1개의 인접한 수직 모서리. 인접한 모서리

코너 소개

두 개의 임의의 광선이 주어집니다. 서로의 위에 올려 보겠습니다. 그 다음에

정의 1

각도는 동일한 원점을 갖는 두 광선에 부여된 이름입니다.

정의 2

정의 3의 프레임워크 내에서 광선의 시작점인 점을 이 각도의 정점이라고 합니다.

각도는 정점, 광선 중 하나의 점 및 다른 광선의 점의 세 점으로 표시되며 각도의 정점은 지정 중간에 작성됩니다(그림 1).

이제 각도 값이 무엇인지 정의해 보겠습니다.

이렇게하려면 일종의 "기준"각도를 선택해야하며이를 단위로 사용합니다. 대부분의 경우 이러한 각도는 직선 각의 일부의 $\frac(1)(180)$와 같은 각도입니다. 이 값을 학위라고 합니다. 이러한 각도를 선택한 후 각도를 비교하고 그 값을 찾아야합니다.

모서리에는 4가지 유형이 있습니다.

정의 3

각이 $90^0$보다 작으면 예각이라고 합니다.

정의 4

$90^0$보다 큰 각도를 둔각이라고 합니다.

정의 5

$180^0$와 같으면 각을 직선이라고 합니다.

정의 6

$90^0$와 같으면 각을 직각이라고 합니다.

위에서 설명한 이러한 유형의 각도 외에도 서로에 대한 각도 유형, 즉 수직 및 인접 각도를 구별하는 것이 가능합니다.

인접한 모서리

직선 각 $COB$를 고려하십시오. 정점에서 $OA$ 광선을 그립니다. 이 광선은 원본을 두 각도로 나눕니다. 그 다음에

정의 7

한 쌍의 변이 직선이고 다른 쌍이 일치하는 경우 두 각을 인접이라고 합니다(그림 2).

에 이 경우각 $COA$ 및 $BOA$는 인접합니다.

정리 1

인접한 각의 합은 $180^0$입니다.

증거.

그림 2를 고려하십시오.

정의 7에 따르면 $COB$의 각도는 $180^0$와 같습니다. 인접한 각의 두 번째 측면 쌍이 일치하므로 $OA$ 광선은 직선 각도를 2로 나눕니다.

$∠COA+∠BOA=180^0$

정리가 증명되었습니다.

이 개념을 사용하여 문제의 솔루션을 고려하십시오.

실시예 1

아래 그림에서 각도 $C$를 찾으십시오.

정의 7에 의해 각 $BDA$와 $ADC$가 인접해 있음을 알 수 있습니다. 따라서 정리 1에 의해 우리는

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

삼각형의 각의 합에 대한 정리에 의해, 우리는

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

답: $40^0$.

수직각

전개각 $AOB$ 및 $MOC$를 고려하십시오. 이 각의 변이 일치하지 않도록 정점을 서로 일치시키십시오(즉, 점 $O"$를 점 $O$에 놓음). 그런 다음

정의 8

한 쌍의 변이 직선이고 값이 같으면 두 각을 수직이라고 합니다(그림 3).

이 경우 각 $MOA$ 및 $BOC$는 수직이고 각 $MOB$ 및 $AOC$도 수직입니다.

정리 2

수직 각도는 서로 같습니다.

증거.

그림 3을 고려하십시오. 예를 들어 각 $MOA$가 각 $BOC$와 같다는 것을 증명해 봅시다.

두 각이 한 변이 공통이고 이 각의 다른 변이 보광선이면 두 각을 인접이라고 합니다. 그림 20에서 각 AOB와 BOC는 인접합니다.

인접한 각의 합은 180°입니다.

정리 1. 인접한 각의 합은 180°입니다.

증거. OB 빔(그림 1 참조)은 전개각의 측면 사이를 통과합니다. 그렇기 때문에 ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

정리 1에서 두 각이 같으면 두 각에 인접한 각도 같습니다.

수직각은 같다

한 각의 변이 다른 변의 보색인 경우 두 각을 수직이라고 합니다. 두 직선의 교차점에서 형성된 각 AOB와 COD, BOD와 AOC는 수직이다(Fig. 2).

정리 2. 수직각은 같다.

증거. 고려하다 수직각 AOB 및 COD(그림 2 참조). 각도 BOD는 각 AOB 및 COD에 인접합니다. 정리 1에 의해 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

따라서 우리는 ∠ AOB = ∠ COD라고 결론지었습니다.

결론 1. 직각에 인접한 각은 직각입니다.

교차하는 두 직선 AC와 BD를 고려하십시오(그림 3). 그들은 네 모서리를 형성합니다. 그 중 하나가 직각이면(그림 3의 각 1), 다른 각도 직각입니다(각 1과 2, 1과 4는 인접하고, 각 1과 3은 수직임). 이 경우 이러한 선을 직각으로 교차한다고 하며 수직(또는 상호 수직)이라고 합니다. 선 AC 및 BD의 직각도는 AC ⊥ BD로 표시됩니다.

선분의 수직 이등분선은 이 선분에 수직이고 중간점을 통과하는 선입니다.

AN - 선에 수직

선 a와 그 위에 있지 않은 점 A를 고려하십시오(그림 4). 선분으로 점 A를 직선 a로 점 H에 연결합니다. 선분 AH는 선 AN과 선 a가 수직인 경우 점 A에서 선 a까지 그린 수직선이라고 합니다. 점 H를 수직선의 밑이라고 합니다.

사각형 그리기

다음 정리는 참입니다.

정리 3. 선 위에 있지 않은 점에서 이 선에 수직인 점을 그릴 수 있으며 또한 하나만 그릴 수 있습니다.

도면에서 한 점에서 직선까지의 수직선을 그리기 위해 사각형 그리기가 사용됩니다(그림 5).

논평. 정리의 진술은 일반적으로 두 부분으로 구성됩니다. 한 부분은 주어진 것에 대해 이야기합니다. 이 부분을 정리의 조건이라고 합니다. 다른 부분에서는 입증해야 할 사항에 대해 설명합니다. 이 부분을 정리의 결론이라고 합니다. 예를 들어, 정리 2의 조건은 수직각입니다. 결론 - 이 각도는 동일합니다.

모든 정리는 조건이 "만약"이라는 단어로 시작하고 결론이 "그때"라는 단어로 끝나도록 단어로 자세히 표현할 수 있습니다. 예를 들어 정리 2는 "두 각이 수직이면 동일합니다."와 같이 자세히 설명할 수 있습니다.

실시예 1인접한 각 중 하나는 44°입니다. 다른 것은 무엇과 같습니까?

해결책. 정리 1에 따라 다른 각도의 정도를 x로 표시합니다.
44° + x = 180°.
결과 방정식을 풀면 x \u003d 136 °임을 알 수 있습니다. 따라서 다른 각도는 136°입니다.

실시예 2그림 21의 COD 각도를 45°로 설정합니다. 각도 AOB와 AOC는 무엇입니까?

해결책. 각도 COD와 AOB는 수직이므로 정리 1.2에 따르면 두 각도는 동일합니다. 즉, ∠ AOB = 45°입니다. 각도 AOC는 각도 COD에 인접하므로 정리 1에 의해 수행됩니다.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

실시예 3그 중 하나가 다른 각의 3배이면 인접한 각을 찾으십시오.

해결책. 작은 각도의 정도를 x로 표시합니다. 그러면 더 큰 각도의 각도 측정값은 Zx가 됩니다. 인접한 각의 합이 180°(정리 1)이므로 x + 3x = 180°, x = 45°입니다.
따라서 인접한 각은 45°와 135°입니다.

실시예 4두 수직각의 합은 100°입니다. 네 각의 각각의 값을 찾으십시오.

해결책. 그림 2가 문제의 조건에 해당한다고 가정합니다.AOB에 대한 수직각 COD는 동일하며(정리 2), 이는 해당 정도 측정도 동일함을 의미합니다. 따라서 ∠ COD = ∠ AOB = 50°(그들의 합은 조건에 따라 100°임). 각도 BOD(각도 AOC)는 각도 COD에 인접하므로 정리 1에 의해
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

한 변이 공통이고 다른 변이 같은 직선 위에 있는 각입니다(그림에서 각 1과 2는 인접함). 쌀. 예술에. 인접한 모서리 … 위대한 소비에트 백과사전

인접 코너- 한 꼭짓점과 한 변이 공통이고 다른 두 변이 같은 직선 위에 있는 각 ... 그레이트 폴리테크닉 백과사전

각도 참조... 큰 백과사전

인접 각, 합이 180°인 두 각. 이 각 모서리는 서로를 완전한 각도로 보완합니다... 과학 및 기술 백과사전

각도를 참조하십시오. * * * 인접 코너 인접 코너, 코너 참조(코너 참조) … 백과사전

- (인접한 각) 공통 꼭짓점과 공통면이 있는 것. 대부분이 이름은 S. 각도를 의미하며 다른 두 변은 꼭지점을 통해 그린 하나의 직선의 반대 방향에 있습니다 ... 백과사전 F.A. 브로크하우스와 I.A. 에프론

각도 참조... 자연 과학. 백과사전

두 선이 교차하여 한 쌍의 수직 각을 만듭니다. 한 쌍은 각도 A와 B, 다른 하나는 C와 D로 구성됩니다. 기하학에서 두 각도가 두 개의 교차점에 의해 생성되면 두 각도를 수직이라고합니다 ... Wikipedia

최대 90도까지 서로를 보완하는 한 쌍의 보각 각도는 최대 90도까지 서로를 보완하는 한 쌍의 각입니다. 두 개의 보각이 인접하는 경우(즉, 공통 꼭짓점이 있고 분리되어 있는 경우에만 ... ... Wikipedia

최대 90도까지 서로를 보완하는 한 쌍의 보각 보각은 최대 90도까지 서로를 보완하는 한 쌍의 각입니다. 두 개의 추가 각이 c 인 경우 ... Wikipedia

서적

• Proof in Geometry, Fetisov A.I. 이 책은 주문형 인쇄 기술을 사용하여 주문에 따라 생산됩니다. 한번은 학년 초에 우연히 두 여학생의 대화를 우연히 듣게 되었습니다. 가장 오래된…
• 지식 관리를 위한 포괄적인 노트북입니다. 기하학. 7 학년. 연방 주 교육 표준, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. 매뉴얼은 7학년 학생들의 지식에 대한 현재, 주제 및 최종 품질 관리를 수행하기 위한 기하학의 제어 및 측정 재료(KMI)를 제공합니다. 가이드의 내용은…

질문 1.어떤 각도를 인접이라고합니까?
대답.두 각의 한 변이 공통이고 이 각의 다른 변이 상보적인 반선인 경우 인접 각이라고 합니다.
그림 31에서 모서리(a 1 b)와 (a 2 b)는 인접합니다. 그들은 공통 측면 b를 가지고 있으며 측면 a 1과 a 2는 추가 하프 라인입니다.

질문 2.인접한 각의 합이 180°임을 증명하십시오.
대답. 정리 2.1.인접한 각의 합은 180°입니다.
증거.각(a 1 b)과 각(a 2 b)에 인접한 각이 주어집니다(그림 31 참조). 빔 b는 전개각의 측면 a 1과 a 2 사이를 통과합니다. 따라서 각도 (a 1 b)와 (a 2 b)의 합은 전개각, 즉 180 °와 같습니다. Q.E.D.

질문 3.두 각이 같으면 두 각에 인접한 각도 같다는 것을 증명하십시오.
대답.

정리에서 2.1 두 각이 같으면 두 각에 인접한 각도 같습니다.
각 (a 1 b)와 (c 1 d)가 같다고 합시다. 각 (a 2 b)와 (c 2 d)도 동일함을 증명해야 합니다.
인접한 각의 합은 180°입니다. 이것으로부터 a 1 b + a 2 b = 180° 및 c 1 d + c 2 d = 180°가 나옵니다. 따라서 a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b 및 c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. 각도 (a 1 b)와 (c 1 d)가 같기 때문에 a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d를 얻습니다. 등호의 전이 특성에 의해 a 2 b = c 2 d가 됩니다. Q.E.D.

질문 4.직각(예각, 둔각)이라고 하는 각도는 무엇입니까?
대답. 90°와 같은 각을 직각이라고 합니다.
90°보다 작은 각을 예각이라고 합니다.
90°보다 크고 180°보다 작은 각을 둔각이라고 합니다.

질문 5.직각에 인접한 각이 직각임을 증명하십시오.
대답.인접한 각의 합에 대한 정리에서 직각에 인접한 각은 직각입니다. x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

질문 6.수직 각은 무엇입니까?
대답.한 각의 변이 다른 변의 보완적인 반선인 경우 두 각을 수직이라고 합니다.

질문 7.수직각이 같다는 것을 증명하라.
대답. 정리 2.2. 수직 각도는 동일합니다.
증거.(a 1 b 1) 및 (a 2 b 2)에 수직 각도가 주어집니다(그림 34). 모서리(a 1 b 2)는 모서리(a 1 b 1) 및 모서리(a 2 b 2)에 인접합니다. 여기에서 인접한 각도의 합에 대한 정리에 의해 각 각도 (a 1 b 1) 및 (a 2 b 2)가 최대 180 °까지 각도 (a 1 b 2)를 보완한다는 결론을 내립니다. 즉. 각 (a 1 b 1)과 (a 2 b 2)는 같습니다. Q.E.D.

질문 8.두 직선의 교점에서 각 중 하나가 직각이면 다른 세 각도 직각임을 증명하십시오.
대답.선 AB와 CD가 점 O에서 교차한다고 가정합니다. 각도 AOD가 90°라고 가정합니다. 인접한 각의 합이 180°이므로 AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°가 됩니다. COB 각도는 AOD 각도에 수직이므로 동일합니다. 즉, 각도 COB = 90°입니다. COA는 BOD에 수직이므로 동일합니다. 즉, 각도 BOD = 90°입니다. 따라서 모든 각도는 90 °와 같습니다. 즉, 모두 맞습니다. Q.E.D.

질문 9.어떤 선을 수직이라고합니까? 선의 직각도를 나타내는 기호는 무엇입니까?
대답.두 직선이 직각으로 교차하면 수직선이라고 합니다.
선의 직각도는 \(\perp\)로 표시됩니다. \(a\perp b\) 항목은 "라인 a는 라인 b에 수직입니다"입니다.

질문 10.선의 임의의 점을 통해 그것에 수직인 선을 그릴 수 있음을 증명하십시오.
대답. 정리 2.3.각 선을 통해 그것에 수직인 선을 하나밖에 그릴 수 없습니다.
증거.주어진 선을 A라고 하고 그 위의 주어진 점을 A라고 하자. 시작점 A가 있는 직선 a로 반선 중 하나를 1로 표시합니다(그림 38). 하프 라인 a 1에서 90 °와 같은 각도 (a 1 b 1)를 따로 설정하십시오. 그러면 광선 b 1 을 포함하는 선이 선 a에 수직이 됩니다.

점 A를 지나고 그 선에 수직인 다른 선이 있다고 가정합니다. 광선 b 1 과 같은 반평면에 있는 이 선의 반선을 c 1 로 표시합니다.
각 (a 1 b 1) 및 (a 1 c 1)은 각각 90°이며 반선 a 1 에서 한 반평면에 배치됩니다. 그러나 반선 a 1에서 이 반평면에는 90°와 같은 한 각도만 따로 둘 수 있습니다. 따라서 점 A를 지나고 직선에 수직인 다른 직선은 존재할 수 없습니다. 정리가 증명되었습니다.

질문 11.선에 수직인 것은 무엇입니까?
대답.주어진 선에 수직인 선분은 주어진 선에 수직이며 끝 중 하나가 교차점에 있습니다. 세그먼트의 이 끝을 호출합니다. 기초수직.

질문 12.모순에 의한 증명이 무엇인지 설명하시오.
대답.정리 2.3에서 사용한 증명 방법을 모순 증명이라고 합니다. 이러한 증명 방식은 먼저 정리에 의해 명시된 것과 반대되는 가정을 하는 것으로 구성됩니다. 그런 다음 추론하고 공리와 입증된 정리에 의존하여 정리의 조건, 공리 중 하나 또는 이전에 입증된 정리와 모순되는 결론에 도달합니다. 이를 바탕으로 우리는 우리의 가정이 틀렸다는 결론을 내립니다. 이는 정리의 주장이 참임을 의미합니다.

질문 13.각 이등분선이란 무엇입니까?
대답.각의 이등분선은 각의 꼭짓점에서 나오는 광선으로, 그 변 사이를 지나 각을 반으로 나눕니다.

이 수업에서 우리는 인접한 각의 개념을 스스로 고려하고 이해할 것입니다. 그들과 관련된 정리를 고려하십시오. "수직각"의 개념을 소개하겠습니다. 이러한 각도에 대한 지원 사실을 고려하십시오. 다음으로 수직각의 이등분선 사이의 각에 대한 두 가지 추론을 공식화하고 증명합니다. 수업이 끝나면 이 주제와 관련된 몇 가지 문제를 고려할 것입니다.

"인접한 모서리"의 개념으로 수업을 시작하겠습니다. 그림 1은 전개각 ∠AOC와 이 각을 2개의 각으로 나누는 광선 OB를 보여줍니다.

쌀. 1. 각도 ∠AOC

각 ∠AOB와 ∠BOC를 고려하십시오. 그들이 공통 측면 VO를 가지고있는 반면 측면 AO와 OS는 반대입니다. Rays OA와 OS는 서로를 보완하므로 동일한 직선에 있습니다. 각 ∠AOB와 ∠BOC는 인접합니다.

정의: 두 각이 공통면을 갖고 다른 두 변이 보색 광선인 경우 이러한 각을 다음 각이라고 합니다. 관련된.

정리 1: 인접한 각의 합은 180°입니다.

쌀. 2. 정리 1을 위한 그림

∠MOL + ∠LON = 180o. 광선 OL이 직선 각 ∠MON을 두 개의 인접한 각으로 나누기 때문에 이 진술은 참입니다. 즉, 우리는 인접한 각도의 각도 측정을 알지 못하지만 그 합(180o)만 알고 있습니다.

두 선의 교차점을 고려하십시오. 그림은 점 O에서 두 선의 교차점을 보여줍니다.

쌀. 3. 수직각 ∠BOA 및 ∠COD

정의: 한 각의 변이 두 번째 각의 연속인 경우 이러한 각을 수직이라고 합니다. 이것이 그림이 ∠AOB와 ∠COD, ∠AOD와 ∠BOC라는 두 쌍의 수직각을 보여주는 이유입니다.

정리 2: 수직 각도는 동일합니다.

그림 3을 사용합시다. 전개각 ∠AOC를 고려합시다. ∠AOB \u003d ∠AOC - ∠BOC \u003d 180 o - β. 전개각 ∠BOD를 고려하십시오. ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β.

이러한 고려 사항에서 ∠AOB = ∠COD = α라는 결론을 내립니다. 유사하게, ∠AOD = ∠BOC = β.

결론 1: 인접한 각의 이등분선 사이의 각은 90°입니다.

쌀. 4. 결과 도출 1

OL이 각도 ∠BOA의 이등분선이므로 각도 ∠LOB = , ∠BOK = 와 유사합니다. ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . 각도 α + β의 합은 180o와 같습니다. 이 각도는 인접하기 때문입니다.

결론 2: 수직각의 이등분선 사이의 각은 180°입니다.

쌀. 5. 결과 도출 2

KO는 ∠AOB의 이등분선이고, LO는 ∠COD의 이등분선입니다. 분명히 ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o 입니다. 각도 α + β의 합은 180o와 같습니다. 이 각도는 인접하기 때문입니다.

몇 가지 작업을 고려해 보겠습니다.

∠AOC = 111o이면 ∠AOC에 인접한 각도를 찾으십시오.

작업에 대한 그림을 만들어 보겠습니다.

쌀. 6. 예제 1에 대한 그림

∠AOC = β 및 ∠COD = α가 인접한 각이므로 α + β = 180o입니다. 즉, 111o + β \u003d 180o입니다.

따라서 β = 69o.

이러한 유형의 문제는 인접 각 합 정리를 이용합니다.

인접한 각 중 하나는 직각이며, 어느 쪽(예각, 둔각 또는 직각)이 다른 각입니까?

각 중 하나가 직각이고 두 각의 합이 180°이면 다른 각도 직각입니다. 이 작업은 인접한 각도의 합에 대한 지식을 테스트합니다.

인접한 각이 같으면 직각이라는 것이 사실입니까?

방정식을 만들어 보겠습니다. α + β = 180o, 그러나 α = β이므로 β + β = 180o이며, 이는 β = 90o를 의미합니다.

답변: 예, 그 진술은 사실입니다.

두 개의 동일한 각도가 주어집니다. 그것들에 인접한 각도 같다는 것이 사실입니까?

쌀. 7. 예를 들어 그리기 4

두 각이 α와 같으면 해당하는 인접 각은 180 o - α가 됩니다. 즉, 그들은 서로 동등할 것입니다.

답변: 진술은 사실입니다.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. 등. 기하학 7. - M.: 계몽.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. 외 기하학 7. 5th ed. - M.: 깨달음.
3. \Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. 기하학 7 / V.F. 부투조바, S.B. 카돔체프, V.V. Prasolov, V.A. 편집 사도브니치. - 남: 교육, 2010.

1. 세그먼트 측정().
2. 7 학년 기하학에 대한 일반 수업 ().
3. 직선, 세그먼트().

1. 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. 기하학 7 / V.F. 부투조바, S.B. 카돔체프, V.V. Prasolov, V.A. 편집 사도브니치. - 남: 교육, 2010.
2. 그 중 하나가 다른 각의 4배이면 인접한 두 각을 찾으십시오.
3. 주어진 각도. 인접한 수직 각도를 만듭니다. 그런 모서리를 몇 개나 만들 수 있습니까?
4. * 어떤 경우에 더 많은 쌍의 수직각을 얻을 수 있습니까? 세 개의 선이 한 점 또는 세 점에서 교차할 때?