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기원전 3세기에 같은 이름의 유클리드 책이 알렉산드리아에 "시작"의 러시아어 번역으로 나타났습니다. 라틴어 이름 "Beginnings"에서 "초기하학"이라는 용어가 나왔습니다. 비록 유클리드의 선조들의 글이 우리에게 전해지지는 않았지만, 우리는 유클리드의 원소에서 이 글에 대한 의견을 형성할 수 있습니다. "시작"에는 다른 섹션과 논리적으로 거의 연결되지 않은 섹션이 있습니다. 그들의 모습은 그들이 전통에 따라 소개되었고 유클리드의 전임자들의 "시작"을 복사했다는 사실에 의해서만 설명됩니다.
유클리드의 요소는 13권의 책으로 구성되어 있습니다. 1~6권은 면적 측정에 관한 것이고 7~10권은 나침반과 직선자를 사용하여 만들 수 있는 계산할 수 없는 양에 관한 것입니다. 11권에서 13권은 입체 측정에 할애되었습니다.
"시작"은 23개의 정의와 10개의 공리를 제시하는 것으로 시작됩니다. 처음 5개의 공리는 "일반 개념"이고 나머지는 "공리"라고 합니다. 처음 두 가지 가정은 이상적인 통치자의 도움으로 행동을 결정하고 세 번째 가정은 이상적인 나침반의 도움으로 행동을 결정합니다. 네 번째, "모든 직각은 서로 같다"는 나머지 공리로부터 추론할 수 있기 때문에 중복됩니다. 마지막 다섯 번째 가정은 다음과 같습니다. "어떤 선이 두 선 위에 있고 두 선 미만의 합으로 내부 단각을 형성하는 경우, 이 두 선이 무한히 계속되면 두 선이 만나는 쪽에서 교차할 것입니다. 각도는 두 줄 미만입니다."
유클리드의 5가지 "일반 개념"은 길이, 각도, 면적, 부피를 측정하는 원리입니다. "같음에서 같음을 빼면 나머지는 서로 같다", "서로 결합하면 서로 같다", "전체가 부분보다 크다".
그러자 유클리드 기하학에 대한 비판이 나왔다. Euclid는 세 가지 이유로 비판을 받았습니다. 그는 나침반과 직선자를 사용하여 구성할 수 있는 기하학적 양만 고려했기 때문입니다. 기하와 산술을 분해하고 기하량에 대해 이미 증명한 것을 정수에 대해 증명하고 마지막으로 유클리드의 공리를 증명했습니다. 유클리드의 가장 어려운 공리인 다섯 번째 공리는 가장 강력하게 비판을 받아왔다. 많은 사람들은 그것을 불필요한 것으로 여겼고, 다른 공리에서 추론할 수 있고 또 그래야 한다고 생각했습니다. 다른 사람들은 이것을 더 간단하고 더 설명적인 것으로 대체해야 한다고 믿었습니다. "직선 외부의 한 점을 통해 이 직선과 교차하지 않는 평면에 하나 이상의 직선을 그릴 수 없습니다."
기하학과 산술 사이의 간극에 대한 비판은 숫자 개념을 실수로 확장하게 했습니다. 다섯 번째 가정에 대한 논쟁은 19세기 초 N.I. Lobachevsky, J. Bolyai 및 K.F. Gauss가 다섯 번째 가정을 제외하고 유클리드 기하학의 모든 공리가 충족된 새로운 기하학을 구축했다는 사실로 이어졌습니다. 그것은 반대 문장으로 대체되었습니다. "선 외부의 한 점을 통과하는 평면에서 주어진 선과 교차하지 않는 선을 두 개 이상 그릴 수 있습니다." 이 기하학은 유클리드 기하학처럼 일관되었습니다.
유클리드 평면에 대한 로바체프스키 평면 모델은 1882년 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레에 의해 만들어졌습니다.
유클리드 평면에 수평선을 그립니다. 이 선을 절대(x)라고 합니다. 절대값 위에 있는 유클리드 평면의 점은 로바체프스키 평면의 점입니다. Lobachevsky 평면은 절대 위에 놓인 열린 반 평면입니다. 푸앵카레 모델의 비유클리드 선분은 절대점을 중심으로 하는 원호 또는 절대선에 수직인 선분(AB, CD)입니다. Lobachevsky 평면의 그림은 절대 (F) 위에 놓인 열린 반면의 그림입니다. 비유클리드 운동은 축이 절대에 수직인 절대 대칭과 축 대칭을 중심으로 하는 유한한 수의 반전으로 구성된 구성입니다. 두 개의 비유클리드 세그먼트 중 하나가 비유클리드 운동에 의해 다른 세그먼트로 번역될 수 있는 경우 두 세그먼트는 동일합니다. 이것들은 Lobachevsky의 평면 측정의 공리학의 기본 개념입니다.
Lobachevsky의 평면도의 모든 공리는 일관성이 있습니다. "비 유클리드 선은 끝이 절대에 있는 반원이거나 절대에 원점이 있고 절대에 수직인 광선입니다." 따라서 Lobachevsky의 평행 공리의 주장은 어떤 선과 이 선 위에 있지 않은 점 A뿐만 아니라 어떤 선과 그 위에 있지 않은 점 A에도 적용됩니다.
Lobachevsky의 기하학 뒤에는 다른 일관된 기하학도 나타났습니다. 유클리드에서 분리 된 투영 기하학, 다차원 유클리드 기하학이 개발되었으며 리만 기하학이 발생했습니다 (길이 측정의 임의 법칙이있는 공간에 대한 일반 이론) 등. 차원 유클리드 공간, 40 - 50년 동안 기하학은 다양한 이론의 집합으로 바뀌었지만 그 조상인 유클리드 기하학과 다소 유사합니다.
현대 수학 형성의 주요 단계. 현대 수학의 구조
학자 A.N. Kolmogorov는 Kolmogorov A.N. 수학 발전의 네 가지 기간을 식별합니다. - 수학, 수학 백과사전, 모스크바, 소련 백과사전, 1988: 수학의 탄생, 초등 수학, 변수의 수학, 현대 수학.
초등 수학이 발달하는 동안 숫자 이론은 산술에서 점차 성장합니다. 대수학은 문자 그대로의 미적분학으로 생성됩니다. 그리고 2000년 동안 고대 그리스인이 만든 기본 기하학의 표현 체계인 유클리드 기하학은 수학 이론의 연역적 구성의 모델이 되었습니다.
17세기에는 자연과학과 기술의 요구에 따라 운동, 양의 변화 과정, 기하 도형의 변형을 수학적으로 연구할 수 있는 방법이 개발되었습니다. 해석 기하학에서 변수의 사용과 미적분 및 적분 미적분학의 생성으로 변수 수학의 시대가 시작됩니다. 17세기의 위대한 발견은 뉴턴과 라이프니츠가 도입한 극소량의 개념, 극소량 분석(수학적 분석)을 위한 토대를 마련한 것입니다.
함수의 개념이 등장합니다. 기능이 주요 연구 주제가 됩니다. 함수에 대한 연구는 수학적 분석의 기본 개념인 극한, 미분, 미분, 적분으로 이어집니다.
좌표의 방식에 대한 데카르트의 기발한 발상도 이 시기에 속한다. 대수 및 분석 방법으로 기하학적 개체를 연구할 수 있는 분석 기하학이 생성됩니다. 반면에 좌표법은 대수적, 해석적 사실에 대한 기하학적 해석의 가능성을 열어주었다.
수학의 추가 발전은 19세기 초에 상당히 일반적인 관점에서 가능한 유형의 양적 관계와 공간 형태를 연구하는 문제의 공식화로 이어졌습니다.
수학과 자연과학의 관계는 점점 더 복잡해지고 있습니다. 새로운 이론이 발생하고 자연 과학과 기술의 요구의 결과뿐만 아니라 수학의 내적 요구의 결과로 발생합니다. 그러한 이론의 주목할만한 예는 N.I. Lobachevsky의 가상 기하학입니다. 19세기와 20세기의 수학의 발전은 우리가 그것을 현대 수학의 시대로 돌릴 수 있게 해줍니다. 수학 자체의 발전, 다양한 과학 분야의 수학화, 실제 활동의 많은 영역에 대한 수학적 방법의 침투, 컴퓨터 기술의 발전으로 인해 연산 연구, 게임 이론, 수학적 경제학 및 기타.
수학적 연구의 주요 방법은 수학적 증명 - 엄격한 논리적 추론입니다. 수학적 사고는 논리적 추론에 국한되지 않습니다. 수학적 직관은 문제의 올바른 공식화, 해결 방법의 선택을 평가하는 데 필요합니다.
수학에서는 대상의 수학적 모델을 연구합니다. 동일한 수학적 모델은 서로 멀리 떨어져 있는 실제 현상의 속성을 설명할 수 있습니다. 따라서 동일한 미분 방정식으로 인구 증가와 방사성 물질의 붕괴 과정을 설명할 수 있습니다. 수학자에게 중요한 것은 고려 중인 대상의 본질이 아니라 이들 사이에 존재하는 관계입니다.
수학의 추론에는 연역과 귀납의 두 가지 유형이 있습니다.
귀납법은 특정 전제에 기초하여 일반적인 결론을 내리는 연구 방법입니다.
연역은 일반적인 전제에서 특정 성격의 결론이 나오는 추론 방법입니다.
수학은 자연 과학, 공학 및 인문학 연구에서 중요한 역할을 합니다. 수학이 다양한 지식 분야에 침투하는 이유는 다른 과학에서 제공하는 덜 일반적이고 더 모호한 모델과 달리 주변 현실을 연구하기 위한 매우 명확한 모델을 제공하기 때문입니다. 현대 수학이 발달하고 논리 및 컴퓨팅 장치가 발달하지 않으면 인간 활동의 다양한 영역에서 진보가 불가능할 것입니다.
수학은 응용 문제를 풀기 위한 강력한 도구이자 과학의 보편적 언어일 뿐만 아니라 공통 문화의 요소이기도 합니다.
수학적 사고의 기본 기능
이 문제에서 특히 흥미로운 것은 A.Ya. Khinchin이 제공한 수학적 사고의 특성 또는 그 특정 역사적 형태인 수학적 사고의 스타일입니다. 그는 수학적 사고 스타일의 본질을 밝히면서 이 스타일을 다른 과학의 사고 스타일과 눈에 띄게 구별하는 모든 시대에 공통적인 네 가지 특징을 찾아냅니다.
첫째, 수학자는 한계에 도달한 논리적 추론 체계의 지배를 특징으로 합니다. 이 계획을 잊어버린 수학자는 적어도 일시적으로 과학적으로 사고하는 능력을 잃습니다. 수학적 사고 스타일의 이 독특한 특징은 그 자체로 많은 가치를 가지고 있습니다. 분명히, 그것은 당신이 생각의 흐름의 정확성을 모니터링하고 오류에 대한 보장을 최대한으로 허용합니다. 다른 한편, 그것은 사상가로 하여금 분석하는 동안 사용 가능한 모든 가능성을 눈앞에 보게 하고 단 하나도 빠뜨리지 않고 각각의 가능성을 고려하도록 합니다(이러한 생략은 상당히 가능하며 실제로 종종 관찰됩니다. 다른 스타일의 사고).
둘째, 간결성, 즉. 주어진 목표에 이르는 가장 짧은 논리적 경로를 항상 찾고자 하는 의식적인 욕망, 논증의 완벽한 타당성을 위해 절대적으로 필요한 모든 것에 대한 무자비한 거부. 좋은 스타일의 수학적 에세이는 "물"을 용납하지 않으며 꾸밈이 없으며 논리적 긴장을 약화시키고 옆으로 산만합니다. 극도의 인색함, 사고의 엄밀함, 그리고 그 표현은 수학적 사고의 필수적인 특징입니다. 이 기능은 수학뿐만 아니라 다른 진지한 추론에도 큰 가치가 있습니다. 불필요한 것을 허용하지 않으려는 욕망인 간결함은 사상가와 독자 또는 청취자가 2차 아이디어에 주의가 산만하지 않고 주요 추론 라인과의 직접적인 접촉을 잃지 않고 주어진 사고 방식에 완전히 집중할 수 있도록 도와줍니다.
과학의 권위자는 원칙적으로 자신의 생각이 근본적으로 새로운 아이디어를 만들고 제시할 때에도 모든 지식 분야에서 간결하게 생각하고 표현합니다. 예를 들어, 물리학의 가장 위대한 창조자인 뉴턴, 아인슈타인, 닐스 보어의 생각과 말의 고상한 인색함은 얼마나 장엄한 인상입니까! 아마도 창조자의 사고 방식이 과학 발전에 얼마나 심오한 영향을 미칠 수 있는지에 대한 이보다 더 놀라운 예를 찾기는 어려울 것입니다.
수학의 경우 생각의 간결함은 수세기 동안 정형화된 논쟁의 여지가 없는 법칙입니다. 반드시 필요하지 않은(청취자들에게 즐겁고 흥미진진할지라도) 그림, 주의 산만, 웅변으로 프레젠테이션에 부담을 주려는 모든 시도는 사전에 정당한 의심을 받고 자동으로 비판적 경계를 유발합니다.
셋째, 추론 과정의 명확한 해부. 예를 들어 명제를 증명할 때 네 가지 가능한 경우를 고려해야 하고 각각은 하나 또는 다른 수의 하위 사례로 나눌 수 있으며 추론의 매 순간마다 수학자는 어떤 경우에 자신의 경우를 하위 사례로 분류하는지 명확하게 기억해야 합니다. 생각이 지금 획득되고 있으며 그가 여전히 고려해야 하는 경우와 하위 사례에 대해 설명합니다. 모든 종류의 분기된 열거와 함께, 수학자는 구성 요소 종의 개념을 열거하는 일반적인 개념을 매 순간 인식해야 합니다. 일반적이고 비과학적인 사고에서 우리는 종종 혼란과 점프를 관찰하여 추론에 혼란과 오류를 초래합니다. 사람이 속 중 하나의 종을 열거하기 시작한 다음 추론의 불충분한 논리적 구별을 사용하여 청중에게 (그리고 종종 자신에게) 눈에 띄지 않게, 다른 속으로 건너뛰고 둘 다 다음과 같은 진술로 끝나는 경우가 종종 있습니다. 속은 이제 분류됩니다. 청취자나 독자는 1종 종과 2종 종 사이의 경계가 어디에 있는지 알지 못합니다.
그러한 혼란과 도약을 불가능하게 하기 위해 수학자들은 오랫동안 개념과 판단에 번호를 매기는 단순한 외부 방법을 광범위하게 사용했으며, 때로는 다른 과학에서 사용하기도 했습니다. 이러한 추론에서 고려해야 하는 가능한 경우 또는 일반적인 개념은 미리 번호가 매겨집니다. 이러한 각 경우 내에서 포함된 것으로 간주되는 하위 사례에도 번호가 다시 매겨집니다(때로는 구별을 위해 다른 번호 매기기 시스템을 사용). 새로운 하위 사례에 대한 고려가 시작되는 각 단락 앞에 이 하위 사례에 대해 승인된 지정이 표시됩니다(예: II 3 - 이는 두 번째 경우의 세 번째 하위 사례에 대한 고려가 여기에서 시작됨을 의미하거나 세 번째 두 번째 유형의 경우 우리 대화하는 중이 야분류). 그리고 독자는 새로운 수치 루브릭을 발견할 때까지 제시된 모든 것이 이 사례와 하위 사례에만 적용된다는 것을 알고 있습니다. 말할 필요도 없이 그러한 번호 매기기는 외부 장치일 뿐이며 매우 유용하지만 결코 의무적인 것은 아니며 문제의 본질은 그 안에 있는 것이 아니라 논쟁이나 분류가 자극하고 표시하는 뚜렷한 구분에 있다는 것입니다. 그 자체로.
넷째, 기호, 공식, 방정식의 세심한 정확성. 즉, "각 수학 기호에는 엄격하게 정의된 의미가 있습니다. 일반적으로 다른 기호로 바꾸거나 다른 위치로 재배열하는 것은 왜곡을 수반하며 때로는 이 진술의 의미를 완전히 파괴합니다."
A.Ya. Khinchin은 수학적 사고 방식의 주요 특징을 지적하면서 수학(특히 변수의 수학)은 본질적으로 변증법적 특성을 가지고 있으므로 변증법적 사고의 발전에 기여한다고 말합니다. 실제로, 수학적 사고의 과정에서 시각적(구체적)과 개념적(추상적) 사이에는 상호작용이 있습니다. 칸트는 “우리는 선을 생각할 수 없다”고 적었다.
구체적이고 추상적인 상호작용은 수학적 사고를 새롭고 새로운 개념과 철학적 범주의 발전으로 "이끈"했습니다. 고대 수학(상수 수학)에서 이들은 원래 산술 및 유클리드 기하학에 반영된 "숫자"와 "공간"이었고 나중에 대수학 및 다양한 기하학 시스템에 반영되었습니다. 변수의 수학은 "유한", "무한", "연속성", "이산", "무한히 작은", "미분" 등 물질의 운동을 반영하는 개념에 "기반"했습니다.
우리가 수학적 지식 발전의 현재 역사적 단계에 대해 이야기하면 철학적 범주의 추가 발전과 일치합니다. 확률 이론은 가능한 범주와 무작위 범주를 "마스터"합니다. 토폴로지 - 관계 및 연속성의 범주; 재앙 이론 - 점프 카테고리; 그룹 이론 - 대칭 및 조화 등의 범주
수학적 사고에서는 형태가 유사한 논리적 연결을 구성하는 주요 패턴이 표현됩니다. 도움을 받아 단수(예: 공리, 알고리즘, 구성, 집합 이론 등 특정 수학적 방법)에서 특수 및 일반, 일반화된 연역 구성으로의 전환이 수행됩니다. 방법론과 수학 주제의 통일성은 수학적 사고의 특성을 결정하고 현실을 반영할 뿐만 아니라 과학적 지식을 종합하고 일반화하고 예측하는 특별한 수학적 언어를 말할 수 있게 합니다. 수학적 사고의 힘과 아름다움은 논리의 극도의 명료성, 구성의 우아함, 추상화의 능숙한 구성에 있습니다.
정신적 활동의 근본적으로 새로운 가능성은 컴퓨터의 발명과 함께 기계 수학의 창안과 함께 열렸습니다. 수학의 언어에 상당한 변화가 일어났습니다. 고전 계산 수학의 언어가 역학, 천문학, 물리학에서 주로 연구되는 자연의 연속 과정에 대한 설명에 중점을 둔 대수학, 기하학 및 분석 공식으로 구성된 경우 현대 언어는 다음을 포함한 알고리즘 및 프로그램의 언어입니다. 특별한 경우로 수식의 오래된 언어.
현대 계산 수학의 언어는 점점 더 보편화되어 복잡한(다중 매개변수) 시스템을 설명할 수 있습니다. 동시에 나는 전자 컴퓨팅 기술로 강화된 수학적 언어가 아무리 완벽하더라도 다양한 "살아있는"자연어와의 관계를 끊지 않는다는 점을 강조하고 싶습니다. 또한 구어는 인공 언어의 기초입니다. 이와 관련하여 최근 과학자들의 발견이 흥미롭습니다. 요점은 볼리비아와 페루에서 약 250만 명이 사용하는 아이마라 인디언의 고대 언어가 컴퓨터 기술에 매우 편리한 것으로 판명되었다는 것입니다. 일찍이 1610년에 최초의 Aymara 사전을 편찬한 이탈리아 예수회 선교사 Ludovico Bertoni는 높은 논리적 순수성을 달성한 작성자의 천재성을 언급했습니다. 예를 들어, Aymara에는 불규칙 동사가 없으며 몇 가지 명확한 문법 규칙에 예외가 없습니다. Aymara 언어의 이러한 기능을 통해 볼리비아 수학자 Ivan Guzmán de Rojas는 프로그램에 포함된 5개 유럽 언어 중 하나에서 동시 컴퓨터 번역 시스템을 만들 수 있었습니다. 그 사이의 "다리"는 Aymara 언어입니다. 볼리비아 과학자가 만든 컴퓨터 "Aymara"는 전문가들에게 높이 평가되었습니다. 수학적 사고 스타일의 본질에 대한 질문의이 부분을 요약하면 주요 내용이 자연에 대한 이해라는 점에 유의해야합니다.
공리적 방법
공리학 - 고대부터 이론을 구축하는 주요 방법 오늘다양성과 모든 적용 가능성을 확인합니다.
수학적 이론의 구성은 공리적 방법을 기반으로 합니다. 과학 이론은 공리라고 하는 일부 초기 조항을 기반으로 하며 이론의 다른 모든 조항은 공리의 논리적 결과로 얻어집니다.
공리적 방법은 고대 그리스에서 나타났으며 현재 거의 모든 이론 과학, 특히 수학에서 사용됩니다.
유클리드(포물선), 로바체프스키(쌍곡선), 리만(타원)의 세 가지 보완 기하학을 특정 측면에서 비교하면 몇 가지 유사성과 함께 구면 기하학 간에 큰 차이가 있다는 점에 유의해야 합니다. 다른 한편으로는 Euclid와 Lobachevsky의 기하학이 있습니다.
현대 기하학의 근본적인 차이점은 이제 무한한 수의 서로 다른 가상 공간의 "기하학"을 수용한다는 것입니다. 그러나 이러한 모든 기하학은 유클리드 기하학의 해석이며 유클리드가 처음 사용했던 공리적 방법을 기반으로 한다는 점에 유의해야 합니다.
연구를 바탕으로 공리적 방법이 개발되어 널리 사용됩니다. 이 방법을 적용한 특별한 경우는 다면체의 단면 구성 및 기타 위치 문제에 대한 문제를 해결할 수 있는 스테레오메트리의 추적 방법입니다.
기하학에서 처음 개발된 공리적 방법은 이제 수학, 물리학 및 역학의 다른 분야에서 중요한 연구 도구가 되었습니다. 현재 이론을 구성하는 공리적 방법을 보다 깊이 있게 개선하고 연구하는 작업이 진행 중입니다.
과학 이론을 구성하는 공리적 방법은 기본 개념을 강조하고 이론의 공리를 공식화하는 것으로 구성되며 다른 모든 진술은 이에 의존하여 논리적인 방식으로 파생됩니다. 하나의 개념은 다른 사람들의 도움으로 설명되어야 하며, 차례로 일부 잘 알려진 개념의 도움으로 정의됩니다. 따라서 우리는 다른 사람의 관점에서 정의할 수 없는 기본 개념에 도달합니다. 이러한 개념을 기본이라고 합니다.
우리가 진술, 정리를 증명할 때 우리는 이미 입증된 것으로 간주되는 전제에 의존합니다. 그러나 이러한 전제도 입증되었으므로 입증되어야 했습니다. 결국 우리는 증명할 수 없는 말을 하고 증거 없이 받아들인다. 이러한 진술을 공리라고 합니다. 공리의 집합은 그것에 의존하여 추가 진술을 증명할 수 있어야 합니다.
주요 개념을 선별하고 공리를 공식화한 다음 논리적인 방법으로 정리 및 기타 개념을 도출합니다. 이것은 기하학의 논리적 구조입니다. 공리와 기본 개념은 평면 측정의 기초를 형성합니다.
모든 기하학에 대한 기본 개념에 대한 단일 정의를 제공하는 것은 불가능하기 때문에 기하학의 기본 개념은 이 기하학의 공리를 만족하는 모든 자연의 대상으로 정의되어야 합니다. 따라서 기하학적 시스템의 공리 구성에서 우리는 공리 또는 공리의 특정 시스템에서 시작합니다. 이러한 공리는 기하 시스템의 기본 개념의 속성을 설명하며, 기본 개념을 공리에서 지정된 속성을 갖는 모든 자연의 대상 형태로 나타낼 수 있습니다.
첫 번째 기하학적 진술을 공식화하고 증명한 후, 다른 사람들의 도움으로 일부 진술(정리)을 증명하는 것이 가능해집니다. 많은 정리의 증명은 피타고라스와 데모크리토스에 기인합니다.
키오스의 히포크라테스는 정의와 공리를 기반으로 한 최초의 체계적인 기하학 과정을 편집한 것으로 알려져 있습니다. 이 과정과 그 이후의 처리를 "요소"라고 했습니다.
과학 이론을 구성하는 공리적 방법
과학을 구성하는 연역적 또는 공리적 방법의 창조는 수학적 사고의 가장 위대한 업적 중 하나입니다. 여러 세대의 과학자들의 작업이 필요했습니다.
연역적 표현 체계의 두드러진 특징은 이 구성의 단순성으로, 이를 몇 단어로 설명할 수 있습니다.
연역적 표현 체계는 다음과 같이 축소됩니다.
1) 기본 개념 목록으로,
2) 정의를 제시하기 위해,
3) 공리의 발표에,
4) 정리의 발표에,
5) 이러한 정리의 증명.
공리는 증거 없이 받아들여지는 진술이다.
정리는 공리에서 나오는 진술입니다.
증명은 연역 체계의 필수적인 부분이며, 진술의 참이 이전의 정리나 공리의 진리로부터 논리적으로 뒤따른다는 것을 보여주는 추론입니다.
연역 체계 내에서 1) 기본 개념의 의미에 대한 질문, 2) 공리의 진실성에 대한 두 가지 질문을 해결할 수 없습니다. 그러나 이것이 이러한 질문이 일반적으로 해결할 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다.
자연 과학의 역사에 따르면 특정 과학의 공리적 구성 가능성은 많은 양의 사실 자료를 기반으로이 과학의 상당히 높은 수준의 발전에서만 나타납니다. 이 과학에서 연구하는 대상 사이에 존재하는 연결 및 관계.
수학 과학의 공리 구성의 예는 기본 기하학입니다. 기하학 공리 체계는 유클리드(기원전 약 300년)에 의해 "시작"이라는 작품에서 그 중요성이 탁월하게 설명되었습니다. 이 시스템은 오늘날까지 크게 살아남았습니다.
기본 개념: 점, 선, 평면 기본 이미지; 사이에 놓다, 속하다, 움직이다.
기본 기하학은 5개의 그룹으로 나뉜 13개의 공리를 가지고 있습니다. 다섯 번째 그룹에는 평행선에 대한 하나의 공리가 있습니다(유클리드의 V 가정). 평면 위의 한 점을 통해 이 직선과 교차하지 않는 직선 하나만 그릴 수 있습니다. 이것이 증명의 필요성을 야기한 유일한 공리입니다. 19세기 전반부까지 2천년 이상 동안 수학자들을 점유한 다섯 번째 가정을 증명하려는 시도, 즉 Nikolai Ivanovich Lobachevsky가 그의 글에서 이러한 시도의 완전한 절망을 증명한 순간까지. 현재, 다섯 번째 가정의 증명 불가능성은 엄격하게 입증된 수학적 사실입니다.
병렬 N.I.에 대한 공리 Lobachevsky는 공리를 대체했습니다. 직선과 직선 외부에 있는 한 점이 주어진 평면에 주어집니다. 이 점을 통해 주어진 선에 대해 적어도 두 개의 평행선을 그릴 수 있습니다.
에서 새로운 시스템공리 N.I. 완벽한 논리적 엄밀함으로 Lobachevsky는 비유클리드 기하학의 내용을 구성하는 일관된 정리 체계를 추론했습니다. Euclid와 Lobachevsky의 기하학은 모두 논리 시스템과 동일합니다.
19세기에 세 명의 위대한 수학자들은 거의 동시에 서로 독립적으로 다섯 번째 가정의 증명 불가능성과 비유클리드 기하학의 창조라는 동일한 결과에 도달했습니다.
니콜라이 이바노비치 로바체프스키(1792-1856)
칼 프리드리히 가우스(1777-1855)
야노스 볼야이(1802-1860)
수학적 증명
수학적 연구의 주요 방법은 수학적 증명 - 엄격한 논리적 추론입니다. 객관적인 필요성으로 인해 러시아 과학 아카데미 L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D.의 해당 회원을 지적합니다. - 현대 수학 및 그 교수법, Moscow, Nauka, 1985, 논리적 추론(본성상 맞더라도 엄격함)은 수학의 한 방법이며, 수학은 수학 없이는 생각할 수 없습니다. 수학적 사고는 논리적 추론에 국한되지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 문제의 올바른 공식화, 데이터 평가, 중요한 문제 선택 및 해결 방법 선택을 위해 수학적 직관도 필요하므로 사전에 원하는 결과를 예측할 수 있습니다. 그럴듯한 추론의 도움으로 연구의 경로를 설명하기 위해 얻어진다. 그러나 고려 중인 사실의 타당성은 여러 가지 예를 통해 확인하거나 여러 실험(수학적 연구에서 그 자체로 큰 역할을 함)을 수행함으로써가 아니라 순전히 논리적인 방법으로 입증됩니다. 형식 논리의 법칙.
수학적 증명은 다음에서 참으로 간주됩니다. 최후의 조치. 순수한 논리에 근거한 결정은 단순히 잘못될 수 없습니다. 그러나 과학의 발달과 함께 수학자들의 과제는 점점 더 복잡해지고 있습니다.
미국 캘리포니아주 스탠포드 대학의 키스 데블린은 “수학적 장치가 너무 복잡하고 번거로워 언뜻 보기에 직면한 문제가 사실인지 아닌지를 말할 수 없는 시대에 접어들었다”고 말했다. 그는 1980년에 공식화된 "단순 유한 그룹의 분류"를 예로 들었지만 완전한 정확한 증거는 아직 제공되지 않았습니다. 대부분의 경우 정리는 사실이지만 이에 대해 확실히 말할 수는 없습니다.
그러한 계산에는 항상 오류가 있기 때문에 컴퓨터 솔루션도 정확하다고 할 수 없습니다. 1998년에 Hales는 1611년에 공식화된 Kepler의 정리에 대한 컴퓨터 지원 솔루션을 제안했습니다. 이 정리는 공간에서 볼의 가장 조밀한 패킹을 설명합니다. 증명은 300페이지에 걸쳐 제시되었으며 40,000줄의 기계어 코드가 포함되어 있습니다. 12명의 검토자가 1년 동안 솔루션을 확인했지만 증명의 정확성에 대한 100% 확신을 얻지 못했고 연구는 수정을 위해 보내졌습니다. 그 결과 심사위원들의 완전한 인증 없이 4년 만에 출판되었다.
적용된 문제에 대한 모든 최신 계산은 컴퓨터에서 이루어지지만 과학자들은 더 높은 신뢰성을 위해 수학적 계산이 오류 없이 제시되어야 한다고 믿습니다.
증명 이론은 논리학에서 발전되며 세 가지 구조적 구성요소를 포함합니다: 테제(증명되어야 하는 것), 논증(관련 과학의 사실, 일반적으로 수용되는 개념, 법칙 등의 집합) 및 입증(확인 절차 증거 자체 배포, n번째 추론이 n+1번째 추론의 전제 중 하나가 될 때 일관된 추론 체인). 증명 규칙이 구별되고 가능한 논리적 오류가 표시됩니다.
수학적 증명은 형식 논리에 의해 확립된 원칙과 많은 공통점이 있습니다. 더욱이, 추론과 연산의 수학적 규칙은 분명히 논리에서 증명 절차의 개발에 기초 중 하나 역할을 했습니다. 특히 형식 논리 형성의 역사 연구자들은 한 번에 아리스토텔레스가 논리의 법칙과 규칙을 만드는 첫 번째 단계를 밟았을 때 수학과 법적 활동의 실천으로 눈을 돌렸다고 믿습니다. 이 자료에서 그는 개념 이론의 논리적 구성을 위한 자료를 찾았습니다.
20세기에 들어 증명의 개념은 집합론에 숨겨진 논리적 역설의 발견과 관련하여, 특히 형식화의 불완전성에 대한 K. Gödel의 정리가 가져온 결과와 관련하여 발생한 엄격한 의미를 잃었습니다.
우선, 이것은 "증명"이라는 용어에 정확한 정의가 없다고 믿어지는 것과 관련하여 수학 자체에 영향을 미쳤습니다. 그러나 그러한 견해(오늘날에도 여전히 유효함)가 수학 자체에 영향을 미친다면, 그들은 증명이 논리-수학적이 아니라 심리학적 의미에서 받아들여져야 한다는 결론에 도달합니다. 더욱이, 아리스토텔레스 자신에게서도 비슷한 견해가 발견되는데, 증명한다는 것은 추론을 사용하여 다른 사람들에게 무언가의 정확성을 확신시키는 정도로 우리를 확신시키는 추론을 수행하는 것이라고 믿었습니다. 특정 그늘 심리적 접근우리는 A.E. Yesenin-Volpin에서 찾습니다. 그는 증거가 없는 진리의 수용을 맹렬히 반대하고 그것을 믿음의 행위와 연결시키며, 더 나아가 이렇게 씁니다. Yesenin-Volpin은 그의 정의가 여전히 명확해야 한다고 보고합니다. 동시에 증거를 "정직한 방법"으로 규정하는 것 자체가 도덕적-심리학적 평가에 대한 호소력을 배반하지 않습니까?
동시에 집합론적 역설의 발견과 괴델의 정리의 출현은 직관주의자, 특히 구성주의 방향과 D. Hilbert가 착수한 수학적 증명 이론의 발전에 기여했습니다.
때때로 수학적 증명은 보편적이며 과학적 증명의 이상적인 버전을 나타낸다고 믿어집니다. 그러나 이것이 유일한 방법은 아니며 증거 기반 절차 및 작업의 다른 방법이 있습니다. 수학적 증명은 자연과학에서 구현된 형식-논리적 증명과 많은 공통점이 있고, 수학적 증명에는 일련의 기술-연산뿐만 아니라 특정 세부 사항이 있다는 것만이 사실입니다. 여기에서 모든 단계(주요 단계 포함)에서 알고리즘, 규칙, 오류 등을 확장하지 않고 다른 형태의 증거와 관련되도록 하는 일반적인 사항을 생략하고 중단할 것입니다. 증명 과정.
수학적 증명은 진술의 진실(물론 수학적 의미에서, 즉 연역성, 의미로서)을 입증하는 임무가 있는 추론입니다.
증명에 사용된 일련의 규칙은 수학 이론의 공리적 구성의 출현과 함께 형성되었습니다. 이것은 유클리드 기하학에서 가장 명확하고 완전하게 실현되었습니다. 그의 "초기(Beginnings)"는 수학적 지식의 공리적 조직화를 위한 일종의 모델 표준이 되었고, 오랫동안수학자에게 동일하게 유지되었습니다.
특정 시퀀스의 형태로 제시된 진술은 논리적 연산 규칙에 따라 입증된 것으로 간주되는 결론을 보장해야 합니다. 어떤 추론은 어떤 공리 체계에 대해서만 증거라는 점을 강조해야 합니다.
수학적 증명을 특성화할 때 두 가지 주요 기능이 구별됩니다. 우선, 수학적 증거는 경험적 증거에 대한 참조를 배제한다는 사실입니다. 결론의 진실을 입증하는 전체 절차는 수용된 공리의 틀 내에서 수행됩니다. 학자 A.D. Aleksandrov는 이와 관련하여 강조합니다. 삼각형의 각을 수천 번 측정하고 2d와 같은지 확인할 수 있습니다. 그러나 수학은 아무것도 증명하지 못합니다. 공리에서 위의 진술을 추론하면 그에게 증명할 것입니다. 반복합시다. 여기서 수학은 실험적으로 주어진 사실에 의한 논증을 근본적으로 거부하는 스콜라주의의 방법에 가깝습니다.
예를 들어, 세그먼트의 비공약성이 발견되었을 때, 이 정리를 증명할 때 물리적 실험에 대한 호소는 배제되었습니다. 왜냐하면 첫째로 "비공약성"이라는 개념 자체에 물리적 의미가 결여되어 있고, 둘째로 수학자들은 다음과 같이 할 수 없기 때문입니다. 추상화를 다룰 때, 감각-시각 장치로 측정할 수 있는 물질-콘크리트 확장을 보조하기 위해. 특히 정사각형의 변과 대각선의 공약불가능성은 빗변의 제곱(각각 대각선)과 제곱의 합이 같다는 피타고라스의 정리를 사용하여 정수의 속성을 기반으로 증명됩니다. 다리(직각 삼각형의 두 변). 또는 Lobachevsky가 천문학적 관찰의 결과를 참조하여 그의 기하학에 대한 확인을 찾고 있을 때 이 확인은 순전히 추측에 의해 수행되었습니다. 비 유클리드 기하학에 대한 Cayley-Klein과 Beltrami의 해석은 또한 물리적 대상보다 일반적으로 수학적 대상을 특징으로 했습니다.
수학적 증명의 두 번째 특징은 다른 과학의 증명 절차와 다른 가장 높은 추상성입니다. 그리고 다시, 수학적 대상의 개념의 경우와 마찬가지로 추상의 정도가 아니라 그 본질에 관한 것입니다. 사실 증명은 존재와 사고의 궁극적인 문제가 후자의 주제가 되기 때문에 많은 다른 과학, 예를 들어 물리학, 우주론, 그리고 물론 철학에서 추상화의 높은 수준에 도달합니다. 반면에 수학은 변수가 여기에서 기능한다는 사실로 구별되며, 그 의미는 특정 속성에서 추상화됩니다. 정의에 따르면 변수는 그 자체로 의미가 없는 기호이며 특정 대상의 이름으로 대체될 때(개별 변수) 또는 특정 속성과 관계가 표시될 때(술어 변수) 마지막으로 후자를 획득한다는 것을 기억하십시오. , 변수를 의미 있는 문장으로 대체하는 경우(명제 변수).
언급 된 기능은 구조에 변수가 포함되어 진술로 바뀌는 진술뿐만 아니라 수학적 증명에 사용되는 기호의 극단적 인 추상성의 특성을 결정합니다.
논리에서 논증으로 정의되는 바로 그 증명 절차는 추론의 규칙을 기반으로 진행되며, 이를 기반으로 한 입증된 진술에서 다른 진술로의 전환이 수행되어 일관된 추론 체인을 형성합니다. 가장 일반적인 것은 두 가지 규칙(대체 및 결론 도출)과 연역 정리입니다.
대체 규칙. 수학에서 치환은 주어진 집합의 각 요소를 동일한 집합의 다른 요소 F(a)로 대체하는 것으로 정의됩니다. 수학 논리에서 대체 규칙은 다음과 같이 공식화됩니다. 명제 미적분학의 참 공식 M에 A와 같은 문자가 포함되어 있는 경우 임의의 문자 D로 이를 대체함으로써 원래의 공식과 동일한 공식을 얻습니다. 이것은 명제 미적분학에서 명제(수식)의 의미를 추상화하기 때문에 가능하며 정확하게 허용됩니다... "참" 또는 "거짓" 값만 고려됩니다. 예를 들어, 공식 M: A-->(BUA)에서 A 대신 표현식(AUB)을 대체하여 결과적으로 새로운 공식(AUB) -->[(BU(AUB) ]을 얻습니다.
결론을 추론하는 규칙은 형식 논리에서 조건부 범주 삼단 논법 modus ponens(긍정 모드)의 구조에 해당합니다. 다음과 같이 보입니다.
ㅏ .
주어진 명제 (a-> b)와 또한 주어진 a. b를 따릅니다.
예를 들어: 비가 오면 포장 도로가 젖어 있고(a) 비가 오고 있으므로 포장 도로가 젖었습니다(b). 수학 논리에서 이 삼단논법은 (a-> b) a-> b로 작성됩니다.
추론은 일반적으로 함축을 위해 분리하여 결정됩니다. 함축(a->b)과 그것의 선행사(a)가 주어진다면, 우리는 이 함축(b)의 결과도 추론(증명)에 추가할 권리가 있습니다. 삼단 논법은 강제적이며 연역적 증명 수단의 무기고를 구성합니다. 즉, 수학적 추론의 요구 사항을 절대적으로 충족합니다.
수학적 증명에서 중요한 역할은 연역 정리에 의해 수행됩니다. 여러 정리에 대한 일반 이름으로, 그 절차를 통해 함축의 증명 가능성을 설정할 수 있습니다. A-> B, 논리 유도가 있을 때 공식 A의 공식 B. 명제 미적분의 가장 일반적인 버전(고전, 직관 및 기타 유형의 수학)에서 연역 정리는 다음과 같이 설명합니다. 전제 G의 시스템과 전제 A가 주어지면 규칙에 따라 B G, A B (- 유도 가능성의 부호)가 연역 될 수 있으며 G의 전제에서만 문장 A를 얻을 수 있습니다 --> 나.
우리는 직접적인 증거인 유형을 고려했습니다. 동시에 논리학에서는 이른바 간접증거를 사용하는데, 다음과 같은 방식으로 전개되는 비직접증거가 있다. 여러 가지 이유(연구 대상의 접근 불가능성, 존재의 현실 상실 등)로 인해 진술, 논문의 진실성에 대한 직접적인 증거를 수행할 기회가 없으면, 그들은 반대를 구축합니다. 그들은 그 반대가 모순을 낳고 따라서 그것이 거짓이라고 확신합니다. 그런 다음 반정립이 거짓이라는 사실로부터 - 배제된 중간(a v)의 법칙에 기초하여 - 논제의 참에 대한 결론을 도출합니다.
수학에서는 간접 증명의 한 형태인 모순에 의한 증명이 널리 사용됩니다. 그것은 특히 가치가 있으며 실제로 수학의 기본 개념과 규정, 예를 들어 다른 방법으로는 도입할 수 없는 실제 무한대 개념을 수용하는 데 없어서는 안될 필수 요소입니다.
모순 증명의 연산은 수학 논리로 다음과 같이 표현됩니다. 일련의 공식 G와 A(G , A)의 부정이 주어집니다. 이것이 B와 그것의 부정(G , A B, non-B)을 암시한다면, 우리는 A의 참이 공식 G의 시퀀스에서 나온다는 결론을 내릴 수 있습니다. .
참조:
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수학은 실제 세계의 양적 관계와 공간 형태의 과학입니다. 과학기술의 요구와 밀접하게 연관되어 수학이 연구하는 양적 관계와 공간적 형태의 저변은 끊임없이 확장되고 있어 위의 정의를 가장 일반적인 의미로 이해해야 한다.
수학을 공부하는 목적은 일반적인 전망, 사고의 문화, 과학적 세계관의 형성을 높이는 것입니다.
특수 과학으로서의 수학의 독립적인 위치를 이해하는 것은 충분한 양의 사실 자료가 축적된 후에 가능하게 되었으며 기원전 6-5세기에 고대 그리스에서 처음 발생했습니다. 이것이 초등학교 수학의 시작이었다.
이 기간 동안 수학적 연구는 경제 생활의 가장 단순한 요구에서 발생하는 기본 개념의 다소 제한된 재고만을 다루었습니다. 동시에 과학으로서의 수학의 질적 향상이 이미 일어나고 있습니다.
현대 수학은 종종 대도시에 비유됩니다. 대도시에서와 마찬가지로 수학에서도 성장과 개선의 지속적인 과정이 있기 때문에 이것은 훌륭한 비교입니다. 새로운 지역과 건물의 건설과 같은 수학에서 새로운 영역이 등장하고 우아하고 심오한 새로운 이론이 만들어지고 있습니다. 그러나 수학의 발전은 새로운 도시의 건설로 인한 도시의 모습을 바꾸는 것에 그치지 않습니다. 우리는 옛것을 바꿔야 합니다. 오래된 이론은 새롭고 보다 일반적인 이론에 포함됩니다. 오래된 건물의 기초를 강화할 필요가 있습니다. 멀리 떨어진 수학 도시 사이를 연결하려면 새로운 거리를 만들어야 합니다. 그러나 이것으로 충분하지 않습니다. 건축 설계에는 상당한 노력이 필요합니다. 수학의 다양한 영역에서 다양한 스타일이 과학에 대한 전반적인 인상을 손상시킬 뿐만 아니라 과학 전체를 이해하는 데 방해가 되어 다양한 부분 간의 연결을 설정하기 때문입니다.
또 다른 비교가 종종 사용됩니다. 수학은 체계적으로 새로운 싹을 제공하는 큰 가지에 비유됩니다. 나무의 각 가지는 수학의 하나 또는 다른 영역입니다. 새로운 가지가 자라면서 처음에는 따로 자라면서 가지의 수는 변하지 않고 일부 가지가 말라서 영양 주스가 부족합니다. 두 비교 모두 성공적이며 실제 상황을 잘 전달합니다.
의심할 여지 없이 아름다움에 대한 요구는 수학 이론의 구성에서 중요한 역할을 합니다. 아름다움에 대한 인식은 매우 주관적이며 이에 대해 종종 매우 추악한 생각이 있음은 말할 필요도 없습니다. 그러나 수학자들이 만장일치로 "아름다움"이라는 개념을 집어넣었다는 사실에 놀라지 않을 수 없습니다. 적은 수의 조건에서 광범위한 대상과 관련된 일반적인 결론을 얻을 수 있다면 결과는 아름다운 것으로 간주됩니다. 수학적 유도는 간단하고 짧은 추론으로 중요한 수학적 사실을 증명할 수 있다면 아름다운 것으로 간주됩니다. 수학자의 성숙함, 그의 재능은 그의 미적 감각이 얼마나 발달했는지 짐작됩니다. 미학적으로 완전하고 수학적으로 완벽한 결과를 이해하고 기억하고 사용하기가 더 쉽습니다. 지식의 다른 영역과의 관계를 식별하는 것이 더 쉽습니다.
우리 시대의 수학은 많은 연구 분야, 엄청난 수의 결과 및 방법을 통해 과학 분야가 되었습니다. 이제 수학은 너무 커서 한 사람이 모든 부분을 다 다룰 수 없고, 수학에서 보편적인 전문가가 될 가능성도 없습니다. 서로 다른 방향 사이의 연결 상실은 확실히 이 과학의 급속한 발전의 부정적인 결과입니다. 그러나 모든 수학 분야의 발전의 기초에는 발전의 기원, 수학 나무의 뿌리라는 공통점이 있습니다.
최초의 자연과학 이론으로서의 유클리드 기하학
양, 양적 관계 및 공간적 형태를 연구하는 과학
첫 글자 "m"
두 번째 문자 "a"
세 번째 문자 "t"
마지막 너도밤나무는 문자 "a"입니다.
"양, 양적 관계 및 공간 형태를 연구하는 과학" 단서에 대한 답변, 10자:
수학
수학이라는 단어에 대한 낱말 퍼즐의 대체 질문
이 과학의 대표자는 노벨의 신부를 물리 쳤으므로 노벨상은 성공에 대해 주어지지 않습니다.
Polytechnic University 프로그램의 "타워"
수량, 양적 관계 및 공간 형태를 연구하는 정확한 과학
양, 양적 관계, 공간 형태의 과학
Marina Neelova가 수행 한 "Dear Elena Sergeevna"가 학교에서 가르친 것은이 주제였습니다.
사전에서 수학에 대한 단어 정의
살아있는 위대한 러시아어 설명 사전, Vladimir Dal
살아있는 위대한 러시아어, Vladimir Dal의 사전 설명 사전에있는 단어의 의미
그리고. 크기와 양의 과학; 숫자로 표현할 수 있는 모든 것은 수학에 속한다. - 순수, 추상적으로 규모를 다룬다. - 적용, 첫 번째 케이스를 개체에 부착합니다. 수학은 산술과 기하학으로 나뉘는데 첫 번째는 ...
위키피디아
Wikipedia 사전에서 단어의 의미
수학(
큰 소련 백과사전
대 소비에트 백과 사전에있는 단어의 의미
I. 수학 주제의 정의, 다른 과학 및 기술과의 연결. 수학(그리스어 수학, mathema ≈ 지식, 과학에서 파생됨), 실제 세계의 양적 관계 및 공간적 형태에 대한 과학. "순수 수학의 목적은 ...
러시아어 T. F. Efremova의 새로운 설명 및 파생 사전.
사전에 있는 단어의 의미 러시아어 T. F. Efremova의 새로운 설명 및 파생 사전.
그리고. 실세계의 공간적 형태와 양적 관계에 대한 과학적 학문. 주어진 과학 분야의 이론적 토대를 포함하는 학문적 주제. 펴다 주어진 학문적 주제의 내용을 설명하는 교과서. 트랜스. 펴다 정확한,...
문학에서 수학이라는 단어를 사용한 예.
처음에 Trediakovsky는 Vasily Adadurov의 보호를 받았습니다. 수학자, 위대한 Jacob Bernoulli의 학생이었고, 이 쉼터를 위해 시인은 과학자에게 프랑스어로 지시했습니다.
들어갔다 수학자 Adadurov, 정비공 Ladyzhensky, 건축가 Ivan Blank, 다양한 대학의 평가사, 의사 및 정원사, 육군 및 해군 장교가 밝혀졌습니다.
두 사람이 길고 광택이 나는 호두나무 테이블에 안락의자에 앉았습니다. Axel Brigov와 수학자그의 강력한 소크라테스 대머리로 내가 알아보았던 브로드스키.
그의 노력으로 새로운 섹션을 만든 Pontryagin 수학- 위상 대수학, - 위상이 부여된 다양한 대수 구조를 연구합니다.
우리가 기술하고 있는 시대가 대수학의 비교적 추상적인 분야인 대수학의 발전을 목격했다는 점을 전달하면서 주목합시다. 수학, 덜 추상적인 부서, 기하학 및 산술을 결합하여 반은 대수, 반은 기하학으로 우리에게 내려온 가장 오래된 대수학 표현으로 입증된 사실입니다.
양적 관계와 현실의 공간적 형태에 대한 과학으로서의 수학은 우리 주변의 세계, 자연 및 사회 현상을 연구합니다. 그러나 다른 과학과 달리 수학은 다른 과학에서 추상화하여 고유한 속성을 연구합니다. 따라서 기하학은 색상, 질량, 경도 등의 다른 속성을 고려하지 않고 물체의 모양과 크기를 연구합니다. 일반적으로 수학적 대상(기하학적 도형, 숫자, 값)은 인간의 마음에 의해 만들어지며 수학적 언어를 구성하는 기호와 기호로 인간의 사고 속에서만 존재합니다.
수학의 추상성은 다양한 영역에 적용할 수 있게 해주며 자연을 이해하는 강력한 도구입니다.
지식의 형태는 두 그룹으로 나뉩니다.
첫 번째 그룹시각, 청각, 후각, 촉각, 미각과 같은 다양한 감각 기관의 도움으로 수행되는 감각 인식의 형태를 구성합니다.
주식회사 두 번째 그룹추상적 사고의 형태, 주로 개념, 진술 및 추론을 포함합니다.
감각 인식의 형태는 다음과 같습니다. 느끼다, 지각그리고 대표.
각 대상에는 하나가 아니라 많은 속성이 있으며 우리는 감각의 도움으로 속성을 압니다.
감정- 이것은 직접적으로(즉, 현재, 현재) 우리의 감각에 영향을 미치는 물질 세계의 사물이나 현상의 개별 속성을 반영합니다. 이것들은 물체의 빨강, 따뜻함, 원형, 녹색, 달콤함, 부드러움 및 기타 개별 속성의 감각입니다[Getmanova, p. 7].
개별 감각에서 전체 대상에 대한 인식이 형성됩니다. 예를 들어, 사과에 대한 인식은 구형, 빨간색, 달콤하고 신맛, 향기로운 등의 감각으로 구성됩니다.
지각우리의 감각에 직접적으로 영향을 미치는 외부 물질 대상의 전체론적 반영[Getmanova, p. 여덟]. 예를 들어 접시, 컵, 숟가락, 기타 도구의 이미지; 우리가 지금 항해 중이거나 강둑에 있는 경우 강의 이미지; 숲의 이미지, 지금 숲에 왔다면 등
지각은 비록 그것이 우리 마음의 현실에 대한 감각적 반영이지만 인간의 경험에 크게 의존합니다. 예를 들어, 생물학자는 초원을 한 가지 방식으로 인식하지만(그는 다양한 유형의 식물을 볼 것입니다), 관광객이나 예술가는 완전히 다른 방식으로 초원을 인식합니다.
성능- 이것은 현재 우리가 인식하지 못하지만 이전에는 어떤 형태로든 우리가 인식한 대상의 관능적 이미지입니다[Getmanova, p. 십]. 예를 들어, 우리는 지인의 얼굴, 집안의 우리 방, 자작나무 또는 버섯을 시각적으로 상상할 수 있습니다. 이것들은 예입니다 재생산우리가 이러한 객체를 본 것처럼 표현.
프레젠테이션은 창의적인, 포함 환상적인. 아름다운 백조 공주 또는 Tsar Saltan 또는 Golden Cockerel 및 A.S. 우리가 본 적도, 앞으로도 볼 수 없는 푸쉬킨. 다음은 구두 설명보다 창의적인 프레젠테이션의 예입니다. 우리는 또한 Snow Maiden, 산타 클로스, 인어 등을 상상합니다.
따라서 감각 지식의 형태는 감각, 지각 및 표상입니다. 그들의 도움으로 우리는 객체의 외부 측면(속성을 포함한 기능)을 배웁니다.
추상적 사고의 형태는 개념, 진술 및 결론입니다.
개념. 개념의 범위와 내용
"개념"이라는 용어는 일반적으로 특정 특성(독특한, 필수) 속성 또는 이러한 속성의 전체 집합, 즉 해당 클래스의 멤버에 고유한 속성입니다.
논리의 관점에서 개념은 다음과 같은 특징이 있는 특별한 형태의 사고입니다. 1) 개념은 고도로 조직된 물질의 산물입니다. 2) 개념은 물질 세계를 반영합니다. 3) 개념은 일반화의 수단으로 의식에 나타납니다. 4) 개념은 특히 인간 활동을 의미합니다. 5) 사람의 마음 속에 개념의 형성은 말, 글 또는 상징을 통한 표현과 불가분의 관계입니다.
실재의 대상에 대한 개념은 어떻게 우리 마음에서 발생합니까?
어떤 개념을 형성하는 과정은 여러 단계의 연속적인 단계를 볼 수 있는 점진적인 과정이다. 가장 간단한 예를 사용하여이 과정을 고려하십시오 - 어린이의 숫자 3 개념 형성.
1. 인지의 첫 단계에서 아이들은 주제 사진을 사용하고 세 가지 요소(3개의 사과, 세 개의 책, 세 개의 연필 등)의 다양한 세트를 보여주면서 다양한 특정 세트에 익숙해집니다. 아이들은 각각의 세트를 볼 뿐만 아니라 이 세트를 구성하는 물건을 만질 수도 있습니다. 이 "보는" 과정은 아이의 마음에 현실에 대한 특별한 반영 형태를 만들어 냅니다. 지각(느낌).
2. 각 집합을 구성하는 물건(물건)을 제거하고 어린이들에게 각 집합을 특징짓는 공통점이 있는지 알아보도록 합시다. 각 세트에 있는 물건의 수는 어린이들의 마음에 각인되어야 했으며, 어디에나 "세 개"가 있었습니다. 그렇다면 아이들의 마음에 새로운 형태가 창조된 것입니다. 숫자 3의 아이디어.
3. 다음 단계에서 사고 실험에 기초하여 어린이들은 "3"이라는 단어로 표현된 속성이 형식(a, b, c)의 다른 요소 집합을 특징짓는다는 것을 알아야 합니다. 따라서 이러한 세트의 필수 공통 기능은 다음과 같습니다. "세 가지 요소를 갖기 위해".이제 우리는 아이들의 마음 속에 형성된 숫자 3의 개념입니다.
개념- 이것은 연구 대상이나 대상의 본질적(특이한) 속성을 반영하는 특별한 형태의 사고입니다.
개념의 언어적 형태는 단어 또는 단어 그룹입니다. 예를 들어 "삼각형", "숫자 3", "점", "직선", "이등변 삼각형", "식물", "침엽수", "예니세이 강", "테이블" 등.
수학적 개념에는 여러 가지 기능이 있습니다. 가장 중요한 것은 개념을 형성하는 데 필요한 수학적 대상이 현실에 존재하지 않는다는 것입니다. 수학적 대상은 인간의 마음에 의해 만들어집니다. 실제 물체나 현상을 반영하는 이상적인 물체입니다. 예를 들어, 기하학에서는 색상, 질량, 경도 등의 다른 속성을 고려하지 않고 물체의 모양과 크기를 연구합니다. 이 모든 것에서 그들은 주의가 산만해지고 추상화됩니다. 따라서 기하학에서는 "객체"라는 단어 대신 "기하학적 도형"이라고 말합니다. 추상화의 결과는 수학적 개념, "숫자" 및 "크기"로.
주요 특징어느 개념은다음: 1) 용량; 2) 콘텐츠; 3) 개념 간의 관계.
수학적 개념에 대해 이야기할 때 일반적으로 하나의 용어(단어 또는 단어 그룹)로 표시되는 전체 개체 집합(집합)을 의미합니다. 따라서 정사각형에 대해 말하면 정사각형인 모든 기하학적 모양을 의미합니다. 모든 사각형의 집합은 "정사각형" 개념의 범위라고 믿어집니다.
개념의 범위이 개념을 적용할 수 있는 객체 또는 객체의 집합을 호출합니다.
예를 들어, 1) "평행사변형" 개념의 범위는 평행사변형, 마름모꼴, 직사각형 및 정사각형과 같은 사각형의 집합입니다. 2) "한 자리 자연수"의 개념 범위는 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 집합입니다.
모든 수학적 개체에는 특정 속성이 있습니다. 예를 들어 정사각형에는 4개의 변이 있고 4개의 직각은 대각선과 같으며 대각선은 교차점에 의해 이등분됩니다. 다른 속성을 지정할 수 있지만 개체의 속성 중에는 필수적인 (특이한)그리고 비필수.
속성은 필수적인 (독특한) 대상이 이 대상에 내재되어 있고 그것 없이는 존재할 수 없는 경우; 속성이 호출됩니다 의미 없는 객체 없이 존재할 수 있다면 객체에 대한 것입니다.
예를 들어 정사각형의 경우 위에 나열된 모든 속성이 필수입니다. "측면 AD는 수평" 속성은 정사각형 ABCD와 관련이 없습니다(그림 1). 이 정사각형이 회전하면 측면 AD가 수직이 됩니다.
시각 자료를 사용하는 미취학 아동의 예를 고려하십시오(그림 2).
그림을 설명합니다.
작은 검은색 삼각형. 쌀. 2
큰 흰색 삼각형입니다.
수치가 어떻게 비슷합니까?
수치가 어떻게 다른가요?
색상, 크기.
삼각형은 무엇을 가지고 있습니까?
3면, 3코너.
따라서 아이들은 "삼각형" 개념의 필수 속성과 비필수 속성을 찾습니다. 필수 속성 - "세 변과 세 각이 있음", 비필수 속성 - 색상 및 크기.
에 반영된 대상 또는 대상의 모든 필수(특이한) 속성의 총체 이 개념, 라고 불리는 개념의 내용 .
예를 들어 "평행사변형" 개념의 경우 내용은 속성 집합입니다. 4개의 면이 있고 4개의 모서리가 있고 반대쪽 면은 쌍으로 평행하고 반대쪽 면은 동일하고 반대쪽 각도는 같음 교차점의 대각선 반으로 나뉩니다.
개념의 양과 내용 사이에는 연결이 있습니다. 개념의 양이 증가하면 내용이 감소하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 따라서 예를 들어 "이등변 삼각형" 개념의 범위는 "삼각형" 개념 범위의 일부이고 "이등변 삼각형" 개념의 내용은 다음을 포함합니다. 더 많은 속성"삼각형"이라는 개념의 내용보다 이등변 삼각형은 삼각형의 모든 속성뿐만 아니라 이등변 삼각형에만 고유한 다른 속성도 가지고 있습니다("두 변은 같음", "두 각은 같음", "두 중앙값은 같음" 등).
개념은 다음과 같이 나뉩니다. 싱글, 커먼그리고 카테고리.
부피가 1인 개념을 단일 개념 .
예를 들어, "Yenisei 강", "투바 공화국", "모스크바시"라는 개념.
볼륨이 1보다 큰 개념을 호출합니다. 일반 .
예를 들어 "도시", "강", "사변형", "숫자", "다각형", "방정식"과 같은 개념.
모든 과학의 기초를 연구하는 과정에서 아이들은 일반적으로 일반적인 개념을 형성합니다. 예를 들어, 초등학교학생들은 "숫자", "숫자", "한 자리 숫자", "두 자리 숫자", "여러 자리 숫자", "분수", "공유", "덧셈", "항"과 같은 개념에 대해 알게 됩니다. ", "합", "빼기", "빼기", "감소", "차", "곱하기", "승수", "곱", "나누기", "나누기", "제수", "몫", "구", "실린더" ", "원뿔", "입방체", "평면체", "피라미드", "각도", "삼각형", "사변형", "사각형", "직사각형", "다각형", " circle", "circle", "curve", "polyline", "segment", "length of segment", "ray", "straight line", "point", "length", "width", "height", "둘레", "모양 영역", "체적", "시간", "속도", "질량", "가격", "비용" 및 기타 여러 가지가 있습니다. 이 모든 개념은 일반적인 개념입니다.
수학 1. 수학이라는 단어는 어디에서 왔습니까? 2. 수학을 발명한 사람은 누구입니까? 3. 주요 테마. 4. 정의 5. 어원 마지막 슬라이드에서.
단어는 어디에서 왔습니까 (이전 슬라이드로 이동) 그리스어의 수학 - 연구, 과학) - 역사적으로 물체의 모양을 계산, 측정 및 설명하는 작업을 기반으로 한 구조, 질서 및 관계의 과학. 수학적 개체는 실제 또는 기타 수학적 개체의 속성을 이상화하고 이러한 속성을 형식 언어로 작성하여 생성됩니다.
수학을 발명 한 사람 (메뉴로 이동) 최초의 수학자는 일반적으로 VI 세기에 살았던 Miletus의 Thales라고합니다. 기원전 이자형. , 이른바 그리스의 7현인 중 한 명. 그것이 가능하더라도, 그에게 알려진 세계 내에서 오랫동안 형성되어 온 이 주제에 대한 전체 지식 기반을 처음으로 구성한 사람은 바로 그 사람이었습니다. 그러나 우리에게 내려온 수학에 관한 첫 번째 논문의 저자는 유클리드(기원전 3세기)였습니다. 그는 또한이 과학의 아버지로 당연히 간주됩니다.
주요 주제(메뉴로 이동) 수학 분야에는 순서나 측정값이 고려되는 과학만 포함되며 이것이 숫자, 숫자, 별, 소리 또는 이 측정값이 포함되는 다른 어떤 것이든 전혀 중요하지 않습니다. 가 발견됩니다. 따라서 특정 과목에 대한 연구에 들어가지 않고 질서와 척도에 관한 모든 것을 설명하는 일반 과학이 있어야 하며, 이 과학은 외래어가 아니라 일반 수학의 오래되고 이미 통용되는 이름으로 불려야 합니다.
정의(메뉴로 이동) 현대 분석은 수학의 세 가지 주요 영역 중 하나로 간주되는 고전적 수학적 분석을 기반으로 합니다(대수학 및 기하학과 함께). 동시에 고전적인 의미의 "수학적 분석"이라는 용어는 주로 커리큘럼과 자료에서 사용됩니다. 영미 전통에서 고전 수학 분석은 "미적분학"이라는 이름의 코스 프로그램에 해당합니다.
어원(메뉴로 이동) "수학"이라는 단어는 다른 그리스어에서 왔습니다. , 이는 연구, 지식, 과학 등을 의미합니다. - 그리스어는 원래 수용적인, 성공적인, 나중에는 연구와 관련되고 나중에는 수학과 관련됨을 의미합니다. 특히 라틴어로 수학의 예술을 의미합니다. 용어는 다른 그리스어입니다. 현대적 의미에서 "수학"이라는 단어는 이미 아리스토텔레스(기원전 4세기)의 작품에서 발견됩니다. "The Book of Selected Briefly on the Nine Muses and on the Seven Free Arts"(1672)에서
연구 대상의 이상화된 속성은 공리로 공식화되거나 해당 수학적 대상의 정의에 나열됩니다. 그런 다음 엄격한 논리적 추론 규칙에 따라 이러한 속성에서 다른 참 속성(정리)을 추론합니다. 이 이론은 함께 연구 대상의 수학적 모델을 형성합니다. 따라서 처음에는 공간적, 양적 관계에서 출발하여 수학은 보다 추상적인 관계를 얻게 되며, 이에 대한 연구는 현대 수학의 주제이기도 합니다.
전통적으로 수학은 수학적 구조에 대한 심층 분석을 수행하는 이론과 다른 과학 및 공학 분야에 그 모델을 제공하는 응용으로 나뉘며, 그 중 일부는 수학에 접한 위치를 차지합니다. 특히 형식 논리는 철학 과학의 일부와 수리 과학의 일부로 간주될 수 있습니다. 역학 - 물리학과 수학 모두; 컴퓨터 과학, 컴퓨터 기술 및 알고리즘은 공학 및 수학 과학 등을 모두 참조합니다. 수학에 대한 다양한 정의가 문헌에서 제안되었습니다.
어원
"수학"이라는 단어는 다른 그리스어에서 왔습니다. μάθημα, 즉 연구, 지식, 과학등 - 그리스어. μαθηματικός, 원래 의미 수용적인, 다산, 나중에 공부할 수 있는, 이후 수학에 관한. 특히, μαθηματικὴ τέχνη , 라틴어 아르스 수학자, 수단 수학의 예술. 기타 그리스어. "수학"이라는 단어의 현대적 의미에서 μᾰθημᾰτικά는 이미 아리스토텔레스(기원전 4세기)의 저술에서 발견됩니다. Fasmer에 따르면 이 단어는 폴란드어를 통해 러시아어로 전해졌습니다. matematyka 또는 위도를 통해. 수학.
정의
수학 주제에 대한 첫 번째 정의 중 하나는 데카르트에 의해 주어졌습니다.
수학 분야는 순서나 척도가 고려되는 과학만을 포함하며 이것이 숫자, 숫자, 별, 소리 또는 이 척도가 필요한 다른 무엇이든 전혀 중요하지 않습니다. 따라서 특정 과목에 대한 연구에 들어가지 않고 질서와 척도에 관한 모든 것을 설명하는 일반 과학이 있어야 하며, 이 과학은 외래어가 아니라 일반 수학의 오래되고 이미 통용되는 이름으로 불려야 합니다.
수학의 본질은 ... 이제 대상 간의 관계에 대한 교리로 제시되며, 대상을 설명하는 일부 속성을 제외하고는 아무것도 알려져 있지 않습니다. 추상적인 형태의 집합 - 수학적 구조.
수학의 가지
1. 수학 학문 분야
표기법
수학은 매우 다양하고 다소 복잡한 구조를 다루기 때문에 표기법도 매우 복잡합니다. 현대 시스템수식 쓰기는 수학의 후기 섹션인 수학 분석, 수학 논리, 집합 이론 등 유럽의 대수학 전통에 기초하여 형성되었습니다. 태곳적부터 기하학은 시각적(기하학적) 표현을 사용했습니다. 현대 수학에서는 복잡한 그래픽 표기법(예: 교환 다이어그램)도 일반적이며 그래프 기반 표기법도 자주 사용됩니다.
단편
수학 철학
목표 및 방법
우주 R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), 에 n > 3 (\displaystyle n>3)수학적 발명이다. 그러나 복잡한 현상을 수학적으로 이해하는 데 도움이 되는 매우 독창적인 발명».
기초
직관주의
건설적인 수학
밝히다
주요 주제
수량
수량의 추상화를 다루는 주요 섹션은 대수학입니다. "숫자"의 개념은 원래 산술 표현에서 유래했으며 자연수를 나타냅니다. 나중에 대수학의 도움으로 정수, 유리수, 실수, 복소수 및 기타 숫자로 점차 확장되었습니다.
변환
변형과 변화의 현상은 분석에 의해 가장 일반적인 형태로 고려됩니다.
구조
공간 관계
기하학은 공간 관계의 기본을 고려합니다. 삼각법은 삼각 함수의 속성을 고려합니다. 수학적 분석을 통한 기하학적 물체의 연구는 미분 기하학을 다룬다. 연속적인 변형에도 변하지 않는 공간의 성질과 연속성의 현상 그 자체를 위상학으로 연구한다.
이산 수학
| ∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\오른쪽 화살표 P(x"))) | |||
수학은 아주 오래전부터 존재해 왔습니다. 인간은 과일을 수확하고, 파내고, 물고기를 잡고 겨울 동안 모두 저장했습니다. 얼마나 많은 음식이 저장되어 있는지 이해하기 위해 한 사람이 계정을 발명했습니다. 수학은 이렇게 시작되었습니다.
그런 다음 그 남자는 농업에 종사하기 시작했습니다. 토지의 구획을 측정하고, 주택을 짓고, 시간을 측정하는 것이 필요했습니다.
즉, 사람이 현실 세계의 양적 비율을 사용할 필요가 있게 되었습니다. 얼마나 많은 작물이 수확되었는지, 건물 부지의 크기는 얼마인지, 또는 특정 수의 밝은 별이 있는 하늘의 면적이 얼마나 큰지 확인하십시오.
또한 사람은 형태를 결정하기 시작했습니다. 태양은 둥글고 상자는 정사각형이며 호수는 타원형이며 이러한 물체가 공간에 어떻게 위치하는지. 즉, 현실 세계의 공간적 형태에 관심을 갖게 된 것이다.
따라서 개념 수학실세계의 양적 관계와 공간적 형태의 과학으로 정의할 수 있다.
현재 수학 없이 할 수 있는 직업은 없습니다. "수학의 왕"으로 불리는 독일의 유명한 수학자 카를 프리드리히 가우스는 이렇게 말했습니다.
"수학은 과학의 여왕, 산수는 수학의 여왕이다."
"산술"이라는 단어는 그리스어 "arithmos"- "숫자"에서 유래합니다.
이런 식으로, 산수숫자와 연산을 연구하는 수학의 한 분야입니다.
초등학교에서는 우선 산수를 공부합니다.
이 과학은 어떻게 발전했습니까? 이 문제를 살펴보겠습니다.
수학의 탄생시기
수학적 지식의 주요 축적 시기는 기원전 5세기 이전으로 간주됩니다.
수학적 위치를 증명하기 시작한 첫 번째 사람은 기원전 7세기(아마도 625-545년)에 살았던 고대 그리스 사상가였습니다. 이 철학자는 동방 국가를 여행했습니다. 전승에 따르면 그는 이집트의 제사장들과 바빌론의 칼데아인들과 함께 공부했다고 합니다.
Miletus의 Thales는 기본 기하학의 첫 번째 개념을 이집트에서 그리스로 가져왔습니다. 지름은 무엇이며 삼각형을 결정하는 것은 무엇입니까 등. 그는 일식을 예측하고 엔지니어링 구조를 설계했습니다.
이 기간 동안 산술이 점차 발전하고 천문학과 기하학이 발전합니다. 대수와 삼각법이 탄생했습니다.
초등 수학 기간
이 기간은 VI BC로 시작됩니다. 이제 수학은 이론과 증명을 갖춘 과학으로 부상하고 있습니다. 숫자 이론, 수량 이론, 측정에 대한 이론이 나타납니다.
이 시대의 가장 유명한 수학자는 유클리드입니다. 그는 기원전 3세기에 살았습니다. 이 사람은 우리에게 내려진 최초의 수학 이론 논문의 저자입니다.
유클리드의 작품에서 소위 유클리드 기하학의 기초가 주어졌습니다. 이는 다음과 같은 기본 개념에 기초한 공리입니다.
초등 수학 기간 동안 수량 이론과 수량 이론이 탄생했습니다. 처음으로 음수와 무리수가 나타납니다.
이 기간이 끝나면 문자 그대로의 미적분학으로서 대수학의 생성이 관찰됩니다. "대수학"이라는 바로 그 과학이 방정식을 푸는 과학으로 아랍인들 사이에서 나타납니다. 아랍어에서 "대수학"이라는 단어는 "회복", 즉 음수 값을 방정식의 다른 부분으로 옮기는 것을 의미합니다.
변수의 수학 기간
이 시대의 창시자는 서기 17세기에 살았던 르네 데카르트입니다. 데카르트는 그의 저서에서 처음으로 변수의 개념을 소개합니다.
덕분에 과학자들은 일정한 양의 연구에서 변수 간의 관계 연구와 운동의 수학적 설명으로 이동합니다.
프리드리히 엥겔스(Friedrich Engels)는 그의 저서에서 이 시기를 가장 분명하게 특징지었습니다.
“수학의 전환점은 데카르트 변수였습니다. 덕분에 운동과 변증법이 수학에 들어섰고, 덕분에 미적분과 적분 미적분학이 즉시 필요하게 되었고, 이는 즉시 발생하고 대체로 완성되었으며 뉴턴과 라이프니츠가 발명하지 않았습니다.
현대 수학의 시대
19세기 20년대에 Nikolai Ivanovich Lobachevsky는 소위 비유클리드 기하학의 창시자가 되었습니다.
이 순간부터 현대 수학의 가장 중요한 부분의 개발이 시작됩니다. 확률 이론, 집합 이론, 수학적 통계 등과 같은.
이러한 모든 발견과 연구는 다양한 과학 분야에서 널리 사용됩니다.
그리고 현재 수학의 과학은 급속도로 발전하고 있으며 수학의 주제는 새로운 형태와 관계를 포함하여 확장되고 있으며 새로운 정리가 증명되고 기본 개념이 심화되고 있습니다.
연구 대상의 이상화된 속성은 공리로 공식화되거나 해당 수학적 대상의 정의에 나열됩니다. 그런 다음 엄격한 논리적 추론 규칙에 따라 이러한 속성에서 다른 참 속성(정리)을 추론합니다. 이 이론은 함께 연구 대상의 수학적 모델을 형성합니다. 따라서 처음에는 공간 및 양적 관계에서 진행하여 수학은보다 추상적 인 관계를 얻습니다. 이에 대한 연구는 현대 수학의 주제이기도합니다.
전통적으로 수학은 수학적 구조에 대한 심층 분석을 수행하는 이론과 다른 과학 및 공학 분야에 그 모델을 제공하는 응용으로 나뉘며, 그 중 일부는 수학에 접한 위치를 차지합니다. 특히 형식 논리는 철학 과학의 일부와 수리 과학의 일부로 간주될 수 있습니다. 역학 - 물리학과 수학 모두; 컴퓨터 과학, 컴퓨터 기술 및 알고리즘은 공학 및 수학 과학 등을 모두 참조합니다. 수학에 대한 다양한 정의가 문헌에서 제안되었습니다(참조).
어원
"수학"이라는 단어는 다른 그리스어에서 왔습니다. μάθημα ( 수학), 즉 연구, 지식, 과학등 - 그리스어. μαθηματικός ( 수학자), 원래 의미 수용적인, 다산, 나중에 공부할 수 있는, 이후 수학에 관한. 특히, μαθηματικὴ τέχνη (Mathēmatikḗ tékhnē), 라틴어 아르스 수학자, 수단 수학의 예술.
정의
수학 분야는 순서나 척도가 고려되는 과학만을 포함하며 이것이 숫자, 숫자, 별, 소리 또는 이 척도가 필요한 다른 무엇이든 전혀 중요하지 않습니다. 따라서 특정 과목에 대한 연구에 들어가지 않고 질서와 척도에 관한 모든 것을 설명하는 일반 과학이 있어야 하며, 이 과학은 외래어가 아니라 일반 수학의 오래되고 이미 통용되는 이름으로 불려야 합니다.
소비에트 시대에 A. N. Kolmogorov가 제공한 TSB의 정의는 고전적인 것으로 간주되었습니다.
수학 ... 실제 세계의 양적 관계와 공간 형태의 과학.
수학의 본질은 ... 이제 대상 간의 관계에 대한 교리로 제시되며, 대상을 설명하는 일부 속성을 제외하고는 아무것도 알려져 있지 않습니다. 추상적인 형태의 집합 - 수학적 구조.
다음은 좀 더 현대적인 정의입니다.
현대 이론("순수") 수학은 수학적 구조, 수학적 불변의 과학입니다. 다양한 시스템및 프로세스.
수학은 표준(정규) 형식으로 축소할 수 있는 모델을 계산하는 기능을 제공하는 과학입니다. 형식 변환을 통해 분석 모델(분석)에 대한 솔루션을 찾는 과학.
수학의 가지
1. 수학 학문 분야러시아 연방에서 중등 학교에서 공부하고 다음 분야에 의해 형성되는 초등 수학으로 세분화됩니다.
- 기본 기하학: 평면도와 입체도
- 기본 기능 이론 및 분석 요소
4. 미국 수학 학회(AMS)는 수학 분야를 분류하기 위한 자체 표준을 개발했습니다. 수학 과목 분류라고 합니다. 이 표준은 주기적으로 업데이트됩니다. 현재 버전은 MSC 2010입니다. 이전 버전은 MSC 2000입니다.
표기법
수학은 매우 다양하고 다소 복잡한 구조를 다루기 때문에 표기법도 매우 복잡합니다. 수식 작성의 현대 시스템은 유럽의 대수학 전통과 수학적 분석(함수, 도함수 등의 개념)을 기반으로 형성되었습니다. 태곳적부터 기하학은 시각적(기하학적) 표현을 사용했습니다. 현대 수학에서는 복잡한 그래픽 표기법(예: 교환 다이어그램)도 일반적이며 그래프 기반 표기법도 자주 사용됩니다.
단편
수학의 발전은 쓰기와 숫자 쓰기 능력에 달려 있습니다. 아마도 고대인들은 먼저 땅에 선을 긋거나 나무에 긁어서 양을 표현했을 것입니다. 다른 문자 체계가 없었던 고대 잉카인들은 이른바 키푸(quipu)라고 하는 복잡한 밧줄 매듭 체계를 사용하여 숫자 데이터를 표현하고 저장했습니다. 다양한 번호 체계가 있었습니다. 숫자에 대한 최초의 알려진 기록은 중왕국의 이집트인들이 만든 아메스 파피루스에서 발견되었습니다. 인도 문명은 0의 개념을 통합한 현대 십진법을 개발했습니다.
역사적으로 주요 수학 분야는 상업 분야에서 계산을 수행하고 토지를 측정하고 천문 현상을 예측하고 나중에는 새로운 물리적 문제를 해결해야 하는 필요성의 영향으로 등장했습니다. 이러한 각 영역은 구조, 공간 및 변화에 대한 연구로 구성된 수학의 광범위한 발전에서 큰 역할을 합니다.
수학 철학
목표 및 방법
수학은 형식적인 언어를 사용하여 상상의 이상적인 대상과 이들 간의 관계를 연구합니다. 일반적으로 수학적 개념과 정리는 물리적 세계의 어떤 것과도 반드시 일치하는 것은 아닙니다. 수학의 응용 분야의 주요 임무는 연구 중인 실제 대상에 대해 충분히 적절한 수학적 모델을 만드는 것입니다. 이론 수학자의 임무는 이 목표를 달성하기 위한 편리한 수단을 충분히 제공하는 것입니다.
수학의 내용은 수학적 모델의 체계와 그 생성을 위한 도구로 정의할 수 있습니다. 개체 모델은 모든 기능을 고려하지 않고 연구 목적(이상화)에 가장 필요한 것만 고려합니다. 예를 들어, 오렌지의 물리적 특성을 연구할 때 우리는 색상과 맛을 추상화하여 (완전히 정확하지는 않지만) 공으로 나타낼 수 있습니다. 2개와 3개를 더하면 얼마나 많은 오렌지를 얻을 수 있는지 이해해야 하는 경우 형식에서 추상화하여 모델에 단 하나의 특성인 수량만 남겨둘 수 있습니다. 추상화와 가장 일반적인 형태의 대상 간의 관계 설정은 수학적 창의성의 주요 영역 중 하나입니다.
추상화와 함께 또 다른 방향은 일반화입니다. 예를 들어 "공간"의 개념을 n차원의 공간으로 일반화합니다. " 의 공간은 수학적 발명품입니다. 그러나 복잡한 현상을 수학적으로 이해하는 데 도움이 되는 매우 독창적인 발명».
수학 내 대상에 대한 연구는 원칙적으로 공리적 방법을 사용하여 수행됩니다. 먼저 연구 대상에 대한 기본 개념 및 공리 목록이 공식화된 다음 추론 규칙을 사용하여 공리로부터 의미 있는 정리를 얻습니다. 수학적 모델.
기초
수학의 본질과 기초에 대한 질문은 플라톤 시대부터 논의되어 왔습니다. 20세기 이래로 엄격한 수학적 증명으로 간주되어야 하는 것에 대한 비교 동의가 있었지만 수학에서 무엇이 참으로 간주되는지에 대한 동의는 없었습니다. 이것은 공리 문제와 수학 분야의 상호 연결, 그리고 증명에 사용되어야 하는 논리 시스템의 선택 모두에서 불일치를 야기합니다.
회의적인 것 외에도 이 문제에 대한 다음과 같은 접근 방식이 알려져 있습니다.
집합 이론 접근
집합 이론의 틀 내에서 모든 수학적 대상을 고려하는 것이 제안되며, 가장 자주 Zermelo-Fraenkel 공리학을 사용합니다(비슷한 다른 것들이 많이 있음에도 불구하고). 이 접근 방식은 20세기 중반부터 널리 퍼진 것으로 간주되었지만 실제로 대부분의 수학 작업은 자신의 진술을 집합 이론의 언어로 엄격하게 번역하는 작업을 스스로 설정하지 않고 일부 영역에서 설정된 개념과 사실로 작동합니다. 수학의. 따라서 집합 이론에서 모순이 발견되면 대부분의 결과가 무효화되지 않습니다.
논리주의
이 접근 방식은 수학적 개체의 엄격한 유형을 가정합니다. 집합 이론에서 특별한 트릭으로만 피할 수 있는 많은 역설은 원칙적으로는 불가능한 것으로 판명됩니다.
형식주의
이 접근 방식은 고전 논리에 기반한 형식 시스템의 연구를 포함합니다.
직관주의
직관주의는 수학의 기초에서 증명 수단이 더 제한적인(그러나 더 신뢰할 수 있는 것으로 믿어지는) 직관론적 논리를 전제로 합니다. 직관주의는 모순에 의한 증명을 거부하고, 많은 비구성적 증명이 불가능해지고, 집합론의 많은 문제가 무의미해집니다(형식화 불가능).
건설적인 수학
구성 수학은 구성적 구성을 연구하는 직관주의에 가까운 수학의 경향 [ 밝히다] . 시공성 기준에 따르면 - " 존재한다는 것은 건설된다는 것을 의미한다". 구성성 기준은 일관성 기준보다 더 강력한 요구 사항입니다.
주요 주제
번호
"숫자"의 개념은 원래 자연수를 나타냅니다. 나중에 정수, 유리수, 실수, 복소수 및 기타 숫자로 점차 확장되었습니다.
| 수치 체계 | |
|---|---|
| 계산 세트 |
자연수 () 정수 () 논리 () 대수 () 마침표 계산 가능한 산술 |
| 실수 그리고 그들의 확장 |
실수 () 복소수 () 쿼터니언 () 케일리 수(옥타브, 옥톤) () 세데니온 () 알터니언 Cayley-Dixon 절차 이중 초복소수 초현실적 초현실적 초현실적 수( 영어) |
| 다른 숫자 체계 |
기수 서수(초한, 서수) p-adic 초자연적 수 |
| 또한보십시오 | 이중 숫자 무리수 초월 숫자 광선 Biquaternion |
변환
이산 수학
지식 분류 시스템의 코드
온라인 서비스
수학적 계산을 위한 서비스를 제공하는 사이트가 많이 있습니다. 대부분이 영어로 되어 있습니다. 러시아어를 구사하는 검색 엔진 Nigma의 수학적 쿼리 서비스에 주목할 수 있습니다.
또한보십시오
과학의 대중화메모
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수학은 가장 오래된 과학 중 하나입니다. 수학에 대한 간단한 정의를 내리는 것은 결코 쉬운 일이 아니며, 그 내용은 사람의 수학 교육 수준에 따라 크게 다릅니다. 남학생 초등학교이제 막 산수를 공부하기 시작한 그는 수학이 사물을 세기 위한 규칙을 연구하고 있다고 말할 것입니다. 그리고 그가 처음에 알게되기 때문에 그는 옳을 것입니다. 고학년 학생들은 수학의 개념이 대수와 기하학적 대상에 대한 연구를 포함한다고 말한 것에 추가할 것입니다: 선, 교차점, 평면 도형, 기하학적 몸체, 다양한 종류의 변형. 그러나 고등학교 졸업생은 수학의 정의에 함수의 연구와 극한에 이르는 동작, 그리고 도함수와 적분의 관련 개념을 포함할 것입니다. 고등 기술 교육 기관 또는 대학 및 교육 기관의 자연 과학 부서 졸업생은 확률 이론, 수학 통계, 미분 미적분, 프로그래밍, 계산 방법, 생산 프로세스 모델링, 실험 데이터 처리, 정보 전송 및 처리를 위한 이러한 분야의 응용뿐만 아니라. 그러나 나열된 것은 수학의 내용을 소진하지 않습니다. 집합 이론, 수학 논리, 최적 제어, 무작위 프로세스 이론 등도 구성에 포함됩니다.
구성 요소를 나열하여 수학을 정의하려는 시도는 수학이 정확히 무엇을 연구하고 우리 주변 세계와의 관계가 무엇인지에 대한 아이디어를 제공하지 않기 때문에 우리를 잘못된 길로 이끕니다. 물리학자, 생물학자 또는 천문학자에게 그러한 질문을 하면 각자가 연구하는 과학을 구성하는 부분의 목록을 포함하지 않고 매우 간단한 대답을 할 것입니다. 그러한 대답에는 그녀가 조사하는 자연 현상의 표시가 포함될 것입니다. 예를 들어, 생물학자는 생물학이 생명의 다양한 표현에 대한 연구라고 말할 것입니다. 이 대답은 완전히 완전하지는 않지만 생명과 생명 현상이 무엇인지 말하지 않기 때문에 그러한 정의는 생물학 자체의 과학과 이 과학의 다양한 수준의 내용에 대한 상당히 완전한 아이디어를 제공할 것입니다 . 그리고 이 정의는 생물학 지식의 확장으로 변하지 않을 것입니다.
수학 연구의 주제가 될 수 있지만 물리적, 생물학적, 화학적, 공학적 또는 사회적 현상과 관련이 없는 자연 현상, 기술적 또는 사회적 과정은 없습니다. 생물학 및 물리학, 화학 및 심리학과 같은 각 자연 과학 분야는 해당 주제의 물질적 특징, 연구하는 실제 세계 영역의 특정 특징에 의해 결정됩니다. 대상이나 현상 자체는 수학적 방법을 비롯한 다양한 방법으로 연구할 수 있지만 방법을 변경해도 이 과학의 내용은 연구 방법이 아니라 실제 주제이기 때문에 여전히 이 분야의 경계 내에 있습니다. 수학의 경우 연구의 물질적 주제가 결정적으로 중요하지 않고 적용 방법이 중요합니다. 예를 들어 삼각 함수는 진동 운동을 연구하고 접근할 수 없는 물체의 높이를 결정하는 데 모두 사용할 수 있습니다. 그리고 수학적 방법을 사용하여 실제 세계의 어떤 현상을 조사할 수 있습니까? 이러한 현상은 물질적 성질에 의해 결정되는 것이 아니라 형식적 구조적 특성에 의해서만 결정되며, 무엇보다 그러한 현상이 존재하는 양적 관계와 공간적 형태에 의해 결정됩니다.
따라서 수학은 물질적 대상을 연구하는 것이 아니라 연구 대상의 연구 방법 및 구조적 특성을 연구하여 특정 연산(합산, 미분 등)을 적용할 수 있도록 합니다. 그러나 수학적 문제, 개념 및 이론의 상당 부분은 실제 현상과 과정을 주요 원천으로 합니다. 예를 들어, 산술 및 수 이론은 사물을 세는 일차적인 실제 작업에서 등장했습니다. 기본 기하학은 거리 비교, 평면 도형의 면적 또는 공간체의 부피 계산과 관련된 문제를 원천으로 했습니다. 사용자간에 토지를 재분배하고 방어 구조물을 건설하는 동안 곡물 창고의 크기 또는 토공량을 계산해야했기 때문에이 모든 것을 찾아야했습니다.
수학적 결과는 특정 현상이나 과정을 연구하는 데 사용할 수 있을 뿐만 아니라 이전에 고려한 것과 물리적 성질이 근본적으로 다른 다른 현상을 연구하는 데에도 사용할 수 있다는 특성이 있습니다. 따라서 산술 규칙은 경제 문제와 기술 문제 및 문제 해결에 모두 적용 가능합니다. 농업그리고 과학 연구에서. 산술 규칙은 수천 년 전에 개발되었지만 실제적인 가치는 영원히 유지되었습니다. 산술은 수학에서 없어서는 안될 부분이며 전통적인 부분은 더 이상 수학의 대상이 아닙니다. 창조적 인 개발수학의 틀 내에서, 그러나 그것은 수많은 새로운 응용을 찾고 계속 찾을 것입니다. 이러한 응용 프로그램은 큰 가치그러나 그들은 더 이상 적절한 수학에 기여하지 않을 것입니다.
창조적 인 힘으로서의 수학은 수많은 특별한 경우에 사용해야하는 일반 규칙의 개발을 목표로합니다. 이 규칙을 만드는 사람은 새로운 것을 만들고 창조합니다. 기성품 규칙을 적용하는 사람은 더 이상 수학 자체에서 생성하지 않지만 수학 규칙의 도움으로 다른 지식 영역에서 새로운 가치를 생성할 가능성이 큽니다. 예를 들어, 오늘날에는 인공위성 이미지 해석 데이터, 암석의 구성 및 나이, 지구화학적 및 지구물리학적 이상에 대한 정보가 컴퓨터를 사용하여 처리됩니다. 의심할 여지 없이 지질 연구에서 컴퓨터를 사용하면 이 연구가 지질학적으로 남게 됩니다. 컴퓨터 및 소프트웨어의 작동 원리는 지질학의 이익을 위한 사용 가능성을 고려하지 않고 개발되었습니다. 이 가능성 자체는 지질 데이터의 구조적 특성이 특정 컴퓨터 프로그램의 논리와 일치한다는 사실에 의해 결정됩니다.
수학에 대한 두 가지 정의가 널리 퍼졌습니다. 이들 중 첫 번째는 Anti-Dühring의 F. Engels가, 다른 하나는 Architecture of Mathematics(1948)라는 기사에서 Nicolas Bourbaki로 알려진 프랑스 수학자 그룹이 제공한 것입니다.
"순수 수학은 실세계의 공간적 형태와 양적 관계를 대상으로 한다." 이 정의는 수학 연구의 대상을 설명할 뿐만 아니라 그 기원, 즉 실제 세계를 나타냅니다. 그러나 F. Engels의 이러한 정의는 19세기 후반의 수학 상태를 크게 반영합니다. 양적 관계나 기하학적 모양. 이것은 먼저 프로그래밍과 관련된 수학적 논리 및 분야입니다. 따라서 이 정의는 약간의 설명이 필요합니다. 아마도 수학은 연구의 대상으로 공간 형태, 양적 관계 및 논리적 구성을 가지고 있다고 말해야 할 것입니다.
Bourbaki는 "유일한 수학적 대상은 제대로 말하면 수학적 구조"라고 주장합니다. 즉, 수학은 수학적 구조의 과학으로 정의되어야 합니다. 이 정의는 본질적으로 동어반복어입니다. 왜냐하면 수학은 그것이 연구하는 대상과 관련되어 있다는 단 한 가지만 말하고 있기 때문입니다. 이 정의의 또 다른 결함은 우리 주변 세계와 수학의 관계를 명확히 하지 않는다는 것입니다. 또한 Bourbaki는 수학적 구조가 현실 세계 및 그 현상과 독립적으로 생성된다는 점을 강조합니다. 이것이 Bourbaki가 "주된 문제는 실험 세계와 수학적 세계 사이의 관계입니다. 실험 현상과 수학적 구조 사이에 밀접한 관계가 있다는 사실은 현대 물리학의 발견으로 전혀 예상치 못한 방식으로 확인된 것 같지만, 우리는 이에 대한 깊은 이유를 전혀 알지 못하고… .
F. Engels의 정의에는 이러한 실망스러운 결론이 나올 수 없습니다. 왜냐하면 수학적 개념은 현실 세계의 특정 관계와 형태로부터의 추상화라는 주장이 이미 포함되어 있기 때문입니다. 이러한 개념은 실제 세계에서 가져온 것이며 현실 세계와 연관됩니다. 본질적으로 이것은 우리 주변 세계의 현상에 대한 수학 결과의 놀라운 적용 가능성과 동시에 지식의 수학화 과정의 성공을 설명합니다.
수학은 지식의 모든 영역에서 예외가 아닙니다. 또한 실제 상황과 후속 추상화에서 발생하는 개념을 형성합니다. 그것은 또한 대략적으로 현실을 연구할 수 있게 한다. 그러나 수학은 현실 세계의 사물을 연구하는 것이 아니라 추상적 개념그리고 그 논리적 결론은 절대적으로 엄격하고 정확합니다. 그것의 근접성은 본질적으로 내부적이지 않지만 현상의 수학적 모델의 편집과 관련이 있습니다. 우리는 또한 수학의 규칙이 절대적인 적용 가능성을 가지고 있지 않으며, 또한 그들이 최고로 군림하는 제한된 적용 영역을 가지고 있다는 점에 주목합니다. 표현된 아이디어를 예를 들어 설명하겠습니다. 2와 2가 항상 4와 같지는 않습니다. 2리터의 알코올과 2리터의 물을 혼합할 때 혼합물의 4리터 미만이 얻어지는 것으로 알려져 있습니다. 이 혼합물에서 분자는 더 조밀하게 배열되고 혼합물의 부피는 구성 성분의 부피의 합보다 작습니다. 산술의 덧셈 규칙을 위반했습니다. 예를 들어 일부 객체를 추가할 때 합계가 합계의 순서에 따라 달라지는 것과 같이 다른 산술 진리가 위반되는 예를 제시할 수도 있습니다.
많은 수학자들은 수학적 개념을 순수한 이성의 창조가 아니라 실제로 존재하는 사물, 현상, 과정 또는 이미 확립된 추상(고차의 추상)으로부터의 추상으로 간주합니다. 자연의 변증법에서 F. Engels는 다음과 같이 썼습니다. "...소위 순수 수학은 모두 추상화에 관여합니다... 모든 양은 엄밀히 말하면 허수량입니다..." 이 단어는 다음의 의견을 아주 명확하게 반영합니다. 수학에서 추상화의 역할에 대한 마르크스주의 철학의 창시자 중 한 명. 우리는 이 모든 "허수량"이 현실에서 취해진 것이며 자유로운 생각의 비행에 의해 자의적으로 구성되지 않는다는 점을 덧붙이기만 하면 됩니다. 이것이 숫자의 개념이 일반적으로 사용되는 방법입니다. 처음에는 이것들이 단위 내의 숫자였고, 게다가 양의 정수만 있었습니다. 그런 다음 그 경험으로 인해 숫자의 무기고를 수십에서 수백으로 확장해야 했습니다. 일련의 정수의 무한함 개념은 역사적으로 우리와 가까운 시대에 이미 태어났습니다. "Psammit"( "모래 알갱이의 계산") 책에서 아르키메데스는 주어진 것보다 더 큰 수를 구성하는 것이 어떻게 가능한지 보여주었습니다 . 동시에 소수의 개념은 실용적인 필요에서 태어났습니다. 가장 단순한 기하학적 수치와 관련된 계산은 인류를 새로운 숫자, 즉 비합리적인 숫자로 이끌었습니다. 따라서 모든 실수의 집합에 대한 아이디어가 점차 형성되었습니다.
다른 수학 개념에 대해서도 동일한 경로를 따를 수 있습니다. 그것들은 모두 실용적인 필요에서 생겨나며 점차 추상적인 개념으로 형성되었습니다. F. Engels의 말을 다시 상기할 수 있습니다. 창의력과 상상력. 숫자와 숫자의 개념은 어디에서나 가져오는 것이 아니라 현실 세계에서만 가져옵니다. 사람들이 세는 법, 즉 첫 번째 산술 연산을 수행하는 법을 배운 열 손가락은 마음의 자유로운 창의성의 산물이 아닙니다. 셀 수 있으려면 셀 수 있는 대상뿐만 아니라 숫자를 제외한 다른 모든 속성에서 이러한 대상을 고려할 때 주의를 분산시키는 능력이 있어야 하며, 이러한 능력은 경험. 숫자의 개념과 도형의 개념은 모두 외부 세계에서 독점적으로 차용한 것이며 순수한 생각에서 머리로 발생하지 않습니다. 어떤 형태를 가진 것들이 있어야 했고, 이 형태들을 비교해야만 하나의 도형이라는 개념에 도달할 수 있었다.
과학의 과거 발전과 현재의 실천적 발전과 연결되지 않은 개념이 과학에 존재하는지 생각해 보자. 우리는 과학적 수학적 창의성이 학교, 대학에서 많은 과목에 대한 연구, 책 읽기, 기사, 자신의 분야 및 다른 지식 분야의 전문가와의 대화에 선행한다는 것을 잘 알고 있습니다. 수학자는 사회에 살고 책, 라디오, 다른 출처에서 과학, 공학 및 사회 생활에서 발생하는 문제에 대해 배웁니다. 또한 연구자의 사고는 과학적 사고의 이전 진화 전체에 영향을 받습니다. 따라서 과학의 발전에 필요한 특정 문제의 해결에 대비한 것으로 밝혀졌습니다. 그렇기 때문에 과학자는 마음대로 문제를 제기할 수 없으며 과학, 다른 연구자, 인류를 위해 가치 있는 수학적 개념과 이론을 만들어야 합니다. 그러나 수학적 이론은 다양한 조건에서 그 중요성을 유지합니다. 사회 형성그리고 역사적 시대. 또한, 어떤 식으로든 연결되지 않은 과학자들에게서 종종 동일한 아이디어가 발생합니다. 이것은 수학적 개념의 자유로운 생성 개념을 고수하는 사람들에 대한 추가 주장입니다.
그래서 우리는 "수학"의 개념에 무엇이 포함되어 있는지 말했습니다. 그러나 응용 수학이라는 것도 있습니다. 그것은 수학 이외의 응용을 찾는 모든 수학적 방법과 학문의 총체로 이해됩니다. 고대에는 기하학과 산수가 모든 수학을 대표했으며, 둘 다 무역, 면적과 부피 측정, 항해 문제에서 수많은 응용을 발견했기 때문에 모든 수학은 이론일 뿐만 아니라 적용되었습니다. 그 후 고대 그리스에서는 수학과 응용수학으로 나뉘었다. 그러나 모든 저명한 수학자들은 순전히 이론적인 연구뿐만 아니라 응용에도 참여했습니다.
수학의 추가 발전은 새로운 사회적 요구의 출현과 함께 자연 과학 및 기술의 발전과 지속적으로 연결되었습니다. XVIII 세기 말까지. 운동의 수학적 이론을 만들 필요가 있었습니다(주로 항해 및 포병 문제와 관련하여). 이것은 G. V. Leibniz와 I. Newton의 작품에서 이루어졌습니다. 응용 수학은 새로운 매우 강력한 연구 방법인 수학적 분석으로 보충되었습니다. 거의 동시에 인구 통계와 보험의 필요성으로 인해 확률 이론이 시작되었습니다(확률 이론 참조). 18세기와 19세기 응용 수학의 내용을 확장하여 일반 및 편미분 방정식 이론, 수학 물리학 방정식, 수학 통계 요소, 미분 기하학을 추가했습니다. 20 세기 무작위 프로세스 이론, 그래프 이론, 기능 분석, 최적 제어, 선형 및 비선형 프로그래밍과 같은 실용적인 문제에 대한 수학적 연구의 새로운 방법을 가져왔습니다. 게다가 정수론과 추상대수학이 물리학 문제에 예상치 못한 응용을 발견했다는 사실이 밝혀졌다. 그 결과 응용수학은 별개의 학문으로 존재하지 않으며 모든 수학은 응용수학으로 간주될 수 있다는 확신이 형성되기 시작했다. 수학이 응용되고 이론적인 것이 아니라, 수학자는 응용과 이론가로 나뉜다고 말할 필요가 있을지도 모른다. 어떤 사람들에게 수학은 주변 세계와 그 안에서 발생하는 현상에 대한 인식 방법이며, 이를 위해 과학자가 수학적 지식을 개발하고 확장합니다. 다른 사람들에게 수학 자체는 연구하고 개발할 가치가 있는 전 세계를 나타냅니다. 과학의 발전을 위해서는 두 가지 유형의 과학자가 필요합니다.
수학은 자체 방법으로 현상을 연구하기 전에 수학적 모델을 만듭니다. 즉, 고려할 현상의 모든 기능을 나열합니다. 이 모델은 연구자가 연구 중인 현상과 그 진화의 특징을 적절하게 전달할 수 있는 수학적 도구를 선택하도록 합니다. 예를 들어 행성계 모델을 살펴보겠습니다. 태양과 행성은 해당 질량을 가진 물질 점으로 간주됩니다. 각 두 점의 상호 작용은 두 점 사이의 인력에 의해 결정됩니다.
여기서 m 1 과 m 2 는 상호 작용하는 점의 질량, r은 점 사이의 거리, f는 중력 상수입니다. 이 모델의 단순성에도 불구하고 지난 300년 동안 태양계 행성의 운동 특징을 매우 정확하게 전달해 왔습니다.
물론 각 모델은 현실을 거칠게 만들고 연구자의 임무는 무엇보다 먼저 문제의 사실적 측면(그들이 말하는 물리적 특징)을 가장 완벽하게 전달하는 모델을 제안하는 것입니다. 다른 한편으로, 현실에 대한 상당한 근사치를 제공합니다. 물론 동일한 현상에 대해 여러 수학적 모델을 제안할 수 있습니다. 그들 모두는 모델과 현실 사이의 상당한 불일치가 영향을 미치기 시작할 때까지 존재할 권리가 있습니다.
