Pentru a studia complet funcția și a reprezenta graficul acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de definire al funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptote orizontale și oblice;

4) examinați funcția pentru paritate (paritate impară) și periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și punctele de inflexiune;

7) găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate și, dacă este posibil, câteva puncte suplimentare care clarifică graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniul de aplicare: ;

2. Funcția suferă discontinuitate în puncte
,
;

Examinăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Examinăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
.

Paritatea funcției indică simetria graficului față de ordonată.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.
;
Să găsim punctele critice, adică. puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;

. Avem trei puncte . Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele

pe fiecare dintre ele.
La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) ─ scade. La trecerea printr-un punct
.

derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment funcția are un maxim

6. Aflați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune. Să găsim punctele în care

este 0 sau nu există.
,
,

nu are rădăcini reale.
Puncte
Şi împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul

la fiecare interval.
Astfel, curba pe intervale
Şi
Puncte
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția este în puncte

nedefinit.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.
Cu axă
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa

graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în Figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Funcția de elasticitate

Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a unei funcții. Definiţie.
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
când variabila independentă se modifică cu 1%.

Funcția de elasticitate este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea funcției
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII), elasticitatea functiei este:

Fie x=3, atunci
.Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze referitor la pret arata ca
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicatorului de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

crezând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la un preț
unități monetare o creștere de 1% a prețului va determina o scădere cu 6% a cererii, adică cererea este elastică.

Instrucţiuni

Găsiți domeniul funcției. De exemplu, funcția sin(x) este definită pe întregul interval de la -∞ la +∞, iar funcția 1/x este definită de la -∞ la +∞, cu excepția punctului x = 0.

Identificați zonele de continuitate și punctele de discontinuitate. De obicei, o funcție este continuă în aceeași regiune în care este definită. Pentru a detecta discontinuități, trebuie să calculați pe măsură ce argumentul se apropie de puncte izolate din domeniul definiției. De exemplu, funcția 1/x tinde spre infinit când x→0+ și spre minus infinit când x→0-. Aceasta înseamnă că în punctul x = 0 are o discontinuitate de al doilea fel.
Dacă limitele la punctul de discontinuitate sunt finite, dar nu egale, atunci aceasta este o discontinuitate de primul fel. Dacă sunt egale, atunci funcția este considerată continuă, deși punct izolat nu este definit.

Găsiți asimptote verticale, dacă există. Calculele de la pasul anterior vă vor ajuta aici, deoarece asimptota verticală este aproape întotdeauna situată în punctul de discontinuitate al celui de-al doilea fel. Cu toate acestea, uneori nu punctele individuale sunt excluse din domeniul definiției, ci intervale întregi de puncte, iar apoi asimptotele verticale pot fi localizate la marginile acestor intervale.

Verificați dacă funcția are proprietăți speciale: par, impar și periodic.
Funcția va fi chiar dacă pentru orice x din domeniul f(x) = f(-x). De exemplu, cos(x) și x^2 sunt funcții pare.

Periodicitatea este o proprietate care spune că există un anumit număr T, numit perioadă, care pentru orice x f(x) = f(x + T). De exemplu, toate funcțiile trigonometrice de bază (sinus, cosinus, tangentă) sunt periodice.

Găsiți punctele. Pentru a face acest lucru, calculați derivata funcției date și găsiți acele valori ale lui x unde devine zero. De exemplu, funcția f(x) = x^3 + 9x^2 -15 are o derivată g(x) = 3x^2 + 18x, care dispare la x = 0 și x = -6.

Pentru a determina care puncte extreme sunt maxime și care sunt minime, urmăriți modificarea semnelor derivatei la zerourile găsite. g(x) schimbă semnul din plus în punctul x = -6, iar în punctul x = 0 înapoi de la minus la plus. În consecință, funcția f(x) are un minim la primul punct și un minim la al doilea.

Astfel, ați găsit și regiuni de monotonitate: f(x) crește monoton pe intervalul -∞;-6, scade monoton pe -6;0 și crește din nou pe 0;+∞.

Găsiți derivata a doua. Rădăcinile sale vor arăta unde graficul unei anumite funcții va fi convex și unde va fi concav. De exemplu, derivata a doua a funcției f(x) va fi h(x) = 6x + 18. Se duce la zero la x = -3, schimbând semnul din minus în plus. În consecință, graficul lui f(x) înainte de acest punct va fi convex, după el - concav, iar acest punct în sine va fi un punct de inflexiune.

O funcție poate avea și alte asimptote în afară de cele verticale, dar numai dacă domeniul său de definiție include . Pentru a le găsi, calculați limita lui f(x) când x→∞ sau x→-∞. Dacă este finită, atunci ați găsit asimptota orizontală.

Asimptota oblică este o linie dreaptă de forma kx + b. Pentru a găsi k, calculați limita lui f(x)/x ca x→∞. Pentru a găsi limita b (f(x) – kx) pentru același x→∞.

De ceva timp, baza de date încorporată a certificatelor TheBat pentru SSL a încetat să funcționeze corect (nu este clar din ce motiv).

La verificarea postării, apare o eroare:

Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat un certificat rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Această conexiune nu poate fi secretă. Vă rog
contactați administratorul serverului dvs.

Și vi se oferă o alegere de răspunsuri - DA / NU. Și așa de fiecare dată când eliminați e-mail.

Soluţie

În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S/MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în setările TheBat!

Deoarece trebuia să combin toate fișierele într-unul singur, mai întâi am convertit totul fișiere docîntr-un singur fișier pdf (folosind programul Acrobat), apoi l-am transferat pe fb2 printr-un convertor online. De asemenea, puteți converti fișiere individual. Formatele pot fi absolut orice (sursă) - doc, jpg și chiar o arhivă zip!

Numele site-ului corespunde esenței :) Online Photoshop.

Actualizare mai 2015

Am gasit un alt site grozav! Și mai convenabil și mai funcțional pentru a crea un colaj complet personalizat! Acesta este site-ul http://www.fotor.com/ru/collage/. Bucură-te de el pentru sănătatea ta. Și o voi folosi și eu.

În viața mea am dat peste problema reparării unui aragaz electric. Am făcut deja o mulțime de lucruri, am învățat multe, dar cumva am avut puțin de-a face cu plăcile. A fost necesar să se înlocuiască contactele de pe regulatoare și arzătoare. A apărut întrebarea - cum să determinați diametrul arzătorului pe o sobă electrică?

Răspunsul s-a dovedit a fi simplu. Nu trebuie să măsurați nimic, puteți determina cu ușurință cu privire la dimensiunea de care aveți nevoie.

Cel mai mic arzător- aceasta este 145 milimetri (14,5 centimetri)

Arzator mijlociu- aceasta este 180 de milimetri (18 centimetri).

Și, în sfârșit, cel mai mult arzător mare- aceasta este 225 milimetri (22,5 centimetri).

Este suficient să determinați dimensiunea prin ochi și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de arzător. Când nu știam asta, eram îngrijorat de aceste dimensiuni, nu știam cum să măsor, pe ce margine să navighez etc. Acum sunt intelept :) Sper ca te-am ajutat si pe tine!

În viața mea m-am confruntat cu o astfel de problemă. Cred că nu sunt singurul.

Studiul unei funcții se realizează după o schemă clară și necesită ca studentul să aibă cunoștințe solide de bază concepte matematice precum domeniul definiției și valorilor, continuitatea funcției, asimptota, punctele extreme, paritatea, periodicitatea etc. Elevul trebuie să fie capabil să diferențieze liber funcții și să rezolve ecuații, care uneori pot fi foarte complexe.

Adică, această sarcină testează un strat semnificativ de cunoștințe, orice decalaj în care va deveni un obstacol în obținerea soluției corecte. În mod deosebit de des, apar dificultăți la construirea graficelor de funcții. Această greșeală este imediat vizibilă pentru profesor și vă poate afecta foarte mult nota, chiar dacă totul a fost făcut corect. Aici puteți găsi probleme de cercetare a funcției online: exemple de studiu, soluții de descărcare, sarcini de comandă.

Explorați o funcție și trasați un grafic: exemple și soluții online

V-am pregătit o mulțime de studii de funcții gata făcute, atât plătite în carnetul de muncă, cât și gratuite în secțiunea Exemple de studii de funcție. Pe baza acestor sarcini rezolvate, veți putea să vă familiarizați în detaliu cu metodologia de realizare a sarcinilor similare și să vă desfășurați cercetările prin analogie.

Oferim exemple gata făcute cercetare completă și reprezentare grafică a funcțiilor din cele mai comune tipuri: polinoame, funcții fracționale-rationale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice. Fiecare problemă rezolvată este însoțită de un grafic gata făcut cu puncte cheie evidențiate, asimptote, maxime și minime, soluția se realizează folosind un algoritm pentru studierea funcției.

În orice caz, exemplele rezolvate vă vor fi de mare ajutor, deoarece acoperă cele mai populare tipuri de funcții. Vă oferim sute de probleme deja rezolvate, dar, după cum știți, există un număr infinit de funcții matematice în lume, iar profesorii sunt mari experți în a inventa sarcini din ce în ce mai complicate pentru elevii săraci. Așadar, dragi studenți, ajutorul calificat nu vă va răni.

Rezolvarea problemelor de cercetare a funcțiilor personalizate

În acest caz, partenerii noștri vă vor oferi un alt serviciu - cercetare completă funcții online a comanda. Sarcina va fi finalizată pentru dvs. în conformitate cu toate cerințele pentru un algoritm pentru rezolvarea unor astfel de probleme, ceea ce vă va mulțumi foarte mult profesorului dvs.

Vom face un studiu complet al funcției pentru tine: vom găsi domeniul definiției și domeniul valorilor, vom examina continuitatea și discontinuitatea, vom stabili paritatea, vom verifica funcția pentru periodicitate și vom găsi punctele de intersecție cu axele de coordonate. . Și, desigur, folosind în continuare calculul diferențial: vom găsi asimptote, vom calcula extreme, puncte de inflexiune și vom construi graficul în sine.

Una dintre cele mai importante sarcini ale calculului diferențial este dezvoltarea de exemple generale de studiere a comportamentului funcțiilor.

Dacă funcția y=f(x) este continuă pe intervalul , iar derivata ei este pozitivă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) crește cu (f"(x)0) Dacă funcția y=f (x) este continuă pe segmentul , iar derivata ei este negativă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) scade cu (f"(x)0. )

Intervalele în care funcția nu scade sau nu crește se numesc intervale de monotonitate a funcției. Natura monotonității unei funcții se poate schimba numai în acele puncte ale domeniului său de definiție la care se modifică semnul derivatei întâi. Punctele în care derivata întâi a unei funcții dispare sau are o discontinuitate sunt numite critice.

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie definită funcția y=f(x) în punctul x 0 și să existe o vecinătate δ>0 astfel încât funcția să fie continuă pe interval și diferențiabilă pe intervalul (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , iar derivata ei păstrează un semn constant pe fiecare dintre aceste intervale. Atunci, dacă pe x 0 -δ,x 0) și (x 0 , x 0 +δ) semnele derivatei sunt diferite, atunci x 0 este un punct extrem, iar dacă coincid, atunci x 0 nu este un punct extrem. . Mai mult, dacă, la trecerea prin punctul x0, derivata își schimbă semnul din plus în minus (la stânga lui x 0 f"(x)>0 este satisfăcut, atunci x 0 este punctul maxim; dacă derivata își schimbă semnul din minus la plus (la dreapta lui x 0 executat f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punctele maxime și minime sunt numite puncte extreme ale funcției, iar punctele maxime și minime ale funcției sunt valorile sale extreme.

Teorema 2 (un semn necesar al unui extremum local).

Dacă funcția y=f(x) are un extrem la curentul x=x 0, atunci fie f’(x 0)=0, fie f’(x 0) nu există.
La punctele extreme ale funcției diferențiabile, tangenta la graficul său este paralelă cu axa Ox.

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru extremum:

1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți punctele critice, de ex. puncte în care funcția este continuă și derivata este zero sau nu există.
3) Luați în considerare vecinătatea fiecărui punct și examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta acestui punct.
4) Determinați coordonatele punctelor extreme pentru aceasta, înlocuiți valorile punctelor critice în această funcție. Folosind condiții suficiente pentru extremum, trageți concluziile corespunzătoare.

Exemplul 18. Examinați funcția y=x 3 -9x 2 +24x pentru un extremum

Soluţie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Echivalând derivata cu zero, găsim x 1 =2, x 2 =4. În acest caz, derivata este definită peste tot; Aceasta înseamnă că în afară de cele două puncte găsite, nu există alte puncte critice.
3) Semnul derivatei y"=3(x-2)(x-4) se modifică în funcție de interval, așa cum se arată în figura 1. Când trece prin punctul x=2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, iar la trecerea prin punctul x=4 - de la minus la plus.
4) În punctul x=2 funcția are un maxim y max =20, iar în punctul x=4 - un minim y min =16.

Teorema 3. (a 2-a condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie f"(x 0) și în punctul x 0 există f""(x 0). Atunci dacă f""(x 0)>0, atunci x 0 este punctul minim și dacă f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pe un segment, funcția y=f(x) poate atinge cea mai mică (y cel mai mic) sau cea mai mare (y cea mai mare) valoare fie în punctele critice ale funcției aflate în intervalul (a;b), fie la capetele segmentului.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue y=f(x) pe segment:

1) Găsiți f"(x).
2) Găsiți punctele în care f"(x)=0 sau f"(x) nu există și selectați dintre ele pe cele care se află în interiorul segmentului.
3) Calculați valoarea funcției y=f(x) în punctele obținute la pasul 2), precum și la capetele segmentului și selectați dintre acestea pe cel mai mare și cel mai mic: acestea sunt, respectiv, cele mai mari (y cea mai mare) și cele mai mici (y cel mai mic) valori ale funcției pe interval.

Exemplul 19. Aflați cea mai mare valoare a funcției continue y=x 3 -3x 2 -45+225 pe segment.

1) Avem y"=3x 2 -6x-45 pe segment
2) Derivata y" există pentru tot x. Să găsim punctele în care y"=0; obținem:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Calculați valoarea funcției în punctele x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmentul conține doar punctul x=5. Cea mai mare dintre valorile găsite ale funcției este 225, iar cea mai mică este numărul 50. Deci, y max = 225, y min = 50.

Studiul unei funcții asupra convexității

Figura prezintă grafice a două funcții. Primul dintre ele este convex în sus, al doilea este convex în jos.

Funcția y=f(x) este continuă pe segment și diferențiabilă în intervalul (a;b), se numește convexă în sus (în jos) pe acest segment dacă, pentru axb, graficul său nu se află mai sus (nu mai jos) decât tangenta trasata in orice punct M 0 (x 0 ;f(x 0)), unde axb.

Teorema 4. Fie funcția y=f(x) să aibă o derivată a doua în orice punct interior x al segmentului și să fie continuă la capetele acestui segment. Atunci, dacă inegalitatea f""(x)0 este valabilă pentru intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în jos pe intervalul ; dacă inegalitatea f""(x)0 este valabilă pentru intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în sus pe .

Teorema 5. Dacă funcția y=f(x) are derivată a doua pe intervalul (a;b) și dacă își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0, atunci M(x 0 ;f(x 0)) este un punct de inflexiune.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1) Aflați punctele în care f""(x) nu există sau dispare.
2) Examinați semnul f""(x) la stânga și la dreapta fiecărui punct găsit la primul pas.
3) Pe baza teoremei 4, trageți o concluzie.

Exemplul 20. Aflați punctele extreme și punctele de inflexiune ale graficului funcției y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Avem f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Evident, f"(x)=0 când x 1 =0, x 2 =1. La trecerea prin punctul x=0, derivata își schimbă semnul din minus în plus, dar la trecerea prin punctul x=1 nu își schimbă semnul. Aceasta înseamnă că x=0 este punctul minim (y min =12) și nu există un extrem în punctul x=1. În continuare, găsim . A doua derivată dispare în punctele x 1 =1, x 2 =1/3. Semnele derivatei a doua se schimbă astfel: Pe raza (-∞;) avem f""(x)>0, pe intervalul (;1) avem f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prin urmare, x= este punctul de inflexiune al graficului funcției (tranziția de la convexitate în jos la convexitate în sus) și x=1 este, de asemenea, punctul de inflexiune (tranziție de la convexitate în sus la convexitate în jos). Dacă x=, atunci y= ; dacă, atunci x=1, y=13.

Algoritm pentru găsirea asimptotei unui grafic

I. Dacă y=f(x) ca x → a, atunci x=a este o asimptotă verticală.
II. Dacă y=f(x) ca x → ∞ sau x → -∞, atunci y=A este o asimptotă orizontală.
III. Pentru a găsi asimptota oblică, folosim următorul algoritm:
1) Calculați. Dacă limita există și este egală cu b, atunci y=b este o asimptotă orizontală; dacă , atunci treceți la pasul al doilea.
2) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu k, atunci treceți la pasul al treilea.
3) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu b, atunci treceți la pasul al patrulea.
4) Notați ecuația asimptotei oblice y=kx+b.

Exemplul 21: Găsiți asimptota pentru o funcție

1)
2)
3)
4) Ecuația asimptotei oblice are forma

Schemă pentru studierea unei funcții și construirea graficului acesteia

I. Aflați domeniul de definire al funcției.
II. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.
III. Găsiți asimptote.
IV. Găsiți posibile puncte extreme.
V. Găsiți punctele critice.
VI. Folosind figura auxiliară, explorați semnul primei și a doua derivate. Determinați ariile de creștere și descreștere ale funcției, găsiți direcția de convexitate a graficului, punctele de extremă și punctele de inflexiune.
VII. Construiți un grafic, ținând cont de cercetările efectuate la paragrafele 1-6.

Exemplul 22: Construiți un grafic al funcției conform diagramei de mai sus

Soluţie.
I. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale cu excepția x=1.
II. Deoarece ecuația x 2 +1=0 nu are rădăcini reale, graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axa Ox, dar intersectează axa Oy în punctul (0;-1).
III. Să clarificăm problema existenței asimptotelor. Să studiem comportamentul funcției în apropierea punctului de discontinuitate x=1. Deoarece y → ∞ ca x → -∞, y → +∞ ca x → 1+, atunci linia x=1 este asimptota verticală a graficului funcției.
Dacă x → ​​+∞(x → -∞), atunci y → +∞(y → -∞); prin urmare, graficul nu are o asimptotă orizontală. Mai departe, din existența limitelor

Rezolvând ecuația x 2 -2x-1=0 obținem două puncte extreme posibile:
x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2

V. Pentru a găsi punctele critice, calculăm derivata a doua:

Deoarece f""(x) nu dispare, nu există puncte critice.
VI. Să examinăm semnul primei și a doua derivate. Puncte extreme posibile de luat în considerare: x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2, împărțiți domeniul de existență al funcției în intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) și (1+√2;+∞).

În fiecare dintre aceste intervale, derivata își păstrează semnul: în primul - plus, în al doilea - minus, în al treilea - plus. Secvența de semne a primei derivate se va scrie astfel: +,-,+.
Constatăm că funcția crește la (-∞;1-√2), scade la (1-√2;1+√2) și crește din nou la (1+√2;+∞). Puncte extreme: maxim la x=1-√2 și f(1-√2)=2-2√2 minim la x=1+√2 și f(1+√2)=2+2√2. La (-∞;1) graficul este convex în sus, iar la (1;+∞) este convex în jos.
VII Să facem un tabel cu valorile obţinute

VIII Pe baza datelor obținute construim o schiță a graficului funcției