함수를 완전히 연구하고 그래프를 그리려면 다음 구성표를 사용하는 것이 좋습니다.

1) 함수의 범위를 찾습니다.

2) 함수와 수직 점근선(존재하는 경우)의 불연속점을 찾습니다.

3) 무한대에서 함수의 거동을 조사하고 수평 점근선과 경사 점근선을 찾습니다.

4) 짝수(oddity) 및 주기성(for 삼각 함수);

5) 함수의 극한과 단조 구간을 찾습니다.

6) 볼록과 변곡점의 간격을 결정합니다.

7) 가능한 경우 좌표축과 교차점을 찾고 그래프를 구체화하는 몇 가지 추가 지점을 찾습니다.

함수 연구는 그래프 구성과 동시에 수행됩니다.

실시예 9함수를 탐색하고 그래프를 작성하십시오.

1. 정의 영역: ;

2. 기능이 포인트에서 중단됩니다.
,
;

우리는 수직 점근선의 존재에 대한 함수를 조사합니다.

;
,
─ 수직 점근선.

;
,
─ 수직 점근선.

3. 사선 점근선과 수평 점근선의 존재에 대한 함수를 조사합니다.

똑바로
─ 사선 점근선, if
,
.

,
.

똑바로
─ 수평 점근선.

4. 함수가 균등하기 때문에
. 함수의 패리티는 y축에 대한 그래프의 대칭성을 나타냅니다.

5. 함수의 단조 구간과 극한 구간을 찾습니다.

중요한 점, 즉 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점:
;
. 우리는 세 가지 포인트가 있습니다
;

. 이 점은 전체 실제 축을 네 개의 간격으로 나눕니다. 기호를 정의하자 그들 각각에.

간격 (-∞; -1) 및 (-1; 0)에서 함수는 증가하고 간격 (0; 1) 및 (1; +∞)에서는 감소합니다. 포인트를 지날 때
도함수가 플러스에서 마이너스로 부호를 변경하므로 이 시점에서 함수는 최대값을 갖습니다.
.

6. 볼록성 간격, 변곡점을 찾아봅시다.

있는 지점을 찾아보자 0이거나 존재하지 않습니다.

진정한 뿌리가 없습니다.
,
,

포인트들
그리고
실제 축을 세 개의 간격으로 나눕니다. 기호를 정의하자 간격마다.

따라서 간격의 곡선
그리고
아래로 볼록, 간격 (-1;1)에서 위로 볼록; 변곡점은 존재하지 않습니다.
그리고
결정되지 않은.

7. 축과 교차점을 찾습니다.

축으로
함수의 그래프는 점 (0; -1)에서 교차하고 축과 교차합니다.
그래프가 교차하지 않기 때문에 이 함수의 분자에는 실근이 없습니다.

주어진 함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다.

그림 1 ─ 함수의 그래프

경제학에서 미분 개념의 적용. 기능 탄력성

경제적 과정을 연구하고 다른 응용 문제를 해결하기 위해 함수 탄력성 개념이 자주 사용됩니다.

정의.기능 탄력성
함수의 상대적 증분 비율의 한계라고합니다. 변수의 상대적 증분 ~에
, . (Ⅶ)

함수의 탄력성은 함수가 몇 퍼센트 변경되는지 대략적으로 보여줍니다.
독립 변수를 변경할 때 1%로.

함수의 탄력성은 수요와 소비의 분석에 사용됩니다. 수요의 탄력성(절대값)
, 다음과 같은 경우 수요가 탄력적인 것으로 간주됩니다.
─ 중립적인 경우
─ 가격(또는 소득)에 대해 비탄력적입니다.

실시예 10함수의 탄력성 계산
에 대한 탄력성 지수의 값을 찾으십시오. = 3.

솔루션: 공식 (VII)에 따라 함수의 탄력성:

x=3이라고 하면
즉, 독립변수가 1% 증가하면 종속변수의 값은 1.42% 증가한다.

실시예 11수요 기능을 보자 가격에 관하여 형태를 갖는다
, 어디 ─ 상수 계수. 가격 x = 3 den에서 수요 함수의 탄력성 지수 값을 찾으십시오. 단위

솔루션: 공식 (VII)를 사용하여 수요 함수의 탄력성을 계산합니다.

가정
화폐 단위, 우리는
. 즉, 가격에
화폐 단위 가격이 1% 상승하면 수요가 6% 감소합니다. 수요는 탄력적이다.

지침

함수의 범위를 찾습니다. 예를 들어 sin(x) 함수는 -∞에서 +∞까지 전체 구간에 대해 정의되고 함수 1/x는 점 x = 0을 제외하고 -∞에서 +∞까지 정의됩니다.

연속성 영역과 중단점을 정의합니다. 일반적으로 함수는 정의된 동일한 도메인에서 연속적입니다. 불연속성을 감지하려면 인수가 정의 영역 내에서 고립된 지점에 접근할 때를 계산해야 합니다. 예를 들어 함수 1/x는 x→0+일 때 무한대가 되고 x→0-일 때 마이너스 무한대가 됩니다. 이것은 점 x = 0에서 두 번째 종류의 불연속성을 갖는다는 것을 의미합니다.
불연속 점의 극한이 유한하지만 같지 않으면 이것은 제1종 불연속입니다. 같으면 함수는 연속으로 간주되지만 고립된 점그녀는 정의되지 않았습니다.

있는 경우 수직 점근선을 찾습니다. 수직 점근선은 거의 항상 두 번째 종류의 불연속점에 있기 때문에 이전 단계의 계산이 여기에서 도움이 될 것입니다. 그러나 때로는 정의 영역에서 제외되는 개별 점이 아니라 점의 전체 간격이며 수직 점근선은 이러한 간격의 가장자리에 위치할 수 있습니다.

함수에 특별한 속성(짝수, 홀수, 주기적)이 있는지 확인합니다.
함수는 도메인 f(x) = f(-x)의 임의 x에 대해 짝수입니다. 예를 들어 cos(x)와 x^2는 짝수 함수입니다.

주기성은 임의의 x f(x) = f(x + T)에 대해 주기라고 하는 특정 숫자 T가 있음을 나타내는 속성입니다. 예를 들어, 모든 기본 삼각 함수(사인, 코사인, 탄젠트)는 주기적입니다.

포인트를 찾으십시오. 이를 위해 주어진 함수의 미분을 계산하고 그것이 사라지는 x 값을 찾으십시오. 예를 들어, 함수 f(x) = x^3 + 9x^2 -15는 x = 0 및 x = -6에서 사라지는 도함수 g(x) = 3x^2 + 18x를 가집니다.

최대값과 최소값을 결정하려면 찾은 0에서 도함수 부호의 변화를 추적합니다. g(x)는 x = -6에서 부호를 플러스에서 x = 0에서 마이너스에서 플러스로 변경합니다. 따라서 함수 f(x)는 첫 번째 지점에서 최소값을 가지며 두 번째 지점에서 최소값을 갖습니다.

따라서 f(x)는 간격 -∞;-6에서 단조롭게 증가하고 -6;0에서 단조롭게 감소하며 0;+∞에서 다시 증가합니다.

2차 도함수를 구합니다. 그것의 근은 주어진 함수의 그래프가 볼록한 곳과 오목한 곳을 보여줄 것입니다. 예를 들어 함수 f(x)의 2차 도함수는 h(x) = 6x + 18이 됩니다. x = -3에서 사라지고 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀝니다. 따라서이 점 앞의 그래프 f (x)는 볼록하고 그 후에는 오목하며이 점 자체가 변곡점이됩니다.

함수는 수직 점근선을 제외하고 다른 점근선을 가질 수 있지만 정의 영역이 를 포함하는 경우에만 가능합니다. 이를 찾으려면 x→∞ 또는 x→-∞일 때 f(x)의 극한을 계산하십시오. 유한한 경우 수평 점근선을 찾은 것입니다.

사선 점근선은 kx + b 형식의 직선입니다. k를 찾으려면 f(x)/x의 극한을 x→∞로 계산하십시오. 동일한 x→∞로 b - 극한(f(x) – kx)을 찾으려면.

얼마 동안 TheBat에서 (어떤 이유로 명확하지 않음) SSL에 대한 내장 인증서 데이터베이스가 올바르게 작동하지 않습니다.

게시물을 확인하면 다음과 같은 오류가 발생합니다.

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전기 스토브 수리로 인생에 직면했습니다. 나는 이미 많은 일을 하고 많은 것을 배웠지만 어쩐지 타일과 관련이 거의 없었습니다. 레귤레이터와 버너의 접점을 교체해야 했습니다. 질문이 생겼습니다-전기 스토브에서 버너의 직경을 결정하는 방법은 무엇입니까?

대답은 간단했습니다. 아무것도 측정할 필요가 없으며 필요한 크기를 눈으로 침착하게 결정할 수 있습니다.

가장 작은 버너 145밀리미터(14.5센티미터)

중간 버너 180밀리미터(18센티미터)입니다.

그리고 마지막으로 가장 대형 버너 225밀리미터(22.5센티미터)입니다.

눈으로 크기를 결정하고 버너가 필요한 직경을 이해하는 것으로 충분합니다. 이것을 몰랐을 때 나는 이 크기로 치솟았고 측정 방법, 탐색할 가장자리 등을 몰랐습니다. 이제 저는 현명해졌습니다 :) 여러분에게도 도움이 되었기를 바랍니다!

내 인생에서 나는 그런 문제에 직면했습니다. 나는 유일한 사람이 아니라고 생각합니다.

기능에 대한 연구는 명확한 계획에 따라 수행되며 학생은 기본에 대한 확실한 지식을 가지고 있어야 합니다. 수학적 개념정의 및 값의 영역, 함수 연속성, 점근선, 극한점, 패리티, 주기성 등 학생은 함수를 자유롭게 미분하고 때때로 매우 복잡한 방정식을 풀어야 합니다.

즉, 이 작업은 올바른 솔루션을 얻는 데 장애물이 되는 모든 간격과 상당한 수준의 지식을 테스트합니다. 특히 함수 그래프를 구성할 때 어려움이 자주 발생합니다. 이 실수는 즉시 교사의 눈에 띄고 다른 모든 것이 올바르게 수행되었더라도 성적을 크게 망칠 수 있습니다. 여기에서 찾을 수 있습니다 온라인 기능 연구를 위한 작업: 예제 연구, 솔루션 다운로드, 주문 과제.

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어쨌든 해결된 예제는 가장 인기 있는 유형의 함수를 다루기 때문에 도움이 될 것입니다. 우리는 이미 해결된 수백 가지 문제를 제공하지만, 아시다시피 세상에는 무한한 수의 수학 함수가 있으며 교사는 가난한 학생들을 위해 점점 더 복잡한 과제를 발명하는 훌륭한 전문가입니다. 따라서 친애하는 학생 여러분, 자격을 갖춘 지원은 여러분을 해치지 않을 것입니다.

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우리는 당신을 위해 함수에 대한 완전한 연구를 할 것입니다: 우리는 정의 영역과 값의 범위를 찾고, 연속성과 불연속성을 검사하고, 패리티를 설정하고, 주기성에 대한 함수를 확인하고, 좌표축과 교차점을 찾습니다. . 그리고 물론 미분학의 도움으로 점근선을 찾고, 극한치, 변곡점을 계산하고, 그래프 자체를 만들 것입니다.

미분학의 가장 중요한 작업 중 하나는 함수 동작 연구의 일반적인 예를 개발하는 것입니다.

함수 y \u003d f (x)가 구간에서 연속적이고 그 도함수가 구간 (a, b)에서 양수이거나 0이면 y \u003d f (x)는 (f "(x) 0). 함수 y \u003d f (x)가 세그먼트에서 연속적이면 , 그 미분은 간격 (a,b)에서 음수이거나 0과 같으면 y=에프(엑스) 감소 (에프"( x)0)

함수가 감소하거나 증가하지 않는 구간을 함수의 단조 구간이라고 합니다. 함수의 단조성 특성은 1차 미분의 부호가 변경되는 정의 영역의 해당 지점에서만 변경될 수 있습니다. 함수의 1차 도함수가 사라지거나 중단되는 지점을 임계점이라고 합니다.

정리 1(극값이 존재하기 위한 첫 번째 충분 조건).

함수 y=f(x)를 점 x 0에서 정의하고 이웃 δ>0이 있게 하여 함수가 구간 에서 연속이고 간격 (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , 그리고 그 도함수는 이러한 각 구간에서 일정한 부호를 유지합니다. 그런 다음 x 0 -δ, x 0) 및 (x 0, x 0 + δ)에서 도함수의 부호가 다른 경우 x 0은 극한점이며 일치하면 x 0은 극한점이 아닙니다. . 또한, 점 x0을 지날 때 미분의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면(x 0의 왼쪽으로 f"(x)> 0이 수행되면 x 0이 최대점, 미분의 부호가 바뀌면 마이너스에서 플러스로 (x 0의 오른쪽은 f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

최대값과 최소값을 함수의 극한값이라고 하고 함수의 최대값과 최소값을 극값이라고 합니다.

정리 2(국소 극값에 필요한 기준).

함수 y=f(x)가 현재 x=x 0에서 극값을 갖는 경우 f'(x 0)=0 또는 f'(x 0)이 존재하지 않습니다.
미분 가능 함수의 극한 지점에서 그래프의 접선은 Ox 축과 평행합니다.

극값에 대한 함수를 연구하기 위한 알고리즘:

1) 함수의 미분을 찾습니다.
2) 임계점 찾기, 즉 함수가 연속이고 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점.
3) 각 점의 이웃을 고려하고 이 점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 도함수의 부호를 조사합니다.
4) 극점의 좌표를 결정하고 이 임계점 값을 이 함수로 대체합니다. 충분한 극한 조건을 사용하여 적절한 결론을 도출합니다.

예 18. 함수 y=x 3 -9x 2 +24x를 조사합니다.

해결책.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) 도함수를 0으로 하면 x 1 =2, x 2 =4가 됩니다. 이 경우 미분은 모든 곳에서 정의됩니다. 따라서 발견된 두 지점 외에 다른 중요한 지점은 없습니다.
3) 미분 y"=3(x-2)(x-4)의 부호는 그림 1과 같이 구간에 따라 변한다. 점 x=2를 지날 때 미분은 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌고, 점을 통과할 때 x=4 - 마이너스에서 플러스로.
4) 포인트 x=2에서 함수는 최대 y max =20이고 포인트 x=4 - 최소 y min =16입니다.

정리 3. (극한값이 존재하기 위한 두 번째 충분 조건).

f "(x 0)과 f ""(x 0)이 점 x 0에 존재한다고 하자. 그러면 f ""(x 0)> 0이면 x 0이 최소점이고 f ""(x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

세그먼트에서 함수 y \u003d f(x)는 간격(a; b)에 있는 함수의 임계점 또는 끝에서 가장 작은(적어도) 또는 가장 큰(최대) 값에 도달할 수 있습니다. 세그먼트의.

세그먼트에서 연속 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘:

1) f "(x)를 찾으십시오.
2) f "(x) = 0 또는 f"(x)가 존재하지 않는 점을 찾아 세그먼트 내부에 있는 점을 선택합니다.
3) 단락 2)에서 얻은 점과 세그먼트 끝에서 함수 y \u003d f (x)의 값을 계산하고 그 중 가장 큰 것과 가장 작은 것을 선택하십시오. 각각 가장 큰 것입니다 ( 가장 큰 경우) 및 가장 작은 (가장 작은 경우) 세그먼트의 함수 값 .

예 19. 세그먼트에서 연속 함수 y=x 3 -3x 2 -45+225의 가장 큰 값을 찾습니다.

1) 세그먼트에 y "=3x 2 -6x-45가 있습니다.
2) 미분 y"는 모든 x에 대해 존재합니다. y"=0인 점을 찾아봅시다. 우리는 얻는다:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
엑스 1 \u003d -3; x2=5
3) 점 x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63에서 함수 값을 계산합니다.
점 x=5만이 세그먼트에 속합니다. 함수에서 찾은 값 중 가장 큰 값은 225이고 가장 작은 값은 숫자 50입니다. 따라서 max = 225에서 max = 50입니다.

볼록성에 대한 함수 조사

그림은 두 함수의 그래프를 보여줍니다. 그 중 첫 번째는 팽창으로, 두 번째는 팽창으로 회전합니다.

함수 y=f(x)는 세그먼트에서 연속적이고 간격(a;b)에서 미분 가능하며, axb에 대한 그래프가 탄젠트보다 높지 않은(낮지 않은) 경우 이 세그먼트에서 볼록 업(아래)이라고 합니다. 임의의 점 M 0 (x 0 ;f(x 0))에 그려집니다. 여기서 axb.

정리 4. 함수 y=f(x)가 세그먼트의 내부 점 x에서 2차 도함수를 가지며 이 세그먼트의 끝에서 연속적이라고 가정합니다. 그런 다음 부등식 f""(x)0이 간격 (a;b)에서 충족되면 함수는 세그먼트에서 아래쪽으로 볼록합니다. 부등식 f""(x)0이 구간 (а;b)에서 충족되면 함수는 위쪽으로 볼록합니다.

정리 5. 함수 y=f(x)가 구간 (a;b)에서 2차 도함수를 가지며 점 x 0을 통과할 때 부호가 변경되면 M(x 0 ;f(x 0))는 변곡점.

변곡점을 찾는 규칙:

1) f""(x)가 존재하지 않거나 사라지는 지점을 찾습니다.
2) 첫 번째 단계에서 찾은 각 지점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 기호 f""(x)를 검사합니다.
3) 정리 4에 근거하여 결론을 도출한다.

예제 20. 함수 그래프 y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12의 극한점과 변곡점 찾기.

우리는 f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2를 가집니다. 분명히, x 1 =0, x 2 =1에 대해 f"(x)=0입니다. 도함수는 x=0점을 통과하면 마이너스에서 플러스로 부호가 바뀌고, x=1점을 통과하면 부호가 바뀌지 않는다. 이는 x=0이 최소점(y min =12)이고 점 x=1에 극값이 없음을 의미합니다. 다음으로 우리는 . 2차 도함수는 점 x 1 =1, x 2 =1/3에서 사라집니다. 2차 미분의 부호는 다음과 같이 변경됩니다. 광선(-∞;)에서 f""(x)>0이고 간격(;1)에서 f""(x)입니다.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. 따라서 x=는 함수 그래프의 변곡점(convexity에서 convexity up으로 전환)이고 x=1도 변곡점(convexity에서 convexity down으로 전환)입니다. x=이면 y= ; 그렇다면 x=1, y=13입니다.

그래프의 점근선을 찾는 알고리즘

I. y=f(x) as x → a 이면 x=a는 수직 점근선입니다.
II. y=f(x) as x → ∞ 또는 x → -∞이면 y=A는 수평 점근선입니다.
III. 경사 점근선을 찾기 위해 다음 알고리즘을 사용합니다.
1) 계산합니다. 극한이 존재하고 b와 같으면 y=b는 수평 점근선입니다. 이면 두 번째 단계로 이동합니다.
2) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 존재하고 k와 같으면 세 번째 단계로 이동합니다.
3) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 존재하고 b와 같으면 네 번째 단계로 이동합니다.
4) 사선 점근선 y=kx+b의 방정식을 적으십시오.

예제 21: 함수에 대한 점근선 찾기

1)
2)
3)
4) 비스듬한 점근선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

함수 연구 계획 및 그래프 구성

I. 함수의 도메인을 찾습니다.
II. 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 찾으십시오.
III. 점근선을 찾습니다.
IV. 가능한 극한 지점을 찾습니다.
V. 중요한 포인트를 찾습니다.
VI. 보조 그림을 사용하여 1차 미분과 2차 미분의 부호를 조사합니다. 함수의 증가 및 감소 영역을 결정하고 그래프의 볼록면 방향, 극한점 및 변곡점을 찾으십시오.
VII. 단락 1-6에서 수행된 연구를 고려하여 그래프를 작성하십시오.

예 22: 위의 구성표에 따라 함수 그래프를 플로팅합니다.

해결책.
I. 함수의 정의역은 x=1을 제외한 모든 실수의 집합입니다.
II. 방정식 x 2 +1=0에는 실근이 없기 때문에 함수의 그래프에는 Ox 축과의 교차점이 없지만 점 (0; -1)에서 Oy 축과 교차합니다.
III. 점근선의 존재에 대한 질문을 명확히 합시다. 불연속점 x=1 근처에서 함수의 동작을 조사합니다. x → -∞에 대해 y → ∞, x → 1+에 대해 y → +∞이므로 선 x=1은 함수 그래프의 수직 점근선입니다.
x → +∞(x → -∞)이면 y → +∞(y → -∞); 따라서 그래프에는 수평 점근선이 없습니다. 또한 한계의 존재로부터

방정식 x 2 -2x-1=0을 풀면 가능한 극한값의 두 지점을 얻습니다.
x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2

V. 임계점을 찾기 위해 2차 미분을 계산합니다.

f""(x)는 사라지지 않으므로 임계점이 없습니다.
VI. 1차 미분과 2차 미분의 부호를 조사합니다. 고려해야 할 가능한 극한점: x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2, 함수의 존재 영역을 간격(-∞;1-√2)으로 나눕니다.(1-√2 ;1+√2) 및 (1+√2;+∞).

이러한 각 간격에서 미분은 부호를 유지합니다. 첫 번째 - 더하기, 두 번째 - 빼기, 세 번째 - 더하기. 1차 미분 기호의 순서는 +, -, +로 작성됩니다.
(-∞;1-√2)에서는 함수가 증가하고, (1-√2;1+√2)에서는 감소하며, (1+√2;+∞)에서는 다시 증가합니다. 극한 지점: x=1-√2에서 최대, 더욱이 x=1+√2에서 최소 f(1-√2)=2-2√2, 더욱이 f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)에서 그래프는 위로 볼록하고 (1;+∞)에서 - 아래로 볼록합니다.
VII 얻은 값의 표를 만들어 보자

VIII 얻은 데이터를 기반으로 함수 그래프의 스케치를 작성합니다.