Matematica este știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale. În legătură inextricabilă cu cerințele științei și tehnologiei, stocul de relații cantitative și forme spațiale studiate de matematică este în continuă expansiune, astfel încât definiția de mai sus trebuie înțeleasă în sensul cel mai general.

Scopul studierii matematicii este de a crește perspectiva generală, cultura gândirii și formarea unei viziuni științifice asupra lumii.

Înțelegerea poziției independente a matematicii ca știință specială a devenit posibilă după acumularea de material factual suficient de mare și a apărut pentru prima dată în Grecia Antică în secolele VI-V î.Hr. Acesta a fost începutul perioadei de matematică elementară.

În această perioadă, cercetările matematice se ocupă doar de o aprovizionare destul de limitată de concepte de bază care au apărut la cele mai simple nevoi ale vieții economice. În același timp, există deja o îmbunătățire calitativă a matematicii ca știință.

Matematica modernă este adesea comparată cu un oraș mare. Aceasta este o comparație excelentă pentru că în matematică, ca într-un oraș mare, există un proces continuu de creștere și îmbunătățire. În matematică, apar noi domenii, se construiesc noi teorii elegante și profunde, la fel ca și construcția de noi cartiere și clădiri. Dar progresul matematicii nu se limitează la schimbarea faței orașului datorită construcției unuia nou. Trebuie să schimbăm și vechiul. Teoriile vechi sunt incluse în altele noi, mai generale; este nevoie de consolidarea fundaţiilor clădirilor vechi. Trebuie amenajate străzi noi pentru a stabili conexiuni între cartiere îndepărtate ale orașului matematic. Dar acest lucru nu este suficient - proiectarea arhitecturală necesită un efort semnificativ, deoarece diversitatea diferitelor domenii ale matematicii nu numai că strică impresia generală a științei, ci interferează și cu înțelegerea științei în ansamblu și stabilirea conexiunilor între diferitele sale părți.

O altă comparație este adesea folosită: matematica este asemănată cu un copac mare ramificat, care produce sistematic lăstari noi. Fiecare ramură a copacului este una sau alta arie a matematicii. Numărul de ramuri nu rămâne neschimbat, deoarece ramuri noi cresc, cele care au crescut mai întâi separat cresc împreună, iar unele dintre ramuri se usucă, lipsite de sucuri nutritive. Ambele comparații sunt de succes și transmit foarte bine starea reală a lucrurilor.

Nu există nicio îndoială că cerința frumuseții joacă un rol important în construirea teoriilor matematice. Este de la sine înțeles că sentimentul de frumusețe este foarte subiectiv și se întâlnesc adesea idei destul de urâte în această chestiune. Și totuși trebuie să fim surprinși de unanimitatea pe care matematicienii o pun în conceptul de „frumusețe”: un rezultat este considerat frumos dacă dintr-un număr mic de condiții este posibil să se obțină o concluzie generală care se aplică unei game largi de obiecte. O derivare matematică este considerată frumoasă dacă reușește să demonstreze un fapt matematic semnificativ folosind un raționament simplu și scurt. Maturitatea unui matematician și talentul său se observă prin cât de bine dezvoltat este simțul său al frumosului. Rezultatele complete din punct de vedere estetic și perfecte din punct de vedere matematic sunt mai ușor de înțeles, reținut și folosit; este mai uşor să identifice relaţiile lor cu alte domenii ale cunoaşterii.

Matematica în vremea noastră a devenit o disciplină științifică cu multe domenii de cercetare, un număr imens de rezultate și metode. Matematica este acum atât de mare încât nu este posibil ca o singură persoană să o acopere în toate părțile ei, nu există posibilitatea de a fi un specialist universal în ea. Pierderea conexiunilor dintre direcțiile sale individuale este cu siguranță o consecință negativă a dezvoltării rapide a acestei științe. Cu toate acestea, dezvoltarea tuturor ramurilor matematicii are ceva în comun - originile dezvoltării, rădăcinile arborelui matematicii.

Geometria lui Euclid ca prima teorie a stiintelor naturale

• În secolul al III-lea î.Hr., o carte a lui Euclid cu același nume a apărut în Alexandria, în traducerea rusă a „Principiilor”. Termenul „geometrie elementară” provine de la numele latin „Începuturi”. În ciuda faptului că lucrările predecesorilor lui Euclid nu au ajuns la noi, ne putem forma o oarecare părere despre aceste lucrări pe baza Elementelor lui Euclid. În „Principii” există secțiuni care sunt logic foarte puțin legate de alte secțiuni. Apariția lor poate fi explicată doar prin faptul că au fost introduse conform tradiției și copiază „Elementele” predecesorilor lui Euclid.

  Elementele lui Euclid constă din 13 cărți. Cărțile 1 - 6 sunt dedicate planimetriei, cărțile 7 - 10 sunt despre cantități aritmetice și incomensurabile care pot fi construite folosind o busolă și o riglă. Cărțile de la 11 la 13 au fost dedicate stereometriei.

  Principia începe cu o prezentare a 23 de definiții și 10 axiome. Primele cinci axiome sunt „concepte generale”, restul sunt numite „postulate”. Primele două postulate determină acțiuni folosind o riglă ideală, al treilea - folosind o busolă ideală. Al patrulea, „toate unghiurile drepte sunt egale între ele”, este redundant, deoarece poate fi dedus din axiomele rămase. Ultimul, al cincilea postulat spunea: „Dacă o linie dreaptă cade pe două drepte și formează unghiuri interne unilaterale în total mai puțin de două linii drepte, atunci, cu o extensie nelimitată a acestor două drepte, ele se vor intersecta pe latură. unde unghiurile sunt mai mici de două linii drepte.”

  Cele cinci „concepte generale” ale lui Euclid sunt principiile de măsurare a lungimilor, unghiurilor, ariilor, volumelor: „egali cu același lucru sunt egali între ei”, „dacă egali se adună la egali, sumele sunt egale”, „dacă egali sunt egali” scăzuți din egali, resturile sunt egale între ele”, „cele combinate între ele sunt egale între ele”, „întregul este mai mare decât partea”.

  Apoi a început critica la adresa geometriei lui Euclid. Euclid a fost criticat din trei motive: pentru că a considerat doar acele mărimi geometrice care pot fi construite folosind o busolă și o riglă; pentru faptul că a separat geometria de aritmetică și a dovedit pentru numere întregi ceea ce a demonstrat deja pentru mărimile geometrice și, în sfârșit, pentru axiomele lui Euclid. Cel mai puternic criticat postulat a fost al cincilea, cel mai complex postulat al lui Euclid. Mulți l-au considerat de prisos și că ar putea și ar trebui să fie dedus din alte axiome. Alții credeau că ar trebui înlocuit cu unul mai simplu și mai evident, echivalent cu acesta: „Printr-un punct din afara unei linii, nu poate fi trasată mai mult de o dreaptă în planul lor care nu intersectează linia dată”.

  Critica decalajului dintre geometrie și aritmetică a dus la extinderea conceptului de număr la un număr real. Disputele despre postulat al cincilea au dus la faptul că la începutul secolului al XIX-lea, N.I Lobachevsky, J. Bolyai și K.F Gauss au construit o nouă geometrie în care toate axiomele geometriei lui Euclid au fost îndeplinite, cu excepția celui de-al cincilea postulat. A fost înlocuită cu afirmația opusă: „Într-un plan, printr-un punct din afara unei linii, pot fi trase mai multe linii care nu o intersectează pe cea dată”. Această geometrie a fost la fel de consistentă ca geometria lui Euclid.

  Modelul planimetriei lui Lobachevsky pe plan euclidian a fost construit de matematicianul francez Henri Poincaré în 1882.

  Să desenăm o linie orizontală pe planul euclidian. Această linie se numește absolut (x). Punctele planului euclidian situate deasupra absolutului sunt puncte ale planului Lobaciovski. Planul Lobachevsky este un semiplan deschis situat deasupra absolutului. Segmentele non-euclidiene din modelul Poincaré sunt arce de cerc centrate pe absolut sau segmente de drepte perpendiculare pe absolut (AB, CD). O figură din planul Lobachevsky este o figură a unui semiplan deschis situat deasupra absolutului (F). Mișcarea non-euclidiană este o compoziție a unui număr finit de inversiuni centrate pe simetriile absolute și axiale ale căror axe sunt perpendiculare pe absolut. Două segmente non-euclidiene sunt egale dacă unul dintre ele poate fi transferat celuilalt printr-o mișcare non-euclidiană. Acestea sunt conceptele de bază ale axiomaticii planimetriei Lobachevsky.

  Toate axiomele planimetriei Lobachevsky sunt consistente. „O linie dreaptă non-euclidiană este un semicerc cu capetele la absolut sau o rază cu începutul la absolut și perpendicular pe absolut.” Astfel, afirmația axiomei de paralelism a lui Lobaciovsky este valabilă nu numai pentru o dreaptă a și un punct A care nu se află pe această dreaptă, ci și pentru orice dreaptă a și orice punct A care nu se află pe ea.

  După geometria lui Lobachevsky, au apărut alte geometrii consistente: geometria proiectivă separată de euclidiană, a apărut geometria euclidiană multidimensională, a apărut geometria riemanniană (teoria generală a spațiilor cu o lege arbitrară pentru măsurarea lungimii), etc. Din știința figurilor într-o singură dimensiune tridimensională. Spațiul euclidian, geometria timp de 40 - 50 de ani s-a transformat într-un set de diverse teorii, doar oarecum asemănătoare cu strămoșul său - geometria euclidiană.

  Principalele etape ale dezvoltării matematicii moderne. Structura matematicii moderne

• Academicianul A.N Kolmogorov identifică patru perioade în dezvoltarea matematicii. - Matematică, Dicționar Enciclopedic Matematic, Moscova, Enciclopedia Sovietică, 1988: originile matematicii, matematica elementară, matematica variabilelor, matematica modernă.

  În timpul dezvoltării matematicii elementare, teoria numerelor a apărut treptat din aritmetică. Algebra este creată ca calcul literal. Iar sistemul de prezentare a geometriei elementare creat de grecii antici - geometria lui Euclid - a devenit timp de două milenii un model de construcție deductivă. teorie matematică.

  În secolul al XVII-lea, nevoile științelor naturale și ale tehnologiei au condus la crearea unor metode care au făcut posibilă studierea matematică a mișcării, a proceselor de schimbare a cantităților și a transformării figurilor geometrice. Perioada de matematică a mărimilor variabile începe cu utilizarea variabilelor în geometria analitică și crearea calculului diferențial și integral. Marile descoperiri ale secolului al XVII-lea sunt conceptul de mărime infinitezimală introdus de Newton și Leibniz, crearea fundamentelor analizei mărimilor infinitezimale (analiza matematică).

  Conceptul de funcție vine în prim-plan. Funcția devine subiectul principal de studiu. Studierea unei funcții conduce la conceptele de bază ale analizei matematice: limită, derivată, diferențială, integrală.

  Acest timp include și aspectul geniala idee R. Descartes asupra metodei coordonatelor. Este creată geometria analitică, care vă permite să studiați obiectele geometrice folosind metodele de algebră și analiză. Pe de altă parte, metoda coordonatelor a deschis posibilitatea interpretării geometrice a faptelor algebrice și analitice.

  Dezvoltarea ulterioară a matematicii a condus la începutul secolului al XIX-lea la formularea problemei studierii unor posibile tipuri de relații cantitative și forme spațiale dintr-un punct de vedere destul de general.

  Legătura dintre matematică și știința naturii devine din ce în ce mai complexă. Apar noi teorii și ele apar nu numai ca urmare a cerințelor științelor naturale și tehnologiei, ci și ca urmare a nevoilor interne ale matematicii. Un exemplu remarcabil al unei astfel de teorii este geometria imaginară a lui N.I Lobachevsky. Dezvoltarea matematicii în secolele al XIX-lea și al XX-lea ne permite să o atribuim perioadei matematicii moderne. Dezvoltarea matematicii în sine, matematizarea diferitelor domenii ale științei, pătrunderea metodelor matematice în multe domenii ale activității practice, progresul tehnologie informatică a condus la apariția de noi discipline matematice, de exemplu, cercetarea operațională, teoria jocurilor, economia matematică și altele.

  Principalele metode în cercetarea matematică sunt dovezile matematice - raționament logic strict. Gândirea matematică nu se limitează la raționamentul logic. Pentru a formula corect o problemă și pentru a evalua alegerea metodei de rezolvare a acesteia este necesară intuiția matematică.

  În matematică, sunt studiate modele matematice ale obiectelor. Același model matematic poate descrie proprietățile fenomenelor reale care sunt departe unele de altele. Astfel, aceeași ecuație diferențială poate descrie procesele de creștere a populației și dezintegrarea materiei radioactive. Pentru un matematician, ceea ce este important nu este natura obiectelor luate în considerare, ci relațiile existente între ele.

  Există două tipuri de inferențe utilizate în matematică: deducția și inducția.

  Inducția este o metodă de cercetare în care se construiește o concluzie generală pe baza unor premise particulare.

  Deducția este o metodă de raționament prin care o anumită concluzie decurge din premise generale.

  Matematica joacă un rol important în studiile științifice, ingineriei și umaniste. Motivul pătrunderii matematicii în diverse ramuri ale cunoașterii este că oferă modele foarte clare de studiere a realității înconjurătoare, în contrast cu modelele mai puțin generale și mai vagi oferite de alte științe. Fără matematica modernă cu aparatele sale logice și de calcul dezvoltate, progresul în diferite domenii ale activității umane ar fi imposibil.

  Matematica nu este doar un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor aplicate și limbajul universal al științei, ci și un element al culturii generale.

  Caracteristicile de bază ale gândirii matematice

• Pe această problemă, de interes deosebit este caracteristica gândirii matematice dată de A.Ya Khinchin, sau mai degrabă, forma sa istorică specifică - stilul gândirii matematice. Dezvăluind esența stilului de gândire matematică, el identifică patru trăsături comune tuturor epocilor care disting semnificativ acest stil de stilurile de gândire din alte științe.

  În primul rând, matematicianul se caracterizează prin dominația schemei logice a raționamentului, dusă la limită. Un matematician care a pierdut din vedere această schemă, cel puțin temporar, este în general lipsit de posibilitatea de a gândi științific. Această caracteristică particulară a stilului de gândire matematică are multă valoare în ea. Evident, vă permite să monitorizați corectitudinea fluxului de gândire în măsura maximă și garanții împotriva greșelilor; pe de altă parte, îl obligă pe gânditor, atunci când analizează, să aibă în fața ochilor întregul ansamblu de posibilități disponibile și îl obligă să țină cont de fiecare dintre ele, fără a rata nici una (astfel de omisiuni sunt destul de posibile și, de fapt , sunt adesea observate în alte stiluri de gândire).

  În al doilea rând, laconismul, adică. o dorință conștientă de a găsi întotdeauna cea mai scurtă cale logică care să conducă la un scop dat, o respingere nemiloasă a tot ceea ce este absolut necesar pentru utilitatea impecabilă a argumentului. Un eseu matematic de bun stil nu tolerează nicio „apă”, nicio decorare, slăbirea tensiunii logice a rătăcirii sau distragerile în lateral; parcimonie extremă, rigoare severă a gândirii și prezentarea ei constituie o trăsătură integrală a gândirii matematice. Această caracteristică este de mare valoare nu numai pentru matematică, ci și pentru orice alt raționament serios. Laconismul, dorința de a evita orice nu este necesar, îl ajută atât pe gânditor însuși, cât și pe cititorul sau ascultătorul său să se concentreze pe deplin asupra unei anumite linii de gândire, fără a fi distras de idei secundare și fără a pierde contactul direct cu linia principală a raționamentului.

  Luminații științei, de regulă, gândesc și se exprimă succint în toate domeniile cunoașterii, chiar și atunci când gândirea le creează și prezintă idei fundamental noi. Ce impresie maiestuoasă produce, de exemplu, nobila avariție a gândirii și a vorbirii celor mai mari creatori ai fizicii: Newton, Einstein, Niels Bohr! Poate fi dificil de găsit un exemplu mai izbitor al impactului profund pe care stilul de gândire al creatorilor săi îl poate avea asupra dezvoltării științei.

  Pentru matematică, laconismul gândirii este o lege incontestabilă, canonizată de secole. Orice încercare de a împovăra prezentarea cu imagini, distrageri de atenție sau dezvăluiri care nu sunt neapărat necesare (chiar dacă sunt plăcute și fascinante pentru ascultători) este pusă în prealabil sub suspiciune legitimă și trezește automat vigilență critică.

  În al treilea rând, o împărțire clară a cursului raționamentului. Dacă, de exemplu, atunci când demonstrăm o propoziție, trebuie să luăm în considerare patru cazuri posibile, fiecare dintre ele putând fi împărțit într-unul sau altul număr de subcazuri, atunci la fiecare moment al raționamentului matematicianul trebuie să-și amintească clar în ce caz și subcaz este gândirea sa. acum dobândit și ce cazuri și subcazuri mai rămân de luat în considerare. Cu orice fel de enumerare ramificată, matematicianul trebuie să fie în fiecare moment conștient de ce concept generic enumerează conceptele de specie care îl compun. În gândirea obișnuită, neștiințifică, observăm foarte des în astfel de cazuri confuzii și salturi, ducând la confuzii și erori de raționament. Se întâmplă adesea ca o persoană să înceapă să enumere speciile unui gen și apoi, imperceptibil pentru ascultători (și adesea pentru el însuși), profitând de claritatea logică insuficientă a raționamentului, să sare la alt gen și să încheie cu afirmația că acum ambele genuri au fost clasificate; iar ascultătorii sau cititorii nu știu unde se află granița dintre speciile de primul și al doilea fel.

  Pentru a face astfel de confuzii și salturi imposibile, matematicienii au folosit mult timp metode simple externe de numerotare a conceptelor și judecăților, uneori (dar mult mai rar) folosite în alte științe. Acele cazuri posibile sau acele concepte generice care trebuie luate în considerare într-un argument dat sunt numerotate în prealabil; în fiecare astfel de caz, acele subcazuri eligibile pe care le conține sunt de asemenea renumerotate (uneori, de dragul distincției, folosind un alt sistem de numerotare). Înainte de fiecare paragraf, unde începe luarea în considerare a unui nou subcaz, este plasată denumirea acceptată pentru acest subcaz (de exemplu: II 3 - aceasta înseamnă că aici începe luarea în considerare a celui de-al treilea subcaz al celui de-al doilea caz sau o descriere a celui de-al treilea caz. tip de al doilea fel, dacă despre care vorbim despre clasificare). Și cititorul știe că până când nu dă peste o nouă rubrică numerică, tot ceea ce s-a afirmat se aplică numai acestui caz și subcaz. Este de la sine înțeles că o astfel de numerotare servește doar ca un dispozitiv extern, foarte util, dar deloc obligatoriu, și că esența problemei nu se află în ea, ci în dezmembrarea distinctă a argumentării sau clasificării pe care o stimulează și o marchează deopotrivă. .

  În al patrulea rând, acuratețea scrupuloasă a simbolismului, formulelor, ecuațiilor. Adică, „fiecare simbol matematic are o semnificație strict definită: înlocuirea acestuia cu un alt simbol sau rearanjarea lui într-un alt loc, de regulă, implică denaturarea și, uneori, distrugerea completă a semnificației unei anumite afirmații”.

  După ce a evidențiat principalele trăsături ale stilului matematic de gândire, A.Ya Khinchin observă că matematica (în special matematica variabilelor) este de natură dialectică și, prin urmare, contribuie la dezvoltarea gândirii dialectice. Într-adevăr, în procesul gândirii matematice există o interacțiune între vizual (concret) și conceptual (abstract). „Nu ne putem gândi la o linie”, a scris Kant, „fără să o desenăm mental, nu ne putem gândi la trei dimensiuni fără să tragem trei linii perpendiculare una pe cealaltă dintr-un punct”.

  Interacțiunea concretului și a abstractului a „condus” gândirea matematică la dezvoltarea unor concepte și categorii filosofice noi și noi. În matematica antică (matematica cantităților constante) acestea erau „numărul” și „spațiul”, care au fost reflectate inițial în geometria aritmetică și euclidiană, iar mai târziu în algebră și diferite sisteme geometrice. Matematica cantităților variabile s-a „bazat” pe concepte care reflectau mișcarea materiei - „finit”, „infinit”, „continuitate”, „discret”, „infinitesimal”, „derivat”, etc.

  Dacă vorbim despre stadiul istoric modern de dezvoltare a cunoștințelor matematice, atunci ea merge în concordanță cu dezvoltarea ulterioară a categoriilor filosofice: teoria probabilității „stăpânește” categoriile posibilului și aleatorii; topologie - categorii de relație și continuitate; teoria catastrofei - categorie de salt; teoria grupurilor – categorii de simetrie și armonie etc.

  Gândirea matematică exprimă principiile de bază ale construirii conexiunilor logice care sunt similare ca formă. Cu ajutorul lui se face o trecere de la individ (să zicem, de la anumite metode matematice - axiomatice, algoritmice, constructive, teoretice multime și altele) la cele speciale și generale, la construcții deductive generalizate. Unitatea metodelor și a subiectului matematicii determină specificul gândirii matematice și ne permite să vorbim despre un limbaj matematic special în care nu numai realitatea este reflectată, ci și cunoștințele științifice sunt sintetizate, generalizate și prezise. Puterea și frumusețea gândirii matematice constă în claritatea extremă a logicii sale, în eleganța desenelor sale și în construcția abil a abstracțiunilor.

  Posibilități fundamentale noi pentru activitatea mentală s-au deschis odată cu inventarea computerului și crearea matematicii mașinilor. Au existat schimbări semnificative în limbajul matematicii. Dacă limbajul matematicii computaționale clasice a constat din formule de algebră, geometrie și analiză și s-a concentrat pe descrierea proceselor continue ale naturii, studiate în primul rând în mecanică, astronomie și fizică, atunci limbajul său modern este limbajul algoritmilor și programelor. , inclusiv vechiul limbaj al formulelor ca caz particular.

  Limbajul matematicii computaționale moderne devine din ce în ce mai universal, capabil să descrie sisteme complexe (multi-parametrice). În același timp, aș dori să subliniez că oricât de perfect ar fi limbajul matematic, îmbunătățit de tehnologia electronică de calcul, acesta nu rupe legăturile cu diversul limbaj „viu”, natural. Mai mult, limba vorbită stă la baza unei limbi artificiale. În acest sens, o descoperire recentă a oamenilor de știință este de interes. Ideea este că limba străveche a indienilor aymara, vorbită de aproximativ 2,5 milioane de oameni în Bolivia și Peru, s-a găsit în cel mai înalt grad convenabil pentru echipamente informatice. În 1610, misionarul iezuit italian Ludovico Bertoni, care a alcătuit primul dicționar aymara, a remarcat geniul creatorilor săi, care au atins o puritate logică ridicată. În Aymara, de exemplu, nu există verbe neregulate și nici excepții de la puținele reguli gramaticale clare. Aceste caracteristici ale limbii Aymara i-au permis matematicianului bolivian Ivan Guzman de Rojas să creeze un sistem de traducere computerizată simultană din oricare dintre cele cinci limbi europene incluse în program, „punte” între care este limba Aymara. Calculatorul Aymara, creat de un om de știință bolivian, a fost foarte lăudat de experți. Rezumând această parte a întrebării despre esența stilului matematic de gândire, trebuie remarcat faptul că conținutul său principal este înțelegerea naturii.

  Metoda axiomatică

• Axiomatica este modalitatea principală de construire a unei teorii, din antichitate până la astăzi confirmându-i versatilitatea și aplicabilitatea universală.

  Construirea unei teorii matematice se bazează pe metoda axiomatică. O teorie științifică se bazează pe anumite prevederi inițiale, numite axiome, iar toate celelalte prevederi ale teoriei sunt obținute ca consecințe logice ale axiomelor.

  Metoda axiomatică a apărut în Grecia Antică și în timp dat Este folosit în aproape toate științele teoretice și, mai ales, în matematică.

  Comparând cele trei, în într-un anumit sens, geometrii complementare: euclidian (parabolic), Lobachevsky (hiperbolic) și riemannian (eliptic), trebuie remarcat că, alături de unele asemănări există o mare diferență între geometria sferică, pe de o parte, și geometriile lui Euclidian și Lobachevsky, pe de alta.

  Diferența fundamentală dintre geometria modernă este că acum îmbrățișează „geometriile” unui număr infinit de spații imaginare diferite. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că toate aceste geometrii sunt interpretări ale geometriei euclidiene și se bazează pe metoda axiomatică folosită pentru prima dată de Euclid.

  Pe baza cercetărilor, metoda axiomatică a fost dezvoltată și utilizată pe scară largă. Ca un caz special de utilizare a acestei metode, există metoda urmelor în stereometrie, care permite rezolvarea problemelor de construire a secțiunilor în poliedre și a altor probleme de poziție.

  Metoda axiomatică, dezvoltată mai întâi în geometrie, a devenit acum un instrument important de studiu în alte ramuri ale matematicii, fizicii și mecanicii. În prezent, se lucrează pentru a îmbunătăți și a studia mai profund metoda axiomatică de construire a unei teorii.

  Metoda axiomatică de construire a unei teorii științifice constă în izolarea conceptelor de bază, formularea axiomelor teoriilor, iar toate celelalte enunțuri sunt deduse logic, pe baza acestora. Se știe că un concept trebuie explicat cu ajutorul altora, care, la rândul lor, sunt definite și cu ajutorul unor concepte cunoscute. Astfel, ajungem la concepte elementare care nu pot fi definite prin altele. Aceste concepte sunt numite de bază.

  Când demonstrăm o afirmație, o teoremă, ne bazăm pe premise care sunt considerate deja dovedite. Dar aceste premise au fost și ele dovedite; Până la urmă, ajungem la afirmații de nedemonstrat și le acceptăm fără dovezi. Aceste afirmații se numesc axiome. Setul de axiome trebuie să fie de așa natură încât, pe baza lui, să fie posibilă demonstrarea unor afirmații suplimentare.

  După ce am identificat conceptele de bază și am formulat axiomele, derivăm apoi teoreme și alte concepte într-un mod logic. Aceasta este structura logică a geometriei. Axiomele și conceptele de bază constituie bazele planimetriei.

  Deoarece este imposibil să se ofere o singură definiție a conceptelor de bază pentru toate geometriile, conceptele de bază ale geometriei ar trebui definite ca obiecte de orice natură care satisfac axiomele acestei geometrii. Astfel, în construcția axiomatică a unui sistem geometric, pornim de la un anumit sistem de axiome, sau axiomatică. Aceste axiome descriu proprietățile conceptelor de bază ale sistemului geometric, iar conceptele de bază le putem reprezenta sub formă de obiecte de orice natură care au proprietățile specificate în axiome.

  După formularea și demonstrarea primelor enunțuri geometrice devine posibilă demonstrarea unor enunțuri (teoreme) cu ajutorul altora. Demonstrațiile multor teoreme sunt atribuite lui Pitagora și Democrit.

  Hipocrate din Chios este creditat cu alcătuirea primului curs sistematic de geometrie, bazat pe definiții și axiome. Acest curs și tratamentele sale ulterioare au fost numite „Elemente”.

  Metodă axiomatică de construire a unei teorii științifice

• Crearea metodei deductive sau axiomatice de construire a științei este una dintre cele mai mari realizări ale gândirii matematice. A necesitat munca multor generații de oameni de știință.

  O caracteristică remarcabilă a sistemului deductiv de prezentare este simplitatea acestei construcții, care permite să fie descrisă în câteva cuvinte.

  Sistemul deductiv de prezentare se rezumă la:

  1) la lista conceptelor de bază,

  2) la prezentarea definițiilor,

  3) la prezentarea axiomelor,

  4) la prezentarea teoremelor,

  5) la demonstrarea acestor teoreme.

  O axiomă este o afirmație acceptată fără dovezi.

  O teoremă este o afirmație care decurge din axiome.

  O demonstrație este o parte integrantă a unui sistem deductiv; este un raționament care arată că adevărul unei afirmații decurge logic din adevărul teoremelor sau axiomelor anterioare.

  Două întrebări nu pot fi rezolvate în cadrul sistemului deductiv: 1) despre sensul conceptelor de bază, 2) despre adevărul axiomelor. Dar asta nu înseamnă că aceste întrebări sunt complet de nerezolvat.

  Istoria științei naturii arată că posibilitatea unei construcții axiomatice a unei anumite științe apare doar la un nivel destul de ridicat de dezvoltare a acestei științe, pe baza unei cantități mari de material faptic, ceea ce face posibilă identificarea clară a principiilor de bază. legăturile şi relaţiile care există între obiectele studiate de această ştiinţă.

  Un exemplu de construcție axiomatică a științei matematice este geometria elementară. Sistemul de axiome ale geometriei a fost expus de Euclid (aproximativ 300 î.Hr.) în lucrarea „Elemente”, de neîntrecut în semnificația sa. Acest sistem a fost păstrat în principalele sale caracteristici până astăzi.

  Concepte de bază: punct, linie dreaptă, plan; se află între, aparține, mișcare.

  Geometria elementară are 13 axiome, care sunt împărțite în cinci grupuri. În grupa a cincea există o axiomă despre paralele (postulatul euclidian V): printr-un punct de pe un plan se poate trasa o singură dreaptă care nu intersectează dreapta dată. Aceasta este singura axiomă care necesita dovezi. Încercările de a demonstra postulatul al cincilea i-au ocupat pe matematicieni timp de mai bine de 2 milenii, până în prima jumătate a secolului al XIX-lea, i.e. până în momentul în care Nikolai Ivanovici Lobaciovski a dovedit în lucrările sale deznădejdea deplină a acestor încercări. În prezent, nedemonstrabilitatea celui de-al cincilea postulat este un fapt matematic strict dovedit.

  Axioma despre paralel N.I. Lobaciovski a înlocuit-o cu axioma: Să fie date într-un plan dat o dreaptă și un punct situat în afara dreptei. Prin acest punct, pe o linie dată pot fi trase cel puțin două linii paralele.

  Din sistem nou axiome N.I. Lobaciovski, cu o rigoare logică impecabilă, a dedus un sistem armonios de teoreme care alcătuiesc conținutul geometriei non-euclidiene. Ambele geometrii ale lui Euclid și Lobachevsky, ca sisteme logice, sunt egale.

  Trei mari matematicieni în secolul al XIX-lea, aproape simultan, independent unul de celălalt, au ajuns la aceleași rezultate ale nedemonstrării celui de-al cincilea postulat și al creării geometriei non-euclidiene.

  Nikolai Ivanovici Lobaciovski (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Dovada matematica

• Principala metodă în cercetarea matematică este demonstrația matematică - raționament logic strict. Din cauza necesității obiective, spune membru corespondent al Academiei Ruse de Științe L.D - Matematica modernă și predarea ei, Moscova, Nauka, 1985, raționamentul logic (care prin natura sa, dacă este corect, este riguros) reprezintă metoda matematicii, fără ele matematica este de neconceput. Trebuie remarcat faptul că gândirea matematică nu se limitează la raționamentul logic. Pentru a formula corect o problemă, pentru a-i evalua datele, pentru a le identifica pe cele esențiale și pentru a alege o metodă de rezolvare, este nevoie și de intuiție matematică, care să permită să prevadă rezultatul dorit înainte de a fi obținut și să schițeze calea cercetare folosind raționament plauzibil. Dar validitatea faptului luat în considerare este dovedită nu prin testarea lui pe o serie de exemple, nu prin efectuarea unui număr de experimente (care în sine joacă un rol important în cercetarea matematică), ci printr-o metodă pur logică, conform legile logicii formale.

  Se crede că o demonstrație matematică este adevărată ultima solutie. O decizie care se bazează pe logică pură nu poate fi greșită. Dar odată cu dezvoltarea științei, sarcinile cu care se confruntă matematicienii sunt din ce în ce mai complexe.

  „Am intrat într-o eră în care aparatul matematic a devenit atât de complex și de greoaie încât la prima vedere nu mai este posibil să spunem dacă problema întâlnită este adevărată sau nu”, crede Kate Devlin de la Universitatea Stanford din California, SUA. El citează ca exemplu „clasificarea grupurilor finite simple”, care a fost formulată încă din 1980, dar încă nu a fost dată o dovadă completă exactă. Cel mai probabil, teorema este adevărată, dar este imposibil de spus absolut sigur.

  De asemenea, o soluție computerizată nu poate fi numită exactă, deoarece astfel de calcule au întotdeauna o eroare. În 1998, Hayles a propus o soluție computerizată pentru teorema lui Kepler, formulată încă din 1611. Această teoremă descrie cel mai dens pachet de bile din spațiu. Dovada a fost prezentată pe 300 de pagini și conținea 40.000 de linii de cod de mașină. 12 recenzori au verificat soluția timp de un an, dar nu au atins 100% încredere în corectitudinea dovezilor, iar studiul a fost trimis spre revizuire. Drept urmare, a fost publicat abia după patru ani și fără certificarea completă a recenzenților.

  Toate calculele recente pentru probleme aplicate sunt efectuate pe un computer, dar oamenii de știință consideră că, pentru o mai mare fiabilitate, calculele matematice ar trebui prezentate fără erori.

  Teoria dovezilor a fost dezvoltată în logică și include trei componente structurale: teza (ceea ce se presupune a fi dovedit), argumente (un set de fapte, concepte general acceptate, legi etc. ale științei corespunzătoare) și demonstrația (procedura pentru dezvoltarea dovezii în sine; Sunt evidențiate regulile de probă și sunt indicate eventualele erori logice.

  Dovada matematică are multe în comun cu principiile stabilite de logica formală. Mai mult decât atât, regulile matematice de raționament și operații au servit în mod evident ca unul dintre fundamente în dezvoltarea procedurii de demonstrare în logică. În special, cercetătorii istoriei formării logicii formale cred că la un moment dat, când Aristotel a făcut primii pași pentru a crea legi și reguli ale logicii, s-a îndreptat către matematică și practica activității juridice. În aceste surse a găsit material pentru construcția logică a teoriei sale planificate.

  În secolele XX, conceptul de probă și-a pierdut sensul strict, ceea ce s-a întâmplat în legătură cu descoperirea paradoxurilor logice ascunse în teoria mulțimilor și mai ales în legătură cu rezultatele aduse de teoremele lui K. Gödel privind incompletitudinea formalizării.

  În primul rând, aceasta a afectat însăși matematica, în legătură cu care se credea că termenul „dovadă” nu are definiție precisă. Dar dacă o astfel de opinie (care există și astăzi) afectează matematica însăși, atunci ei ajung la concluzia că demonstrația ar trebui acceptată nu în sens logic-matematic, ci în sens psihologic. Mai mult, o viziune similară se regăsește și la Aristotel însuși, care credea că a dovedi înseamnă a duce la bun sfârșit un raționament care să ne convingă în așa măsură încât, folosindu-l, îi convingem pe alții de corectitudinea a ceva. O anumită nuanță abordare psihologică găsit în A.E. Yesenin-Volpin. El se opune aspru acceptării adevărului fără dovezi, conectând acest lucru cu un act de credință și mai departe scrie: „Eu numesc dovada unei judecăți o recepție onesta care face această judecată de netăgăduit”. Yesenin-Volpin raportează că definiția sa are încă nevoie de clarificare. În același timp, însăși caracterizarea dovezilor ca „recepție sinceră” nu dezvăluie un apel la o evaluare morală și psihologică?

  În același timp, descoperirea paradoxurilor teoretice de mulțimi și apariția teoremelor lui Gödel au contribuit la dezvoltarea teoriei demonstrației matematice întreprinsă de intuiționiști, în special de direcție constructivistă, și D. Hilbert.

  Uneori se crede că o demonstrație matematică este de natură universală și reprezintă varianta ideala dovada stiintifica. Cu toate acestea, nu este singura metodă, există alte metode de proceduri și operațiuni bazate pe dovezi. Singurul lucru care este adevărat este că o demonstrație matematică are multe asemănări cu demonstrația formal-logică implementată în știința naturii și că o demonstrație matematică are o anumită specificitate, precum și un set de tehnici și operații. Ne vom opri aici, omițând trăsăturile comune care o fac similară cu alte forme de demonstrație, adică fără a extinde algoritmul, regulile, erorile etc. în toți pașii (chiar și cei principali). proces de probă.

  O demonstrație matematică este un raționament a cărui sarcină este de a fundamenta adevărul (desigur, într-un sens matematic, adică deductibil) al oricărei afirmații.

  Setul de reguli folosite în demonstrație s-a format odată cu apariția construcțiilor axiomatice ale teoriei matematice. Acest lucru a fost realizat cel mai clar și complet în geometria lui Euclid. „Principiile” sale au devenit un fel de standard model pentru organizarea axiomatică a cunoștințelor matematice și pentru o lungă perioadă de timp a rămas așa pentru matematicieni.

  Enunțurile prezentate sub forma unei anumite secvențe trebuie să garanteze o concluzie, care, sub rezerva regulilor de funcționare logică, este considerată dovedită. Trebuie subliniat că un anumit raționament este o dovadă numai în ceea ce privește un anumit sistem axiomatic.

  Când se caracterizează o demonstrație matematică, se disting două trăsături principale. În primul rând, demonstrația matematică exclude orice referire la dovezi empirice. Întreaga procedură de justificare a adevărului unei concluzii se realizează în cadrul axiomaticii acceptate. Academicianul A.D. Aleksandrov subliniază în acest sens. Puteți măsura unghiurile unui triunghi de mii de ori și vă asigurați că sunt egale cu 2d. Dar nu poți demonstra nimic cu matematica. Îi poți demonstra asta dacă deduci afirmația de mai sus din axiome. Să repetăm. Aici matematica se apropie de metodele scolasticei, care respinge în mod fundamental și argumentarea bazată pe fapte date experimental.

  De exemplu, când s-a descoperit incomensurabilitatea segmentelor, la demonstrarea acestei teoreme, recursul la experimentul fizic a fost exclus, deoarece, în primul rând, însuși conceptul de „incomensurabilitate” este lipsit de sens fizic și, în al doilea rând, matematicienii nu ar putea, atunci când se ocupă de cu abstractizare, pentru a atrage cu ajutorul extensiilor concrete material, măsurate prin metode senzoriale și vizuale. Incomensurabilitatea, în special, a laturilor și diagonalelor unui pătrat este dovedită pe baza proprietății numerelor întregi folosind teorema lui Pitagora privind egalitatea pătratului ipotenuzei (respectiv, diagonala) cu suma pătratelor catetelor. (cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic). Sau când Lobaciovski a căutat confirmarea geometriei sale, îndreptându-se la rezultatele observațiilor astronomice, această confirmare a fost efectuată de el printr-o natură pur speculativă. Interpretările geometriei non-euclidiene efectuate de Cayley-Klein și Beltrami au prezentat, de asemenea, obiecte de obicei matematice mai degrabă decât fizice.

  A doua trăsătură a demonstrației matematice este cea mai mare abstractizare a acesteia, în care diferă de procedurile de demonstrare din alte științe. Și din nou, ca și în cazul conceptului de obiect matematic, vorbim nu doar despre gradul de abstractizare, ci despre natura acestuia. Cert este că dovezile atinge un nivel înalt de abstractizare într-o serie de alte științe, de exemplu, în fizică, cosmologie și, bineînțeles, în filozofie, deoarece subiectul acesteia din urmă este problemele ultime ale ființei și gândirii. Matematica se distinge prin faptul că aici funcționează variabile, al căror sens este în abstractizare de orice proprietăți specifice. Să reamintim că, prin definiție, variabilele sunt semne care în sine nu au semnificații și le dobândesc pe acestea din urmă numai atunci când le înlocuiesc cu numele anumitor obiecte (variabile individuale) sau când indică proprietăți și relații specifice (variabile predicate), sau, în sfârşit, în cazurile de înlocuire a unei variabile cu un enunţ semnificativ (variabilă propoziţională).

  Această caracteristică determină natura abstracției extreme a semnelor utilizate în demonstrația matematică, precum și enunțurile, care, datorită includerii variabilelor în structura lor, se transformă în funcții de enunțuri.

  Procedura de probă în sine, definită în logică ca demonstrație, decurge pe baza regulilor de inferență, pe baza cărora se realizează trecerea de la o afirmație dovedită la alta, formând un lanț secvenţial de inferenţe. Cele mai comune sunt două reguli (substituția și inferența) și teorema deducției.

  Regula de substituire. În matematică, substituția este definită ca înlocuirea fiecărui element a dintr-o mulțime dată cu un alt element F (a) din aceeași mulțime. În logica matematică, regula de substituție este formulată după cum urmează. Dacă o formulă adevărată M în calculul propozițional conține o literă, să spunem A, atunci prin înlocuirea acesteia oriunde apare cu o literă arbitrară D, obținem o formulă care este la fel de adevărată ca și cea originală. Acest lucru este posibil, și acceptabil tocmai pentru că în calculul enunțurilor se face abstracție de la sensul enunțurilor (formulelor)... Se iau în considerare doar semnificațiile „adevărat” sau „fals”. De exemplu, în formula M: A--> (BUA), în locul lui A înlocuim expresia (AUB), ca rezultat obținem o nouă formulă (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Regula de tragere a concluziilor corespunde structurii silogismului condițional categorial modus ponens (mod afirmativ) în logica formală. Arata cam asa:

  o .

  Este dat enunțul (a-> b) și este dat și a. Aceasta implică b.

  De exemplu: dacă plouă, pavajul este ud, plouă(a), prin urmare pavajul este umed (b). În logica matematică, acest silogism este scris astfel (a-> b) a-> b.

  Inferența este determinată, de regulă, de diviziuni pentru implicare. Dacă sunt date o implicație (a-> b) și antecedentul ei (a), atunci avem dreptul de a adăuga la argument (dovada) consecința acestei implicații (b). Silogismul este de natură obligatorie, constituind un arsenal de mijloace deductive de probă, adică îndeplinește absolut cerințele raționamentului matematic.

  Un rol major în demonstrația matematică îl joacă teorema deducției - denumire generală pentru un număr de teoreme, a cărei procedură face posibilă stabilirea demonstrabilității implicației: A-> B, când există o derivare logică a formulei B din formula A. În cea mai comună versiune a calculului propozițional (în matematica clasică, intuiționistă și în alte tipuri de matematică) teorema deducției afirmă următoarele. Dacă se dă un sistem de premise G și o premisă A din care, conform regulilor, se pot deduce B Г, A B (este semnul derivației), atunci rezultă că numai din premisele G se poate obține propoziția A--> B.

  Ne-am uitat la tipul care este dovezi directe. În același timp, așa-numitele dovezi indirecte sunt folosite și în logică există dovezi indirecte care se desfășoară după următoarea schemă. Neavând, din mai multe motive (inaccesibilitatea obiectului cercetării, pierderea realității existenței acestuia etc.) posibilitatea de a efectua o dovadă directă a adevărului oricărei afirmații sau teze, ei construiesc o antiteză. Ei sunt convinși că antiteza duce la contradicții și, prin urmare, este falsă. Apoi, din faptul falsității antitezei, se face o concluzie - pe baza legii mijlocului exclus (a v) - despre adevărul tezei.

  În matematică, o formă de demonstrație indirectă este utilizată pe scară largă - demonstrarea prin contradicție. Este deosebit de valoros și, de fapt, indispensabil în acceptarea conceptelor și prevederilor fundamentale ale matematicii, de exemplu, conceptul de infinit real, care nu poate fi introdus în niciun alt mod.

  Operația demonstrației prin contradicție este prezentată în logica matematică după cum urmează. Având în vedere o succesiune de formule G și negația lui A (G , A). Dacă aceasta implică B și negația lui (G, A B, nu-B), atunci putem concluziona că adevărul lui A decurge din succesiunea formulelor G. Cu alte cuvinte, adevărul tezei decurge din falsitatea antitezei. .

  Literatura folosita:

• 1. N.Sh Kremer, B.A Putko, I.M. Trishin, M.N., Matematică superioară pentru economiști, Moscova, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev, Matematica modernă și predarea ei, Moscova, Nauka, 1985;

  3. O.I Larichev, Modele obiective și decizii subiective, Moscova, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, „Matematică? - Amuzant!”, publicația autorului, 1989;

  5. P.K Rashevsky, Geometrie riemanniană și analiză tensorială, Moscova, ediția a III-a, 1967;

  6. V.E Gmurman, Teoria probabilității și statistică matematică, Moscova, Școala superioară, 1977;

  7. Internetul World Wide Web.

Știința care studiază cantitățile, relațiile cantitative și formele spațiale

Prima literă este „m”

A doua litera „a”

A treia literă „t”

Ultima literă a scrisorii este „a”

Răspuns la întrebarea „Știință care studiază cantitățile, relațiile cantitative și formele spațiale”, 10 litere:
matematică

Întrebări alternative pentru cuvinte încrucișate pentru cuvântul matematică

Un reprezentant al acestei științe a luat logodnica lui Nobel și, prin urmare, Premiul Nobel nu este acordat pentru succes în ea

„Învățământ superior” în programul Politehnică

Știință exactă care studiază cantitățile, relațiile cantitative și formele spațiale

Știința cantităților, a relațiilor cantitative, a formelor spațiale

Această materie a fost predată la școală de „draga Elena Sergeevna” interpretată de Marina Neelova

Definiția cuvântului matematică în dicționare

Dicționar explicativ al marii limbi ruse vie, Dal Vladimir Semnificația cuvântului în dicționar Dicționar explicativ al Marii Limbi Ruse Vie, Dal Vladimir
şi. știința mărimilor și cantităților; tot ceea ce poate fi exprimat prin numere aparține matematicii. - pur, se ocupă de cantități în mod abstract; - aplicat, se aplică primul cazului, obiectelor. Matematica este împărțită în aritmetică și geometrie, prima are...

Wikipedia Înțelesul cuvântului în dicționarul Wikipedia
matematica (

Mare Enciclopedia Sovietică Semnificația cuvântului în dicționar Marea Enciclopedie Sovietică
I. Definirea disciplinei matematica, legatura cu alte stiinte si tehnologie. Matematica (greacă mathematike, de la máthema ≈ cunoaștere, știință), știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale. „Matematica pură are ca obiect...

Noul dicționar explicativ al limbii ruse, T. F. Efremova. Semnificația cuvântului în dicționar Noul dicționar explicativ al limbii ruse, T. F. Efremova.
şi. Disciplina științifică despre formele spațiale și relațiile cantitative ale lumii reale. O materie academică care conține fundamentele teoretice ale unei discipline științifice date. descompunere Un manual care stabilește conținutul unei anumite discipline academice. trans. descompunere Acurat,...

Exemple de utilizare a cuvântului matematică în literatură.

La început, Trediakovsky a fost adăpostit de Vasily Adadurov - matematician, elev al marelui Jacob Bernoulli, iar pentru acest adăpost poetul l-a predat pe om de știință în limba franceză.

Intrat matematician Adadurov, mecanicul Ladyzhensky, arhitectul Ivan Blank, evaluatori de la diverse consilii, medici și grădinari, ofițeri de armată și marină au trecut.

Doi oameni stăteau în fotolii la o masă lungă de nuc lustruit: Aksel Brigov și matematician Brodsky, pe care l-am recunoscut după puternicul său chel socratic.

Pontryagin, prin ale cărui eforturi a fost creată o nouă secțiune matematicienii- algebră topologică, - studierea diferitelor structuri algebrice dotate cu topologie.

Să remarcăm, de asemenea, în treacăt, că epoca pe care o descriem a fost martora dezvoltării algebrei, un departament relativ abstract matematicienii, prin combinarea departamentelor sale mai puțin abstracte, geometria și aritmetica, este un fapt dovedit de cele mai străvechi manifestări ale algebrei care au ajuns la noi, jumătate algebrică, jumătate geometrică.

Matematica, ca știință despre relațiile cantitative și formele spațiale ale realității, studiază lumea din jurul nostru, fenomenele naturale și sociale. Dar spre deosebire de alte științe, matematica studiază proprietățile lor speciale, făcând abstracție de la altele. Astfel, geometria studiază forma și dimensiunea obiectelor, fără a ține cont de celelalte proprietăți ale acestora: culoare, masă, duritate etc. În general, obiectele matematice (figura geometrică, număr, mărime) sunt create de mintea umană și există doar în gândirea umană, în semne și simboluri care formează limbajul matematic.

Natura abstractă a matematicii îi permite să fie aplicată într-o mare varietate de domenii și este un instrument puternic pentru înțelegerea naturii.

Formele de cunoaștere sunt împărțite în două grupuri.

Primul grup constituie forme de cunoaștere senzorială, desfășurate cu ajutorul diverselor simțuri: vedere, auz, miros, atingere, gust.

Co. al doilea grup includ forme de gândire abstractă, în primul rând concepte, afirmații și inferențe.

Formele cunoaşterii senzoriale sunt senzatii, percepţieŞi depuneri.

Fiecare obiect are nu una, ci multe proprietăți și le cunoaștem prin senzații.

Sentiment- aceasta este o reflectare a proprietăților individuale ale obiectelor sau fenomenelor din lumea materială, care ne afectează direct (adică acum, în acest moment) simțurile noastre. Acestea sunt senzații de roșu, cald, rotund, verde, dulce, neted și alte proprietăți individuale ale obiectelor [Getmanova, p. 7].

Percepția unui obiect întreg este alcătuită din senzații individuale. De exemplu, percepția unui măr este compusă din următoarele senzații: sferică, roșie, dulce-acrișoară, aromatică etc.

Percepţie este o reflectare holistică a unui obiect material exterior care ne afectează direct simțurile [Getmanova, p. 8]. De exemplu, imaginea unei farfurii, a unei cani, a unei linguri, a altor ustensile; imaginea unui râu, dacă acum plutim de-a lungul lui sau ne aflăm pe malul lui; imaginea unei păduri, dacă am ajuns acum în pădure etc.

Percepțiile, deși sunt o reflectare senzorială a realității în mintea noastră, depind în mare măsură de experiența umană. De exemplu, un biolog va percepe o pajiște într-un fel (va vedea diferite tipuri de plante), dar un turist sau artist o va vedea într-un mod complet diferit.

Performanţă- aceasta este o imagine senzorială a unui obiect care nu este perceput în prezent de noi, dar care a fost anterior perceput de noi într-o formă sau alta [Getmanova, p. 10]. De exemplu, ne putem imagina vizual chipurile prietenilor, camera noastră din casă, un mesteacăn sau o ciupercă. Acestea sunt exemple reproducerea reprezentări, din moment ce am văzut aceste obiecte.

Prezentarea poate fi creativ, inclusiv fantastic. Vă prezentăm pe frumoasa Prințesă Lebădă, sau Țarul Saltan, sau Cocoșul de Aur, și multe alte personaje din basmele lui A.S. Pușkin, pe care nu l-am văzut și nu îl vom vedea niciodată. Acestea sunt exemple de reprezentare creativă bazată pe descrierea verbală. Ne imaginăm și Fecioara Zăpezii, Părintele Frost, sirena etc.

Deci, formele cunoașterii senzoriale sunt senzațiile, percepțiile și ideile. Cu ajutorul lor, învățăm aspectele externe ale unui obiect (semnele acestuia, inclusiv proprietățile).

Formele gândirii abstracte sunt concepte, afirmații și inferențe.

Concepte. Domeniul de aplicare și conținutul conceptelor

Termenul „concept” este de obicei folosit pentru a desemna o întreagă clasă de obiecte de natură arbitrară care au o anumită proprietate caracteristică (distinctivă, esențială) sau un întreg set de astfel de proprietăți, de ex. proprietăți inerente numai elementelor acestei clase.

Din punct de vedere al logicii, un concept este o formă specială de gândire, care se caracterizează prin următoarele: 1) un concept este un produs al materiei înalt organizate; 2) conceptul reflectă lumea materială; 3) conceptul apare în conștiință ca mijloc de generalizare; 4) conceptul înseamnă activitate specific umană; 5) formarea unui concept în mintea unei persoane este inseparabilă de exprimarea lui prin vorbire, scriere sau simbol.

Cum apare conceptul oricărui obiect al realității în conștiința noastră?

Procesul de formare a unui anumit concept este un proces gradual în care pot fi văzute mai multe etape succesive. Să luăm în considerare acest proces folosind cel mai simplu exemplu - formarea la copii a conceptului de număr 3.

1. În prima etapă a cunoașterii, copiii se familiarizează cu diverse seturi concrete, folosind imagini cu obiecte și demonstrând diverse seturi de trei elemente (trei mere, trei cărți, trei creioane etc.). Copiii nu numai că văd fiecare dintre aceste seturi, dar pot și simți (atinge) obiectele care alcătuiesc aceste seturi. Acest proces de „vedere” creează în mintea copilului o formă specială de reflectare a realității, care se numește percepție (senzație).

2. Să înlăturăm obiectele (subiectele) care alcătuiesc fiecare set și să invităm copiii să stabilească dacă a existat ceva comun care a caracterizat fiecare set. Numărul de obiecte din fiecare set, faptul că erau „trei” peste tot, ar fi trebuit să se întipărească în mintea copiilor. Dacă este așa, atunci a fost creată o nouă formă în mintea copiilor - ideea numărului „trei”.

3. În etapa următoare, pe baza unui experiment de gândire, copiii ar trebui să vadă că proprietatea exprimată în cuvântul „trei” caracterizează orice set de elemente diferite ale formei (a; b; c). Aceasta va evidenția o caracteristică comună esențială a unor astfel de seturi: „să aibă trei elemente”. Acum putem spune că în mintea copiilor se formează conceptul de numărul 3.

Concept- aceasta este o formă specială de gândire care reflectă proprietățile esențiale (distinctive) ale obiectelor sau obiectelor de studiu.

Forma lingvistică a unui concept este un cuvânt sau un grup de cuvinte. De exemplu, „triunghi”, „numărul trei”, „punct”, „linie dreaptă”, „triunghi isoscel”, „plantă”, „conifere”, „râul Yenisei”, „masă”, etc.

Conceptele matematice au o serie de caracteristici. Principalul lucru este că obiectele matematice despre care este necesar să se formuleze un concept nu există în realitate. Obiectele matematice sunt create de mintea umană. Acestea sunt obiecte ideale care reflectă obiecte sau fenomene reale. De exemplu, în geometrie ei studiază forma și dimensiunea obiectelor fără a ține cont de celelalte proprietăți ale acestora: culoare, masă, duritate etc. Sunt distrași de la toate acestea, abstrași. Prin urmare, în geometrie, în loc de cuvântul „obiect” se spune „figură geometrică”. Rezultatul abstractizării sunt concepte matematice precum „număr” și „magnitudine”.

Principalele caracteristici orice conceptele sunt următoarele: 1) volum; 2) conţinut; 3) relaţiile dintre concepte.

Când se vorbește despre un concept matematic, ele înseamnă de obicei întregul set (mult) de obiecte notate printr-un singur termen (cuvânt sau grup de cuvinte). Deci, vorbind de un pătrat, ne referim la toate figurile geometrice care sunt pătrate. Se crede că setul tuturor pătratelor constituie domeniul de aplicare al conceptului „pătrat”.

Sfera conceptului se referă la ansamblul de obiecte sau elemente cărora li se aplică acest concept.

De exemplu, 1) domeniul de aplicare al conceptului „paralelogram” este setul de patrulatere, cum ar fi paralelogramele în sine, romburi, dreptunghiuri și pătrate; 2) domeniul de aplicare al conceptului „număr natural dintr-o singură cifră” va fi setul - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Orice obiect matematic are anumite proprietăți. De exemplu, un pătrat are patru laturi, patru unghiuri drepte, diagonale egale, diagonalele sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție. Puteți specifica celelalte proprietăți ale acestuia, dar printre proprietățile unui obiect există esențial (distinctiv)Şi nesemnificativ.

Proprietatea se numește semnificativ (distinctiv) pentru un obiect, dacă este inerent acestui obiect și fără el nu poate exista; proprietatea se numeste nesemnificativ pentru un obiect dacă poate exista fără el.

De exemplu, pentru un pătrat toate proprietățile enumerate mai sus sunt esențiale. Proprietatea „latura AD este orizontală” va fi neimportantă pentru pătratul ABCD (Fig. 1). Dacă acest pătrat este rotit, atunci latura AD va fi verticală.

Să ne uităm la un exemplu pentru preșcolari care folosesc material vizual (Fig. 2):

Descrieți figura.

Mic triunghi negru. Orez. 2

Triunghi alb mare.

Cum se aseamănă cifrele?

Cu ce ​​sunt diferite cifrele?

Culoare, dimensiune.

Ce are un triunghi?

3 laturi, 3 colturi.

Astfel, copiii află proprietățile esențiale și neesențiale ale conceptului „triunghi”. Proprietățile esențiale sunt „a avea trei laturi și trei unghiuri”, proprietățile neesențiale sunt culoarea și dimensiunea.

Totalitatea tuturor proprietăților esențiale (distinctive) ale unui obiect sau articol reflectate în acest concept, numit continutul conceptului .

De exemplu, pentru conceptul „paralelogram” conținutul este un set de proprietăți: are patru laturi, are patru unghiuri, laturile opuse sunt paralele în perechi, laturile opuse sunt egale, unghiurile opuse sunt egale, diagonalele la punctele de intersecție sunt împărțite la jumătate. .

Există o legătură între volumul unui concept și conținutul său: dacă volumul unui concept crește, atunci conținutul acestuia scade și invers. Deci, de exemplu, domeniul de aplicare al conceptului „triunghi isoscel” face parte din domeniul de aplicare al conceptului „triunghi”, iar conținutul conceptului „triunghi isoscel” include mai multe proprietăți, decât în ​​conținutul conceptului „triunghi”, deoarece un triunghi isoscel are nu numai toate proprietățile unui triunghi, ci și altele inerente doar triunghiurilor isoscel („două laturi sunt egale”, „două unghiuri sunt egale”, „două mediane sunt egale”, etc.).

După sfera de aplicare, conceptele sunt împărțite în singur, generalŞi categorii.

Un concept al cărui volum este egal cu 1 se numește concept unic .

De exemplu, conceptele: „Râul Yenisei”, „Republica Tuva”, „orașul Moscovei”.

Se numesc concepte al căror volum este mai mare decât 1 general .

De exemplu, conceptele: „oraș”, „râu”, „patraunghi”, „număr”, „poligon”, „ecuație”.

În procesul studierii elementelor de bază ale oricărei științe, copiii formează în principal concepte generale. De exemplu, în școală primară elevii se familiarizează cu concepte precum „cifră”, „număr”, „numere dintr-o singură cifră”, „numere din două cifre”, „numere cu mai multe cifre”, „fracție”, „fracție”, „adunare”, „comandă”. ”, „suma”, „scădere”, „scădere”, „minuend”, „diferență”, „înmulțire”, „multiplicator”, „produs”, „diviziune”, „dividend”, „divizor”, „cot”, „minge”, „cilindru” „”, „con”, „cub”, „paralelepiped”, „piramidă”, „unghi”, „triunghi”, „padrulateral”, „pătrat”, „dreptunghi”, „poligon”, „cerc”, „cerc”, „curbă”, „linie întreruptă”, „segment”, „lungimea segmentului”, „rază”, „linie dreaptă”, „punct”, „lungime”, „lățime”, „înălțime” , „perimetru”, „zona figurii”, „volum”, „timp”, „viteză”, „masă”, „preț”, „cost” și multe altele. Toate aceste concepte sunt concepte generale.

Matematică 1. De unde provine cuvântul matematică 2. Cine a inventat matematica? 3. Subiecte principale. 4. Definiție 5. Etimologie Până la ultimul slide.

De unde provine cuvântul (mergi la diapozitivul precedent) Matematică din greacă - studiu, știință) - știința structurilor, ordinii și relațiilor, dezvoltată istoric pe baza operațiilor de numărare, măsurare și descriere a formei obiectelor. Obiectele matematice sunt create prin idealizarea proprietăților obiectelor reale sau a altor obiecte matematice și prin scrierea acestor proprietăți într-un limbaj formal.

Cine a inventat matematica (mergi la meniu) Primul matematician se numește de obicei Thales din Milet, care a trăit în secolul al VI-lea. î.Hr e. , unul dintre așa-numiții șapte înțelepți ai Greciei. Oricum ar fi, el a fost primul care a structurat întreaga bază de cunoștințe pe acest subiect, care se formase de mult în limitele lumii cunoscute de el. Totuși, autorul primului tratat de matematică care a ajuns la noi a fost Euclid (secolul al III-lea î.Hr.). De asemenea, el poate fi considerat pe bună dreptate părintele acestei științe.

Subiecte principale (mergi la meniu) Domeniul matematicii include doar acele științe în care se ia în considerare fie ordinea, fie măsura și nu este deloc important dacă acestea sunt numere, cifre, stele, sunete sau orice altceva în care se găsește această măsură . Astfel, trebuie să existe un fel de știință generală care să explice tot ce ține de ordine și măsură, fără a intra în studiul unor subiecte anume, iar această știință ar trebui numită nu străină, ci vechea denumire de Matematică Universală, care a venit deja. în uz.

Definiție (mergi la meniu) Analiza modernă se bazează pe analiza matematică clasică, care este considerată una dintre cele trei domenii principale ale matematicii (împreună cu algebra și geometria). În același timp, termenul de „analiza matematică” în sensul clasic este folosit mai ales în programele și materialele educaționale. În tradiția anglo-americană, analiza matematică clasică corespunde unor programe de curs numite „calcul”

Etimologie (mergi la meniu) Cuvântul „matematică” provine din greaca veche. , care înseamnă studiu, cunoaștere, știință etc. -Greacă, însemnând inițial receptiv, reușit, mai târziu legat de studiu, ulterior legat de matematică. Mai exact, în latină înseamnă arta matematicii. Termenul este greacă veche. în sensul modern al cuvântului „matematică” se găsește deja în lucrările lui Aristotel (secolul IV î.Hr. În textele în limba rusă, cuvântul „matematică” sau „matematică” a fost găsit cel puțin din secolul al XVII-lea, de exemplu). , în Nikolai Spafari în „Cartea rezumatelor alese despre cele nouă muze și cele șapte arte libere” (1672)

Proprietățile idealizate ale obiectelor studiate sunt fie formulate sub formă de axiome, fie enumerate în definiția obiectelor matematice corespunzătoare. Apoi, conform regulilor stricte de inferență logică, alte proprietăți adevărate (teoreme) sunt deduse din aceste proprietăți. Această teorie formează împreună un model matematic al obiectului studiat. Astfel, inițial pornind de la relații spațiale și cantitative, matematica primește relații mai abstracte, al căror studiu este și subiectul matematicii moderne.

În mod tradițional, matematica este împărțită în teoretică, care realizează o analiză aprofundată a structurilor intra-matematice, și aplicată, care oferă modelele sale altor științe și discipline de inginerie, dintre care unele ocupă o poziție la granița cu matematica. În special, logica formală poate fi considerată atât ca parte a științelor filozofice, cât și ca parte a științelor matematice; mecanică - atât fizică, cât și matematică; informatica, tehnologia calculatoarelor si algoritmica se refera atat la inginerie cat si la stiintele matematice etc. Multe au fost propuse in literatura de specialitate definiții diferite matematică.

Etimologie

Cuvântul „matematică” provine din greaca veche. μάθημα, ceea ce înseamnă studiind, cunoştinţe, ştiinţă, etc.-greacă. μαθηματικός, însemnând inițial receptiv, de succes, mai târziu referitoare la studiu, ulterior legate de matematică. În special, μαθηματικὴ τέχνη , în latină ars matematică, înseamnă arta matematicii. Termenul este greacă veche. μᾰθημᾰτικά în sensul modern al cuvântului „matematică” se găsește deja în lucrările lui Aristotel (sec. IV î.Hr.). Potrivit lui Vasmer, cuvântul a ajuns în limba rusă fie prin poloneză. matematyka, sau prin Lat. matematica.

Definiții

Una dintre primele definiții ale disciplinei matematică a fost dată de Descartes:

Domeniul matematicii include doar acele științe în care se consideră fie ordinea, fie măsura și nu este deloc important dacă acestea sunt numere, cifre, stele, sunete sau orice altceva în care se caută această măsură. Astfel, trebuie să existe un fel de știință generală care să explice tot ce ține de ordine și măsură, fără a intra în studiul unor subiecte anume, iar această știință ar trebui numită nu străină, ci vechea denumire de Matematică Universală, care a venit deja. în uz.

Esența matematicii... este prezentată acum ca doctrina relațiilor dintre obiecte despre care nu se știe nimic în afară de unele proprietăți care le descriu - tocmai acelea care, ca axiome, stau la baza teoriei... Matematica este o set de forme abstracte – structuri matematice.

Secțiuni de matematică

1. Matematică cum disciplina academica

Denumiri

Deoarece matematica se ocupă de structuri extrem de variate și destul de complexe, notația ei este și ea foarte complexă. Sistem modern scrierea formulelor s-a format pe baza tradiției algebrice europene, precum și a nevoilor ramurilor ulterioare ale matematicii - analiza matematică, logica matematică, teoria mulțimilor etc. Din timpuri imemoriale, geometria a folosit o reprezentare vizuală (geometrică). În matematica modernă, sistemele de notație grafică complexe (de exemplu, diagramele comutative) sunt, de asemenea, frecvente, notația bazată pe grafice.

Scurt istoric

Filosofia matematicii

Obiective și metode

Spaţiu R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), la n > 3 (\displaystyle n>3) este o invenție matematică. Cu toate acestea, este o invenție foarte ingenioasă care ajută la înțelegerea fenomenelor complexe din punct de vedere matematic».

Motive

Intuiționismul

Matematică constructivă

clarifica

Subiecte principale

Cantitate

Secțiunea principală care se ocupă de abstractizarea cantității este algebra. Conceptul de „număr” provine inițial din concepte aritmetice și este legat de numerele naturale. Mai târziu, cu ajutorul algebrei, a fost extins treptat la numere întregi, raționale, reale, complexe și alte numere.

1 , - 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Numere raționale 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Numerele reale − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j - 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\puncte) Numerele complexe Cuaternioane

Transformări

Analiza are în vedere fenomenele de transformări și schimbări în cea mai generală formă.

Structuri

Relații spațiale

Geometria examinează fundamentele relațiilor spațiale. Trigonometria examinează proprietățile funcțiilor trigonometrice. Geometria diferențială este studiul obiectelor geometrice prin analiză matematică. Proprietățile spațiilor care rămân neschimbate sub deformații continue și fenomenul de continuitate în sine sunt studiate prin topologie.

Matematică discretă

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Matematica a apărut cu foarte mult timp în urmă. Bărbatul a strâns fructe, a săpat fructe, a prins pește și a depozitat totul pentru iarnă. Pentru a înțelege cât de multă mâncare era depozitată, omul a inventat numărătoarea. Așa a început să apară matematica.

Apoi omul a început să se angajeze în agricultură. Era necesar să se măsoare loturile de teren, să se construiască case și să se măsoare timpul.

Adică, a devenit necesar ca o persoană să folosească relația cantitativă a lumii reale. Determinați cât de multă recoltă a fost recoltată, care este dimensiunea terenului de construcție sau cât de mare este suprafața cerului cu un anumit număr de stele strălucitoare.

În plus, omul a început să determine formele: un soare rotund, o cutie pătrată, un lac oval și modul în care aceste obiecte sunt amplasate în spațiu. Adică, o persoană a început să fie interesată de formele spațiale ale lumii reale.

Astfel, conceptul matematică poate fi definită ca știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale.

În prezent, nu există o singură profesie în care să se poată face fără matematică. Faimosul matematician german Carl Friedrich Gauss, care a fost numit „Regele matematicii”, a spus odată:

„Matematica este regina științelor, aritmetica este regina matematicii.”

Cuvântul „aritmetică” provine din cuvântul grecesc „arithmos” – „număr”.

Astfel, aritmetică Aceasta este o ramură a matematicii care studiază numerele și operațiile asupra lor.

ÎN scoala elementaraÎn primul rând, ei studiază aritmetica.

Cum s-a dezvoltat această știință, haideți să explorăm această întrebare.

Perioada de naștere a matematicii

Principala perioadă de acumulare a cunoștințelor matematice este considerată a fi perioada anterioară secolului al V-lea î.Hr.

Primul care a început să demonstreze propozițiile matematice a fost gânditorul grec antic, care a trăit în secolul al VII-lea î.Hr., probabil 625 - 545. Acest filosof a călătorit în țările din Orient. Tradițiile spun că a studiat cu preoții egipteni și cu caldeenii babilonieni.

Thales din Milet a adus primele concepte de geometrie elementară din Egipt în Grecia: ce este un diametru, ce determină un triunghi și așa mai departe. El a prezis o eclipsă de soare și a proiectat structuri de inginerie.

În această perioadă s-a dezvoltat treptat aritmetica, astronomia și geometria. Se naște algebra și trigonometria.

Perioada matematicii elementare

Această perioadă începe din VI î.Hr. Acum matematica apare ca o știință cu teorii și dovezi. Apare teoria numerelor, doctrina mărimilor și măsurarea lor.

Cel mai faimos matematician al acestui timp este Euclid. A trăit în secolul al III-lea î.Hr. Acest om este autorul primului tratat teoretic de matematică care a ajuns până la noi.

În lucrările lui Euclid sunt date bazele așa-numitei geometrii euclidiene - acestea sunt axiome care se bazează pe concepte de bază, cum ar fi.

În perioada matematicii elementare a luat naștere teoria numerelor, precum și doctrina mărimilor și măsurarea acestora. Numerele negative și iraționale apar pentru prima dată.

La sfârșitul acestei perioade, se observă crearea algebrei ca calcul literal. Știința „algebrei” însăși apare printre arabi ca știință a rezolvării ecuațiilor. Cuvântul „algebră” în arabă înseamnă „restaurare”, adică transferarea valorilor negative într-o altă parte a ecuației.

Perioada de matematică a variabilelor

Fondatorul acestei perioade este considerat a fi Rene Descartes, care a trăit în secolul al XVII-lea d.Hr. În scrierile sale, Descartes a introdus pentru prima dată conceptul de mărime variabilă.

Datorită acestui fapt, oamenii de știință trec de la studiul cantităților constante la studiul dependențelor dintre cantitățile variabile și la descrierea matematică a mișcării.

Această perioadă a fost cel mai viu caracterizată de Friedrich Engels, în scrierile sale el a scris:

„Momentul de cotitură în matematică a fost variabila carteziană. Datorită acestui fapt, mișcarea și, prin urmare, dialectica au intrat în matematică și, datorită acesteia, calculul diferențial și integral a devenit imediat necesar, care apare imediat și care a fost, în mare, completat și nu inventat de Newton și Leibniz.”

Perioada matematicii moderne

În anii 20 ai secolului al XIX-lea, Nikolai Ivanovici Lobachevsky a devenit fondatorul așa-numitei geometrii non-euclidiene.

Din acest moment începe dezvoltarea celor mai importante ramuri ale matematicii moderne. Cum ar fi teoria probabilității, teoria mulțimilor, statistica matematică și așa mai departe.

Toate aceste descoperiri și cercetări își găsesc aplicații pe scară largă în diverse domenii ale științei.

Și în prezent, știința matematicii se dezvoltă rapid, subiectul matematicii se extinde, inclusiv noi forme și relații, se dovedesc noi teoreme, iar conceptele de bază se aprofundează.

Proprietățile idealizate ale obiectelor studiate sunt fie formulate sub formă de axiome, fie enumerate în definiția obiectelor matematice corespunzătoare. Apoi, conform regulilor stricte de inferență logică, alte proprietăți adevărate (teoreme) sunt deduse din aceste proprietăți. Această teorie formează împreună un model matematic al obiectului studiat. Astfel, inițial, bazată pe relații spațiale și cantitative, matematica primește relații mai abstracte, al căror studiu este și subiectul matematicii moderne.

În mod tradițional, matematica este împărțită în teoretică, care realizează o analiză aprofundată a structurilor intra-matematice, și aplicată, care oferă modelele sale altor științe și discipline de inginerie, dintre care unele ocupă o poziție la granița cu matematica. În special, logica formală poate fi considerată atât ca parte a științelor filozofice, cât și ca parte a științelor matematice; mecanică - atât fizică, cât și matematică; informatica, tehnologia calculatoarelor si algoritmica apartin atat ingineriei cat si stiintelor matematice etc. Multe definitii diferite ale matematicii au fost propuse in literatura de specialitate (vezi).

Etimologie

Cuvântul „matematică” provine din greaca veche. μάθημα ( máthēma), ceea ce înseamnă studiind, cunoştinţe, ştiinţă, etc.-greacă. μαθηματικός ( mathēmatikós), însemnând inițial receptiv, de succes, mai târziu referitoare la studiu, ulterior legate de matematică. În special, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), în latină ars matematică, înseamnă arta matematicii.

Definiții

Domeniul matematicii include doar acele științe în care se consideră fie ordinea, fie măsura și nu este deloc important dacă acestea sunt numere, cifre, stele, sunete sau orice altceva în care se caută această măsură. Astfel, trebuie să existe un fel de știință generală care să explice tot ce ține de ordine și măsură, fără a intra în studiul unor subiecte anume, iar această știință ar trebui numită nu străină, ci vechea denumire de Matematică Universală, care a venit deja. în uz.

În perioada sovietică, definiția din TSB dată de A. N. Kolmogorov a fost considerată clasică:

Matematica... știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale.

Esența matematicii... este prezentată acum ca doctrina relațiilor dintre obiecte despre care nu se știe nimic în afară de unele proprietăți care le descriu - tocmai acelea care, ca axiome, stau la baza teoriei... Matematica este o set de forme abstracte – structuri matematice.

Să dăm câteva definiții mai moderne.

Matematica teoretică modernă („pură”) este știința structurilor matematice, a invarianților matematici diverse sistemeși procese.

Matematica este o știință care oferă posibilitatea de a calcula modele care pot fi reduse la o formă standard (canonică). Știința găsirii de soluții la modele analitice (analiza) folosind transformări formale.

Secțiuni de matematică

1. Matematică cum disciplina academica este subdivizată în Federația Rusă în matematică elementară, studiată în școala secundară și formată din disciplinele:

• geometrie elementară: planimetrie și stereometrie
• teoria funcţiilor elementare şi elemente de analiză

4. Societatea Americană de Matematică (AMS) și-a dezvoltat propriul standard pentru clasificarea ramurilor matematicii. Se numește Clasificarea subiectelor de matematică. Acest standard este actualizat periodic. Versiunea actuală este MSC 2010. Versiunea anterioară este MSC 2000.

Denumiri

Deoarece matematica se ocupă de structuri extrem de variate și destul de complexe, sistemul de notație este și el foarte complex. Sistemul modern de scriere a formulelor s-a format pe baza tradiției algebrice europene, precum și a analizei matematice (conceptul de funcție, derivată etc.). Din timpuri imemoriale, geometria a folosit o reprezentare vizuală (geometrică). În matematica modernă, sistemele de notație grafică complexe (de exemplu, diagramele comutative) sunt, de asemenea, frecvente, notația bazată pe grafice.

Scurt istoric

Dezvoltarea matematicii se bazează pe scriere și pe capacitatea de a scrie numere. Probabil că oamenii din vechime exprimau mai întâi cantitățile desenând linii pe pământ sau zgâriindu-le pe lemn. Vechii incași, neavând alt sistem de scriere, reprezentau și stocau date numerice folosind un sistem complex de noduri de frânghie numit quipus. Au existat multe sisteme de numere diferite. Primele înregistrări cunoscute ale numerelor au fost găsite în Papirusul Ahmes, creat de egiptenii Regatului de Mijloc. Civilizația Indus a dezvoltat sistemul modern de numere zecimale, care includea conceptul de zero.

Din punct de vedere istoric, disciplinele matematice de bază au apărut din necesitatea de a efectua calcule în sfera comercială, în măsurarea terenurilor și de a prezice fenomene astronomice și, ulterior, de a rezolva noi probleme fizice. Fiecare dintre aceste domenii joacă un rol important în dezvoltarea amplă a matematicii, care constă în studiul structurilor, spațiilor și modificărilor.

Filosofia matematicii

Obiective și metode

Matematica studiază obiectele imaginare, ideale și relațiile dintre ele folosind limbajul formal. În general, conceptele și teoremele matematice nu au neapărat o corespondență cu nimic din lumea fizică. Sarcina principală a secțiunii aplicate de matematică este de a crea un model matematic care să fie suficient de adecvat obiectului real studiat. Sarcina unui matematician teoretician este de a oferi un set suficient de mijloace convenabile pentru a atinge acest obiectiv.

Conținutul matematicii poate fi definit ca un sistem de modele matematice și instrumente pentru crearea lor. Modelul unui obiect nu ține cont de toate trăsăturile sale, ci doar de cele mai necesare scopurilor de studiu (idealizate). De exemplu, studiul proprietăți fizice portocaliu, ne putem abstra din culoarea și gustul ei și ne putem imagina (chiar dacă nu este perfect exact) ca pe o minge. Dacă trebuie să înțelegem câte portocale vom obține dacă adunăm două și trei împreună, atunci putem face abstracție din formă, lăsând modelul cu o singură caracteristică - cantitatea. Abstracția și stabilirea de conexiuni între obiecte în cea mai generală formă este una dintre direcțiile principale ale creativității matematice.

O altă direcție, alături de abstractizare, este generalizarea. De exemplu, generalizarea conceptului de „spațiu” la un spațiu de n dimensiuni. " Spațiul este o invenție matematică. Cu toate acestea, este o invenție foarte ingenioasă care ajută la înțelegerea fenomenelor complexe din punct de vedere matematic».

Studiul obiectelor intra-matematice, de regulă, are loc prin metoda axiomatică: mai întâi, se formulează o listă de concepte de bază și axiome pentru obiectele studiate, iar apoi se obțin teoreme semnificative din axiome folosind reguli de inferență, care împreună formează un model matematic.

Motive

Problema esenței și fundamentelor matematicii a fost discutată încă de pe vremea lui Platon. Începând cu secolul al XX-lea, a existat un acord comparativ cu privire la ceea ce ar trebui considerat o demonstrație matematică riguroasă, dar a existat puțin acord cu privire la ceea ce în matematică ar trebui considerat în mod inerent adevărat. Acest lucru duce la dezacorduri atât în ​​chestiunile de axiomatică și interrelațiile dintre ramurile matematicii, cât și în alegerea sistemelor logice care ar trebui folosite în demonstrații.

Pe lângă cea sceptică, sunt cunoscute următoarele abordări ale acestei probleme.

Abordare teoretică a seturilor

Se propune să se ia în considerare toate obiectele matematice în cadrul teoriei mulțimilor, cel mai adesea cu axiomatica Zermelo-Frenkel (deși există multe altele echivalente cu aceasta). Această abordare a fost considerată predominantă încă de la mijlocul secolului al XX-lea, dar în realitate majoritatea lucrărilor de matematică nu își propun să-și traducă enunțurile strict în limbajul teoriei mulțimilor, ci operează cu concepte și fapte stabilite în unele domenii ale matematicii. Astfel, dacă se descoperă o contradicție în teoria mulțimilor, aceasta nu va implica invalidarea majorității rezultatelor.

Logicism

Această abordare presupune o tastare strictă a obiectelor matematice. Multe paradoxuri, evitate în teoria mulțimilor doar prin trucuri speciale, se dovedesc a fi imposibile în principiu.

Formalism

Această abordare implică studiul sistemelor formale bazate pe logica clasică.

Intuiționismul

Intuiționismul presupune că matematica se bazează pe logica intuiționistă, care este mai limitată în mijloacele sale de demonstrare (dar se crede că este mai de încredere). Intuiționismul respinge dovezile prin contradicție, multe dovezi neconstructive devin imposibile și multe probleme ale teoriei mulțimilor devin lipsite de sens (neformalizabile).

Matematică constructivă

Matematica constructivă este o mișcare în matematică apropiată de intuiționism care studiază construcțiile constructive. clarifica] . Conform criteriului constructivității - „ a exista înseamnă a fi construit" Criteriul constructivității este o cerință mai puternică decât criteriul consistenței.

Subiecte principale

Numerele

Conceptul de „număr” se referea inițial la numere naturale. Mai târziu a fost extins treptat la numere întregi, raționale, reale, complexe și alte numere.

numere întregi Numere raționale Numerele reale Numerele complexe Cuaternioane

Sisteme numerice
Numărând seturi	Numere naturale () Numere întregi () Raționale () Algebrice () Perioade Aritmetică calculabilă
Numerele reale și extensiile acestora	Reale () Complexe () Quaternioni () Numerele Cayley (octave, octonii) () Cedenioni () Alternioni Procedura Cayley-Dixon Hipercomplex dublu Superreal Hiperreal Număr suprarealist ( engleză)
Alte sisteme de numere	Numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) Numere supranaturale p-adice
Vezi de asemenea	Numere duble Numere iraționale Raza numerelor transcendentale Biquaternion

Transformări

Matematică discretă

Codurile în sistemele de clasificare a cunoștințelor

Servicii online

Există un număr mare de site-uri care oferă servicii pentru calcule matematice. Majoritatea vorbesc engleza. Dintre cei vorbitori de limbă rusă, putem remarca serviciul de interogări matematice al motorului de căutare Nigma.

Vezi de asemenea

Popularizatorii științei

Note

1. Enciclopedia Britannica
2. Dicţionar Webster's Online
3. Capitolul 2. Matematica ca limbaj al științei. Universitatea Deschisă din Siberia. Arhivat din original pe 2 februarie 2012. Consultat la 5 octombrie 2010.
4. Dicționar mare grecesc antic (αω)
5. Dicționar al limbii ruse secolele XI-XVII. Numărul 9 / Cap. ed. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - P. 41.
6. Descartes R. Reguli pentru ghidarea minții. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. Vezi: Matematică TSB
8. Marx K., Engels F. eseuri. a 2-a ed. Or. 20. P. 37.
9. Bourbaki N. Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii / Traducere de I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. P. 32, 258.
10. Kaziev V. M. Introducere în matematică
11. Mukhin O. I. Tutorial sisteme de modelare. Perm: RCI PSTU.
12. Hermann Weil // Klein M.. - M.: Mir, 1984. - P. 16.
13. Standardul educațional de stat al învățământului profesional superior. Specialitatea 01.01.00. "Matematică". Calificare - Matematician. Moscova, 2000 (Compilat sub conducerea lui O. B. Lupanov)
14. Nomenclatorul specialităților lucrătorilor științifici, aprobat prin ordin al Ministerului Educației și Științei din Rusia din 25 februarie 2009 nr. 59
15. UDC 51 Matematică
16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Elemente de algebră liniară și geometrie analitică. M.: Nauka, 1988. P. 44.
17. N. I. Kondakov. Dicționar logic - carte de referință. M.: Nauka, 1975. P. 259.
18. G. I. Ruzavin. Despre natura cunoștințelor matematice. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. De exemplu: http://mathworld.wolfram.com

Literatură

Enciclopedii

• // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: În 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
• Enciclopedie matematică (5 volume), anii 1980. // Cărți de referință generale și speciale despre matematică pe EqWorld
• Kondakov N. I. Dicționar logic - carte de referință. M.: Nauka, 1975.
• Enciclopedia științelor matematice și aplicațiile lor (germană) 1899-1934. (cel mai mare studiu al literaturii secolului al XIX-lea)

Directoare

• G. Korn, T. Korn. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri M., 1973.

Cărți

• Klein M. Matematică. Pierderea certitudinii. - M.: Mir, 1984.
• Klein M. Matematică. Caută adevărul. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Matematică elementară din punct de vedere superior.

• Volumul I. Aritmetica. Algebră. Analiza M.: Nauka, 1987. 432 p.
• Volumul II. Geometrie M.: Nauka, 1987. 416 p.

• Courant R., G. Robbins. Ce este matematica? Ed. a 3-a, rev. si suplimentare - M.: 2001. 568 p.
• Pisarevsky B.M., Kharin V.T. Despre matematică, matematicieni și multe altele. - M.: Binom. Laboratorul de cunoștințe, 2012. - 302 p.
• Poincare A.Știință și metodă (rusă) (franceză)

Matematica este una dintre cele mai vechi științe. A da o scurtă definiție a matematicii nu este deloc ușor conținutul acesteia va varia foarte mult în funcție de nivelul de educație matematică a unei persoane. Elev clasele primare Oricine tocmai a început să studieze aritmetica va spune că matematica studiază regulile de numărare a obiectelor. Și va avea dreptate, deoarece exact asta se familiarizează la început. Elevii mai mari vor adăuga la ceea ce s-a spus că conceptul de matematică include algebra și studiul obiectelor geometrice: linii, intersecțiile lor, figuri plane, corpuri geometrice și diverse tipuri de transformări. Absolvenți liceu va include în definiția matematicii și studiul funcțiilor și acțiunea de trecere la o limită, precum și conceptele aferente de derivată și integrală. Absolvenții instituțiilor de învățământ tehnic superior sau facultăților de științe naturale ale universităților și institutelor pedagogice nu vor mai fi mulțumiți de definițiile școlare, deoarece știu că matematica include și alte discipline: teoria probabilităților, statistica matematică, calcul diferenţial, programare, metode de calcul, precum și aplicarea acestor discipline pentru modelarea proceselor de producție, prelucrarea datelor experimentale, transferul și prelucrarea informațiilor. Totuși, ceea ce este enumerat nu epuizează conținutul matematicii. Teoria mulțimilor, logica matematică, controlul optim, teoria proceselor aleatoare și multe altele sunt, de asemenea, incluse în componența sa.

Încercările de a defini matematica prin enumerarea ramurilor sale constitutive ne conduc în rătăcire, deoarece nu dau o idee despre ce anume studiază matematica și care este relația acesteia cu lumea din jurul nostru. Dacă s-ar pune o întrebare similară unui fizician, biolog sau astronom, fiecare dintre ei ar da un răspuns foarte scurt, fără a conține o listă a părților care alcătuiesc știința pe care o studiază. Un astfel de răspuns ar conține o indicație a fenomenelor naturale pe care ea le studiază. De exemplu, un biolog ar afirma că biologia este studiul diferitelor manifestări ale vieții. Fie ca acest răspuns să nu fie complet complet, deoarece nu spune ce sunt viața și fenomenele vitale, dar totuși o astfel de definiție ar oferi o idee destul de completă a conținutului științei biologiei în sine și a diferitelor niveluri ale acestei științe. Și această definiție nu s-ar schimba odată cu extinderea cunoștințelor noastre despre biologie.

Nu există fenomene naturale, procese tehnice sau sociale care să facă obiectul studiului matematicii, dar să nu fie legate de fenomene fizice, biologice, chimice, inginerești sau sociale. Fiecare disciplină de științe naturale: biologie și fizică, chimie și psihologie - este determinată de trăsăturile materiale ale subiectului său, caracteristicile specifice zonei din lumea reală pe care o studiază. Obiectul sau fenomenul în sine poate fi studiat prin diferite metode, inclusiv prin cele matematice, dar prin schimbarea metodelor rămânem totuși în limitele acestei discipline, întrucât conținutul acestei științe este obiectul real, și nu metoda cercetării. Pentru matematică, subiectul material al cercetării nu are o importanță decisivă metoda folosită; De exemplu, funcțiile trigonometrice pot fi folosite atât pentru studiul mișcării oscilatorii, cât și pentru a determina înălțimea unui obiect inaccesibil. Ce fenomene din lumea reală pot fi studiate folosind metoda matematică? Aceste fenomene sunt determinate nu de natura lor materială, ci exclusiv de proprietățile structurale formale și mai ales de acele relații cantitative și forme spațiale în care există.

Deci, matematica studiază nu obiectele materiale, ci metodele de cercetare și proprietățile structurale ale obiectului de studiu, care fac posibilă aplicarea anumitor operații asupra acestuia (sumare, diferențiere etc.). Cu toate acestea, o parte semnificativă a problemelor, conceptelor și teoriilor matematice au drept sursă principală fenomene și procese reale. De exemplu, aritmetica și teoria numerelor au apărut din sarcina practică principală de numărare a obiectelor. Geometria elementară și-a avut sursa în problemele asociate cu compararea distanțelor, calculul ariilor figurilor plate sau volumelor corpurilor spațiale. Toate acestea trebuiau găsite, deoarece a fost necesară redistribuirea terenurilor între utilizatori, calcularea dimensiunii hambarelor sau volumul lucrărilor de săpătură în timpul construcției structurilor de apărare.

Un rezultat matematic are proprietatea că poate fi utilizat nu numai în studiul unui anumit fenomen sau proces, ci și pentru a studia alte fenomene, a căror natură fizică este fundamental diferită de cele considerate anterior. Astfel, regulile aritmeticii sunt aplicabile în problemele economice, în probleme tehnice și în rezolvarea problemelor agricultură, și în cercetarea științifică. Regulile aritmetice au fost dezvoltate cu mii de ani în urmă, dar și-au păstrat valoarea aplicată pentru eternitate. Aritmetica este componentă matematică, partea sa tradițională nu mai este supusă dezvoltare creativăîn cadrul matematicii, dar are și va continua să găsească numeroase aplicații noi. Aceste aplicații pot avea mare importanta pentru umanitate, dar nu vor mai aduce o contribuție la matematică în sine.

Matematica, ca forță creatoare, are ca scop dezvoltarea reguli generale, care ar trebui folosit în numeroase cazuri speciale. Cel care creează aceste reguli creează ceva nou, creează. Oricine aplică reguli gata făcute nu mai creează în matematică însăși, ci, foarte posibil, creează noi valori în alte domenii de cunoaștere cu ajutorul regulilor matematice. De exemplu, astăzi datele din interpretarea imaginilor spațiale, precum și informații despre compoziția și vârsta rocilor, anomaliile geochimice și geofizice sunt procesate cu ajutorul computerelor. Nu există nicio îndoială că utilizarea computerelor în cercetarea geologică lasă aceste studii geologice. Principiile de funcționare ale computerelor și software-ul lor au fost dezvoltate fără a ține cont de posibilitatea utilizării lor în interesul științei geologice. Această posibilitate în sine este determinată de faptul că proprietățile structurale ale datelor geologice sunt în conformitate cu logica anumitor programe de calculator.

Două definiții ale matematicii au devenit larg răspândite. Primul dintre ele a fost dat de F. Engels în lucrarea „Anti-Dühring”, celălalt de un grup de matematicieni francezi cunoscut sub numele de Nicolas Bourbaki, în articolul „Arhitectura matematicii” (1948).

„Matematica pură are ca obiect formele spațiale și relațiile cantitative ale lumii reale.” Această definiție nu numai că descrie obiectul de studiu al matematicii, ci indică și originea acestuia - lumea actuală. Totuși, această definiție a lui F. Engels reflectă în mare măsură starea matematicii din a doua jumătate a secolului al XIX-lea. și nu ia în considerare acele noi zone ale acestuia care nu sunt direct legate nici de relații cantitative, nici de forme geometrice. Aceasta este, în primul rând, logica matematică și disciplinele legate de programare. Prin urmare, această definiție necesită unele clarificări. Poate că ar trebui spus că matematica are ca obiect de studiu forme spațiale, relații cantitative și construcții logice.

Soții Bourbaki susțin că „singurele obiecte matematice sunt, strict vorbind, structuri matematice”. Cu alte cuvinte, matematica ar trebui definită ca știința structurilor matematice. Această definiție este în esență o tautologie, deoarece afirmă un singur lucru: matematica se preocupă de obiectele pe care le studiază. Un alt defect al acestei definiții este că nu clarifică relația dintre matematică și lumea din jurul nostru. Mai mult, soții Bourbaki subliniază că structurile matematice sunt create independent de lumea reală și de fenomenele sale. Iată de ce soții Bourbaki au fost nevoiți să declare că „problema principală este relația dintre lumea experimentală și lumea matematică. Faptul că există o legătură strânsă între fenomenele experimentale și structurile matematice pare să fi fost confirmat într-un mod complet neașteptat de descoperirile fizicii moderne, dar motivele profunde pentru aceasta ne sunt complet necunoscute... și poate că nu le vom ști niciodată. .”

O astfel de concluzie dezamăgitoare nu poate rezulta din definiția lui F. Engels, deoarece conține deja afirmația că conceptele matematice sunt abstracții din anumite relații și forme ale lumii reale. Aceste concepte sunt preluate din și legate de lumea reală. În esență, tocmai aceasta explică aplicabilitatea uimitoare a rezultatelor matematicii la fenomenele lumii din jurul nostru și, în același timp, succesul procesului de matematizare a cunoștințelor.

Matematica nu face excepție de la toate domeniile cunoașterii - formează și concepte care apar din situații practice și abstracțiuni ulterioare; ne permite să studiem realitatea și aproximativ. Dar trebuie avut în vedere că matematica nu studiază lucrurile din lumea reală, ci concepte abstracteși că concluziile sale logice sunt absolut stricte și precise. Aproximarea sa nu este de natură internă, ci este asociată cu compilarea unui model matematic al fenomenului. Să remarcăm, de asemenea, că regulile matematicii nu au aplicabilitate absolută, ele au și un domeniu limitat de aplicare în care domnesc suprem. Să lămurim această idee cu un exemplu: se dovedește că doi și doi nu sunt întotdeauna egal cu patru. Se știe că la amestecarea a 2 litri de alcool și 2 litri de apă se obțin mai puțin de 4 litri de amestec. În acest amestec, moleculele sunt dispuse mai compact, iar volumul amestecului este mai mic decât suma volumelor componentelor constitutive. Regula de adunare a aritmeticii este încălcată. De asemenea, puteți da exemple în care sunt încălcate alte adevăruri ale aritmeticii, de exemplu, la adăugarea unor obiecte, se dovedește că suma depinde de ordinea însumării.

Mulți matematicieni consideră conceptele matematice nu ca o creație a rațiunii pure, ci ca abstracții din lucruri, fenomene, procese sau abstracții deja existente (abstracții de ordin superior). În „Dialectica naturii” F. Engels a scris că „... toată așa-numita matematică pură se ocupă de abstracții... toate cantitățile ei sunt, strict vorbind, cantități imaginare...” Aceste cuvinte reflectă destul de clar opinia unuia. a fondatorilor filozofiei marxiste despre rolul abstracţiilor în matematică. Ar trebui doar să adăugăm că toate aceste „cantități imaginare” sunt preluate din realitatea reală și nu sunt construite în mod arbitrar, prin zborul liber al gândirii. Așa a intrat în uz general conceptul de număr. La început acestea au fost numere în interiorul unităților și, în plus, doar numere întregi pozitive. Apoi, experiența m-a forțat să-mi extind arsenalul de numere la zeci și sute. Ideea numărului nelimitat de numere întregi s-a născut într-o epocă apropiată din punct de vedere istoric: Arhimede în cartea sa „Psammit” („Calcul granulelor de nisip”) a arătat cum este posibil să se construiască numere chiar mai mari decât cele date. În același timp, din nevoi practice, a luat naștere conceptul de numere fracționale. Calcule elementare forme geometrice, a condus omenirea către numere noi - iraționale. Așa s-a format treptat ideea mulțimii tuturor numerelor reale.

Aceeași cale poate fi urmată pentru orice alte concepte de matematică. Toate au apărut din nevoi practice și s-au format treptat în concepte abstracte. Se pot aminti din nou cuvintele lui F. Engels: „...matematica pură are o semnificație independentă de experiența specială a fiecărui individ... Dar este complet fals că în matematica pură mintea se ocupă doar de produsele sale proprii. creativitate și imaginație. Conceptele de număr și figură nu sunt preluate de nicăieri, ci doar din lumea reală. Cele zece degete pe care oamenii au învățat să numere, adică să efectueze prima operație aritmetică, sunt orice altceva decât un produs al creativității libere a minții. Pentru a număra, nu trebuie doar să aveți obiecte care pot fi numărate, ci și să aveți capacitatea de a abstrage atunci când luăm în considerare aceste obiecte din toate celelalte proprietăți, cu excepția numărului, iar această abilitate este rezultatul unei lungi dezvoltări istorice bazate pe experiență. Atât conceptul de număr, cât și conceptul de figură sunt împrumutate exclusiv din lumea exterioară, și nu a apărut în cap din gândirea pură. Trebuiau să existe lucruri care să aibă o anumită formă, iar aceste forme trebuiau comparate înainte de a se putea ajunge la conceptul unei figuri.”

Să ne gândim dacă există concepte în știință care sunt create fără legătură cu progresul trecut al științei și cu progresul actual al practicii. Știm foarte bine că creativitatea științifică matematică este precedată de studiul multor materii la școală, universitate, lectură de cărți, articole, conversații cu experți atât din domeniul propriu, cât și din alte domenii ale cunoașterii. Un matematician trăiește în societate și, din cărți, la radio și din alte surse, învață despre problemele care apar în știință, inginerie și viața publică. În plus, gândirea cercetătorului este influențată de întreaga evoluție anterioară a gândirii științifice. Prin urmare, se dovedește a fi pregătit să rezolve anumite probleme necesare progresului științei. De aceea, un om de știință nu poate pune probleme în mod arbitrar, dintr-un capriciu, ci trebuie să creeze concepte și teorii matematice care ar fi valoroase pentru știință, pentru alți cercetători, pentru umanitate. Dar teoriile matematice își păstrează semnificația în diferite condiții formațiuni socialeși epoci istorice. În plus, adesea aceleași idei apar de la oameni de știință care nu sunt în niciun fel conectați între ei. Acesta este un argument suplimentar împotriva celor care aderă la conceptul de creativitate liberă a conceptelor matematice.

Așadar, am explicat ce este inclus în conceptul de „matematică”. Dar există și matematică aplicată. Este înțeles ca totalitatea tuturor metodelor și disciplinelor matematice care își găsesc aplicații în afara matematicii. În antichitate, geometria și aritmetica reprezentau întreaga matematică și, întrucât ambele și-au găsit numeroase aplicații în schimburile comerciale, măsurarea suprafețelor și volumelor, precum și în materie de navigație, toată matematica nu era doar teoretică, ci și aplicată. Mai târziu, în Grecia Antică, a apărut o diviziune în matematică și matematică aplicată. Cu toate acestea, toți matematicienii remarcabili au fost, de asemenea, implicați în aplicații, și nu doar în cercetarea pur teoretică.

Dezvoltarea ulterioară a matematicii a fost continuu legată de progresul științelor naturale, tehnologiei și apariția unor noi nevoi sociale. Până la sfârșitul secolului al XVIII-lea. a apărut necesitatea (în primul rând în legătură cu problemele navigației și artileriei) de a crea o teorie matematică a mișcării. G. W. Leibniz și I. Newton au făcut acest lucru în lucrările lor. Matematica aplicată a fost completată cu o nouă metodă de cercetare foarte puternică - analiza matematică. Aproape simultan, nevoile demografiei și asigurărilor au dus la formarea începuturilor teoriei probabilităților (vezi Teoria probabilității). secolele XVIII și XIX. a extins conținutul matematicii aplicate, adăugându-i teoria ecuațiilor diferențiale ordinare și parțiale, ecuațiile fizicii matematice, elementele de statistică matematică și geometria diferențială. secolul XX a adus noi metode pentru studiul matematic al problemelor practice: teoria proceselor aleatoare, teoria grafurilor, analiza funcțională, controlul optim, programarea liniară și neliniară. Mai mult, s-a dovedit că teoria numerelor și algebra abstractă aveau aplicații neașteptate la problemele de fizică. Ca urmare, a început să apară credința că matematica aplicată ca disciplină separată nu există și toată matematica poate fi considerată aplicată. Poate că trebuie să vorbim nu despre faptul că matematica este aplicată și teoretică, ci despre faptul că matematicienii sunt împărțiți în aplicați și teoreticieni. Pentru unii, matematica este o metodă de înțelegere a lumii din jurul nostru și a fenomenelor care au loc în ea, în acest scop un om de știință dezvoltă și extinde cunoștințele matematice. Pentru alții, matematica în sine reprezintă o lume întreagă demnă de studiu și dezvoltare. Pentru progresul științei, sunt necesari oameni de știință de ambele tipuri.

Matematica, înainte de a studia orice fenomen folosind metode proprii, își creează modelul matematic, adică enumeră toate acele trăsături ale fenomenului care vor fi luate în considerare. Modelul îl obligă pe cercetător să aleagă acele instrumente matematice care îi vor permite să transmită în mod adecvat trăsăturile fenomenului studiat și evoluția acestuia. Ca exemplu, să luăm un model al unui sistem planetar: Soarele și planetele sunt considerate puncte materiale cu masele corespunzătoare. Interacțiunea fiecărui două puncte este determinată de forța de atracție dintre ele

unde m 1 și m 2 sunt masele punctelor care interacționează, r este distanța dintre ele și f este constanta gravitațională. În ciuda simplității acestui model, în ultimii trei sute de ani a transmis cu mare acuratețe caracteristicile mișcării planetelor sistemului solar.

Desigur, fiecare model aspre realitatea, iar sarcina cercetătorului este, în primul rând, de a propune un model care, pe de o parte, să transmită cel mai pe deplin latura faptică a problemei (cum se spune, caracteristici fizice), și pe de altă parte, oferind o aproximare semnificativă a realității. Desigur, pentru același fenomen pot fi propuse mai multe modele matematice. Toți au dreptul de a exista până când o discrepanță semnificativă între model și realitate începe să-i afecteze.