フーリエ級数解。 例と問題のフーリエ級数

周期 2π の周期関数のフーリエ級数。

フーリエ級数を使用すると、周期関数を成分に分解して調べることができます。 交流電流と電圧、クランク機構の変位、速度と加速度、音波は、工学計算における周期関数の使用の典型的な実際的な例です。

フーリエ級数展開は、すべてが 実用的な重要性区間 -π ≤x≤ π の関数は、収束三角級数の形式で表すことができます (級数は、その項で構成される部分和のシーケンスが収束する場合に収束していると見なされます)。

sinx と cosx の合計による標準 (= 通常の) 表記法

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...、

ここで、a 0、a 1、a 2、...、b 1、b 2、... は実定数です。

ここで、-π から π までの範囲について、フーリエ級数の係数は次の式を使用して計算されます。

係数 a o 、a n および b n はフーリエ係数と呼ばれ、それらが見つかると、系列 (1) と呼ばれます。 フーリエ付近、関数 f(x) に対応します。 系列 (1) の場合、項 (a 1 cosx+b 1 sinx) は、第 1 高調波または基本高調波と呼ばれます。

シリーズを記述するもう 1 つの方法は、関係 acosx+bsinx=csin(x+α) を使用することです。

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

ここで、a o は定数であり、1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2、n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - さまざまな成分の振幅であり、a n =arctg と等しくなります。 a n /b n。

級数 (1) の場合、項 (a 1 cosx+b 1 sinx) または c 1 sin(x+α 1) は、第 1 高調波または基本高調波、(a 2 cos2x+b 2 sin2x) または c 2 sin(2x) と呼ばれます。 +α 2) 第 2 高調波などと呼ばれます。

複素信号を正確に表現するには、通常、無限の数の項が必要です。 ただし、多くの実際的な問題では、最初の数項だけを考慮するだけで十分です。

周期 2π の非周期関数のフーリエ級数。

非周期関数の拡張。

関数 f(x) が非周期的である場合、それは x のすべての値についてフーリエ級数に展開できないことを意味します。 ただし、幅 2π の任意の範囲にわたる関数を表すフーリエ級数を定義することは可能です。

非周期関数が与えられた場合、特定の範囲内で f(x) の値を選択し、その範囲外で 2π 間隔でそれらを繰り返すことによって、新しい関数を構築できます。 なぜなら 新機能は 2π の周期で周期的であるため、x のすべての値についてフーリエ級数に展開できます。 たとえば、関数 f(x)=x は周期的ではありません。 ただし、0 から 2π までの区間でフーリエ級数に展開する必要がある場合は、この区間の外側で周期 2π の周期関数が構築されます (下図を参照)。

f(x)=x などの非周期関数の場合、フーリエ級数の合計は、指定された範囲内のすべての点で f(x) の値と等しくなりますが、点については f(x) と等しくありません。範囲外です。 2π 範囲の非周期関数のフーリエ級数を求めるには、同じフーリエ係数の式が使用されます。

偶数関数と奇数関数。

彼らは、関数 y=f(x) は、x のすべての値に対して f(-x)=f(x) である場合でも偶数であると言います。 偶数関数のグラフは常に y 軸に関して対称です (つまり、鏡像です)。 偶数関数の 2 つの例: y=x2 と y=cosx。

関数 y=f(x) は、x のすべての値に対して f(-x)=-f(x) である場合、奇数であると言われます。 奇数関数のグラフは常に原点に対して対称です。

多くの関数は偶数でも奇数でもありません。

コサインでのフーリエ級数展開。

周期 2π の偶数周期関数 f(x) のフーリエ級数にはコサイン項のみが含まれ (つまり、サイン項は含まれません)、次のものが含まれる場合があります。 永久会員。 したがって、

ここでフーリエ級数の係数は次のようになります。

周期 2π の奇数周期関数 f(x) のフーリエ級数には、サインを含む項のみが含まれます (つまり、コサインを含む項は含まれません)。

したがって、

ここでフーリエ級数の係数は次のようになります。

半周期のフーリエ級数。

関数が 0 から 2π だけでなく、0 から π までの範囲に対して定義されている場合、その関数はサインのみまたはコサインのみで系列に展開できます。 結果として得られるフーリエ級数は、半周期フーリエ級数と呼ばれます。

0 から π までの範囲の関数 f(x) の余弦に関して半周期フーリエ展開を取得したい場合は、偶数関数を構築する必要があります。 周期関数。 図では、 以下は、x=0 から x=π までの区間に基づいて構築された関数 f(x)=x です。 偶数関数は f(x) 軸に対して対称なので、図に示すように線 AB を引きます。 下に。 考慮した間隔の外側で、結果として得られる三角形の形状が 2π の周期で周期的であると仮定すると、最終的なグラフは次のようになります。 図の 下に。 前と同様にコサインでフーリエ展開を取得する必要があるため、フーリエ係数 a o と a n を計算します。

0 から π までの範囲の関数 f(x) の正弦に関して半サイクルのフーリエ展開を取得したい場合は、奇数周期関数を作成する必要があります。 図では、 以下は、x=0 から x=π までの区間に基づいて構築された関数 f(x)=x です。 奇数関数は原点に対して対称であるため、図に示すように直線 CD を作成します。 考慮した間隔の外側で、結果の鋸歯状信号が 2π の周期で周期的であると仮定すると、最終的なグラフは図に示す形式になります。 前と同様に、正弦に関して半サイクルのフーリエ展開を取得する必要があるため、フーリエ係数を計算します。 b

任意の区間のフーリエ級数。

周期 L の周期関数の展開。

周期関数 f(x) は、x が L ずつ増加するにつれて繰り返されます。 f(x+L)=f(x)。 以前に検討した周期 2π の関数から周期 L の関数への遷移は、変数の変更を使用して実行できるため、非常に簡単です。

-L/2≤x≤L/2 の範囲で関数 f(x) のフーリエ級数を求めるには、関数 f(x) が u に対して 2π の周期を持つように新しい変数 u を導入します。 u=2πx/L の場合、u=-π の場合は x=-L/2、u=π の場合は x=L/2 となります。 また、f(x)=f(Lu/2π)=F(u) とします。 フーリエ級数 F(u) の形式は次のとおりです。

(積分の極限は、長さ L の任意の区間 (たとえば、0 から L まで) に置き換えることができます。

区間 L≠2π で指定された関数の半サイクルのフーリエ級数。

代入 u=πх/L の場合、x=0 から x=L までの区間は u=0 から u=π までの区間に対応します。 したがって、関数はコサインのみまたはサインのみの級数に展開できます。 半周期でフーリエ級数に変換します。

0 から L までの範囲のコサイン展開は次の形式になります。

周期 2p の偶数周期関数 f(x) のフーリエ級数にはコサイン項のみが含まれ (つまり、サイン項は含まれません)、定数項が含まれる場合があります。 したがって、

ここでフーリエ級数の係数は次のようになります。

周期 2p の奇数周期関数 f (x) のフーリエ級数には、サインを伴う項のみが含まれます (つまり、コサインを伴う項は含まれません)。

したがって、

ここでフーリエ級数の係数は次のようになります。

関数が 0 から 2p だけでなく、0 から p までの範囲に対して定義されている場合、その関数はサインのみまたはコサインのみの系列に展開できます。 結果として得られるフーリエ級数は、半周期フーリエ級数と呼ばれます。

0 から p までの範囲の関数 f (x) の余弦の半サイクル フーリエ展開を取得したい場合は、偶数周期関数を作成する必要があります。 図では、 以下は、x = 0 から x = p までの区間に基づいて構築された関数 f (x) = x です。 偶関数は f (x) 軸に対して対称なので、図のように線 AB を引きます。 下に。 考慮した間隔の外側で、結果として得られる三角形の形状が 2p の周期で周期的であると仮定すると、最終的なグラフは次のようになります。 図の 下に。 前と同様にコサインでフーリエ展開を取得する必要があるため、フーリエ係数 a o と a n を計算します。

0 から p までの範囲の関数 f (x) の正弦に関して半サイクルのフーリエ展開を取得したい場合は、奇数周期関数を作成する必要があります。 図では、 以下は、x=0 から x=p までの区間に基づいて構築された関数 f (x) =x です。 奇数関数は原点に対して対称であるため、図に示すように直線 CD を作成します。

考慮した間隔の外側で、結果の鋸歯状信号が 2p の周期で周期的であると仮定すると、最終的なグラフは図に示す形式になります。 前と同様に、正弦に関して半サイクルのフーリエ展開を取得する必要があるため、フーリエ係数を計算します。 b

Web サイトに数式を挿入するにはどうすればよいですか?

Web ページに 1 つまたは 2 つの数式を追加する必要がある場合、これを行うための最も簡単な方法は、記事で説明されているとおりです: 数式は、Wolfram Alpha によって自動的に生成される画像の形式でサイトに簡単に挿入されます。 シンプルさに加えて、これは、 普遍的な方法検索エンジンでのサイトの可視性を向上させるのに役立ちます。 それは長い間機能してきました（そして、私は永遠に機能すると思います）が、道徳的にはすでに時代遅れです。

サイトで常に数式を使用する場合は、MathJax を使用することをお勧めします。MathJax は、次のような表示を行う特別な JavaScript ライブラリです。 数学的表記法 Web ブラウザでは MathML、LaTeX、または ASCIIMathML マークアップを使用します。

MathJax の使用を開始するには 2 つの方法があります。(1) 簡単なコードを使用して、MathJax スクリプトを Web サイトにすばやく接続できます。スクリプトは適切なタイミングでリモート サーバー (サーバーのリスト) から自動的にロードされます。 (2) MathJax スクリプトをリモート サーバーからサーバーにダウンロードし、サイトのすべてのページに接続します。 2 番目の方法 - より複雑で時間がかかります - は、サイトのページの読み込みを高速化します。また、親 MathJax サーバーが何らかの理由で一時的に利用できなくなった場合でも、自分のサイトにはまったく影響しません。 これらの利点にもかかわらず、私は最初の方法を選択しました。これは、よりシンプルで高速であり、技術的なスキルを必要としないためです。 私の例に従えば、わずか 5 分でサイト上で MathJax のすべての機能を使用できるようになります。

メインの MathJax Web サイトまたはドキュメント ページから取得した 2 つのコード オプションを使用して、リモート サーバーから MathJax ライブラリ スクリプトに接続できます。

これらのコード オプションの 1 つをコピーして Web ページのコードに貼り付ける必要があります。できればタグ間またはタグの直後に貼り付けます。 最初のオプションによると、MathJax の読み込みが速くなり、ページの速度低下が少なくなります。 ただし、2 番目のオプションでは、MathJax の最新バージョンが自動的に監視され、ロードされます。 最初のコードを挿入した場合は、定期的に更新する必要があります。 2 番目のコードを挿入すると、ページの読み込みは遅くなりますが、MathJax の更新を常に監視する必要はありません。

MathJax に接続する最も簡単な方法は、Blogger または WordPress です。サイトのコントロール パネルで、サードパーティの JavaScript コードを挿入するように設計されたウィジェットを追加し、上記のダウンロード コードの最初または 2 番目のバージョンをコピーし、ウィジェットを近くに配置します。テンプレートの先頭に追加します (ちなみに、MathJax スクリプトは非同期でロードされるため、これはまったく必要ありません)。 それでおしまい。 ここで、MathML、LaTeX、および ASCIIMathML のマークアップ構文を学習すれば、サイトの Web ページに数式を挿入する準備が整います。

フラクタルはすべて、一定のルールに従って構築され、一貫して無制限に適用されます。 このような各時間は反復と呼ばれます。

メンジャー スポンジを構築するための反復アルゴリズムは非常に単純です。辺 1 を持つ元の立方体が、その面に平行な平面によって 27 個の等しい立方体に分割されます。 中央の 1 つの立方体と、面に沿ってそれに隣接する 6 つの立方体がそこから削除されます。 結果は、残りの 20 個の小さな立方体で構成されるセットになります。 これらの各立方体に対して同じことを行うと、400 個の小さな立方体で構成されるセットが得られます。 このプロセスを延々と続けると、メンジャースポンジが完成します。

1 教育科学省 RF ノヴォシビルスク州立大学物理学部 R. K. Belkheeva 例と問題におけるフーリエ シリーズ 教科書 ノボシビルスク 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. フーリエ級数の例と問題: 教科書 / ノボシビルスク。 州 大学 ノボシビルスク、S. ISBN B 教科書フーリエ級数に関する基本情報が示され、研究されたトピックごとに例が示されます。 弦の横振動の問題を解決するためのフーリエ法の適用例を詳細に分析します。 イラスト素材をご用意しております。 独立した解決策のためのタスクがあります。 NSU 物理学部の学生および教師を対象としています。 NSU 物理学部の方法論委員会の決定により発行されました。 査読者: 物理数学博士。 科学。 V. A. アレクサンドロフ このマニュアルは、長年にわたる NRU-NSU 開発プログラムの実施の一環として作成されました。 ノボシビルスクのISBN 州立大学、211 c Belkheeva R.K.、211

3 1. 2π 周期関数のフーリエ級数への拡張 定義。 関数 f(x) のフーリエ級数は関数級数 a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (1) です。ここで、係数 a n、b n は次の式を使用して計算されます。 a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) 式 (2) (3) はオイラーフーリエ公式と呼ばれます。 関数 f(x) がフーリエ級数 (1) に対応するという事実は、式 f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) の形で書かれ、右辺は次のようになります。式（４）の式は形式級数フーリエ関数ｆ（ｘ）である。 つまり、式(4)は、係数a n 、b n が式(2)、(3)を用いて求められたことを意味するだけである。 3

4 定義。 区間 [, π] 内に有限数の点 = x がある場合、2π 周期関数 f(x) は区分的平滑関数と呼ばれます。< x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. リアプノフの等価定理 (リアプノフの等価性)。 関数 f: [, π] R を f 2 (x) dx とするものとします。< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn。 したがって、関数 f(x) のリアプノフ等式は、2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π の形式になります。 a π の最後の等式から、sin 2 na n 2 = a(π a) 2 が得られます。 a = π 2 と設定すると、n = 2k 1 の場合は sin2 na = 1、n = 2k の場合は sin 2 na = が得られます。 したがって、k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. 例 14. 関数 f(x) = x cosx, x [, π] に対するリアプノフの等式を書き、それを使って数値の合計を求めましょう。級数 (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π の解。 直接計算すると、 = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 f(x) は偶関数であるため、すべての n に対して b n =、a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) となります。 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) n = 2k の場合は 2、n = 2k + 1 の場合は 2。n = 1 の一般式では分数の分母が次のようになるため、係数 a 1 は個別に計算する必要があります。ゼロに。 = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2。

50 したがって、関数 f(x) に対するリアプノフの等式は次の形式になります。 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π、ここから数列 (4n 2) の合計を求めます。 + 1) 2 (4n 2 1) = π π 問題 32. 関数 ( x f(x) = 2 πx、x の場合) のリアプノフ等式を書きます。< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 答え + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n、ここで c n は関数 f(x) のフーリエ係数 2π、 d n はフーリエ係数関数 g(x) です。 6. フーリエ級数の微分 f: R R を連続微分可能な 2π 周期関数とする。 そのフーリエ級数の形式は次のとおりです: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx)。 この関数の導関数 f (x) は連続かつ 2π 周期関数となり、形式的なフーリエ級数を書くことができます: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx)、ここで、a、a n , b n, n = 1 , 2,... 関数 f (x) のフーリエ係数。 51

52 定理 (フーリエ級数の項ごとの微分について)。 上記の仮定の下では、等式 a =、a n = nb n、b n = na n、n 1 が有効です。 区分的平滑関数 f(x) が区間 [, π] で連続であるとします。 条件 f(x)dx = が満たされる場合、ステクロフの不等式と呼ばれる不等式 2 dx 2 dx が成立することを証明しましょう。また、この不等式が f(x) = の形式の関数に対してのみ成立することを確認します。コックス。 言い換えれば、ステクロフの不等式は、導関数 (二乗平均) の小ささが関数 (二乗平均) の小ささを意味する条件を与えます。 解決。 関数 f(x) を区間 [, ] まで均等に拡張しましょう。 拡張関数を同じ記号 f(x) で表すことにします。 この場合、拡張関数は区間 [, π] 上で連続的かつ区分的に滑らかになります。 関数 f(x) は連続であるため、f 2 (x) は区間および 2 dx 上で連続です。< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 継続関数は偶数なので、条件により b n =、a = となります。 したがって、リアプノフの等式は 1 π 2 dx = a 2 π n の形式になります。 (17) f (x) について、フーリエ級数の項ごとの微分に関する定理の結論が満たされていることを確認しましょう。つまり、 a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. 導関数 f (x) が区間 [, π] 内の点 x 1、x 2、...、x N でキンクを受けるとします。 x =、x N+1 = π と表します。 積分区間 [, π] を N +1 区間 (x, x 1),..., (x N, x N+1) に分割します。各区間で f(x) は連続微分可能です。 次に、積分の加法性の性質を使用し、部分ごとに積分すると、次の結果が得られます。 b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n。 x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = 。 x j π j= 最後の等号は、関数 f(x) が偶数で継続されたという事実によって生じます。これは、f(π) = f() を意味します。 同様に、a n = nb n を取得します。 我々は、区間 [, π] における導関数が第一種不連続性を受ける、連続的な区分的に滑らかな 2π 周期関数のフーリエ級数の項ごとの微分に関する定理が正しいことを示しました。 これは、a =、a n = nb n =、b n = na n、n = 1、2、... であるため、f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx を意味します。 2DX以降< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 (18) の級数の各項は (17) の級数の対応する項以上であるため、2 dx 2 dx になります。 f(x) が元の関数の偶数継続であることを思い出すと、2 dx 2 dx になります。 これはステクロフが平等であることを証明しています。 ここで、ステクロフの不等式においてどの関数に対して等式が成立するかを調べます。 少なくとも 1 つの n 2 について、係数 a n がゼロではない場合、a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 問題 37. 区分的平滑関数 f(x) が区間 [, π] で連続であるとします。 条件 f() = f(π) = が満たされるとき、ステクロフ不等式とも呼ばれる不等式 2 dx 2 dx が成立することを証明し、この不等式が f(x) の形式の関数に対してのみ成立することを確認します。 = B 罪 x。 38. 関数 f が区間 [, π] で連続であり、その中に (おそらく有限数の点を除いて) 平方積分可能な導関数 f (x) を持つものとします。 条件 f() = f(π) および f(x) dx = が満たされる場合、ウィルティンガー不等式と呼ばれる不等式 2 dx 2 dx が成立し、その中の等式が f の形式の関数に対してのみ成立することを証明します。 (x ) = A cosx + B sin x。 56

57 7. 偏微分方程式を解くためのフーリエ級数の応用 現実の対象（自然現象、生産プロセス、制御システムなど）を研究する場合、対象となる対象についての知識の蓄積レベルと、その知識の蓄積の度合いの 2 つの要素が重要です。数学的装置の開発。 の上 現代の舞台 科学研究次のチェーンが開発されました:現象物理モデル数学モデル。 問題の物理的定式化 (モデル) は次のとおりです。プロセスの開発条件とそれに影響を与える主な要因が特定されます。 数学的定式化 (モデル) は、物理的定式化で選択された要因と条件を方程式系 (代数、微分、積分など) の形式で記述することで構成されます。 特定の関数空間内に、初期条件と境界条件に一意的かつ継続的に依存する問題の解決策が存在する場合、問題は適切に設定されていると呼ばれます。 数学的モデルは、検討中のオブジェクトと決して同一ではありませんが、弦の自由な小さな横振動の方程式を導出したものです。 弦の端を固定し、弦自体をピンと張った状態にします。 弦を平衡位置から外すと (たとえば、弦を引き戻すか、叩くなど)、弦は 57 度回転し始めます。

58 躊躇する。 弦のすべての点がその平衡位置に対して垂直に移動し (横方向の振動)、各瞬間において弦が同じ平面上にあると仮定します。 この飛行機にシステムを取り入れてみましょう 直交座標徐。 次に、最初の瞬間 t = に弦が Ox 軸に沿って位置していた場合、u は平衡位置からの弦の偏差、つまり横座標 x を持つ弦の点の位置を意味します。任意の時刻 t は関数 u(x, t) の値に対応します。 t の各固定値について、関数 u(x, t) のグラフは時間 t における振動弦の形状を表します (図 32)。 x の定数値において、関数 u(x, t) は、Ou 軸に平行な直線に沿った横座標 x の点の運動の法則を与えます。導関数 u t はこの動きの速度であり、二次導関数はは 2 u t 2 加速度です。 米。 32. 文字列の微小な部分にかかる力 関数 u(x, t) が満たさなければならない方程式を作成しましょう。 これを行うために、さらにいくつかの単純化した仮定を立てます。 文字列は完全に柔軟であるとみなします - 58

59 koy、つまり、弦が曲げに抵抗しないと仮定します。 これは、ストリング内で生じる応力が常にその瞬間的なプロファイルに対して接線方向に向けられることを意味します。 弦は弾性があり、フックの法則の影響を受けると想定されます。 これは、張力の大きさの変化が弦の長さの変化に比例することを意味します。 文字列が同種であると仮定しましょう。 これは彼女がということを意味します 線密度ρは一定です。 私たちは外力を無視します。 つまり自由振動を考慮しているということになります。 弦の小さな振動のみを研究します。 時間 t における横軸と横軸 x の点における弦の接線との間の角度を ϕ(x, t) で表すと、小さな振動の条件は値 ϕ 2 (x, t) であることです。は、ϕ (x, t)、つまり ϕ 2 と比較して無視できます。角度 ϕ が小さいため、cosϕ 1、ϕ sin ϕ Tan ϕ u、したがって、値 (u x x,) 2 も無視できます。 したがって、振動プロセス中、弦のどの部分の長さの変化も無視できることがわかります。 実際、横軸の間隔 (x 2 = x 1 + x) に投影された文字列 M 1 M 2 の長さは、l = x 2 x () 2 u dx x に等しくなります。 x 私たちの仮定の下では、張力 T の大きさが弦全体に沿って一定であることを示してみましょう。 これを行うには、時刻 t における文字列 M 1 M 2 (図 32) の任意のセクションを取得し、破棄されたセクションのアクションを置き換えましょう - 59

張力 T 1 と T 2 によって 60 になります。条件によれば、弦のすべての点が Ou 軸に平行に移動し、外力がないため、Ox 軸上の張力の投影の合計は次のようになります。ゼロに等しくなります: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =。 したがって、角度 ϕ 1 = ϕ(x 1, t) および ϕ 2 = ϕ(x 2, t) が小さいため、T 1 = T 2 と結論付けます。T 1 = の合計値を表すことにします。 T 2 by T。次に、Ou 軸上の同じ力の投影 F u の合計を計算します: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t)。 (2) 小さな角度の場合、sin ϕ(x, t) Tan ϕ(x, t)、およびtan ϕ(x, t) u(x, t)/ x であるため、式 (2) は次のように書き換えることができます F u T (tg ϕ(x 2, t) Tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x 。 点 x 1 は任意に選択されるため、F u T 2 u x2(x, t) x となります。 断面 M 1 M 2 に作用するすべての力が見つかった後、それにニュートンの第 2 法則を適用します。これによれば、質量と加速度の積はすべての作用力の合計に等しくなります。 弦の質量 M 1 M 2 は m = ρ l ρ x に等しく、加速度は 2 u(x, t) に等しくなります。 ニュートンの t 2 方程式は、2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x の形式になります。ここで、α 2 = T ρ は正の定数です。 6

61 x で約定すると、2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) が得られます。 (21) その結果、係数が一定の線形均質 2 階偏微分方程式が得られました。 弦振動方程式または一次元波動方程式と呼ばれます。 方程式 (21) は本質的にニュートンの法則を再定式化したもので、弦の運動を記述します。 しかし、問題を物理的に定式化するには、弦の端が固定されていて、ある時点での弦の位置がわかっているという要件がありました。 これらの条件を次のように方程式として書きます。 a) 文字列の端が点 x = および x = l で固定されていると仮定します。つまり、すべての t に対して関係 u(, t) =, u が成り立つと仮定します。 (l, t ) = ; (22) b) 時刻 t = で文字列の位置が関数 f(x) のグラフと一致すると仮定します。つまり、すべての x [, l] について、等価 u(x,) = が成り立つと仮定します。 f(x); (23) c) 瞬間 t = 横座標 x の文字列の点に速度 g(x) が与えられていると仮定します。つまり、u (x,) = g(x) であると仮定します。 (24) t 関係式(22)は境界条件と呼ばれ、関係式(23)と関係式(24)は初期条件と呼ばれます。 自由小横断面の数学モデル 61

弦の 62 回の振動は、境界条件 (22) と初期条件 (23) および (24) を使用して方程式 (21) を解く必要があるということです。 フーリエ法による弦の自由微小横振動の方程式の解領域 x l における式 (21)、< t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 は定数でなければなりません。これを λ で表します: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ。 ここから、2 つの常微分方程式、X (x) λx(x) =、(28) T (t) α 2 λt(t) = が得られます。 (29) この場合、境界条件 (22) は X()T(t) = および X(l)T(t) = の形式になります。 これらはすべての t、t > に対して満たされる必要があるため、X() = X(l) = となります。 (3) 境界条件 (3) を満たす方程式 (28) の解を見つけてみましょう。 3 つのケースを考えてみましょう。 ケース 1: λ >。 λ = β 2 と表します。方程式 (28) は X (x) β 2 X(x) = の形式になります。 その特性方程式 k 2 β 2 = の根は k = ±β です。 したがって、 一般的な解決策式（２８）は、Ｘ（ｘ）＝Ｃ ｅ βｘ ＋ Ｄｅ βｘの形式を有する。 境界条件 (3)、つまり X() = C + D =、X(l) = C e βl + De βl = が満たされるように定数 C と D を選択する必要があります。 β 以来、この連立方程式は一意の解 C = D = を持ちます。 したがって、X(x) と 63

64 u(x, t)。 したがって、ケース 1 では自明な解決策が得られましたが、これについてはこれ以上検討しません。 ケース 2: λ =。 次に、方程式 (28) は X (x) = の形式をとり、その解は明らかに次の式で与えられます: X(x) = C x+d。 この解を境界条件 (3) に代入すると、X() = D = および X(l) = Cl = が得られます。これは、C = D = を意味します。 したがって、X(x) と u(x, t) により、再び自明な解が得られます。 ケース 3: λ