수학적 귀납 이론의 방법. 방법론적 개발 "수학적 귀납법"

임신과 어린이 03.10.2020

임신과 어린이

항상 진정한 지식은 패턴을 설정하고 특정 상황에서 그 정확성을 증명하는 데 기반을 두고 있습니다. 논리적 추론이 오랫동안 존재하는 동안 규칙의 공식이 주어졌으며 아리스토텔레스는 "올바른 추론"의 목록을 작성했습니다. 역사적으로 모든 추론을 두 가지 유형으로 나누는 것이 일반적입니다. 구체성에서 복수형으로(귀납), 그 반대의 경우(연역)입니다. 특정에서 일반으로, 일반에서 특정으로의 증거 유형은 상호 연결될 때만 존재하며 상호 교환할 수 없다는 점에 유의해야 합니다.

수학 입문

"귀납"(귀납)이라는 용어는 라틴어에 뿌리를 두고 있으며 문자 그대로 "안내"로 번역됩니다. 자세히 살펴보면 단어의 구조, 즉 라틴어 접두사 - in-(내부 또는 내부에 있는 지시된 동작을 나타냄) 및 -duction - 도입을 구별할 수 있습니다. 완전 유도와 불완전 유도의 두 가지 유형이 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 전체 형식은 특정 수업의 모든 과목에 대한 연구에서 도출된 결론이 특징입니다.

불완전 - 수업의 모든 주제에 적용되는 결론이지만 일부 단위의 연구를 기반으로 합니다.

완전한 수학적 귀납법은 이 기능적 연결에 대한 지식을 기반으로 하는 자연수의 관계에 의해 기능적으로 관련된 모든 객체의 전체 클래스에 대한 일반적인 결론을 기반으로 하는 결론입니다. 이 경우 증명 프로세스는 세 단계로 진행됩니다.

첫 번째 단계에서 수학적 귀납법 진술의 정확성이 입증됩니다. 예: f = 1, 유도;
다음 단계는 위치가 모든 자연수에 대해 유효하다는 가정을 기반으로 합니다. 즉, f=h, 이것은 귀납적 가정입니다.
세 번째 단계에서 숫자 f=h+1에 대한 위치의 유효성은 이전 단락의 위치의 정확성을 기반으로 증명됩니다. 이것은 귀납 전환 또는 수학적 귀납 단계입니다. 예를 들어 행의 첫 번째 뼈가 떨어지는 경우(기준), 행의 모든 뼈가 떨어지는 경우(전환)가 있습니다.

농담도 진지도

인식의 편의를 위해 수학적 귀납법에 의한 솔루션의 예는 농담 문제의 형태로 비난됩니다. 다음은 폴라이트 대기열 작업입니다.

행동 규칙은 남자가 여자 앞에서 차례를 바꾸는 것을 금지합니다(이러한 상황에서 그녀는 앞에 놓입니다). 이 진술에 따르면 줄의 마지막 사람이 남자이면 나머지는 모두 남자입니다.

수학적 귀납법의 놀라운 예는 "무차원 비행" 문제입니다.

미니버스에 인원수에 상관없이 탑승 가능함을 증명해야 합니다. 한 사람이 힘들이지 않고 (기본적으로) 수송선에 들어갈 수 있는 것이 사실입니다. 그러나 미니버스가 아무리 가득 차더라도 항상 1명의 승객이 탈 수 있습니다(인덕션 단계).

익숙한 서클

수학적 귀납법으로 문제와 방정식을 푸는 예는 매우 일반적입니다. 이 접근 방식의 예시로 다음 문제를 고려할 수 있습니다.

상태: h 원이 평면에 배치됩니다. 그림의 배열에 대해 그림으로 구성된 지도가 두 가지 색상으로 올바르게 채색될 수 있음을 증명해야 합니다.

해결책: for h=1 진술의 진실은 명백하므로, 원의 수 h+1에 대한 증명이 만들어질 것입니다.

이 진술이 모든 지도에 대해 참이고 h + 1개의 원이 평면에 주어졌다고 가정해 봅시다. 전체에서 원 중 하나를 제거하면 두 가지 색상(흑백)으로 올바르게 채색된 지도를 얻을 수 있습니다.

삭제된 원을 복원하면 각 영역의 색상이 반대(이 경우 원 내부)로 변경됩니다. 지도가 두 가지 색상으로 올바르게 색칠되어 있음이 밝혀졌으며 이는 증명이 필요했습니다.

자연수를 사용한 예

수학적 귀납법의 적용은 아래에 명확하게 나와 있습니다.

솔루션 예:

모든 h에 대해 평등이 정확함을 증명하십시오.

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. h=1이라고 하면:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

이것으로부터 h=1에 대한 문장이 옳다는 것을 알 수 있습니다.

2. h=d라고 가정하면 다음 식이 얻어진다.

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. h=d+1이라고 가정하면 다음과 같이 나타납니다.

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

따라서 h=d+1에 대한 등식의 유효성이 입증되었으므로 이 명제는 모든 자연수에 대해 참이며, 이는 수학적 귀납법으로 솔루션 예제에 표시됩니다.

작업

상태: h의 모든 값에 대해 표현식 7 h -1이 나머지 없이 6으로 나눌 수 있다는 증거가 필요합니다.

해결책:

1. 이 경우 h=1이라고 합시다.

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6(즉, 나머지 없이 6으로 나눈 값)

따라서 h=1의 경우 해당 명령문은 참입니다.

2. h=d이고 7 d -1을 나머지 없이 6으로 나눌 수 있다고 가정합니다.

3. h=d+1에 대한 진술의 타당성을 증명하는 공식은 다음과 같습니다.

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

에 이 경우첫 번째 항은 첫 번째 단락을 가정하여 6으로 나눌 수 있고 두 번째 항은 6과 같습니다. 7 h -1은 자연 h에 대한 나머지 없이 6으로 나눌 수 있다는 진술은 참입니다.

판단의 오류

사용된 논리적 구성의 부정확성으로 인해 종종 잘못된 추론이 증명에 사용됩니다. 기본적으로 이것은 증명의 구조와 논리를 위반했을 때 발생합니다. 잘못된 추론의 예는 다음 그림입니다.

작업

상태: 돌 더미가 더미가 아니라는 증거가 필요합니다.

해결책:

1. h=1이라고 합시다. 이 경우 더미에 1개의 돌이 있고 그 진술은 참입니다(기준).

2. 돌 더미가 더미가 아니라는 h=d에 대해 참이라고 하자(가정).

3. h=d+1이라고 하면 하나의 돌이 더 추가되면 집합이 더미가 되지 않습니다. 결론은 가정이 모든 자연 h에 대해 유효하다는 것을 스스로 제안합니다.

오류는 더미를 형성하는 돌의 수에 대한 정의가 없다는 사실에 있습니다. 이러한 생략을 수학적 귀납법에서 성급한 일반화라고 합니다. 한 예가 이것을 분명히 보여줍니다.

귀납법과 논리 법칙

역사적으로 그들은 항상 "손을 잡고 걷습니다." 논리, 철학과 같은 과학 분야는 반대의 형태로 설명합니다.

논리 법칙의 관점에서 귀납적 정의는 사실을 기반으로 하며 전제의 진실성은 결과 진술의 정확성을 결정하지 않습니다. 종종 결론은 어느 정도의 확률과 타당성으로 얻어지며 물론 추가 연구를 통해 확인되고 확인되어야 합니다. 논리 귀납법의 예는 다음과 같습니다.

에스토니아의 가뭄, 라트비아의 가뭄, 리투아니아의 가뭄.

에스토니아, 라트비아, 리투아니아는 발트해 연안 국가입니다. 모든 발트해 연안 국가의 가뭄.

이 예에서 우리는 귀납법을 사용하여 새로운 정보나 진실을 얻을 수 없다는 결론을 내릴 수 있습니다. 믿을 수 있는 것은 결론의 어느 정도 가능한 진실성뿐입니다. 또한 전제의 진실이 동일한 결론을 보장하지 않습니다. 그러나 이 사실이 귀납법이 귀납법의 뒷마당에 식생한다는 것을 의미하지는 않습니다. 귀납법을 사용하여 수많은 조항과 과학 법칙이 입증됩니다. 수학, 생물학 및 기타 과학이 그 예가 될 수 있습니다. 이는 주로 완전유도법에 의한 것이지만 경우에 따라 부분유도법도 적용할 수 있다.

유서 깊은 귀납 시대를 통해 인간 활동의 거의 모든 영역에 침투할 수 있었습니다. 이것은 과학, 경제 및 일상적인 결론입니다.

과학 환경에서 유도

귀납 방법은 세심한 태도가 필요합니다. 왜냐하면 너무 많은 것이 연구 전체의 세부 사항의 수에 달려 있기 때문입니다. 더연구할수록 결과가 더 신뢰할 수 있습니다. 이 기능을 기반으로 귀납법으로 얻은 과학적 법칙은 가능한 모든 구조적 요소, 연결 및 영향을 격리하고 연구하기 위해 확률적 가정 수준에서 충분히 오랜 시간 동안 테스트됩니다.

과학에서 귀납적 결론은 무작위 조항을 제외하고 중요한 특징을 기반으로 합니다. 이 사실과학적 지식의 세부 사항과 관련하여 중요합니다. 이것은 과학 귀납의 예에서 분명히 볼 수 있습니다.

과학 세계에는 두 가지 유형의 귀납법이 있습니다(연구 방법과 관련하여).

유도 선택(또는 선택);
유도 - 배제(제거).

첫 번째 유형은 다른 영역에서 클래스(하위 클래스)를 체계적으로(철저하게) 샘플링하는 것으로 구별됩니다.

이러한 유형의 유도의 예는 다음과 같습니다. 은(또는 은염)은 물을 정화합니다. 결론은 장기 관찰(일종의 확인 및 반박 선택 - 선택)을 기반으로 합니다.

두 번째 유형의 귀납은 인과 관계를 설정하고 그 속성, 즉 보편성, 시간적 순서의 준수, 필요성 및 모호성에 해당하지 않는 상황을 배제하는 결론을 기반으로 합니다.

철학의 관점에서 귀납과 연역

회고전을 보면 '귀납'이라는 말은 소크라테스가 처음 언급한 것입니다. 아리스토텔레스는 보다 근사한 용어 사전에서 철학 귀납의 예를 설명했지만 불완전 귀납 문제는 여전히 열려 있습니다. 아리스토텔레스적 삼단논법의 박해 이후, 귀납적 방법은 자연과학에서 유일하고 유익한 것으로 인식되기 시작했습니다. 베이컨은 독립적인 특수 방법으로 귀납법의 아버지로 간주되지만 동시대 사람들이 요구한 대로 귀납법에서 귀납법을 분리하지 못했습니다.

유도의 추가 개발은 일치, 차이, 잔류물 및 해당 변경의 네 가지 주요 방법의 관점에서 유도 이론을 고려한 J. Mill에 의해 수행되었습니다. 오늘날 나열된 방법이 자세히 고려할 때 연역적이라는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

베이컨과 밀의 이론이 일치하지 않는다는 인식은 과학자들로 하여금 귀납법의 확률적 기초를 조사하도록 이끌었습니다. 그러나 여기에도 약간의 극단이 있었습니다. 모든 후속 결과와 함께 확률 이론으로의 귀납을 줄이려는 시도가 있었습니다.

유도는 다음과 같은 경우 신임 투표를 받습니다. 실용적인 응용 프로그램특정 주제 영역에서 그리고 귀납적 기초의 미터법 정확도 덕분입니다. 철학의 귀납법과 연역법의 예는 법칙입니다. 중력. 법칙 발견 당시 뉴턴은 4%의 정확도로 이를 검증할 수 있었다. 그리고 200년이 넘는 시간이 지난 후에 확인했을 때, 같은 귀납적 일반화로 확인을 했음에도 0.0001%의 정확도로 정확성을 확인했다.

현대 철학은 경험, 직관에 의존하지 않고 "순수한" 추론을 사용하여 이미 알려진 것에서 새로운 지식(또는 진리)을 도출하려는 논리적 욕구에 의해 지시되는 연역에 더 많은 관심을 기울입니다. 연역적 방법에서 참 전제를 참조할 때 모든 경우에 출력은 참입니다.

이 매우 중요한 특성은 귀납적 방법의 가치를 가리지 않아야 합니다. 경험의 성취에 기초한 귀납은 또한 처리의 수단이되기 때문에 (일반화 및 체계화 포함).

경제학에서의 귀납적용

귀납법과 연역법은 경제를 연구하고 그 발전을 예측하는 방법으로 오랫동안 사용되어 왔습니다.

유도 방법의 사용 범위는 매우 넓습니다. 예측 지표 (이익, 감가 상각 등)의 이행 연구 및 기업 상태에 대한 일반적인 평가; 사실과 그 관계에 기초한 효과적인 기업 촉진 정책의 형성.

동일한 유도 방법이 Shewhart의 차트에서 사용되며, 프로세스가 제어된 프로세스와 관리되지 않는 프로세스로 구분된다는 가정 하에 제어된 프로세스의 프레임워크가 비활성화되어 있다고 명시되어 있습니다.

과학적 법칙은 귀납법을 사용하여 정당화되고 확인되며, 경제학은 수학적 분석, 위험 이론 및 통계 데이터를 자주 사용하는 과학이므로 귀납법이 주요 방법 목록에 포함되는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

다음의 상황은 경제학에서 귀납과 연역의 예가 될 수 있다. 식품(소비자 바구니에서)과 필수 상품의 가격 인상은 소비자로 하여금 주에서 부상하는 높은 비용(인덕션)에 대해 생각하게 합니다. 동시에 높은 비용이라는 사실에서 수학적 방법을 사용하여 개별 상품 또는 상품 범주(공제)에 대한 가격 상승 지표를 도출할 수 있습니다.

대부분의 경우 관리 직원, 관리자 및 경제학자는 귀납법을 사용합니다. 기업의 발전, 시장 행동 및 경쟁의 결과를 충분히 진실되게 예측할 수 있으려면 정보의 분석 및 처리에 대한 귀납적-연역적 접근이 필요합니다.

잘못된 판단을 언급하는 경제학 귀납의 예시:

회사 이익이 30% 감소했습니다.
경쟁자가 제품 라인을 확장했습니다.
다른 것은 변경되지 않았습니다.
경쟁 회사의 생산 정책으로 인해 30%의 이익 감소가 발생했습니다.
따라서 동일한 생산 정책을 구현해야 합니다.

그 예는 귀납법을 부적절하게 사용하는 것이 기업의 파멸에 어떻게 기여하는지를 보여주는 다채로운 예시입니다.

심리학의 연역과 귀납

방법이 있으므로 논리적으로 적절하게 조직된 사고(방법을 사용하기 위해)도 있습니다. 정신 과정, 그 형성, 발달, 관계, 상호 작용을 연구하는 과학으로서의 심리학은 연역 및 귀납의 표현 형태 중 하나로 "연역적" 사고에 주목합니다. 불행히도 인터넷의 심리학 페이지에는 연역적 귀납법의 무결성에 대한 정당화가 실제로 없습니다. 전문 심리학자는 귀납의 징후 또는 오히려 잘못된 결론에 직면할 가능성이 더 높지만.

잘못된 판단의 예로서 심리학의 귀납법의 예는 다음과 같은 진술입니다. 어머니는 기만자이므로 모든 여성은 기만자입니다. 삶에서 귀납하는 훨씬 더 "잘못된"예가 있습니다.

학생은 수학에서 듀스를 받으면 아무 것도 할 수 없습니다.
그는 바보입니다.
그는 영리 해;
나는 무엇이든지 할 수있다;

그리고 절대적으로 무작위적이고 때로는 중요하지 않은 메시지를 기반으로 한 다른 많은 가치 판단.

한 사람의 판단 오류가 부조리의 지점에 도달하면 심리 치료사에게 작업의 전면이 나타납니다. 전문가 약속에서 유도의 한 예:

“환자는 붉은 색이 모든 징후에서 그에게 위험을 초래할 것이라고 절대적으로 확신합니다. 결과적으로 사람은 가능한 한이 색 구성표를 자신의 삶에서 제외했습니다. 가정 환경에는 안락한 생활을 위한 많은 기회가 있습니다. 모든 빨간색 항목을 거부하거나 다른 색 구성표로 만든 아날로그로 교체할 수 있습니다. 하지만 에 공공 장소에서, 직장에서, 상점에서 - 불가능합니다. 스트레스 상황에 빠지면 환자는 매번 완전히 다른 "조수"를 경험합니다. 감정 상태다른 사람들에게 위험을 초래할 수 있습니다."

이러한 귀납법의 예는 무의식적으로 "고정된 생각"이라고 합니다. 멘탈에 이런 일이 생긴다면 건강한 사람, 우리는 정신 활동의 조직 부족에 대해 이야기 할 수 있습니다. 연역적 사고의 기초적인 발달은 강박 상태를 제거하는 방법이 될 수 있습니다. 다른 경우에는 정신과 의사가 그러한 환자와 함께 일합니다.

귀납의 위의 예는 "법의 무지가 결과(오판)에서 면제되지 않음"을 나타냅니다.

연역적 사고를 주제로 작업하는 심리학자들은 사람들이 이 방법을 익히는 데 도움이 되도록 고안된 권장 사항 목록을 작성했습니다.

첫 번째 단계는 문제 해결입니다. 보시다시피, 수학에서 사용되는 귀납법의 형식은 "고전적"인 것으로 간주 될 수 있으며이 방법의 사용은 마음의 "규율"에 기여합니다.

연역적 사고의 발전을 위한 다음 조건은 지평의 확장(명확하게 생각하는 사람, 명확하게 진술하는 사람)입니다. 이 권고는 "고통"을 과학 및 정보의 보고(도서관, 웹사이트, 교육 계획, 여행 등)로 안내합니다.

이와 별도로 소위 "심리적 귀납법"에 대해 언급해야 한다. 이 용어는 드물기는 하지만 인터넷에서 찾을 수 있습니다. 모든 출처는 이 용어에 대한 최소한의 간단한 정의를 제공하지 않지만 "인생의 예"를 언급하지만 다음과 같이 전달합니다. 새로운 종류암시, 정신 질환의 일부 형태, 또는 인간 정신의 극단적인 상태를 유도합니다. 위의 모든 것으로부터 거짓(종종 사실이 아닌) 전제에 기초하여 "새로운 용어"를 도출하려는 시도는 실험자가 잘못된(또는 성급한) 진술을 받게 된다는 것이 분명합니다.

1960년 실험에 대한 언급(장소, 실험자 이름, 피험자 샘플, 가장 중요한 것은 실험 목적을 표시하지 않음)에 대한 언급은 온화하고 설득력이 없으며 진술 두뇌가 지각의 모든 기관을 우회하는 정보를 인식한다는 것(이 경우 "경험이 있는"이라는 문구가 더 유기적으로 적합함)은 진술 작성자의 속기 쉬움과 무비판성에 대해 생각하게 만듭니다.

결론 대신

과학의 여왕 - 수학, 헛되지 않은 귀납 및 연역 방법의 가능한 모든 준비금을 사용합니다. 고려 된 예를 통해 가장 정확하고 신뢰할 수있는 방법조차도 피상적이고 부적절하게 적용하면 항상 잘못된 결과가 발생한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

대중 의식에서 추론 방법은 논리적 구성에서 종종 필요한 상황에서 추론을 사용하여 귀납의 예를 사용하는 유명한 셜록 홈즈와 관련이 있습니다.

이 기사는 다양한 과학 및 인간 생활 분야에서 이러한 방법을 적용한 예를 고려했습니다.

교육부 사라토프 지역

사라토프 주립 사회 경제 대학

수학 및 지역 대회 컴퓨터 작업학생

"미래의 벡터 - 2007"

«수학적 귀납법.

대수 문제 해결에 적용"

(섹션 "수학")

창작물

10"A"반 학생

MOU "제1체육관"

사라토프의 Oktyabrsky 지구

하루튜냔 가야네.

작업 관리자:

수학 선생님

그리시나 이리나 블라디미로브나

사라토프

2007

소개 ...........................................................................................................................................3

수학적 귀납의 원리와 그

증거 ...........................................................................................................4

문제 해결의 예 ..................................................................................................9

결론 ...........................................................................................................................16

문학 ...........................................................................................................................17

소개.

수학적 귀납법은 진보와 비교할 수 있습니다. 우리는 논리적 사고의 결과로 가장 낮은 곳에서 시작하여 가장 높은 곳으로 올라갑니다. 인간은 항상 자신의 생각을 논리적으로 발전시키는 능력, 즉 자연 자체가 인간이 귀납적으로 생각하고 논리의 모든 규칙에 따라 수행되는 증거로 그의 생각을 강화하도록 운명지어진 능력을 위해 진보를 위해 노력해 왔습니다.
현재 수학적 귀납법의 적용 분야는 성장했지만 불행히도 학교 교육 과정에서 이에 대한 시간이 거의 없습니다. 그러나 이것은 매우 중요합니다. 귀납적으로 생각할 수 있다는 것입니다.

수학적 귀납법의 원리와 그 증명

수학적 귀납법의 본질로 돌아가 봅시다. 다양한 진술을 고려해 봅시다. 일반문과 특수문으로 나눌 수 있는데, 일반적인 진술의 예를 들어보겠다.

모든 러시아 시민은 교육을 받을 권리가 있습니다.

모든 평행 사변형에서 교차점의 대각선은 이등분됩니다.

0으로 끝나는 모든 숫자는 5로 나누어 떨어집니다.

개인 진술의 관련 예:

Petrov는 교육을 받을 권리가 있습니다.

평행사변형 ABCD에서 교차점의 대각선은 이등분됩니다.

140은 5의 배수입니다.

일반적인 진술에서 특정 진술로의 전환을 연역이라고 합니다(라틴어에서 공제 - 논리 규칙에 따른 결론).

연역적 추론의 예를 고려하십시오.

모든 러시아 시민은 교육을 받을 권리가 있습니다. (하나)

Petrov는 러시아 시민입니다. (2)

Petrov는 교육을 받을 권리가 있습니다. (삼)

(2)의 도움으로 일반 주장 (1)에서 특정 주장 (3)을 얻습니다.

특정 진술에서 일반 진술로의 역전이를 귀납이라고 한다(라틴어에서 유도 - 안내).

귀납은 올바른 결론과 잘못된 결론을 모두 이끌어 낼 수 있습니다.

두 가지 예를 들어 설명하겠습니다.

140은 5로 나누어집니다. (1)

0으로 끝나는 모든 숫자는 5로 나누어 떨어집니다. (2)

140은 5로 나누어집니다. (1)

세 자리 숫자는 모두 5로 나눌 수 있습니다. (2)

특정 진술 (1)에서 일반 진술 (2)를 얻습니다. 진술 (2)는 사실이다.

두 번째 예는 특정 명령문(1)에서 일반 명령문(3)을 얻을 수 있는 방법을 보여줍니다. 게다가 명령문(3)은 참이 아닙니다.

올바른 결론만을 얻기 위해 수학에서 귀납법을 사용하는 방법에 대해 자문해 봅시다. 수학에서 허용되지 않는 귀납법의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1.

Leonard Euler가 주목한 다음 형식 Р(x)= x 2 + x + 41의 제곱 삼항식을 고려하십시오.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9)=131, P(10) = 151

우리는 항상 삼항식의 값이 소수임을 봅니다. 얻은 결과를 바탕으로 고려 중인 삼항식으로 대입할 때 x 대신 음이 아닌 정수는 항상 소수가 됩니다.

그러나 도출된 결론은 신뢰할 수 있는 것으로 간주될 수 없습니다. 무슨 일이야? 사실은 추론에서이 진술이 x의 일부 값에 대해 사실로 판명되었다는 근거에 의해서만 모든 x에 대한 일반적인 진술이 이루어집니다.

실제로 삼항식 P(x)를 자세히 살펴보면 숫자 P(0), P(1), ..., P(39)는 소수이지만 P(40) = 41 2 는 합성수입니다. 그리고 아주 명확하게: P(41) = 41 2 +41+41은 41의 배수입니다.

이 예에서 우리는 40개의 특별한 경우에 사실이지만 일반적으로 불공정한 것으로 판명된 진술을 만났습니다.

몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 2

17세기 V.G. 라이프니츠는 임의의 자연 n에 대해 n 3 - n 형식의 수는 3의 배수이고, n 5 - n은 5의 배수이며, n 7 - n은 7의 배수임을 증명했습니다. 이를 기반으로 그는 임의의 홀수 k에 대해 다음과 같이 제안했습니다. 그리고 자연수 n, 수 n k - n k의 배수이지만 곧 그는 2 9 -2=510임을 알아차렸으며, 이는 분명히 9로 나눌 수 없습니다.

고려한 예를 통해 중요한 결론을 내릴 수 있습니다. 진술은 여러 가지 특별한 경우에 사실일 수 있고 동시에 일반적으로 부당할 수 있습니다.

질문은 자연스럽게 발생합니다. 몇 가지 특별한 경우에 해당하는 진술이 있습니다. 모든 특별한 경우를 고려하는 것은 불가능합니다. 이 진술이 사실인지 어떻게 알 수 있습니까?

이 질문은 때때로 수학적 귀납법이라는 특별한 추론 방법을 적용하여 해결할 수 있습니다. 이 방법은 다음을 기반으로 합니다. 수학적 귀납법칙, 다음과 같이 결론을 내립니다.

n = 1에 유효합니다.

임의의 자연 n =k에 대한 진술의 유효성으로부터 n = k +1에 대해 참임을 알 수 있습니다.

증거.

반대의 경우, 즉 모든 자연 n에 대해 참이 아니라고 가정합니다. 다음과 같은 자연수 m이 있습니다.

n = m에 대한 진술은 참이 아니며,

모든 n에 대해

주장이 n = 1(조건 1)에 대해 참이기 때문에 m > 1인 것이 분명합니다. 따라서 m -1은 자연수입니다. 자연수 m -1에 대해서는 명제가 참이지만 다음 자연수 m에 대해서는 참이 아닙니다. 이것은 조건 2와 모순됩니다. 결과 모순은 가정이 잘못되었음을 보여줍니다. 따라서 주장은 모든 자연 n, h.d.에 대해 참입니다.

수학적 귀납법에 의한 증명을 수학적 귀납법에 의한 증명이라고 한다. 그러한 증명은 두 개의 독립적인 정리의 증명에서 두 부분으로 구성되어야 합니다.

정리 1. n = 1에 대한 진술은 참입니다.

정리 2. n=k에 대해 참이면 n=k +1에 대해 명제가 참입니다. 여기서 k는 임의의 자연수입니다.

이 두 가지 정리가 모두 증명되면 수학적 귀납법에 기초하여 그 진술은 어떤 경우에도 참입니다.
자연 n .

수학적 귀납법에 의한 증명은 확실히 정리 1과 2의 증명을 모두 요구한다는 점을 강조해야 합니다. 정리 2를 무시하면 잘못된 결론이 나옵니다(예제 1-2). 정리 1의 증명이 얼마나 필요한지 예를 들어 보여드리겠습니다.

실시예 3. "정리": 모든 자연수는 뒤에 오는 자연수와 같습니다.

증명은 수학적 귀납법으로 수행됩니다.

k = k +1(1)이라고 가정합니다.

k +1=k +2(2)임을 증명합시다. 이렇게 하려면 "equality"(1)의 각 부분에 1을 추가합니다. "equality"(2)를 얻습니다. 문이 n =k 에 대해 참이면 n =k +1 등에 대해서도 참이라는 것이 밝혀졌습니다.

"정리"의 명백한 "결과": 모든 자연수는 동일합니다.

오류는 수학적 귀납법칙을 적용하는데 필요한 정리 1이 아직 증명되지 않았고 참이 아니라 두 번째 정리만 증명되었다는 사실에 있다.

정리 1과 2가 특히 중요합니다.

정리 1은 귀납의 기초를 만듭니다. 정리 2는 이 기본의 무제한 자동 확장에 대한 권리, 이 특정 경우에서 다음으로, n에서 n + 1로 이동할 수 있는 권리를 제공합니다.

정리 1이 증명되지 않았지만 정리 2가 증명되었다면, 따라서 귀납의 기초가 만들어지지 않은 것이고, 실제로 확장할 것이 없기 때문에 정리 2를 적용하는 것은 의미가 없습니다.

정리 2가 증명되지 않고 정리 1만 증명되었다면, 귀납법을 수행할 기반은 마련되었지만 이 기반을 확장할 권리는 없습니다.

비고.

때때로 증명의 두 번째 부분은 n =k뿐만 아니라 n =k -1에 대한 진술의 유효성에 기초합니다. 이 경우 첫 번째 부분의 명령문은 n 의 다음 두 값에 대해 테스트해야 합니다.

때때로 진술은 자연적인 n이 아니라 n > m에 대해 증명됩니다. 여기서 m은 정수입니다. 이 경우 증명의 첫 번째 부분에서 n = m +1에 대해 주장이 확인되고 필요한 경우 n의 여러 후속 값에 대해 확인됩니다.

말한 내용을 요약하면 다음과 같습니다. 수학적 귀납법을 사용하면 일반 법칙을 찾아 이 경우에 발생하는 가설을 테스트하고 잘못된 것을 버리고 참을 주장할 수 있습니다.

경험적, 실험적 과학을 위한 개별 관찰 및 실험(즉, 귀납) 결과를 일반화하는 과정의 역할은 누구나 알고 있습니다. 수학은 오랫동안 고려되어 왔다 고전적인 패턴모든 수학적 제안(초기 제안 - 공리로 간주되는 제안 제외)이 입증되고 이러한 제안의 특정 적용이 일반적인 경우(연역)에 적합한 증명에서 파생된다는 것이 항상 명시적 또는 묵시적으로 가정되기 때문에 순수한 연역적 방법의 구현.

귀납은 수학에서 무엇을 의미합니까? 그것은 그다지 신뢰할 수 없는 방법으로 이해되어야 하며 그러한 귀납적 방법의 신뢰성에 대한 기준을 찾는 방법은 무엇입니까? 아니면 증명된 사실을 "확인"하는 것이 나쁘지 않을 정도로 실험 과학의 실험 일반화와 같은 성질의 수학적 결론의 확실성입니까? 실제로는 그렇지 않습니다.

가설에 대한 귀납법(지침)은 수학에서 매우 중요하지만 순전히 발견적 역할을 합니다. 즉, 해법이 무엇인지 추측할 수 있습니다. 그러나 수학적 명제는 연역적으로만 성립된다. 그리고 수학적 귀납법은 순전히 연역적 증명 방법입니다. 실제로 이 방법으로 수행된 증명은 두 부분으로 구성됩니다.

소위 "근거" - 하나(또는 여러 개의) 자연수에 대한 원하는 문장의 연역적 증거.

일반 진술의 연역적 증명으로 구성된 귀납적 단계. 정리는 모든 자연수에 대해 정확하게 증명됩니다. 입증된 근거에서 예를 들어 숫자 0에 대해 귀납 단계에서 숫자 1에 대한 증명을 얻은 다음 동일한 방식으로 2에 대해, 3에 대해 ... - 따라서 진술이 정당화될 수 있습니다. 임의의 자연수.

다시 말해, "수학적 귀납법"이라는 이름은 이 방법이 우리 마음 속에서 단순히 전통적인 귀납적 추론과 연관되어 있다는 사실에 기인합니다(결국 그 근거는 특정 경우에만 실제로 입증됨). 귀납적 단계는 자연과학 및 사회과학에서의 경험에 기초한 귀납적 추론의 타당성 기준과 대조적으로 특별한 전제를 필요로 하지 않는 일반적인 진술이며 연역적 추론의 엄격한 규범에 따라 증명된다. 따라서 수학적 귀납법은 "완전한" 또는 "완전한"이라고 불립니다. 신뢰할 수 있는 방법의 증거.

문제 해결의 예

대수학의 귀납

대수 문제의 몇 가지 예와 수학적 귀납법을 사용하여 풀 수 있는 다양한 부등식의 증명을 고려하십시오.

작업 1. 합에 대한 공식을 추측하고 증명하십시오.

하지만( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

해결책.

1. 합 А(n)에 대한 식을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + … + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), 여기서 B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .

2. C(n)과 B(n)의 합을 고려하십시오.

가) 다( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . 수학적 귀납법에서 자주 접하는 문제 중 하나는 임의의 자연 n에 대해 같음을 증명하는 것입니다.

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

(1)이 모든 n에 대해 참이라고 가정합니다.  N.

비 ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 . n에 따라 B(n)의 값이 어떻게 변하는지 관찰해보자.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

따라서 다음과 같이 가정할 수 있습니다.
B(n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) 결과적으로 합계 А(n)에 대해 다음을 얻습니다.

하지만( n ) ==

= (*)

3. 얻어진 식(*)을 수학적 귀납법으로 증명하자.

a) n = 1에 대한 등식(*)을 확인합니다.

A(1) = 2  =2,

분명히 공식 (*)은 n = 1에 대해 참입니다.

b) 공식 (*)이 n=k에 대해 참이라고 가정합니다. 여기서 k N, 즉 평등

A(k)=

가정을 기반으로 n = k +1에 대한 공식의 유효성을 증명할 것입니다. 진짜,

A(k+1)=

공식 (*)이 n =1에 대해 참이고 그것이 일부 자연적 k에 대해 참이라는 가정으로부터 수학적 귀납 원리에 기초하여 n =k +1에 대해 참이라는 결론을 내립니다. 평등

모든 자연 n에 대해 유지합니다.

작업 2.

합계 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n 을 계산합니다.

해결책.

n의 다른 값에 대한 합계 값을 연속적으로 적어 보겠습니다.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

패턴을 관찰하면 A(n)= - 짝수 n 및 A(n)=에 대해 가정할 수 있습니다.
홀수 n에 대해 두 결과를 하나의 공식으로 결합해 보겠습니다.

A(n) =
여기서 r은 n을 2로 나눈 나머지입니다.

그리고 아르 자형 , 다음 규칙에 의해 분명히 결정됩니다.

0이면 n은 짝수이고,

1 경우 n은 홀수입니다.

그 다음에 아르 자형(추측할 수 있음) 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

마지막으로 A(n)에 대한 공식을 얻습니다.

A(n)=

(*)

모든 n에 대해 평등(*)을 증명합시다.  N 수학적 귀납법.

2. a) n =1에 대한 등식(*)을 확인합니다. A(1) = 1=

평등은 공평하다

b) 평등이라고 가정합니다.

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

사실 n=k. n = k + 1에도 유효함을 증명합시다.

A(k+1)=

물론,

A(k+1)=A(k)+(-1) k(k+1) =

Q.E.D.

수학적 귀납법은 또한 나눗셈 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

작업 3.

숫자 N(n)=n 3 + 5n은 임의의 자연 n에 대해 6으로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

증거.

~에 n =1 숫자 N(1)=6이므로 진술은 참입니다.

숫자 N(k )=k 3 +5k를 어떤 자연 k에 대해 6으로 나눌 수 있다고 하자. N(k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)이 6으로 나눌 수 있음을 증명합시다. 사실, 우리는
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

왜냐하면 k와 k +1은 인접한 자연수이고 그 중 하나는 반드시 짝수이므로 표현식 3k(k +1)는 6으로 나눌 수 있습니다. 따라서 N(k +1)도 6으로 나눌 수 있습니다. 출력 숫자 N(n)=n 3 + 5n은 임의의 자연 n에 대해 6으로 나눌 수 있습니다.

완전한 수학적 귀납법을 여러 번 적용해야 하는 경우 더 복잡한 나눗셈 문제의 해를 생각해 보십시오.

작업 4.

임의의 자연수 n에 대해 증명
2 n +3 으로도 나누어지지 않습니다.

증거.

상상하다
작품의 형태로
=

= (*)

가정에 따라 (*)의 첫 번째 인수는 숫자 2 k +3 으로 균등하게 나눌 수 없습니다. 즉, 합성 숫자의 표현에서
소수의 곱의 형태로 숫자 2는 (k + 2) 번 이상 반복되지 않습니다. 그래서 그 숫자를 증명하기 위해
는 2 k +4로 나누어지지 않으므로 다음을 증명해야 합니다.
4의 배수가 아닙니다.

이 주장을 증명하기 위해 우리는 보조 주장을 증명합니다. 임의의 자연 n에 대해 숫자 3 2 n +1은 4로 나눌 수 없습니다. n = 1의 경우 10은 나머지 없이 4로 나눌 수 없기 때문에 주장은 분명합니다. 3 2 k +1이 4로 나누어지지 않는다고 가정하면 3 2(k +1) +1도 4로 나누어 떨어지지 않음을 증명합니다.
4. 마지막 표현식을 합계로 표현해 보겠습니다.

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . 합계의 두 번째 항은 4로 나눌 수 있지만 첫 번째 항은 나눌 수 없습니다. 따라서 전체 합은 나머지 없이 4로 나눌 수 없습니다. 보조 주장이 증명됩니다.

이제 그것은 분명하다.
2k는 짝수이므로 4로 나눌 수 없습니다.

마지막으로, 우리는 그 숫자를 얻습니다
모든 자연 n에 대해 2 n +3으로 균등하게 나눌 수 없습니다.

이제 부등식의 증명에 귀납법을 적용하는 예를 고려하십시오.

작업 5.

어떤 자연 n에 대해 부등식 2 n > 2n + 1이 성립합니까?

해결책.

1. 언제 n=1 2 1< 2*1+1,

~에 n=2 2 2< 2*2+1,

~에 n =3 2 3 > 2*3+1,

~에 n =4 2 4 > 2*4+1.

분명히, 부등식은 모든 자연 n에 대해 유효합니다.  3. 이 주장을 증명합시다.

2. 언제 n =3 부등식의 유효성은 이미 표시되었습니다. 이제 부등식이 n =k에 대해 유효하다고 가정합니다. 여기서 k는 3보다 작지 않은 자연수입니다.

2 k > 2k+1(*)

부등식이 n =k +1, 즉 2k +1 >2(k +1)+1에도 유효함을 증명합시다. (*)에 2를 곱하면 2k +1 >4k +2가 됩니다. 식 2(k +1)+1과 4k +2를 비교해 봅시다.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. 분명히, 모든 자연 k에 대해 2k -1>0 입니다. 그런 다음 4k +2>2(k +1)+1, 즉 2k+1 >2(k+1)+1. 주장이 입증되었습니다.

작업 6.

n개의 음수가 아닌 숫자의 산술 평균 및 기하 평균에 대한 부등식(Cauchy의 부등식)., 우리는 =

숫자 중 하나 이상이면
가 0이면 부등식(**)도 유효합니다.

결론.

작업을 하면서 수학적 귀납법의 본질과 그 증명을 공부했습니다. 본 논문은 불완전한 귀납법이 중요한 역할을 하여 정답을 도출한 다음, 수학적 귀납법을 이용하여 얻은 증명을 수행하는 문제를 제시하고 있다.

문학.

Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. 강의 및 과제 초등 수학; 과학, 1974.

빌렌킨 N.Ya. , 슈바르츠부르드 S.I. 수학적 분석.-
M.: 교육, 1973.

Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. 대수학 및 수학 분석 과정에 대한 심층 연구 - M .: 교육, 1990.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. 대수 및 기본 기능 분석.- M.: Nauka, 1980.

Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. 수학적 귀납법 - M.: Nauka, 1967.

소개

주요 부분

1. 완전귀납과 불완전귀납

2. 수학적 귀납법의 원리

3. 수학적 귀납법

4. 예시 풀이

5. 평등

6. 숫자의 나눗셈

7. 불평등

결론

중고 문헌 목록

소개

연역적 및 귀납적 방법은 모든 수학적 연구의 기초입니다. 추론의 연역적 방법은 일반적인 것에서 특수한 것으로 추론하는 것입니다. 추론의 출발점은 일반적인 결과이고 최종점은 특정 결과입니다. 귀납은 특정 결과에서 일반적인 결과로 전달할 때 적용됩니다. 연역적 방법의 반대이다.

수학적 귀납법은 진보와 비교할 수 있습니다. 우리는 논리적 사고의 결과로 가장 낮은 곳에서 시작하여 가장 높은 곳으로 올라갑니다. 인간은 자신의 생각을 논리적으로 발전시키는 능력, 즉 자연 자체가 인간이 귀납적으로 생각하도록 운명지어진 능력을 위해 항상 진보를 위해 노력해 왔습니다.

수학적 귀납법의 적용 분야는 성장했지만 학교 교과 과정에서 이를 적용하는 시간은 거의 없습니다. 글쎄 뭐라고 사람에게 유용한그들은 다섯 단어의 이론을 듣고 다섯 가지 원시적인 문제를 풀고 결과적으로 아무것도 몰라서 A를 받는 두세 개의 수업을 가져올 것입니다.

그러나 이것은 매우 중요합니다. 귀납적으로 생각할 수 있다는 것입니다.

주요 부분

원래 의미에서 "귀납"이라는 단어는 여러 특정 진술을 기반으로 일반적인 결론을 얻는 추론에 적용됩니다. 이러한 종류의 가장 간단한 추론 방법은 완전 귀납법입니다. 다음은 그러한 추론의 예입니다.

모든 자연적인 우수 n 4 이내< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

이 9개의 평등은 우리가 관심을 갖는 각각의 숫자가 실제로 두 개의 소수 항의 합으로 표현된다는 것을 보여줍니다.

따라서 완전한 귀납법은 일반 명제가 유한한 수의 가능한 경우 각각에서 별도로 증명된다는 것입니다.

경우에 따라 전체는 아니지만 충분히 고려한 후 전체 결과를 예측할 수 있습니다. 큰 수특별한 경우(소위 불완전 귀납).

그러나 불완전 귀납법으로 얻은 결과는 모든 특수한 경우를 포괄하는 정확한 수학적 추론에 의해 증명될 때까지 가설에 불과합니다. 즉, 수학에서 불완전 귀납법은 엄밀한 증명의 정당한 방법으로 간주되지 않지만 새로운 진리를 발견하는 강력한 방법입니다.

예를 들어 처음 n개의 연속된 홀수의 합을 구해야 한다고 가정해 보겠습니다. 특별한 경우를 고려하십시오.

1+3+5+7+9=25=5 2

이러한 몇 가지 특수한 경우를 고려한 후 다음과 같은 일반적인 결론이 나옵니다.

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

저것들. 처음 n개의 연속 홀수의 합은 n 2

물론 이러한 관찰이 아직 위 공식의 타당성을 입증하는 역할을 할 수는 없습니다.

완전한 귀납법은 수학에서 제한적으로만 적용됩니다. 많은 흥미로운 수학적 진술은 무한한 수의 특별한 경우를 다루며 우리는 무한한 수의 경우를 테스트할 수 없습니다. 불완전한 유도는 종종 잘못된 결과로 이어집니다.

많은 경우 이러한 종류의 어려움에서 벗어나는 방법은 수학적 귀납법이라고 하는 특별한 추론 방법에 의존하는 것입니다. 다음과 같습니다.

임의의 자연수 n에 대한 특정 진술의 유효성을 증명할 필요가 있다고 하자(예를 들어, 처음 n개의 홀수의 합이 n 2와 같다는 것을 증명할 필요가 있음). 자연수의 집합이 무한하기 때문에 n의 각 값에 대해 이 설명을 직접 검증하는 것은 불가능합니다. 이 명제를 증명하려면 먼저 n=1에 대한 유효성을 확인하십시오. 그런 다음 k의 모든 자연값에 대해 n=k에 대해 고려 중인 명령문의 유효성이 n=k+1에 대한 유효성도 함축한다는 것이 증명되었습니다.

그런 다음 주장은 모든 n에 대해 입증된 것으로 간주됩니다. 실제로, 이 진술은 n=1에 대해 참입니다. 그러나 다음 숫자 n=1+1=2에도 유효합니다. n=2에 대한 주장의 유효성은 n=2+에 대한 유효성을 의미합니다.

1=3. 이것은 n=4에 대한 명령문의 유효성을 의미합니다. 결국 우리는 임의의 자연수 n에 도달할 것이 분명합니다. 따라서 명제는 모든 n에 대해 참입니다.

말한 내용을 요약하면 다음과 같이 공식화됩니다. 일반 원칙.

수학적 귀납법의 원리.

만약 문장 A(N) 자연수에 따라N, 사실N=1 그리고 그것이 사실이라는 사실로부터n=k(어디케이- 임의의 자연수), 다음 숫자에 대해서도 마찬가지입니다.n=k+1, 다음 가정 A(N)는 모든 자연수에 대해 참입니다.N.

많은 경우에 모든 자연수가 아니라 n>p에 대해서만 특정 진술의 유효성을 증명해야 할 수도 있습니다. 여기서 p는 고정된 자연수입니다. 이 경우 수학적 귀납법칙은 다음과 같이 공식화된다. 만약 문장 A(N)에 대한 사실이다n=p그리고 만약 A(케이) Þ 하지만(k+1)누구에게나k>p,그런 다음 문장 A(N)누구에게나 사실n>p.

수학적 귀납법에 의한 증명은 다음과 같이 수행된다. 먼저 증명할 주장이 n=1인지 확인합니다. 즉, 진술 A(1)의 참이 성립한다. 증명의 이 부분을 귀납적 근거라고 합니다. 그 다음에는 유도 단계라고 하는 증명의 일부가 뒤따릅니다. 이 부분에서는 n=k+1에 대한 명제의 유효성이 n=k에 대해 참이라는 가정(귀납적 가정), 즉 A(k)ÞA(k+1)임을 증명합니다.

실시예 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 임을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=1=1 2 입니다. 따라서,

진술은 n=1에 대해 참입니다. 즉, A(1)은 참이다.

2) A(k)ÞA(k+1)임을 증명합시다.

k를 임의의 자연수라고 하고 그 명제가 n=k에 대해 참이라고 합시다. 즉,

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

다음 자연수 n=k+1에 대해서도 그 주장이 참임을 증명합시다. 무엇

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

물론,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

따라서 A(k)ÞA(k+1)입니다. 수학적 귀납법에 기초하여 가정 A(n)이 모든 nОN에 대해 참이라는 결론을 내립니다.

실시예 2

그것을 증명

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), 여기서 x¹1

솔루션: 1) n=1에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

따라서 n=1인 경우 공식은 참입니다. A(1)은 참이다.

2) k를 임의의 자연수라고 하고 공식이 n=k에 대해 참, 즉

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

평등함을 증명하자.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

물론

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(xk+1-1)/(x-1)+xk+1 =(xk+2-1)/(x-1).

따라서 A(k)ÞA(k+1)입니다. 수학적 귀납법칙에 기초하여 우리는 공식이 모든 자연수 n에 대해 참이라는 결론을 내립니다.

실시예 3

볼록 n각형의 대각선 개수가 n(n-3)/2임을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=3인 경우 해당 명령문은 참입니다.

그리고 3은 정확합니다. 왜냐하면 삼각형에서

A 3 =3(3-3)/2=0 대각선;

A 2 A(3)은 참입니다.

2) 다음과 같이 가정합니다.

볼록 k-gon has-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 대각선.

A k 다음을 볼록에서 증명하자.

(k+1)-곤 수

대각선 A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -볼록(k+1)-각이라고 합니다. 그 안에 대각선 A 1 A k를 그려 봅시다. 이 (k + 1)-gon의 총 대각선 수를 계산하려면 k-gon A 1 A 2 ...A k 의 대각선 수를 계산해야 하며 결과 수에 k-2를 추가합니다. 즉, 꼭짓점 A k+1 에서 나오는 (k+1)-gon의 대각선 수와 추가로 대각선 A 1 A k 를 고려해야 합니다.

이런 식으로,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

따라서 A(k)ÞA(k+1)입니다. 수학적 귀납법의 원리로 인해 이 명제는 모든 볼록 n각형에 대해 참입니다.

실시예 4

임의의 n에 대해 다음 명제가 참임을 증명하십시오.

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

솔루션: 1) n=1이라고 하면

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

따라서 n=1에 대한 명제는 참입니다.

2) n=k라고 가정

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1에 대한 이 진술을 고려하십시오.

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

우리는 n=k+1에 대한 등식의 유효성을 증명했으므로 수학적 귀납법 덕분에 그 명제는 모든 자연 n에 대해 참입니다.

실시예 5

모든 자연 n에 대해 평등이 참임을 증명하십시오.

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

솔루션: 1) n=1이라고 합니다.

그러면 X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1이 됩니다.

우리는 n=1에 대한 진술이 참임을 알 수 있습니다.

2) n=k에 대해 평등이 참이라고 가정합니다.

자연수 n에 의존하는 문장 A(n)이 n=1에 대해 참이고 n=k(여기서 k는 임의의 자연수임)에 대해 참이라는 사실로부터 다음과 같이 됩니다. 다음 숫자 n=k +1에 대해 참이면 가정 A(n)은 모든 자연수 n에 대해 참입니다.

많은 경우에 모든 자연수가 아니라 n>p에 대해서만 특정 진술의 유효성을 증명해야 할 수도 있습니다. 여기서 p는 고정된 자연수입니다. 이 경우 수학적 귀납법칙은 다음과 같이 공식화된다.

명제 A(n)이 n=p에 대해 참이고 임의의 k>p에 대해 A(k) X A(k+1)이면 명제 A(n)은 임의의 n>p에 대해 참입니다.

수학적 귀납법에 의한 증명은 다음과 같이 수행된다. 먼저 증명할 주장이 n=1인지 확인합니다. 즉, 진술 A(1)의 참이 성립한다. 증명의 이 부분을 귀납적 근거라고 합니다. 그 다음에는 유도 단계라고 하는 증명의 일부가 뒤따릅니다. 이 부분에서는 n=k+1에 대한 명제의 유효성이 n=k에 대해 참이라는 가정(귀납적 가정), 즉 A(k) ~ A(k+1) 증명

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 임을 증명하십시오.

1) n=1=1 2 입니다. 따라서 명제는 n=1에 대해 참입니다. A(1) 참
2) A(k) ~ A(k+1)임을 증명하자.

k를 임의의 자연수라고 하고 그 명제가 n=k에 대해 참이라고 합시다. 즉,

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

다음 자연수 n=k+1에 대해서도 그 주장이 참임을 증명합시다. 무엇

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 실제로,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

따라서 A(k) X A(k+1)입니다. 수학적 귀납법에 기초하여 가정 A(n)이 모든 n О N에 대해 참이라는 결론을 내립니다.

그것을 증명

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), 여기서 x 1번

1) n=1에 대해 우리는 다음을 얻습니다.
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

따라서 n=1인 경우 공식은 참입니다. A(1) 참

2) k를 임의의 자연수라고 하고 공식이 n=k에 대해 참이라고 하자.
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

평등함을 증명하자.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) 실제로
1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

따라서 A(k) ⋅ A(k+1). 수학적 귀납법칙에 기초하여 우리는 공식이 모든 자연수 n에 대해 참이라는 결론을 내립니다.

볼록 n각형의 대각선 개수가 n(n-3)/2임을 증명

솔루션: 1) n=3에 대해 설명은 참입니다. 왜냐하면 삼각형에서

A 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 대각선; A 2 A(3) 참

2) 볼록한 k-gon에 A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 대각선이 있다고 가정합니다. A k 그런 다음 볼록 A k+1 (k+1)-gon에서 대각선의 수 A k+1 =(k+1)(k-2)/2임을 증명합시다.

А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -볼록(k+1)-곤이라고 합니다. 그 안에 대각선 A 1 A k를 그려 봅시다. 이 (k + 1)-gon의 총 대각선 수를 계산하려면 k-gon A 1 A 2 ...A k 의 대각선 수를 계산해야 하며 결과 수에 k-2를 추가합니다. 즉, 꼭짓점 A k+1 에서 나오는 (k+1)-gon의 대각선 수 A 1 A k

이런 식으로,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

따라서 A(k) ⋅ A(k+1). 수학적 귀납법의 원리로 인해 이 명제는 모든 볼록 n각형에 대해 참입니다.

임의의 n에 대해 다음 명제가 참임을 증명하십시오.

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

솔루션: 1) n=1이라고 하면

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) n=k라고 가정

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) n=k+1에 대한 이 진술을 고려하십시오.

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

우리는 n=k+1에 대한 평등의 타당성을 증명했으므로, 수학적 귀납법 덕분에 명제는 모든 자연 n에 대해 참입니다.

모든 자연 n에 대해 평등이 참임을 증명하십시오.

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

솔루션: 1) n=1로 둡니다.

그러면 X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1이 됩니다. 우리는 n=1에 대한 진술이 참임을 알 수 있습니다.

2) n=k에 대해 평등이 참이라고 가정합니다.

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4

3) n=k+1, 즉

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

위의 증명에서 n=k+1에 대한 설명이 참이므로 모든 자연 n에 대해 평등이 참임을 알 수 있습니다.

그것을 증명

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), 여기서 n>2

솔루션: 1) n=2의 경우 ID는 다음과 같습니다.

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), 즉 그건 진실이야
2) n=k에 대해 표현식이 참이라고 가정합니다.
(2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
3) n=k+1에 대한 표현의 정확성을 증명할 것입니다.
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

우리는 n=k+1에 대한 등식의 타당성을 증명했으므로 수학적 귀납법 덕분에 그 명제는 n>2에 대해 참입니다.

그것을 증명

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) 모든 자연 n에 대해

솔루션: 1) n=1이라고 하면

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) n=k라고 가정하고,
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) n=k+1에 대해 이 명제의 참을 증명할 것입니다.
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1에 대한 등식의 유효성도 입증되었으므로 이 명제는 모든 자연 n에 대해 참입니다.

신원의 유효성을 증명하십시오

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) 모든 자연 n에 대해

1) n=1에 대해 항등식은 참이다 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) n=k인 경우
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) n=k+1일 때 항등식이 참임을 증명
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)

위의 증명에서 주장이 모든 양의 정수 n에 대해 참임을 알 수 있습니다.

(11 n+2 +12 2n+1)이 나머지 없이 133으로 나누어짐을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=1이라고 하면

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

그러나 (23 ґ 133)은 나머지 없이 133으로 나눌 수 있으므로 n=1인 경우 명제는 참입니다. A(1)은 참이다.

2) (11 k+2 +12 2k+1)이 나머지 없이 133으로 나누어진다고 가정
3) 이 경우 (11 k+3 +12 2k+3)은 나머지 없이 133으로 나누어떨어짐을 증명합시다. 물론
11 k+3 +12 2k+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

결과 금액은 나머지 없이 133으로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 항은 가정에 의한 나머지 없이 133으로 나눌 수 있고 두 번째 항에서는 133이기 때문입니다. 따라서 A(k) Yu A(k + 1). 수학적 귀납법에 의해 주장이 증명된다.

임의의 n 7 에 대해 n -1은 나머지 없이 6으로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

1) n=1이라고 하면 X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6을 나머지 없이 6으로 나눕니다. 따라서 n=1에 대해 진술은 참입니다.
2) n \u003d k 7 k -1에 대해 나머지 없이 6으로 나눌 수 있다고 가정합니다.
3) n=k+1에 대한 명제가 참임을 증명하자.

X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6

첫 번째 항은 6으로 나눌 수 있습니다. 7 k -1은 가정에 의해 6으로 나눌 수 있고 두 번째 항은 6이기 때문입니다. 따라서 7 n -1은 임의의 자연 n에 대해 6의 배수입니다. 수학적 귀납법에 의해 주장이 증명된다.

임의의 양의 정수 n에 대해 3 3n-1 +2 4n-3을 11로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

1) n=1이라고 하면

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11을 나머지 없이 11로 나눕니다.

따라서 n=1에 대해 진술은 참입니다.

2) n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3에 대해 나머지 없이 11로 나눌 수 있다고 가정합니다.
3) n=k+1일 때 그 명제가 참임을 증명

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

첫 번째 항은 나머지 없이 11로 나눌 수 있습니다. 3 3k-1 +2 4k-3은 가정에 의해 11로 나눌 수 있기 때문에 두 번째 항은 11로 나눌 수 있습니다. 왜냐하면 그 인수 중 하나가 숫자 11이기 때문입니다. 따라서 합은 다음과 같습니다. 또한 자연 n에 대한 나머지 없이 11로 나눌 수 있습니다. 수학적 귀납법에 의해 주장이 증명된다.

임의의 양의 정수 n에 대한 11 2n -1은 나머지 없이 6으로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

1) n=1이라고 하면 11 2 -1=120은 나머지 없이 6으로 나눌 수 있습니다. 따라서 n=1에 대해 진술은 참입니다.
2) n=k 1 에 대해 2k -1은 나머지 없이 6으로 나눌 수 있다고 가정합니다.
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

두 항 모두 나머지 없이 6으로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 항은 6의 배수인 120을 포함하고 두 번째 항은 가정에 따라 나머지 없이 6으로 나눌 수 있습니다. 따라서 합은 나머지 없이 6으로 나누어집니다. 수학적 귀납법에 의해 주장이 증명된다.

임의의 양의 정수 n에 대해 3 3n+3 -26n-27을 나머지 없이 26 2 (676)로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

먼저 3 3n+3 -1이 나머지 없이 26으로 나누어 떨어지는 것을 증명합시다.

1. n=0일 때
3 3 -1=26은 26으로 나누어집니다.
2. n=k인 경우
3 3k+3 -1은 26으로 나누어집니다.
3. n=k+1에 대한 진술이 참임을 증명합시다.
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26으로 나눌 수 있습니다.

이제 문제의 조건에서 공식화된 주장을 증명합시다.

1) n=1에 대한 진술이 참임이 분명합니다.
3 3+3 -26-27=676
2) n=k의 경우 표현식 3 3k+3 -26k-27을 나머지 없이 26 2로 나눌 수 있다고 가정합니다.
3) n=k+1에 대한 명제가 참임을 증명하자.
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

두 항 모두 26 2 로 나눌 수 있습니다. 첫 번째는 괄호 안의 표현이 26으로 나누어 떨어지는 것을 증명했기 때문에 26 2로 나눌 수 있고, 두 번째는 귀납적 가설로 나눌 수 있습니다. 수학적 귀납법에 의해 주장이 증명된다.

n>2이고 х>0이면 부등식 (1+х) n >1+n ґ х

1) n=2인 경우 부등식은 참입니다.
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

따라서 A(2)는 참이다.

2) k> 2인 경우 A(k) ⋅ A(k+1)임을 증명합시다. A(k)가 참이라고 가정합니다. 즉, 부등식
(1+х) k >1+k ґ x. (삼)

그러면 A(k+1)도 참임을 증명합시다. 즉, 부등식

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

실제로, 부등식 (3)의 양변에 양수 1+x를 곱하면 다음을 얻습니다.

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

마지막 부등식의 오른쪽을 고려하십시오. 우리는

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

결과적으로, 우리는 (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x를 얻습니다.

따라서 A(k) ⋅ A(k+1). 수학적 귀납법에 기초하여 베르누이 부등식은 모든 n> 2에 대해 유효하다고 주장할 수 있습니다.

부등식 (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2가 a> 0에 대해 참임을 증명

솔루션: 1) m=1인 경우

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 두 부분이 같음
2) m=k인 경우
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) m=k+1에 대해 비등식이 참임을 증명합시다.
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ 2

우리는 m=k+1에 대한 부등식의 타당성을 증명했으므로 수학적 귀납법으로 인해 부등식은 모든 자연 m에 대해 유효합니다.

n>6에 대해 부등식 3 n >n ґ 2 n+1을 증명하십시오.

부등식을 (3/2) n >2n 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

1. n=7의 경우 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 부등식은 참입니다.
2. n=k(3/2) k >2k인 경우
3) n=k+1에 대한 부등식의 타당성을 증명하자.
3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 이후, 마지막 부등식은 명백합니다.

수학적 귀납법으로 인해 부등식은 모든 자연 n에 대해 유효합니다.

n>2 부등식에 대해 증명

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) n=3인 경우 부등식은 참입니다.
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. n=k인 경우
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
3) n=k+1에 대한 부등식의 타당성을 증명합시다.
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

후자는 명백하므로

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

수학적 귀납법으로 부등식을 증명한다.

수학적 귀납법

소개

주요 부분

완전 및 불완전 유도
수학적 귀납의 원리
수학적 귀납법
예제 솔루션
평등
숫자 나누기
불평등

결론

중고 문헌 목록

소개

수학적 귀납법의 적용 분야는 성장했지만 학교 교과 과정에서 이를 적용하는 시간은 거의 없습니다. 글쎄, 유용한 사람은 다섯 단어의 이론을 듣고 다섯 가지 원시적 문제를 해결하고 결과적으로 아무것도 모르기 때문에 다섯 단어를 얻는 두세 번의 교훈을 얻을 것이라고 가정해 봅시다.

그러나 이것은 매우 중요합니다. 귀납적으로 생각할 수 있다는 것입니다.

주요 부분

4 내의 모든 자연 짝수 n이< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

이 9개의 평등은 우리가 관심을 갖는 각각의 숫자가 실제로 두 개의 소수 항의 합으로 표현된다는 것을 보여줍니다.

따라서 완전한 귀납법은 일반 명제가 유한한 수의 가능한 경우 각각에서 별도로 증명된다는 것입니다.

때로는 전체가 아니라 다수의 특수한 경우(소위 불완전 귀납)를 고려하여 일반적인 결과를 예측할 수 있습니다.

예를 들어 처음 n개의 연속된 홀수의 합을 구해야 한다고 가정해 보겠습니다. 특별한 경우를 고려하십시오.

1+3+5+7+9=25=5 2

이러한 몇 가지 특수한 경우를 고려한 후 다음과 같은 일반적인 결론이 나옵니다.

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

저것들. 처음 n개의 연속 홀수의 합은 n 2

물론 이러한 관찰이 아직 위 공식의 타당성을 입증하는 역할을 할 수는 없습니다.

많은 경우 이러한 종류의 어려움에서 벗어나는 방법은 수학적 귀납법이라고 하는 특별한 추론 방법에 의존하는 것입니다. 다음과 같습니다.

1=3. 이것은 n=4에 대한 명령문의 유효성을 의미합니다. 결국 우리는 임의의 자연수 n에 도달할 것이 분명합니다. 따라서 명제는 모든 n에 대해 참입니다.

지금까지 말한 내용을 요약하면 다음과 같은 일반 원칙을 공식화합니다.

수학적 귀납법의 원리.

명제 A(n)이 n=p에 대해 참이고 임의의 k>p에 대해 A(k)ÞA(k+1)이면 명제 A(n)은 임의의 n>p에 대해 참입니다.

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 임을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=1=1 2 입니다. 따라서,

진술은 n=1에 대해 참입니다. 즉, A(1)은 참이다.

2) A(k)ÞA(k+1)임을 증명합시다.

k를 임의의 자연수라고 하고 그 명제가 n=k에 대해 참이라고 합시다. 즉,

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

다음 자연수 n=k+1에 대해서도 그 주장이 참임을 증명합시다. 무엇

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

물론,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

따라서 A(k)ÞA(k+1)입니다. 수학적 귀납법에 기초하여 가정 A(n)이 모든 nОN에 대해 참이라는 결론을 내립니다.

그것을 증명

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), 여기서 x¹1

솔루션: 1) n=1에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

따라서 n=1인 경우 공식은 참입니다. A(1)은 참이다.

2) k를 임의의 자연수라고 하고 공식이 n=k에 대해 참, 즉

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

평등함을 증명하자.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

물론

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(xk+1-1)/(x-1)+xk+1 =(xk+2-1)/(x-1).

따라서 A(k)ÞA(k+1)입니다. 수학적 귀납법칙에 기초하여 우리는 공식이 모든 자연수 n에 대해 참이라는 결론을 내립니다.

볼록 n각형의 대각선 개수가 n(n-3)/2임을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=3인 경우 해당 명령문은 참입니다.

그리고 3은 정확합니다. 왜냐하면 삼각형에서

A 3 =3(3-3)/2=0 대각선;

A 2 A(3)은 참입니다.

2) 다음과 같이 가정합니다.

볼록 k-gon has-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 대각선.

A k 다음을 볼록에서 증명하자.

(k+1)-곤 수

대각선 A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

이런 식으로,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

따라서 A(k)ÞA(k+1)입니다. 수학적 귀납법의 원리로 인해 이 명제는 모든 볼록 n각형에 대해 참입니다.

임의의 n에 대해 다음 명제가 참임을 증명하십시오.

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

솔루션: 1) n=1이라고 하면

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

따라서 n=1에 대한 명제는 참입니다.

2) n=k라고 가정

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1에 대한 이 진술을 고려하십시오.

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

우리는 n=k+1에 대한 등식의 유효성을 증명했으므로 수학적 귀납법 덕분에 그 명제는 모든 자연 n에 대해 참입니다.

모든 자연 n에 대해 평등이 참임을 증명하십시오.

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

솔루션: 1) n=1이라고 합니다.

그러면 X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1이 됩니다.

우리는 n=1에 대한 진술이 참임을 알 수 있습니다.

2) n=k에 대해 평등이 참이라고 가정합니다.

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.

3) n=k+1, 즉

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

위의 증명에서 n=k+1에 대한 진술이 참이라는 것이 분명하므로 모든 자연 n에 대해 평등이 참입니다.

그것을 증명

((2 3 +1)/(2 3 -1))'((3 3 +1)/(3 3 -1))'…'((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), 여기서 n>2.

솔루션: 1) n=2의 경우 항등식은 다음과 같습니다. (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

저것들. 맞습니다.

2) n=k에 대해 표현식이 참이라고 가정합니다.

(2 3 +1)/(2 3 -1)′…′(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) n=k+1 식의 정확성을 증명할 것입니다.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))′…′((k 3 +1)/(k 3 -1)))′(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))′((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2′

'((k+1) 2 +(k+1)+1).

우리는 n=k+1에 대한 등식의 유효성을 증명했으므로 수학적 귀납법으로 인해 n>2에 대해 해당 진술이 참입니다.

그것을 증명

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

모든 자연 n에 대해

솔루션: 1) n=1이라고 하면

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) n=k라고 가정하고,

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) n=k+1에 대한 이 명제의 참을 증명하자.

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

n=k+1에 대한 등식의 유효성도 증명되었으므로 이 명제는 모든 자연수 n에 대해 참입니다.

신원의 유효성을 증명하십시오

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

모든 자연 n에 대해

1) n=1의 경우 항등식은 참 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1)입니다.

2) n=k인 경우

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) n=k+1일 때 항등식이 참임을 증명하자.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))′((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)′ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1).

위의 증명에서 주장이 모든 자연수 n에 대해 참임을 알 수 있습니다.

(11 n+2 +12 2n+1)이 나머지 없이 133으로 나누어짐을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=1이라고 하면

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

그러나 (23′133)은 나머지 없이 133으로 나눌 수 있으므로 n=1인 경우 이 명제는 참입니다. A(1)은 참이다.

2) (11 k+2 +12 2k+1)이 나머지 없이 133으로 나누어진다고 가정합니다.

3) 이 경우를 증명하자.

(11 k+3 +12 2k+3)은 나머지 없이 133으로 나누어집니다. 실제로 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

결과 합은 나머지 없이 133으로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 항은 가정에 의한 나머지 없이 133으로 나눌 수 있고 두 번째 항에서는 133이기 때문입니다. 따라서 А(k)ÞА(k+1)입니다. 수학적 귀납법에 의해 주장이 증명된다.

임의의 n 7 에 대해 n -1은 나머지 없이 6으로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=1이라고 하면 X 1 =7 1 -1=6을 나머지 없이 6으로 나눕니다. 따라서 n=1인 경우 해당 진술은 참입니다.

2) n=k인 경우

7 k -1은 나머지 없이 6으로 나누어집니다.

3) n=k+1에 대한 명제가 참임을 증명하자.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

임의의 자연 n에 대해 3 3n-1 +2 4n-3을 11로 나눌 수 있음을 증명하십시오.
솔루션: 1) n=1이라고 하면

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11을 나머지 없이 11로 나눕니다. 따라서 n=1에 대한 명제는 참입니다.

2) n=k인 경우

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3은 나머지 없이 11로 나눌 수 있습니다.

3) n=k+1에 대한 명제가 참임을 증명하자.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

첫 번째 항은 나머지 없이 11로 나눌 수 있습니다. 3 3k-1 +2 4k-3은 가정에 의해 11로 나눌 수 있기 때문에 두 번째 항은 11로 나눌 수 있습니다. 그 인수 중 하나가 숫자 11이기 때문입니다. 따라서 합은 다음과 같습니다. 또한 자연 n에 대해 나머지 없이 11로 나눌 수 있습니다. 수학적 귀납법에 의해 주장이 증명된다.

임의의 양의 정수 n에 대한 11 2n -1은 나머지 없이 6으로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

솔루션: 1) n=1이라고 하면 11 2 -1=120은 나머지 없이 6으로 나누어집니다. 따라서 n=1인 경우 해당 진술은 참입니다.

2) n=k인 경우

11 2k -1은 나머지 없이 6으로 나누어집니다.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

임의의 양의 정수 n에 대한 3 3n+3 -26n-27은 나머지 없이 26 2 (676)로 나눌 수 있음을 증명하십시오.

풀이: 먼저 3 3n+3 -1이 나머지 없이 26으로 나누어 떨어지는 것을 증명합시다.

n=0인 경우

3 3 -1=26은 26으로 나누어집니다.

n=k인 경우

3 3k+3 -1은 26으로 나누어집니다.

진술을 증명하자

n=k+1에 대해 참입니다.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) – 26의 배수

이제 문제의 조건에서 공식화된 주장을 증명합시다.

1) n=1에 대한 진술이 참임이 분명합니다.

3 3+3 -26-27=676

2) n=k인 경우

표현식 3 3k+3 -26k-27은 나머지 없이 26 2로 나눌 수 있습니다.

3) n=k+1에 대한 명제가 참임을 증명하자.

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

n>2이고 x>0이면 부등식

(1+x) n >1+n´x.

솔루션: 1) n=2인 경우 부등식은 참입니다.

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

따라서 A(2)는 참입니다.

2) k> 2인 경우 A(k)ÞA(k+1)임을 증명합시다. A(k)가 참이라고 가정합니다. 즉, 부등식

(1+x) k >1+k'x. (삼)

그러면 A(k+1)도 참임을 증명합시다. 즉, 부등식

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

실제로, 부등식 (3)의 양변에 양수 1+x를 곱하면 다음을 얻습니다.

(1+x) k+1 >(1+k'x)(1+x).

마지막 불평등의 오른쪽을 고려하십시오.

스트바; 우리는

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

결과적으로 우리는

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

따라서 A(k)ÞA(k+1)입니다. 수학적 귀납법칙에 기초하여 베르누이 부등식은 어떤 경우에도 유효하다고 주장할 수 있습니다.

부등식이 사실임을 증명

(1+a+a 2) m > 1+m'a+(m(m+1)/2)'a 2 for a> 0.

솔루션: 1) m=1인 경우

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)′a 2 두 부분은 동일합니다.

2) m=k인 경우

(1+a+a 2) k >1+k'a+(k(k+1)/2)'a 2

3) m=k+1에 대해 비등식이 참임을 증명합시다.

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k'a+

+(k(k+1)/2)′a 2)=1+(k+1)′a+((k(k+1)/2)+k+1)′a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)′a 3 +(k(k+1)/2)′a 4 > 1+(k+1)′a+

+((k+1)(k+2)/2)'a 2 .

우리는 m=k+1에 대한 부등식의 타당성을 증명했으므로 수학적 귀납법 덕분에 부등식은 모든 자연 m에 대해 참입니다.

n>6에 대해 부등식을 증명하십시오.

3 n > n'2 n+1 .

솔루션: 부등식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

n=7에 대해 우리는

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

불평등은 사실이다.

n=k인 경우

3) n=k+1에 대한 부등식의 정확성을 증명합시다.

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)′(3/2)>2k′(3/2)=3k>2(k+1).

k>7 이후, 마지막 부등식은 명백합니다.

수학적 귀납법 덕분에 부등식은 모든 자연 n에 대해 유효합니다.

n>2 부등식에 대해 증명

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

솔루션: 1) n=3의 경우 부등식은 참입니다.

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

n=k인 경우

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) 우리는 비의 유효성을 증명할 것입니다

n=k+1에 대한 등식

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

w(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

후자는 명백하므로

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

수학적 귀납법을 통해 부등식을 증명합니다.

결론

특히, 수학적 귀납법을 공부하면서 이 수학 분야에 대한 지식을 향상시켰고, 이전에는 제 능력 밖의 문제를 푸는 방법도 배웠습니다.

기본적으로 이들은 논리적이고 재미있는 작업이었습니다. 과학으로서의 수학 자체에 대한 관심을 높이는 사람들일 뿐입니다. 그러한 문제의 해결은 재미있는 활동이 되며 점점 더 호기심 많은 사람들을 수학적 미로로 끌어들일 수 있습니다. 제 생각에는 이것이 모든 과학의 기초입니다.

수학적 귀납법을 계속 연구하면서 수학뿐만 아니라 물리학, 화학, 생활 자체의 문제 해결에도 적용하는 방법을 배우려고 노력할 것입니다.

수학:

강의, 과제, 솔루션

교과서 / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. 포푸리 LLC 1996.

대수와 분석 원리

교과서 / I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. "계몽" 1975.