 첫 번째는 다음을 위한 n² 선형 방정식 시스템입니다. n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))그 중 우변이 알려져 있습니다(삼각 행렬의 속성에서). 두 번째는 n² 선형 방정식 시스템입니다. n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))그 중 우변이 알려져 있습니다(삼각 행렬의 속성에서도 알 수 있음). 함께 그들은 n² 평등의 시스템을 형성합니다. 이러한 등식을 사용하여 행렬 D의 모든 n² 요소를 재귀적으로 결정할 수 있습니다. 그런 다음 등식(PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D에서 등식을 얻습니다. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
LU 분해를 사용하는 경우 행렬 D의 열에 대한 순열이 필요하지 않지만 행렬 A가 비특이 행렬인 경우에도 해가 발산할 수 있습니다.
알고리즘의 복잡성은 O(n³)입니다.
반복 방법
슐츠 방법
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(케이스)))
오차 추정
초기 근사값 선택
여기에서 고려되는 반복 행렬 역전 과정에서 초기 근사를 선택하는 문제는 예를 들어 행렬의 LU 분해를 기반으로 하는 직접 역전 방법과 경쟁하는 독립적인 보편적 방법으로 처리할 수 없습니다. 선택에 대한 몇 가지 권장 사항이 있습니다. U 0 (\displaystyle U_(0)), 조건 충족 보장 ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (행렬의 스펙트럼 반경은 1보다 작음), 이는 프로세스의 수렴에 필요하고 충분합니다. 그러나 이 경우 먼저 역행렬 A 또는 행렬의 스펙트럼에 대한 추정치를 위에서부터 알아야 합니다. A A T (\displaystyle AA^(T))(즉, A가 양의 정부호 대칭 행렬이고 ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), 당신은 걸릴 수 있습니다 U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), 어디 ; A가 임의의 비특이 행렬이고 ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), 다음 가정 U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), 어디에서도 α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); 물론 상황을 단순화 할 수 있으며 다음 사실을 사용하여 ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), 놓다 U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). 둘째, 초기 행렬의 이러한 사양으로 ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)작을 것입니다 (아마도 ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), 높은 수렴율은 즉시 나타나지 않을 것입니다.
예
매트릭스 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)2x2 행렬의 반전은 다음 조건에서만 가능합니다. a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
