Toate valorile derivate. Calculator online

Design si interior 13.10.2019

Chercher

Design si interior

Data: 20.11.2014

Ce este un derivat?

Tabelul derivatelor. Derivatul este unul dintre conceptele principale. În această lecție vom introduce acest concept. Să ne cunoaștem, fără formulări și dovezi matematice stricte.

Această cunoștință vă va permite să:

Înțelegeți esența sarcinilor simple cu derivate;

Rezolvați cu succes aceste sarcini simple;

Pregătiți-vă pentru lecții mai serioase despre derivate.

În primul rând - o surpriză plăcută.)

Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor și treaba este destul de complicată. Acest lucru este supărător. Dar aplicarea practică a derivatelor, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de extinse și profunde!

Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar câțiva termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Asta e tot. Acest lucru mă face fericit.

Să începem să ne cunoaștem?)

Termeni și denumiri.

Există multe operații matematice diferite în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă mai adăugați o operație la aceste operații, matematica elementară devine mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.

Este important să înțelegem aici că diferențierea este pur și simplu o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, după anumite reguli, o transformăm. Rezultatul va fi caracteristică nouă. Această nouă funcție se numește: derivat.

Diferenţiere- acţiune asupra unei funcţii.

Derivat- rezultatul acestei acțiuni.

La fel ca, de exemplu, sumă- rezultatul adunării. Sau privat- rezultatul diviziunii.

Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formulările sunt următoarele: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivata etc. Asta e tot unul si acelasi. Desigur, există și sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea problemei.

Derivata este indicată printr-o liniuță în partea dreaptă sus a funcției. Ca aceasta: y" sau f"(x) sau Sf)și așa mai departe.

Lectură igrek stroke, ef stroke din x, es stroke din te, bine, ai inteles...)

Un prim poate indica, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Adesea, derivatele sunt notate folosind diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.

Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Tot ce rămâne este să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli.În mod surprinzător, există foarte puține dintre aceste reguli.

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știți doar trei lucruri. Trei piloni pe care stă toată diferențierea. Iată acești trei piloni:

1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).

3. Derivata unei functii complexe.

Să începem în ordine. În această lecție ne vom uita la tabelul derivatelor.

Ce este un derivat?

Există un număr infinit de funcții în lume. Printre această varietate, există funcții care sunt cele mai importante pentru aplicare practică. Aceste funcții se găsesc în toate legile naturii. Din aceste funcții, ca din cărămizi, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.

Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. Pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor, acesta este un lucru destul de intensiv în muncă. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața lor (și nouă). Ei au calculat derivatele funcțiilor elementare înaintea noastră. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)

Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. În stânga este o funcție elementară, în dreapta este derivata ei.

	Funcţie y	Derivată a funcției y y"
1	C (valoare constantă)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - orice număr)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	o x
4	e x
5	jurnal o x
5	ln x ( a = e)

Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Înțelegeți indiciu?) Da, este indicat să cunoașteți pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să rezolvați mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)

Găsirea valorii de tabel a derivatului, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Aflați derivata funcției y = x 3

Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată a funcției de putere în vedere generală(grupa a treia). În cazul nostru n=3. Deci înlocuim trei în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Asta este.

Răspuns: y" = 3x 2

2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.

Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0 chiar în acest derivat. Exact in ordinea asta! Altfel, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției originale, ci valoarea derivatul său. Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata este o funcție nouă.

Folosind tableta găsim sinusul și derivata corespunzătoare:

y" = (sin x)" = cosx

Inlocuim zero in derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Acesta va fi răspunsul.

3. Diferențiați funcția:

Ce, inspiră?) Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor.

Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, căutarea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare. Masa nu ajuta...

Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinus cu unghi dublu, atunci totul devine mai bine imediat!

Da, da! Amintiți-vă că transformarea funcției inițiale înainte de diferențiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Folosind formula cosinusului cu unghi dublu:

Aceste. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cosx. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:

Răspuns: y" = - sin x.

Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:

4. Aflați derivata funcției:

Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă îți amintești matematica de baza, acțiuni cu grade... Atunci este destul de posibil să simplificăm această funcție. Ca aceasta:

Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Scriem direct după formula:

Asta este. Acesta va fi răspunsul.

Sper că totul este clar cu primul pilon de diferențiere - tabelul derivatelor. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare vom învăța regulile de diferențiere.

În planul de coordonate xOy luați în considerare graficul funcției y=f(x). Să rezolvăm problema M(x 0 ; f (x 0)). Să adăugăm o abscisă x 0 creştere Δх. Vom obține o nouă abscisă x 0 +Δx. Aceasta este abscisa punctului N, iar ordonata va fi egală f (x 0 +Δx). Modificarea abscisei a presupus o modificare a ordonatei. Această modificare se numește increment de funcție și se notează Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Prin puncte MŞi N să desenăm o secanta MN, care formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei Oh. Să determinăm tangenta unghiului φ din triunghi dreptunghic MPN.

Lasă Δх tinde spre zero. Apoi secanta MN va tinde să ia o poziție tangentă MT, și unghiul φ va deveni un unghi α . Deci, tangenta unghiului α este valoarea limită a tangentei unghiului φ :

Limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, atunci când acesta din urmă tinde spre zero, se numește derivată a funcției la un punct dat:

Sensul geometric al derivatului constă în faptul că derivata numerică a funcției într-un punct dat este egală cu tangentei unghiului format de tangentei trase prin acest punct la curba dată și direcția pozitivă a axei. Oh:

Exemple.

1. Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției y= x 2, dacă valoarea inițială a argumentului a fost egală cu 4 , și nou - 4,01 .

Soluţie.

Noua valoare a argumentului x=x 0 +Δx. Să substituim datele: 4.01=4+Δх, de unde și incrementul argumentului Δх=4,01-4=0,01. Creșterea unei funcții, prin definiție, este egală cu diferența dintre valorile noi și anterioare ale funcției, adică. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Din moment ce avem o funcție y=x2, Asta Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx)2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Răspuns: increment de argument Δх=0,01; creșterea funcției Δу=0,0801.

Incrementul funcției poate fi găsit diferit: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Aflați unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției y=f(x) la punct x 0, Dacă f „(x 0) = 1.

Soluţie.

Valoarea derivatei în punctul de tangență x 0și este valoarea tangentei unghiului tangentei (sensul geometric al derivatei). Avem: f „(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, deoarece tg45°=1.

Răspuns: tangenta la graficul acestei functii formeaza un unghi cu directia pozitiva a axei Ox egala cu 45°.

3. Deduceți formula derivatei funcției y=xn.

Diferenţiere este acțiunea de a găsi derivata unei funcții.

Când găsiți derivate, utilizați formule care au fost derivate pe baza definiției unei derivate, în același mod în care am derivat formula pentru gradul derivat: (x n)" = nx n-1.

Acestea sunt formulele.

Tabelul derivatelor Va fi mai ușor de memorat pronunțând formulări verbale:

1. Derivata unei marimi constante este egala cu zero.

2. X prim este egal cu unu.

3. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei.

4. Derivata unui grad este egală cu produsul exponentului acestui grad cu un grad cu aceeași bază, dar exponentul este cu unul mai puțin.

5. Derivata unei rădăcini este egală cu una împărțită la două rădăcini egale.

6. Derivata lui unu împărțit la x este egală cu minus unu împărțit la x pătrat.

7. Derivata sinusului este egala cu cosinusul.

8. Derivata cosinusului este egală cu minus sinus.

9. Derivata tangentei este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului.

10. Derivata cotangentei este egală cu minus unu împărțit la pătratul sinusului.

Predăm reguli de diferențiere.

1. Derivata unei sume algebrice este egală cu suma algebrică a derivatelor termenilor.

2. Derivata unui produs este egala cu produsul derivatei primului factor si al doilea plus produsul primului factor si derivata celui de-al doilea.

3. Derivata lui „y” împărțită la „ve” este egală cu o fracție în care numărătorul este „y prim înmulțit cu „ve” minus „y înmulțit cu veți prim”, iar numitorul este „ve pătrat”.

4. Un caz special al formulei 3.

(\large\bf Derivată a unei funcții)

Luați în considerare funcția y=f(x), specificat pe interval (a, b). Lasă x- orice punct fix al intervalului (a, b), A Δx- un număr arbitrar astfel încât valoarea x+Δx aparține și intervalului (a, b). Acest număr Δx numită increment de argument.

Definiţie. Creșterea funcției y=f(x) la punct x, corespunzătoare incrementului de argument Δx, hai să sunăm la numărul

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Noi credem asta Δx ≠ 0. Luați în considerare la un punct fix dat x raportul dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argument corespunzător Δx

Vom numi această relație relația de diferență. Din moment ce valoarea x considerăm fix, raportul diferențelor este o funcție a argumentului Δx. Această funcție este definită pentru toate valorile argumentului Δx, aparținând unui cartier suficient de mic al punctului Δx=0, cu excepția punctului în sine Δx=0. Astfel, avem dreptul să luăm în considerare problema existenței unei limite a funcției specificate la Δx → 0.

Definiţie. Derivată a unei funcții y=f(x) la un punct fix dat x numită limită la Δx → 0 raportul de diferență, adică

Cu condiția ca această limită să existe.

Desemnare. y′(x) sau f′(x).

Sensul geometric al derivatului: Derivată a unei funcții f(x)în acest moment x egală cu tangentei unghiului dintre axe Bouși o tangentă la graficul acestei funcții în punctul corespunzător:

f′(x 0) = \tgα.

Sensul mecanic al derivatului: Derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie a punctului:

Ecuația unei tangente la o dreaptă y=f(x) la punct M 0 (x 0 ,y 0) ia forma

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Normala la o curbă la un punct este perpendiculară pe tangenta din același punct. Dacă f′(x 0)≠ 0, apoi ecuația normalei la dreapta y=f(x) la punct M 0 (x 0 ,y 0) este scris asa:

Conceptul de diferentiabilitate a unei functii

Lasă funcția y=f(x) definite pe un anumit interval (a, b), x- o valoare fixă a argumentului din acest interval, Δx- orice creștere a argumentului astfel încât valoarea argumentului x+Δx ∈ (a, b).

Definiţie. Funcţie y=f(x) numită diferențiabilă într-un punct dat x, dacă se incrementează Δy această funcție la punctul x, corespunzătoare incrementului de argument Δx, poate fi reprezentat sub forma

Δy = A Δx +αΔx,

Unde O- un număr independent de Δx, A α - funcția argument Δx, care este infinitezimal la Δx→ 0.

Deoarece produsul a două funcții infinitezimale αΔx este un infinitezimal de ordin superior decât Δx(proprietatea a 3 funcții infinitezimale), atunci putem scrie:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Pentru functia y=f(x) era diferențiabilă la un punct dat x, este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct. În același timp A=f′(x), adică

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operația de găsire a derivatei se numește de obicei diferențiere.

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) x, atunci este continuă în acest moment.

Comentariu. Din continuitatea funcţiei y=f(x)în acest moment x, în general, diferențiabilitatea funcției nu urmează f(x)în acest moment. De exemplu, funcția y=|x|- continuu la un punct x=0, dar nu are derivat.

Conceptul funcției diferențiale

Definiţie. Diferenţial de funcţie y=f(x) se numeste produsul derivatei acestei functii si incrementul variabilei independente x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Pentru funcție y=x primim dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, adică dx=Δx- diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acestei variabile.

Astfel, putem scrie

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferenţial dyși crește Δy funcții y=f(x)în acest moment x, ambele corespunzând aceluiași increment de argument Δx, în general, nu sunt egale între ele.

Sensul geometric al diferenţialului: Diferenţiala unei funcţii este egală cu incrementul ordonatei tangentei la graficul acestei funcţii atunci când argumentul este incrementat Δx.

Reguli de diferențiere

Teorema. Dacă fiecare dintre funcţii u(x)Şi v(x) diferențiabilă într-un punct dat x, apoi suma, diferența, produsul și câtul acestor funcții (cotul cu condiția ca v(x)≠ 0) sunt de asemenea diferențiabile în acest moment, iar formulele sunt valabile:

Luați în considerare funcția complexă y=f(φ(x))≡ F(x), Unde y=f(u), u=φ(x). În acest caz u numit argument intermediar, x - variabilă independentă.

Teorema. Dacă y=f(u)Şi u=φ(x) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor, apoi derivata unei funcții complexe y=f(φ(x)) există și este egal cu produsul acestei funcții față de argumentul intermediar și derivata argumentului intermediar față de variabila independentă, i.e.

Comentariu. Pentru o funcție complexă care este o suprapunere a trei funcții y=F(f(φ(x))), regula de diferențiere are forma

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

unde sunt functiile v=φ(x), u=f(v)Şi y=F(u)- funcţiile diferenţiabile ale argumentelor lor.

Teorema. Lasă funcția y=f(x) crește (sau scade) și este continuă într-o anumită vecinătate a punctului x 0. Fie, în plus, această funcție să fie diferențiabilă în punctul indicat x 0și derivatul său în acest moment f′(x 0) ≠ 0. Apoi în vreo vecinătate a punctului corespunzător y 0 =f(x 0) inversul este definit pentru y=f(x) funcţie x=f -1 (y), iar funcția inversă indicată este diferențiabilă în punctul corespunzător y 0 =f(x 0) iar pentru derivatul său în acest moment y formula este valabila

Tabelul derivatelor

Invarianța formei primului diferențial

Să luăm în considerare diferența unei funcții complexe. Dacă y=f(x), x=φ(t)- funcțiile argumentelor lor sunt diferențiabile, apoi derivata funcției y=f(φ(t)) exprimat prin formula

y′ t = y′ x x′ t.

Prin definiție dy=y′ t dt, apoi primim

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Deci, am dovedit

Proprietatea de invarianță a formei primei diferențiale a unei funcții: ca în cazul când argumentul x este o variabilă independentă, iar în cazul în care argumentul xîn sine este o funcție diferențiabilă a noii variabile, diferenţialul dy funcții y=f(x) este egală cu derivata acestei funcții înmulțită cu diferența argumentului dx.

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Am arătat că diferenţialul dy funcții y=f(x), în general, nu este egal cu incrementul Δy această funcție. Cu toate acestea, până la o funcție infinitezimală de un ordin mai mare de micime decât Δx, egalitatea aproximativă este valabilă

Δy ≈ dy.

Raportul se numește eroarea relativă a egalității acestei egalități. Deoarece Δy-dy=o(Δx), Asta eroare relativă din această egalitate devine arbitrar mic pe măsură ce scădem |Δх|.

Având în vedere că Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, primim f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx sau

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Această egalitate aproximativă permite cu eroare o(Δx) funcția de înlocuire f(x)într-un cartier mic al punctului x(adică pentru valori mici Δx) funcţia liniară a argumentului Δx, stând pe partea dreaptă.

Derivate de ordin superior

Definiţie. Derivată a doua (sau derivată de ordinul doi) a unei funcții y=f(x) se numește derivata primei sale derivate.

Notație pentru derivata a doua a unei funcții y=f(x):

Sensul mecanic al derivatei a doua. Dacă funcţia y=f(x) descrie legea mișcării punct materialîn linie dreaptă, apoi derivata a doua f″(x) egală cu accelerația unui punct în mișcare în momentul de timp x.

Derivatele a treia și a patra sunt determinate în mod similar.

Definiţie. n a-a derivată (sau derivată n-al-lea) funcţii y=f(x) se numeste derivata acesteia n-1 derivata-a:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Denumiri: y″′, y IV, y V etc.

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant poate fi scos din semnul derivatului:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după familiarizarea cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivat rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivată a tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivatul arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

şi

aceste. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

şi

aceste. Derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Şi , atunci în acest moment și câtul lor este diferențiabilu/v și

aceste. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Comentariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Acest greseala tipica, care are loc pe stadiu inițial studiind derivate, dar pe măsură ce rezolvă mai multe exemple cu una și două părți, studentul obișnuit nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniŞi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula diferențierii sumei: derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altele funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

Când o persoană a făcut primii pași independenți în studiul analizei matematice și începe să întrebe întrebări incomode, atunci nu mai este atât de ușor să scapi cu fraza care „ calcul diferenţial găsit în varză”. Prin urmare, a venit momentul să fie determinat și să dezvăluie secretul nașterii tabele de derivate și reguli de diferențiere. A început în articol despre sensul derivatului, pe care vă recomand cu căldură să-l studiați, pentru că acolo tocmai ne-am uitat la conceptul de derivat și am început să facem clic pe probleme de pe subiect. Aceeași lecție are o orientare practică pronunțată, în plus,

exemplele discutate mai jos pot fi, în principiu, stăpânite pur formal (de exemplu, când nu există timp/dorință de a pătrunde în esența derivatului). De asemenea, este foarte de dorit (dar din nou nu este necesar) să puteți găsi derivate folosind metoda „obișnuită” - cel puțin la nivelul a două lecții de bază: Cum să găsiți derivata și derivata unei funcții complexe.

Dar există un lucru fără care cu siguranță nu ne putem lipsi acum, acesta este limitele funcției. Trebuie să ÎNȚELEGI ce este o limită și să le poți rezolva cel puțin la un nivel intermediar. Și totul pentru că derivatul

funcția într-un punct este determinată de formula:

Permiteți-mi să vă reamintesc denumirile și termenii: ei apelează increment de argument;

– creșterea funcției;

– acestea sunt simboluri SINGUR („delta” nu poate fi „smuls” din „X” sau „Y”).

Evident, ceea ce este o variabilă „dinamică” este o constantă și rezultatul calculării limitei – număr (uneori - „plus” sau „minus” infinit).

Ca punct, puteți lua în considerare ORICE valoare care îi aparține domeniul definirii funcţie în care există o derivată.

Notă: clauza „în care există derivatul” este în general este semnificativ! Deci, de exemplu, deși un punct este inclus în domeniul definiției unei funcții, derivata acesteia

nu exista acolo. Prin urmare formula

nu se aplică în acest moment

iar o formulare scurtată fără rezervă ar fi incorectă. Fapte similare sunt valabile pentru alte funcții cu „rupturi” în grafic, în special pentru arcsinus și arccosinus.

Astfel, după înlocuirea , obținem a doua formulă de lucru:

Acordați atenție unei circumstanțe insidioase care poate deruta ceainicul: în această limită, „x”, fiind el însuși o variabilă independentă, joacă rolul unei statistici, iar „dinamica” este din nou stabilită de increment. Rezultatul calculării limitei

este funcția derivată.

Pe baza celor de mai sus, formulăm condițiile a două probleme tipice:

- Găsește derivată la un punct, folosind definiția derivatei.

- Găsește funcţie derivată, folosind definiția derivatei. Această versiune, conform observațiilor mele, este mult mai comună și i se va acorda atenția principală.

Diferența fundamentală dintre sarcini este că, în primul caz, trebuie să găsiți numărul (opțional, infinit), iar în al doilea -

funcţie În plus, derivatul poate să nu existe deloc.

Cum ?

Creați un raport și calculați limita.

De unde a venit? tabel de derivate și reguli de diferențiere ? Datorită singurei limite

Pare magie, dar

în realitate - delectare și fără fraudă. În clasă Ce este un derivat? Am început să mă uit exemple concrete, unde, folosind definiția, am găsit derivatele lui liniar și funcţie pătratică. În scopul încălzirii cognitive, vom continua să deranjăm tabelul derivatelor, perfecționând algoritmul și soluțiile tehnice:

În esență, trebuie să demonstrați un caz special al derivatei unei funcții de putere, care apare de obicei în tabel: .

Soluția este formalizată tehnic în două moduri. Să începem cu prima abordare, deja familiară: scara începe cu o scândură, iar funcția derivată începe cu derivata într-un punct.

Luați în considerare un punct (specific) care îi aparține domeniul definirii funcţie în care există o derivată. Să setăm incrementul în acest moment (desigur, nu depășind o/o -ya) și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm limita:

Incertitudinea 0:0 este eliminată printr-o tehnică standard, considerată încă din secolul I î.Hr. Să ne înmulțim

numărător și numitor pentru expresia conjugată :

Tehnica de rezolvare a unei astfel de limite este discutată în detaliu în lecția introductivă. despre limitele funcţiilor.

Deoarece puteți alege ORICE punct al intervalului ca

Apoi, după ce am făcut înlocuirea, obținem:

Încă o dată să ne bucurăm de logaritmi:

Găsiți derivata unei funcții folosind definiția derivatei

Soluție: Să luăm în considerare o abordare diferită pentru promovarea aceleiași sarcini. Este exact la fel, dar mai rațional din punct de vedere al designului. Ideea este să scapi de

indice și folosiți o literă în loc de o literă.

Luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține domeniul definirii funcția (interval) și setați incrementul în ea. Dar aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiabilă în orice punct din domeniul definiției.

Apoi, incrementul corespunzător al funcției este:

Să găsim derivata:

Simplitatea designului este echilibrată de confuzia care poate

apar printre începători (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți cu faptul că litera „X” se schimbă în limită! Dar aici totul este diferit: - o statuie antică și - un vizitator viu, care se plimbă vioi de-a lungul coridorului muzeului. Adică, „x” este „ca o constantă”.

Voi comenta eliminarea incertitudinii pas cu pas:

(1) Folosind proprietatea logaritmului.

(2) În paranteze, împărțiți numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) La numitor, înmulțim artificial și împărțim cu „x”, astfel încât

profita de limita minunata , în timp ce ca infinitezimal acte.

Răspuns: prin definiția unei derivate:

Sau pe scurt:

Vă propun să construiți singur încă două formule de tabel:

Găsiți derivată prin definiție

ÎN în acest caz, este convenabil să reduceți imediat incrementul compilat la un numitor comun. Probă aproximativă finalizarea temei la sfârșitul lecției (prima metodă).

Găsiți derivată prin definiție

Și aici totul trebuie redus la o limită remarcabilă. Soluția se formalizează în al doilea mod.

O serie de altele derivate tabulare. Lista completă poate fi găsit într-un manual școlar sau, de exemplu, volumul I din Fichtenholtz. Nu văd prea mult rost în copierea dovezilor regulilor de diferențiere din cărți - sunt, de asemenea, generate

formula

Să trecem la sarcinile întâlnite efectiv: Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții , folosind definiția derivatei

Soluție: utilizați primul stil de design. Să luăm în considerare un punct care aparține și să setăm incrementul argumentului la acesta. Apoi, incrementul corespunzător al funcției este:

Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul după care trebuie făcute creșteri. Luați un punct (număr) și găsiți valoarea funcției din el: , adică în funcție

în loc de „X” ar trebui înlocuit. Acum hai să o luăm

Increment de funcție compilat Poate fi benefic să simplificați imediat. Pentru ce? Facilitați și scurtați soluția la o limită suplimentară.

Folosim formule, deschidem parantezele și reducem tot ce poate fi redus:

Curcanul este eviscerat, nicio problemă cu friptura:

Ca urmare:

Deoarece putem alege orice număr real ca valoare, facem înlocuirea și obținem .

Raspuns: prin definiție.

În scopuri de verificare, să găsim derivatul folosind regulile

diferențiere și tabele:

Este întotdeauna util și plăcut să cunoști în prealabil răspunsul corect, așa că este mai bine să diferențiezi funcția propusă într-un mod „rapid”, fie mental, fie în schiță, chiar la începutul soluției.

Găsiți derivata unei funcții prin definiția derivatei

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Rezultatul este evident:

Să revenim la stilul #2: Exemplul 7

Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De regula de diferentiere a functiilor complexe:

Soluție: luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține, setați incrementul argumentului la acesta și completați incrementul

Să găsim derivata:

(1) Folosim formula trigonometrică

(2) Sub sinus deschidem parantezele, sub cosinus prezentăm termeni similari.

(3) Sub sinus anulăm termenii, sub cosinus împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(4) Din cauza ciudățeniei sinusului, scoatem „minus”. Sub cosinus

indicăm că termenul .

(5) Efectuăm înmulțirea artificială la numitor pentru a folosi prima limită minunată. Astfel, incertitudinea este eliminată, haideți să curățăm rezultatul.

Răspuns: prin definiție După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe

complexitatea foarte limitei + ușoară originalitate a ambalajului. În practică, apar ambele metode de proiectare, așa că descriu ambele abordări cât mai detaliat posibil. Ele sunt echivalente, dar totuși, în impresia mea subiectivă, este mai recomandabil ca manechinilor să rămână la opțiunea 1 cu „X-zero”.

Folosind definiția, găsiți derivata funcției

Aceasta este o sarcină pe care o puteți rezolva singur. Eșantionul este conceput în același spirit ca exemplul anterior.

Să ne uităm la o versiune mai rară a problemei:

Găsiți derivata unei funcții într-un punct folosind definiția derivatei.

În primul rând, care ar trebui să fie rezultatul final? Număr Să calculăm răspunsul în modul standard:

Soluție: din punct de vedere al clarității, această sarcină este mult mai simplă, deoarece în formulă, în loc de

se consideră o anumită valoare.

Să setăm incrementul la punctul și să compunem incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm derivata într-un punct:

Folosim o formulă de diferență tangentă foarte rară si inca o data reducem solutia la prima

limita remarcabila:

Răspuns: prin definiția derivatei la un punct.

Problema nu este atât de dificil de rezolvat „în general” - este suficient să înlocuiți unghia sau pur și simplu în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, este clar că rezultatul nu va fi un număr, ci o funcție derivată.

Exemplul 10 Folosind definiția, găsiți derivata funcției la punct

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Sarcina finală bonus este destinată în primul rând studenților cu un studiu aprofundat al analizei matematice, dar nici nu va răni pe nimeni altcineva:

Funcția va fi diferențiabilă? la punctul?