Funcții trigonometrice cum se rezolvă exemple. Ecuații trigonometrice - formule, soluții, exemple

Ecuații trigonometrice mai complexe

Ecuații

păcat x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sunt cele mai simple ecuații trigonometrice. În această secțiune, ne vom uita la ecuații trigonometrice mai complexe folosind exemple specifice. Soluția lor, de regulă, se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Exemplu 1 . Rezolvați ecuația

păcatul 2 X=cos X păcatul 2 X.

Transferând toți termenii acestei ecuații în partea stângă și factorizând expresia rezultată, obținem:

păcatul 2 X(1 - cos X) = 0.

Produsul a două expresii este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar celălalt ia orice valoare numerică, atâta timp cât este definită.

Dacă păcatul 2 X = 0 , apoi 2 X= n π ; X = π / 2n.

Dacă 1 - cos X = 0 , apoi cos X = 1; X = 2kπ .

Deci, avem două grupuri de rădăcini: X = π / 2n; X = 2kπ . Al doilea grup de rădăcini este în mod evident cuprins în primul, deoarece pentru n = 4k expresia X = π / 2n devine
X = 2kπ .

Prin urmare, răspunsul poate fi scris într-o singură formulă: X = π / 2n, Unde n- orice număr întreg.

Rețineți că această ecuație nu a putut fi rezolvată prin reducerea cu sin 2 X. Într-adevăr, după reducere am obține 1 - cos x = 0, de unde X= 2k π . Deci am pierde niște rădăcini, de exemplu π / 2 , π , 3π / 2 .

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

O fracție este egală cu zero numai dacă numărătorul ei este egal cu zero.
De aceea păcatul 2 X = 0 , de unde 2 X= n π ; X = π / 2n.

Din aceste valori X trebuie să arunci ca străine acele valori la care păcatX merge la zero (fracțiile cu numitorul zero nu au sens: împărțirea la zero este nedefinită). Aceste valori sunt numere care sunt multipli ale π . În formulă
X = π / 2n se obţin pentru chiar n. Prin urmare, rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele

X = π / 2 (2k + 1),

unde k este orice număr întreg.

Exemplu 3 . Rezolvați ecuația

2 păcatul 2 X+ 7cos X - 5 = 0.

Să ne exprimăm păcatul 2 X prin cosX : păcatul 2 X = 1 - cos 2X . Apoi această ecuație poate fi rescrisă ca

2 (1 - cos 2 X) + 7cos X - 5 = 0 , sau

2cos 2 X- 7 cos X + 3 = 0.

Desemnarea cosX prin la, ajungem la ecuația pătratică

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ale căror rădăcini sunt numerele 1/2 și 3. Aceasta înseamnă că fie cos X= 1 / 2, sau cos X= 3. Cu toate acestea, acesta din urmă este imposibil, deoarece cosinusul oricărui unghi nu depășește 1 în valoare absolută.

Rămâne de recunoscut că cos X = 1 / 2 , Unde

X = ± 60° + 360° n.

Exemplu 4 . Rezolvați ecuația

2 păcat X+ 3cos X = 6.

Din moment ce păcatul X si cos Xîn valoare absolută nu depășește 1, apoi expresia
2 păcat X+ 3cos X nu poate lua valori mai mari decât 5 . Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Exemplu 5 . Rezolvați ecuația

păcat X+cos X = 1

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem:

păcatul 2 X+ 2 păcat X cos X+ cos 2 X = 1,

Dar păcatul 2 X + cos 2 X = 1 . De aceea 2 păcat X cos X = 0 . Dacă păcat X = 0 , Acea X = nπ ; dacă
cos X , Acea X = π / 2 + kπ . Aceste două grupuri de soluții pot fi scrise într-o singură formulă:

X = π / 2n

Deoarece am pătrat ambele părți ale acestei ecuații, este posibil să existe rădăcini străine printre rădăcinile pe care le-am obținut. De aceea, în acest exemplu, spre deosebire de toate precedentele, este necesar să se facă o verificare. Toate semnificațiile

X = π / 2n poate fi împărțit în 4 grupe

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

La X = 2kπ păcat X+cos X= 0 + 1 = 1. Prin urmare, X = 2kπ sunt rădăcinile acestei ecuații.

La X = π / 2 + 2kπ. păcat X+cos X= 1 + 0 = 1 Deci X = π / 2 + 2kπ- de asemenea rădăcinile acestei ecuații.

La X = π + 2kπ păcat X+cos X= 0 - 1 = - 1. Prin urmare, valorile X = π + 2kπ nu sunt rădăcini ale acestei ecuații. În mod similar se arată că X = 3π / 2 + 2kπ. nu sunt rădăcini.

Astfel, această ecuație are următoarele rădăcini: X = 2kπȘi X = π / 2 + 2mπ., Unde kȘi m- orice numere întregi.

Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil de determinat tipul său pe baza aspectului unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită din câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Sa luam in considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind toate formulele trigonometrice posibile, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Necesită cunoașterea formulelor de bază ale trigonometriei - suma pătratelor sinusului și cosinusului, expresia tangentei prin sinus și cosinus și altele. Pentru cei care le-au uitat sau nu le cunosc, recomandăm citirea articolului „”.
Deci, cunoaștem formulele trigonometrice de bază, este timpul să le folosim în practică. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu abordarea corectă, este o activitate destul de interesantă, cum ar fi, de exemplu, rezolvarea unui cub Rubik.

Pe baza numelui în sine, este clar că o ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află sub semnul funcției trigonometrice.
Există așa-numitele cele mai simple ecuații trigonometrice. Iată cum arată: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Sa luam in considerare cum se rezolvă astfel de ecuații trigonometrice, pentru claritate vom folosi cercul trigonometric deja familiar.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

pat x = a

Orice ecuație trigonometrică se rezolvă în două etape: reducem ecuația la cea mai simplă formă și apoi o rezolvăm ca o ecuație trigonometrică simplă.
Există 7 metode principale prin care se rezolvă ecuațiile trigonometrice.

1. Substituția variabilă și metoda substituției

Rezolvați ecuația 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Folosind formulele de reducere obținem:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Înlocuiește cos(x + /6) cu y pentru a simplifica și a obține ecuația pătratică obișnuită:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ale căror rădăcini sunt y 1 = 1, y 2 = 1/2

Acum să mergem în ordine inversă

Înlocuim valorile găsite ale lui y și obținem două opțiuni de răspuns:

2. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin factorizare

Cum se rezolvă ecuația sin x + cos x = 1?

Să mutăm totul la stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta:

sin x + cos x – 1 = 0

Să folosim identitățile discutate mai sus pentru a simplifica ecuația:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Să factorizăm:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Obținem două ecuații

3. Reducere la o ecuație omogenă

O ecuație este omogenă față de sinus și cosinus dacă toți termenii ei sunt relativ la sinusul și cosinusul aceleiași puteri ale aceluiași unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, procedați după cum urmează:

a) transferă toți membrii săi în partea stângă;

b) scoateți toți factorii comuni din paranteze;

c) egalează toți factorii și parantezele cu 0;

d) se obține între paranteze o ecuație omogenă de grad inferior, care la rândul ei se împarte într-un sinus sau cosinus de grad superior;

e) rezolvați ecuația rezultată pentru tg.

Rezolvați ecuația 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Să folosim formula sin 2 x + cos 2 x = 1 și să scăpăm de cele două deschise din dreapta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Împărțire la cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Înlocuiți tan x cu y și obțineți o ecuație pătratică:

y 2 + 4y +3 = 0, ale căror rădăcini sunt y 1 =1, y 2 = 3

De aici găsim două soluții la ecuația inițială:

x 2 = arctan 3 + k

4. Rezolvarea ecuațiilor prin trecerea la jumătate de unghi

Rezolvați ecuația 3sin x – 5cos x = 7

Să trecem la x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Să mutăm totul la stânga:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Împărțire la cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introducerea unghiului auxiliar

Pentru a lua în considerare, să luăm o ecuație de forma: a sin x + b cos x = c,

unde a, b, c sunt niște coeficienți arbitrari, iar x este o necunoscută.

Să împărțim ambele părți ale ecuației la:



Acum coeficienții ecuației, conform formulelor trigonometrice, au proprietățile sin și cos și anume: modulul lor nu este mai mare de 1 și suma pătratelor = 1. Să-i notăm, respectiv, cos și sin, unde - aceasta este așa-numitul unghi auxiliar. Atunci ecuația va lua forma:

cos * sin x + sin * cos x = C

sau sin(x + ) = C

Soluția la această ecuație trigonometrică cea mai simplă este

x = (-1) k * arcsin C - + k, unde



Trebuie remarcat faptul că notațiile cos și sin sunt interschimbabile.

Rezolvați ecuația sin 3x – cos 3x = 1

Coeficienții din această ecuație sunt:

a = , b = -1, deci împărțiți ambele părți la = 2

Cele mai simple ecuații trigonometrice se rezolvă, de regulă, folosind formule. Permiteți-mi să vă reamintesc că cele mai simple ecuații trigonometrice sunt:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x este unghiul care trebuie găsit,
a este orice număr.

Și iată care sunt formulele cu care puteți nota imediat soluțiile acestor ecuații simple.

Pentru sinus:

Pentru cosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pentru tangentă:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Pentru cotangentă:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

De fapt, aceasta este partea teoretică a rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice. Mai mult, totul!) Nimic. Cu toate acestea, numărul de erori pe acest subiect este pur și simplu în afara graficelor. Mai ales dacă exemplul se abate ușor de la șablon. De ce?

Da, pentru că mulți oameni notează aceste scrisori, fără să le înțelegem deloc sensul! El scrie cu prudență, ca să nu se întâmple ceva...) Acest lucru trebuie rezolvat. Trigonometrie pentru oameni sau oameni pentru trigonometrie, până la urmă!?)

Să ne dăm seama?

Un unghi va fi egal cu arccos a, al doilea: -arccos a.

Și întotdeauna va funcționa așa. Pentru orice A.

Dacă nu mă credeți, treceți mouse-ul peste imagine sau atingeți fotografia de pe tabletă.) Am schimbat numărul A la ceva negativ. Oricum, avem un colț arccos a, al doilea: -arccos a.

Prin urmare, răspunsul poate fi întotdeauna scris ca două serii de rădăcini:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Să combinăm aceste două serii într-una singură:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Și asta e tot. Am obținut o formulă generală pentru rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice cu cosinus.

Dacă înțelegi că acesta nu este un fel de înțelepciune supraștiințifică, dar doar o versiune scurtă a două serii de răspunsuri, De asemenea, veți putea face față sarcinilor „C”. Cu inegalități, cu selectarea rădăcinilor dintr-un interval dat... Acolo răspunsul cu plus/minus nu merge. Dar dacă tratați răspunsul într-o manieră de afaceri și îl descompuneți în două răspunsuri separate, totul va fi rezolvat.) De fapt, de aceea îl analizăm. Ce, cum și unde.

În cea mai simplă ecuație trigonometrică

sinx = a

obținem și două serii de rădăcini. Mereu. Și aceste două serii pot fi și înregistrate într-o singură linie. Doar această linie va fi mai complicată:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Dar esența rămâne aceeași. Matematicienii au conceput pur și simplu o formulă pentru a face una în loc de două intrări pentru serii de rădăcini. Asta e tot!

Să verificăm matematicienii? Și nu se știe niciodată...)

În lecția anterioară, soluția (fără formule) a unei ecuații trigonometrice cu sinus a fost discutată în detaliu:

Răspunsul a rezultat în două serii de rădăcini:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Dacă rezolvăm aceeași ecuație folosind formula, obținem răspunsul:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

De fapt, acesta este un răspuns neterminat.) Studentul trebuie să știe asta arcsin 0,5 = π /6. Răspunsul complet ar fi:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Aceasta ridică o întrebare interesantă. Răspunde prin x 1; x 2 (acesta este răspunsul corect!) și prin singuratic X (și acesta este răspunsul corect!) - sunt sau nu același lucru? Vom afla acum.)

Inlocuim in raspuns cu x 1 valorile n =0; 1; 2; etc., numărăm, obținem o serie de rădăcini:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 și așa mai departe.

Cu aceeași înlocuire ca răspuns cu x 2 , primim:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 și așa mai departe.

Acum să înlocuim valorile n (0; 1; 2; 3; 4...) în formula generală pentru single X . Adică ridicăm minus unu la puterea zero, apoi la prima, a doua etc. Ei bine, desigur, substituim 0 în al doilea termen; 1; 2 3; 4, etc. Și numărăm. Primim seria:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 și așa mai departe.

Atât se vede.) Formula generală ne oferă exact aceleasi rezultate precum cele două răspunsuri separat. Doar totul deodată, în ordine. Matematicienii nu au fost păcăliți.)

Pot fi verificate și formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu tangentă și cotangentă. Dar nu vom face.) Ele sunt deja simple.

Am scris în mod special toate aceste înlocuiri și verificări. Aici este important să înțelegeți un lucru simplu: există formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice elementare, doar un scurt rezumat al răspunsurilor. Pentru această concizie, a trebuit să introducem plus/minus în soluția de cosinus și (-1) n în soluția de sinus.

Aceste inserții nu interferează în niciun fel în sarcinile în care trebuie doar să scrieți răspunsul la o ecuație elementară. Dar dacă trebuie să rezolvați o inegalitate sau atunci trebuie să faceți ceva cu răspunsul: selectați rădăcini pe un interval, verificați ODZ etc., aceste inserții pot deranja cu ușurință o persoană.

Si ce ar trebui sa fac? Da, fie scrieți răspunsul în două serii, fie rezolvați ecuația/inegalitatea folosind cercul trigonometric. Apoi aceste inserții dispar și viața devine mai ușoară.)

Putem rezuma.

Pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice, există formule de răspuns gata făcute. Patru piese. Sunt bune pentru a scrie instantaneu soluția unei ecuații. De exemplu, trebuie să rezolvați ecuațiile:

sinx = 0,3

Uşor: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nici o problemă: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Uşor: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

A mai ramas una: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Dacă tu, strălucind de cunoștințe, scrii instantaneu răspunsul:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

atunci deja străluciți, asta... aia... dintr-o baltă.) Răspuns corect: nu exista solutii. Nu inteleg de ce? Citiți ce este arccosinusul. În plus, dacă în partea dreaptă a ecuației inițiale există valori tabelare de sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 și așa mai departe. - răspunsul prin arcade va fi neterminat. Arcurile trebuie convertite în radiani.

Și dacă întâlnești inegalitate, cum ar fi

atunci raspunsul este:

x πn, n ∈ Z

există prostii rare, da...) Aici trebuie să rezolvi folosind cercul trigonometric. Ce vom face în subiectul corespunzător.

Pentru cei care citesc eroic la aceste rânduri. Pur și simplu nu pot să nu apreciez eforturile tale titane. Bonus pentru tine.)

Primă:

Când notează formule într-o situație alarmantă de luptă, chiar și tocilarii experimentați devin adesea confuzi în legătură cu unde πn, Si unde 2π n. Iată un truc simplu pentru tine. În toata lumea formule de valoare πn. Cu excepția singurei formule cu arc cosinus. Stă acolo 2πn. Două ciocăni. Cuvânt cheie - Două.În aceeași formulă există Două semnează la început. Plus și minus. Aici si acolo - Două.

Deci daca ai scris Două semn înaintea arcului cosinus, este mai ușor să ne amintim ce se va întâmpla la sfârșit Două ciocăni. Și se întâmplă și invers. Persoana va rata semnul ± , ajunge până la capăt, scrie corect Două Pien și își va veni în fire. Mai e ceva înainte Două semn! Persoana se va întoarce la început și va corecta greșeala! Ca aceasta.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil de determinat tipul său pe baza aspectului unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită din câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Sa luam in considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind toate formulele trigonometrice posibile, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.