Cum se scrie o ecuație pătratică ca produs. Rezolvarea ecuațiilor pătratice, formule a rădăcinii, exemple

Continuăm să studiem subiectul " rezolvarea ecuatiilor" Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și trecem la cunoștință ecuații pătratice.

Mai întâi ne vom uita la ce este o ecuație pătratică și cum este scrisă vedere generală, și dați definiții aferente. După aceasta, vom folosi exemple pentru a examina în detaliu modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. Să trecem la soluție ecuații complete, vom obține formula rădăcinii, ne vom familiariza cu discriminantul unei ecuații pătratice și vom lua în considerare soluții la exemple tipice. În cele din urmă, să urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem o conversație despre ecuațiile pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definițiile aferente. După aceasta, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiţie.

Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere, iar a este diferit de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Definiția menționată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiţie.

Numerele a, b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0, iar coeficientul a se numește primul, sau cel mai mare, sau coeficientul lui x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul lui x și c este termenul liber .

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x −3=0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este egal cu −2, iar termenul liber este egal cu −3. Vă rugăm să rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, forma scurtă a ecuației pătratice este 5 x 2 −2 x−3=0 , mai degrabă decât 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Este demn de remarcat faptul că, atunci când coeficienții a și/sau b sunt egali cu 1 sau -1, atunci ei nu sunt de obicei prezenți în mod explicit în ecuația pătratică, ceea ce se datorează particularităților scrierii astfel de. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0 coeficientul principal este unu, iar coeficientul lui y este egal cu −1.

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiţie.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică dată. În caz contrar, ecuația pătratică este neatins.

Conform această definiție, ecuații pătratice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etc. – dat, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unu. A 5 x 2 −x−1=0 etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1.

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul principal, se poate trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, asemenea acesteia, nu are rădăcini.

Să ne uităm la un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Soluţie.

Trebuie doar să împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, astfel încât să putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, care este același, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 și apoi (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de unde . Așa am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Definiția unei ecuații pătratice conține condiția a≠0. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 + b x + c = 0 să fie pătratică, deoarece atunci când a = 0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x + c = 0.

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât individual, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiţie.

Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b, c este egal cu zero.

La rândul său

Definiţie.

Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Asemenea nume nu au fost date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din discuțiile următoare.

Dacă coeficientul b este zero, atunci ecuația pătratică ia forma a·x 2 +0·x+c=0 și este echivalentă cu ecuația a·x 2 +c=0. Dacă c=0, adică ecuația pătratică are forma a·x 2 +b·x+0=0, atunci poate fi rescrisă ca a·x 2 +b·x=0. Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete, iar x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a·x 2 =0, îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
• a x 2 +c=0 când b=0;
• şi a·x 2 +b·x=0 când c=0.

Să examinăm în ordine modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 =0

Să începem cu rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a·x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 =0 este zero, deoarece 0 2 =0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin faptul că pentru orice număr p diferit de zero este valabilă inegalitatea p 2 >0, ceea ce înseamnă că pentru p≠0 egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 =0 are o singură rădăcină x=0.

Ca exemplu, dăm soluția ecuației pătratice incomplete −4 x 2 =0. Este echivalent cu ecuația x 2 =0, singura sa rădăcină este x=0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.

O soluție scurtă în acest caz poate fi scrisă după cum urmează:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete în care coeficientul b este zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr diferit de zero, dă o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:

• mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
• și împărțim ambele părți cu a, obținem .

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6, atunci ), nu este egal cu zero , deoarece prin condiția c≠0. Să ne uităm la cazuri separat.

Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre , atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, deoarece . Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. Să facem asta.

Să notăm rădăcinile ecuației tocmai anunțate ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are încă o rădăcină x 2, diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1. Se știe că înlocuirea rădăcinilor sale într-o ecuație în loc de x transformă ecuația într-o egalitate numerică corectă. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice corecte, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 −x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea rezultată rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0, care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 =−x 1. Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1. Aceasta demonstrează că ecuația nu are alte rădăcini decât și .

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația care

• nu are rădăcini dacă,
• are două rădăcini și , dacă .

Să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0.

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0. După mutarea termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9 x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Deoarece partea dreaptă are un număr negativ, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7 = 0 nu are rădăcini.

Să rezolvăm o altă ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Mutăm cele nouă în partea dreaptă: −x 2 =−9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau . Apoi notăm răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.

a x 2 +b x=0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0. Ecuațiile pătratice incomplete de forma a x 2 + b x = 0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0. Și această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații x=0 și a·x+b=0, cea din urmă fiind liniară și având rădăcina x=−b/a.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 +b·x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția la un exemplu concret.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Scotând x din paranteze rezultă ecuația . Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvând ce avem ecuație liniară: , iar împărțind numărul mixt la o fracție obișnuită, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .

După dobândirea practicii necesare, soluțiile la astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x=0, .

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să-l notăm formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zis discriminant al unei ecuații pătratice. Intrarea înseamnă în esență că .

Este util să știm cum a fost derivată formula rădăcinii și cum este utilizată pentru a găsi rădăcinile ecuațiilor pătratice. Să ne dăm seama.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0. Să efectuăm câteva transformări echivalente:

• Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, rezultând următoarea ecuație pătratică.
• Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă: . După aceasta, ecuația va lua forma .
• În această etapă, este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
• Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .

Ca rezultat, ajungem la o ecuație care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0.

Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele precedente, când am examinat. Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

• dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
• dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
• dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4·a 2 este întotdeauna pozitiv, adică de semnul expresiei b 2 −4·a·c. Această expresie b 2 −4 a c a fost numită discriminant al unei ecuații pătraticeși desemnat prin scrisoare D. De aici, esența discriminantului este clară - pe baza valorii și semnului său, ei ajung la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.

Să revenim la ecuație și să o rescriem folosind notația discriminantă: . Și tragem concluzii:

• daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
• în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau, care pot fi rescrise sub forma sau, iar după extinderea și aducerea fracțiilor la un numitor comun obținem.

Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele au forma , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4·a·c.

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii, corespunzătoare unei soluții unice a ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate a unui număr negativ, ceea ce ne duce dincolo de sfera programului școlar. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugat complex rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcinii pentru a calcula valorile acestora. Dar acest lucru este mai mult legat de găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară este de obicei despre care vorbim nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să găsiți mai întâi discriminantul, să vă asigurați că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și abia apoi calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0, trebuie să:

• folosind formula discriminantă D=b 2 −4·a·c, calculați valoarea acesteia;
• concluzionați că o ecuație pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că, dacă discriminantul este egal cu zero, puteți folosi și formula aceasta va da aceeași valoare ca .

Puteți trece la exemple de utilizare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să considerăm soluții la trei ecuații pătratice cu discriminant pozitiv, negativ și zero. După ce s-a ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibil să se rezolve orice altă ecuație pătratică. Să începem.

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2·x−6=0.

Soluţie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1, b=2 și c=−6. Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul pentru a face acest lucru, înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină, obținem, aici puteți simplifica expresiile rezultate făcând deplasarea multiplicatorului dincolo de semnul rădăcinii urmată de reducerea fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluţie.

Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică

Răspuns:

x=3,5.

Rămâne de luat în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5·y 2 +6·y+2=0.

Soluţie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5, b=6 și c=2. Substituim aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să indicați rădăcini complexe, atunci aplicăm formula binecunoscută pentru rădăcinile unei ecuații pătratice și efectuăm operatii cu numere complexe:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcini complexe sunt: ​​.

Să remarcăm încă o dată că, dacă discriminantul unei ecuații pătratice este negativ, atunci la școală de obicei notează imediat un răspuns în care indică că nu există rădăcini reale și nu se găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru coeficienți chiar și doi

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, unde D=b 2 −4·a·c vă permite să obțineți o formulă de formă mai compactă, permițându-vă să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par pentru x (sau pur și simplu cu o coeficient de forma 2·n, de exemplu, sau 14· ln5=2·7·ln5). Hai să o scoatem afară.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x+c=0. Să-i găsim rădăcinile folosind formula pe care o cunoaștem. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), iar apoi folosim formula rădăcină:

Să notăm expresia n 2 −a c ca D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 n va lua forma , unde D 1 =n 2 −a·c.

Este ușor de observat că D=4·D 1, sau D 1 =D/4. Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient 2·n, aveți nevoie

• Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
• Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
• Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.

Să luăm în considerare rezolvarea exemplului folosind formula rădăcină obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x −32=0 .

Soluţie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică inițială sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aici a=5, n=−3 și c=−32 și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină adecvată:

Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz ar trebui efectuată mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a începe să calculați rădăcinile unei ecuații pătratice folosind formule, nu strică să puneți întrebarea: „Este posibil să simplificați forma acestei ecuații?” De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x−6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0.

De obicei, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior a fost posibilă simplificarea ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100.

O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6, ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0.

Și înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se realizează prin numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale ecuației pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6, atunci aceasta va lua forma mai simplă x 2 +4·x−18=0.

În concluzia acestui punct, observăm că ei scapă aproape întotdeauna de minus la cel mai mare coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei se trece de la ecuația pătratică −2 x 2 −3 x+7=0 la soluția 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi. Pe baza formulei rădăcinii, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema lui Vieta sunt de forma și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x + 22 = 0 putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este egală cu 7/3, iar produsul rădăcinilor este egal cu 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice prin coeficienții ei: .

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini, și deloc semnele acestora, așa cum din anumite motive cred mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de erori.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, este complet posibil caz sever, când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Școala secundară rurală Kop'evsk

10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

satul Kopevo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice de al-Khorezmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II, chiar și în cele mai vechi timpuri, a fost cauzată de necesitatea rezolvării unor probleme legate de găsirea suprafețelor de teren și cu lucrări de săpături cu caracter militar, precum și ca și în cazul dezvoltării astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut fi rezolvate în jurul anului 2000 î.Hr. e. babilonienii.

Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum oferă doar probleme cu soluțiile prezentate sub formă de rețete, fără nicio indicație cu privire la modul în care au fost găsite.

În ciuda nivel înalt dezvoltarea algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale rezolvarea ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compus și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

Aritmetica lui Diofant nu conține o prezentare sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin construirea de ecuații de diferite grade.

Când compune ecuații, Diophantus selectează cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Problema 11.„Găsiți două numere, știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condițiile problemei rezultă că numerele cerute nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor nu ar fi egal cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mare decât jumătate din suma lor, adică . 10 + x, celălalt este mai puțin, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x .

De aici ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele necesare este egal cu 12 , altele 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele necesare ca necunoscut, atunci vom ajunge la o soluție a ecuației

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Este clar că, alegând jumătate de diferență a numerelor necesare drept necunoscut, Diophantus simplifică soluția; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații cuadratice în India

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a subliniat regula generala soluții de ecuații pătratice reduse la o singură formă canonică:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția O, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră.

ÎN India antică Competițiile publice în rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de concursuri: „Așa cum soarele strălucește stelele cu strălucirea sa, tot așa un om învățat va eclipsa gloria altuia în adunările publice, propunând și rezolvând probleme algebrice”. Problemele au fost adesea prezentate sub formă poetică.

Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars.

Problema 13.

„O turmă de maimuțe zgomotoase și douăsprezece de-a lungul viței...

Autoritățile, după ce au mâncat, s-au distrat. Au început să sară, să atârne...

Sunt ei în piață, partea a opta Câte maimuțe erau acolo?

Mă distram în poiană. Spune-mi, în pachetul ăsta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la pătrat, se adaugă la ambele părți 32 2 , apoi obțineți:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice în al - Khorezmi

În tratatul de algebric al-Khorezmi, este dată o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul numără 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

2) „Pătratele sunt egale cu numerele”, adică ax 2 = c.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numerele”, adică. ah 2 + bx = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c = ax 2 .

Pentru al-Khorezmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt sumanzi și nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații folosind tehnicile al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că în probleme practice specifice nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezi geometrice.

Problema 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (implicând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, ceea ce rămâne este 4. Luați rădăcina din 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5. , obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul lui al-Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, care stabilește sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și oferă formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în Europa XIII - XVII bb

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de-a lungul liniilor lui al-Khorezmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât țările islamice, cât și Grecia antică, se distinge atât prin completitudine, cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent unele noi exemple algebrice rezolvarea problemelor și a fost primul din Europa care a introdus numere negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din Cartea Abacului au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2 + bx = c,

pentru toate combinațiile posibile de semne coeficiente b , Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei pentru rezolvarea unei ecuații pătratice în formă generală este disponibilă de la Vieth, dar Vieth a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și a altor oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă o formă modernă.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, numită după Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + D, înmulțit cu O - O 2 , egal BD, Asta O egal ÎN si egali D ».

Pentru a înțelege pe Vieta, ar trebui să ne amintim asta O, ca orice literă vocală, însemna necunoscutul (nostru X), vocale ÎN, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea Vieta de mai sus înseamnă: dacă există

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor cu formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viète a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul vieții este încă departe de a fi aspect modern. Nu a recunoscut numerele negative și de aceea, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile erau pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Se găsesc ecuații cuadratice aplicare largă la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice zilele de școală(clasa a VIII-a), până la absolvire.

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Discriminantul vă permite să rezolvați orice ecuație pătratică folosind o formulă generală, care are următoarea formă:

Formula discriminantă depinde de gradul polinomului. Formula de mai sus este potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de următoarea formă:

Discriminantul are următoarele proprietăți pe care trebuie să le cunoașteți:

* „D” este 0 când polinomul are rădăcini multiple (rădăcini egale);

* „D” este un polinom simetric în raport cu rădăcinile polinomului și, prin urmare, este un polinom în coeficienții săi; mai mult, coeficienții acestui polinom sunt numere întregi indiferent de extensia în care sunt luate rădăcinile.

Să presupunem că ni se oferă o ecuație pătratică de următoarea formă:

1 ecuație

Dupa formula avem:

Deoarece \, ecuația are 2 rădăcini. Să le definim:

Unde pot rezolva o ecuație folosind un rezolvator online discriminant?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și aflați cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru Iar dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an universitar— vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, aș dori ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în următoarea formă - ecuațiile sunt împărțite în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. *Ai o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

De cu aceasta ocazie, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că rezultatul este o rădăcină, aici este egal cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...

Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, deci soluțiile din în acest caz, Nu.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c – numere date, cu a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcţie pătratică poti sa te uiti articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11

Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Puțină teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obținem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm și să factorizăm:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

Ox 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

o + b+ c = 0, Că

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei Ox 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

o+ s =b, Că

Aceste proprietăți ajută la decizie un anumit tip ecuații

Exemplul 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă

Exemplul 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Egalitatea este valabilă o+ s =b, Mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcini. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.

Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.

METODA DE TRANSPORT

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când puteți găsi cu ușurință rădăcinile ecuației folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă O± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:

Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ie și examenul de stat unificat.

Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ POȚI DECIDE rapid și fără să stai pe gânduri, trebuie să cunoști pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe probleme incluse în sarcinile Unified State Examination se reduc la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).

Ceva demn de remarcat!

1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, este posibilă următoarea intrare:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.