회전체의 표면적을 찾으십시오. 적분을 사용하여 회전 표면적을 찾는 방법

곡선이 파라메트릭 방정식으로 주어지면 축을 중심으로 이 곡선을 회전시켜 얻은 표면적은 다음 공식으로 계산됩니다. . 동시에 기사에서 너무 많은 사본이 끊어진 라인의 "그리기 방향"은 무관심합니다. 그러나 이전 단락에서와 같이 곡선이 위치하는 것이 중요합니다. ~ 위에가로축 - 그렇지 않으면 "플레이어 책임"기능이 음수 값을 가지며 적분 앞에 빼기 기호를 넣어야합니다.

예 3

축을 중심으로 원을 회전시켜 얻은 구의 면적을 계산합니다.

해결책: 기사의 자료에서 파라메트릭하게 주어진 선으로 면적과 부피에 대해방정식이 반지름이 3인 원점을 중심으로 하는 원을 정의한다는 것을 알고 있습니다.

음 그리고 구체 , 잊어 버린 사람들을 위해 표면입니다 공(또는 구면).

개발된 솔루션 체계를 준수합니다. 미분을 찾아봅시다:

"수식" 루트를 구성하고 단순화해 보겠습니다.

말할 필요도 없이 사탕이 나왔다. Fikhtengoltz가 사각형으로 머리를 어떻게 맞댔는지 비교를 확인하십시오. 회전 타원체.

이론적 발언에 따르면 우리는 상부 반원을 고려합니다. 내에서 매개변수의 값을 변경할 때 "그려진다"(쉽게 볼 수 있습니다. 이 간격에서), 따라서:

대답:

에서 문제가 해결되면 일반적인 견해, 그러면 반지름이있는 구의 면적에 대한 학교 공식을 정확히 얻습니다.

고통스러울 정도로 간단한 문제, 심지어 부끄러움을 느꼈습니다 .... 이 버그를 수정하는 것이 좋습니다 =)

예 4

축을 중심으로 사이클로이드의 첫 번째 호를 회전시켜 얻은 표면적을 계산합니다.

작업은 창의적입니다. y축을 중심으로 곡선을 회전시켜 얻은 표면적을 계산하는 공식을 추론하거나 직관해 보십시오. 그리고 물론 파라메트릭 방정식의 장점을 다시 한 번 언급해야 합니다. 어떻게든 수정할 필요가 없습니다. 통합의 다른 한계를 찾는 데 신경 쓸 필요가 없습니다.

사이클로이드 그래프는 페이지에서 볼 수 있습니다. 선이 파라메트릭 방식으로 설정된 경우 면적 및 체적. 회전 표면은 비슷할 것입니다 ... 무엇과 비교해야할지 모르겠습니다 ... 중간에 뾰족한 함몰이있는 둥근 것입니다. 여기에서 축을 중심으로 사이클로이드가 회전하는 경우 직사각형 럭비 공이라는 협회가 즉시 떠 올랐습니다.

수업이 끝날 때 솔루션 및 답변.

우리는 사례로 매혹적인 리뷰를 마칩니다. 극좌표. 예, 리뷰입니다. 수학적 분석에 관한 교과서(Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov 및 기타 저자의)를 살펴보면 수십 가지(또는 눈에 띄게 더 많은) 표준 예제를 얻을 수 있습니다. 필요한 문제를 찾을 수 있습니다.

회전 표면적을 계산하는 방법,
선이 극좌표계로 주어지면?

곡선으로 설정한 경우 극좌표방정식 , 함수는 주어진 간격에서 연속 도함수를 가지며 극축을 중심으로 이 곡선을 회전하여 얻은 표면적은 다음 공식으로 계산됩니다. , 여기서 곡선의 끝에 해당하는 각도 값입니다.

문제의 기하학적 의미에 따라 피적분 함수 , 그리고 이것은 ( 및 가 음수가 아닌 것으로 알려진) 경우에만 달성됩니다. 따라서 범위에서 각도 값을 고려할 필요가 있습니다. 즉, 곡선이 위치해야 합니다. ~ 위에극축과 확장. 보시다시피 이전 두 단락과 같은 이야기입니다.

실시예 5

극축을 중심으로 카디오이드의 회전에 의해 형성된 표면의 면적을 계산합니다.

해결책: 이 곡선의 그래프는 에 대한 수업의 예 6에서 볼 수 있습니다. 극좌표계. 카디오이드는 극축에 대해 대칭이므로 위쪽 절반을 갭에서 고려합니다(실제로 위의 설명 때문이기도 합니다).

회전면은 과녁과 비슷합니다.

솔루션 기술은 표준입니다. "파이"에 대한 도함수를 찾아봅시다:

루트 구성 및 단순화:

나는 슈퍼 넘버로 희망한다 삼각법 공식아무도 문제가 없었습니다.

다음 공식을 사용합니다.

사이 , 결과적으로: (기사에서 루트를 올바르게 제거하는 방법을 자세히 설명했습니다. 커브 호 길이).

대답:

독립적인 솔루션을 위한 흥미롭고 짧은 작업:

실시예 6

구형 벨트의 면적을 계산하고,

볼벨트란? 둥글고 껍질을 벗기지 않은 오렌지를 테이블 위에 놓고 칼을 집으십시오. 2개를 만드십시오 평행한절단하여 과일을 임의 크기의 3 부분으로 나눕니다. 이제 육즙이 많은 펄프가 양쪽에 노출되는 가운데를 가져 가십시오. 이 몸이라고 합니다 구형 레이어, 경계면(오렌지 껍질) - 볼 벨트.

익숙한 독자들 극좌표, 문제의 그림을 쉽게 제시: 방정식은 반지름의 극점을 중심으로 하는 원을 정의합니다. 광선 끊다 보다 작은호. 이 호는 극축을 중심으로 회전하므로 구형 벨트가 생성됩니다.

이제 깨끗한 양심과 가벼운 마음으로 오렌지를 먹을 수 있습니다. 이 맛있는 메모에서 우리는 교훈을 끝내고 다른 예를 들어 식욕을 망치지 마십시오 =)

솔루션 및 답변:

예 2:해결책 : 상부 가지의 회전에 의해 형성되는 표면적을 계산 x축 주위. 우리는 공식을 사용합니다 .
이 경우: ;

이런 식으로:


대답:

예 4:해결책 : 공식을 사용 . 사이클로이드의 첫 번째 호는 세그먼트에 정의됩니다. .
미분을 찾아봅시다:

루트 구성 및 단순화:

따라서 혁명의 표면적은 다음과 같습니다.

사이 , 그래서

첫 번째 적분부품별로 통합 :

두 번째 적분에서 우리는삼각함수 공식 .


대답:

예 6:해결책 : 다음 공식을 사용합니다.


대답:

>>> 뿐만 아니라 통신 학생을 위한 고등 수학

(메인 페이지로 이동)

명확한 적분을 계산하는 방법
사다리꼴 공식과 Simpson 방법을 사용합니까?

수치 방법은 고등 수학의 상당히 큰 섹션이며 이 주제에 대한 진지한 교과서에는 수백 페이지가 있습니다. 실제로 제어 작업전통적으로 수치적 방법으로 일부 문제를 해결하기 위해 제안되었으며 일반적인 문제 중 하나는 대략적인 계산입니다. 명확한 적분. 이 기사에서는 정적분의 근사 계산을 위한 두 가지 방법을 고려할 것입니다. 사다리꼴 방법그리고 심슨의 방법.

이러한 방법을 마스터하려면 무엇을 알아야 합니까? 재미있을 것 같지만 적분을 전혀 취하지 못할 수도 있습니다. 그리고 적분이 무엇인지 이해하지 못합니다. 에서 기술적 수단계산기가 필요합니다. 예, 예, 일상적인 학교 계산을 기다리고 있습니다. 더 좋은 방법은 내 사다리꼴 방법과 심슨 방법을 위한 반자동 계산기. 이 계산기는 Excel로 작성되었으며 작업을 해결하고 처리하는 시간을 10배로 줄일 수 있습니다. 엑셀 찻주전자에 대한 동영상 설명서가 포함되어 있습니다! 그건 그렇고, 내 목소리로 첫 번째 비디오.

먼저 대략적인 계산이 필요한 이유는 무엇입니까? 함수의 역도함수를 찾고 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 특정 적분의 정확한 값을 계산하는 것이 가능할 것 같습니다. 질문에 대한 답변으로 사진이 있는 데모 예를 즉시 살펴보겠습니다.

명확한 적분 계산

모든 것이 괜찮을 것이지만 이 예에서는 적분을 취하지 않습니다. 적분 로그. 이 통합이 존재합니까? 그림에서 피적분의 그래프를 묘사해 봅시다.

모든 것이 괜찮습니다. 인테그랜드 마디 없는세그먼트에서 정적분은 음영 영역과 수치적으로 동일합니다. 예, 그것은 단지 하나의 걸림돌입니다. 적분은 취해지지 않습니다. 그리고 그러한 경우 수치적인 방법이 구출됩니다. 이 경우 두 가지 공식에서 문제가 발생합니다.

1) 근사적으로 정적분을 계산합니다. , 결과를 특정 소수 자릿수로 반올림. 예를 들어 소수점 이하 두 자리, 소수점 세 자리까지 등입니다. 대략적인 답이 5.347이라고 가정해 보겠습니다. 사실, 완전히 정확하지 않을 수도 있습니다(실제로 더 정확한 답은 5.343이라고 가정해 봅시다). 우리의 임무는 그 안에서만결과를 소수점 세 자리로 반올림합니다.

2) 정적분을 대략적으로 계산합니다. 일정한 정밀도로. 예를 들어 대략 0.001의 정확도로 정적분을 계산합니다. 무슨 뜻인가요? 이것은 대략 5.347의 답을 얻는다면, 모두수치는 철근 콘크리트여야 합니다. 옳은. 더 정확히 말하면 답 5.347은 진리 모듈로(한 방향 또는 다른 방향)와 0.001 이상 차이가 나지 않아야 합니다.

문제에서 발생하는 정적분의 근사 계산을 위한 몇 가지 기본 방법이 있습니다.

사각형 방법. 통합 세그먼트는 여러 부분으로 나뉘고 단계 그림이 구성됩니다( 막대 차트), 원하는 영역과 가까운 영역:

도면으로 엄격하게 판단하지 마십시오. 정확성이 완벽하지 않습니다. 방법의 본질을 이해하는 데 도움이 될뿐입니다.

이 예에서 통합 세그먼트는 세 개의 세그먼트로 나뉩니다.
. 분명히 분할 빈도가 높을수록(중간 세그먼트가 작을수록) 정확도가 높아집니다. 직사각형 방법은 영역의 대략적인 근사치를 제공하므로 실제로는 매우 드뭅니다 (실제 사례는 하나만 기억했습니다). 이와 관련하여 직사각형 방법을 고려하지 않고 간단한 공식도 제공하지 않습니다. 게으름 때문이 아니라 내 솔루션 책의 원칙 때문입니다. 실용적인 작업에서 극히 드문 것은 고려하지 않습니다.

사다리꼴 방식. 아이디어는 비슷합니다. 적분 세그먼트는 여러 개의 중간 세그먼트로 나뉘며 피적분 함수의 그래프는 다음과 같이 접근합니다. 파선선:

따라서 우리 영역(파란색 음영)은 사다리꼴 영역(빨간색)의 합으로 근사됩니다. 따라서 메서드의 이름입니다. 사다리꼴 방법이 직사각형 방법(동일한 수의 파티션 세그먼트 사용)보다 훨씬 나은 근사치를 제공한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 물론 우리가 고려하는 중간 세그먼트가 작을수록 정확도가 높아집니다. 사다리꼴 방법은 실제 작업에서 때때로 발생하며 이 기사에서는 몇 가지 예를 분석합니다.

심슨의 방법(포물선 방법). 이것은 더 완벽한 방법입니다. 피적분 그래프는 파선이 아니라 작은 포물선으로 접근합니다. 얼마나 많은 중간 세그먼트 - 너무 많은 작은 포물선. 동일한 3개의 세그먼트를 취하면 Simpson 방법이 직사각형 방법이나 사다리꼴 방법보다 훨씬 더 정확한 근사값을 제공합니다.

함수의 그래프 (이전 단락의 파선-그리고 거의 일치 함)에 시각적으로 근사치가 중첩되기 때문에 도면 작성의 요점이 보이지 않습니다.

Simpson 공식을 사용하여 정적분을 계산하는 작업은 실제로 가장 많이 사용되는 작업입니다. 그리고 포물선의 방법에 상당한 주의를 기울일 것입니다.

예시:반지름 구의 부피 구하기아르 자형.

공의 단면에서 가변 반경 y의 원을 얻습니다. 현재 x 좌표에 따라 이 반지름은 공식으로 표현됩니다.

그런 다음 단면적 함수의 형식은 다음과 같습니다.큐(엑스) = .

우리는 공의 부피를 얻습니다.

예시:높이가 H이고 밑면이 넓은 임의의 피라미드의 부피 구하기에스.

높이에 수직인 평면으로 피라미드를 가로지를 때 단면에서 밑면과 유사한 그림을 얻습니다. 이 수치의 유사성 계수는 ​​비율과 같습니다.엑스 / H , 여기서 x는 단면 평면에서 피라미드 상단까지의 거리입니다.

유사한 도형의 면적 비율은 유사도 제곱과 같다는 것이 기하학에서 알려져 있습니다.

여기에서 단면적의 기능을 얻습니다.

피라미드의 부피 구하기:

회전체의 양.

방정식으로 주어진 곡선을 고려하십시오. y=에프(엑스 ). 함수라고 가정하자에프엑스 )는 간격 [, 나 ]. 밑변이 a이고 해당 곡선 사다리꼴인 경우비 x 축을 중심으로 회전하면 소위 혁명의 몸.

y=에프(엑스)

회전체의 표면적.

미비

정의: 회전 표면적주어진 축 주위의 곡선 AB는 곡선 AB에 새겨진 파선의 회전 표면 영역이 이러한 파선의 링크 길이 중 가장 큰 길이가 0이 되는 경향이 있는 한계입니다.

호 AB를점 M 0 , M 1 , M 2 , … , M n으로 n 부분 . 결과 폴리라인의 정점 좌표는 다음 좌표를 갖습니다. x와 y 나는 . 파선이 축을 중심으로 회전하면 원뿔대 측면으로 구성된 표면을 얻습니다.디파이 . 이 영역은 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.:

회전 표면의 공식을 진행하기 전에 회전 표면 자체에 대한 간략한 공식을 제공합니다. 회전면, 즉 회전체의 표면은 선분의 회전에 의해 형성되는 공간 도형이다. AB축 주위의 곡선 황소(아래 그림).

위에서 언급한 곡선 부분에 의해 경계가 지정된 곡선 사다리꼴을 상상해 봅시다. 같은 축을 중심으로 한 이 사다리꼴의 회전에 의해 형성되는 몸체 황소, 혁명의 몸이 있습니다. 그리고 회전의 표면적 또는 회전체의 표면은 선축을 중심으로 회전하여 형성된 원을 세지 않고 외피입니다. 엑스 = ㅏ그리고 엑스 = 비 .

회전체와 그에 따른 표면은 축을 중심으로 하지 않고 그림을 회전시켜도 형성될 수 있습니다. 황소, 및 축 주위 오이.

직교 좌표로 주어진 회전면의 면적 계산

방정식으로 평면의 직각 좌표를 보자 와이 = 에프(엑스) 좌표축을 중심으로 한 회전이 회전체를 형성하는 곡선이 제공됩니다.

회전 표면적을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

(1).

예 1축에 대한 회전에 의해 형성된 포물면의 표면적 찾기 황소변화에 해당하는 포물선의 호 엑스~에서 엑스= 0 ~ 엑스 = ㅏ .

해결책. 포물선의 호를 정의하는 함수를 명시적으로 표현합니다.

이 함수의 도함수를 찾아봅시다:

회전 표면의 면적을 찾기 위한 공식을 사용하기 전에 피적분의 근인 부분을 작성하고 방금 찾은 도함수를 대체합니다.

답변: 곡선의 호 길이는

.

예 2축에 대한 회전에 의해 형성된 표면의 면적 찾기 황소천체.

해결책. 1/4 분기에 위치한 아스트로이드의 한 가지 회전으로 인한 표면적을 계산하고 2를 곱하면 충분합니다. 아스트로이드 방정식에서 공식으로 대체해야 할 함수를 명시 적으로 표현합니다. 회전 표면적을 찾으려면 :

.

0부터 적분을 수행합니다. ㅏ:

파라메트릭 방식으로 주어진 회전 표면적 계산

회전면을 이루는 곡선이 파라메트릭 방정식으로 주어지는 경우를 생각해보자.

그런 다음 회전 표면의 면적은 공식에 의해 계산됩니다.

(2).

예 3축에 대한 회전에 의해 형성된 회전면의 면적 찾기 오이사이클로이드와 직선으로 둘러싸인 도형 와이 = ㅏ. 사이클로이드는 파라메트릭 방정식으로 제공됩니다.

해결책. 사이클로이드와 직선의 교차점을 찾으십시오. 사이클로이드 방정식의 등식 그리고 직선의 방정식 와이 = ㅏ, 찾기

이것으로부터 적분의 한계는 다음에 해당합니다.

이제 공식 (2)를 적용할 수 있습니다. 미분을 찾아봅시다:

발견 된 파생 상품을 대체하여 수식에 급진적 표현을 씁니다.

이 표현의 근원을 찾아봅시다:

.

공식 (2)에서 찾은 것을 대체하십시오.

.

대체를 해보자:

그리고 마침내 우리는 찾습니다

표현의 변환에는 삼각법 공식이 사용되었습니다.

답변: 회전면의 면적은 .

극좌표로 주어진 회전면의 면적 계산

회전이 표면을 형성하는 곡선을 극좌표로 지정하십시오.

안녕하세요, Argemony University 학생 여러분!

오늘 우리는 객체의 구체화를 계속 연구할 것입니다. 지난번에 우리는 평면 도형을 회전시켜 입체적인 몸체를 얻었습니다. 그들 중 일부는 매우 유혹적이고 유용합니다. 마술사가 발명한 그 정도는 앞으로도 쓸 수 있을 것 같다.

오늘 우리는 커브를 회전시킬 것입니다. 이런 식으로 회전하는 곡선이 그러한 물체를 만들 수 있기 때문에 모서리가 매우 얇은 물체(물약용 원뿔 또는 병, 꽃병, 음료수 유리 등)를 얻을 수 있음이 분명합니다. . 즉, 곡선을 회전하면 모든 면이 닫혀 있는지 여부와 같은 일종의 표면을 얻을 수 있습니다. 왜 지금 나는 Shurf Lonley-Lockley 경이 항상 마셨던 홀리 컵을 기억했습니다.

그래서 새는 그릇과 천공되지 않은 그릇을 만들고 생성된 표면의 면적을 계산합니다. 나는 어떤 이유로 (일반적으로 표면적)이 필요할 것이라고 생각합니다. 적어도 특수 마법 페인트를 적용하기 위해서는 필요합니다. 한편, 마법 유물의 영역은 마법 유물에 적용되는 마법의 힘이나 다른 것을 계산하는 데 필요할 수 있습니다. 우리는 그것을 찾는 방법을 배우고 그것을 적용할 곳을 찾을 것입니다.

따라서 포물선 조각은 우리에게 그릇의 모양을 줄 수 있습니다. 간격 에서 가장 간단한 y=x 2 를 살펴보겠습니다. OY 축을 중심으로 회전하면 그릇만 나오는 것을 볼 수 있습니다. 바닥이 없습니다.

회전의 표면적을 계산하는 주문은 다음과 같습니다.

여기 |y| 회전축에서 회전하는 곡선의 모든 점까지의 거리입니다. 아시다시피 거리는 수직입니다.
주문의 두 번째 요소로 조금 더 어렵습니다. ds는 아크 차동입니다. 이 단어는 우리에게 아무것도 제공하지 않으므로 귀찮게하지 말고 우리에게 알려진 모든 경우에 대해 이 차이가 명시적으로 제시되는 공식 언어로 전환합시다.
- 데카르트 좌표계;
- 파라메트릭 형식의 곡선 기록
- 극좌표계.

우리의 경우 회전축에서 곡선의 모든 점까지의 거리는 x입니다. 우리는 구멍이 뚫린 그릇의 표면적을 고려합니다.

바닥이 있는 그릇을 만들려면 곡선이 다른 다른 조각을 가져와야 합니다. 간격에서 이것은 y=1 선입니다.

OY 축을 중심으로 회전하면 그릇의 바닥이 단위 반지름의 원 형태로 얻어지는 것이 분명합니다. 그리고 우리는 원의 면적이 어떻게 계산되는지 알고 있습니다 (공식 pi * r ^ 2에 따라. 우리의 경우 원의 면적은 pi와 같습니다). 그러나 우리는 그것을 계산할 것입니다 확인을 위해 새로운 공식을 사용합니다.
회전축에서 이 곡선 부분의 임의의 점까지의 거리도 x입니다.

글쎄, 우리의 계산은 정확합니다.

그리고 지금 숙제.

1. OX 축을 기준으로 A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2)인 폴리라인 ABC를 회전시켜 얻은 표면적을 찾습니다.
조언. 파라메트릭 형식으로 모든 세그먼트를 기록합니다.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
기원전: x=t, y=2, 1≤t≤6
그런데 결과 항목은 어떻게 생겼습니까?

2. 이제 스스로 무언가를 생각해 내십시오. 세 가지 항목이면 충분하다고 생각합니다.

5. 회전체의 표면적 찾기

곡선 AB를 함수 y = f(x) ≥ 0의 그래프라고 합니다. 여기서 x [a; b], 함수 y \u003d f (x)와 그 파생물 y "\u003d f"(x)는 이 세그먼트에서 연속적입니다.

곡선 AB가 Ox 축을 중심으로 회전하여 형성된 표면의 면적 S를 찾아봅시다(그림 8).

체계 II(차등 방법)를 적용합니다.

임의의 점을 통해 x [a; b] 축 Ox에 수직인 평면 P를 그립니다. 평면 P는 반지름이 y - f(x)인 원을 따라 회전 표면과 교차합니다. 평면의 왼쪽에 있는 회전도 부분의 표면 값 S는 x의 함수입니다. s = s(x) (s(a) = 0 및 s(b) = S).

인수 x에 증분 Δх = dх를 부여해 봅시다. 점을 통해 x + dx [a; b] 또한 x축에 수직인 평면을 그립니다. 함수 s = s(x)는 그림에서 "벨트"로 표시된 Δs의 증분을 수신합니다.

모선이 dl이고 밑면의 반지름이 y 및 y + dy와 같은 잘린 원뿔로 섹션 사이에 형성된 그림을 대체하여 면적 ds의 미분을 찾으십시오. 측면 표면적은 = 2ydl + dydl입니다.

제품 dу d1을 ds보다 훨씬 더 높은 차수로 버리면 ds = 2уdl을 얻거나 d1 = dx가 됩니다.

x = a에서 x = b까지의 범위에서 결과 평등을 통합하면 다음을 얻습니다.

곡선 AB가 파라메트릭 방정식 x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t에 의해 주어지면 회전 표면의 공식은

S=2 dt.

예: 반지름이 R인 구의 표면적을 찾습니다.

S=2 =

6. 가변적인 힘의 일 찾기

가변 힘 작업

허락하다 소재 포인트 M은 이 축에 평행하게 향하는 가변 힘 F = F(x)의 작용 하에 Ox 축을 따라 움직입니다. 점 M을 위치 x = a에서 위치 x = b로 이동할 때 힘이 한 일은 (a

100N의 힘이 용수철을 0.01m 늘린다면 용수철을 0.05m 늘리려면 어떤 일을 해야 합니까?

Hooke의 법칙에 따르면 용수철을 늘리는 탄성력은 이 늘어나는 x에 비례합니다. F = kx, 여기서 k는 비례 계수입니다. 문제의 조건에 따라 F = 100N의 힘은 용수철을 x = 0.01m 늘립니다. 따라서 100 = k 0.01, 여기서 k = 10000; 따라서 F = 10000x입니다.

공식에 따라 원하는 작업

A=

높이가 Hm이고 밑면 반경이 Rm인 수직 원통형 탱크에서 가장자리 위로 액체를 펌핑하기 위해 소비해야 하는 작업을 찾으십시오(그림 13).

무게가 p인 물체를 높이 h까지 올리는 데 소요되는 일은 p H와 같습니다. 다른 레이어는 동일하지 않습니다.

이 문제를 해결하기 위해 체계 II(미분법)를 적용합니다. 좌표계를 소개합니다.

1) 탱크에서 두께가 x(0 ≤ x ≤ H)인 액체 층을 펌핑하는 데 소요되는 작업은 x의 함수입니다. A \u003d A (x), 여기서 (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) x가 Δx = dx만큼 변할 때 증분 ΔA의 주요 부분을 찾습니다. 우리는 함수 A(x)의 미분 dA를 찾습니다.

dx가 작다는 점을 고려하여 "기본" 액체층이 동일한 깊이 x(저장소 가장자리로부터)에 있다고 가정합니다. 그런 다음 dА = dрх, 여기서 dр는 이 레이어의 가중치입니다. 그것은 gAV와 같습니다. 여기서 g는 중력 가속도이고 액체의 밀도는 dv는 "기본"액체층의 부피입니다(그림에서 강조 표시됨). 박사 = g. 이 액체 층의 부피는 분명히 와 같습니다. 여기서 dx는 실린더(층)의 높이이고 베이스의 면적입니다. dv = .

따라서, dр = . 그리고

3) x \u003d 0에서 x \u003d H까지의 범위에서 결과 평등을 통합하면

ㅏ

8. MathCAD 패키지를 사용한 적분 계산

일부 응용 문제를 풀 때 기호 적분 연산을 사용해야 합니다. 이런 경우 MathCad 프로그램은 초기 단계(미리 답을 알고 있거나 존재한다는 것을 아는 것이 좋다)와 마지막 단계(다른 사람의 답을 사용하여 얻은 결과를 확인하는 것이 좋다) 모두에서 유용할 수 있다. 소스 또는 다른 사람의 솔루션).

많은 문제를 풀 때 MathCad 프로그램을 사용하여 문제를 푸는 몇 가지 기능을 알 수 있습니다. 몇 가지 예를 통해 이 프로그램이 어떻게 작동하는지 이해하고 도움을 받아 얻은 솔루션을 분석하고 이러한 솔루션을 다른 방법으로 얻은 솔루션과 비교해 봅시다.

MathCad 프로그램을 사용할 때의 주요 문제점은 다음과 같습니다.

a) 프로그램은 친숙한 기본 기능의 형태가 아니라 모든 사람에게 알려지지 않은 특수 기능의 형태로 답을 제공합니다.

b) 어떤 경우에는 문제에 해결책이 있음에도 불구하고 대답을 "거부"합니다.

c) 때로는 부피가 커서 얻은 결과를 사용하는 것이 불가능합니다.

d) 문제를 불완전하게 해결하고 솔루션을 분석하지 않습니다.

이러한 문제를 해결하기 위해서는 프로그램의 장점과 단점을 잘 활용해야 합니다.

그것의 도움으로 분수 유리 함수의 적분을 쉽고 간단하게 계산할 수 있습니다. 따라서 변수 대체 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 솔루션에 대한 적분을 미리 준비하십시오. 이러한 목적을 위해 위에서 설명한 대체물을 사용할 수 있습니다. 원래 함수의 정의 영역과 얻은 결과의 일치 여부에 대해 얻은 결과를 조사해야 한다는 점도 염두에 두어야 합니다. 또한 얻은 솔루션 중 일부는 추가 연구가 필요합니다.

MathCad 프로그램은 학생이나 연구원을 일상적인 작업에서 해방시키지만 문제를 설정하고 결과를 얻을 때 추가 분석에서 해방시킬 수는 없습니다.

이 논문에서는 수학 과정에서 정적분의 응용 연구와 관련된 주요 조항을 고려했습니다.

– 적분을 풀기 위한 이론적 근거 분석이 수행되었습니다.

- 자료는 체계화 및 일반화되었습니다.

과정 중에 물리학, 기하학, 역학 분야의 실제 문제의 예가 고려되었습니다.

결론

위에서 고려한 실제 문제의 예는 해결 가능성에 대한 특정 적분의 중요성에 대한 명확한 아이디어를 제공합니다.

일반적으로 적분의 방법과 특히 정적분의 속성이 적용되지 않는 과학 분야를 명명하기는 어렵습니다. 그래서 수업을 진행하는 과정에서 우리는 물리학, 기하학, 역학, 생물학, 경제학 분야의 실제 문제의 예를 고려했습니다. 물론 이것은 특정 문제를 해결할 때 설정 값을 찾고 이론적 사실을 확립하기 위해 통합 방법을 사용하는 과학의 전체 목록이 결코 아닙니다.

또한 정적분은 수학 자체를 공부하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 실제 문제를 해결하는 데 없어서는 안 될 기여를 하는 미분 방정식을 풀 때. 정적분은 수학 연구를 위한 일종의 토대라고 말할 수 있습니다. 따라서 문제를 해결하는 방법을 아는 것이 중요합니다.

위의 모든 것에서 학생들이 적분의 개념과 그 속성뿐만 아니라 일부 응용 프로그램도 연구하는 중등 학교의 틀 내에서도 명확한 적분에 대한 지식이 발생하는 이유가 분명합니다.

문학

1. 볼코프 E.A. 수치적 방법. M., 나우카, 1988.

2. Piskunov N.S. 미분 및 적분 미적분. M., 인테그랄-프레스, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. 고등 수학. M., 고등 학교, 1990.