창의성의 잠재력은 일반적으로 인문학에 기인하며 자연 과학 분석, 실용적인 접근 방식 및 공식과 숫자의 건조한 언어를 남깁니다. 수학은 인문과목으로 분류할 수 없습니다. 그러나 "모든 과학의 여왕"에서 창의성이 없으면 멀리 가지 못할 것입니다. 사람들은 오랫동안 이것에 대해 알고 있었습니다. 예를 들어, 피타고라스 시대부터.

불행히도 학교 교과서는 일반적으로 수학에서 정리, 공리 및 공식을 암기하는 것이 중요하다고 설명하지 않습니다. 기본 원리를 이해하고 느끼는 것이 중요합니다. 그리고 동시에 진부한 표현과 기본적인 진리에서 마음을 해방시키십시오. 그러한 조건에서만 모든 위대한 발견이 탄생합니다.

그러한 발견에는 오늘날 우리가 피타고라스 정리로 알고 있는 것이 포함됩니다. 그것의 도움으로 우리는 수학이 할 수 있을 뿐만 아니라 재미있어야 한다는 것을 보여주려고 노력할 것입니다. 그리고 이 모험은 두꺼운 안경을 쓴 괴짜뿐만 아니라 강한 정신력과 강한 정신력을 가진 모든 사람에게 적합합니다.

문제의 역사에서

엄밀히 말하면 이 정리를 "피타고라스 정리"라고 하지만 피타고라스 자신이 발견한 것은 아닙니다. 직각 삼각형과 그 특별한 속성은 훨씬 이전에 연구되었습니다. 이 문제에 대해 두 가지 극적인 관점이 있습니다. 한 버전에 따르면, 피타고라스는 정리의 완전한 증거를 처음으로 발견했습니다. 다른 사람에 따르면, 증명은 피타고라스의 저자에 속하지 않습니다.

오늘은 더 이상 누가 옳고 누가 그른지 확인할 수 없습니다. 피타고라스의 증명이 존재했다면 살아남지 못했다는 것만 알려져 있습니다. 그러나 유클리드의 원소의 유명한 증명이 피타고라스에 속할 수 있다는 제안이 있으며 유클리드가 기록했을 뿐입니다.

직각 삼각형에 대한 문제는 파라오 Amenemhet I 시대의 이집트 자료, 함무라비 왕 통치의 바빌론 점토판, 고대 인도 논문 Sulva Sutra 및 고대 중국 작품 Zhou에서 발견되는 것으로 알려져 있습니다. -비수안진.

보시다시피 피타고라스 정리는 고대부터 수학자들의 마음을 사로 잡았습니다. 오늘날 존재하는 약 367개의 다양한 증거가 확인 역할을 합니다. 이 점에서 다른 어떤 정리도 그것과 경쟁할 수 없습니다. 주목할만한 증거 작성자로는 Leonardo da Vinci와 미국의 20대 대통령 James Garfield가 있습니다. 이 모든 것은 수학에서 이 정리의 극도의 중요성을 말해줍니다. 기하학의 대부분의 정리는 이것에서 파생되거나 어떤 식으로든 그것과 연결됩니다.

피타고라스 정리의 증명

학교 교과서는 대부분 대수적 증명을 제공합니다. 그러나 정리의 본질은 기하학에 있으므로 우선 이 과학을 기반으로 한 유명한 정리의 증명을 살펴보겠습니다.

증거 1

직각 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 가장 간단한 증명을 위해 이상적인 조건을 설정해야 합니다. 삼각형이 직각일 뿐만 아니라 이등변도 되게 하십시오. 고대 수학자들이 원래 생각했던 그런 삼각형이라고 믿을 만한 이유가 있다.

성명 "직각 삼각형의 빗변 위에 만든 정사각형은 다리에 만든 정사각형의 합과 같습니다."다음 그림으로 설명할 수 있습니다.

이등변 삼각형 ABC를 보십시오. 빗변 AC에서 원래 ABC와 동일한 4개의 삼각형으로 구성된 정사각형을 만들 수 있습니다. 그리고 다리 AB와 BC에는 두 개의 유사한 삼각형이 포함 된 정사각형에 세워졌습니다.

그건 그렇고,이 그림은 피타고라스 정리에 전념 한 수많은 일화와 만화의 기초를 형성했습니다. 아마도 가장 유명한 것은 "피타고라스식 바지는 모든 방향에서 평등하다":

증거 2

이 방법은 대수학과 기하학을 결합하고 수학자 Bhaskari의 고대 인도 증명의 변형으로 볼 수 있습니다.

변이 있는 직각 삼각형 만들기 a, b 및 c(그림 1). 그런 다음 두 다리의 길이의 합과 같은 변을 가진 두 개의 정사각형을 만드십시오. (a+b). 각 사각형에서 그림 2와 3과 같이 구성합니다.

첫 번째 사각형에서 그림 1과 같은 삼각형을 4개 만듭니다. 결과적으로 두 개의 사각형이 생성됩니다. 하나는 변이 a이고 다른 하나는 변이 비.

두 번째 정사각형에서는 4개의 유사한 삼각형이 빗변과 같은 변을 가진 정사각형을 형성합니다. 씨.

그림 2에서 구성한 정사각형의 면적의 합은 그림 3에서 변 c로 구성한 정사각형의 면적과 같습니다. 이것은 그림 1에서 사각형의 면적을 계산하여 쉽게 확인할 수 있습니다. 2 공식에 따라. 그리고 그림 3의 내접 정사각형의 면적. 한 변이 있는 큰 정사각형의 면적에서 정사각형에 내접하는 4개의 동일한 직각 삼각형의 면적을 빼서 (a+b).

이 모든 것을 정리하면 다음과 같습니다. a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. 대괄호를 확장하고 필요한 모든 대수 계산을 수행하고 a 2 + b 2 = a 2 + b 2. 동시에, 그림 3에 새겨진 영역. 제곱은 전통적인 공식을 사용하여 계산할 수도 있습니다. S=c2. 저것들. a2+b2=c2피타고라스 정리를 증명했습니다.

증거 3

바로 그 동일한 고대 인도 증거가 12세기 논문 "지식의 왕관"("Siddhanta Shiromani")에 기술되어 있으며, 주요 논거로서 저자는 수학적 재능과 학생 관찰 능력에 대한 호소를 사용합니다. 추종자 : "보세요!".

그러나 우리는 이 증명을 더 자세히 분석할 것입니다:

정사각형 안에 그림과 같이 직각 삼각형 4개를 만드세요. 빗변이기도 한 큰 정사각형의 변은 다음과 같이 표시됩니다. 와 함께. 삼각형의 다리를 부르자 ㅏ그리고 비. 그림에 따르면 내부 사각형의 측면은 (a-b).

정사각형 면적 공식 사용 S=c2외부 사각형의 면적을 계산합니다. 그리고 동시에 내부 정사각형의 면적과 4개의 직각 삼각형의 면적을 더하여 동일한 값을 계산합니다. (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

두 옵션을 모두 사용하여 정사각형의 면적을 계산하여 동일한 결과를 얻을 수 있는지 확인할 수 있습니다. 그리고 그것은 당신에게 그것을 기록할 권리를 줍니다 c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. 솔루션의 결과로 피타고라스 정리의 공식을 얻을 수 있습니다. c2=a2+b2. 정리가 증명되었습니다.

증거 4

이 흥미로운 고대 중국 증거는 "신부 의자"라고 불렸습니다. 모든 구성에서 비롯된 의자와 같은 모양 때문입니다.

두 번째 증명에서 그림 3에서 이미 본 그림을 사용합니다. 그리고 측면 c가 있는 내부 정사각형은 위에 주어진 고대 인도 증명에서와 같은 방식으로 구성됩니다.

그림 1의 그림에서 두 개의 녹색 직각 삼각형을 정신적으로 잘라내어 변 c와 함께 정사각형의 반대쪽으로 이동하고 라일락 삼각형의 빗변에 빗변을 붙이면 "신부 의자"라는 그림이 나옵니다. "(그림 2). 명확성을 위해 종이 정사각형과 삼각형으로도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. "신부 의자"가 두 개의 사각형으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 비그리고 옆으로 큰 ㅏ.

이러한 구조를 통해 고대 중국 수학자와 우리는 다음과 같은 결론에 도달했습니다. c2=a2+b2.

증거 5

이것은 기하학을 기반으로 한 피타고라스 정리에 대한 솔루션을 찾는 또 다른 방법입니다. 가필드 방식이라고 합니다.

직각 삼각형 만들기 알파벳. 우리는 그것을 증명할 필요가 있습니다 BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

이렇게하려면 다리를 계속하십시오. 교류세그먼트를 구축 CD, 이는 다리와 같습니다. AB. 하부 수직 기원 후선분 ED. 세그먼트 ED그리고 교류같다. 점들을 이으세요 이자형그리고 에, 만큼 잘 이자형그리고 에서아래 그림과 같은 그림을 얻으십시오.

타워를 증명하기 위해 우리는 이미 테스트한 방법에 다시 의존합니다. 결과 그림의 면적을 두 가지 방법으로 찾고 표현을 서로 동일시합니다.

다각형의 면적 찾기 침대그것을 형성하는 세 삼각형의 면적을 더하면 됩니다. 그리고 그 중 하나 ERU, 는 직사각형일 뿐만 아니라 이등변이기도 합니다. 그것도 잊지 말자 AB=CD, AC=ED그리고 BC=CE- 이렇게 하면 녹음을 단순화하고 과부하를 방지할 수 있습니다. 그래서, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

동시에 분명한 것은 침대사다리꼴이다. 따라서 다음 공식을 사용하여 면적을 계산합니다. SABED=(DE+AB)*1/2AD. 우리의 계산을 위해 세그먼트를 나타내는 것이 더 편리하고 명확합니다. 기원 후세그먼트의 합으로 교류그리고 CD.

그 사이에 등호를 넣어 그림의 면적을 계산하는 두 가지 방법을 모두 작성해 보겠습니다. AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). 우리는 이미 알고 있고 위에서 설명한 세그먼트의 동등성을 사용하여 표기법의 오른쪽을 단순화합니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. 이제 대괄호를 열고 평등을 변환합니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. 모든 변환을 마치면 필요한 것을 정확히 얻습니다. BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. 우리는 정리를 증명했습니다.

물론 이 증거 목록은 완전하지 않습니다. 피타고라스 정리는 벡터, 복소수, 미분 방정식, 입체 측정법 등을 사용하여 증명할 수도 있습니다. 그리고 물리학자도: 예를 들어 액체가 그림에 표시된 것과 유사한 정사각형 및 삼각형 체적에 부어진다면. 액체를 부어서 결과적으로 면적과 정리 자체의 평등을 증명할 수 있습니다.

피타고라스의 삼중항에 대한 몇 마디

이 문제는 학교 커리큘럼에서 거의 또는 전혀 연구되지 않습니다. 한편, 그것은 매우 흥미롭고 큰 중요성기하학에서. 피타고라스식 트리플은 많은 수학적 문제를 푸는 데 사용됩니다. 그들에 대한 아이디어는 추가 교육에서 당신에게 유용 할 수 있습니다.

그렇다면 피타고라스의 삼중항은 무엇일까요? 3으로 모은 이른바 자연수, 2의 제곱의 합은 3의 제곱과 같습니다.

피타고라스식 트리플은 다음과 같을 수 있습니다.

• 원시(세 숫자 모두 상대적으로 소수임);
• 비원시(삼중의 각 수에 같은 수를 곱하면 기본이 아닌 새로운 삼중을 얻음).

우리 시대 이전에도 고대 이집트인들은 피타고라스식 삼중항 수에 대한 열광에 매료되었습니다. 작업에서 그들은 3.4 및 5 단위의 변이 있는 직각 삼각형을 고려했습니다. 그건 그렇고, 변이 피타고라스 삼중의 숫자와 같은 삼각형은 기본적으로 직사각형입니다.

피타고라스 삼중의 예: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) 등

정리의 실제 적용

피타고라스 정리는 수학뿐만 아니라 건축과 건축, 천문학, 심지어 문학에도 적용됩니다.

건설에 대한 첫 번째 : 피타고라스 정리가 발견합니다. 폭넓은 적용다양한 수준의 복잡성을 가진 작업에서. 예를 들어, 로마네스크 창을 보십시오.

창의 너비를 다음과 같이 표시합시다. 비, 큰 반원의 반지름은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 아르 자형를 통해 표현하고 b: R=b/2. 더 작은 반원의 반지름은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다. b: r=b/4. 이 문제에서 우리는 창의 내부 원의 반지름에 관심이 있습니다. 피).

피타고라스 정리는 계산에 유용합니다. 아르 자형. 이를 위해 그림에서 점선으로 표시된 직각 삼각형을 사용합니다. 삼각형의 빗변은 두 개의 반지름으로 구성됩니다. b/4+p. 한쪽 다리는 반지름 b/4, 또 다른 b/2-p. 피타고라스 정리를 사용하여 다음과 같이 씁니다. (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. 다음으로 괄호를 열고 다음을 얻습니다. b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. 이 표현을 다음과 같이 바꿔보자. bp/2=b 2 /4-bp. 그런 다음 모든 용어를 다음으로 나눕니다. 비, 우리는 비슷한 것을 얻을 3/2*p=b/4. 그리고 결국 우리는 그것을 발견합니다. p=b/6- 우리가 필요했던 것입니다.

정리를 사용하여 박공 지붕의 서까래 길이를 계산할 수 있습니다. 신호가 특정 위치에 도달하기 위해 모바일 타워가 얼마나 높은지 결정하십시오. 소재지. 그리고 안정적으로 설치 크리스마스 트리도시 광장에서. 보시다시피, 이 정리는 교과서 페이지에만 있는 것이 아니라 실생활에서도 종종 유용합니다.

문학에 관한 한, 피타고라스 정리는 고대부터 작가들에게 영감을 주어 오늘날에도 계속되고 있습니다. 예를 들어, 19세기 독일 작가 Adelbert von Chamisso는 그녀에게서 영감을 받아 다음과 같은 소네트를 썼습니다.

진실의 빛은 곧 사라지지 않을 것이며,
그러나 빛을 발한 후에는 소멸되지 않을 것입니다.
그리고 수천 년 전처럼,
의심과 분쟁을 일으키지 않습니다.

눈에 닿을 때가 가장 현명하다
진리의 빛이여, 신들에게 감사하십시오.
그리고 백 마리의 황소가 칼에 찔리고 거짓말을 했습니다.
행운의 피타고라스의 답례품.

그 이후로 황소들은 필사적으로 포효했습니다.
영원히 황소 부족을 깨우다
여기에 언급된 이벤트.

그들은 때가 됐다고 생각한다
그리고 다시 그들은 희생될 것이다
몇 가지 훌륭한 정리.

(Viktor Toporov 번역)

그리고 20세기에 소련 작가 Yevgeny Veltistov는 그의 책 "The Adventures of Electronics"에서 피타고라스 정리의 증명에 대해 전체 장을 할애했습니다. 그리고 피타고라스 정리가 단일 세계의 기본 법칙이자 종교가 된다면 존재할 수 있는 2차원 세계에 대한 이야기의 절반 챕터. 그 안에 사는 것이 훨씬 쉬울 것이지만 훨씬 더 지루합니다. 예를 들어 "둥근"과 "푹신한"이라는 단어의 의미를 이해하는 사람은 아무도 없습니다.

그리고 "전자공학의 모험(The Adventures of Electronics)"이라는 책에서 저자는 수학 교사인 타라타라(Taratara)의 입을 통해 이렇게 말했습니다. 피타고라스 정리를 생성하는 것은 이 창의적인 생각의 비행입니다. 다양한 증거가 있는 것은 헛된 것이 아닙니다. 평소를 뛰어넘어 익숙한 것을 새로운 시각으로 바라보는 데 도움이 됩니다.

결론

이 글은 학교 수학 교과과정을 뛰어넘어 교과서 "기하학 7-9"(L.S. Atanasyan, V.N. 루덴코) 및 "기하학 7-11"에 나오는 피타고라스 정리의 증명뿐만 아니라 배울 수 있도록 작성되었습니다. "(A.V. Pogorelov)뿐만 아니라 유명한 정리를 증명하는 다른 흥미로운 방법도 있습니다. 또한 피타고라스 정리가 일상 생활에 어떻게 적용될 수 있는지에 대한 예를 참조하십시오.

첫째, 이 정보를 사용하면 수학 수업에서 더 높은 점수를 받을 수 있습니다. 추가 출처의 주제에 대한 정보는 항상 높이 평가됩니다.

두 번째로, 우리는 수학이 얼마나 흥미로운지 느낄 수 있도록 돕고 싶었습니다. 확인 구체적인 예창의력의 여지가 항상 있다는 것입니다. 피타고라스 정리와 이 기사가 수학 및 기타 과학에서 자신의 연구와 흥미로운 발견에 영감을 주기를 바랍니다.

기사에 제시된 증거가 흥미롭다면 의견에 알려주십시오. 이 정보가 학업에 도움이 되었습니까? 피타고라스 정리와 이 기사에 대해 어떻게 생각하는지 알려주십시오. 이 모든 것에 대해 기꺼이 논의하겠습니다.

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제곱근과 비합리적인 방정식(근 기호 아래에 미지수를 포함하는 방정식)을 푸는 방법에 대해 처음 배우기 시작했을 때 실제 사용에 대한 첫 번째 아이디어를 얻었을 것입니다. 추출하는 능력 제곱근피타고라스 정리를 적용하여 문제를 해결하는 데도 필요합니다. 이 정리는 직각 삼각형의 변의 길이와 관련이 있습니다.

직각 삼각형의 다리 길이(직각으로 수렴하는 두 변)를 문자 및 로 표시하고 빗변의 길이(직각 반대편에 있는 삼각형의 가장 긴 변)를 표시합니다. 편지로. 그런 다음 해당 길이는 다음 관계에 의해 관련됩니다.

이 방정식을 사용하면 다른 두 변의 길이를 알고 있는 경우 직각 삼각형의 한 변의 길이를 찾을 수 있습니다. 또한 세 변의 길이를 미리 알고 있는 경우 고려되는 삼각형이 직각인지 여부를 결정할 수 있습니다.

피타고라스 정리를 사용하여 문제 풀기

자료를 통합하기 위해 피타고라스 정리를 적용하기 위해 다음 문제를 해결할 것입니다.

그래서 주어진:

1. 다리 중 하나의 길이는 48이고 빗변은 80입니다.
2. 다리의 길이는 84이고 빗변은 91입니다.

해결 방법을 알아보겠습니다.

a) 위의 방정식에 데이터를 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

48 2 + 비 2 = 80 2

2304 + 비 2 = 6400

비 2 = 4096

비= 64 또는 비 = -64

삼각형의 한 변의 길이는 음수로 표현할 수 없으므로 두 번째 옵션은 자동으로 폐기됩니다.

첫 번째 사진에 대한 답변: 비 = 64.

b) 두 번째 삼각형의 다리 길이는 같은 방식으로 구합니다.

84 2 + 비 2 = 91 2

7056 + 비 2 = 8281

비 2 = 1225

비= 35 또는 비 = -35

이전의 경우와 마찬가지로 음수 솔루션은 폐기됩니다.

두 번째 사진에 대한 답변: 비 = 35

우리는 다음과 같이 주어진다:

1. 삼각형의 작은 변의 길이는 각각 45와 55이고 큰 변의 길이는 75입니다.
2. 삼각형의 작은 변의 길이는 각각 28과 45이고 큰 변의 길이는 53입니다.

우리는 문제를 해결합니다:

a) 주어진 삼각형의 작은 변의 길이의 제곱의 합이 큰 변의 길이의 제곱과 같은지 확인할 필요가 있습니다.

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

따라서 첫 번째 삼각형은 직각 삼각형이 아닙니다.

b) 동일한 작업이 수행됩니다.

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

따라서 두 번째 삼각형은 직각 삼각형입니다.

먼저 좌표가 (-2, -3)과 (5, -2)인 점으로 이루어진 가장 큰 선분의 길이를 구합니다. 이를 위해 직교 좌표계에서 점 사이의 거리를 찾는 잘 알려진 공식을 사용합니다.

마찬가지로 좌표가 (-2, -3)과 (2, 1)인 점 사이에 포함된 세그먼트의 길이를 찾습니다.

마지막으로 좌표가 (2, 1)과 (5, -2)인 점 사이의 세그먼트 길이를 결정합니다.

평등이 있기 때문에 :

그러면 해당 삼각형은 직각 삼각형입니다.

따라서 우리는 문제에 대한 답을 공식화할 수 있습니다. 길이가 가장 짧은 변의 제곱의 합은 길이가 가장 긴 변의 제곱과 같기 때문에 점은 직각 삼각형의 꼭짓점입니다.

베이스(엄격하게 수평으로 위치), 잼(엄격하게 수직으로 위치) 및 케이블(대각선으로 늘어남)이 각각 직각 삼각형을 형성하고, 피타고라스 정리를 사용하여 케이블의 길이를 찾을 수 있습니다.

따라서 케이블의 길이는 약 3.6미터가 됩니다.

주어진: 점 R에서 점 P(삼각형의 다리)까지의 거리는 24이고 점 R에서 점 Q(빗변)까지의 거리는 26입니다.

그래서 우리는 Vitya가 문제를 해결하도록 돕습니다. 그림에 표시된 삼각형의 변은 직각 삼각형을 형성해야 하므로 피타고라스 정리를 사용하여 세 번째 변의 길이를 찾을 수 있습니다.

따라서 연못의 너비는 10미터입니다.

세르게이 발레리예비치

1

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이번 학년도에 나는 고대부터 알려진 흥미로운 정리에 대해 알게되었습니다.

"직각 삼각형의 빗변 위에 만든 정사각형은 다리에 만든 정사각형의 합과 같습니다."

일반적으로이 진술의 발견은 고대 그리스 철학자이자 수학자 피타고라스 (기원전 6 세기)에 기인합니다. 그러나 고대 필사본에 대한 연구에 따르면 이 진술은 피타고라스가 탄생하기 오래 전에 알려져 있었습니다.

이 경우 왜 피타고라스라는 이름과 관련이 있는지 궁금했습니다.

주제의 관련성: 피타고라스 정리는 큰 가치: 문자 그대로 모든 단계에서 기하학에서 사용됩니다. 나는 피타고라스의 작품이 여전히 관련이 있다고 믿습니다. 우리가 어디를 보든 현대 생활의 다양한 분야에 구현된 그의 위대한 아이디어의 열매를 볼 수 있기 때문입니다.

내 연구의 목적은 피타고라스가 누구인지, 그리고 그가 이 정리와 어떤 관련이 있는지 알아내는 것이었습니다.

정리의 역사를 연구하면서 나는 다음을 찾기로 결정했습니다.

이 정리의 다른 증거가 있습니까?

사람들의 삶에서 이 정리의 의미는 무엇입니까?

피타고라스는 수학 발전에서 어떤 역할을 했습니까?

피타고라스의 전기에서

사모스의 피타고라스는 위대한 그리스 과학자입니다. 그 명성은 피타고라스 정리의 이름과 관련이 있습니다. 비록 지금 우리는 이 정리가 피타고라스보다 1200년 앞서 고대 바빌론에서 알려져 있었고, 그보다 2000년 앞서 이집트에서 변이 3, 4, 5인 직각 삼각형이 알려졌음을 이미 알고 있지만, 우리는 여전히 이것을 고대 바빌론의 이름으로 부릅니다. 과학자.

피타고라스의 삶에 대해 확실하게 알려진 것은 거의 없지만 그의 이름과 관련된 많은 전설이 있습니다.

피타고라스는 기원전 570년 사모스 섬에서 태어났다.

피타고라스는 아름다운 외모를 가졌습니다. 긴 수염그리고 그의 머리에는 황금 왕관이 있습니다. 피타고라스는 이름이 아니라 그리스의 신탁처럼 항상 정확하고 설득력 있게 말을 해서 철학자가 받은 별명이다. (피타고라스 - "설득력 있는 연설").

기원전 550년, 피타고라스는 결단을 내리고 이집트로 간다. 그래서 피타고라스 앞에 미지의 나라와 미지의 문화가 펼쳐진다. 이 나라에서 매우 놀랍고 놀란 피타고라스는 이집트인의 삶을 약간 관찰한 후, 사제 계급이 보호하는 지식에 이르는 길이 종교를 통해 있다는 것을 깨달았습니다.

이집트에서 11년 동안 공부한 후 피타고라스는 고국으로 가 그곳에서 바빌론 포로로 끌려갑니다. 그곳에서 그는 이집트보다 더 발전된 바빌론 과학을 알게 됩니다. 바빌론 사람들은 선형, 2차 및 일부 유형의 3차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 포로 생활에서 탈출한 그는 그곳을 지배하는 폭력과 폭정의 분위기 때문에 고국에 오래 머물 수 없었습니다. 그는 크로톤(이탈리아 북부의 그리스 식민지)으로 이주하기로 결정했습니다.

피타고라스의 생애에서 가장 영광스러운 시기는 크로톤에서 시작됩니다. 그곳에서 그는 종교적 윤리적 형제애나 비밀 수도원 같은 것을 설립했는데, 그 회원들은 이른바 피타고라스식 생활 방식을 이끌어야 했습니다.

피타고라스와 피타고라스 학파

아펜니노 반도 남쪽에 있는 그리스 식민지에서 조직된 피타고라스는 나중에 피타고라스 연합이라고 부를 수도 있는 수도원과 같은 종교적 윤리적 형제애를 조직했습니다. 노동 조합의 구성원은 특정 원칙을 고수해야했습니다. 첫째, 아름답고 영광스러운 것을 위해 노력하고, 두 번째로 유용하고, 셋째로 높은 즐거움을 위해 노력해야합니다.

피타고라스가 그의 학생들에게 물려준 도덕 및 윤리 규칙의 체계는 고대, 중세 및 르네상스 시대에 매우 유행했던 피타고라스의 "황금 구절"의 일종의 도덕 규범으로 편집되었습니다.

피타고라스식 연구 시스템은 세 부분으로 구성되어 있습니다.

숫자에 대한 가르침 - 산수,

인물에 대한 가르침 - 기하학,

우주의 구조에 대한 가르침 - 천문학.

피타고라스가 세운 교육 시스템은 수세기 동안 지속되었습니다.

피타고라스 학파는 기하학에 과학의 성격을 부여하는 데 많은 기여를 했습니다. 피타고라스 방법의 주요 특징은 기하학과 산술의 조합이었습니다.

피타고라스는 문제를 해결한 것으로 알려져 있기 때문에 비율과 진행, 아마도 그림의 유사성을 많이 다루었습니다. "주어진 두 그림을 기반으로 데이터 중 하나와 크기가 같고 두번째."

피타고라스와 그의 학생들은 다각형, 친수, 완전수의 개념을 소개하고 그 속성을 연구했습니다. 계산의 실천으로서의 산술은 피타고라스에게 관심이 없었고 그는 자랑스럽게 자신이 "산술을 상인의 이익보다 우선시한다"고 선언했습니다.

피타고라스 연합의 구성원은 그리스의 많은 도시에 거주했습니다.

피타고라스 학파는 또한 여성을 사회로 받아들였습니다. 연합은 20년 이상 동안 번영했고, 그 후 회원들에 대한 박해가 시작되었고 많은 학생들이 살해당했습니다.

피타고라스 자신의 죽음에 대한 다양한 전설이 있습니다. 그러나 피타고라스와 그의 제자들의 가르침은 계속해서 살아 남았습니다.

피타고라스 정리 생성의 역사에서

현재 이 정리는 피타고라스에 의해 발견되지 않은 것으로 알려져 있습니다. 그러나 어떤 사람들은 피타고라스가 처음으로 완전한 증거를 제시했다고 믿고 다른 사람들은 그의 장점을 부인합니다. 일부는 유클리드가 그의 원소의 첫 번째 책에서 제공한 증명을 피타고라스에 귀속시킵니다. 반면에 Proclus는 Elements의 증명이 Euclid 자신 때문이라고 주장합니다. 우리가 볼 수 있듯이, 수학의 역사에는 피타고라스의 삶과 그의 수학적 활동에 대한 신뢰할 수 있는 구체적인 데이터가 거의 없습니다.

다음과 같이 피타고라스 정리의 역사적 개요를 시작하겠습니다. 고대 중국. 여기 특별한 주의 Chu-pei의 수학 책에 매료되었습니다. 이 에세이는 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 다음과 같이 말합니다.

"직각을 구성 요소로 분해하면 밑변이 3이고 높이가 4일 때 변의 끝을 연결하는 선이 5가 됩니다."

그들의 건설 방법을 재현하는 것은 매우 쉽습니다. 12m 길이의 로프를 3m 거리에서 유색 스트립을 따라 묶습니다. 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝에서 4m. 3~4m 길이의 변 사이에 직각이 포함됩니다.

힌두교도들 사이의 기하학은 숭배와 밀접하게 연결되어 있었습니다. 빗변 제곱 정리는 기원전 8세기경 인도에서 이미 알려졌을 가능성이 매우 높습니다. 순전히 의례적인 처방과 함께 기하학적으로 신학적인 성격을 지닌 작품들이 있다. 기원전 4세기 또는 5세기로 거슬러 올라가는 이 글에서 우리는 변이 15, 36, 39인 삼각형을 사용하여 직각의 구성을 만납니다.

중세 시대에 피타고라스의 정리는 가능한 한 최대가 아니더라도 최소한 좋은 수학적 지식의 한계를 정의했습니다. 지금은 학생들이 가끔 교수나 남자의 망토를 두른 모자로 바꾸는 피타고라스 정리의 특징적인 그림은 당시 수학의 상징으로 자주 사용되었습니다.

결론적으로, 우리는 그리스어, 라틴어 및 독일어에서 번역된 피타고라스 정리의 다양한 공식을 제시합니다.

유클리드의 정리는 다음과 같습니다.

"직각 삼각형에서 직각에 걸친 변의 제곱은 직각을 둘러싼 변의 제곱과 같습니다."

우리가 볼 수 있듯이 다른 나라언어가 다르면 친숙한 정리의 공식화 버전이 다릅니다. 만든 날짜 다른 시간다른 언어에서는 하나의 수학적 패턴의 본질을 반영하며, 그 증거에도 여러 옵션이 있습니다.

피타고라스 정리를 증명하는 5가지 방법

고대 중국 증거

고대 중국 그림에서 다리 a, b, 빗변 c가 있는 4개의 동일한 직각 삼각형을 쌓아서 외부 윤곽은 변 a + b가 있는 정사각형을 형성하고 내부 윤곽은 변 c와 함께 정사각형을 형성합니다. 빗변

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfield의 증명(1882)

두 개의 동일한 직각 삼각형을 배열하여 그 중 하나의 다리가 다른 다리의 연속이 되도록 합시다.

고려중인 사다리꼴의 면적은 밑변과 높이의 합 절반의 곱으로 발견됩니다

반면에, 사다리꼴의 면적은 얻은 삼각형의 면적의 합과 같습니다.

이러한 표현식을 동일시하면 다음을 얻습니다.

증명은 간단하다

이 증명은 이등변 삼각형의 가장 단순한 경우에서 얻습니다.

아마도 정리는 그와 함께 시작되었습니다.

실제로, 이등변 삼각형의 타일링을 보는 것만으로도 정리가 참임을 알 수 있습니다.

예를 들어 삼각형 ABC의 경우 빗변 AC에 만들어진 사각형에는 4개의 초기 삼각형이 포함되고 다리에 만들어진 사각형에는 2개가 포함됩니다. 정리가 증명되었습니다.

고대 힌두교의 증거

측면(a + b)이 있는 정사각형은 그림과 같이 여러 부분으로 나눌 수 있습니다. 12. a, 또는 그림과 같이. 12b. 두 그림에서 파트 1, 2, 3, 4가 동일한 것이 분명합니다. 그리고 같음(면적)에서 같음을 빼면 같음이 그대로 유지됩니다. c2 = a2 + b2.

유클리드의 증명

2000년 동안 가장 흔한 것은 유클리드가 발명한 피타고라스 정리의 증명이었습니다. 그의 유명한 책 "Beginnings"에 나와 있습니다.

유클리드는 직각의 꼭짓점에서 빗변까지 높이 BH를 낮추고 그 확장이 빗변에 완성된 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나누는 것을 증명했으며, 그 넓이는 다리에 만들어진 해당 정사각형의 넓이와 같습니다.

이 정리의 증명에 사용된 그림은 농담으로 "피타고라스 바지"라고 불립니다. 오랫동안 그는 수학 과학의 상징 중 하나로 여겨졌습니다.

피타고라스 정리의 적용

피타고라스 정리의 중요성은 대부분의 기하학 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 파생될 수 있고 많은 문제가 풀릴 수 있다는 사실에 있습니다. 게다가, 실용적인 가치피타고라스 정리와 그 역 정리는 세그먼트 자체를 측정하지 않고도 세그먼트의 길이를 찾을 수 있다는 것입니다. 이것은 말하자면 직선에서 평면으로, 평면에서 체적 공간 및 그 너머로의 길을 열어줍니다. 이러한 이유로 피타고라스 정리는 더 많은 차원을 발견하고 이러한 차원에서 기술을 창조하고자 하는 인류에게 매우 중요합니다.

결론

피타고라스 정리는 너무 유명해서 들어보지 못한 사람은 상상하기 어렵습니다. 피타고라스 정리를 증명하는 방법에는 여러 가지가 있다는 것을 배웠습니다. 나는 인터넷에 있는 정보를 포함하여 많은 역사적, 수학적 출처를 연구했고 피타고라스 정리가 그 역사뿐만 아니라 생명과 과학에서 중요한 위치를 차지하기 때문에 흥미롭다는 것을 깨달았습니다. 이것은 내가 이 논문에서 제시한 이 정리의 텍스트와 그 증명 방법에 대한 다양한 해석에 의해 입증됩니다.

따라서 피타고라스 정리는 기하학의 주요 정리 중 하나이며 가장 중요한 정리라고 할 수 있습니다. 그것의 중요성은 기하학의 대부분의 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 추론될 수 있다는 사실에 있습니다. 피타고라스의 정리는 그 자체로는 전혀 명백하지 않다는 점에서도 주목할 만합니다. 예를 들어, 이등변 삼각형의 속성은 도면에서 직접 볼 수 있습니다. 그러나 직각 삼각형을 아무리 많이 보아도 변 사이에 간단한 관계가 있다는 것을 결코 볼 수 없을 것입니다. c2 = a2 + b2. 따라서 이를 증명하기 위해 시각화가 자주 사용됩니다. 피타고라스의 장점은 그가 이 정리에 대한 완전한 과학적 증거를 제시했다는 것입니다. 이 정리에 의해 우연히 기억이 보존되지 않는 과학자 자신의 성격이 흥미롭습니다. 피타고라스는 음악과 숫자, 선함과 정의, 지식과 건강한 생활삶. 그는 먼 후손인 우리에게 좋은 본보기가 될 것입니다.

서지 링크

투마노바 S.V. 피타고라스 정리를 증명하는 여러 가지 방법 // 과학에서 시작하십시오. - 2016. - 2호. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44(액세스 날짜: 2019년 2월 21일).

평균 수준

정삼각형. 완전한 그림 가이드(2019)

정삼각형. 첫 번째 레벨.

문제에서 직각은 전혀 필요하지 않습니다. 왼쪽 하단이므로이 형태로 직각 삼각형을 인식하는 방법을 배워야합니다.

그리고 그러한

그리고 그러한

직각 삼각형의 좋은 점은 무엇입니까? 음... 우선, 특별한 아름다운 이름들그의 편을 위해.

도면 주의!

기억하고 혼동하지 마십시오: 다리 - 두 개, 빗변 - 하나만(유일하고 독특하고 긴)!

음, 우리는 이름에 대해 논의했습니다. 이제 가장 중요한 것은 피타고라스 정리입니다.

피타고라스의 정리.

이 정리는 직각 삼각형과 관련된 많은 문제를 푸는 열쇠입니다. 그것은 완전히 태곳적 시대에 피타고라스에 의해 입증되었으며 그 이후로 그것을 아는 사람들에게 많은 이점을 가져다주었습니다. 그리고 그녀의 가장 좋은 점은 그녀가 단순하다는 것입니다.

그래서, 피타고라스의 정리:

"피타고라스 바지는 모든면에서 평등합니다!"라는 농담을 기억합니까?

바로 이 피타고라스식 바지를 그려서 살펴보겠습니다.

정말 반바지 같죠? 글쎄, 어느 쪽과 어디에서 동등합니까? 농담은 왜 그리고 어디에서 왔습니까? 그리고 이 농담은 피타고라스의 정리, 더 정확하게는 피타고라스 자신이 자신의 정리를 공식화한 방식과 정확하게 연결됩니다. 그리고 그는 다음과 같이 공식화했습니다.

"합집합 제곱의 면적, 다리를 기반으로 하는 정사각형 영역빗변에 건설.

조금 다르게 들리지 않습니까? 그래서 피타고라스가 그의 정리의 진술을 그렸을 때, 바로 그러한 그림이 나타났습니다.

이 그림에서 작은 정사각형의 면적의 합은 큰 정사각형의 면적과 같습니다. 그리고 아이들이 다리의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 것을 더 잘 기억할 수 있도록 재치 있는 누군가가 피타고라스식 바지에 관한 이 농담을 발명했습니다.

왜 우리는 지금 피타고라스 정리를 공식화하고 있습니까?

피타고라스는 고통을 겪고 사각형에 대해 이야기 했습니까?

고대에는 ... 대수학이 없었습니다! 징후 등이 없었습니다. 비문이 없었습니다. 가난한 고대 학생들이 단어로 모든 것을 암기하는 것이 얼마나 끔찍했는지 상상할 수 있습니까??! 그리고 우리는 피타고라스 정리의 간단한 공식을 가지고 있어서 기쁠 수 있습니다. 더 잘 기억하기 위해 다시 반복합시다.

이제 쉬워야 합니다.

빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

자, 직각 삼각형에 대한 가장 중요한 정리가 논의되었습니다. 그것이 증명되는 방법에 관심이 있다면 다음 수준의 이론을 읽고 이제 삼각법의 ... 어두운 숲으로 가자! 끔찍한 단어 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트.

직각 삼각형의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트.

사실, 모든 것이 그렇게 무섭지는 않습니다. 물론 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 "실제"정의는 기사에서 살펴봐야 합니다. 하지만 당신은 정말로 원하지 않습니까? 우리는 기뻐할 수 있습니다. 직각 삼각형에 대한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 간단한 사항을 간단히 채울 수 있습니다.

왜 모든 것이 코너에 관한 것입니까? 모퉁이는 어디입니까? 이것을 이해하기 위해서는 문장 1-4가 단어로 어떻게 쓰여지는지를 알아야 합니다. 보고, 이해하고, 기억하십시오!

1.
실제로 다음과 같이 들립니다.

각도는 어떻습니까? 모서리 반대편에 있는 다리, 즉 반대쪽 다리(모서리용)가 있습니까? 물론 가지고! 이것은 카테터입니다!

그러나 각도는 어떻습니까? 잘 봐봐. 어느 다리가 모서리에 인접합니까? 물론, 고양이. 따라서 각도에 대해 다리가 인접하고

그리고 지금, 주목! 우리가 무엇을 얻었는지 보십시오:

얼마나 대단한지 보십시오:

이제 탄젠트와 코탄젠트에 대해 알아보겠습니다.

이제 그것을 어떻게 말로 표현할까요? 모서리와 관련하여 다리는 무엇입니까? 물론 반대편에 있습니다. 모퉁이 반대편에 "거짓말"입니다. 그리고 카테터? 모퉁이에 인접해 있습니다. 그래서 우리는 무엇을 얻었습니까?

분자와 분모가 어떻게 바뀌는지 보이시나요?

그리고 이제 다시 모서리와 교환을 만들었습니다.

요약

배운 내용을 간단하게 적어봅시다.

피타고라스의 정리:

주요 직각 삼각형 정리는 피타고라스 정리입니다.

피타고라스의 정리

그건 그렇고, 다리와 빗변이 무엇인지 잘 기억하십니까? 그렇지 않은 경우 그림을보고 지식을 새로 고칩니다.

이미 피타고라스 정리를 여러 번 사용했지만 그러한 정리가 왜 사실인지 궁금해 한 적이 있을 수 있습니다. 어떻게 증명하시겠습니까? 고대 그리스처럼 합시다. 면이 있는 정사각형을 그려봅시다.

우리가 얼마나 교활하게 측면을 길이의 부분으로 나누었는지 알 수 있습니다!

이제 표시된 점을 연결해 보겠습니다.

그러나 여기에서 우리는 다른 것을 언급했지만, 당신은 스스로 그림을 보고 그 이유에 대해 생각합니다.

더 큰 정사각형의 면적은 얼마입니까? 정확히, . 더 작은 지역은 어떻습니까? 물론, . 네 모서리의 전체 면적이 남습니다. 우리가 그들 중 두 개를 가지고 빗변으로 서로 기대고 있다고 상상해보십시오. 무슨 일이에요? 두 개의 직사각형. 따라서 "절단"의 면적은 동일합니다.

이제 모두 함께 넣어 봅시다.

변환해 보겠습니다.

그래서 우리는 피타고라스를 방문했습니다. 우리는 고대 방식으로 그의 정리를 증명했습니다.

직각 삼각형과 삼각법

직각 삼각형의 경우 다음 관계가 성립합니다.

예각의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율과 같습니다.

예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율과 같습니다.

그리고 다시 한 번,이 모든 것이 접시 형태입니다.

그것은 매우 편안합니다!

직각 삼각형의 평등 표시

I. 두 다리로

Ⅱ. 다리와 빗변으로

III. 빗변과 예각으로

IV. 다리와 예각을 따라

ㅏ)

비)

주목! 여기서 다리가 "대응"하는 것이 매우 중요합니다. 예를 들어 다음과 같이 진행되는 경우:

그러면 삼각형이 같지 않습니다., 그들은 하나의 동일한 예각을 가지고 있음에도 불구하고.

필요하다 두 삼각형 모두에서 다리가 인접하거나 둘 다 - 반대.

직각 삼각형의 평등 기호가 삼각형의 평등 기호와 어떻게 다른지 눈치 채셨습니까? "주제를보고 "일반"삼각형의 평등을 위해서는 세 가지 요소의 평등이 필요하다는 사실에주의하십시오. 두 변과 그 사이의 각, 두 각과 그 사이의 변 또는 세 변. 그러나 직각 삼각형의 평등을 위해서는 두 개의 해당 요소 만 있으면 충분합니다. 대단해, 그렇지?

직각 삼각형의 유사성의 징후가있는 거의 동일한 상황.

직각 삼각형의 유사성 징후

I. 급성 코너

Ⅱ. 두 다리에

III. 다리와 빗변으로

직각 삼각형의 중앙값

왜 그래야만하지?

직각 삼각형 대신 전체 직사각형을 고려하십시오.

대각선을 그리고 대각선의 교차점인 점을 고려합시다. 직사각형의 대각선에 대해 무엇을 알고 있습니까?

그리고 이것으로부터 무엇이 뒤따릅니까?

그래서 일이 벌어졌다

1. - 중앙값:

이 사실을 기억하십시오! 많은 도움이 됩니다!

더욱 놀라운 것은 그 반대도 사실이라는 것입니다.

빗변에 그려진 중앙값이 빗변의 절반과 같다는 사실에서 무슨 소용을 얻을 수 있습니까? 사진을 봅시다

잘 봐봐. 우리는 다음을 가지고 있습니다. 즉, 점에서 삼각형의 세 꼭지점까지의 거리는 동일한 것으로 판명되었습니다. 그러나 삼각형에는 삼각형의 세 꼭짓점에 대한 거리가 모두 같은 하나의 점이 있으며 이것이 설명된 원의 중심입니다. 무슨 일이 있었나요?

"게다가..."부터 시작하겠습니다.

나부터 봅시다.

그러나 비슷한 삼각형에서는 모든 각도가 같습니다!

에 대해서도 마찬가지라고 할 수 있습니다.

이제 함께 그려 봅시다.

이 "삼중" 유사성에서 어떤 용도를 이끌어낼 수 있습니까?

글쎄, 예를 들어 - 직각 삼각형의 높이에 대한 두 가지 공식.

우리는 해당 당사자의 관계를 씁니다.

높이를 찾기 위해 비율을 풀고 다음을 얻습니다. 첫 번째 공식 "직각 삼각형의 높이":

유사도를 적용해 보겠습니다.

이제 어떻게 될까요?

다시 우리는 비율을 풀고 두 번째 공식을 얻습니다.

이 두 공식 모두 잘 기억해야 하고 적용하기 더 편리한 공식이 필요합니다. 다시 적어 봅시다.

피타고라스의 정리:

직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

직각 삼각형의 평등 표시 :

• 두 다리에:
• 다리와 빗변을 따라: 또는
• 다리와 인접한 예각을 따라: 또는
• 다리와 반대 예각을 따라: 또는
• 빗변과 예각으로: 또는.

직각 삼각형의 유사성 징후 :

• 날카로운 모서리 하나: 또는
• 두 다리의 비례로부터:
• 다리와 빗변의 비례에서 : 또는.

사인, 코사인, 탄젠트, 직각 삼각형의 코탄젠트

• 직각 삼각형의 예각의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다.
• 직각 삼각형의 예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.
• 직각 삼각형의 예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.
• 직각 삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.

직각 삼각형의 높이: 또는.

직각 삼각형에서 직각의 꼭짓점에서 그린 중앙값은 빗변의 절반과 같습니다.

직각 삼각형의 면적:

• 카테터를 통해:

피타고라스 정리의 애니메이션 증명은 다음 중 하나입니다. 근본적인직각 삼각형의 변 사이의 관계를 설정하는 유클리드 기하학의 정리. 그것은 그리스 수학자 피타고라스에 의해 증명되었다고 믿어지며, 그 이름을 따서 명명되었습니다 (다른 버전이 있습니다. 특히이 정리가 일반보기피타고라스의 수학자 히파수스가 공식화했습니다.
정리는 다음과 같이 말합니다.

직각 삼각형에서 빗변에 지어진 정사각형의 면적은 다리에 지어진 정사각형의 면적의 합과 같습니다.

삼각형의 빗변의 길이를 나타냅니다. 씨,그리고 다리의 길이는 ㅏ그리고 비,우리는 다음 공식을 얻습니다.

따라서 피타고라스 정리는 다른 두 개의 길이를 알고 있는 직각 삼각형의 한 변을 결정할 수 있는 관계를 설정합니다. 피타고라스 정리는 임의의 삼각형의 변 사이의 관계를 결정하는 코사인 정리의 특별한 경우입니다.
반대 진술도 증명됩니다(역 피타고라스 정리라고도 함).

세 개의 양수, b 및 c에 대해 a ? +b? = c ?, 다리 a와 b, 빗변 c가 있는 직각 삼각형이 있습니다.

Chu Pei 500-200 BC의 삼각형 (3, 4, 5)에 대한 시각적 증거. 정리의 역사는 피타고라스 수에 대한 지식, 직각 삼각형의 변의 비율에 대한 지식, 비율에 대한 지식의 네 부분으로 나눌 수 있습니다. 인접한 모서리그리고 정리의 증명.
기원전 2500년경의 거석 구조물 이집트와 북유럽에서는 변이 정수인 직각 삼각형을 포함합니다. Barthel Leendert van der Waerden은 그 당시에 피타고라스 숫자가 대수적으로 발견되었다고 추측했습니다.
기원전 2000년에서 1876년 사이에 작성 이집트 중왕국의 파피루스 베를린 6619솔루션이 피타고라스 수인 문제를 포함합니다.
함무라비 대왕 시대에 비빌로니아 서판 플림턴 322,기원전 1790년에서 1750년 사이에 쓰여진 이 문서에는 피타고라스 수와 밀접하게 관련된 많은 항목이 포함되어 있습니다.
Budhayana 경전에는 다양한 버전에 따라 기원전 8세기 또는 2세기로 기록되어 있습니다. 인도에서 대수적으로 파생된 피타고라스 수, 피타고라스 정리의 공식화, 이등변 삼각형에 대한 기하학적 증명이 포함되어 있습니다.
Apastamba의 경전(BC 600년경)에는 면적 계산을 사용한 피타고라스 정리의 수치적 증명이 포함되어 있습니다. Van der Waerden은 그것이 전임자들의 전통을 기반으로 했다고 믿습니다. Albert Burko에 따르면 이것이 정리의 원본 증거이며 그는 피타고라스가 아라코니를 방문하여 복사했다고 제안합니다.
피타고라스의 수명은 일반적으로 기원전 569-475년으로 표시됩니다. 용도 대수적 방법유클리드에 대한 Proklov의 의견에 따른 피타고라스 수의 계산. 그러나 Proclus는 410년에서 485년 사이에 살았습니다. Thomas Giese에 따르면, 피타고라스 이후 5세기 동안 정리의 저자라는 표시는 없습니다. 그러나 Plutarch 또는 Cicero와 같은 저자가 정리를 피타고라스에 귀속시킬 때 그들은 저자가 널리 알려져 있고 확실한 것처럼 그렇게 합니다.
기원전 400년경 Proclus에 따르면 Plato는 대수와 기하학을 결합하여 피타고라스 수를 계산하는 방법을 제공했습니다. 기원전 300년경, 시작유클리드, 우리는 오늘날까지 살아남은 가장 오래된 공리 증명을 가지고 있습니다.
기원전 500년 사이에 기록됨 그리고 기원전 200년, 중국 수학 책 "추페이"(? ? ? ?)는 변이 있는 삼각형(3 , 4, 5). 기원전 202년 한나라 시대. 서기 220년 이전 피타고라스 수는 직각 삼각형에 대한 언급과 함께 "수학 예술의 9개 섹션"이라는 책에 나타납니다.
정리의 사용은 구구 정리(????)로 알려진 중국과 Baskar의 정리로 알려진 인도에서 처음으로 문서화되었습니다.
많은 사람들이 피타고라스 정리가 한 번 발견되었는지 아니면 반복해서 발견되었는지에 대해 논쟁하고 있습니다. Boyer(1991)는 슐바경에서 발견된 지식이 메소포타미아 기원일 수 있다고 믿습니다.
대수 증명
정사각형은 네 개의 직각 삼각형으로 구성됩니다. 피타고라스 정리의 증명은 100가지가 넘습니다. 여기서 증거는 그림 영역에 대한 존재 정리를 기반으로 합니다.

그림과 같이 네 개의 동일한 직각 삼각형을 놓습니다.
측면이 있는 사각형 씨두 예각의 합이 이고 곧은 각이 이므로 는 정사각형입니다.
전체 그림의 면적은 한편으로 "a + b"변이있는 정사각형의 면적과 같고 다른 한편으로는 4 개의 삼각형과 내부 정사각형의 면적의 합과 같습니다 .

입증해야 할 사항입니다.
삼각형의 유사성으로
유사한 삼각형의 사용. 허락하다 알파벳각이 이루는 직각삼각형이다. 씨그림과 같이 똑바로. 한 점에서 높이를 그리자 씨,그리고 전화 시간측면과의 교차점 AB.삼각형 형성 ACH삼각형처럼 알파벳,둘 다 직사각형(높이 정의에 따라)이고 각도를 공유하기 때문에 ㅏ,분명히 세 번째 각은 이 삼각형에서도 동일할 것입니다. 마찬가지로 mirkuyuyuchy, 삼각형 CBH삼각형도 비슷 알파벳.삼각형의 유사성에서: 만약

이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 두 등식을 더하면

HB + c 곱하기 AH = c 곱하기 (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

즉, 피타고라스 정리는 다음과 같습니다.

유클리드의 증명
유클리드 "원리"에서 유클리드의 증명, 평행 사변형의 방법으로 증명된 피타고라스 정리. 허락하다 A, B, C직각 삼각형의 꼭짓점, 직각 ㅏ.점에서 수직으로 떨어뜨리기 ㅏ빗변 위에 지어진 정사각형의 빗변 반대편으로. 선은 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나눕니다. 각 직사각형은 다리에 만들어진 정사각형과 동일한 면적을 갖습니다. 증명의 주요 아이디어는 위쪽 정사각형이 같은 면적의 평행사변형으로 바뀌고, 다시 돌아가서 아래쪽 정사각형에서 직사각형으로 바뀌고 같은 면적으로 다시 바뀌는 것입니다.

세그먼트를 그리자 CF그리고 기원 후,우리는 삼각형을 얻는다 BCF그리고 BDA.
모서리 택시그리고 가방- 똑바로; 포인트들 씨, 에이그리고 G동일선상에 있다. 같은 길 나, 아그리고 시간.
모서리 도심그리고 FBA- 둘 다 직선이고 각도 ABD각도와 동일 fbc,둘 다 직각과 각의 합이기 때문에 알파벳.
삼각형 ABD그리고 FBC양쪽의 수평과 그 사이의 각도.
점 때문에 에이, 케이그리고 엘– 동일선상에 있는 직사각형 BDLK의 면적은 삼각형의 두 면적과 같습니다. ABD(BDLK) = 가방 = AB2)
유사하게, 우리는 클클 = ACIH = 교류 2
한켠에는 CBDE직사각형의 넓이의 합과 같다 BDLK그리고 클,한편, 광장의 면적 BC2,또는 AB 2 + 교류 2 = 기원전 2.

차동 사용
차동 장치의 사용. 피타고라스 정리는 오른쪽 그림과 같이 한 변의 증가가 빗변의 길이에 미치는 영향을 연구하고 약간의 계산을 적용하면 도달할 수 있습니다.
측면의 성장으로 인해 ㅏ,극소 증분에 대한 유사한 삼각형에서

우리가 얻는 통합

만약 ㅏ= 0 그러면 씨 = 비,그래서 "상수"는 나 2.그 다음에

알 수 있는 바와 같이, 제곱은 증분과 변 사이의 비율로 인한 것이고 합은 기하학적 증거에서 분명하지 않은 변 증분의 독립적 기여의 결과입니다. 이 방정식에서 다그리고 직류는 각각 변의 극소 증분입니다. ㅏ그리고 씨.그러나 그들 대신 우리가 사용합니까? ㅏ그리고? 씨, 0 경향이 있는 경우 비율의 한계는 다 / 직류,파생 상품이며 또한 같음 씨 / ㅏ,삼각형의 변의 길이의 비율, 결과적으로 우리는 미분 방정식을 얻습니다.
벡터의 직교 시스템의 경우 피타고라스 정리라고도 하는 평등이 발생합니다.

만약 - 이것이 좌표축에 대한 벡터의 투영인 경우, 이 공식은 유클리드 거리와 일치하며 벡터의 길이가 구성요소의 제곱합의 제곱근과 같다는 것을 의미합니다.
무한 벡터 시스템의 경우 이 평등의 유사물을 Parseval의 평등이라고 합니다.