周期関数の三角フーリエ級数。三角フーリエ級数

チャーチャー 03.10.2020

デザインとインテリア

標準的な方法を使用しましたが、別の例で行き詰まりました。

何が難しいのでしょうか?また、どこに障害がある可能性がありますか? 石鹸のような縄は脇に置いて、冷静に理由を分析し、現実的な解決策を知りましょう。

まず最も重要なこと: 圧倒的多数の場合、級数の収束を研究するには、よく知られた手法を使用する必要がありますが、級数の一般用語には非常にトリッキーな要素が詰め込まれているため、それをどう扱うかはまったく明らかではありません。。そして、最初の兆候は機能せず、2 番目の方法も機能せず、3 番目、4 番目、5 番目の方法も機能せず、下書きは破棄され、すべてが再び始まります。これは通常、数学的分析の他の分野での経験不足またはギャップが原因です。特に、実行している場合は、 シーケンスの制限そして表面的に分解された 機能制限、それなら難しいでしょう。

言い換えれば、知識や経験が不足しているために、必要な決定方法が見えていないだけです。

たとえば、系列の収束に必要な基準が満たされていないが、無知、不注意、または怠慢により、これが見えなくなった場合、「日食」が原因となることもあります。そして、数学の教授が乱暴な反復シーケンスと数列を使用して子供たちの問題を解決したあの物語のようになりました =)

最良の伝統における、すぐに生きた例: 行とその親戚 - 理論的に証明されているため、同意しません シーケンスの制限。おそらく、最初の学期では、1、2、3 ページの証明のために魂が揺さぶられるでしょうが、今では、級数の収束に必要な条件が満たされていないことを示すだけで十分です。既知の事実。有名な？生徒が n 乗根が非常に強力なものであることを知らない場合、たとえば、級数彼を行き止まりに追い込むことになるだろう。解決策は 2 倍のようなものですが、つまり、明らかな理由により、両方のシリーズは分岐します。「これらの限界は理論的に証明されている」という控えめなコメント (またはまったくない場合でも) は、テストには十分です。結局のところ、計算は非常に重く、それらは間違いなく数列のセクションに属しません。

次の例を検討すると、多くのソリューションの簡潔さと透明性に驚くだけでしょう。

例1

級数の収束を調べる

解決: まず第一に、実行を確認します 収束に必要な基準。これは形式的なものではありませんが、「ちょっとした流血」でこの例に対処する絶好の機会です。

「犯罪現場の調査」は発散系列 (一般化調和系列の場合) を示唆していますが、分子の対数をどのように考慮するかという疑問が再び生じます。

レッスンの最後にタスクのおおよその例を示します。

2 段階 (または 3 段階) の推論を実行する必要があることは、珍しいことではありません。

例6

級数の収束を調べる

解決: まず、分子の意味不明な問題に慎重に対処しましょう。シーケンス – 制限付き: 。それから：

シリーズと比較してみましょう。得られた二重不等式により、すべての「en」について次のことが当てはまります。

次に、この系列を発散調和系列と比較します。

分数の分母 少ない分数の分母なので、 分数そのもの – もっと分数（明確でない場合は、最初のいくつかの項を書き留めてください）。したがって、任意の「en」については次のようになります。

これは、比較に基づいて、系列が 発散するハーモニックシリーズと一緒に。

分母を少し変更すると、次のようになります。の場合、推論の最初の部分は同様になります。。しかし、系列の発散を証明するには、不等式が偽であるため、比較に制限基準を適用することしかできません。

収束系列の状況は「ミラーリング」されています。つまり、たとえば、ある系列では両方の比較基準 (不等式が true) を使用できますが、系列では制限基準 (不等式が false) のみを使用できます。

私たちはサファリを続けます野生動物優雅で青々としたカモシカの群れが地平線に迫っていた場所です。

例 7

級数の収束を調べる

解決: 収束に必要な基準が満たされると、私たちは再び古典的な質問を自問します: 何をすべきか? 私たちの前には、収束系列を思わせるものがありますが、ここには明確な規則はありません。そのような関連付けは、多くの場合、欺瞞的です。

よくあることですが、今回はそうではありません。を使用することで 比較の限定基準私たちの系列を収束系列と比較してみましょう。制限を計算するときに使用するのは 素晴らしい限界 、一方 無限小スタンド:

収束する隣のと一緒に。

「3」による乗算と除算という標準的な人為的手法を使用する代わりに、最初は収束系列と比較することが可能でした。
ただし、ここでは、一般項の定数係数が級数の収束に影響を与えないことを留保することをお勧めします。次の例の解決策は、まさにこのスタイルで設計されています。

例8

級数の収束を調べる

レッスンの最後にサンプルを載せます。

例9

級数の収束を調べる

解決: 前の例では、サインの有界性を使用しましたが、現在、このプロパティは機能しません。上位分数の分母 成長順序したがって、正弦と共通項全体の引数が分子よりも大きい場合、 無限小。ご理解のとおり、収束に必要な条件は満たされており、作業を怠ることはできません。

偵察を実行しましょう：に従って 顕著な同等性 、精神的にサインを破棄し、シリーズを取得します。まあ、それもそれも...

決定を下しましょう:

研究中の系列と発散系列を比較してみましょう。次のような制限的な比較基準を使用します。

無限小を同等のものに置き換えてみましょう。 .

ゼロとは異なる有限の数が得られます。これは、研究対象の系列が 発散するハーモニックシリーズと一緒に。

例 10

級数の収束を調べる

これは自分で解決できる例です。

このような例でさらなるアクションを計画するには、サイン、アークサイン、タンジェント、アークタンジェントを頭の中で破棄すると非常に役立ちます。ただし、この機会は次の場合にのみ存在することを忘れないでください。 無限小議論として、つい最近、私は挑発的なシリーズに出会いました。

例 11

級数の収束を調べる
.

解決: ここでは逆正接制限を使用しても意味がなく、等価性も機能しません。解決策は驚くほど簡単です。

研究中のシリーズ 発散する、級数の収束に必要な基準が満たされていないためです。

2番目の理由「このタスクの問題点」は、共通のメンバーが非常に洗練されているため、技術的な性質の問題が発生することです。ざっくり言えば、上記のシリーズが「誰でもわかる」のカテゴリに属する場合、これらのシリーズも「誰が知っているか」のカテゴリに分類されます。実際、これは「通常の」意味での複雑さと呼ばれます。誰もがいくつかの階乗、次数、根、およびサバンナの他の住民を正しく解決できるわけではありません。もちろん、最大の問題は階乗です。

例 12

級数の収束を調べる

階乗を累乗するにはどうすればよいですか? 簡単に。べき乗の演算規則に従って、積の各要素をべき乗する必要があります。

そしてもちろん、ダランベールのサイン自体は伝統的に機能します。

したがって、検討中のシリーズは、 収束する.

不確実性を排除するための合理的なテクニックを思い出してください。それが明確な場合です。 成長順序分子と分母 - 苦労して括弧を開く必要はありません。

例 13

級数の収束を調べる

この獣は非常にまれですが、実際に発生するため、カメラのレンズでそれを無視するのは不公平です。

二重感嘆符が付いた階乗とは何ですか? 階乗は正の積を「巻き上げる」丁数:

同様に、階乗は正の奇数の積を「巻き上げ」ます。

との違いを分析する

例 14

級数の収束を調べる

この作業では、度数と混同しないようにしてください。 顕著な同等性そして 素晴らしい限界.

サンプルのソリューションと回答はレッスンの最後にあります。

しかし、学生が餌を与えられるのはトラだけではありません。狡猾なヒョウも獲物を追跡します。

例 15

級数の収束を調べる

解決: 収束に必要な基準、制限基準、そしてダランベールとコーシーの検定はほぼ瞬時に消えます。しかし、最悪なのは、私たちを繰り返し助けてきた不平等の兆候が無力であるということです。実際、不等式があるため、発散系列との比較は不可能です。不正解 - 対数乗数は分母を増やすだけで、分数自体は減ります。分数に関して。そして、もう 1 つの世界的な疑問です。なぜ私たちは当初、このシリーズが成功すると確信しているのでしょう。必然的に発散する必要があり、発散する系列と比較する必要がありますか? 彼が少しでも仲良くなったらどうしますか？

統合機能? 不適切な積分 憂鬱な気分を呼び起こします。今、列ができていたら ...それでは、はい。停止！こうしてアイデアが生まれるのです。解決策は 2 つのステップで定式化されます。

1) まず級数の収束を調べます。。私たちが使用するのは 統合機能:

被積分関数 継続的なの上

したがって、シリーズは、対応する不適切な積分とともに発散します。

2) 私たちの系列と発散系列を比較してみましょう。次のような制限的な比較基準を使用します。

ゼロとは異なる有限の数が得られます。これは、研究対象の系列が 発散する数字と一緒に .

そして、そのような決定には何も珍しいことも創造的なこともありません。それが決定されるべきです。

次の 2 段階の手順を自分で作成することを提案します。

例 16

級数の収束を調べる

ある程度の経験がある学生は、ほとんどの場合、系列が収束するか分岐するかをすぐに見分けますが、捕食者が茂みの中で巧妙にカモフラージュすることが起こります。

例 17

級数の収束を調べる

解決: 一見すると、このシリーズがどのように動作するかはまったくわかりません。そして、目の前に霧がある場合、系列の収束に必要な条件を大まかに確認することから始めるのが論理的です。不確実性を排除するために、不沈 その共役式による乗算と除算の方法:

必要な収束テストは機能しませんでしたが、きれいな水私たちのタンボフの同志。実行された変換の結果、等価な系列が得られました。、これは収束系列に非常に似ています。

最終的な解決策を書き留めます。

この系列を収束系列と比較してみましょう。次のような制限的な比較基準を使用します。

共役式による乗算と除算:

ゼロとは異なる有限の数が得られます。これは、研究対象の系列が 収束する隣のと一緒に。

アフリカサファリのオオカミはどこから来たのかと疑問に思った人もいるかもしれません。わかりません。おそらく彼らが持ってきたのだろう。次のトロフィースキンを入手できます。

例 18

級数の収束を調べる

おおよそのサンプルレッスンの最後に解決策を

そして最後に、多くの学生が絶望の中で抱くもう一つの考え。 級数収束にはもっと珍しいテストを使用すべきではないでしょうか?? ラーベのテスト、アーベルのテスト、ガウスのテスト、ディリクレのテスト、その他の未知の動物。このアイデアは機能しますが、実際の例では実装されることはほとんどありません。個人的に、長年の練習の中で私が頼ったのは次のことだけです。 ラーベ徴候、標準的な兵器庫からは何も役に立たなかったとき。私の究極の探求の過程を完全に再現します。

例 19

級数の収束を調べる

解決: 間違いなくダランベールの兆候です。計算中には、次数のプロパティを積極的に使用します。 2番目の素晴らしい制限:

あなたにとってはこれくらいです。ダランベールのサインは答えを与えなかったが、そのような結果を予見するものは何もなかった。

参考書をくまなく調べた後、理論的に証明されているあまり知られていない限界を見つけ、より強力なラジカルコーシーテストを適用しました。

ここに 2 つあります。そして最も重要なことは、系列が収束するのか発散するのかがまったく不明であることです（私にとっては非常にまれな状況です）。比較の必要な兆候? あまり望みはありませんが、たとえ分子と分母の増加の順序が信じられないほどわかったとしても、それはまだ報酬を保証するものではありません。

これは完全なデータメンバーですが、最悪の点は行を解決する必要があることです。する必要があります。結局、諦めるのは初めてだ。そして、他にもいくつかあるらしいことを思い出しました強い兆候。私の目の前には、もうオオカミでもヒョウでもトラでもありませんでした。そうだった巨大な象大きなトランクを振りながら。グレネードランチャーを拾わなければなりませんでした。

ラーベ徴候

正の数列を考えてみましょう。
限界があるなら、それ：
a) 列のとき 発散する。さらに、結果の値はゼロまたは負になる可能性があります
b) 列のとき 収束する。特に、この級数はで収束します。
c) いつ ラーベサインは答えを与えない.

極限を設定し、注意深く慎重に分数を単純化します。

はい、控えめに言っても、この写真は不快ですが、この助けによってそのような限界が破られることにはもう驚きません。 ロピタルのルール、そして、後で判明したように、最初の考えは正しかったことがわかりました。しかし、最初は「いつもの」方法で約 1 時間制限をひねったり回したりしましたが、不確実性は解消されませんでした。そして、経験が示すように、円を描くように歩くことは、間違った解決策が選択されたことを示す典型的な兆候です。

私はロシア人に頼らなければならなかった民間の知恵: 「それでもダメなら、説明書を読んでください。」そしてフィヒテンホルツの第 2 巻を開いたとき、非常にうれしかったことに、同じシリーズの研究を発見しました。そして、解決策は例に従ったものでした。

複数の円弧のコサインとサイン、つまり一連の形式によって

または複雑な形で

どこああ,bkまたは、それに応じて、 CK呼ばれた T.r.係数
初めてT.r. L. オイラー (L. オイラー、1744) に記載されています。彼は腐敗した

中盤。 18世紀弦の自由振動の問題の研究に関連して、弦の初期位置を特徴付ける関数を tr の和の形で表すことができるかどうかという疑問が生じました。この問題は、当時の最高のアナリストである D. ベルヌーイ、J. ダランベール、J. ラグランジュ、L. オイラー (L. オイラー) の間で数十年に及ぶ激しい議論を引き起こしました。論争は機能概念の内容に関するものであった。当時、関数は通常、分析関数に関連付けられていました。これにより、解析関数または区分解析関数のみが考慮されるようになりました。そしてここで、グラフがまったく任意である関数に対して、この関数を表す TR を構築することが必要になりました。しかし、これらの紛争の重要性はさらに大きい。実際、数学の多くの基本的に重要な概念や考え方に関連する疑問がその中で議論されたり、それらに関連して生じたりしました。解析全般 - テイラー級数と解析による関数の表現。関数の継続、発散級数の使用、極限、無限連立方程式、多項式による関数など。
そして将来的には、この初期の時期と同様に、trの理論が確立されます。数学における新しいアイデアの源として役立ちました。フーリエ積分、ほぼ周期関数、一般直交級数、抽象的。 T.r.の研究集合論作成の出発点となりました。 T.r. は、関数を表現し探索するための強力なツールです。
この問題は 18 世紀の数学者の間で論争を引き起こしましたが、1807 年に J. Fourier によって解決され、彼は熱力学の係数を計算するための式を示しました。 (1)、そうすべきです。関数 f(x) を表す：

そしてそれらを熱伝導率の問題の解決に応用しました。式 (2) はフーリエ公式と呼ばれますが、これらは A. Clairaut (1754) によって以前に発見され、L. Euler (1777) は項ごとの積分を使用してこれらの公式に到達しました。 T.r. (1) と呼ばれる、その係数は式 (2) によって決定されます。関数 f のフーリエ級数と数値 a k、b k- フーリエ係数。
得られる結果の性質は、関数の級数表現がどのように理解されるか、式 (2) の積分がどのように理解されるかによって決まります。現代理論 T.r. ルベーグ積分の出現後に得られる。
T.r.の理論 2 つの大きなセクションに分けることができます - 理論 フーリエ級数, 級数 (1) がある関数のフーリエ級数であると仮定する理論と、そのような仮定が行われない一般熱力学の理論です。一般熱力学の理論で得られた主な結果を以下に示します。 (この場合、関数の集合と可測性はルベーグに従って理解されます)。
最初の体系的なこれらの級数がフーリエ級数であるとは想定されていない TR の研究は、W. Riemann の論文 (W. Riemann、1853) でした。したがって、一般的な T. r. の理論は次のとおりです。呼ばれた時には T.r. のリーマン理論
任意の TR のプロパティを研究します。 (1) リーマンは、係数がゼロに近づく傾向があると考え、連続関数 F(x) を考えました。 , これは一様に収束する級数の合計です

シリーズ (1) の 2 つの項ごとの積分後に得られます。系列 (1) がある点 x で数値 s に収束する場合、この点には 2 番目の対称が存在し、s に等しいことになります。 F 関数:

これは、因子によって生成される系列の合計 (1) になります。呼ばれたリーマン和法。関数 F を使用して、リーマン局在原理が定式化されます。これによれば、点 x における系列 (1) の動作は、この点の任意の小さな近傍における関数 F の動作にのみ依存します。
もしT.r. 一連の正の測度に収束すると、その係数はゼロになる傾向があります (カントール-ルベーグ)。 TR の係数ゼロを目指して努力しています。また、2 番目のカテゴリのセットへの収束からも導き出されます (W. Young、W. Young、1909)。
一般的な tr 理論の中心的な問題の 1 つ。 TR の任意の関数を表現する問題です。アーベル・ポワソン法とリーマン法によって要約できる T.R. の関数の表現に関する N.N.ルージン (1915 年) の結果を強化した後、D.E. メンショフは、関数の表現が最も重要な場合に関連する次の定理を証明しました (1940 年)。 f は T.r として理解されます。に f(x)ほぼどこでも。ほぼどこでも測定可能で有限なすべての関数 f について、ほぼどこでもそれに収束する一次方程式が存在します (メンショフの定理)。たとえ f が可積分であっても、一般的に言えば、関数 f のフーリエ級数をそのような級数として取ることは不可能であることに注意してください。なぜなら、どこにでも発散するフーリエ級数が存在するからです。
上記のメンショフの定理により、次のことが明確になります。関数 f が測定可能で、ほぼどこでも有限である場合、次のようなものが存在します。関数 j の項ごとに微分したフーリエ級数は、ほぼどこでも f(x) に収束します (N.K. Bari、1952)。
メンショフの定理において、関数 f がほぼどこでも有限であるという条件を省略できるかどうかは不明です (1984 年)。特に、T. r. かどうかは不明 (1984 年) ほぼどこにでも集まる
したがって、一連の正の尺度で無限の値を取ることができる関数を表現する問題は、より弱い要件 - に置き換えられた場合について検討されました。無限の値を取ることができる関数へのメジャーの収束は次のように定義されます。部分和 T. p。 sn(x) は関数 f(x) にメジャーで収束します . もしどこでふん(x) はほぼどこでも / (x) に収束し、数列は測定単位で 0 に収束します。この定式化では、関数を表現するという問題は完全に解決されます。測定可能な関数ごとに、測定値でそれに収束する TR が存在します (D. E. Menshov、1948)。
TR の一意性の問題、つまり 2 つの異なる TR が同じ機能に分岐できるかどうか、という問題に多くの研究が捧げられてきました。別の定式化: T. r. の場合がゼロに収束すると、その系列のすべての係数がゼロに等しいということになります。ここで、すべての点での収束、または特定のセットの外側のすべての点での収束を意味します。これらの質問に対する答えは基本的にそのセットの特性に依存し、それ以外では収束は想定されません。
以下の用語が確立されています。たくさんの名前 多くの人による独自性またはう- T. r の収束からの場合、設定されます。おそらくセットのポイントを除いて、どこでもゼロになります E、したがって、この系列のすべての係数はゼロに等しいということになります。そうでなければイエナズ。 Mセット。
G. Cantor が示したように (G. Cantor、1872)、あらゆる有限集合は U 集合です。任意のものも U セットです (W. Jung、1909)。一方、ポジティブな測定値のすべてのセットは M セットです。
M セットの測定の存在は、これらの特性を備えた完全なセットの最初の例を構築した D. E. Menshov (1916) によって確立されました。この結果は、一意性の問題において根本的に重要です。メジャーゼロの M セットの存在から、三角級数の関数がほぼどこでも収束するように表現される場合、これらの級数は明らかに一意の方法で決定されることがわかります。
完全集合は U 集合であることもあります (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman、1921)。一意性の問題では、メジャーゼロのセットの非常に微妙な特性が重要な役割を果たします。ゼロメジャーのセットの分類に関する一般的な質問 M-そしてUセットはオープンしたままです(1984年)。完全集合であっても解決されません。
次の問題は一意性の問題に関連しています。もしT.r. 関数に収束するこの場合、この級数は関数 / のフーリエ級数でなければなりません。 P. Du Bois-Reymond (1877) は、f がリーマン可積分であり、級数がすべての点で f(x) に収束する場合、この質問に対して肯定的な答えを出しました。 Ⅲの結果より。 J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin、1912 年) は、可算点の集合を除いてどこでも系列が収束し、その合計が有限である場合でも、答えは肯定的であるとしています。
系列が特定の点 x 0 で絶対収束する場合、この系列の収束点とその絶対収束点は、点 x 0 に対して対称に位置します。（P.ファトゥ、P.ファトゥ、1906年）。
によると デンジョイ - ルージンの定理 TR の絶対収束から。 (1) 一連の正の測度で級数は収束しますその結果、すべての系列 (1) の絶対収束が得られます。 X. 2 番目のカテゴリのセット、およびメジャーゼロの特定のセットにもこの特性があります。
このレビューでは、1 次元 TR のみを取り上げます。 (1)。一般的な T.r. に関連する別の結果があります。いくつかの変数から。ここでも、多くの場合、問題の自然な定式化を見つけることが依然として必要です。

点灯。: Bari N.K.、三角シリーズ、M.、1961; Zygmund A.、三角シリーズ、トランス。英語、第 1-2 巻、M.、1965 年から。 Luzin N.N.、積分および三角関数シリーズ、M.-L.、1951 年。リーマン B.、ソッホ、トランス。ドイツ語、M.-L.、1948、p. より。 225-61。
S.A.テリャコフスキー。

数学百科事典。 - M.: ソビエト百科事典。

I.M.ヴィノグラドフ。 1977 年から 1985 年。科学技術では、周期的な現象を扱わなければならないことがよくあります。一定期間後に再生産されるもの T(、ピリオドと呼ばれます。周期関数 (定数を除く) の中で最も単純なものは、正弦波量です。アシン

+ )、調和振動。ここで、比率によって周期に関連する「周波数」が存在します。このような単純な周期関数から、より複雑な周期関数を構成できます。明らかに、同じ周波数の正弦波量を加算すると同じ周波数の正弦波量が得られるため、成分の正弦波量は異なる周波数でなければなりません。複数のフォームの数量を合計する場合 例として、ここでは 3 つの正弦波量の加算を再現します。この関数のグラフを見てみましょうそれを有限または少なくとも無限の正弦波量のセットの合計として表しますか? 大きなクラスの関数に関しては、この質問に肯定的に答えることができることがわかりますが、これは、そのような項の無限シーケンス全体を対象とする場合に限ります。幾何学的には、これは一連の正弦波を重ね合わせることによって周期関数のグラフが得られることを意味します。各正弦波値を何らかの調和振動運動とみなすと、これは関数または単にその高調波 (1 次、2 次など) によって特徴付けられる複素振動であると言えます。周期関数を高調波に分解するプロセスはと呼ばれます。 高調波解析。

このような拡張は、振動現象によって生成されず、特定の有限区間内でのみ指定される関数の研究に役立つことが多いことに注意することが重要です。

意味。三角級数は次の形式の級数です。

または (1).

実数は三角級数の係数と呼ばれます。このシリーズは次のように書くこともできます。

上で示したタイプの系列が収束すると、その和は周期 2p の周期関数になります。

意味。三角級数のフーリエ係数は次のように呼ばれます。 (2)

(3)

(4)

意味。フーリエ関数が近くにある f(x)は三角級数と呼ばれ、その係数はフーリエ係数です。

関数のフーリエ級数の場合 f(x)すべての連続点でそれに収束するとき、関数は次のように言えます。 f(x)フーリエ級数に展開します。

定理。(ディリクレの定理) 関数の周期が 2p で、ある区間で連続している場合、または有限数の第 1 種不連続点がある場合、区間を有限数のセグメントに分割できるため、各セグメント内で関数は次のようになります。が単調である場合、関数のフーリエ級数はすべての値に対して収束します ×、関数の連続点におけるその合計 S(x)は等しく、不連続点ではその合計は等しい、つまり左右の限界値の算術平均。

この場合、関数のフーリエ級数は f(x)関数の連続区間に属する任意のセグメントに一様に収束します。

この定理の条件を満たす関数は、セグメント上の区分的スムーズと呼ばれます。

フーリエ級数における関数の展開の例を考えてみましょう。

例1。関数をフーリエ級数に拡張する f(x)=1-x、生理がある 2Pそしてセグメントに与えられます。

解決。この関数をプロットしてみましょう

この関数はセグメント上、つまり長さが周期のセグメント上で連続であるため、フーリエ級数に拡張して、このセグメントの各点でそれに収束することができます。式 (2) を使用して、この系列の係数を求めます。

部分積分式を適用して、式 (3) と (4) からそれぞれ求めてみましょう。

係数を式 (1) に代入すると、次のようになります。または。

この等式は、点と (グラフが結合されている点) を除くすべての点で成り立ちます。これらの各点で、系列の合計は、左右の限界値の算術平均に等しくなります。

関数を分解するアルゴリズムを提示しましょうフーリエ級数で。

問題を解決するための一般的な手順は次のとおりです。

多くの場合、形式 (C) の級数の係数を調べることによって、これらの級数が (おそらく個々の点を除いて) 収束し、それらの合計がフーリエ級数であることが確認できます (たとえば、前の例を参照)しかし、これらすべての場合において、当然次のような疑問が生じます。

これらの級数の合計を求める方法、またはより正確には、初等関数を使用して最終的な形式で表現する方法 (この形式で表現される場合)。オイラー (およびラグランジュ) は、複素変数の解析関数を使用して、三角関数級数を最終形式で合計することに成功しました。オイラー法の考え方は以下の通りです。

特定の係数セットについて、系列 (C) が、おそらく個々の点のみを除いて、区間内のあらゆる場所で関数に収束すると仮定します。ここで、複素変数のべき乗に配置された、同じ係数を持つべき級数を考えてみましょう。

単位円の円周上、つまりこの系列では、仮定により、個々の点を除いて収束します。

この場合、べき級数のよく知られた性質によれば、級数 (5) は明らかに単位円内に収束し、そこで複素変数の特定の関数を定義します。私たちが知っていることを使用する [参照] 第 XII 章の 5 章] 複素変数の初等関数の展開では、多くの場合、関数をそれらに還元することができます。

そして、アーベルの定理によれば、級数 (6) が収束するとすぐに、その和が極限として得られます。

通常、この制限は関数を最終形式で計算できる制限に単純に等しくなります。

たとえば、提案されたシリーズを考えてみましょう。

前の段落で証明されたステートメントは、これらの級数の両方が収束するという結論につながります (最初の点 - 点 0 と点を除く)

それらが定義する関数のフーリエ級数として機能します。しかし、これらの関数は何でしょうか? この質問に答えるために、シリーズを作成しましょう

対数級数との類似性に基づいて、その合計は簡単に決定できます。

したがって、

簡単に計算すると次のようになります。

したがって、この式の法は、引数はです。

そしてついに

これらの結果は私たちにとってよく知られたものであり、かつては「複雑な」考察を使用して得られたものでもあります。しかし、最初のケースでは関数とから開始し、2 番目のケースでは分析関数から開始しました。ここでは初めて、系列自体が出発点として機能しました。読者は、この種のさらなる例を次の段落で見つけるでしょう。

級数 (C) の収束について事前に確認する必要があり、極限等式 (7) を使用してそれらの合計を決定する権利を持つ必要があることをもう一度強調します。この等式の右側に極限が存在するだけでは、言及した級数の収束についての結論を導くことはまだできません。これを例で示すために、次のシリーズを考えてみましょう。

ヘルダーの状態。片側有限極限 $f(x_0 \pm 0)$ があり、そのような数値 $\delta > 0$, $ がある場合、関数 $f(x)$ は点 $x_0$ でヘルダー条件を満たすと言えます。 \alpha \in ( 0,1]$ かつ $c_0 > 0$ であり、すべての $t \in (0,\delta)$ に対して次の不等式が満たされます: $|f(x_0+t)-f(x_0 +0)|\leq c_0t^( \alpha )$, $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^(\alpha )$。

ディリクレの公式。変換されたディリクレ公式は、次の形式の公式です。
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ ここで、$D_n(t)=\frac(1)(2)+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac(\sin(n+\frac(1)(2))t) (2\sin\frac(t)(2)) (2)$ — .

式 $(1)$ と $(2)$ を使用して、フーリエ級数の部分和を次の形式で記述します。
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t)+f(x_0-t))(2\sin\ frac(t)(2))\sin \left (n+\frac(1)(2) \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0) — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t) +f(x_0-t))(2\sin\frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t dt = 0 \quad (3)$$

$f \equiv \frac(1)(2)$ の場合、式 $(3)$ は次の形式になります: $$ \lim\limits_(n \to \infty )\frac(1)(\delta)\frac (\ sin(n+\frac(1)(2))t)(2\sin\frac(t)(2))dt=\frac(1)(2), 0

ある点におけるフーリエ級数の収束

定理。$f(x)$ を $[-\pi,\pi]$ 上で絶対積分可能で、点 $x_0$ でヘルダー条件を満たす $2\pi$ 周期関数とする。次に、点 $x_0$ における関数 $f(x)$ のフーリエ級数は、数値 $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) に収束します。$$

$x_0$ の時点で関数 $f(x)$ が連続である場合、この時点での級数の合計は $f(x_0)$ に等しくなります。

証拠

関数 $f(x)$ は点 $x_0$ でヘルダー条件を満たすため、$\alpha > 0$ および $0 について< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

与えられた $\delta > 0$ に対して、等式 $(3)$ と $(4)$ を書きましょう。等式 $(4)$ に $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ を乗算し、その結果を等式 $(3)$ から引くと、$$ \lim\limits_(n \to \infty) が得られます。 (S_n (x_0) — \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) — \\ — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\delta )\ frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\sin \frac(t)(2)) \cdot \\ \ cdot \ sin \left (n + \frac(1)(2) \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$

ヘルダー条件から、関数 $$\Phi(t)= \frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2) が得られます。 \sin \frac(t)(2)).$$ は区間 $$ で絶対に可積分です。実際、ヘルダーの不等式を適用すると、関数 $\Phi(t)$ に対して次の不等式が成り立つことがわかります。 $|\Phi(t)| \leq \frac(2c_0t^(\alpha ))(\frac(2)(\pi)t) = \pic_0t^(\alpha - 1) (6)$、ここで $\alpha \in (0,1) ]$。

不適切な積分に対する比較テストのおかげで、不等式 $(6)$ から、$\Phi(t)$ は $.$ 上で絶対に積分可能であることがわかります。

リーマンの補題 $$\lim\limits_(n \to \infty)\int\limits_(0)^(\delta)\Phi(t)\sin \left (n + \frac(1)(2) \ right )t\cdot dt = 0 .$$

式 $(5)$ から、 $$\lim\limits_(n \to \infty)S_n(x_0) = \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) となります。 $$

[崩壊]

帰結 1.関数 $f(x)$ が $2\pi$ 周期で $[-\pi,\pi]$ 上で絶対可積分で、点 $x_0$ に導関数がある場合、そのフーリエ級数はこの点で次のように収束します。 $f(x_0) $。

帰結 2.関数 $f(x)$ が $2\pi$ 周期で、$[-\pi,\pi]$ 上で絶対積分可能で、点 $x_0$ に両方の片側導関数がある場合、そのフーリエ級数は次の点で収束します。これは $\frac (f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) を指します。$

帰結 3.関数 $f(x)$ が $2\pi$ 周期であり、$[-\pi,\pi]$ 上で絶対積分可能で、点 $-\pi$ と $\pi$ でヘルダー条件を満たす場合、次のようになります。周期性により、点 $-\pi$ と $\pi$ における級数のフーリエの合計は $$\frac(f(\pi-0)+ f(-\pi+0))( 2).$$

ディニサイン

意味。$f(x)$ を $2\pi$ 周期関数とします。次の場合、点 $x_0$ は関数 $f(x)$ の通常の点になります。

1) 有限の左右の制限があります $\lim\limits_(x \to x_0+0 )f(x)= \lim\limits_(x \to x_0-0 )f(x)= f(x_0+0) = f(x_0-0),$

2) $f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$

定理。$f(x)$ を $[-\pi,\pi]$ 上の $2\pi$ 周期絶対可積分関数とし、点 $x_0 \in \mathbb(R)$ を関数の正規点とする$f(x)$ 。関数 $f(x)$ が点 $x_0$ で Dini 条件を満たすとします。不適切な積分 $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f( x_0+0) |)(t)dt, \\ \int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0-t)-f(x_0-0)|)(t)dt,$$

この場合、点 $x_0$ における関数 $f(x)$ のフーリエ級数は和 $f(x_0)$ を持ちます。 $$ \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0)=f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

証拠

フーリエ級数の部分和 $S_n(x)$ には、整数表現 $(1)$ があります。そして、等価性 $\frac(2)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )D_n(t) \, dt=1,$ により
$$ f(x_0)= \frac(1)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$

すると $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0) となります。 ) D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0-t)-f(x_0-0)) D_n (t)\,dt. \クアッド(7)$$

$n \to \infty $ が $0$ に等しい場合、式 $(7)$ の両方の積分に限界があることが証明されれば、定理は明らかに証明されます。最初の積分 $$I_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt を考えてみましょう。 $$

$x_0$ 点で、Dini 条件が満たされます。不適切な積分 $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)(t) \, dt は収束します。$$

したがって、 $\varepsilon > 0$ に対して、 $$\int\limits_(0)^(\delta )\frac(\left | f(x_0+) のような $\delta \in (0, h)$ が存在します。 t) -f(x_0+0) \right |)(t)dt

$\varepsilon > 0$ および $\delta > 0$ の場合、積分 $I_n(x_0)$ は $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$ として表されます。
$$A_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\delta )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\ int\limits_(\delta)^(\pi )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$

まず $A_n(x_0)$ について考えてみましょう。 $\left | を使用する D_n(t)\右 |

すべての $t \in (0, \delta)$ に対して。

したがって $$A_n(x_0) \leq \frac(\pi)(2) \int\limits_(0)^(\delta ) \frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)( t)dt

$n \to \infty $ の積分 $B_n(x_0)$ の推定に移りましょう。これを行うには、関数 $$ \Phi (t)=\left\(\begin(matrix) を導入します。
\frac(f(x_0+t)-f(x_0+0))(2\sin \frac(t)(2)), 0

$$B_n(x_0)=\int\limits_(-\pi)^(\pi)\Phi (t) \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t\,dt.$$ $\lim\limits_(n \to \infty )B_n(x_0)=0$ が得られます。これは、以前に選択された任意の $\varepsilon > 0$ に対して、すべての $n> N となるような $N$ が存在することを意味します。 $ 不等式 $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|

完全に同様の方法で、式 $(7)$ の 2 番目の積分が $n \to \infty $ としてゼロに等しい極限を持つことが証明されます。

[崩壊]

結果$2\pi$ 周期関数 $f(x)$ が $[-\pi,\pi]$ 上で区分微分可能である場合、そのフーリエ級数は任意の点 $x \in [-\pi,\pi]$ で収束します。 $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$ という数値に変換します。

区間 $[-\pi,\pi]$ で、関数 $f(x)=\left\(\begin(matrix) の三角フーリエ級数を求めます。
1、x \in (0,\pi)、\\ -1、x \in (-\pi,0)、
\\ 0、x=0。
\end(行列)\right.$

結果として得られる系列の収束を調査します。

$f(x)$ を実軸全体にわたって周期的に続けると、関数 $\widetilde(f)(x)$ が得られ、そのグラフが図に示されています。

関数 $f(x)$ は奇数なので、 $$a_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\cos kx dx =0 ; $$

$$b_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac(2)(\ pi)\int\limits_(0)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac(2)(\pi k)(1- \cos k\pi) $$

$$b_(2n)=0, b_(2n+1) = \frac(4)(\pi(2n+1)).$$

したがって、 $\tilde(f)(x)\sim \frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^(\infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1 ).$

$(f)"(x)$ は $x\neq k \pi$ に対して存在するため、 $\tilde(f)(x)=\frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^ ( \infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1)$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb(Z).$

点 $x=k \pi$, $k \in \mathbb(Z)$ では、関数 $\widetilde(f)(x)$ は未定義であり、フーリエ級数の合計は 0 です。

$x=\frac(\pi)(2)$ と設定すると、等式 $1 - \frac(1)(3) + \frac(1)(5)- \ldots + \frac((-1)^ が得られます。 n) (2n+1)+ \ldots = \frac(\pi)(4)$。

[崩壊]

$[-\pi,\pi]$ 上の次の $2\pi$ 周期絶対可積分関数のフーリエ級数を求めます。
$f(x)=-\ln |
\sin \frac(x)(2)|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb(Z)$ を計算し、結果の級数の収束を調べます。

$(f)"(x)$ は $ x \neq 2k \pi$ に対して存在するため、関数 $f(x)$ のフーリエ級数はすべての点 $ x \neq 2k \pi$ で次の値に収束します。明らかに、 $f(x)$ は偶関数であるため、そのフーリエ級数展開には余弦が含まれている必要があります。 $a_0$ を求めます。 $$\pi a_0 = -2 \int\limits_( となります。 0)^(\pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2)\ln \sin \frac(x)(2) dx \,- \, 2\int\limits_(\frac(\pi)(2))^(\pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx =$$ $$= -2 \int \limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x)(2)dx \, — \, 2\int\limits_ (0)^(\frac(\pi )(2))\ln\cos \frac(x)(2)dx=$$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi )(2))\ln (\frac (1)(2)\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_(0)^(\frac( \pi)(2))\ln \ sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_(0)^(\pi)\ln \sin \frac(t) (2)dt = \pi\ln 2 + \frac(\pi a_0)(2),$$ ここで、$a_0= \pi \ln 2$ となります。

$n \neq 0$ に対する $a_n$ を見つけてみましょう。 $$\pi a_n = -2 \int\limits_(0)^(\pi)\cos nx \ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$ = \int\limits_(0 ) ^(\pi) \frac(\sin(n+\frac(1)(2))x+\sin (n-\frac(1)(2))x)(2n \sin\frac(x)(2) ) )dx=$$ $$= \frac(1)(2n) \int\limits_(-\pi)^(\pi) \begin(bmatrix)
D_n(x)+D_(n-1)(x)\\ \end(bmatrix)dx.$$

ここで、$D_n(x)$ は式 (2) で定義されたディリクレカーネルであり、$\pi a_n = \frac(\pi)(n)$ が得られるため、$a_n = \frac(1)(n ）$。つまり $$-\ln |
\sin \frac(x)(2)| = \ln 2 + \sum_(n=1)^(\infty ) \frac(\cos nx)(n), x \neq 2k\pi, k \in \mathbb(Z).$$

[崩壊]

文学

Lysenko Z.M.、数学的分析に関する講義ノート、2015-2016 年。
テル・クリコロフ A.M. としゃぶにん M.I. 数学的分析のコース、pp. 581-587
Demidovich B.P.、数学的分析におけるタスクと演習のコレクション、第 13 版、改訂版、CheRo Publishing House、1997 年、259-267 ページ

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関数 $f(x)$ が $2\pi$ 周期的で $[−\pi,\pi]$ 上で絶対積分可能で、点 $x_0$ に導関数がある場合、そのフーリエ級数はこの点で何に収束しますかポイント？
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Dini 検定のすべての条件が満たされる場合、関数 $f$ のフーリエ級数は点 $x_0$ で何に収束しますか?