Potencial ustvarjalnosti običajno pripisujemo humanistiki, zapustimo naravoslovne analize, praktični pristop in suhoparni jezik formul in številk. Matematike ne moremo uvrščati med humanistične predmete. Toda brez ustvarjalnosti v "kraljici vseh znanosti" ne boste prišli daleč - ljudje to vedo že dolgo. Od Pitagorovih časov npr.

Šolski učbeniki na žalost običajno ne pojasnjujejo, da pri matematiki ni pomembno le strpati izreke, aksiome in formule. Pomembno je razumeti in čutiti njena temeljna načela. In hkrati poskusite osvoboditi svoj um klišejev in elementarnih resnic – samo v takšnih razmerah se rodijo vsa velika odkritja.

Takšna odkritja vključujejo tisto, ki ga danes poznamo kot Pitagorov izrek. Z njeno pomočjo bomo poskušali pokazati, da matematika ne le zmore, ampak mora biti zabavna. In da ta dogodivščina ni primerna samo za piflarje z debelimi očali, ampak za vse, ki so močni v umu in močni v duhu.

Iz zgodovine vprašanja

Strogo gledano, čeprav se izrek imenuje "Pitagorov izrek", ga Pitagora sam ni odkril. Pravokotni trikotnik in njegove posebne lastnosti so preučevali že dolgo pred njim. O tem vprašanju obstajata dve polarni stališči. Po eni različici je Pitagora prvi našel popoln dokaz teorema. Po drugem mnenju dokaz ne pripada avtorstvu Pitagore.

Danes ne moreš več preverjati, kdo ima prav in kdo ne. Znano je le, da se Pitagorov dokaz, če je sploh obstajal, ni ohranil. Obstajajo pa domneve, da bi lahko slavni dokaz iz Evklidovih Elementov pripadal Pitagori, Evklid pa ga je le posnel.

Danes je tudi znano, da probleme o pravokotnem trikotniku najdemo v egipčanskih virih iz časa faraona Amenemheta I., na babilonskih glinenih ploščah iz obdobja vladavine kralja Hamurabija, v staroindijski razpravi Sulva sutra in starokitajskem delu Zhou -bi suan jin.

Kot lahko vidite, je Pitagorov izrek okupiral misli matematikov že od antičnih časov. Približno 367 različnih dokazov, ki obstajajo danes, služi kot potrditev. Noben drug izrek se mu v tem pogledu ne more kosati. Pomembna avtorja dokazov sta Leonardo da Vinci in 20. predsednik Združenih držav Amerike James Garfield. Vse to govori o izjemnem pomenu tega izreka za matematiko: večina geometrijskih izrekov izhaja iz njega ali pa je tako ali drugače z njim povezana.

Dokazi Pitagorovega izreka

Šolski učbeniki večinoma podajajo algebraične dokaze. Toda bistvo izreka je v geometriji, zato najprej razmislimo o tistih dokazih slavnega izreka, ki temeljijo na tej znanosti.

Dokaz 1

Za najpreprostejši dokaz Pitagorejskega izreka za pravokotni trikotnik morate postaviti idealne pogoje: naj bo trikotnik ne samo pravokoten, ampak tudi enakokrak. Obstaja razlog za domnevo, da so starodavni matematiki prvotno obravnavali takšen trikotnik.

Izjava "kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na njegovih katetah" lahko ponazorimo z naslednjo risbo:

Poglejte enakokraki pravokotni trikotnik ABC: Na hipotenuzi AC lahko sestavite kvadrat, sestavljen iz štirih trikotnikov, ki so enaki prvotnemu ABC. In na nogah AB in BC, zgrajenih na kvadratu, od katerih vsaka vsebuje dva podobna trikotnika.

Mimogrede, ta risba je bila osnova številnih anekdot in risank, posvečenih Pitagorejskemu izreku. Morda najbolj znan je "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh":

Dokaz 2

Ta metoda združuje algebro in geometrijo in jo lahko razumemo kot različico starodavnega indijskega dokaza matematika Bhaskarija.

Sestavite pravokotni trikotnik s stranicami a, b in c(slika 1). Nato zgradite dva kvadrata s stranicami, enakimi vsoti dolžin obeh krakov - (a+b). V vsakem od kvadratov naredite konstrukcije, kot na slikah 2 in 3.

V prvem kvadratu zgradite štiri enake trikotnike kot na sliki 1. Kot rezultat dobimo dva kvadrata: enega s stranico a, drugega s stranico b.

V drugem kvadratu štirje podobni trikotniki, zgrajeni, tvorijo kvadrat s stranico, ki je enaka hipotenuzi c.

Vsota ploščin sestavljenih kvadratov na sliki 2 je enaka ploščini kvadrata, ki smo ga sestavili s stranico c na sliki 3. To lahko enostavno preverimo z izračunom površin kvadratov na sl. 2 po formuli. In ploščino včrtanega kvadrata na sliki 3. tako, da od ploščine velikega kvadrata s stranico odštejemo ploščine štirih enakih pravokotnih trikotnikov, včrtanih v kvadrat. (a+b).

Če vse to zapišemo, imamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Razširite oklepaje, naredite vse potrebne algebraične izračune in dobite to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Hkrati je območje vpisanega na sl.3. kvadrat se lahko izračuna tudi po tradicionalni formuli S=c2. Tisti. a2+b2=c2 Dokazali ste Pitagorov izrek.

Dokaz 3

Isti starodavni indijski dokaz je opisan v 12. stoletju v traktatu »Krona znanja« (»Siddhanta Shiromani«), kot glavni argument pa avtor uporablja apel, naslovljen na matematični talent in sposobnost opazovanja učencev in sledilci: "Poglej!".

Toda ta dokaz bomo podrobneje analizirali:

Znotraj kvadrata sestavite štiri pravokotne trikotnike, kot je prikazano na risbi. Označena je stranica velikega kvadrata, ki je tudi hipotenuza z. Poimenujmo noge trikotnika a in b. Po risbi je stranica notranjega kvadrata (a-b).

Uporabite formulo kvadratne površine S=c2 za izračun površine zunanjega kvadrata. In istočasno izračunajte isto vrednost tako, da seštejete ploščino notranjega kvadrata in ploščino vseh štirih pravokotnih trikotnikov: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Za izračun površine kvadrata lahko uporabite obe možnosti, da zagotovite enak rezultat. In to vam daje pravico, da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kot rezultat rešitve boste dobili formulo Pitagorovega izreka c2=a2+b2. Izrek je dokazan.

Dokaz 4

Ta nenavaden starodavni kitajski dokaz so poimenovali "Nevestin stol" - zaradi stolu podobne figure, ki izhaja iz vseh konstrukcij:

Uporablja risbo, ki smo jo že videli na sliki 3 v drugem dokazu. Notranji kvadrat s stranico c je sestavljen na enak način kot v starodavnem indijskem dokazu, ki je naveden zgoraj.

Če z risbe na sliki 1 v mislih odrežete dva zelena pravokotna trikotnika, ju premaknete na nasprotni strani kvadrata s stranico c in pritrdite hipotenuzi na hipotenuzo lila trikotnika, dobite figuro, imenovano "nevestin stol". « (slika 2). Zaradi jasnosti lahko storite enako s papirnatimi kvadrati in trikotniki. Videli boste, da je "nevestin stol" sestavljen iz dveh kvadratov: majhnih s stranico b in velik s stranico a.

Te konstrukcije so omogočile starim kitajskim matematikom in nam, ki smo jim sledili, da smo prišli do zaključka, da c2=a2+b2.

Dokaz 5

To je še en način za iskanje rešitve Pitagorovega izreka, ki temelji na geometriji. Imenuje se Garfieldova metoda.

Konstruiraj pravokotni trikotnik ABC. To moramo dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Če želite to narediti, nadaljujte z nogo AC in zgradite segment CD, ki je enak kraku AB. Spodnja pravokotna AD odsek črte ED. Segmenti ED in AC so enaki. poveži pike E in AT, tako dobro, kot E in OD in dobite risbo, kot je spodnja slika:

Da bi dokazali stolp, se spet zatečemo k metodi, ki smo jo že preizkusili: površino dobljene figure poiščemo na dva načina in izraze enačimo med seboj.

Poiščite območje mnogokotnika POSTELJA lahko naredite tako, da seštejete površine treh trikotnikov, ki ga tvorijo. In eden od njih ERU, ni samo pravokoten, ampak tudi enakokrak. Tudi tega ne pozabimo AB=CD, AC=ED in BC=CE- to nam bo omogočilo, da poenostavimo snemanje in ga ne preobremenimo. Torej, S LEŽIŠČE \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Ob tem je očitno, da POSTELJA je trapez. Zato njegovo površino izračunamo po formuli: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Za naše izračune je bolj priročno in jasneje predstaviti segment AD kot vsota segmentov AC in CD.

Zapišimo oba načina za izračun ploščine figure tako, da med njima postavimo enačaj: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Za poenostavitev desne strani zapisa uporabimo že znano in zgoraj opisano enakost segmentov: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. In zdaj odpremo oklepaje in transformiramo enakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Ko končamo vse transformacije, dobimo točno tisto, kar potrebujemo: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Izrek smo dokazali.

Seveda ta seznam dokazov še zdaleč ni popoln. Pitagorov izrek je mogoče dokazati tudi z uporabo vektorjev, kompleksnih števil, diferencialnih enačb, stereometrije itd. In celo fiziki: če na primer tekočino vlijemo v kvadratne in trikotne volumne, podobne tistim na risbah. Z vlivanjem tekočine je mogoče dokazati enakost ploščin in posledično sam izrek.

Nekaj ​​besed o pitagorejskih trojčkih

To vprašanje se v šolskem kurikulumu malo ali sploh ne obravnava. Medtem pa je zelo zanimivo in ima velik pomen v geometriji. Pitagorejske trojke se uporabljajo za reševanje številnih matematičnih problemov. Ideja o njih vam lahko koristi pri nadaljnjem izobraževanju.

Kaj so torej pitagorejski trojčki? Tako imenovana naravna števila, zbrana po trije, od katerih je vsota kvadratov dveh enaka kvadratu tretjega števila.

Pitagorejske trojke so lahko:

• primitivna (vsa tri števila so relativno pra);
• neprimitivna (če vsako število trojke pomnožimo z istim številom, dobimo novo trojko, ki ni primitivna).

Že pred našim štetjem je stare Egipčane navdušila manija po številih pitagorejskih trojčkov: v nalogah so obravnavali pravokotni trikotnik s stranicami 3,4 in 5 enot. Mimogrede, vsak trikotnik, katerega stranice so enake številkam iz pitagorejske trojke, je privzeto pravokoten.

Primeri pitagorejskih trojk: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična uporaba izreka

Pitagorov izrek se uporablja ne le v matematiki, ampak tudi v arhitekturi in gradbeništvu, astronomiji in celo literaturi.

Najprej o konstrukciji: v njej najde Pitagorov izrek široka uporaba pri nalogah različnih stopenj zahtevnosti. Poglejte na primer romansko okno:

Označimo širino okna kot b, potem lahko polmer velikega polkroga označimo kot R in izraziti skozi b: R=b/2. Polmer manjših polkrogov lahko izrazimo tudi z b: r=b/4. V tem problemu nas zanima polmer notranjega kroga okna (recimo mu str).

Pitagorov izrek pride prav pri računanju R. Za to uporabimo pravokotni trikotnik, ki je na sliki označen s pikčasto črto. Hipotenuza trikotnika je sestavljena iz dveh radijev: b/4+str. En krak je polmer b/4, drugo b/2-str. Z uporabo Pitagorovega izreka zapišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Nato odpremo oklepaje in dobimo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Pretvorimo ta izraz v bp/2=b 2 /4-bp. In potem vse izraze razdelimo na b, podarimo podobne 3/2*p=b/4. In na koncu to ugotovimo p=b/6- kar smo potrebovali.

S pomočjo teorema lahko izračunate dolžino špirovcev za dvokapno streho. Določite, kako visok mora biti mobilni stolp, da signal doseže določeno kraj. In celo stabilno namestiti božična jelka na mestnem trgu. Kot lahko vidite, ta izrek ne živi samo na straneh učbenikov, ampak je pogosto uporaben v resničnem življenju.

Kar zadeva literaturo, je Pitagorov izrek navdihoval pisce že od antike in še danes. Na primer, nemškega pisatelja iz devetnajstega stoletja Adelberta von Chamissa je navdihnila, da je napisal sonet:

Luč resnice se ne bo kmalu razblinila,
Toda, ko je zasijal, je malo verjetno, da se bo razblinil
In kot pred tisočletji,
Ne bo povzročal dvomov in sporov.

Najbolj modro, ko se dotakne očesa
Luč resnice, hvala bogovom;
In sto bikov, zabodenih, laži -
Povratno darilo srečnega Pitagore.

Od takrat biki obupano rjovejo:
Za vedno vzbudil pleme bikov
tukaj omenjen dogodek.

Mislijo, da je že skrajni čas
In spet bodo žrtvovani
Nekaj ​​velikega izreka.

(prevedel Viktor Toporov)

In v dvajsetem stoletju je sovjetski pisatelj Jevgenij Veltistov v svoji knjigi "Pustolovščine elektronike" celo poglavje posvetil dokazom Pitagorovega izreka. In pol poglavja zgodbe o dvodimenzionalnem svetu, ki bi lahko obstajal, če bi Pitagorov izrek postal temeljni zakon in celo religija za en sam svet. V njej bi bilo veliko lažje živeti, a tudi veliko bolj dolgočasno: tam na primer nihče ne razume pomena besed "okrogel" in "puhast".

In v knjigi »Pustolovščine elektronike« avtor skozi usta učitelja matematike Taratare pravi: »Glavna stvar v matematiki je gibanje misli, nove ideje.« Prav ta ustvarjalni polet misli ustvarja Pitagorov izrek - ni zaman, da ima toliko različnih dokazov. Pomaga preseči običajno in na znane stvari pogledati na nov način.

Zaključek

Ta članek je bil ustvarjen tako, da lahko pogledate onkraj šolskega kurikuluma matematike in se naučite ne le tistih dokazov Pitagorovega izreka, ki so podani v učbenikih "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) in "Geometrija 7-11 ” (A.V. Pogorelov), ampak tudi druge radovedne načine za dokazovanje slavnega izreka. Oglejte si tudi primere uporabe Pitagorovega izreka v vsakdanjem življenju.

Prvič, te informacije vam bodo omogočile, da zahtevate višje ocene pri pouku matematike - informacije o tej temi iz dodatnih virov so vedno zelo cenjene.

Drugič, želeli smo vam pomagati pridobiti občutek, kako zanimiva je matematika. Prepričajte se o konkretni primeri da je vedno prostor za ustvarjalnost. Upamo, da vas bosta Pitagorov izrek in ta članek navdihnila za lastno raziskovanje in vznemirljiva odkritja v matematiki in drugih vedah.

Povejte nam v komentarjih, če so se vam zdeli dokazi, predstavljeni v članku, zanimivi. So vam bile te informacije v pomoč pri študiju? Zaupajte nam, kaj menite o Pitagorovem izreku in tem članku – o vsem tem se bomo z veseljem pogovorili z vami.

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Ko ste se prvič začeli učiti o kvadratnih korenih in kako reševati iracionalne enačbe (enačbe, ki vsebujejo neznanko pod znakom korena), ste verjetno dobili prvo idejo o njihovi praktični uporabi. Sposobnost ekstrakcije Kvadratni korenštevil je potrebno tudi za reševanje nalog o uporabi Pitagorovega izreka. Ta izrek povezuje dolžine strani katerega koli pravokotnega trikotnika.

Naj bodo dolžine nog pravokotnega trikotnika (tiste dve strani, ki se zbližata pod pravim kotom) označene s črkama in , dolžina hipotenuze (najdaljša stran trikotnika, ki se nahaja nasproti pravega kota) pa bo označena po pismu. Nato so ustrezne dolžine povezane z naslednjim razmerjem:

Ta enačba vam omogoča, da najdete dolžino stranice pravokotnega trikotnika, če je znana dolžina njegovih drugih dveh strani. Poleg tega vam omogoča, da ugotovite, ali je obravnavani trikotnik pravokoten, če so dolžine vseh treh strani znane vnaprej.

Reševanje nalog z uporabo Pitagorovega izreka

Za utrjevanje snovi bomo reševali naslednje naloge za uporabo Pitagorovega izreka.

Tako dano:

1. Dolžina ene od nog je 48, hipotenuza 80.
2. Dolžina noge je 84, hipotenuza 91.

Pojdimo k rešitvi:

a) Zamenjava podatkov v zgornjo enačbo daje naslednje rezultate:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 oz b = -64

Ker dolžine stranice trikotnika ni mogoče izraziti kot negativno število, je druga možnost samodejno zavržena.

Odgovor na prvo sliko: b = 64.

b) Dolžino kraka drugega trikotnika najdemo na enak način:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 oz b = -35

Kot v prejšnjem primeru se negativna rešitev zavrže.

Odgovor na drugo sliko: b = 35

Dano nam je:

1. Dolžini manjših stranic trikotnika sta 45 oziroma 55, večjih pa 75.
2. Dolžini manjših stranic trikotnika sta 28 oziroma 45, večjih pa 53.

Rešujemo problem:

a) Treba je preveriti, ali je vsota kvadratov dolžin manjših stranic danega trikotnika enaka kvadratu dolžine večjega:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Zato prvi trikotnik ni pravokoten.

b) Enaka operacija se izvede:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Zato je drugi trikotnik pravokoten trikotnik.

Najprej poiščite dolžino največjega segmenta, ki ga tvorijo točke s koordinatami (-2, -3) in (5, -2). Za to uporabimo dobro znano formulo za iskanje razdalje med točkami v pravokotnem koordinatnem sistemu:

Podobno najdemo dolžino odseka, zaprtega med točkama s koordinatama (-2, -3) in (2, 1):

Na koncu določimo dolžino odseka med točkama s koordinatama (2, 1) in (5, -2):

Ker obstaja enakost:

potem je ustrezen trikotnik pravokoten trikotnik.

Tako lahko oblikujemo odgovor na problem: ker je vsota kvadratov strani z najkrajšo dolžino enaka kvadratu stranice z najdaljšo dolžino, so točke oglišča pravokotnega trikotnika.

Osnova (ki se nahaja strogo vodoravno), podboj (ki se nahaja strogo navpično) in kabel (raztegnjen diagonalno) tvorijo pravokotni trikotnik, za določitev dolžine kabla pa lahko uporabimo Pitagorov izrek:

Tako bo dolžina kabla približno 3,6 metra.

Podano: razdalja od točke R do točke P (kraka trikotnika) je 24, od točke R do točke Q (hipotenuza) - 26.

Torej, pomagamo Vityi rešiti težavo. Ker naj bi stranice trikotnika, prikazanega na sliki, tvorile pravi trikotnik, lahko uporabite Pitagorov izrek, da poiščete dolžino tretje stranice:

Torej je širina ribnika 10 metrov.

Sergej Valerievič

1

Shapovalova L.A. (postaja Egorlykskaya, MBOU ESOSH št. 11)

1. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli VII - VIII razreda, vodnik za učitelje, - M: Vzgoja, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Izza strani učbenika za matematiko" Priročnik za učence 5.-6. – M.: Razsvetljenje, 1989.

3. Zenkevič I.G. "Estetika pouka matematike". – M.: Razsvetljenje, 1981.

4. Litzman V. Pitagorov izrek. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pitagora". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Onkraj strani učbenika algebre". - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometrija v 10. razredu." - M., 1986.

8. Časopis "Matematika" 17/1996.

9. Časopis "Matematika" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. »Zbirka nalog za elementarna matematika". - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematični priročnik". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pitagorejski nauk o številu in velikosti". - Novosibirsk, 1997.

13. “Realne številke. Iracionalni izrazi» 8. razred. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.

14. Atanasjan M.S. "Geometrija" razred 7-9. – M.: Razsvetljenje, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

V tem študijskem letu sem se seznanil z zanimivim izrekom, ki je znan, kot se je izkazalo, že iz antičnih časov:

"Kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na katetah."

Običajno se odkritje te izjave pripisuje starogrškemu filozofu in matematiku Pitagori (VI. stoletje pr. n. št.). Toda študija starodavnih rokopisov je pokazala, da je bila ta izjava znana že dolgo pred rojstvom Pitagore.

Spraševal sem se, zakaj je v tem primeru povezano z imenom Pitagora.

Ustreznost teme: Pitagorov izrek ima dobra vrednost: uporablja se v geometriji dobesedno na vsakem koraku. Menim, da so Pitagorova dela še vedno aktualna, saj kamor koli pogledamo, povsod lahko vidimo sadove njegovih velikih idej, utelešenih v različnih vejah sodobnega življenja.

Namen mojega raziskovanja je bil: ugotoviti, kdo je bil Pitagora in kakšen odnos ima do tega izreka.

Ob preučevanju zgodovine teorema sem se odločil ugotoviti:

Ali obstajajo drugi dokazi tega izreka?

Kakšen pomen ima ta izrek v življenju ljudi?

Kakšno vlogo je imel Pitagora pri razvoju matematike?

Iz življenjepisa Pitagora

Pitagora s Samosa je velik grški znanstvenik. Njegova slava je povezana z imenom Pitagorov izrek. Čeprav zdaj že vemo, da so ta izrek poznali v starem Babilonu 1200 let pred Pitagoro, v Egiptu pa 2000 let pred njim poznali pravokotni trikotnik s stranicami 3, 4, 5, ga še vedno imenujemo po imenu tega starodavnega znanstvenik.

O življenju Pitagore ni znanega skoraj nič zagotovo, vendar je z njegovim imenom povezano veliko število legend.

Pitagora se je rodil leta 570 pred našim štetjem na otoku Samos.

Pitagora je imel lep videz, nosil dolga brada in na glavi zlat diadem. Pitagora ni ime, ampak vzdevek, ki ga je filozof prejel, ker je vedno govoril pravilno in prepričljivo, kot grški orakelj. (Pitagora - "prepričljiv govor").

Leta 550 pred našim štetjem se Pitagora odloči in odide v Egipt. Pred Pitagoro se torej odpre neznana država in neznana kultura. Pitagora je nad to deželo zelo presenetil in presenetil, po nekaj opazovanjih življenja Egipčanov pa je ugotovil, da pot do znanja, ki ga ščiti kasta duhovnikov, leži skozi religijo.

Po enajstih letih študija v Egiptu se Pitagora odpravi v domovino, kjer na poti pade v babilonsko ujetništvo. Tam se seznani z babilonsko znanostjo, ki je bila bolj razvita od egipčanske. Babilonci so znali reševati linearne, kvadratne in nekatere vrste kubičnih enačb. Ko je pobegnil iz ujetništva, ni mogel dolgo ostati v domovini zaradi ozračja nasilja in tiranije, ki je tam vladalo. Odločil se je, da se preseli v Croton (grška kolonija v severni Italiji).

V Crotonu se začne najveličastnejše obdobje v življenju Pitagore. Tam je ustanovil nekaj podobnega versko-etični bratovščini ali tajnemu meniškemu redu, katerega člani so bili dolžni voditi tako imenovani pitagorejski način življenja.

Pitagora in pitagorejci

Pitagora je v grški koloniji na jugu Apeninskega polotoka organiziral versko in etično bratovščino, kot je meniški red, ki se bo kasneje imenoval Pitagorejska unija. Člani zveze so se morali držati določenih načel: prvič, stremeti k lepemu in veličastnemu, drugič, biti koristen, in tretjič, stremeti k visokemu užitku.

Sistem moralnih in etičnih pravil, ki jih je Pitagora zapustil svojim učencem, je bil sestavljen v nekakšen moralni kodeks Pitagorejcev "Zlate verze", ki so bili zelo priljubljeni v dobi antike, srednjega veka in renesanse.

Pitagorejski sistem študij je bil sestavljen iz treh delov:

Nauki o številih - aritmetika,

Nauki o figurah - geometrija,

Nauki o zgradbi vesolja - astronomija.

Izobraževalni sistem, ki ga je postavil Pitagora, je trajal več stoletij.

Pitagorova šola je naredila veliko, da je geometrija dobila značaj znanosti. Glavna značilnost pitagorejske metode je bila kombinacija geometrije z aritmetiko.

Pitagora se je veliko ukvarjal s proporci in progresijami ter verjetno tudi s podobnostjo figur, saj je zaslužen za rešitev problema: »Na podlagi danih dveh figur sestavi tretjo, ki bo po velikosti enaka enemu od podatkov in podobna drugi."

Pitagora in njegovi učenci so uvedli koncept poligonalnih, prijaznih, popolnih števil in proučevali njihove lastnosti. Aritmetika kot praksa računanja Pitagore ni zanimala in ponosno je izjavil, da je »aritmetiko postavil nad interese trgovca«.

Člani Pitagorejske unije so bili prebivalci številnih mest v Grčiji.

Pitagorejci so v svojo družbo sprejemali tudi ženske. Zveza je cvetela več kot dvajset let, nato pa se je začelo preganjanje njenih članov, veliko študentov je bilo pobitih.

O smrti samega Pitagore je bilo veliko različnih legend. Toda nauki Pitagore in njegovih učencev so še naprej živeli.

Iz zgodovine nastanka Pitagorovega izreka

Trenutno je znano, da tega izreka ni odkril Pitagora. Vendar nekateri verjamejo, da je bil Pitagora prvi, ki je dal popoln dokaz, drugi pa mu to zaslugo zanikajo. Nekateri pripisujejo Pitagori dokaz, ki ga daje Evklid v prvi knjigi svojih Elementov. Po drugi strani pa Proklo trdi, da je dokaz v Elementih zaslužen sam Evklid. Kot lahko vidimo, zgodovina matematike skoraj nima zanesljivih konkretnih podatkov o Pitagorovem življenju in njegovi matematični dejavnosti.

Začnimo zgodovinski pregled Pitagorovega izreka z starodavna Kitajska. Tukaj Posebna pozornost pritegnila matematična knjiga Chu-peija. Ta esej pravi tole o pitagorejskem trikotniku s stranicami 3, 4 in 5:

"Če pravi kot razčlenimo na njegove sestavne dele, bo črta, ki povezuje konce njegovih stranic, 5, ko je osnova 3 in višina 4."

Zelo enostavno je reproducirati njihov način gradnje. Vzemite vrv dolžine 12 m in jo privežite na barvni trak na razdalji 3 m. z enega konca in 4 metre z drugega. Med stranicama, dolgima 3 in 4 metre, bo sklenjen pravi kot.

Geometrija pri hindujcih je bila tesno povezana s kultom. Zelo verjetno je bil izrek o kvadratu hipotenuze poznan že v Indiji okoli 8. stoletja pr. Poleg čisto obrednih predpisov obstajajo dela geometrično teološke narave. V teh spisih, ki segajo v 4. ali 5. stoletje pred našim štetjem, se srečamo s konstrukcijo pravega kota s pomočjo trikotnika s stranicami 15, 36, 39.

V srednjem veku je Pitagorov izrek določal mejo, če že ne največjega možnega, pa vsaj dobrega matematičnega znanja. Značilna risba Pitagorovega izreka, ki jo zdaj šolarji včasih spremenijo, na primer v cilinder, oblečen v plašč profesorja ali moškega, je bila v tistih časih pogosto uporabljena kot simbol matematike.

Na koncu predstavljamo različne formulacije Pitagorovega izreka, prevedene iz grščine, latinščine in nemščine.

Evklidov izrek se glasi (dobesedni prevod):

"V pravokotnem trikotniku je kvadrat stranice, ki zajema pravi kot, enak kvadratom na stranicah, ki oklepajo pravi kot."

Kot vidimo, v različne države in različnih jezikih, obstajajo različne različice formulacije znanega izreka. Ustvarjeno v drugačen čas in v različnih jezikih odražajo bistvo enega matematičnega vzorca, katerega dokaz ima tudi več možnosti.

Pet načinov za dokaz Pitagorovega izreka

stari kitajski dokazi

Na starodavni kitajski risbi so štirje enaki pravokotni trikotniki s katetama a, b in hipotenuzo c zloženi tako, da njihov zunanji obris tvori kvadrat s stranico a + b, notranji pa kvadrat s stranico c, zgrajen na hipotenuza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dokaz J. Gardfielda (1882)

Razporedimo dva enaka pravokotna trikotnika tako, da bo krak enega od njiju nadaljevanje drugega.

Območje obravnavanega trapeza najdemo kot produkt polovice vsote baz in višine

Po drugi strani pa je površina trapeza enaka vsoti površin dobljenih trikotnikov:

Če enačimo te izraze, dobimo:

Dokaz je preprost

Ta dokaz dobimo v najpreprostejšem primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.

Verjetno se je teorem začel z njim.

Dejansko je dovolj samo pogledati razporeditev enakokrakih pravokotnih trikotnikov, da vidimo, da je izrek resničen.

Na primer za trikotnik ABC: kvadrat, zgrajen na hipotenuzi AC, vsebuje 4 začetne trikotnike, kvadrati, zgrajeni na katetah, pa dva. Izrek je dokazan.

Dokaz starodavnih hindujcev

Kvadrat s stranico (a + b) lahko razdelimo na dele bodisi kot na sl. 12. a, ali kot na sl. 12b. Jasno je, da so deli 1, 2, 3, 4 enaki na obeh slikah. In če enake odštejemo od enakih (površin), potem ostanejo enake, tj. c2 = a2 + b2.

Evklidov dokaz

Dve tisočletji je bil najpogostejši dokaz Pitagorovega izreka, ki ga je izumil Evklid. Postavljen je v njegovo znamenito knjigo "Začetki".

Evklid je spustil višino BH iz oglišča pravega kota na hipotenuzo in dokazal, da njen podaljšek razdeli na hipotenuzi zaključen kvadrat na dva pravokotnika, katerih ploščini sta enaki ploščinam ustreznih kvadratov, zgrajenih na katetah.

Risba, uporabljena pri dokazu tega izreka, se v šali imenuje "Pitagorejske hlače". Dolgo časa je veljal za enega od simbolov matematične znanosti.

Uporaba Pitagorovega izreka

Pomen Pitagorovega izreka je v tem, da je iz njega ali z njegovo pomočjo mogoče izpeljati večino geometrijskih izrekov in rešiti številne probleme. Poleg tega praktična vrednost Pitagorov izrek in njegov obratni izrek je, da lahko z njuno pomočjo najdete dolžine segmentov, ne da bi merili segmente same. To tako rekoč odpira pot od ravne črte do ravnine, od ravnine do volumetričnega prostora in naprej. Prav zaradi tega je Pitagorov izrek tako pomemben za človeštvo, ki želi odkriti več dimenzij in ustvariti tehnologije v teh dimenzijah.

Zaključek

Pitagorov izrek je tako znan, da si je težko predstavljati osebo, ki zanj še ni slišala. Naučil sem se, da obstaja več načinov za dokazovanje Pitagorovega izreka. Preučila sem številne zgodovinske in matematične vire, vključno z informacijami na internetu, in ugotovila, da je Pitagorov izrek zanimiv ne le zaradi svoje zgodovine, ampak tudi zato, ker zavzema pomembno mesto v življenju in znanosti. To dokazujejo različne interpretacije besedila tega izreka, ki sem jih dal v tem članku, in načini njegovih dokazov.

Torej je Pitagorov izrek eden glavnih in, lahko bi rekli, najpomembnejši izrek geometrije. Njegov pomen je v tem, da je iz njega ali z njegovo pomočjo mogoče izpeljati večino geometrijskih izrekov. Pitagorov izrek je izjemen tudi po tem, da sam po sebi sploh ni očiten. Na primer, lastnosti enakokrakega trikotnika lahko vidimo neposredno na risbi. Toda ne glede na to, koliko gledate pravokotni trikotnik, ne boste nikoli videli, da med njegovimi stranicami obstaja preprosta relacija: c2 = a2 + b2. Zato se za dokazovanje pogosto uporablja vizualizacija. Zasluga Pitagore je bila, da je dal popoln znanstveni dokaz tega izreka. Zanimiva je osebnost samega znanstvenika, čigar spomin ni slučajno ohranjen s tem izrekom. Pitagora je čudovit govorec, učitelj in vzgojitelj, organizator svoje šole, osredotočen na harmonijo glasbe in števil, dobrote in pravičnosti, znanja in Zdrav način življenjaživljenje. Morda bo služil kot zgled nam, daljnim potomcem.

Bibliografska povezava

Tumanova S.V. VEČ NAČINOV ZA DOKAZ PITAGOROVEGA IZREKA // Začni v znanosti. - 2016. - št. 2. - Str. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (datum dostopa: 21.02.2019).

Povprečna raven

Pravokotni trikotnik. Celoten ilustriran vodnik (2019)

PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. PRVA STOPNJA.

Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,

in v takem

in v takem

Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ... najprej so posebni lepa imena za njegove strani.

Pozor na risbo!

Zapomnite si in ne zamenjujte: noge - dve, in hipotenuza - samo ena(edini, edinstveni in najdaljši)!

No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek.

Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Dokazal jo je Pitagora že v povsem pradavnini in od takrat je vsem, ki jo poznajo, prinesla veliko koristi. In najboljše pri njej je to, da je preprosta.

Torej, Pitagorov izrek:

Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?

Narišimo prav te pitagorejske hlače in si jih oglejmo.

Ali res izgleda kot kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana ravno s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:

"Vsota površina kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina zgrajena na hipotenuzi.

Ali ne zveni malo drugače, kajne? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, se je izkazala ravno taka slika.

Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, si je nekdo duhovit izmislil tole šalo o Pitagorovih hlačah.

Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek

Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?

Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si predstavljate, kako grozno je bilo ubogim starim študentom, da so si vse zapomnili z besedami??! In lahko smo veseli, da imamo preprosto formulacijo Pitagorovega izreka. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:

Zdaj bi moralo biti enostavno:

Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet.

No, obravnavali smo najpomembnejši izrek o pravokotnem trikotniku. Če vas zanima, kako se dokazuje, preberite naslednje stopnje teorije, zdaj pa gremo naprej ... v temni gozd ... trigonometrije! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.

Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočeš, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti probleme o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:

Zakaj je vse v kotu? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave od 1 do 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!

1.
Pravzaprav zveni takole:

Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni krak (za kot)? Seveda imajo! To je katet!

Kaj pa kot? Poglej natančno. Kateri krak meji na kot? Seveda mačka. Torej, za kot je krak sosednji in

In zdaj, pozor! Poglejte, kaj imamo:

Poglejte, kako super je:

Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.

Kako zdaj to ubesediti? Kakšen je krak glede na vogal? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. In katet? V bližini vogala. Kaj smo torej dobili?

Vidite, kako sta števec in imenovalec obrnjena?

In zdaj spet vogali in narejena izmenjava:

Povzetek

Na kratko zapišimo, kaj smo se naučili.

Pitagorov izrek:

Glavni izrek pravokotnega trikotnika je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ne, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, toda ali ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži. Kako bi to dokazal? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Vidite, kako zvito smo razdelili njene stranice na dolžinske segmente in!

Sedaj povežimo označene točke

Tukaj pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte sliko in razmislite zakaj.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? Pravilno, . Kaj pa manjša površina? Seveda, . Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da smo vzeli dva in jih naslonili enega na drugega s hipotenuzami. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. Torej je površina "potaknjencev" enaka.

Sestavimo vse skupaj.

Preobrazimo:

Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotnim krakom in hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotnim krakom in sosednjim krakom.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjim in nasprotnim krakom.

In še enkrat vse to v obliki krožnika:

Zelo je udobno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

I. Na dveh nogah

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

a)

b)

Pozor! Tukaj je zelo pomembno, da so noge "korespondenčne". Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKA NISTA ENAKA, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Moram v obeh trikotnikih je bila noga sosednja ali v obeh - nasproti.

Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "in bodite pozorni na dejstvo, da za enakost "navadnih" trikotnikov potrebujete enakost njihovih treh elementov: dveh stranic in kota med njima, dveh kotov in stranice med njima ali treh stranic. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super je, kajne?

Približno enaka situacija z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

I. Oster kotiček

II. Na dveh nogah

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Zakaj je tako

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?

In kaj iz tega sledi?

Tako se je zgodilo, da

1. - mediana:

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi obratno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Poglej natančno. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je le ena točka, razdalje od katere so približno vsa tri oglišča trikotnika enake, in to je SREDIŠČE OPISANEGA KROGA. Torej kaj se je zgodilo?

Pa začnimo s tem "poleg ...".

Poglejmo i.

Toda v podobnih trikotnikih so vsi koti enaki!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Kakšna je korist od te »trojne« podobnosti.

No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišemo razmerja ustreznih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:

Obe formuli si je treba zelo dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat.

Pitagorov izrek:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog:.

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• na dveh nogah:
• ob kateti in hipotenuzi: oz
• vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
• vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
• s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:

• en oster kot: oz
• iz sorazmernosti obeh nog:
• iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku

• Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo:
• Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
• Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim:
• Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim:.

Višina pravokotnega trikotnika: oz.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz vrha pravega kota, enaka polovici hipotenuze: .

Območje pravokotnega trikotnika:

• skozi katetre:

Animirani dokaz Pitagorovega izreka je eden od temeljni izreki evklidske geometrije, ki ugotavljajo razmerje med stranicami pravokotnega trikotnika. Domneva se, da ga je dokazal grški matematik Pitagora, po katerem je dobil ime (obstajajo še druge različice, zlasti alternativno mnenje, da je ta izrek v splošni pogled je oblikoval pitagorejski matematik Hipas).
Teorem pravi:

V pravokotnem trikotniku je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na nogah.

Oznaka dolžine hipotenuze trikotnika c, in dolžine nog kot a in b, dobimo naslednjo formulo:

Tako Pitagorov izrek vzpostavlja razmerje, ki vam omogoča, da določite stranico pravokotnega trikotnika, če poznate dolžine drugih dveh. Pitagorov izrek je poseben primer kosinusnega izreka, ki določa razmerje med stranicami poljubnega trikotnika.
Dokazana je tudi obratna izjava (imenovana tudi obratni Pitagorov izrek):

Za poljubna tri pozitivna števila a, b in c, tako da je a ? +b? = c ?, obstaja pravokotni trikotnik s katetama a in b ter hipotenuzo c.

Vizualni dokazi za trikotnik (3, 4, 5) iz Chu Peija 500–200 pr. Zgodovino izreka lahko razdelimo na štiri dele: znanje o Pitagorovih številih, znanje o razmerju stranic v pravokotnem trikotniku, znanje o razmerju sosednji vogali in dokaz izreka.
Megalitske strukture okoli leta 2500 pr v Egiptu in severni Evropi vsebujejo pravokotne trikotnike s celimi stranicami. Barthel Leendert van der Waerden je domneval, da so bila v tistih časih Pitagorova števila ugotovljena algebraično.
Napisano med letoma 2000 in 1876 pr papirus iz srednjega egiptovskega kraljestva Berlin 6619 vsebuje problem, katerega rešitev so Pitagorova števila.
Med vladavino Hamurabija Velikega Vibilonska plošča Plimpton 322, napisano med letoma 1790 in 1750 pr. n. št., vsebuje veliko vnosov, ki so tesno povezani s pitagorejskimi števili.
V budhajanskih sutrah, ki so po različnih različicah datirane v osmo ali drugo stoletje pr. v Indiji, vsebuje Pitagorova števila, izpeljana algebraično, formulacijo Pitagorovega izreka in geometrijski dokaz za enakokraki pravokotni trikotnik.
Sutre Apastamba (okoli 600 pr. n. št.) vsebujejo numerični dokaz Pitagorovega izreka z uporabo izračunov ploščin. Van der Waerden meni, da je temeljil na tradiciji svojih predhodnikov. Po Albertu Burku je to izvirni dokaz izreka in nakazuje, da je Pitagora obiskal Arakoni in ga kopiral.
Pitagora, katerega leta življenja so običajno navedena 569 - 475 pr. uporablja algebraične metode izračun Pitagorovih števil, po Proklovih komentarjih na Evklida. Proklo pa je živel med letoma 410 in 485 po Kr. Po mnenju Thomasa Gieseja pet stoletij po Pitagori ni nobenega znaka avtorstva izreka. Vendar, ko avtorji, kot sta Plutarh ali Ciceron, pripisujejo izrek Pitagori, to storijo, kot da je avtorstvo splošno znano in gotovo.
Okoli leta 400 pr Po Proclusu je Platon dal metodo za računanje pitagorejskih števil, ki združuje algebro in geometrijo. Okoli leta 300 pr. n. št., v Začetki Evklid, imamo najstarejši aksiomatski dokaz, ki se je ohranil do danes.
Napisano nekje med letom 500 pr. in 200 pr. n. št., kitajska matematična knjiga "Chu Pei" (? ? ? ?), podaja vizualni dokaz Pitagorovega izreka, ki se na Kitajskem imenuje gugujev izrek (????), za trikotnik s stranicami (3 , 4, 5). V času vladavine dinastije Han, od leta 202 pr. pred 220 AD Pitagorejske številke se pojavljajo v knjigi "Nine Sections of the Mathematical Art" skupaj z omembo pravokotnih trikotnikov.
Uporaba izreka je bila prvič dokumentirana na Kitajskem, kjer je znan kot gugujev izrek (????) in v Indiji, kjer je znan kot Baskarjev izrek.
Mnogi razpravljajo o tem, ali je bil Pitagorov izrek odkrit enkrat ali večkrat. Boyer (1991) meni, da je lahko znanje, ki ga najdemo v Shulba Sutri, mezopotamskega izvora.
Algebrski dokaz
Kvadrati so sestavljeni iz štirih pravokotnih trikotnikov. Znanih je več kot sto dokazov Pitagorovega izreka. Tu dokazi temeljijo na izreku obstoja za območje figure:

Postavite štiri enake pravokotne trikotnike, kot je prikazano na sliki.
Štirikotnik s stranicami c je kvadrat, saj je vsota dveh ostrih kotov , In izravnani kot je .
Površina celotne figure je na eni strani enaka površini kvadrata s stranico "a + b", na drugi strani pa vsoti površin štirih trikotnikov in notranjega kvadrata. .

Kar je treba dokazati.
Po podobnosti trikotnikov
Uporaba podobnih trikotnikov. Pustiti ABC je pravokoten trikotnik, v katerem je kot C ravno, kot je prikazano na sliki. Iz točke narišimo višino c, in pokliči H točka presečišča s stranico AB. Oblikovan trikotnik ACH kot trikotnik abc, ker sta oba pravokotna (po definiciji višine) in si delita kot A, očitno bo tudi v teh trikotnikih tretji kot enak. Podobno mirkuyuyuchy, trikotnik CBH tudi podoben trikotniku ABC. Iz podobnosti trikotnikov: Če

To lahko zapišemo kot

Če seštejemo ti dve enakosti, dobimo

HB + c krat AH = c krat (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Z drugimi besedami, Pitagorov izrek:

Evklidov dokaz
Dokaz Evklida v Evklidskih "Načelih", Pitagorov izrek, dokazan z metodo paralelogramov. Pustiti A, B, C oglišča pravokotnega trikotnika, s pravim kotom A. Spustite navpičnico iz točke A na stran nasproti hipotenuze v kvadratu, zgrajenem na hipotenuzi. Črta deli kvadrat na dva pravokotnika, od katerih ima vsak enako površino kot kvadrati, zgrajeni na krakih. Glavna ideja v dokazu je, da se zgornji kvadrati spremenijo v paralelograme iste ploščine, nato pa se vrnejo in spremenijo v pravokotnike v spodnjem kvadratu in spet z isto ploščino.

Narišimo segmente CF in AD, dobimo trikotnike BCF in BDA.
vogali KABINA in TORBA- naravnost; točke C, A in G so kolinearni. Enak način B, A in H.
vogali CBD in FBA- oba sta ravna, nato kot ABD enaka kotu fbc, saj sta oba vsota pravega kota in kota ABC.
Trikotnik ABD in FBC raven na obeh straneh in kot med njima.
Ker pike A, K in L– kolinearna, površina pravokotnika BDLK je enaka dvema površinama trikotnika ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Podobno dobimo CKLE = ACIH = AC 2
Na eni strani območje CBDE enaka vsoti ploščin pravokotnikov BDLK in CKLE, na drugi strani pa površina kvadrata BC2, oz AB 2 + AC 2 = pr. n. št. 2.

Uporaba diferencialov
Uporaba diferencialov. Do Pitagorovega izreka lahko pridemo tako, da preučimo, kako prirastek stranice vpliva na dolžino hipotenuze, kot je prikazano na sliki na desni, in uporabimo majhen izračun.
Kot posledica rasti strani a, iz podobnih trikotnikov za infinitezimalne prirastke

Integracijo dobimo

Če a= 0 potem c = b, torej "konstanta" je b 2. Potem

Kot je razvidno, so kvadrati posledica razmerja med prirastki in stranicami, medtem ko je vsota rezultat neodvisnega prispevka prirastkov stranic, ki ni razviden iz geometrijskih dokazov. V teh enačbah da in dc so neskončno majhni prirastki stranic a in c. Toda namesto njih uporabljamo? a in? c, potem je meja razmerja, če težijo k ničli da / DC, derivat in je tudi enak c / a, razmerje dolžin stranic trikotnikov, posledično dobimo diferencialno enačbo.
V primeru pravokotnega sistema vektorjev velja enakost, ki jo imenujemo tudi Pitagorov izrek:

Če - To so projekcije vektorja na koordinatne osi, potem ta formula sovpada z evklidsko razdaljo in pomeni, da je dolžina vektorja enaka kvadratnemu korenu vsote kvadratov njegovih komponent.
Analog te enakosti v primeru neskončnega sistema vektorjev se imenuje Parsevalova enakost.