Cu acest program de matematică poți rezolva ecuația pătratică.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare în două moduri:
- folosirea unui discriminant
- folosind teorema lui Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este afișat ca exact, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \(81x^2-16x-1=0\) răspunsul este afișat în următoarea formă:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ și nu așa: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoli mediiîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă

la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui polinom pătratic, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătratic
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.

De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale.

Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă. De exemplu, puteți intra zecimale

astfel: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.

Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ. /
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: Toată parte &
separate de fracție printr-un ampersand:
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) La introducerea unei expresii poti folosi paranteze
. În acest caz, la rezolvarea unei ecuații pătratice, expresia introdusă este mai întâi simplificată.

=0

Exemplu: x^2+2x-1

Decide
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.

În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

Dacă tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații patratice incomplete

Fiecare dintre ecuații
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
arata ca
\(ax^2+bx+c=0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1,4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.

Definiţie.
Ecuație cuadratică se numește ecuație de forma ax 2 +bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \).

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b este al doilea coeficient, iar numărul c este termenul liber.

În fiecare dintre ecuațiile de forma ax 2 +bx+c=0, unde \(a \neq 0 \), cel mai grad înalt variabila x este pătrată. De aici și numele: ecuație pătratică.

Rețineți că o ecuație pătratică se mai numește și ecuație de gradul doi, deoarece partea stângă este un polinom de gradul doi.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul lui x 2 este egal cu 1 ecuația pătratică dată. De exemplu, ecuațiile pătratice date sunt ecuațiile
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Dacă într-o ecuație pătratică ax 2 +bx+c=0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă. Astfel, ecuațiile -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sunt ecuații patratice incomplete. În primul dintre ele b=0, în al doilea c=0, în al treilea b=0 și c=0.

Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
1) ax 2 +c=0, unde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, unde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0 pentru \(c \neq 0 \), mutați termenul său liber în partea dreaptă și împărțiți ambele părți ale ecuației la a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Deoarece \(c \neq 0 \), atunci \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Dacă \(-\frac(c)(a)>0\), atunci ecuația are două rădăcini.

Dacă \(-\frac(c)(a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 cu \(b \neq 0 \) factorizează partea stângă și obținem ecuația
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrice)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrice) \right.

Aceasta înseamnă că o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0 și, prin urmare, are o singură rădăcină 0.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne gândim acum cum să rezolvăm ecuațiile pătratice în care atât coeficienții necunoscutelor, cât și termenul liber sunt nenuli.

Să rezolvăm ecuația pătratică în formă generală și ca rezultat obținem formula rădăcinilor. Această formulă poate fi apoi utilizată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Să rezolvăm ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0

Împărțind ambele părți la a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Să transformăm această ecuație selectând pătratul binomului:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Expresia radicală se numește discriminant al unei ecuații pătratice ax 2 +bx+c=0 („discriminant” în latină - discriminator). Este desemnat prin litera D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Acum, folosind notația discriminantă, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), unde \(D= b^2-4ac \)

Este evident că:
1) Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, o ecuație pătratică poate avea două rădăcini (pentru D > 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau să nu aibă rădăcini (pentru D Când se rezolvă o ecuație pătratică folosind aceasta formula, este recomandabil să procedați în felul următor:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci folosiți formula rădăcinii dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini;

teorema lui Vieta

Ecuația pătratică dată ax 2 -7x+10=0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient luat cu opusul semn, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Aceste. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 au proprietatea:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Unele probleme de matematică necesită abilitatea de a calcula valoarea rădăcinii pătrate. Astfel de probleme includ rezolvarea ecuațiilor de ordinul doi. În acest articol vă vom prezenta metoda eficienta calculele rădăcini pătrateși folosiți-l atunci când lucrați cu formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Ce este o rădăcină pătrată?

În matematică, acest concept corespunde simbolului √. Datele istorice spun că a fost folosit pentru prima dată în prima jumătate a secolului al XVI-lea în Germania (prima lucrare germană despre algebră a lui Christoph Rudolf). Oamenii de știință cred că simbolul specificat este o literă latină transformată r (radix înseamnă „rădăcină” în latină).

Rădăcina oricărui număr este egală cu valoarea al cărei pătrat corespunde expresiei radicalului. În limbajul matematicii, această definiție va arăta astfel: √x = y, dacă y 2 = x.

Rădăcina unui număr pozitiv (x > 0) este, de asemenea, un număr pozitiv (y > 0), dar dacă luați rădăcina unui număr negativ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Iată două exemple simple:

√9 = 3, deoarece 3 2 = 9; √(-9) = 3i, deoarece i 2 = -1.

Formula iterativă a lui Heron pentru găsirea valorilor rădăcinilor pătrate

Exemplele de mai sus sunt foarte simple, iar calcularea rădăcinilor din ele nu este dificilă. Dificultățile încep să apară chiar și la găsirea valorilor rădăcinii pentru orice valoare care nu poate fi reprezentată ca pătrat al unui număr natural, de exemplu √10, √11, √12, √13, ca să nu mai vorbim de faptul că în practică este necesare pentru a găsi rădăcini pentru numere non-întregi: de exemplu √(12.15), √(8.5) și așa mai departe.

În toate cazurile de mai sus, ar trebui să utilizați metoda speciala calcule rădăcină pătrată. În prezent, sunt cunoscute mai multe astfel de metode: de exemplu, extinderea seriei Taylor, împărțirea coloanelor și altele. Dintre toate metodele cunoscute, poate cea mai simplă și cea mai eficientă este utilizarea formulei iterative a lui Heron, care este cunoscută și ca metoda babiloniană de determinare a rădăcinilor pătrate (există dovezi că vechii babilonieni au folosit-o în calculele lor practice).

Să fie necesar să se determine valoarea lui √x. Formula pentru găsirea rădăcinii pătrate este următoarea:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), unde lim n->∞ (a n) => x.

Să descifrăm această notație matematică. Pentru a calcula √x, ar trebui să luați un anumit număr a 0 (poate fi arbitrar, dar pentru a obține rapid rezultatul, ar trebui să îl alegeți astfel încât (a 0) 2 să fie cât mai aproape posibil de x. Apoi înlocuiți-l în formula indicată pentru calcularea rădăcinii pătrate și obțineți un nou număr a 1, care va fi deja mai aproape de valoarea dorită. După aceasta, este necesar să înlocuiți un 1 în expresie și să obțineți un 2. Această procedură trebuie repetată până când. se obtine precizia ceruta.

Un exemplu de utilizare a formulei iterative a lui Heron

Algoritmul descris mai sus pentru obținerea rădăcinii pătrate a unui număr dat poate părea destul de complicat și confuz pentru mulți, dar în realitate totul se dovedește a fi mult mai simplu, deoarece această formulă converge foarte repede (mai ales dacă se alege un număr de succes un 0) .

Să dăm un exemplu simplu: trebuie să calculați √11. Să alegem un 0 = 3, deoarece 3 2 = 9, care este mai aproape de 11 decât 4 2 = 16. Înlocuind în formulă, obținem:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nu are rost să continuăm calculele, deoarece am constatat că un 2 și un 3 încep să difere doar la a 5-a zecimală. Astfel, a fost suficient să aplicați formula doar de 2 ori pentru a calcula √11 cu o precizie de 0,0001.

În zilele noastre, calculatoarele și calculatoarele sunt utilizate pe scară largă pentru a calcula rădăcinile, cu toate acestea, este util să rețineți formula marcată pentru a putea calcula manual valoarea exactă a acestora.

Ecuații de ordinul doi

Înțelegerea a ceea ce este o rădăcină pătrată și capacitatea de a o calcula este folosită în rezolvarea ecuațiilor pătratice. Aceste ecuații se numesc egalități cu o necunoscută, vedere generală care este prezentat în figura de mai jos.

Aici c, b și a reprezintă unele numere, iar a nu trebuie să fie egal cu zero, iar valorile lui c și b pot fi complet arbitrare, inclusiv egale cu zero.

Orice valoare a lui x care satisface egalitatea indicată în figură se numește rădăcinile sale (acest concept nu trebuie confundat cu rădăcina pătrată √). Deoarece ecuația luată în considerare este de ordinul 2 (x 2), atunci nu poate exista mai mult de două rădăcini pentru ea. Să privim mai departe în articol cum să găsim aceste rădăcini.

Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice (formula)

Această metodă de rezolvare a tipului de egalități luate în considerare se mai numește și metoda universală, sau metoda discriminantă. Poate fi folosit pentru orice ecuație pătratică. Formula pentru discriminantul și rădăcinile ecuației pătratice este următoarea:

Arată că rădăcinile depind de valoarea fiecăruia dintre cei trei coeficienți ai ecuației. Mai mult, calculul lui x 1 diferă de calculul lui x 2 doar prin semnul din fața rădăcinii pătrate. Expresia radicală, care este egală cu b 2 - 4ac, nu este altceva decât discriminantul egalității în cauză. Discriminantul din formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice joacă un rol important deoarece determină numărul și tipul soluțiilor. Deci, dacă este egal cu zero, atunci va exista o singură soluție, dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale și, în sfârșit, un discriminant negativ duce la două rădăcini complexe x 1 și x 2.

Teorema lui Vieta sau unele proprietăți ale rădăcinilor ecuațiilor de ordinul doi

La sfârșitul secolului al XVI-lea, unul dintre fondatorii algebrei moderne, un francez, care studia ecuațiile de ordinul doi, a reușit să obțină proprietățile rădăcinilor sale. Din punct de vedere matematic, ele pot fi scrise astfel:

x 1 + x 2 = -b / a și x 1 * x 2 = c / a.

Ambele egalități pot fi obținute cu ușurință de oricine, pentru a face acest lucru, trebuie doar să efectuați operațiile matematice corespunzătoare cu rădăcinile obținute prin formula cu discriminantul.

Combinația acestor două expresii poate fi numită pe bună dreptate a doua formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ceea ce face posibilă ghicirea soluțiilor acesteia fără a utiliza un discriminant. Aici trebuie remarcat faptul că, deși ambele expresii sunt întotdeauna valabile, este convenabil să le folosiți pentru a rezolva o ecuație doar dacă aceasta poate fi factorizată.

Sarcina de a consolida cunoștințele dobândite

Să rezolvăm o problemă de matematică în care vom demonstra toate tehnicile discutate în articol. Condițiile problemei sunt următoarele: trebuie să găsiți două numere pentru care produsul este -13 și suma este 4.

Această condiție ne amintește imediat de teorema lui Vieta folosind formulele pentru suma rădăcinilor pătrate și produsul lor, scriem:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Dacă presupunem că a = 1, atunci b = -4 și c = -13. Acești coeficienți ne permit să creăm o ecuație de ordinul doi:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Să folosim formula cu discriminantul și să obținem următoarele rădăcini:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Adică, problema a fost redusă la găsirea numărului √68. Rețineți că 68 = 4 * 17, atunci, folosind proprietatea rădăcinii pătrate, obținem: √68 = 2√17.

Acum să folosim formula rădăcină pătrată considerată: a 0 = 4, apoi:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nu este nevoie să calculați un 3, deoarece valorile găsite diferă doar cu 0,02. Astfel, √68 = 8,246. Înlocuindu-l în formula pentru x 1,2, obținem:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 și x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

După cum putem vedea, suma numerelor găsite este într-adevăr egală cu 4, dar dacă găsim produsul lor, atunci acesta va fi egal cu -12,999, ceea ce satisface condițiile problemei cu o precizie de 0,001.

Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au notații lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. În total, se obțin trei formule noi. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a unei ecuații pătratice

Aici propunem înregistrarea lor explicită, când se scrie mai întâi gradul cel mai mare, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt inconsecvenți. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem o notație. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie desemnată numărul unu.

Când este dată o ecuație, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• ecuația nu va avea deloc rădăcini.

Și până la finalizarea deciziei, este greu de înțeles care opțiune va apărea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Pot exista diferite intrări în sarcini. Ele nu vor arăta întotdeauna ca formula ecuației pătratice generale. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult, numai termenii cu coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Fie prima formulă numărul doi, iar a doua - trei.

Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficientului în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, nu vor exista rădăcini ale ecuației pătratice. Dacă este egal cu zero, va exista un singur răspuns.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești un discriminant. După ce se stabilește că există rădăcini ale ecuației pătratice, iar numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formule pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați următoarea formulă.

Deoarece conține un semn „±”, vor exista două semnificații. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă diferit.

Formula numărul cinci. Din aceeași înregistrare este clar că dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă rezolvarea ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Nici măcar nu este nevoie de formule suplimentare. Iar cele care au fost deja notate pentru discriminant și necunoscut nu vor fi necesare.

Mai întâi, să ne uităm la ecuația numărul doi incompletă. În această egalitate, este necesar să se scoată cantitatea necunoscută din paranteze și să se rezolve ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Prima este neapărat egală cu zero, deoarece există un multiplicator format din variabila însăși. Al doilea se va obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă numărul trei se rezolvă prin mutarea numărului din partea stângă a egalității la dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Tot ce rămâne este să extragi rădăcina pătrată și să nu uiți să o notezi de două ori cu semne opuse.

Mai jos sunt câteva acțiuni care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri provoacă note slabe atunci când studiezi subiectul extins „Ecuații cuadratice (clasa a 8-a).” Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei, apoi - fără un grad, și ultimul - doar un număr.

• Dacă înaintea coeficientului „a apare un minus”, poate complica munca unui începător care studiază ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• Se recomandă să scăpați de fracții în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 − 7x = 0. Este incompletă, prin urmare se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După ce o scoateți din paranteze, rezultă: x (x - 7) = 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua se va găsi din ecuație liniară: x - 7 = 0. Este ușor de observat că x 2 = 7.

A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După ce mutați 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numerele: x 1 = √6, x 2 = - √6.

A treia ecuație: 15 − 2x − x 2 = 0. Aici și mai departe, rezolvarea ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie în forma standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți a doua ecuație. sfaturi utileși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 = 0. Folosind a patra formulă, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate folosind a cincea formulă. Rezultă că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Atunci x 1 = 3, x 2 = - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 ar trebui rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x = -12/ (2 * 1) = -6.

A șasea ecuație (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, deschizând mai întâi parantezele. În locul primei va exista următoarea expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. A devenit incomplet . Ceva similar cu asta a fost deja discutat puțin mai sus. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.

Sper că după ce ați studiat acest articol veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Folosind discriminantul, se rezolvă doar ecuații pătratice complete, pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete, se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică completă, trebuie să calculăm discriminantul D.

D = b 2 – 4ac.

În funcție de valoarea discriminantului, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x = (-b)/2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. Rezolvați ecuația x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Răspuns: – 3,5; 1.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete folosind diagrama din figura 1.

Folosind aceste formule puteți rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca un polinom al formei standard

O x 2 + bx + c, altfel poți să faci o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi soluția la exemplul 2 de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie primul, adică O x 2 , apoi cu mai putin – bxși apoi un membru liber Cu.

Când rezolvați ecuația pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient par în al doilea termen, puteți utiliza alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă într-o ecuație pătratică completă coeficientul de la al doilea termen este par (b = 2k), atunci puteți rezolva ecuația folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egală cu unu și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată pentru soluție sau poate fi obținută prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient O, stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă pentru rezolvarea pătratului redus
ecuații. Să ne uităm la un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. Rezolvați ecuația

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3

Puteți observa că coeficientul lui x din această ecuație număr par, adică b = 6 sau b = 2k, de unde k = 3. Atunci să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele date în diagrama figurii D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x – 2 = 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind temeinic formulele prezentate în diagrama din figura 1, veți putea întotdeauna să rezolvați orice ecuație pătratică completă.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Se știe că este o versiune particulară a egalității ax 2 + bx + c = o, unde a, b și c sunt coeficienți reali pentru x necunoscut și unde a ≠ o și b și c vor fi zerouri - simultan sau separat. De exemplu, c = o, b ≠ o sau invers. Aproape ne-am amintit definiția unei ecuații pătratice.

Trinomul de gradul doi este zero. Primul său coeficient a ≠ o, b și c poate lua orice valoare. Valoarea variabilei x va fi atunci când substituția o transformă într-o egalitate numerică corectă. Să ne concentrăm pe rădăcinile reale, deși soluțiile ecuației pot fi, de asemenea, obișnuit să se numească o ecuație completă în care niciunul dintre coeficienți nu este egal cu o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Să rezolvăm un exemplu. 2x 2 -9x-5 = oh, găsim
D = 81+40 = 121,
D este pozitiv, ceea ce înseamnă că există rădăcini, x 1 = (9+√121):4 = 5, iar al doilea x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Verificarea vă va ajuta să vă asigurați că sunt corecte.

Iată o soluție pas cu pas a ecuației pătratice

Folosind discriminantul, puteți rezolva orice ecuație pe partea stângă a căreia există un trinom pătratic cunoscut pentru a ≠ o. În exemplul nostru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+c = o)

Să luăm în considerare ce sunt ecuațiile incomplete de gradul doi

1. ax 2 +in = o. Termenul liber, coeficientul c la x 0, este egal cu zero aici, în ≠ o.
   Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă de acest tip? Să scoatem x din paranteze. Să ne amintim când produsul a doi factori este egal cu zero.
   x(ax+b) = o, aceasta poate fi atunci când x = o sau când ax+b = o.
   După rezolvarea a 2-a avem x = -в/а.
   Ca urmare, avem rădăcini x 1 = 0, conform calculelor x 2 = -b/a.
2. Acum coeficientul lui x este egal cu o, iar c nu este egal (≠) o.
   x 2 +c = o. Să mutăm c în partea dreaptă a egalității, obținem x 2 = -с. Această ecuație are rădăcini reale numai atunci când -c este un număr pozitiv (c ‹ o),
   x 1 este atunci egal cu √(-c), respectiv, x 2 este -√(-c). În caz contrar, ecuația nu are deloc rădăcini.
3. Ultima opțiune: b = c = o, adică ax 2 = o. Desigur, o astfel de ecuație simplă are o rădăcină, x = o.

Cazuri speciale

Ne-am uitat la cum să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă și acum să luăm orice tip.

• Într-o ecuație pătratică completă, al doilea coeficient al lui x este un număr par.
  Fie k = o.5b. Avem formule pentru calcularea discriminantului și a rădăcinilor.
  D/4 = k 2 - ac, rădăcinile se calculează ca x 1,2 = (-k±√(D/4))/a pentru D › o.
  x = -k/a la D = o.
  Nu există rădăcini pentru D ‹ o.
• Sunt date ecuații pătratice, când coeficientul lui x pătrat este egal cu 1, ele sunt de obicei scrise x 2 + рх + q = o. Toate formulele de mai sus se aplică lor, dar calculele sunt oarecum mai simple.
  Exemplu, x 2 -4x-9 = 0. Calculați D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• În plus, este ușor de aplicat celor date Se spune că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p, al doilea coeficient cu minus (adică semnul opus), iar produsul acestor rădăcini va fi. fie egal cu q, termenul liber. Vedeți cât de ușor ar fi să determinați verbal rădăcinile acestei ecuații. Pentru coeficienții nereduși (pentru toți coeficienții care nu sunt egali cu zero), această teoremă este aplicabilă după cum urmează: suma x 1 + x 2 este egală cu -b/a, produsul x 1 ·x 2 este egal cu c/a.

Suma termenului liber c și a primului coeficient a este egală cu coeficientul b. În această situație, ecuația are cel puțin o rădăcină (ușor de demonstrat), prima este neapărat egală cu -1, iar a doua -c/a, dacă există. Puteți verifica singur cum să rezolvați o ecuație pătratică incompletă. Mai simplu nu poate fi. Coeficienții pot fi în anumite relații între ei

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Suma tuturor coeficienților este egală cu o.
  Rădăcinile unei astfel de ecuații sunt 1 și c/a. Exemplu, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Există o serie de alte moduri de a rezolva diverse ecuații de gradul doi. Iată, de exemplu, o metodă pentru extragerea unui pătrat complet dintr-un polinom dat. Există mai multe metode grafice. Când te ocupi adesea de astfel de exemple, vei învăța să „dai clic” pe ele ca pe niște semințe, pentru că toate metodele vin în minte automat.