回転体の表面積を求めます。 積分を使用して回転面の面積を求める方法

曲線がパラメトリック方程式で与えられる場合、この曲線を軸を中心に回転させることによって得られる表面積は、次の式で計算されます。 。 この場合、記事内で非常に多くのコピーが破られた線の「描画方向」は無関係です。 ただし、前の段落と同様に、曲線が次の位置にあることが重要です。 より高い横軸 - そうしないと、「ゲームを担当する」関数が負の値を取るため、積分の前に「マイナス」記号を付ける必要があります。

例 3

円を軸の周りに回転させて得られる球の面積を計算します。

解決：記事より パラメトリックに定義されたラインの面積と体積についてこの方程式は、半径 3 の原点を中心とする円を定義していることがわかります。

良い 球 忘れてしまった人のために、これが表面です。 ボール（または 球面).

私たちは確立されたソリューションスキームを遵守します。 導関数を見つけてみましょう:

「式」のルートを作成して単純化してみましょう。

言うまでもなく、それはキャンディーでした。 フィヒテンホルツがどのようにエリアと頭を突き合わせたかを比較してください。 回転楕円体.

理論的考察に従って、上半円を考えます。 パラメーター値が制限内で変化すると「描画」されます (簡単にわかるように、 この間隔で)、次のようになります。

答え:

で問題を解決すれば、 全体像、すると、球の面積の学校公式が正確に得られます。その半径はどこにありますか。

とても単純な作業だったので、恥ずかしさすら感じました…。 このバグを修正することをお勧めします =)

例 4

サイクロイドの最初の円弧を軸を中心に回転させることによって得られる表面積を計算します。

仕事は創造的なものです。 縦軸を中心に曲線を回転させることによって得られる表面積を計算する式を導き出すか、直感的に推測してみてください。 そしてもちろん、パラメトリック方程式の利点に再度注目してください。パラメトリック方程式はいかなる方法でも変更する必要がありません。 他の統合制限をわざわざ見つける必要はありません。

サイクロイドグラフはページ上でご覧いただけます 面積と体積(線分がパラメトリックに指定されている場合)。 回転面は、何と比較すればよいのかさえわかりませんが、何か不気味なものに似ています。丸い形で、中央に尖ったくぼみがあります。 軸を中心としたサイクロイドの回転の場合、長方形のラグビー ボールがすぐに頭に浮かびました。

解答と答えはレッスンの最後にあります。

この興味深いレビューをこの事件で締めくくります 極座標。 はい、ちょっと復習です。数学的解析の教科書 (Fichtenholtz、Bokhan、Piskunov、その他の著者) を見ると、十数 (またはそれ以上) の標準的な例が得られ、その中から必要な問題が見つかるかもしれません。 。

回転表面積の計算方法は、
線が極座標系で与えられている場合?

曲線が次のように与えられる場合 極座標方程式があり、関数が指定された区間で連続導関数を持っている場合、この曲線を極軸の周りに回転させることによって得られる表面積は、次の式で計算されます。 , ここで、 は曲線の端に対応する角度の値です。

問題の幾何学的意味に従って、被積分関数 、そしてこれは条件下でのみ達成されます（そして明らかに負ではありません）。 したがって、範囲から角度の値を考慮する必要があります。言い換えれば、曲線は次のように配置される必要があります。 より高い極軸とその継続。 ご覧のとおり、前の 2 つの段落と同じ話です。

例5

カーディオイドを極軸の周りに回転させることによって形成される表面積を計算します。

解決: この曲線のグラフは、レッスンの例 6 で見ることができます。 極座標系。 カーディオイドは極軸に関して対称であるため、音程の上半分を考慮します (実際、これは上記の指摘によるものです)。

回転面は目玉のようになります。

解決手法は標準的です。 「ファイ」に関する導関数を求めてみましょう。

ルートを作成して単純化してみましょう。

定期的に希望します 三角関数の公式誰も何も困っていませんでした。

次の式を使用します。

その間 したがって、次のようになります。 （根っこの正しい取り方についてはこちらの記事で詳しくお話しました） 曲線の円弧の長さ).

答え:

自分で解決できる興味深い短いタスク:

例6

球状ベルトの面積を計算し、

ボールベルトとは何ですか？ 皮をむいていない丸いオレンジをテーブルの上に置き、ナイフを手に取ります。 2つ作る 平行カットして、果物を任意の大きさの 3 つの部分に分割します。 次に、両側にジューシーな果肉が露出している中心部を取り出します。 この身体はと呼ばれます 球状層、およびそれを境界付ける表面 (オレンジの皮) – ボールベルト.

おなじみの読者は、 極座標、問題の図を簡単に示しました。方程式は、半径 の極を中心とする円を指定します。 光線 切り落とす 少ないアーク。 この円弧は極軸の周りを回転するため、球状のベルトが形成されます。

これで、明確な良心と軽い気持ちでオレンジを食べることができます。このおいしいメモでレッスンを終了します。他の例で食欲を台無しにしないでください =)

解決策と答え:

例 2:解決 : 上の枝の回転によって形成される表面積を計算します。 横軸の周り。 私たちは公式を使います .
この場合： ;

したがって：


答え:

例 4:解決 : 式を使用します 。 サイクロイドの最初の円弧はセグメント上に定義されます .
導関数を見つけてみましょう。

ルートを作成して単純化してみましょう。

したがって、回転表面積は次のようになります。

その間 、 それが理由です

最初の積分部分ごとに統合する :

2 番目の積分では、次の値を使用します。三角関数の公式 .


答え:

例 6:解決 : 次の式を使用します:


答え:

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定積分の計算方法
台形公式とシンプソン法を使用しますか?

数値的手法は高等数学のかなり大きな部分を占めており、このトピックに関する本格的な教科書には何百ページも含まれています。 実際には、 テスト従来、いくつかの問題は数値的手法を使用して解決することが提案されており、一般的な問題の 1 つは近似計算です。 定積分。 この記事では、定積分の近似計算のための 2 つの方法を見ていきます。 台形法そして シンプソン法.

これらの方法をマスターするには何を知っておく必要がありますか? おかしな話に聞こえるかもしれませんが、積分がまったくできないかもしれません。 そして積分が何なのかさえ理解していません。 から 技術的手段マイクロ電卓が必要になります。 はい、はい、学校での日常的な計算が私たちを待っています。 さらにいいのは、私のものをダウンロードしてください 台形法およびシンプソン法用の半自動計算機。 この計算機は Excel で書かれており、問題を解決して完了するのに必要な時間を数十分の 1 に短縮します。 Excelの初心者向けに、ビデオマニュアルが付属しています。 ちなみに、初めての私の声での動画撮影です。

まず、そもそもなぜ近似計算が必要なのかを考えてみましょう。 関数の逆導関数を求め、ニュートン・ライプニッツの公式を使用して、定積分の正確な値を計算できるようです。 質問に答えるために、すぐに画像付きのデモ例を見てみましょう。

定積分の計算

すべて問題ありませんが、この例では積分は取得されていません。目の前にあるのは、取得されていない積分、いわゆる 整数対数。 この積分は存在するのでしょうか？ 被積分関数のグラフを図に描いてみましょう。

すべて問題ありません。 被積分関数 継続的なセグメント上の定積分は数値的に影付きの領域に等しくなります。 落とし穴が 1 つだけあります。それは、積分を計算できないことです。 このような場合には、数値的手法が役に立ちます。 この場合、問題は次の 2 つの定式化で発生します。

1) 定積分を近似的に計算する 、結果を特定の小数点以下の桁に四捨五入します。 たとえば、小数点以下 2 桁まで、小数点以下 3 桁までなどです。 おおよその答えが 5.347 であると仮定しましょう。 実際、これは完全に正しいわけではない可能性があります (実際には、より正確な答えは 5.343 です)。 私たちの任務は それだけ結果を小数点第 3 位に四捨五入します。

2) 定積分を近似的に計算し、 ある程度の精度で。 たとえば、近似的に 0.001 の精度で定積分を計算します。 それはどういう意味ですか？ これは、おおよその答えが 5.347 である場合、 全て数字は鉄筋コンクリートでなければなりません 正しい。 より正確には、答え 5.347 は、絶対値 (一方向または別の方向) において真実と 0.001 以内の差がなければなりません。

問題で発生する定積分の近似計算には、いくつかの基本的な方法があります。

長方形法。 統合セグメントはいくつかの部分に分割され、ステップ図が構築されます ( ヒストグラム)、これは目的のエリアに近いエリアです。

図面だけで厳密に判断しないでください。精度は理想的ではありません。図面は方法の本質を理解するのに役立つだけです。

この例では、統合セグメントは 3 つのセグメントに分割されています。
。 明らかに、分割の頻度が高いほど (中間セグメントがより小さいほど)、精度は高くなります。 長方形法は面積の大まかな近似値を与えるため、実際にはこの方法がほとんど見られないのは明らかです (実際の例は 1 つだけ覚えています)。 この点に関しては、長方形法については考慮しませんし、簡単な公式も示しません。 私が怠け者だからではなく、私のワークブックの原則によるものです。つまり、実践的な問題で非常にまれなことは考慮されません。

台形法。 考え方も似ています。 積分セグメントはいくつかの中間セグメントに分割され、被積分関数のグラフは近似します。 破線ライン：

したがって、面積 (青の陰影) は、台形 (赤) の面積の合計で近似されます。 したがって、メソッドの名前が付けられました。 台形法は、(同じ数のパーティション セグメントを使用した) 長方形法よりもはるかに優れた近似を与えることが簡単にわかります。 そして当然のことながら、より小さな中間セグメントを考慮するほど、精度は高くなります。 台形法は実際のタスクで時々使用されます。この記事ではいくつかの例について説明します。

シンプソン法（パラボラ法）。 これはより高度な方法です。被積分関数のグラフは破線ではなく、小さな放物線で近似されます。 中間セグメントの数と同じ数の小さな放物線があります。 同じ 3 つのセグメントを取得した場合、シンプソン法は長方形法や台形法よりもさらに正確な近似を与えます。

視覚的な近似が関数のグラフ (前の段落の破線 - しかもほぼ一致していました) に重ねられるため、図面を作成することに意味がありません。

シンプソンの公式を使用して定積分を計算する問題は、実際に最も人気のあるタスクです。 そして、放物線法はかなり注目されるでしょう。

例：半径のある球の体積を求める R.

ボールの断面では、可変半径 y の円が得られます。 現在の x 座標に応じて、この半径は次の式で表されます。

この場合、断面積関数は次の形式になります。 Q(x) = .

ボールの体積を取得します。

例：高さ H と底面積を持つ任意のピラミッドの体積を求めます。 S.

ピラミッドが高さに垂直な平面で交差すると、断面では底面と同様の図形が得られます。 これらの数値の類似係数は、次の比に等しくなります。 x/H ここで、x は断面平面からピラミッドの頂点までの距離です。

幾何学から、相似図形の面積比は相似係数の二乗に等しいことが知られています。

ここから断面積の関数を取得します。

ピラミッドの体積を求める：

回転体の体積。

次の方程式で与えられる曲線を考えてみましょう。 y = f(x ）。 関数があると仮定しましょう f(x ) は間隔 [ a、b ]。 底面 a と対応する曲線台形の場合、 b Ox 軸の周りを回転すると、いわゆる 革命体.

y = f(x)

回転体の表面積。

M i B

意味： 回転表面積与えられた軸の周りの曲線 AB は、これらの破線のリンクの長さの最大値がゼロになる傾向があるときに、曲線 AB に内接する破線の回転表面の面積が傾向を示す限界です。

弧ABを次のように分割しましょう点 M 0、M 1、M 2、…、M n による n 個の部分 。 結果として得られるポリラインの頂点の座標は次のとおりです。 x i と y i 。 破線を軸を中心に回転させると、円錐台の側面で構成される表面が得られます。その面積は次のとおりです。 D P i 。 この面積は次の公式を使用して求めることができます。:

回転面の面積の公式に進む前に、回転面自体の簡単な定式化を説明します。 回転面、または同じものですが、回転体の表面は、セグメントの回転によって形成される空間図形です AB軸の周りに曲線を描く 牛(下の写真)。

曲線の前述のセグメントによって上から境界が定められた湾曲した台形を想像してみましょう。 この台形を同じ軸を中心に回転させた物体 牛、そして革命の体です。 そして、回転面または回転体の表面の面積は、直線の軸の周りの回転によって形成される円を数えずに、その外殻です × = あるそして × = b .

回転体とそれに応じてその表面は、軸の周りではなく図形を回転させることによっても形成できることに注意してください。 牛、そして軸の周りに オイ.

直交座標で指定した回転面の面積を計算する

平面上の直交座標を式に入れます。 y = f(×) 曲線が指定され、座標軸の周りの回転が回転体を形成します。

回転表面積の計算式は次のとおりです。

(1).

例1.軸の周りの回転によって形成される放物面の表面積を求めます 牛変化に対応する放物線の弧 ×から ×= 0 ～ × = ある .

解決。 放物線の円弧を定義する関数を明示的に表現してみましょう。

この関数の導関数を求めてみましょう。

回転面の面積を求める公式を使用する前に、根を表す被積分関数の部分を書き、そこで見つけた導関数を置き換えましょう。

答え: 曲線の円弧の長さは

.

例2。軸の周りの回転によって形成される表面積を求めます 牛アロイド。

解決。 第 1 四半期に位置するアステロイドの 1 つの枝の回転から生じる表面積を計算し、それに 2 を乗算するだけで十分です。アステロイド方程式から、次の式に代入する必要がある関数を明示的に表現します。回転表面積を求める公式：

.

0から統合していきます ある:

パラメトリックに指定された回転面の面積の計算

回転面を形成する曲線がパラメトリック方程式で与えられる場合を考えてみましょう。

次に、回転表面積は次の式で計算されます。

(2).

例 3.軸の周りの回転によって形成される回転面の面積を求めます オイサイクロイドと直線で囲まれた図形 y = ある。 サイクロイドはパラメトリック方程式で与えられます

解決。 サイクロイドと直線の交点を求めてみましょう。 サイクロイド方程式を等式化する そして直線の方程式 y = ある、探してみましょう

このことから、積分の境界は以下に対応することがわかります。

ここで、式 (2) を適用します。 導関数を見つけてみましょう:

見つかった導関数を代入して、式に根数式を書きましょう。

この式の根を見つけてみましょう。

.

調べた内容を式 (2) に代入してみましょう。

.

置き換えてみましょう:

そして最後に私たちは見つけます

三角関数の公式を使用して式を変換しました

答え: 回転表面積は です。

極座標で指定された回転面の面積を計算する

回転によって面を形成する曲線を極座標で指定します。

アルジェモナ大学の親愛なる学生の皆さん、こんにちは！

今日はオブジェクトを実体化する方法を学び続けます。 前回は平面図形を回転させて体積を取得しました。 それらの中には、非常に魅力的で便利なものもあります。 マジシャンが発明したものの多くは将来的に活用できると思います。

今日は曲線を回転させます。 この方法で、非常に薄いエッジを持つオブジェクト (ポーション用の円錐形やボトル、花瓶、飲み物用のグラスなど) を取得できることは明らかです。回転カーブはまさにこの種のオブジェクトを作成できるためです。 言い換えれば、曲線を回転させることで、すべての面が閉じているかどうかに関係なく、ある種のサーフェスを取得できます。 なぜ今、サーフ・ロンリー＝ロクリー卿がいつも飲んでいた漏れそうなカップのことを思い出したのだろう。

そこで、穴のあるボウルと穴のないボウルを作成し、作成された表面の面積を計算します。 それ（一般に表面積）は何かに必要になると思います - まあ、少なくとも特別な魔法のペイントを塗るためには。 一方、魔法のアーティファクトの領域では、それらに適用される魔法の力、またはその他のものを計算する必要がある場合があります。 私たちはそれを見つける方法を学び、それをどこに適用するかを見つけます。

したがって、放物線の一部からボウルの形が得られます。 この区間で最も単純な y=x 2 を考えてみましょう。 OY 軸を中心に回転させると、ただのボウルが得られることがわかります。 底なし。

回転表面積を計算するための呪文は次のとおりです。

ここで|y| - これは、回転軸から回転する曲線上の任意の点までの距離です。 ご存知のとおり、距離は垂線です。
呪文の 2 番目の要素は少し難しくなります。ds はアーク ディファレンシャルです。 これらの言葉からは何もわかりませんので、気にしないようにしましょう。しかし、数式の言語に移りましょう。この差分は、私たちが知っているすべての場合について明確に示されています。
- デカルト座標系。
- パラメトリック形式で曲線を記録する。
- 極座標系。

この場合、回転軸から曲線上の任意の点までの距離は x です。 結果として得られる穴の開いたボウルの表面積を計算します。

底のあるボウルを作るには、曲線が異なる別のピースを用意する必要があります。区間上のこれは線 y=1 です。

OY 軸を中心に回転すると、ボウルの底が単位半径の円の形になることがわかります。 そして、円の面積がどのように計算されるかはわかりました（式 pi*r^2 を使用します。この場合、円の面積は pi に等しくなります）が、新しい式を使用して計算してみましょう -確認するために。
回転軸から曲線のこの部分の任意の点までの距離も x に等しくなります。

そうですね、私たちの計算は正しいので、良いニュースです。

そして今 宿題.

1. 破線 ABC (A=(1; 5)、B=(1; 2)、C=(6; 2)) を OX 軸の周りに回転して得られる表面積を求めます。
アドバイス。 すべてのセグメントをパラメトリック形式で書き留めます。
AB: x=1、y=t、2≦t≦5
BC: x=t、y=2、1≤t≤6
さて、出来上がったアイテムはどんな感じになるのでしょうか？

2. さあ、自分で何か考えてみましょう。 3品あれば十分だと思います。

5. 回転体の表面積を求める

曲線 AB を関数 y = f(x) ≥ 0 のグラフとします。ここで、x [a; b]、関数 y = f(x) とその導関数 y" = f"(x) はこのセグメント上で連続です。

曲線 AB を Ox 軸を中心に回転させて形成される表面の面積 S を求めてみましょう (図 8)。

スキーム II (差分法) を適用してみましょう。

任意の点 x [a; b] Ox 軸に垂直な平面 P を描きます。 平面 П は、半径 y – f(x) の円の回転面と交差します。 平面の左側にある回転図形の部分の表面のサイズ S は、x の関数です。 s = s(x) (s(a) = 0 および s(b) = S)。

引数 x に増分 Δx = dx を与えましょう。 点 x + dx [a; b] Ox 軸に垂直な平面も描きます。 関数 s = s(x) は、図では「ベルト」として示されている Δs の増分を受け取ります。

切片間に形成される図形を、母線が dl、底面の半径が y および y + dу に等しい円錐台に置き換えて、微分面積 ds を求めます。 その側面の面積は、= 2ydl + dydl に等しくなります。

積 dу d1 を ds より高次の無限小として拒否すると、d1 = dx なので、ds = 2уdl が得られます。

x = a から x = b までの範囲で得られた等式を積分すると、次のようになります。

曲線 AB がパラメトリック方程式 x = x(t)、y = y(t)、t≤ t ≤ t で与えられる場合、回転表面積の式は次の形式になります。

S=2 デット。

例: 半径 R のボールの表面積を求めます。

S=2 =

6. 変化する力の仕事を求める

可変力仕事

させて 質点 M は、この軸に平行な方向の可変力 F = F(x) の作用を受けて、Ox 軸に沿って移動します。 点 M を位置 x = a から位置 x = b に移動するときに力によって行われる仕事 (a

100Nの力でばねが0.01m伸びる場合、ばねを0.05m伸ばすにはどのくらいの仕事をしなければなりませんか?

フックの法則によれば、ばねを伸ばす弾性力はこの伸び x に比例します。 F = kх、ここで、kは比例係数です。 問題の条件によると、力 F = 100 N によりバネは x = 0.01 m 伸びます。 したがって、100 = k 0.01、つまり k = 10000 となります。 したがって、F = 10000x となります。

計算式に基づく必要なジョブ

A=

高さ N m、底面半径 R m の垂直円筒形タンクから端を越えて液体を汲み出すのに費やさなければならない仕事を求めます (図 13)。

重量 p の物体を高さ h まで持ち上げるのに費やされる仕事は、p N に等しい。しかし、タンク内の液体の層は異なる深さにあり、液体の上昇の高さ (タンクの端まで) も異なります。レイヤーは同じではありません。

この問題を解決するために、スキーム II (差分法) を適用します。 座標系を導入しましょう。

1) 厚さ x (0 ≤ x ≤ H) の液体の層をリザーバーから汲み出すのに費やされる仕事は、x の関数です。 A = A(x)、ただし (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0、A(H) = A 0)。

2) x が Δx = dx だけ変化するときの増分 ΔA の主要部分を求めます。つまり、 関数 A(x) の微分 dA を求めます。

dx が小さいため、液体の「基本」層が同じ深さ x (貯留層の端から) に位置すると仮定します。 次に、dA = dрх、ここで、dр はこの層の重みです。 それは g − V に等しくなります。ここで、g は重力加速度、 は液体の密度、dv は液体の「基本」層 (図では強調表示されています) の体積です。 dр = g。 示された液体層の体積は明らかに に等しくなります。ここで、dx は円柱（層）の高さ、はその底面の面積、つまり です。 dv = 。

したがって、 dр = です。 そして

3) x = 0 から x = H までの範囲で得られた等式を積分すると、次のことがわかります。

あ

8. MathCAD パッケージを使用した積分の計算

一部の応用問題を解く場合には、記号積分の演算を使用する必要があります。 この場合、MathCad プログラムは、初期段階 (答えを事前に知っているか、答えが存在することを知っていることが良い) と最終段階 (別のソースからの答えを使用して結果を確認するのが良い) の両方で役立ちます。他の人の解決策）。

多数の問題を解決すると、MathCad プログラムを使用して問題を解決する際のいくつかの特徴に気づくことができます。 いくつかの例でこのプログラムがどのように機能するかを理解し、その助けを借りて得られた解決策を分析し、これらの解決策を他の方法で得られた解決策と比較してみましょう。

MathCad プログラムを使用する際の主な問題は次のとおりです。

a) プログラムは、よく知られた初等関数の形ではなく、誰もが知らない特別な関数の形で答えを与えます。

b) 場合によっては、問題には解決策があるにもかかわらず、答えを「拒否」する。

c) 煩雑なため、得られた結果を使用できない場合があります。

d) 問題を完全に解決せず、解決策を分析しません。

これらの問題を解決するには、プログラムの長所と短所を活用する必要があります。

これを利用すると、分数有理関数の積分を簡単かつ簡単に計算できます。 したがって、変数置換方法を使用することをお勧めします。 解の積分を事前に準備します。 これらの目的のために、上で説明した置換を使用できます。 また、得られた結果は、元の関数の定義領域と得られた結果の一致を検査する必要があることにも留意する必要があります。 さらに、得られた解決策の中には追加の調査が必要なものもあります。

MathCad プログラムは学生や研究者を日常的な作業から解放しますが、問題を設定するときと結果を得るときの両方で追加の分析から解放することはできません。

この論文では、数学コースにおける定積分の応用の研究に関連する主な規定について検討しました。

– 積分を解くための理論的基礎の分析が実行されました。

– 資料は体系化され、一般化されました。

コースの課題を完了する過程で、物理学、幾何学、力学の分野における実践的な問題の例が検討されました。

結論

上で説明した実際的な問題の例は、解決可能性に対する定積分の重要性を明確に示しています。

一般に積分微積分の方法、特に定積分の性質が使用されない科学分野を挙げるのは困難です。 そこで、コースワークを完了する過程で、物理学、幾何学、力学、生物学、経済学の分野における実践的な問題の例を検討しました。 もちろん、これは、特定の問題を解決し理論的事実を確立する際に、積分法を使用して確立された値を検索する科学の完全なリストではありません。

定積分は数学そのものの勉強にも使われます。 たとえば、微分方程式を解く場合、これは実際の問題の解決にかけがえのない貢献をします。 定積分は数学を学ぶ上での確かな基礎であると言えます。 したがって、それらを解決する方法を知ることが重要です。

上記のすべてから、なぜ定積分を知ることが中等教育の枠組みの中で行われるのかは明らかです。中等教育では、学生は積分の概念とその性質だけでなく、その応用の一部も学びます。

文学

1.ヴォルコフE.A. 数値的手法。 M.、ナウカ、1988 年。

2.ピスクノフN.S. 微分積分。 M.、Integral-Press、2004.T. 1.

3. シパチェフ vs. 高等数学。 M.、高等学校、1990 年。