두 변수의 기능에 대한 완전한 연구를 수행합니다. 기능 연구 온라인

기능 연구 및 그래프 구성의 기준점은 불연속점, 극한점, 변곡점, 좌표축과의 교차점과 같은 특징적인 점입니다. 사용하여 미분학설치할 수 있습니다 형질기능 변경: 증가 및 감소, 최대 및 최소, 그래프의 볼록 및 오목 방향, 점근선의 존재.

함수 그래프의 스케치는 점근선과 극한점을 찾은 후에 스케치할 수 있고(그리고 그래야만), 연구 과정에서 함수 연구의 요약표를 채우는 것이 편리합니다.

일반적으로 다음과 같은 기능 연구 계획이 사용됩니다.

1.함수의 도메인, 연속성 간격 및 중단점 찾기.

2.짝수 또는 홀수(그래프의 축 또는 중심 대칭)에 대한 함수를 검사합니다.

3.점근선(수직, 수평 또는 사선)을 찾습니다.

4.함수의 증감 구간, 즉 극점을 찾아 조사합니다.

5.곡선의 볼록함과 오목함의 간격, 변곡점을 찾으십시오.

6.좌표축이 있는 경우 곡선과 좌표축의 교차점을 찾습니다.

7.연구의 요약 표를 작성하십시오.

8.위의 사항에 따라 수행된 기능 연구를 고려하여 그래프를 작성하십시오.

예시.기능 탐색

그리고 그것을 플롯.

7. 기능 연구에 대한 요약 표를 만들어 보겠습니다. 여기에서 모든 특징 점과 그 사이의 간격을 입력합니다. 함수의 패리티가 주어지면 다음 표를 얻습니다.

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이 기사에서는 함수를 연구하는 방식을 고려하고 주어진 함수의 극값, 단조성 및 점근선을 연구하는 예를 제공합니다.

계획

1. 함수의 존재 영역(ODZ)입니다.
2. 좌표축, 함수 기호, 패리티, 주기성과의 함수 교차(있는 경우).
3. 중단점(해당 종류). 연속성. 점근선은 수직입니다.
4. 단조성과 극한점.
5. 변곡점. 볼록한.
6. 점근선에 대한 무한대에서 함수 조사: 수평 및 사선.
7. 그래프 만들기.

단조성에 대한 연구

정리.기능의 경우 g계속 , 로 차별화 (a; b)그리고 g'(x) ≥ 0(g'(x)≤0), xє(а; b), 그 다음에 g증가(감소) .

예시:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

오즈: хєR

y' = x 2 + 6x + 5.

상수 기호의 간격 찾기 와이'. 왜냐하면 와이'는 기본 기능이므로 0이 되거나 존재하지 않는 지점에서만 부호를 변경할 수 있습니다. 그녀의 ODZ: хєR.

도함수가 0(영)인 점을 찾아보겠습니다.

y' = 0;

x = -1; -5.

그래서, 와이성장 (-∞; -5] 그리고 [-하나; +∞), y 내림차순 .

극단에 대한 연구

티. x0세트의 최대점(max)이라고 합니다. 하지만기능 g함수가 이 지점에서 최대값을 취했을 때 g(x 0) ≥ g(x), xєA.

티. x0함수의 최소점(최소)이라고 합니다. g세트에 하지만이 시점에서 함수가 가장 작은 값을 취할 때 g(x 0) ≤ g(x), xєА.

세트에 하지만최대(최대) 및 최소(최소) 포인트를 극한 포인트라고 합니다. g. 이러한 극한값을 집합의 절대극값이라고도 합니다. .

만약 x0- 함수의 극점 g그럼 어떤 지역에서 x0함수의 로컬 또는 로컬 극값(최대 또는 최소)의 점이라고 합니다. g.

정리(필요조건).만약 x0- (로컬) 함수의 극점 g, 도함수가 존재하지 않거나 이 지점에서 0(영)과 같습니다.

정의.존재하지 않거나 0(영) 도함수와 같은 점을 임계점이라고 합니다. 극한값이 의심되는 점은 바로 이러한 점입니다.

정리(충분조건 1번).기능의 경우 g일부 지역에서 계속됩니다. x0도함수가 통과할 때 이 점을 통해 부호가 변경되면 이 점이 극점입니다. g.

정리(충분조건 2번).함수를 점의 일부 이웃에서 두 번 미분 가능하게 하고 g' = 0 및 g'' > 0(g''< 0) , 그럼 이 점 함수의 최대(최대) 또는 최소(최소) 지점입니다.

볼록성 테스트

이 함수를 구간에서 아래쪽으로 볼록(또는 오목)이라고 합니다. (a,b)함수의 그래프가 x에 대한 간격의 시컨트보다 높지 않은 위치에 있을 때 (a,b)이 지점을 통과하는 .

함수는 엄격하게 아래로 볼록합니다. (a,b), if - 그래프가 구간의 시컨트 아래에 있습니다.

이 함수는 구간에서 상향 볼록(볼록)이라고 합니다. (a,b), 어떤 t에 대해 포인트들 와 함께 (a,b)간격에 대한 함수의 그래프는 이 지점에서 가로좌표를 통과하는 시컨트보다 낮지 않습니다. .

함수는 다음에서 엄격하게 위쪽으로 볼록합니다. (아, 나), if - 구간의 그래프가 시컨트 위에 있습니다.

함수가 포인트의 일부 이웃에 있는 경우 지속적이고 통해 t x 0전환하는 동안 함수는 볼록성을 변경하고 이 지점을 함수의 변곡점이라고 합니다.

점근선에 대한 연구

정의.직선을 점근선이라고 합니다 지(x), 원점에서 무한한 거리에 있으면 함수 그래프의 점이 접근합니다. d(M,l).

점근선은 수직, 수평 또는 비스듬할 수 있습니다.

방정식이 있는 수직선 x = x 0은 함수 g의 수직 그래프의 점근선이 됩니다. , 점 x 0에 무한 간격이 있으면 이 점에서 최소 하나의 왼쪽 또는 오른쪽 경계(무한)가 있습니다.

가장 작은 값과 가장 큰 값에 대한 세그먼트의 함수 조사

기능이 계속 켜져 있는 경우 , Weierstrass 정리에 의해 이 세그먼트에 가장 큰 값과 가장 작은 값이 있습니다. 즉, t가 있습니다. 속하는 안경 그런 g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . 단조성과 극한값에 대한 정리에서 가장 작은 값과 가장 큰 값에 대한 세그먼트의 함수를 연구하기 위한 다음 계획을 얻습니다.

계획

1. 파생 상품 찾기 지'(x).
2. 함수의 가치를 찾아라 g이 지점과 세그먼트 끝에서.
3. 찾은 값을 비교하여 가장 작은 값과 가장 큰 값을 선택합니다.

논평.유한 간격으로 함수를 연구해야 하는 경우 (a,b), 또는 무한에 (-∞; b); (-∞; +∞)최대 및 최소 값에서 계획에서 간격 끝의 함수 값 대신 해당 단측 경계를 찾습니다. 대신 파)찾고있는 f(a+) = limf(x), 대신에 에프(나)찾고있는 f(-b). 절대 극값이 반드시 존재하는 것은 아니기 때문에 구간에서 ODZ 함수를 찾을 수 있습니다. 이 경우.

일부 양의 극단에 대한 적용된 문제의 솔루션에 대한 도함수의 적용

1. 이 값을 문제의 조건에서 다른 양으로 표현하여 (가능한 경우) 단 하나의 변수의 함수가 되도록 합니다.
2. 이 변수의 변경 간격이 결정됩니다.
3. 최대값과 최소값의 간격에 대한 함수 연구를 수행합니다.

작업.한쪽은 벽에 인접하고 다른 3개는 격자로 울타리가 되도록 벽 근처에 그리드 미터를 사용하여 직사각형 플랫폼을 구축해야 합니다. 그러한 사이트의 면적은 어떤 종횡비에서 가장 클까요?

S=xy는 2 변수의 함수입니다.

S = x(a - 2x)- 첫 번째 변수의 기능 ; x .

S = 도끼 - 2x2; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- 가장 높은 값;

S(0)=0.

직사각형의 다른 쪽을 찾으십시오. ~에 = 에이: 2.

종횡비: y:x=2.

대답.가장 큰 면적은 2/8벽에 평행한 변이 다른 변의 2배인 경우.

기능 연구. 예

실시예 1

사용 가능 y=x 3: (1-x) 2 . 연구를 하세요.

1. 오즈: хє(-∞; 1) U(1, ∞).
2. 일반 함수(짝수도 홀수도 아님)는 점 0(영)에 대해 대칭이 아닙니다.
3. 기능 기호. 이 함수는 기본 기능이므로 0(영)과 같거나 존재하지 않는 지점에서만 부호를 변경할 수 있습니다.
4. 함수는 기본이므로 ODZ에서 연속적입니다. (-∞, 1) U(1, ∞).

갭: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- 두 번째 종류의 불연속성(무한), 따라서 점 1에 수직 점근선이 있습니다.

x = 1- 수직 점근선의 방정식.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ(y'): x ≠ 1;

x = 1는 크리티컬 포인트이다.

y' = 0;

0; 3 크리티컬 포인트입니다.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

중요한 t.: 1, 0;

x= 0 - 변곡점, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- 수평 점근선은 없지만 비스듬할 수 있습니다.

k = 1- 숫자;

b = 2- 숫자.

따라서 경사 점근선이 있습니다. y=x+2+ ∞ 및 - ∞.

실시예 2

주어진 y = (x 2 + 1) : (x - 1). 생산하고조사. 그래프를 작성합니다.

1. 존재의 영역은 소위를 제외한 전체 숫자 라인입니다. x=1.

2. 와이교차 OY(가능한 경우) 포함. (0;g(0)). 우리는 찾는다 y(0) = -1 - 교차점 OY .

그래프의 교차점 황소방정식을 풀어서 구하다 y=0. 방정식에는 실근이 없으므로 이 함수는 교차하지 않습니다. 황소.

3. 함수는 비주기적입니다. 표현을 고려

g(-x) ≠ g(x) 및 g(-x) ≠ -g(x). 이것은 그것을 의미합니다 일반보기기능(짝수도 홀수도 아님).

4. 티 x=1불연속성은 두 번째 종류입니다. 다른 모든 점에서 함수는 연속적입니다.

5. 극한값에 대한 함수 연구:

(엑스 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

방정식을 풀고 y" = 0.

그래서, 1 - √2, 1 + √2, 1 - 임계점 또는 가능한 극한점. 이 점들은 숫자 선을 4개의 간격으로 나눕니다. .

각 간격에서 도함수에는 간격 방법으로 설정하거나 개별 지점에서 도함수 값을 계산하여 설정할 수 있는 특정 기호가 있습니다. 간격으로 (-∞; 1 - √2 ) 유 (1 + √2 ; ∞) , 양의 도함수는 함수가 성장하고 있음을 의미합니다. 만약에 쨔응(1 - √2 ; 1) 유(1; 1 + √2 ) , 도함수가 이 구간에서 음수이기 때문에 함수가 감소합니다. 통해 t. x 1전환 동안(움직임이 왼쪽에서 오른쪽으로 이어짐) 도함수는 "+"에서 "-"로 부호를 변경하므로 이 지점에서 로컬 최대값이 있습니다.

와이최대 = 2 - 2 √2 .

통과할 때 x2도함수 기호를 "-"에서 "+"로 변경하므로 이 지점에 최소값이 있고

y 혼합 = 2 + 2√2.

티. x=1그렇게 극단적이지는 않습니다.

6.4: (x - 1) 3 = y"".

에 (-∞; 1 ) 0 > 와이"" , 결과적으로 곡선은 이 구간에서 볼록합니다. 만약 xє (1 ; ∞) - 곡선이 오목하다. 에서 포인트 1함수가 정의되어 있지 않으므로 이 지점은 변곡점이 아닙니다.

7. 제4항의 결과로부터 다음과 같이 된다. x=1곡선의 수직 점근선입니다.

수평 점근선이 없습니다.

x + 1 = 와이 이 곡선의 기울기의 점근선입니다. 다른 점근선은 없습니다.

8. 수행된 연구를 고려하여 그래프를 작성합니다(위 그림 참조).

기능에 대한 연구는 명확한 계획에 따라 수행되며 학생은 기본 수학적 개념정의 및 값의 영역, 함수 연속성, 점근선, 극점, 패리티, 주기성 등 학생은 때때로 매우 복잡한 기능을 미분하고 방정식을 풀어야 합니다.

즉, 이 작업은 올바른 솔루션을 얻는 데 장애물이 될 모든 격차와 같은 중요한 지식 계층을 테스트합니다. 특히 종종 기능 그래프를 구성하는 데 어려움이 발생합니다. 이 실수는 즉시 교사의 시선을 사로잡으며 다른 모든 것이 올바르게 수행되었더라도 성적을 크게 망칠 수 있습니다. 여기에서 찾을 수 있습니다 온라인 기능 연구를 위한 작업: 예제 연구, 솔루션 다운로드, 과제 주문.

함수 및 플롯 조사: 온라인 예제 및 솔루션

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우리는 제공한다 기성품 예가장 일반적인 유형의 함수 그래프에 대한 완전한 연구 및 플로팅: 다항식, 분수-합리, 비합리, 지수, 로그, 삼각 함수. 해결된 각 문제에는 선택한 키 포인트, 점근선, 최대값 및 최소값이 포함된 기성 그래프가 수반되며, 솔루션은 기능 연구 알고리즘에 따라 수행됩니다.

해결된 예제는 가장 인기 있는 기능 유형을 다루기 때문에 어떤 경우에도 좋은 도움이 될 것입니다. 우리는 이미 해결된 수백 가지 문제를 제공하지만, 아시다시피 세상에는 무한한 수의 수학 함수가 있으며 교사는 가난한 학생들을 위해 점점 더 복잡한 과제를 발명하는 훌륭한 전문가입니다. 따라서 친애하는 학생 여러분, 자격을 갖춘 지원이 당신을 해치지 않을 것입니다.

주문 함수 연구를 위한 문제 풀기

이 경우 파트너는 다른 서비스를 제공합니다. 전체 기능 연구 온라인주문. 이러한 문제를 해결하기 위한 알고리즘에 대한 모든 요구 사항을 준수하여 작업이 완료되어 선생님을 크게 기쁘게 할 것입니다.

우리는 당신을 위해 함수에 대한 완전한 연구를 할 것입니다: 정의의 영역과 값의 범위를 찾고, 연속성과 불연속성을 조사하고, 패리티를 설정하고, 함수의 주기성을 확인하고, 좌표 축과의 교차점을 찾을 것입니다. . 그리고 물론 미적분학의 도움으로 더 나아가: 우리는 점근선을 찾고 극한값, 변곡점을 계산하고 그래프 자체를 작성할 것입니다.