Eroare de aproximare. Eroare relativă a numărului aproximativ

rezultatul măsurării

Eroarea rezultatului măsurării ne permite să determinăm acele rezultate care sunt de încredere. La calcularea valorii de eroare, în special folosind calculatoare, valoarea de eroare se obține cu un număr mare semne. Acest lucru creează impresia de precizie ridicată a măsurătorilor, ceea ce nu este adevărat, deoarece datele inițiale pentru calcul sunt cel mai adesea valorile de eroare standardizate ale SI utilizate, care sunt indicate doar cu una sau două cifre semnificative. Ca urmare, valoarea finală a erorii calculate nu trebuie să conțină mai mult de două cifre semnificative. În metrologie există următoarele reguli:

1. Eroarea rezultatului măsurării este indicată prin două cifre semnificative dacă prima dintre ele este 3 sau mai mică și cu una dacă prima cifră este 4 sau mai mult.

Cifrele semnificative ale unui număr sunt considerate a fi toate cifrele de la prima cifră din stânga care nu este zero până la ultima cifră din dreapta, iar zerourile scrise ca factor de 10 n nu sunt luate în considerare.

2. Rezultatul măsurării este rotunjit la aceeași zecimală care încheie valoarea de eroare absolută rotunjită. (De exemplu, rezultatul este 85,6342, eroare 0,01. Rezultatul este rotunjit la 85,63. Același rezultat cu o eroare de 0,012 ar trebui rotunjit la 85,634).

3. Rotunjirea se efectuează numai în răspunsul final, iar toate calculele preliminare sunt efectuate cu una sau două cifre suplimentare.

4. Rotunjirea trebuie efectuată imediat la numărul dorit de cifre semnificative; rotunjirea graduală duce la erori.

La rotunjirea valorilor de eroare numerică și a rezultatelor măsurătorilor, trebuie respectate următoarele reguli generale de rotunjire.

Cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în zecimale sunt aruncate. (De exemplu, numărul 165245, când se mențin patru cifre semnificative, este rotunjit la 165200, iar numărul 165,245 este rotunjit la 165,2).

Dacă o fracție zecimală se termină cu zerouri, acestea sunt eliminate numai la cifra care corespunde cifrei de eroare. (De exemplu, rezultatul măsurării este 235,200, eroare 0,05. Rezultatul este rotunjit la 235,20. Același rezultat cu o eroare de 0,015 ar trebui rotunjit la 235,200).

Dacă prima (numărând de la stânga la dreapta) cifrelor înlocuite cu zerouri sau aruncate este mai mică de 5, cifrele rămase nu se schimba .

Dacă prima dintre aceste cifre este 5 și nu este urmată de nicio cifră sau zero, atunci dacă ultima cifră din numărul rotunjit este pară sau zero, rămâne neschimbată , Dacă impar - crește cu unu . (De exemplu, numărul 1234,50 este rotunjit la 1234, iar numărul 8765,50 este rotunjit la 8766).

Dacă prima cifră care trebuie înlocuită cu zerouri sau aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, dar este urmată de o cifră semnificativă, apoi ultima cifră rămasă este mărită cu unu . (De exemplu, numărul 6783,6, păstrând patru cifre semnificative, este rotunjit la 6784, iar numărul 12,34520 este rotunjit la 12,35).

O atenție deosebită trebuie acordată la înregistrarea rezultatului măsurării fără a indica eroarea, deoarece înregistrarea rezultatului este de 2,4 10 3 V și 2400 V. nu sunt identice . Prima intrare înseamnă că numerele de mii și sute de volți sunt corecte iar valoarea adevărată poate fi în intervalul de la 2,351 kV la 2,449 kV. Intrarea 2400 înseamnă că și unitățile de volți sunt corecte, prin urmare valoarea adevărată a tensiunii poate fi în intervalul de la 2399,51 V la 2400,49 V.

Prin urmare, înregistrarea rezultatului fără a indica eroarea extrem de nedorit .

În final, regulile de înregistrare a rezultatelor măsurătorilor pot fi formulate după cum urmează.

1) În timpul calculelor intermediare, valorile de eroare sunt menținute la trei sau patru cifre semnificative.

2) Valoarea finală a erorii și valoarea rezultatului sunt rotunjite în conformitate cu regulile menționate mai sus.

3) Pentru măsurătorile tehnice individuale, când se ia în considerare doar eroarea principală SI (SI sunt utilizate în condiții normale de funcționare), rezultatul se scrie sub forma:

(De exemplu, rezultatul unei măsurători de tensiune
B, eroare
B. Rezultatul poate fi scris ca:)

4) Pentru măsurători tehnice individuale în condiții de funcționare, atunci când erorile principale și suplimentare sunt luate în considerare conform datelor standard de pe SI și eroarea rezultată este determinată folosind formula (1.35), rezultatul se scrie sub forma:

5) În măsurătorile statistice, când se determină numai valoarea erorii aleatoare a datelor normal distribuite sub forma unui interval de încredere, rezultatul se scrie în conformitate cu (1.31):

Dacă limitele intervalului de încredere sunt asimetrice, atunci ele sunt indicate separat.

De exemplu,

6) În măsurătorile statistice, când se estimează limitele erorilor sistematice neexcluse ale rezultatului (NSE) și intervalul de încredere al erorii aleatoare a datelor distribuite normal, dar rezultatul este utilizat ca unul intermediar pentru a găsi alte valori. (de exemplu, în măsurătorile statistice indirecte) sau se intenționează să-l compare cu alte rezultate ale unui experiment de măsurare similar, rezultatul este scris în conformitate cu (1.39):

Dacă
, atunci acest lucru este indicat suplimentar, ca la paragraful 5.

Dacă limitele NSP sau limitele intervalului de încredere sunt asimetrice, atunci acestea sunt indicate separat:

7) Dacă în timpul măsurării se obțin estimări de eroare în condițiile specificate în clauza 6, dar rezultatul este final și nu se intenționează să fie analizat și comparat în continuare cu alte rezultate, atunci se scrie în conformitate cu (1.41):

Unde
determinat prin formula (1.40),

dacă
, acest lucru este indicat suplimentar, ca la paragraful 5.

8) În măsurătorile statistice, când se estimează limitele NSP și intervalul de încredere al erorii aleatoare, dar la prelucrarea rezultatelor se identifică o altă lege de distribuție decât cea normală, estimări ale valorii rezultatului măsurării și ale intervalului de încredere. ale erorii aleatoare sunt găsite folosind formulele adecvate, rezultatul este prezentat sub formă similară cu prezentarea rezultatului de la p. 6, dar suplimentar sunt furnizate informații despre tipul de lege de distribuție a datelor experimentale.

9) Dacă, ca la paragraful 8, se prelucrează rezultatele măsurătorilor statice și se știe dinainte că legea de distribuție a datelor experimentale diferă de cea normală, dar nu se întreprinde nicio acțiune pentru identificarea tipului legii reale pentru oarecare motiv, atunci rezultatul poate fi prezentat într-o formă similară cu rezultatul reprezentării din punctul 6, dar intervalul de încredere al erorii aleatoare este determinat în conformitate cu recomandările GOST 11.001-73 ca
cu probabilitate de încredere
.

Rezultatul ar putea arăta astfel, de exemplu:

(la
);
;
;
.

Probabilitatea de încredere la care este determinat ERP total -
, în acest caz poate diferi de
.

Când se calculează valorile erorilor sistematice, aleatorii și totale, în special atunci când se utilizează un calculator electronic, se obține o valoare cu un număr mare de semne. Cu toate acestea, datele de intrare pentru aceste calcule sunt întotdeauna raportate la una sau două cifre semnificative. Într-adevăr, clasa de precizie a unui instrument pe scara sa este indicată cu cel mult două cifre semnificative și nu are sens să scrieți abaterea standard cu mai mult de două cifre semnificative, deoarece acuratețea acestei evaluări cu 10 măsurători nu este mai mare. peste 30%. Ca rezultat, numai primele una sau două cifre semnificative ar trebui lăsate în valoarea finală a erorii calculate. Trebuie luate în considerare următoarele. Dacă numărul rezultat începe cu cifra 1 sau 2, atunci eliminarea celei de-a doua cifre duce la o eroare foarte mare (până la 30–50%), acest lucru este inacceptabil. Dacă numărul rezultat începe, de exemplu, cu numărul 9, atunci păstrarea celui de-al doilea semn, adică indicarea erorii, de exemplu, 0,94 în loc de 0,9, este o informare greșită, deoarece datele originale nu oferă o astfel de acuratețe.

Drept urmare, putem formula reguli de rotunjire valoarea de eroare calculată și rezultatul măsurării experimentale obținut:

1. Eroarea absolută a rezultatului măsurării este indicată de două cifre semnificative dacă prima dintre ele este 1 sau 2 și una dacă prima este 3 sau mai mult.

2. Valoarea medie a valorii măsurate se rotunjește la aceeași zecimală care încheie valoarea rotunjită a erorii absolute.

3. Este suficient să scrieți eroarea relativă, exprimată în procente, în două cifre semnificative.

4. Rotunjirea se efectuează numai în răspunsul final, iar toate calculele preliminare sunt efectuate cu un semn suplimentar.

Exemplu:
Pe un voltmetru din clasa de precizie 2,5 cu limita de masurare 300 V Au fost efectuate mai multe măsurători repetate ale aceleiași tensiuni. S-a dovedit că toate măsurătorile au dat același rezultat 267,5 V.

Absența diferențelor între semne indică faptul că eroarea aleatorie este neglijabilă, deci eroarea totală coincide cu cea sistematică (vezi Fig. 1a).

Mai întâi găsim eroarea absolută și apoi eroarea relativă. Eroarea absolută de calibrare a dispozitivului este:

Deoarece prima cifră semnificativă a erorii absolute este mai mare de trei, această valoare trebuie rotunjită la 8 V. Eroare relativă:

În valoarea relativă a erorii trebuie stocate două cifre semnificative: 2,8 %.

Astfel, răspunsul final ar trebui să raporteze „Tensiune măsurată U=(268+8) V cu eroare relativă dU=2,8 % ”.

Când se efectuează calcule, este adesea necesară rotunjirea numerelor, de exemplu. în înlocuirea lor cu numere cu cifre mai puţin semnificative.

Există trei moduri de a rotunji numerele:

Rotunjind în jos la k A treia cifră semnificativă constă în eliminarea tuturor cifrelor începând de la (k+1) th.

Rotunjirea în sus diferă de rotunjirea în jos prin faptul că ultima cifră reținută este mărită cu unu.

Rotunjirea mai apropiată diferă de suprarotunjire prin aceea că ultima cifră care trebuie reținută este mărită cu unu numai dacă prima cifră care trebuie eliminată este mai mare de 4.

Excepție: dacă rotunjirea cu cea mai mică eroare se reduce la eliminarea unei singure cifre 5, atunci ultima cifră reținută nu se modifică dacă este pară și este mărită cu 1 dacă este impară.

Din regulile de mai sus pentru rotunjirea numerelor aproximative rezultă că eroarea cauzată de rotunjirea cu cea mai mică eroare nu depășește jumătate de unitate din ultima cifră reținută, iar la rotunjirea cu deficit sau exces, eroarea poate fi mai mare de jumătate de unitate. din ultima cifră reținută, dar nu mai mult de o unitate întreagă din această descărcare.

Să ne uităm la asta folosind următoarele exemple.

1. Eroare de sumă. Lasă x O, la-- o oarecare aproximare a valorii b. Lasă XŞi la-- erori absolute ale aproximărilor corespunzătoare XŞi la. Să găsim limita absolută de eroare h a+b sume x+y, care este o aproximare a sumei a+b.

a = x + x,

b = y + y.

Să adunăm aceste două egalități și să obținem

a + b = x + y + x + y.

Evident, eroarea în suma aproximărilor xŞi la egal cu suma erorilor termenilor, i.e.

(x + y) = x + y

Se știe că modulul sumei este mai mic sau egal cu suma modulelor termenilor. De aceea

(x + y) = x + y x + y

Rezultă că eroarea absolută a sumei aproximărilor nu depășește suma erorilor absolute ale termenilor. În consecință, suma limitelor erorilor absolute ale termenilor poate fi luată drept limită a erorii absolute a sumei.

După ce a desemnat limita erorii absolute a valorii O prin h o, și valorile lui b până la h b vom avea

h a+b = h o + h b

2. Eroare de diferență. Fie x și y erorile aproximărilor x și respectiv y ale mărimilor a și b.

a = x + x,

b = y + y.

Scădem a doua din prima egalitate, obținem

a - b = (x - y) + (x - y)

Evident, eroarea diferenței dintre aproximări este egală cu diferența dintre erorile minuendului și subtraendului, i.e.

(x - y) = x - y),

(x - y) = x + (-y)

Și apoi, raționând în același mod ca și în cazul adunării, vom avea

(x - y) = x + (-y) x + y

Rezultă că eroarea absolută a diferenței nu depășește suma erorilor absolute ale minuendului și subtraendului.

Limita erorii absolute a diferenței poate fi luată ca sumă a limitelor erorilor absolute ale minuendului și subtraendului. Astfel.

h a-b = h o + h b (9)

Din formula (9) rezultă că limita erorii absolute a diferenței nu poate fi mai mică decât limita erorii absolute a fiecărei aproximări. Acest lucru duce la regula pentru scăderea aproximărilor, care este uneori folosită în calcule.

Când scădeți numere care sunt aproximații ale anumitor cantități, rezultatul ar trebui să lase după virgulă atâtea cifre cât aproximarea cu cel mai mic număr numere după virgulă zecimală.

3. Eroare de produs. Luați în considerare produsul numerelor XŞi la, care sunt aproximări ale cantităților oŞi b. Să notăm prin x eroare de aproximare X, și prin la-- eroare de aproximare la,

a = x + x,

b = y + y.

Înmulțind aceste două egalități, obținem

Eroare absolută a produsului xy egal cu

Și așa

Împărțirea ambelor părți ale inegalității rezultate la xy, primim

Având în vedere că modulul produsului este egal cu produsul modulelor factorilor, vom avea

Aici partea stângă a inegalității reprezintă eroarea relativă a produsului xy, -- eroare relativă de aproximare X, și este eroarea relativă de aproximare la. În consecință, eliminând valoarea mică de aici, obținem inegalitatea

Astfel, eroarea relativă a produsului aproximărilor nu depășește suma erorilor relative ale factorilor. Rezultă că suma limitelor erorilor relative ale factorilor este limita erorii relative a produsului, i.e.

E ab = E o +E b (10)

Din formula (10) rezultă că limita erorii relative a produsului nu poate fi mai mică decât limita erorii relative a factorului cel mai puțin precis. Prin urmare, aici, ca și în pașii anteriori, nu are sens să stocați un număr excesiv de cifre semnificative în factori.

Uneori, atunci când faceți calcule, este util să folosiți următoarea regulă pentru a reduce cantitatea de muncă: La înmulțirea aproximărilor cu numere diferite de cifre semnificative, rezultatul ar trebui să rețină atâtea cifre semnificative cât are aproximarea cu cel mai mic număr de cifre semnificative.

4. Eroare a coeficientului. Dacă x este o aproximare a mărimii a, a cărei eroare este x și y este o aproximare a mărimii b cu o eroare a lui y, atunci

Să calculăm mai întâi eroarea absolută a coeficientului:

si apoi eroarea relativa:

Ținând cont de faptul că y putin in comparatie cu y, valoarea absolută a fracției poate fi considerată egală cu unu. Apoi

Din ultima formulă rezultă că eroarea relativă a coeficientului nu depășește suma erorilor relative ale dividendului și divizorului. În consecință, putem presupune că limita erorii relative a coeficientului este egală cu suma limitelor erorilor relative ale dividendului și divizorului, i.e.

5. Eroare de grad și rădăcină. 1) Lasă u = a n, Unde n este un număr natural și fie un x. Atunci dacă E o-- limita erorii relative de aproximare x cantități o, Asta

şi prin urmare

Astfel, limita erorii relative a gradului este egală cu produsul dintre limita erorii relative a bazei și exponent, i.e.

E u = n E o (11)

2) Lasă unde n-- un număr natural, și lasă Oh.

Conform formulei (11)

şi prin urmare

eroare de calcul scăzută

Astfel, limita erorii relative a rădăcinii n gradul în n ori mai mică decât limita erorii relative a numărului radical.

6. Problemă inversă a calculelor aproximative. În problema directă, se cere să se găsească valoarea aproximativă a funcției u=f(x,y,...,n) folosind valorile aproximative date ale argumentelor

și limita de eroare h o, care se exprimă prin erorile argumentelor unei anumite funcții

h u = (h x , h y , …, h z ) (12)

În practică, este adesea necesar să se rezolve problema inversă, în care este necesar să se afle cu ce precizie trebuie specificate valorile argumentelor x, y, …, z pentru a calcula valorile funcției corespunzătoare u = f(x, y, …, z) cu o precizie predeterminată h u .

Astfel, la rezolvarea problemei inverse, limitele căutate sunt limitele de eroare ale argumentelor asociate cu limita de eroare dată a funcției h u ecuația (12), iar rezolvarea problemei inverse se reduce la alcătuirea și rezolvarea ecuației h u = (h x , h y , …, h z ) relativ h x , h y , …, h z. O astfel de ecuație fie are un număr infinit de soluții, fie nu are deloc soluții. Problema este considerată rezolvată dacă se găsește cel puțin o soluție la o astfel de ecuație.

Pentru a rezolva problema inversă, care este adesea incertă, este necesar să se introducă condiții suplimentare despre rapoartele erorilor căutate, de exemplu, să le considerăm egale și, prin urmare, să reduceți problema la o ecuație cu o necunoscută.

Se ocupă de calcule infinite zecimale, pentru comoditate, este necesar să se aproximeze aceste numere, adică să le rotunjim. Numerele aproximative se obțin și din diferite măsurători.

Poate fi util să știm cât de mult diferă valoarea aproximativă a unui număr de valoarea lui exactă. Este clar că cu cât această diferență este mai mică, cu atât mai bine, cu atât măsurarea sau calculul se realizează mai precis.

Pentru a determina acuratețea măsurătorilor (calculelor), un concept precum eroare de aproximare. Ei o numesc altfel eroare absolută. Eroarea de aproximare este diferența luată modulo între valoarea exactă a unui număr și valoarea sa aproximativă.

Dacă a este valoarea exactă a unui număr, iar b este valoarea sa aproximativă, atunci eroarea de aproximare este determinată de formula |a – b|.

Să presupunem că în urma măsurătorilor s-a obținut numărul 1,5. Cu toate acestea, ca rezultat al calculului folosind formula, valoarea exactă a acestui număr este 1,552. În acest caz, eroarea de aproximare va fi egală cu |1,552 – 1,5| = 0,052.

În cazul fracțiilor infinite, eroarea de aproximare este determinată de aceeași formulă. În locul numărului exact, se scrie fracția infinită în sine. De exemplu, |π – 3,14| = |3,14159... – 3,14| = 0,00159... . Aici rezultă că eroarea de aproximare este exprimată printr-un număr irațional.

După cum se știe, aproximarea poate fi realizată atât prin deficiență, cât și prin exces. Același număr π la aproximarea prin deficiență cu o precizie de 0,01 este egal cu 3,14, iar la aproximarea prin exces cu o precizie de 0,01 este egal cu 3,15. Motivul pentru care calculul folosește aproximarea deficienței sale este aplicarea regulilor de rotunjire. Conform acestor reguli, dacă prima cifră care trebuie aruncată este cinci sau mai mare de cinci, atunci se efectuează o aproximare în exces. Dacă mai puțin de cinci, atunci din cauza deficienței. Deoarece a treia cifră după punctul zecimal al numărului π este 1, prin urmare, atunci când se aproximează cu o precizie de 0,01, se realizează prin deficiență.

Într-adevăr, dacă calculăm erorile de aproximare la 0,01 ale numărului π prin deficiență și exces, obținem:

|3,14159... – 3,14| = 0,00159...
|3,14159... – 3,15| = 0,0084...

Din 0,00159...

Când se vorbește despre eroarea de aproximare, precum și în cazul aproximării în sine (prin exces sau deficiență), este indicată acuratețea acesteia. Deci, în exemplul de mai sus cu numărul π, trebuie spus că este egal cu numărul 3,14 cu o precizie de 0,01. La urma urmei, modulul diferenței dintre numărul în sine și valoarea sa aproximativă nu depășește 0,01 (0,00159... ≤ 0,01).

În mod similar, π este egal cu 3,15 cu o precizie de 0,01, deoarece 0,0084... ≤ 0,01. Totuși, dacă vorbim de o precizie mai mare, de exemplu până la 0,005, atunci putem spune că π este egal cu 3,14 cu o precizie de 0,005 (din moment ce 0,00159... ≤ 0,005). Nu putem spune acest lucru în raport cu aproximarea de 3,15 (din moment ce 0,0084... > 0,005).

Eroarea absolută și relativă a numerelor.

Ca caracteristici ale acurateții cantităților aproximative de orice origine, sunt introduse conceptele de erori absolute și relative ale acestor mărimi.

Să notăm cu a aproximarea numărului exact A.

Defini. Mărimea se numește eroarea numărului aproximativa.

Definiţie. Eroare absolută numărul aproximativ a se numește cantitate
.

Numărul practic exact A este de obicei necunoscut, dar putem indica întotdeauna limitele în care variază eroarea absolută.

Definiţie. Eroare absolută maximă numărul aproximativ a se numește cea mai mică dintre limitele superioare ale mărimii , care poate fi găsit folosind această metodă de obținere a numerelor.

În practică, ca alege una dintre limitele superioare pentru , destul de aproape de cel mai mic.

Din moment ce
, Asta
. Uneori ei scriu:
.

Eroare absolută este diferența dintre rezultatul măsurării

și valoarea adevărată (reala). cantitate măsurată.

Eroarea absolută și eroarea absolută maximă nu sunt suficiente pentru a caracteriza acuratețea măsurării sau calculului. Calitativ, amploarea erorii relative este mai semnificativă.

Definiţie. Eroare relativă Numim numărul aproximativ a cantitatea:

Definiţie. Eroare relativă maximă număr aproximativ a să numim cantitatea

Deoarece
.

Astfel, eroarea relativă determină de fapt mărimea erorii absolute pe unitatea de număr aproximativ măsurat sau calculat a.

Exemplu. Rotunjind numerele exacte A la trei cifre semnificative, determinați

erorile absolute D și δ relative ale aproximative obținute

Dat:

Găsi:

∆-eroare absolută

δ – eroare relativă

Soluţie:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,o 0

*100%=0.203%

Răspuns:=0,027; δ=0,203%

2. Notarea zecimală a unui număr aproximativ. Cifra semnificativa. Cifre corecte ale numerelor (definiția cifrelor corecte și semnificative, exemple; teoria relației dintre eroarea relativă și numărul de cifre corecte).

Semne numerice corecte.

Definiţie. Cifra semnificativă a unui număr aproximativ a este orice cifră, alta decât zero și zero dacă este situată între cifre semnificative sau este un reprezentant al unei zecimale stocate.

De exemplu, în numărul 0,00507 =
avem 3 cifre semnificative, iar în număr 0,005070=
cifre semnificative, adică zeroul din dreapta, păstrând zecimala, este semnificativ.

De acum înainte, să fim de acord să scriem zerouri în dreapta, dacă doar sunt semnificative. Apoi, cu alte cuvinte,

Toate cifrele lui a sunt semnificative, cu excepția zerourilor din stânga.

În sistemul numeric zecimal, orice număr a poate fi reprezentat ca o sumă finită sau infinită (fracție zecimală):

Unde
,
- prima cifră semnificativă, m - un număr întreg numit cea mai semnificativă zecimală a numărului a.

De exemplu, 518,3 =, m=2.

Folosind notația, introducem conceptul de zecimale corecte (în cifre semnificative) aproximativ -

în a 1-a zi.

Definiţie. Se spune că într-un număr aproximativ a de forma n sunt primele cifre semnificative ,

unde i= m, m-1,..., m-n+1 sunt corecte dacă eroarea absolută a acestui număr nu depășește jumătate de unitate de cifră exprimată prin a n-a cifră semnificativă:

În caz contrar, ultima cifră
numit îndoielnic.

Când scrieți un număr aproximativ fără a indica eroarea acestuia, este necesar ca toate numerele să fie scrise

au fost fideli. Această cerință este îndeplinită în toate tabelele matematice.

Termenul „n cifre corecte” caracterizează doar gradul de acuratețe al numărului aproximativ și nu trebuie înțeles ca însemnând că primele n cifre semnificative ale numărului aproximativ a coincid cu cifrele corespunzătoare ale numărului exact A. De exemplu, pentru numerele A = 10, a = 9.997, toate cifrele semnificative sunt diferite, dar numărul a are 3 cifre semnificative valide. Într-adevăr, aici m=0 și n=3 (o găsim prin selecție).