Matematika je veda o kvantitativnih odnosih in prostorskih oblikah realnega sveta. V tesni povezavi z zahtevami znanosti in tehnologije se zaloga kvantitativnih odnosov in prostorskih oblik, ki jih preučuje matematika, nenehno širi, tako da je treba zgornjo definicijo razumeti v najbolj splošnem smislu.

Namen študija matematike je povečati splošno razgledanost, kulturo mišljenja, oblikovanje znanstvenega pogleda na svet.

Razumevanje neodvisnega položaja matematike kot posebne znanosti je postalo mogoče po kopičenju dovolj velike količine dejanskega gradiva in se je prvič pojavilo v stari Grčiji v 6.-5. stoletju pred našim štetjem. To je bil začetek obdobja elementarne matematike.

V tem obdobju so se matematične raziskave ukvarjale le z dokaj omejeno zalogo osnovnih pojmov, ki so se pojavili z najpreprostejšimi zahtevami gospodarskega življenja. Obenem že poteka kvalitativni napredek matematike kot vede.

Sodobno matematiko pogosto primerjajo z velikim mestom. To je odlična primerjava, saj matematika, tako kot v velikem mestu, nenehno raste in se izboljšuje. V matematiki nastajajo nova področja, gradijo se elegantne in globoke nove teorije, kot je gradnja novih sosesk in zgradb. A napredek matematike ni omejen le na spreminjanje podobe mesta zaradi gradnje novega. Moramo spremeniti staro. Stare teorije so vključene v nove, bolj splošne; treba je okrepiti temelje starih stavb. Postaviti je treba nove ulice, da bi vzpostavili povezave med oddaljenimi četrtmi matematičnega mesta. Toda to ni dovolj - arhitekturno načrtovanje zahteva veliko truda, saj raznolikost stilov na različnih področjih matematike ne le pokvari splošnega vtisa znanosti, ampak tudi moti razumevanje znanosti kot celote, vzpostavljanje povezav med njenimi različnimi deli.

Pogosto se uporablja še ena primerjava: matematiko primerjamo z velikim razvejanim drevesom, ki sistematično daje nove poganjke. Vsaka veja drevesa je eno ali drugo področje matematike. Število vej ne ostane nespremenjeno, saj rastejo nove veje, rastejo skupaj, najprej rastejo ločeno, nekatere veje se posušijo, prikrajšane za hranljive sokove. Obe primerjavi sta uspešni in zelo dobro prikazujeta dejansko stanje.

Nedvomno ima zahteva po lepoti pomembno vlogo pri gradnji matematičnih teorij. Ni treba posebej poudarjati, da je dojemanje lepote zelo subjektivno in o tem pogosto prihaja do precej grdih predstav. In vendar moramo biti presenečeni nad soglasjem, ki so ga matematiki postavili v koncept "lepote": rezultat se šteje za lepega, če je iz majhnega števila pogojev mogoče pridobiti splošen zaključek, ki se nanaša na široko paleto predmetov. Matematična izpeljava se šteje za lepo, če je mogoče v njej s preprostim in kratkim sklepanjem dokazati pomembno matematično dejstvo. Zrelost matematika, njegov talent se ugiba po tem, kako razvit je njegov čut za lepoto. Estetsko popolne in matematično popolne rezultate je lažje razumeti, zapomniti in uporabljati; lažje prepoznamo njihov odnos do drugih področij znanja.

Matematika je v našem času postala znanstvena disciplina s številnimi področji raziskovanja, ogromnim številom rezultatov in metod. Matematika je zdaj tako velika, da je ne more ena oseba pokriti v vseh njenih delih, ni možnosti, da bi bil v njej univerzalni specialist. Izguba povezav med njenimi ločenimi smermi je vsekakor negativna posledica hitrega razvoja te znanosti. Vendar pa je v osnovi razvoja vseh vej matematike nekaj skupnega - izvor razvoja, korenine drevesa matematike.

Evklidova geometrija kot prva naravoslovna teorija

• V 3. stoletju pred našim štetjem se je v Aleksandriji pojavila knjiga Evklida z istim imenom v ruskem prevodu "Začetki". Iz latinskega imena "Začetki" je nastal izraz "elementarna geometrija". Čeprav spisi Evklidovih predhodnikov niso prišli do nas, si lahko iz Evklidovih Elementov ustvarimo nekaj mnenja o teh spisih. V "Začetkih" so razdelki, ki so logično zelo malo povezani z drugimi razdelki. Njihov videz je razložen le z dejstvom, da so bili uvedeni v skladu s tradicijo in kopirajo "začetke" Evklidovih predhodnikov.

  Evklidove Elemente sestavlja 13 knjig. Knjige od 1 do 6 so posvečene planimetriji, knjige od 7 do 10 pa o aritmetiki in nesomerljivih količinah, ki jih je mogoče sestaviti s šestilom in ravnilom. Knjige od 11 do 13 so bile posvečene stereometriji.

  "Začetki" se začnejo s predstavitvijo 23 definicij in 10 aksiomov. Prvih pet aksiomov je "splošnih konceptov", ostali se imenujejo "postulati". Prva dva postulata določata dejanja s pomočjo idealnega ravnila, tretji - s pomočjo idealnega kompasa. Četrti, "vsi pravi koti so med seboj enaki," je odveč, saj ga je mogoče razbrati iz preostalih aksiomov. Zadnji, peti postulat se glasi: »Če premica pade na dve premici in tvorita notranja enostranska kota v vsoti manj kot dveh premic, se bosta ti dve premici z neomejenim nadaljevanjem sekali na strani, kjer je koti so manjši od dveh črt."

  Pet "splošnih konceptov" Evklida so načela merjenja dolžin, kotov, ploščin, volumnov: "enaki enaki so med seboj enaki", "če se enaki seštejejo enakim, so vsote med seboj enake", "če enakim odštejemo enake, so ostanki med seboj enaki", "kombinacija med seboj je med seboj enaka", "celo je večje od dela".

  Potem je prišla kritika Evklidove geometrije. Evklid je bil kritiziran iz treh razlogov: ker je upošteval le takšne geometrijske količine, ki jih je mogoče konstruirati s šestilom in ravnilom; za razbijanje geometrije in aritmetike in dokazovanje za cela števila, kar je že dokazal za geometrijske količine, in končno za Evklidove aksiome. Najbolj kritiziran je bil peti postulat, najtežji Evklidov postulat. Mnogi so menili, da je odveč in da se lahko in mora izpeljati iz drugih aksiomov. Drugi so menili, da bi ga bilo treba nadomestiti s preprostejšim in bolj nazornim, njim enakovrednim: "Skozi točko zunaj ravne črte je v njihovi ravnini mogoče potegniti največ eno ramo, ki ne seka te ravne črte."

  Kritika vrzeli med geometrijo in aritmetiko je pripeljala do razširitve koncepta števila na realno število. Spori o petem postulatu so pripeljali do tega, da so v začetku 19. stoletja N. I. Lobačevski, J. Bolyai in K. F. Gauss zgradili novo geometrijo, v kateri so bili izpolnjeni vsi aksiomi Evklidove geometrije, razen petega postulata. Nadomestila jo je nasprotna trditev: "V ravnini skozi točko zunaj premice je mogoče narisati več kot eno premico, ki ne seka dane." Ta geometrija je bila tako dosledna kot Evklidova geometrija.

  Planimetrijski model Lobačevskega na evklidski ravnini je zgradil francoski matematik Henri Poincaré leta 1882.

  Na evklidsko ravnino narišite vodoravno črto. Ta premica se imenuje absolut (x). Točke evklidske ravnine, ki ležijo nad absolutom, so točke ravnine Lobačevskega. Ravnina Lobačevskega je odprta polravnina, ki leži nad absolutom. Neevklidski segmenti v Poincaréjevem modelu so loki krožnic s središčem na absolut ali črte, pravokotne na absolut (AB, CD). Lik na ravnini Lobačevskega je lik odprte polravnine, ki leži nad absolutom (F). Neevklidsko gibanje je sestava končnega števila inverzij s središčem na absolutni in osni simetriji, katere osi sta pravokotni na absolut. Dva neevklidska segmenta sta enaka, če je mogoče enega od njiju prevesti v drugega z neevklidskim gibanjem. To so osnovni koncepti aksiomatike planimetrije Lobačevskega.

  Vsi aksiomi planimetrije Lobačevskega so skladni. "Neevklidska premica je polkrog s konci v absolutu ali žarek z izhodiščem v absolutu in pravokoten na absolut." Tako trditev Lobačevskega aksioma vzporednosti ne velja le za neko premico a in točko A, ki ne ležita na tej premici, temveč tudi za vsako premico a in vsako točko A, ki na njej ne ležita.

  Za geometrijo Lobačevskega so nastale tudi druge dosledne geometrije: projektivna geometrija, ločena od evklidske, razvila se je večdimenzionalna evklidska geometrija, nastala je riemanova geometrija (splošna teorija prostorov s poljubnim zakonom merjenja dolžin) itd. Iz znanosti o figurah v enem tri- dimenzionalnem evklidskem prostoru se je geometrija v 40 - 50 letih spremenila v niz različnih teorij, le nekoliko podobnih svojemu predniku - geometriji Evklida.

  Glavne faze oblikovanja sodobne matematike. Struktura sodobne matematike

• Akademik A.N. Kolmogorov identificira štiri obdobja v razvoju matematike Kolmogorov A.N. - Matematika, Matematični enciklopedični slovar, Moskva, Sovjetska enciklopedija, 1988: rojstvo matematike, elementarna matematika, matematika spremenljivk, sodobna matematika.

  V razvoju elementarne matematike teorija števil postopoma prerašča iz aritmetike. Algebra je ustvarjena kot dobesedni račun. In sistem predstavitve elementarne geometrije, ki so ga ustvarili stari Grki - geometrija Evklida - je za dve tisočletji naprej postal model deduktivne konstrukcije matematične teorije.

  V 17. stoletju so zahteve naravoslovja in tehnologije vodile k oblikovanju metod, ki omogočajo matematično preučevanje gibanja, procesov spreminjanja količin in preoblikovanja geometrijskih likov. Z uporabo spremenljivk v analitični geometriji ter nastankom diferencialnega in integralnega računa se začne obdobje matematike spremenljivk. Velika odkritja 17. stoletja so koncept infinitezimalne količine, ki sta ga uvedla Newton in Leibniz, ustvarjanje temeljev za analizo neskončno majhnih količin (matematična analiza).

  V ospredje pride koncept funkcije. Funkcija postane glavni predmet študija. Preučevanje funkcije vodi do osnovnih pojmov matematične analize: limita, odvod, diferencial, integral.

  V ta čas spada tudi pojav briljantne ideje R. Descartesa o metodi koordinat. Ustvari se analitična geometrija, ki omogoča preučevanje geometrijskih objektov z metodami algebre in analize. Po drugi strani pa je koordinatna metoda odprla možnost geometrijske interpretacije algebraičnih in analitičnih dejstev.

  Nadaljnji razvoj matematike je v začetku 19. stoletja pripeljal do oblikovanja problema preučevanja možnih vrst kvantitativnih odnosov in prostorskih oblik s precej splošnega vidika.

  Povezava med matematiko in naravoslovjem postaja vse bolj kompleksna. Pojavljajo se nove teorije, ki ne nastajajo samo zaradi zahtev naravoslovja in tehnologije, temveč tudi kot posledica notranjih potreb matematike. Izjemen primer takšne teorije je namišljena geometrija N. I. Lobačevskega. Razvoj matematike v 19. in 20. stoletju nam omogoča, da jo pripišemo obdobju moderne matematike. Razvoj same matematike, matematizacija različnih področij znanosti, prodor matematičnih metod na številna področja praktične dejavnosti, napredek računalniške tehnologije so privedli do nastanka novih matematičnih disciplin, na primer operacijskih raziskav, teorije iger, matematična ekonomija in drugi.

  Glavne metode matematičnih raziskav so matematični dokazi – strogo logično sklepanje. Matematično razmišljanje ni omejeno na logično sklepanje. Matematična intuicija je potrebna za pravilno formulacijo problema, za oceno izbire metode za njegovo rešitev.

  V matematiki preučujemo matematične modele predmetov. Isti matematični model lahko opiše lastnosti realnih pojavov, ki so daleč drug od drugega. Torej lahko ista diferencialna enačba opiše procese rasti prebivalstva in razpada radioaktivnega materiala. Za matematika ni pomembna narava predmetov, ki jih obravnava, ampak odnosi, ki obstajajo med njimi.

  V matematiki obstajata dve vrsti sklepanja: dedukcija in indukcija.

  Indukcija je raziskovalna metoda, pri kateri se splošen zaključek gradi na podlagi določenih premis.

  Dedukcija je metoda sklepanja, s katero zaključek posebne narave sledi iz splošnih premis.

  Matematika ima pomembno vlogo v naravoslovnih, inženirskih in humanističnih raziskavah. Razlog za prodor matematike v različne veje znanja je v tem, da ponuja zelo jasne modele za preučevanje okoliške stvarnosti, v nasprotju z manj splošnimi in bolj nejasnimi modeli, ki jih ponujajo druge vede. Brez sodobne matematike z razvitim logičnim in računalniškim aparatom bi bil napredek na različnih področjih človekovega delovanja nemogoč.

  Matematika ni samo močno orodje za reševanje aplikativnih problemov in univerzalni jezik znanosti, ampak tudi element skupne kulture.

  Osnovne značilnosti matematičnega mišljenja

• V zvezi s tem vprašanjem je še posebej zanimiva značilnost matematičnega mišljenja, ki jo je dal A. Ya Khinchin, oziroma njegova specifična zgodovinska oblika - slog matematičnega mišljenja. Ko razkrije bistvo stila matematičnega mišljenja, izpostavi štiri značilnosti, ki so skupne vsem obdobjem, po katerih se ta stil opazno razlikuje od stilov mišljenja v drugih znanostih.

  Prvič, za matematika je značilna prevlada do skrajne meje logične sheme sklepanja. Matematik, ki to shemo vsaj začasno izgubi izpred oči, popolnoma izgubi sposobnost znanstvenega razmišljanja. Ta posebna značilnost stila matematičnega razmišljanja ima veliko vrednost sama po sebi. Očitno vam v največji meri omogoča spremljanje pravilnosti toka misli in jamči pred napakami; po drugi strani pa sili misleca, da ima med analizo pred očmi celoto razpoložljivih možnosti in ga zavezuje, da upošteva vsako od njih, ne da bi zamudil eno samo (takšne opustitve so povsem možne in se dejansko pogosto opazijo v drugih stilih razmišljanja).

  Drugič, jedrnatost, tj. zavestna želja vedno najti najkrajšo logično pot, ki vodi do danega cilja, neusmiljeno zavračanje vsega, kar je nujno potrebno za brezhibno veljavnost argumenta. Matematični esej dobrega sloga, ne prenese nobene "vode", nobenega olepševanja, slabljenja logične napetosti tarnanja, odvračanja pozornosti na stran; skrajna skopost, huda strogost misli in njene predstavitve so sestavni del matematičnega mišljenja. Ta lastnost je zelo pomembna ne samo za matematično, ampak tudi za vsako drugo resno razmišljanje. Lakonizem, želja, da se ne dovoli ničesar odvečnega, pomaga tako mislecu kot njegovemu bralcu ali poslušalcu, da se popolnoma osredotočijo na določen tok misli, ne da bi ga motile sekundarne ideje in ne da bi izgubili neposreden stik z glavno linijo razmišljanja.

  Svetila znanosti praviloma mislijo in se izražajo jedrnato na vseh področjih znanja, tudi kadar njihova misel ustvarja in postavlja bistveno nove ideje. Kako veličasten vtis, na primer, plemenita skopost misli in govora največjih ustvarjalcev fizike: Newtona, Einsteina, Nielsa Bohra! Morda je težko najti bolj osupljiv primer tega, kako globok vpliv ima lahko način razmišljanja njegovih ustvarjalcev na razvoj znanosti.

  Za matematiko je jedrnatost misli neizpodbiten zakon, kanoniziran že stoletja. Vsak poskus obremenjevanja predstavitve z ne nujno potrebnimi (četudi prijetnimi in za poslušalce vznemirljivimi) slikami, motnjami, oratorijem je že vnaprej postavljen pod upravičen sum in samodejno povzroči kritično budnost.

  Tretjič, jasno razčlenitev poteka sklepanja. Če moramo na primer pri dokazovanju trditve upoštevati štiri možne primere, od katerih je vsakega mogoče razčleniti na enega ali drugega števila podprimerov, potem se mora matematik v vsakem trenutku sklepanja jasno spomniti, v katerem primeru in podprimeru je misel se zdaj pridobiva in katere primere in podprimere mora še upoštevati. Pri vseh vrstah razvejanih naštevanj se mora matematik v vsakem trenutku zavedati generičnega koncepta, za katerega našteva njegove sestavne vrstne koncepte. V običajnem, neznanstvenem razmišljanju v takih primerih zelo pogosto opazimo zmedo in preskoke, ki vodijo v zmedo in napake v sklepanju. Pogosto se zgodi, da človek začne naštevati vrste enega od rodov, nato pa neopazno za poslušalce (in pogosto tudi samega sebe) z uporabo nezadostne logične razločnosti sklepanja preskoči na drug rod in konča z izjavo, da oba rodovi so zdaj razvrščeni; in poslušalci ali bralci ne vedo, kje je meja med vrstami prve in druge vrste.

  Da bi takšne zmede in preskoke onemogočili, matematiki že dolgo uporabljajo preproste zunanje metode številčenja pojmov in sodb, ki se včasih (vendar veliko redkeje) uporabljajo v drugih znanostih. Tisti možni primeri ali tisti generični pojmi, ki jih je treba upoštevati v tej utemeljitvi, so vnaprej preštevilčeni; znotraj vsakega takega primera so tisti podprimeri, ki jih je treba upoštevati in ki jih vsebuje, tudi preštevilčeni (včasih za razlikovanje z uporabo drugega sistema številčenja). Pred vsakim odstavkom, kjer se začne obravnava novega podprimera, se postavi oznaka, sprejeta za ta podprimer (na primer: II 3 - to pomeni, da se tukaj začne obravnava tretjega podprimera drugega primera ali opis tretjega podprimera). vrste druge vrste, če pogovarjamo se o razvrstitvi). In bralec ve, da dokler ne naleti na novo numerično rubriko, vse, kar je predstavljeno, velja le za ta primer in podprimer. Samoumevno je, da je takšno številčenje le zunanji pripomoček, zelo uporaben, nikakor pa ne obvezen, in da bistvo ni v njem, temveč v tisti izraziti delitvi argumentacije oziroma klasifikacije, ki jo hkrati spodbuja in označuje. samo po sebi.

  Četrtič, natančna natančnost simbolov, formul, enačb. To pomeni, da ima "vsak matematični simbol strogo določen pomen: zamenjava z drugim simbolom ali preureditev na drugo mesto praviloma povzroči izkrivljanje in včasih popolno uničenje pomena te izjave."

  Ko je izpostavil glavne značilnosti matematičnega načina razmišljanja, A. Ya Khinchin ugotavlja, da ima matematika (zlasti matematika spremenljivk) po svoji naravi dialektični značaj in zato prispeva k razvoju dialektičnega mišljenja. V procesu matematičnega razmišljanja dejansko obstaja interakcija med vizualnim (konkretnim) in konceptualnim (abstraktnim). »Ne moremo si zamisliti črt,« je zapisal Kant, »ne da bi jih miselno narisali, ne moremo si sami zamisliti treh dimenzij, ne da bi iz ene točke narisali tri pravokotne črte druga na drugo.«

  Interakcija konkretnega in abstraktnega je matematično mišljenje »pripeljala« do razvoja vedno novih konceptov in filozofskih kategorij. V stari matematiki (matematika konstant) sta bila to »število« in »prostor«, ki sta se prvotno odražala v aritmetiki in evklidski geometriji, kasneje pa v algebri in različnih geometrijskih sistemih. Matematika spremenljivk je "temeljila" na konceptih, ki so odražali gibanje materije - "končno", "neskončno", "kontinuiteta", "diskretno", "neskončno majhno", "derivacija" itd.

  Če govorimo o sedanji zgodovinski stopnji razvoja matematičnega znanja, potem gre ta v skladu z nadaljnjim razvojem filozofskih kategorij: teorija verjetnosti »obvladuje« kategorije možnega in naključnega; topologija - kategorije relacije in kontinuitete; teorija katastrofe - kategorija skokov; teorija skupin – kategorije simetrije in harmonije itd.

  V matematičnem razmišljanju so izraženi glavni vzorci konstruiranja logičnih povezav, podobnih po obliki. Z njegovo pomočjo se izvede prehod od ednine (recimo od nekaterih matematičnih metod - aksiomatskih, algoritemskih, konstruktivnih, teoretičnih in drugih) do posebnih in splošnih, do posplošenih deduktivnih konstrukcij. Enotnost metod in predmeta matematike določa posebnosti matematičnega mišljenja, nam omogoča, da govorimo o posebnem matematičnem jeziku, ki ne le odraža resničnost, ampak tudi sintetizira, posplošuje in napoveduje znanstveno znanje. Moč in lepota matematične misli je v največji jasnosti njene logike, eleganci konstrukcij in spretni konstrukciji abstrakcij.

  Bistveno nove možnosti duševne dejavnosti so se odprle z izumom računalnika, z nastankom strojne matematike. V jeziku matematike so se zgodile pomembne spremembe. Če je jezik klasične računalniške matematike sestavljale formule algebre, geometrije in analize, osredotočene na opis neprekinjenih procesov v naravi, ki so jih proučevali predvsem v mehaniki, astronomiji, fiziki, potem je njen sodobni jezik jezik algoritmov in programov, vključno z stari jezik formul kot poseben primer.

  Jezik sodobne računalniške matematike postaja vse bolj univerzalen, sposoben opisati kompleksne (večparametrske) sisteme. Ob tem želim poudariti, da ne glede na to, kako dovršen je matematični jezik, nadgrajen s tehnologijo elektronskega računalništva, ne pretrga vezi z raznovrstnim »živim«, naravnim jezikom. Poleg tega je govorjeni jezik osnova umetnega jezika. V zvezi s tem je zanimivo nedavno odkritje znanstvenikov. Gre za to, da se je starodavni jezik Indijancev Aymara, ki ga govori približno 2,5 milijona ljudi v Boliviji in Peruju, izkazal za izjemno priročnega za računalniško tehnologijo. Že leta 1610 je italijanski jezuitski misijonar Ludovico Bertoni, ki je sestavil prvi ajmarski slovar, opozoril na genialnost njegovih ustvarjalcev, ki so dosegli visoko logično čistost. V Aymari na primer ni nepravilnih glagolov in ni izjem od nekaj jasnih slovničnih pravil. Te značilnosti jezika Aymara so omogočile bolivijskemu matematiku Ivanu Guzmanu de Rojasu, da je ustvaril sistem simultanega računalniškega prevajanja iz katerega koli od petih evropskih jezikov, vključenih v program, "most" med katerim je jezik Aymara. Računalnik "Aymara", ki ga je ustvaril bolivijski znanstvenik, so strokovnjaki zelo cenili. Če povzamemo ta del vprašanja o bistvu matematičnega načina razmišljanja, je treba opozoriti, da je njegova glavna vsebina razumevanje narave.

  Aksiomatska metoda

• Aksiomatika - glavni način za izgradnjo teorije, od antike do danes ki potrjuje njegovo vsestranskost in vso uporabnost.

  Gradnja matematične teorije temelji na aksiomatski metodi. Znanstvena teorija temelji na nekaterih začetnih določilih, ki jih imenujemo aksiomi, vsa ostala določila teorije pa so pridobljena kot logične posledice aksiomov.

  Aksiomatska metoda se je pojavila v stari Grčiji in se trenutno uporablja v skoraj vseh teoretičnih vedah, predvsem pa v matematiki.

  Če primerjamo tri v določenem pogledu komplementarne geometrije: Evklidsko (parabolično), Lobačevskega (hiperbolično) in Riemannovo (eliptično), je treba opozoriti, da je poleg nekaterih podobnosti velika razlika med sferično geometrijo, na eni strani. na drugi strani pa geometriji Evklida in Lobačevskega.

  Temeljna razlika med moderno geometrijo je v tem, da zdaj zajema "geometrije" neskončnega števila različnih namišljenih prostorov. Vendar je treba opozoriti, da so vse te geometrije interpretacije evklidske geometrije in temeljijo na aksiomatski metodi, ki jo je prvi uporabil Evklid.

  Na podlagi raziskav je bila razvita in široko uporabljena aksiomatska metoda. Kot poseben primer uporabe te metode je metoda sledi v stereometriji, ki omogoča reševanje problemov konstrukcije prerezov v poliedrih in nekaterih drugih položajnih problemov.

  Aksiomatska metoda, ki se je najprej razvila v geometriji, je zdaj postala pomembno orodje študija v drugih vejah matematike, fizike in mehanike. Trenutno poteka delo za izboljšanje in poglobljeno preučevanje aksiomatske metode konstruiranja teorije.

  Aksiomatska metoda konstruiranja znanstvene teorije je sestavljena iz poudarjanja osnovnih konceptov, oblikovanja aksiomov teorij, vse druge izjave pa so izpeljane na logičen način in se opirajo na njih. Znano je, da je treba en pojem razložiti s pomočjo drugih, ki pa se prav tako definirajo s pomočjo nekaterih znanih pojmov. Tako pridemo do elementarnih pojmov, ki jih ni mogoče definirati z drugimi. Ti pojmi se imenujejo osnovni.

  Ko dokazujemo trditev, izrek, se zanašamo na premise, ki veljajo za že dokazane. A tudi te premise so bile dokazane, treba jih je bilo utemeljiti. Na koncu pridemo do nedokazljivih trditev in jih sprejmemo brez dokaza. Te trditve imenujemo aksiomi. Nabor aksiomov mora biti takšen, da je mogoče na podlagi njega dokazati nadaljnje trditve.

  Ko smo izločili glavne koncepte in oblikovali aksiome, nato na logičen način izpeljemo izreke in druge koncepte. To je logična struktura geometrije. Aksiomi in osnovni koncepti tvorijo temelje planimetrije.

  Ker je nemogoče podati eno samo definicijo osnovnih konceptov za vse geometrije, je treba osnovne koncepte geometrije definirati kot objekte katere koli narave, ki zadoščajo aksiomom te geometrije. Tako pri aksiomatski konstrukciji geometrijskega sistema izhajamo iz določenega sistema aksiomov ali aksiomatike. Ti aksiomi opisujejo lastnosti osnovnih konceptov geometrijskega sistema, osnovne koncepte pa lahko predstavimo v obliki objektov katere koli narave, ki imajo lastnosti, določene v aksiomih.

  Po formuliranju in dokazovanju prvih geometrijskih trditev postane mogoče nekatere trditve (izreke) dokazati s pomočjo drugih. Dokaze mnogih izrekov pripisujemo Pitagori in Demokritu.

  Hipokrat s Chiosa je zaslužen za pripravo prvega sistematičnega tečaja geometrije, ki temelji na definicijah in aksiomih. Ta tečaj in njegove nadaljnje obdelave so se imenovali "Elementi".

  Aksiomatska metoda konstruiranja znanstvene teorije

• Ustvarjanje deduktivne ali aksiomatske metode konstruiranja znanosti je eden največjih dosežkov matematične misli. Zahtevalo je delo mnogih generacij znanstvenikov.

  Izjemna značilnost deduktivnega sistema predstavitve je preprostost te konstrukcije, zaradi katere jo je mogoče opisati z nekaj besedami.

  Deduktivni sistem predstavitve se zmanjša na:

  1) na seznam osnovnih pojmov,

  2) na predstavitev definicij,

  3) k predstavitvi aksiomov,

  4) k predstavitvi izrekov,

  5) k dokazu teh izrekov.

  Aksiom je izjava, sprejeta brez dokaza.

  Izrek je izjava, ki izhaja iz aksiomov.

  Dokaz je sestavni del deduktivnega sistema, sklepanje je tisto, ki pokaže, da resničnost izjave logično sledi iz resničnosti prejšnjih izrekov ali aksiomov.

  Znotraj deduktivnega sistema ni mogoče rešiti dveh vprašanj: 1) o pomenu osnovnih pojmov, 2) o resničnosti aksiomov. Vendar to ne pomeni, da so ta vprašanja na splošno nerešljiva.

  Zgodovina naravoslovja kaže, da se možnost aksiomatske konstrukcije določene znanosti pojavi šele na dokaj visoki stopnji razvoja te znanosti, na podlagi velike količine dejanskega gradiva, ki omogoča jasno opredelitev glavnih povezave in razmerja, ki obstajajo med predmeti, ki jih proučuje ta veda.

  Primer aksiomatske konstrukcije matematične znanosti je elementarna geometrija. Sistem aksiomov geometrije je razložil Evklid (približno 300 pr. n. št.) v delu "Začetki", ki je neprekosljiv po svojem pomenu. Ta sistem se je večinoma ohranil do danes.

  Osnovni pojmi: točka, premica, ravnina osnovne slike; ležati med, pripadati, premikati se.

  Elementarna geometrija ima 13 aksiomov, ki so razdeljeni v pet skupin. V peti skupini je en aksiom o vzporednicah (Evklidov postulat V): skozi točko na ravnini je mogoče potegniti samo eno premico, ki te premice ne seka. To je edini aksiom, ki je povzročil potrebo po dokazovanju. Poskusi dokazovanja petega postulata so matematike zaposlovali več kot 2 tisočletji, vse do prve polovice 19. stoletja, tj. do trenutka, ko je Nikolaj Ivanovič Lobačevski v svojih spisih dokazal popolno brezupnost teh poskusov. Trenutno je nedokazljivost petega postulata strogo dokazano matematično dejstvo.

  Aksiom o vzporednici N.I. Lobačevski je zamenjal aksiom: Naj sta v dani ravnini podani premica in točka, ki leži zunaj premice. Skozi to točko lahko na dano premico potegnemo vsaj dve vzporedni premici.

  Od nov sistem aksiomi N.I. Lobačevski je z brezhibno logično strogostjo izpeljal koherenten sistem izrekov, ki sestavljajo vsebino neevklidske geometrije. Obe geometriji Evklida in Lobačevskega sta enakovredna kot logična sistema.

  Trije veliki matematiki v 19. stoletju so skoraj sočasno, neodvisno drug od drugega, prišli do enakih rezultatov nedokazljivosti petega postulata in do nastanka neevklidske geometrije.

  Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Matematični dokaz

• Glavna metoda matematičnih raziskav je matematični dokaz – strogo logično sklepanje. Zaradi objektivne nujnosti, poudarja dopisni član Ruske akademije znanosti L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Sodobna matematika in njeno poučevanje, Moskva, Nauka, 1985, logično sklepanje (ki je po svoji naravi, če je pravilno, tudi strogo) je metoda matematike, brez katere si je matematika nepredstavljiva. Opozoriti je treba, da matematično razmišljanje ni omejeno na logično sklepanje. Za pravilno formulacijo problema, za vrednotenje njegovih podatkov, za izbiro pomembnih iz njih in za izbiro metode za njegovo rešitev je potrebna tudi matematična intuicija, ki vam omogoča, da predvidite želeni rezultat. dobi se, da s pomočjo verjetnega sklepanja oriše pot raziskovanja. Toda veljavnost obravnavanega dejstva se dokazuje ne s preverjanjem na številnih primerih, ne z izvajanjem številnih poskusov (kar samo po sebi igra veliko vlogo v matematičnih raziskavah), temveč na čisto logičen način, glede na zakoni formalne logike.

  Matematični dokaz velja za resničnega zadnje zatočišče. Odločitev, ki temelji na čisti logiki, preprosto ne more biti napačna. Toda z razvojem znanosti so naloge pred matematike vedno bolj zapletene.

  "Vstopili smo v dobo, ko je matematični aparat postal tako zapleten in okoren, da na prvi pogled ni več mogoče reči, ali je težava resnična ali ne," je prepričan Keith Devlin z univerze Stanford v Kaliforniji, ZDA. Kot primer navaja "klasifikacijo preprostih končnih skupin", ki je bila oblikovana že leta 1980, vendar popoln natančen dokaz še ni bil posredovan. Najverjetneje je izrek resničen, vendar je o tem nemogoče reči zagotovo.

  Tudi računalniške rešitve ne moremo imenovati natančne, saj imajo takšni izračuni vedno napako. Leta 1998 je Hales predlagal računalniško podprto rešitev Keplerjevega izreka, oblikovanega leta 1611. Ta izrek opisuje najgostejše pakiranje kroglic v vesolju. Dokaz je bil predstavljen na 300 straneh in je vseboval 40.000 vrstic strojne kode. 12 recenzentov je eno leto preverjalo rešitev, vendar nikoli niso dosegli 100-odstotnega zaupanja v pravilnost dokaza in študijo so poslali v revizijo. Posledično je bil objavljen šele po štirih letih in brez popolne potrditve recenzentov.

  Vsi najnovejši izračuni za uporabne probleme so narejeni na računalniku, vendar znanstveniki menijo, da bi morali biti za večjo zanesljivost matematični izračuni predstavljeni brez napak.

  Teorija dokaza je razvita v logiki in vključuje tri strukturne komponente: tezo (kar naj bi bilo dokazano), argumente (niz dejstev, splošno sprejetih konceptov, zakonov itd. ustrezne znanosti) in demonstracijo (postopek za uporaba samih dokazov; dosledna veriga sklepanja, ko n-ti sklep postane ena od premis n+1. sklepanja). Izločena so dokazna pravila, navedene so možne logične napake.

  Matematični dokaz ima veliko skupnega z načeli, ki jih postavlja formalna logika. Poleg tega so matematična pravila sklepanja in operacij očitno služila kot eden od temeljev pri razvoju dokaznega postopka v logiki. Zlasti raziskovalci zgodovine oblikovanja formalne logike verjamejo, da se je nekoč, ko je Aristotel naredil prve korake k ustvarjanju zakonov in pravil logike, obrnil k matematiki in k praksi pravne dejavnosti. V teh virih je našel gradivo za logične konstrukcije zasnovane teorije.

  V 20. stoletju je pojem dokaza izgubil svoj strogi pomen, kar se je zgodilo v povezavi z odkritjem logičnih paradoksov, ki se skrivajo v teoriji množic in predvsem v povezavi z rezultati, ki so jih prinesli izreki K. Gödela o nepopolnosti formalizacije.

  Najprej je to vplivalo na samo matematiko, v zvezi s katero je veljalo, da izraz "dokaz" nima natančne definicije. Če pa takšno mnenje (ki velja še danes) vpliva na samo matematiko, potem pridejo do zaključka, da je treba dokaz sprejeti ne v logiko-matematičnem, temveč v psihološkem smislu. Še več, podoben pogled najdemo tudi pri samem Aristotelu, ki je verjel, da dokazovati pomeni izvesti razmišljanje, ki bi nas prepričalo do te mere, da z njegovo uporabo prepričamo druge o pravilnosti nečesa. Določen odtenek psihološki pristop najdemo pri A.E. Yesenin-Volpin. Ostro nasprotuje sprejemanju resnice brez dokaza, ki jo povezuje z dejanjem vere, in še piše: "Dokaz neke sodbe imenujem poštena metoda, ki naredi to sodbo neizpodbitno." Jesenin-Volpin poroča, da je treba njegovo definicijo še pojasniti. Ali obenem že sama opredelitev dokazov kot »poštene metode« ne izda pozivanja k moralno-psihološki presoji?

  Hkrati je odkritje teoretskih paradoksov množic in pojav Godelovih izrekov le prispevalo k razvoju teorije matematičnega dokaza, ki so se ga lotili intuicionisti, zlasti konstruktivistične smeri, in D. Hilbert.

  Včasih se verjame, da je matematični dokaz univerzalen in predstavlja idealno različico znanstvenega dokaza. Vendar to ni edina metoda, obstajajo tudi druge metode postopkov in operacij, ki temeljijo na dokazih. Res je le, da ima matematični dokaz veliko skupnega s formalno-logičnim dokazom, ki se izvaja v naravoslovju, in da ima matematični dokaz določene posebnosti, pa tudi nabor tehnik-operacij. Tu se bomo ustavili in izpustili tisto splošno, kar ga povezuje z drugimi oblikami dokazov, torej brez razširitve algoritma, pravil, napak itd. v vseh korakih (tudi glavnih). dokazni postopek.

  Matematični dokaz je sklepanje, ki ima nalogo utemeljiti resničnost (seveda v matematičnem, torej kot deducibilnost, smislu) izjave.

  Nabor pravil, uporabljenih v dokazu, se je oblikoval skupaj s pojavom aksiomatskih konstrukcij matematične teorije. To je bilo najbolj jasno in popolno realizirano v geometriji Evklida. Njegovi "Začetki" so postali nekakšen vzorčni standard za aksiomatsko organizacijo matematičnega znanja in za dolgo časa je za matematike ostalo enako.

  Trditve, predstavljene v obliki določenega zaporedja, morajo zagotavljati sklep, ki se ob upoštevanju pravil logičnega delovanja šteje za dokazanega. Poudariti je treba, da je določeno razmišljanje dokaz le glede na nek aksiomatski sistem.

  Pri karakterizaciji matematičnega dokaza ločimo dve glavni značilnosti. Prvič, dejstvo, da matematični dokazi izključujejo vsako sklicevanje na empirične dokaze. Celoten postopek utemeljitve resničnosti sklepa poteka v okviru sprejete aksiomatike. V zvezi s tem poudarja akademik A.D. Aleksandrov. Kote trikotnika lahko merite tisočkrat in se prepričate, da so enaki 2d. Toda matematika ne dokazuje ničesar. To mu boste dokazali, če boste iz aksiomov izpeljali zgornjo trditev. Ponovimo. Tu je matematika blizu metodam sholastike, ki tudi v osnovi zavrača argumentacijo z eksperimentalno danimi dejstvi.

  Na primer, ko je bila odkrita nesomerljivost segmentov, je bilo pri dokazovanju tega izreka izključeno sklicevanje na fizični eksperiment, saj je, prvič, sam koncept "nesomerljivosti" brez fizičnega pomena, in, drugič, matematiki niso mogli, pri obravnavi abstrakcije priskočiti na pomoč materialno-konkretni nastavki, merljivi s čutno-vizualno napravo. Nesorazmernost, zlasti strani in diagonale kvadrata, je dokazana na podlagi lastnosti celih števil z uporabo Pitagorovega izreka o enakosti kvadrata hipotenuze (oziroma diagonale) vsoti kvadratov kvadrata kvadrata. noge (dve strani pravokotnega trikotnika). Ali ko je Lobačevski iskal potrditev za svojo geometrijo, sklicujoč se na rezultate astronomskih opazovanj, potem je to potrditev izvedel s pomočjo čisto špekulativne narave. Cayley-Kleinova in Beltramijeva interpretacija neevklidske geometrije je prav tako predstavljala tipične matematične in ne fizične objekte.

  Druga značilnost matematičnega dokaza je njegova največja abstraktnost, po kateri se razlikuje od dokaznih postopkov v drugih znanostih. In spet, tako kot v primeru koncepta matematičnega predmeta, ne gre le za stopnjo abstrakcije, ampak za njegovo naravo. Dejstvo je, da dokazovanje v številnih drugih znanostih, na primer v fiziki, kozmologiji in seveda v filozofiji, dosega visoko stopnjo abstrakcije, saj končni problemi bivanja in mišljenja postanejo predmet slednje. Matematika pa se odlikuje po tem, da tu delujejo spremenljivke, katerih pomen je v abstrahiranju kakršnih koli specifičnih lastnosti. Spomnimo se, da so spremenljivke po definiciji znaki, ki sami po sebi nimajo pomenov in slednjega pridobijo šele, ko se namesto njih nadomeščajo imena določenih predmetov (posamezne spremenljivke) ali ko so označene specifične lastnosti in razmerja (predikatne spremenljivke) oz. , v primerih zamenjave spremenljivke s smiselno izjavo (propozicijska spremenljivka).

  Omenjena značilnost določa naravo skrajne abstraktnosti znakov, uporabljenih v matematičnem dokazu, pa tudi izjav, ki se zaradi vključitve spremenljivk v svojo strukturo spremenijo v izjave.

  Sam postopek dokaza, ki je v logiki opredeljen kot demonstracija, poteka na podlagi pravil sklepanja, na podlagi katerih se izvede prehod iz ene dokazane trditve v drugo, ki tvori konsistentno verigo sklepanja. Najpogostejši sta dve pravili (substitucija in izpeljava zaključkov) in dedukcijski izrek.

  pravilo zamenjave. V matematiki je substitucija definirana kot zamenjava vsakega od elementov a dane množice z nekim drugim elementom F(a) iz iste množice. V matematični logiki je pravilo zamenjave formulirano na naslednji način. Če prava formula M v propozicijskem računu vsebuje črko, recimo A, potem z zamenjavo, kjer koli se pojavi, s poljubno črko D, dobimo formulo, ki je prav tako resnična kot izvirna. To je možno in dopustno ravno zato, ker se v računu predlogov abstrahira od pomena predlogov (formul) ... Upoštevane so samo vrednosti "true" ali "false". Na primer, v formuli M: A--> (BUA) zamenjamo izraz (AUB) namesto A, kot rezultat dobimo novo formulo (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Pravilo za sklepanje sklepov ustreza strukturi pogojno kategoričnega silogizma modus ponens (pritrdilni način) v formalni logiki. Videti je takole:

  a .

  Glede na predlog (a-> b) in tudi glede na a. Sledi b.

  Na primer: Če dežuje, potem je pločnik moker, dežuje (a), torej je pločnik moker (b). V matematični logiki je ta silogizem zapisan na naslednji način (a-> b) a-> b.

  Sklep se praviloma določi z ločevanjem za implikacijo. Če sta podani implikacija (a-> b) in njen antecedent (a), potem imamo pravico, da obrazložitvi (dokazu) dodamo tudi konsekventnost te implikacije (b). Silogizem je prisilen, sestavlja arzenal deduktivnih dokaznih sredstev, kar pomeni, da popolnoma izpolnjuje zahteve matematičnega sklepanja.

  Pomembno vlogo pri matematičnem dokazovanju igra dedukcijski izrek - splošno ime za številne izreke, katerih postopek omogoča ugotavljanje dokazljivosti implikacije: A-> B, kadar obstaja logična izpeljava formulo B iz formule A. V najpogostejši različici propozicijskega računa (v klasični, intuicionistični in drugih vrstah matematike) dedukcijski izrek pravi naslednje. Če sta podana sistem premis G in premisa A, iz katerih je po pravilih mogoče razbrati B G, A B (- znak izpeljivosti), potem sledi, da lahko samo iz premis G dobimo stavek A --> B.

  Upoštevali smo tip, ki je neposreden dokaz. Hkrati se v logiki uporabljajo tudi tako imenovani posredni dokazi; obstajajo neposredni dokazi, ki se uporabljajo po naslednji shemi. Ker zaradi številnih razlogov (nedostopnost predmeta študija, izguba realnosti njegovega obstoja itd.) Nimajo možnosti neposrednega dokaza resničnosti katere koli izjave, teze, gradijo antitezo. Prepričani so, da antiteza vodi v protislovja in je zato napačna. Potem se iz dejstva zmotnosti antiteze - na podlagi zakona izključene sredine (a v) - sklepa o resničnosti teze.

  V matematiki se pogosto uporablja ena od oblik posrednega dokaza - dokaz s protislovjem. Še posebej dragocen in pravzaprav nepogrešljiv je pri sprejemanju temeljnih pojmov in določil matematike, na primer koncepta dejanske neskončnosti, ki ga ni mogoče uvesti na noben drug način.

  Operacija dokaza s protislovjem je v matematični logiki predstavljena na naslednji način. Podano je zaporedje formul G in negacija A (G , A). Če to implicira B in njegovo negacijo (G , A B, ne-B), potem lahko sklepamo, da resničnost A izhaja iz zaporedja formul G. Z drugimi besedami, resničnost teze izhaja iz napačnosti antiteze .

  Reference:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Višja matematika za ekonomiste, učbenik, Moskva, 2002;

  2. L. D. Kudryavtsev, Sodobna matematika in njeno poučevanje, Moskva, Nauka, 1985;

  3. O. I. Laričev, Objektivni modeli in subjektivne odločitve, Moskva, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, »Matematika? - Smešno je! ”, Avtorska izdaja, 1989;

  5. P. K. Raševski, Riemannova geometrija in tenzorska analiza, Moskva, 3. izdaja, 1967;

  6. V. E. Gmurman, Teorija verjetnosti in matematična statistika, Moskva, Višja šola, 1977;

  7. Svetovno omrežje Enternet.

Veda, ki proučuje količine, kvantitativne odnose in prostorske oblike

Prva črka "m"

Druga črka "a"

tretja črka "t"

Zadnja bukev je črka "a"

Odgovor za namig "Veda, ki preučuje količine, kvantitativne odnose in prostorske oblike", 10 črk:
matematika

Nadomestna vprašanja v križankah za besedo matematika

Predstavnik te znanosti je premagal nevesto od Nobela, zato Nobelova nagrada ni podeljena za uspeh v njej.

"Stolp" v programu Politehnične univerze

Eksaktna veda, ki proučuje količine, kvantitativne odnose in prostorske oblike

Znanost o količinah, kvantitativnih odnosih, prostorskih oblikah

Prav to temo je v šoli poučevala "draga Elena Sergeevna" v izvedbi Marine Neelove

Definicije besed za matematiko v slovarjih

Razlagalni slovar živega velikoruskega jezika, Vladimir Dal Pomen besede v slovarju Razlagalni slovar živega velikoruskega jezika, Vladimir Dal
in. znanost o veličinah in količinah; vse, kar je mogoče izraziti s številkami, spada v matematiko. - čist, abstraktno obravnava magnitude; - uporablja, pritrjuje prvo na ohišje, na predmete. Matematika se deli na aritmetiko in geometrijo, prva ima ...

Wikipedia Pomen besede v slovarju Wikipedije
matematika (

Velik Sovjetska enciklopedija Pomen besede v slovarju Velike sovjetske enciklopedije
I. Opredelitev predmeta matematika, povezava z drugimi vedami in tehniko. Matematika (grško mathematike, iz máthema ≈ znanje, znanost), veda o kvantitativnih odnosih in prostorskih oblikah realnega sveta. "Čista matematika ima za cilj ...

Nov razlagalni in izpeljani slovar ruskega jezika, T. F. Efremova. Pomen besede v slovarju Novi razlagalni in izpeljani slovar ruskega jezika, T. F. Efremova.
in. Znanstvena disciplina o prostorskih oblikah in kvantitativnih odnosih realnega sveta. Akademski predmet, ki vsebuje teoretične osnove določene znanstvene discipline. razgrniti Učbenik, ki podaja vsebino določenega učnega predmeta. prev. razgrniti Natančno,...

Primeri uporabe besede matematika v literaturi.

Sprva je Trediakovskega zaščitil Vasilij Adadurov - matematik, učenec velikega Jacoba Bernoullija, za to zavetje pa je pesnik znanstveniku inštruiral v francoščini.

Vstopil matematik Adadurov, mehanik Ladyzhensky, arhitekt Ivan Blank, ocenjevalci različnih kolegijev, zdravniki in vrtnarji, častniki vojske in mornarice so prišli na dan.

Za dolgo, zloščeno orehovo mizo sta sedela v foteljih: Axel Brigov in matematik Brodskega, ki sem ga prepoznal po močni sokratski pleši.

Pontryagin, katerega prizadevanja so ustvarila nov razdelek matematika- topološka algebra, - preučevanje različnih algebrskih struktur, obdarjenih s topologijo.

Naj mimogrede še omenimo, da je obdobje, ki ga opisujemo, priča razvoju algebre, sorazmerno abstraktne veje matematika, z združevanjem svojih manj abstraktnih oddelkov, geometrije in aritmetike, kar dokazujejo najstarejše manifestacije algebre, ki so prišle do nas, napol algebraične, napol geometrijske.

Matematika kot veda o kvantitativnih odnosih in prostorskih oblikah realnosti preučuje svet okoli nas, naravne in družbene pojave. Toda za razliko od drugih ved matematika proučuje njihove posebne lastnosti, pri čemer abstrahira druge. Torej geometrija proučuje obliko in velikost predmetov, ne da bi upoštevala njihove druge lastnosti: barvo, maso, trdoto itd. Na splošno matematične predmete (geometrijski lik, število, vrednost) ustvari človeški um in obstajajo le v človeškem mišljenju, v znakih in simbolih, ki tvorijo matematični jezik.

Abstraktnost matematike omogoča njeno uporabo na različnih področjih, je močno orodje za razumevanje narave.

Oblike znanja delimo v dve skupini.

prva skupina sestavljajo oblike čutnega spoznavanja, ki se izvajajo s pomočjo različnih čutil: vida, sluha, vonja, dotika, okusa.

Co. druga skupina vključujejo oblike abstraktnega mišljenja, predvsem koncepte, izjave in sklepanje.

Oblike čutnega spoznavanja so Občutek, dojemanje in reprezentanca.

Vsak predmet nima ene, ampak več lastnosti, ki jih poznamo s pomočjo občutkov.

Občutek- to je odraz posameznih lastnosti predmetov ali pojavov materialnega sveta, ki neposredno (tj. zdaj, v tem trenutku) vplivajo na naše čute. To so občutki rdeče, tople, okrogle, zelene, sladke, gladke in drugih posameznih lastnosti predmetov [Getmanova, str. 7].

Iz posameznih občutkov se oblikuje zaznava celotnega predmeta. Na primer, zaznava jabolka je sestavljena iz takšnih občutkov: kroglasto, rdeče, sladko in kislo, dišeče itd.

Zaznavanje je celosten odraz zunanjega materialnega predmeta, ki neposredno vpliva na naše čute [Getmanova, str. osem]. Na primer podoba krožnika, skodelice, žlice, drugih pripomočkov; podoba reke, če zdaj plujemo po njej ali smo na njenih bregovih; podoba gozda, če smo zdaj prišli do gozda itd.

Zaznave so, čeprav so čutni odsev realnosti v naših glavah, v veliki meri odvisne od človeških izkušenj. Na primer, biolog bo travnik zaznal na en način (videl bo različne vrste rastlin), turist ali umetnik pa popolnoma drugače.

Izvedba- to je čutna podoba predmeta, ki ga trenutno ne zaznavamo, vendar smo ga prej zaznali v takšni ali drugačni obliki [Getmanova, str. deset]. Na primer, vizualno si lahko predstavljamo obraze znancev, našo sobo v hiši, brezo ali gobo. To so primeri razmnoževanje predstave, kot smo videli te predmete.

Predstavitev je lahko ustvarjalni, vključno z fantastično. Predstavljamo čudovito princeso labod, ali carja Saltana ali zlatega petelina in številne druge like iz pravljic A.S. Puškina, ki ga nikoli nismo videli in ga nikoli ne bomo videli. To so primeri kreativne predstavitve namesto besednega opisa. Predstavljamo si tudi Sneguročko, dedka Mraza, morsko deklico itd.

Oblike čutnega znanja so torej občutki, zaznave in predstave. Z njihovo pomočjo spoznavamo zunanje vidike predmeta (njegove značilnosti, vključno z lastnostmi).

Oblike abstraktnega mišljenja so koncepti, izjave in sklepi.

Koncepti. Obseg in vsebina pojmov

Izraz "koncept" se običajno uporablja za označevanje celotnega razreda predmetov poljubne narave, ki imajo določeno značilno (razločevalno, bistveno) lastnost ali cel niz takih lastnosti, tj. lastnosti, ki so edinstvene za člane tega razreda.

Z vidika logike je koncept posebna oblika mišljenja, za katero je značilno naslednje: 1) koncept je produkt visoko organizirane materije; 2) koncept odraža materialni svet; 3) koncept se pojavi v zavesti kot sredstvo posploševanja; 4) pojem pomeni specifično človeško dejavnost; 5) oblikovanje koncepta v umu osebe je neločljivo povezano z njegovim izražanjem z govorom, pisanjem ali simbolom.

Kako se koncept katerega koli predmeta resničnosti pojavi v naših glavah?

Proces oblikovanja določenega koncepta je postopen proces, v katerem je mogoče opaziti več zaporednih stopenj. Razmislite o tem procesu z najpreprostejšim primerom - oblikovanjem koncepta številke 3 pri otrocih.

1. Na prvi stopnji spoznavanja se otroci seznanijo z različnimi specifičnimi sklopi, pri čemer uporabljajo predmetne slike in prikazujejo različne sklope treh elementov (tri jabolka, tri knjige, trije svinčniki itd.). Otroci ne le vidijo vsakega od teh sklopov, ampak se lahko tudi dotaknejo (otipajo) predmetov, ki sestavljajo te sklope. Ta proces »videnja« ustvari v otrokovem umu posebno obliko odseva realnosti, ki se imenuje zaznavanje (občutek).

2. Odstranimo predmete (predmete), ki sestavljajo posamezno množico, in povabimo otroke, da ugotovijo, ali je bilo nekaj skupnega, kar je značilno za vsako množico. Število predmetov v posameznem kompletu naj bi se otrokom vtisnilo v zavest, da so bili povsod »trije«. Če je temu tako, potem se je v glavah otrok ustvarila nova oblika - ideja o številu tri.

3. Na naslednji stopnji naj bi otroci na podlagi miselnega eksperimenta ugotovili, da lastnost, izražena z besedo »tri«, označuje katerikoli niz različnih elementov oblike (a; b; c). Tako bomo izpostavili bistveno skupno lastnost tovrstnih sklopov: "imeti tri elemente". Zdaj lahko rečemo, da v glavah otrok oblikovana koncept števila 3.

koncept- to je posebna oblika razmišljanja, ki odraža bistvene (razločne) lastnosti predmetov ali predmetov študija.

Jezikovna oblika pojma je beseda ali skupina besed. Na primer "trikotnik", "številka tri", "točka", "ravna črta", "enakokraki trikotnik", "rastlina", "iglavci", "reka Jenisej", "miza" itd.

Matematični koncepti imajo številne značilnosti. Glavna je ta, da matematični objekti, o katerih je treba oblikovati koncept, v resnici ne obstajajo. Matematične objekte ustvarja človeški um. To so idealni predmeti, ki odražajo resnične predmete ali pojave. Na primer, v geometriji preučujemo obliko in velikost predmetov, ne da bi upoštevali njihove druge lastnosti: barvo, maso, trdoto itd. Od vsega tega so raztreseni, abstrahirani. Zato v geometriji namesto besede "predmet" pravijo "geometrijska figura". Rezultat abstrakcije je matematične pojme, kot "število" in "magnituda".

Glavne značilnosti kaj koncepti so naslednje: 1) glasnost; 2) vsebino; 3) razmerja med pojmi.

Ko govorijo o matematičnem pojmu, običajno mislijo na celotno množico (množico) predmetov, ki jih označuje en izraz (beseda ali skupina besed). Torej, ko govorimo o kvadratu, mislijo na vse geometrijske oblike, ki so kvadrati. Menijo, da je množica vseh kvadratov obseg pojma "kvadrat".

Obseg koncepta se imenuje množica predmetov ali predmetov, za katere se uporablja ta koncept.

Na primer, 1) obseg pojma "paralelogram" je niz štirikotnikov, kot so pravi paralelogrami, rombovi, pravokotniki in kvadrati; 2) obseg pojma "enomestno naravno število" bo množica - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Vsak matematični objekt ima določene lastnosti. Na primer, kvadrat ima štiri stranice, štiri prave kote, ki so enaki diagonalam, diagonale razpolavlja presečišče. Lahko določite njegove druge lastnosti, vendar med lastnostmi predmeta obstajajo bistveno (razločno) in nebistveno.

Nepremičnina se imenuje pomemben (razločevalno) za predmet, če je inherentno temu predmetu in brez njega ne more obstajati; lastnina se imenuje nepomemben za predmet, če lahko obstaja brez njega.

Na primer, za kvadrat so bistvene vse zgoraj naštete lastnosti. Lastnost »stranica AD je vodoravna« za kvadrat ABCD ne bo pomembna (slika 1). Če ta kvadrat zavrtimo, bo stranica AD navpična.

Razmislite o primeru za predšolske otroke z uporabo vizualnega materiala (slika 2):

Opišite sliko.

Majhen črni trikotnik. riž. 2

Velik bel trikotnik.

Kako sta si številki podobni?

Kako se številke razlikujejo?

Barva, velikost.

Kaj ima trikotnik?

3 stranice, 3 vogali.

Tako otroci spoznajo bistvene in nebistvene lastnosti pojma "trikotnik". Bistvene lastnosti – »imeti tri stranice in tri kote«, nebistvene lastnosti – barva in velikost.

Celota vseh bistvenih (razločnih) lastnosti predmeta ali predmeta, ki se odražajo v ta koncept, poklical vsebino pojma .

Na primer, za koncept "paralelograma" je vsebina niz lastnosti: ima štiri stranice, ima štiri vogale, nasprotne stranice so po paru vzporedne, nasprotne stranice so enake, nasprotni koti so enaki, diagonale v presečiščih so razdeljeni na pol.

Obstaja povezava med obsegom pojma in njegovo vsebino: če se obseg pojma poveča, se njegova vsebina zmanjša in obratno. Tako je na primer obseg pojma "enakokraki trikotnik" del obsega pojma "trikotnik", vsebina pojma "enakokraki trikotnik" pa vključuje več lastnosti kot v vsebini pojma "trikotnik", ker enakokraki trikotnik nima le vseh lastnosti trikotnika, ampak tudi druge, ki so lastne samo enakokrakim trikotnikom ("dve strani sta enaki", "dva kota sta enaka", "dve mediani sta enaki" itd.).

Koncepte delimo na samski, skupni in kategorije.

Pojem, katerega prostornina je enaka 1, se imenuje en sam koncept .

Na primer pojmi: "reka Jenisej", "Republika Tuva", "mesto Moskva".

Koncepti, katerih obseg je večji od 1, se imenujejo splošno .

Na primer pojmi: "mesto", "reka", "štirikotnik", "število", "mnogokotnik", "enačba".

V procesu preučevanja temeljev katere koli znanosti otroci praviloma oblikujejo splošne pojme. Na primer, v osnovna šola učenci se seznanijo s pojmi, kot so "število", "število", "enomestna števila", "dvomestna števila", "večmestna števila", "ulomek", "delež", "seštevek", "izraz" ”, “vsota”, “odštevanje”, “odšteto”, “pomanjšano”, “razlika”, “množenje”, “množilec”, “zmnožek”, “deljenje”, “deljeni”, “deljenec”, “kvocient”, "krogla", "valj", "stožec", "kocka", "paralelepiped", "piramida", "kot", "trikotnik", "štirikotnik", "kvadrat", "pravokotnik", "mnogokotnik", " krog", "krog", "krivulja", "pollinija", "odsek", "dolžina odseka", "žarek", "ravna črta", "točka", "dolžina", "širina", "višina", “obod”, “območje oblike”, “prostornina”, “čas”, “hitrost”, “masa”, “cena”, “cena” in mnogi drugi. Vsi ti koncepti so splošni pojmi.

Matematika 1. Od kod beseda matematika 2. Kdo je izumil matematiko? 3. Glavne teme. 4. Definicija 5. Etimologija Na zadnjem diapozitivu.

Od kod izvira beseda (pojdi na prejšnji diapozitiv) Matematika iz grščine - študij, znanost) - veda o strukturah, redu in odnosih, ki zgodovinsko temelji na operacijah štetja, merjenja in opisovanja oblike predmetov. Matematični objekti so ustvarjeni z idealiziranjem lastnosti realnih ali drugih matematičnih objektov in zapisom teh lastnosti v formalnem jeziku.

Kdo je izumil matematiko (pojdi na meni) Prvi matematik se običajno imenuje Thales iz Mileta, ki je živel v VI stoletju. pr. n. št e. , eden od tako imenovanih sedmih grških modrecev. Kakor koli že, prav on je bil prvi, ki je strukturiral celotno bazo znanja o tej temi, ki se je že dolgo oblikovala v svetu, ki ga pozna. Vendar pa je bil avtor prve razprave o matematiki, ki je prišla do nas, Evklid (III. stoletje pred našim štetjem). Tudi on se zasluženo šteje za očeta te znanosti.

Glavne teme (pojdite na meni) Področje matematike vključuje samo tiste vede, v katerih se obravnava red ali mera, pri čemer sploh ni pomembno, ali so to števila, številke, zvezde, zvoki ali kar koli drugega, v čemer je ta mera se najde. Tako mora obstajati neka splošna veda, ki pojasnjuje vse, kar se nanaša na red in mero, ne da bi se spuščala v študij kakih posebnih predmetov, in ta veda se ne sme imenovati s tujim, ampak s starim, že običajnim imenom splošna matematika.

Definicija (pojdi na meni) Sodobna analiza temelji na klasični matematični analizi, ki velja za eno od treh glavnih področij matematike (poleg algebre in geometrije). Hkrati se izraz "matematična analiza" v klasičnem pomenu uporablja predvsem v učnih načrtih in gradivih. V anglo-ameriški tradiciji klasična matematična analiza ustreza programom tečajev z imenom "kalkulus"

Etimologija (pojdite na meni) Beseda "matematika" izvira iz druge grščine. , kar pomeni študij, znanje, znanost itd. -grško, prvotno pomeni sprejemljiv, uspešen, kasneje povezano s študijem, kasneje povezano z matematiko. Konkretno v latinščini pomeni umetnost matematike. Izraz je drug -grški. v sodobnem pomenu besede "matematika" najdemo že v delih Aristotela (4. stoletje pr. n. št.) v "Knjigi izbranih na kratko o devetih muzah in o sedmih svobodnih umetnostih" (1672)

Idealizirane lastnosti preučevanih predmetov so bodisi oblikovane kot aksiomi bodisi navedene v definiciji ustreznih matematičnih objektov. Nato se po strogih pravilih logičnega sklepanja iz teh lastnosti izpeljejo druge prave lastnosti (teoremi). Ta teorija skupaj tvori matematični model preučevanega predmeta. Tako matematika, sprva izhajajoč iz prostorskih in kvantitativnih odnosov, dobi bolj abstraktne odnose, katerih proučevanje je tudi predmet sodobne matematike.

Tradicionalno se matematika deli na teoretično, ki izvaja poglobljeno analizo intramatematičnih struktur, in uporabno, ki daje svoje modele drugim znanostim in inženirskim disciplinam, nekatere od njih pa zavzemajo položaj, ki meji na matematiko. Zlasti formalno logiko lahko obravnavamo tako kot del filozofskih ved kot del matematičnih ved; mehanika - tako fizika kot matematika; računalništvo, računalniška tehnologija in algoritmika se nanašajo na inženirske in matematične vede itd. V literaturi je bilo predlaganih veliko različnih definicij matematike.

Etimologija

Beseda "matematika" izvira iz druge grščine. μάθημα, kar pomeni študij, znanja, znanost itd. - grško. μαθηματικός, prvotno pomen receptiven, ploden, kasneje preučljiv, naknadno ki se nanašajo na matematiko. Še posebej, μαθηματικὴ τέχνη , v latinščini ars matematika, pomeni umetnost matematike. Izraz drugi grški. μᾰθημᾰτικά v sodobnem pomenu besede "matematika" najdemo že v spisih Aristotela (4. stoletje pr. n. št.). Po Fasmerju je beseda prišla v ruski jezik prek poljščine. matematyka, ali preko lat. matematika.

Definicije

Eno prvih definicij predmeta matematike je podal Descartes:

Področje matematike vključuje samo tiste vede, v katerih se upošteva bodisi red bodisi mera, pri čemer sploh ni pomembno, ali so to števila, številke, zvezde, zvoki ali karkoli drugega, v čemer se išče ta mera. Tako mora obstajati neka splošna veda, ki pojasnjuje vse, kar se nanaša na red in mero, ne da bi se spuščala v študij kakih posebnih predmetov, in ta veda se ne sme imenovati s tujim, ampak s starim, že običajnim imenom splošna matematika.

Bistvo matematike ... je zdaj predstavljeno kot nauk o odnosih med predmeti, o katerih ni znano nič, razen nekaterih lastnosti, ki jih opisujejo - ravno tistih, ki so postavljene kot aksiomi v osnovo teorije ... Matematika je niz abstraktnih oblik – matematičnih struktur.

Veje matematike

1. Matematika kot akademska disciplina

Notacija

Ker se matematika ukvarja z izjemno raznolikimi in precej kompleksnimi strukturami, je zelo kompleksen tudi njen zapis. Sodoben sistem pisanje formul se je oblikovalo na podlagi evropske algebrske tradicije, pa tudi potreb kasnejših delov matematike - matematične analize, matematične logike, teorije množic itd. Geometrija je že od nekdaj uporabljala vizualno (geometrično) predstavitev. V sodobni matematiki so pogosti tudi kompleksni grafični zapisni sistemi (na primer komutativni diagrami), pogosto pa se uporablja tudi zapis na podlagi grafov.

Kratka zgodba

Filozofija matematike

Cilji in metode

Vesolje R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), pri n > 3 (\displaystyle n>3) je matematični izum. Vendar zelo genialen izum, ki pomaga matematično razumeti kompleksne pojave».

Temelji

intuicionizem

Konstruktivna matematika

razjasniti

Glavne teme

Količina

Glavni del, ki se ukvarja z abstrakcijo količine, je algebra. Pojem "število" izvira iz aritmetičnih predstavitev in se nanaša na naravna števila. Kasneje so ga s pomočjo algebre postopoma razširili na cela, racionalna, realna, kompleksna in druga števila.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\lpike ) Racionalna števila 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\lpike ) Realne številke − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\lpike ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\pike ) Kompleksna števila Kvaternioni

Preobrazbe

Pojavi transformacij in sprememb so z analizo obravnavani v najbolj splošni obliki.

strukture

Prostorski odnosi

Geometrija obravnava osnove prostorskih odnosov. Trigonometrija obravnava lastnosti trigonometričnih funkcij. Preučevanje geometrijskih objektov z matematično analizo se ukvarja z diferencialno geometrijo. Lastnosti prostorov, ki ostanejo nespremenjeni pri zveznih deformacijah, in sam pojav kontinuitete preučuje topologija.

Diskretna matematika

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Matematika obstaja že zelo dolgo. Človek je nabiral sadeže, jih izkopaval, lovil ribe in vse to shranjeval za zimo. Da bi razumeli, koliko hrane je shranjeno, je oseba izumila račun. Tako se je začela matematika.

Potem se je moški začel ukvarjati s kmetijstvom. Treba je bilo meriti zemljišča, graditi bivališča, meriti čas.

To pomeni, da je človeku postalo potrebno uporabiti kvantitativno razmerje resničnega sveta. Ugotovite, koliko pridelkov je bilo pobranih, kakšna je velikost gradbene parcele ali kako velika je površina neba z določenim številom svetlih zvezd.

Poleg tega je oseba začela določati oblike: sonce je okroglo, škatla je kvadratna, jezero je ovalno in kako se ti predmeti nahajajo v prostoru. To pomeni, da so se človek začeli zanimati za prostorske oblike resničnega sveta.

Tako koncept matematika lahko definiramo kot znanost o kvantitativnih odnosih in prostorskih oblikah realnega sveta.

Trenutno ni niti enega poklica, kjer bi lahko šlo brez matematike. Slavni nemški matematik Carl Friedrich Gauss, ki so ga imenovali "kralj matematike", je nekoč rekel:

"Matematika je kraljica znanosti, aritmetika je kraljica matematike."

Beseda "aritmetika" izhaja iz grške besede "arithmos" - "število".

V to smer, aritmetika je veja matematike, ki proučuje števila in operacije z njimi.

V osnovni šoli se najprej učijo aritmetiko.

Kako se je razvila ta znanost, raziščimo to vprašanje.

Obdobje rojstva matematike

Glavno obdobje kopičenja matematičnega znanja velja za čas pred 5. stoletjem pr.

Prvi, ki je začel dokazovati matematična stališča, je bil starogrški mislec, ki je živel v 7. stoletju pred našim štetjem, predvidoma 625-545. Ta filozof je potoval po državah vzhoda. Izročilo pravi, da se je učil pri egiptovskih duhovnikih in babilonskih Kaldejcih.

Tales iz Mileta je iz Egipta v Grčijo prinesel prve pojme elementarne geometrije: kaj je premer, kaj določa trikotnik itd. Napovedal je sončni mrk, načrtoval inženirske konstrukcije.

V tem obdobju se postopoma razvija aritmetika, razvijata se astronomija in geometrija. Rodita se algebra in trigonometrija.

Obdobje osnovne matematike

To obdobje se začne s VI pr. Zdaj se matematika pojavlja kot znanost s teorijami in dokazi. Pojavi se teorija števil, nauk o količinah, njihovem merjenju.

Najbolj znan matematik tega časa je Evklid. Živel je v III stoletju pr. Ta človek je avtor prve teoretične razprave o matematiki, ki je prišla do nas.

V delih Evklida so podani temelji tako imenovane evklidske geometrije – to so aksiomi, ki sloni na osnovnih konceptih, kot npr.

V obdobju elementarne matematike se je rodila teorija števil, pa tudi nauk o količinah in njihovem merjenju. Prvič se pojavijo negativna in iracionalna števila.

Ob koncu tega obdobja opazimo nastanek algebre kot dobesednega računa. Sama veda »algebra« se med Arabci pojavi kot veda o reševanju enačb. Beseda "algebra" v arabščini pomeni "okrevanje", to je prenos negativnih vrednosti v drug del enačbe.

Obdobje matematike spremenljivk

Utemeljitelj tega obdobja je Rene Descartes, ki je živel v 17. stoletju našega štetja. Descartes v svojih spisih prvič uvede pojem spremenljivke.

Zahvaljujoč temu se znanstveniki premaknejo s preučevanja stalnih količin na preučevanje odnosov med spremenljivkami in na matematični opis gibanja.

Najbolj jasno je to obdobje označil Friedrich Engels, ki je v svojih spisih zapisal:

»Prelomnica v matematiki je bila kartezična spremenljivka. Zahvaljujoč temu je gibanje in s tem dialektika vstopilo v matematiko in zahvaljujoč temu sta takoj postala potrebna diferencialni in integralni račun, ki takoj nastane in ki sta ga v veliki meri dokončala in ne izumila Newton in Leibniz.

Obdobje moderne matematike

V dvajsetih letih 19. stoletja je Nikolaj Ivanovič Lobačevski postal utemeljitelj tako imenovane neevklidske geometrije.

Od tega trenutka se začne razvoj najpomembnejših delov sodobne matematike. Kot so teorija verjetnosti, teorija množic, matematična statistika in tako naprej.

Vsa ta odkritja in študije se pogosto uporabljajo na različnih področjih znanosti.

Trenutno se matematična znanost hitro razvija, predmet matematike se širi, vključno z novimi oblikami in razmerji, dokazujejo se novi izreki in poglabljajo se osnovni koncepti.

Idealizirane lastnosti preučevanih predmetov so bodisi oblikovane kot aksiomi bodisi navedene v definiciji ustreznih matematičnih objektov. Nato se po strogih pravilih logičnega sklepanja iz teh lastnosti izpeljejo druge prave lastnosti (teoremi). Ta teorija skupaj tvori matematični model preučevanega predmeta. Tako matematika sprva izhaja iz prostorskih in kvantitativnih odnosov dobi bolj abstraktne odnose, katerih preučevanje je tudi predmet sodobne matematike.

Tradicionalno se matematika deli na teoretično, ki izvaja poglobljeno analizo intramatematičnih struktur, in uporabno, ki daje svoje modele drugim znanostim in inženirskim disciplinam, nekatere od njih pa zavzemajo položaj, ki meji na matematiko. Zlasti formalno logiko lahko obravnavamo tako kot del filozofskih ved kot del matematičnih ved; mehanika - tako fizika kot matematika; računalništvo, računalniška tehnologija in algoritmika se nanašajo na inženirske in matematične vede itd. V literaturi je bilo predlaganih veliko različnih definicij matematike (glej).

Etimologija

Beseda "matematika" izvira iz druge grščine. μάθημα ( matematika), kar pomeni študij, znanja, znanost itd. - grško. μαθηματικός ( mathematicos), prvotno pomen receptiven, ploden, kasneje preučljiv, naknadno ki se nanašajo na matematiko. Še posebej, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), v latinici ars matematika, pomeni umetnost matematike.

Definicije

Področje matematike vključuje samo tiste vede, v katerih se upošteva bodisi red bodisi mera, pri čemer sploh ni pomembno, ali so to števila, številke, zvezde, zvoki ali karkoli drugega, v čemer se išče ta mera. Tako mora obstajati neka splošna veda, ki pojasnjuje vse, kar se nanaša na red in mero, ne da bi se spuščala v študij kakih posebnih predmetov, in ta veda se ne sme imenovati s tujim, ampak s starim, že običajnim imenom splošna matematika.

V sovjetskih časih je definicija iz TSB, ki jo je dal A. N. Kolmogorov, veljala za klasično:

Matematika ... veda o kvantitativnih odnosih in prostorskih oblikah realnega sveta.

Bistvo matematike ... je zdaj predstavljeno kot nauk o odnosih med predmeti, o katerih ni znano nič, razen nekaterih lastnosti, ki jih opisujejo - ravno tistih, ki so postavljene kot aksiomi v osnovo teorije ... Matematika je niz abstraktnih oblik – matematičnih struktur.

Tukaj je nekaj bolj sodobnih definicij.

Sodobna teoretična (»čista«) matematika je veda o matematičnih strukturah, matematičnih invariantah. različne sisteme in procesi.

Matematika je veda, ki omogoča izračunavanje modelov, ki jih je mogoče reducirati na standardno (kanonično) obliko. Znanost o iskanju rešitev za analitične modele (analiza) s pomočjo formalnih transformacij.

Veje matematike

1. Matematika kot akademska disciplina je v Ruski federaciji razdeljen na osnovno matematiko, ki se preučuje v srednji šoli in jo tvorijo naslednje discipline:

• elementarna geometrija: planimetrija in stereometrija
• teorija elementarnih funkcij in elementi analize

4. Ameriško matematično društvo (AMS) je razvilo lasten standard za razvrščanje vej matematike. Imenuje se klasifikacija predmetov matematike. Ta standard se redno posodablja. Trenutna različica je MSC 2010. Prejšnja različica je MSC 2000.

Notacija

Ker se matematika ukvarja z izjemno raznolikimi in precej kompleksnimi strukturami, je zelo kompleksen tudi zapis. Sodobni sistem pisanja formul je nastal na podlagi evropske algebraične tradicije, pa tudi matematične analize (koncept funkcije, odvoda itd.). Geometrija že od nekdaj uporablja vizualno (geometrijsko) predstavitev. V sodobni matematiki so pogosti tudi kompleksni grafični zapisni sistemi (na primer komutativni diagrami), pogosto pa se uporablja tudi zapis na podlagi grafov.

Kratka zgodba

Razvoj matematike sloni na pisanju in zapisovanju števil. Verjetno so starodavni ljudje najprej izražali količino tako, da so risali črte po tleh ali jih praskali po lesu. Stari Inki, ki niso imeli drugega pisnega sistema, so predstavljali in shranjevali numerične podatke s pomočjo zapletenega sistema vrvnih vozlov, tako imenovanega quipu. Obstajalo je veliko različnih številskih sistemov. Prvi znani zapisi o številih so bili najdeni v Ahmesovem papirusu, ki so ga ustvarili Egipčani iz srednjega kraljestva. Indijska civilizacija je razvila sodoben decimalni številski sistem, ki vključuje koncept ničle.

V zgodovini so se glavne matematične discipline pojavile pod vplivom potrebe po izračunih na komercialnem področju, pri merjenju zemlje in napovedovanju astronomskih pojavov ter kasneje pri reševanju novih fizikalnih problemov. Vsako od teh področij ima veliko vlogo v širokem razvoju matematike, ki sestoji iz preučevanja struktur, prostorov in sprememb.

Filozofija matematike

Cilji in metode

Matematika proučuje namišljene, idealne predmete in odnose med njimi z uporabo formalnega jezika. Na splošno matematični koncepti in izreki ne ustrezajo nujno ničemur v fizičnem svetu. Glavna naloga uporabne veje matematike je ustvariti matematični model, ki je dovolj primeren za realni objekt, ki ga proučujemo. Naloga teoretičnega matematika je zagotoviti zadosten nabor priročnih sredstev za dosego tega cilja.

Vsebino matematike lahko opredelimo kot sistem matematičnih modelov in orodij za njihovo izdelavo. Objektni model ne upošteva vseh njegovih značilnosti, ampak le tiste, ki so za namene študija najbolj potrebne (idealizirane). Na primer, ko preučujemo fizikalne lastnosti pomaranče, se lahko abstrahiramo od njene barve in okusa ter jo predstavljamo (čeprav ne povsem natančno) kot kroglo. Če moramo razumeti, koliko pomaranč dobimo, če seštejemo dve in tri, potem lahko abstrahiramo stran od oblike in pustimo modelu samo eno lastnost - količino. Abstrakcija in vzpostavljanje odnosov med predmeti v najbolj splošni obliki je eno glavnih področij matematične ustvarjalnosti.

Druga smer, poleg abstrakcije, je posploševanje. Na primer posploševanje pojma "prostor" na prostor n-razsežnosti. " Prostor na je matematična fikcija. Vendar zelo genialen izum, ki pomaga matematično razumeti kompleksne pojave».

Študij intramatematičnih predmetov praviloma poteka z uporabo aksiomatske metode: najprej se oblikuje seznam osnovnih konceptov in aksiomov za preučevane predmete, nato pa se iz aksiomov pridobijo smiselni izreki z uporabo pravil sklepanja, ki skupaj tvorijo matematični model.

Temelji

O vprašanju bistva in temeljev matematike se razpravlja že od Platonovih časov. Od 20. stoletja obstaja primerjalno soglasje o tem, kaj je treba šteti za strog matematični dokaz, ni pa soglasja o tem, kaj se šteje za resnično v matematiki. To povzroča nesoglasja tako pri vprašanjih aksiomatike in medsebojne povezanosti vej matematike kot pri izbiri logičnih sistemov, ki jih je treba uporabiti pri dokazovanju.

Poleg skeptičnih so znani naslednji pristopi k temu vprašanju.

Teoretski pristop

Predlagano je obravnavanje vseh matematičnih objektov v okviru teorije množic, najpogosteje z Zermelo-Fraenklovo aksiomatiko (čeprav obstaja veliko drugih, ki so ji enakovredne). Ta pristop je veljal za prevladujočega od sredine 20. stoletja, vendar si v resnici večina matematičnih del ne zada naloge prevajanja svojih izjav strogo v jezik teorije množic, temveč operira s koncepti in dejstvi, uveljavljenimi na nekaterih področjih matematike. Če torej v teoriji množic najdemo protislovje, to ne bo povzročilo razveljavitve večine rezultatov.

logicizem

Ta pristop predvideva strogo tipizacijo matematičnih objektov. Številni paradoksi, ki se jim v teoriji množic izognemo le s posebnimi triki, se izkažejo za načeloma nemogoče.

Formalizem

Ta pristop vključuje preučevanje formalnih sistemov, ki temeljijo na klasični logiki.

intuicionizem

Intuicionizem v osnovi matematike predpostavlja intuicionistično logiko, ki je glede dokaznih sredstev bolj omejena (a menda tudi bolj zanesljiva). Intuicionizem zavrača dokazovanje s protislovjem, mnogi nekonstruktivni dokazi postanejo nemogoči in številni problemi teorije množic postanejo nesmiselni (neformalizljivi).

Konstruktivna matematika

Konstruktivna matematika je smer v matematiki, ki je blizu intuicionizmu in proučuje konstruktivne konstrukcije [ razjasniti] . Po kriteriju gradljivosti - " obstajati pomeni biti zgrajen". Merilo konstruktivnosti je močnejša zahteva kot merilo konsistentnosti.

Glavne teme

Številke

Pojem "število" se je prvotno nanašal na naravna števila. Kasneje so ga postopoma razširili na cela, racionalna, realna, kompleksna in druga števila.

Cela števila Racionalna števila Realne številke Kompleksna števila Kvaternioni

Numerični sistemi
Štetje kompleti	Naravna števila () Cela števila () Racionali () Algebra () Periode Izračunljiva aritmetika
Realne številke in njihove razširitve	Realni () Kompleksni () Kvaternioni () Cayleyjeva števila (oktave, oktonioni) () Sedenioni () Alternioni Cayley-Dixonov postopek Dualno hiperkompleksno Superrealno Hiperrealno Nadrealno število ( angleščina)
drugo številski sistemi	Kardinalna števila Redna števila (transfinitna, ordinalna) p-adična Nadnaravna števila
Poglej tudi	Dvojna števila Iracionalna števila Transcendentni številski žarek Bikvaternion

Preobrazbe

Diskretna matematika

Šifre v sistemih klasifikacije znanja

Spletne storitve

Obstaja veliko število spletnih mest, ki ponujajo storitve za matematične izračune. Večina jih je v angleščini. Od rusko govorečih je mogoče omeniti storitev matematičnih poizvedb iskalnika Nigma.

Poglej tudi

Popularizatorji znanosti

Opombe

1. Enciklopedija Britannica
2. Websterjev spletni slovar
3. Poglavje 2. Matematika kot jezik znanosti. Sibirska odprta univerza. Arhivirano iz izvirnika 2. februarja 2012. Pridobljeno 5. oktobra 2010.
4. Veliki starogrški slovar (αω)
5. Slovar ruskega jezika XI-XVII stoletja. Številka 9 / Pogl. izd. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
6. Descartes R. Pravila za vodenje uma. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. Glej: TSB Mathematics
8. Marx K., Engels F. dela. 2. izd. T. 20. S. 37.
9. Bourbaki N. Arhitektura matematike. Eseji o zgodovini matematike / Prevedla I. G. Bashmakova, ur. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Kazijev V. M. Uvod v matematiko
11. Mukhin O. I. Vadnica za modeliranje sistemov. Perm: RCI PSTU.
12. Herman Weil // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
13. Državni izobraževalni standard višjega strokovnega izobraževanja. Posebnost 01.01.00. "Matematika". Kvalifikacija - matematik. Moskva, 2000 (zbrano pod vodstvom O. B. Lupanova)
14. Nomenklatura specialnosti znanstvenih delavcev, odobrena z odredbo Ministrstva za izobraževanje in znanost Rusije z dne 25. februarja 2009 št. 59
15. UDK 51 Matematika
16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Elementi linearne algebre in analitične geometrije. M.: Nauka, 1988. S. 44.
17. N. I. Kondakov. Logični slovar-priročnik. M.: Nauka, 1975. S. 259.
18. G. I. Ruzavin. O naravi matematičnega znanja. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Na primer: http://mathworld.wolfram.com

Literatura

enciklopedije

• // Enciklopedični slovar Brockhausa in Efrona: v 86 zvezkih (82 zvezkov in 4 dodatni). - St. Petersburg. , 1890-1907.
• Matematična enciklopedija (v 5 zvezkih), 1980. // Splošne in posebne matematične reference na EqWorld
• Kondakov N.I. Logični slovar-priročnik. Moskva: Nauka, 1975.
• Enciklopedija matematičnih znanosti in njihove uporabe (nemščina) 1899-1934 (največji pregled literature 19. stoletja)

Referenčne knjige

• G. Korn, T. Korn. Priročnik matematike za znanstvenike in inženirje M., 1973

knjige

• Kline M. matematika. Izguba gotovosti. - M.: Mir, 1984.
• Kline M. matematika. Iskanje resnice. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Elementarna matematika z višjega vidika.

• Zvezek I. Aritmetika. Algebra. Analiza M.: Nauka, 1987. 432 str.
• zvezek II. Geometrija M.: Nauka, 1987. 416 str.

• R. Courant, G. Robbins. Kaj je matematika? 3. izdaja, rev. in dodatno - M.: 2001. 568 str.
• Pisarevsky B. M., Kharin V. T. O matematiki, matematikih in ne samo. - M.: Binom. Laboratorij znanja, 2012. - 302 str.
• Poincare A. Znanost in metoda (rus.) (fr.)

Matematika je ena najstarejših ved. Sploh ni enostavno podati kratke definicije matematike, njena vsebina se bo zelo razlikovala glede na stopnjo matematične izobrazbe osebe. Šolar osnovna šola, ki je pravkar začel študirati aritmetiko, bo rekel, da matematika preučuje pravila za štetje predmetov. In imel bo prav, saj se s tem najprej seznani. Starejši učenci bodo k povedanemu dodali, da pojem matematika vključuje algebro in preučevanje geometrijskih objektov: črt, njihovih presečišč, ravninskih likov, geometrijskih teles, različnih vrst transformacij. Maturanti pa bodo v definicijo matematike vključili preučevanje funkcij in dejanje prehoda na mejo ter s tem povezana pojma odvod in integral. Diplomanti višjih tehničnih izobraževalnih ustanov ali naravoslovnih oddelkov univerz in pedagoških inštitutov se ne bodo več zadovoljili s šolskimi definicijami, saj vedo, da so del matematike tudi druge discipline: teorija verjetnosti, matematična statistika, diferencialni račun, programiranje, računske metode, kot tudi aplikacije teh disciplin za modeliranje proizvodnih procesov, obdelavo eksperimentalnih podatkov, prenos in obdelavo informacij. Vendar pa našteto ne izčrpa vsebine matematike. V njegovo sestavo so vključeni tudi teorija množic, matematična logika, optimalno vodenje, teorija naključnih procesov in še veliko več.

Poskusi definiranja matematike z naštevanjem njenih sestavnih vej nas zavajajo, saj ne dajejo predstave o tem, kaj natančno matematika preučuje in kakšen je njen odnos do sveta okoli nas. Če bi takšno vprašanje postavili fiziku, biologu ali astronomu, bi vsak od njih dal zelo kratek odgovor, ki ne bi vseboval seznama delov, ki sestavljajo znanost, ki jo proučujejo. Takšen odgovor bi vseboval navedbo pojavov narave, ki jih raziskuje. Na primer, biolog bi rekel, da je biologija preučevanje različnih manifestacij življenja. Čeprav ta odgovor ni povsem popoln, saj ne pove, kaj so življenje in življenjski pojavi, pa bi takšna definicija dala dokaj popolno predstavo o vsebini same znanosti o biologiji in o različnih ravneh te znanosti. . In ta definicija se ne bi spremenila s širitvijo našega znanja o biologiji.

Ni takšnih pojavov narave, tehničnih ali družbenih procesov, ki bi bili predmet proučevanja matematike, a ne bi bili povezani s fizikalnimi, biološkimi, kemijskimi, inženirskimi ali družbenimi pojavi. Vsaka naravoslovna disciplina: biologija in fizika, kemija in psihologija - je določena z materialnimi značilnostmi njenega predmeta, posebnostmi področja resničnega sveta, ki ga preučuje. Sam objekt ali pojav lahko proučujemo z različnimi metodami, tudi matematičnimi, a s spreminjanjem metod še vedno ostajamo znotraj meja te vede, saj je vsebina te vede pravi predmet in ne raziskovalna metoda. Za matematiko materialni predmet raziskovanja ni odločilnega pomena, pomembna je uporabljena metoda. Na primer, trigonometrične funkcije se lahko uporabljajo za preučevanje nihajnega gibanja in za določanje višine nedostopnega predmeta. In katere pojave realnega sveta je mogoče raziskati z matematično metodo? Teh pojavov ne določa njihova materialna narava, temveč izključno formalne strukturne lastnosti, predvsem pa tista kvantitativna razmerja in prostorske oblike, v katerih obstajajo.

Torej matematika ne preučuje materialnih predmetov, temveč raziskovalne metode in strukturne lastnosti predmeta študija, ki omogočajo uporabo določenih operacij na njem (seštevanje, diferenciacija itd.). Pomemben del matematičnih problemov, konceptov in teorij pa ima kot primarni vir realne pojave in procese. Na primer, aritmetika in teorija števil sta izšli iz primarne praktične naloge štetja predmetov. Elementarna geometrija je imela za svoj vir probleme, povezane s primerjanjem razdalj, računanjem ploščin ravninskih likov ali prostornin prostorskih teles. Vse to je bilo treba poiskati, saj je bilo treba zemljišča prerazporediti med uporabnike, izračunati velikost kašč ali obseg zemeljskih del pri gradnji obrambnih objektov.

Matematični rezultat ima to lastnost, da ga ni mogoče uporabiti le pri preučevanju določenega pojava ali procesa, temveč tudi za preučevanje drugih pojavov, katerih fizična narava je bistveno drugačna od tistih, ki so bile prej obravnavane. Torej so pravila aritmetike uporabna tako pri ekonomskih problemih kot pri tehničnih vprašanjih in pri reševanju problemov Kmetijstvo in v znanstvenih raziskavah. Pravila aritmetike so bila razvita pred tisočletji, vendar so za vedno ohranila svojo uporabno vrednost. Aritmetika je sestavni del matematike, njen tradicionalni del ni več predmet ustvarjalni razvoj v okviru matematike, vendar najde in bo še našla številne nove aplikacije. Te aplikacije so lahko dobra vrednost za človeštvo, vendar ne bodo več prispevali k pravi matematiki.

Matematika kot ustvarjalna sila ima za cilj razvoj splošnih pravil, ki jih je treba uporabiti v številnih posebnih primerih. Tisti, ki ustvarja ta pravila, ustvarja nekaj novega, ustvarja. Tisti, ki uporablja že pripravljena pravila, ne ustvarja več v sami matematiki, ampak je zelo verjetno, da s pomočjo matematičnih pravil ustvarja nove vrednosti na drugih področjih znanja. Danes se na primer podatki iz interpretacije satelitskih posnetkov, pa tudi informacije o sestavi in ​​starosti kamnin, geokemičnih in geofizikalnih anomalijah obdelujejo z računalniki. Nedvomno uporaba računalnika v geoloških raziskavah pusti te raziskave geološke. Načela delovanja računalnikov in njihove programske opreme so bila razvita brez upoštevanja možnosti njihove uporabe v interesu geološke znanosti. Sama ta možnost je določena z dejstvom, da so strukturne lastnosti geoloških podatkov v skladu z logiko določenih računalniških programov.

Dve definiciji matematike sta postali razširjeni. Prvega je podal F. Engels v delu Anti-Dühring, drugega pa skupina francoskih matematikov, znanih kot Nicolas Bourbaki, v članku Arhitektura matematike (1948).

"Čista matematika ima za predmet prostorske oblike in kvantitativne odnose realnega sveta." Ta definicija ne opisuje samo predmeta preučevanja matematike, ampak nakazuje tudi njen izvor - realni svet. Vendar ta definicija F. Engelsa v veliki meri odraža stanje matematike v drugi polovici 19. stoletja. in ne upošteva tistih njegovih novih področij, ki niso neposredno povezana niti s kvantitativnimi razmerji niti z geometrijske oblike. To je najprej matematična logika in discipline, povezane s programiranjem. Zato je treba to opredelitev nekoliko pojasniti. Morda bi bilo treba reči, da ima matematika za predmet študija prostorske oblike, kvantitativne odnose in logične konstrukcije.

Bourbaki trdita, da so "edini matematični objekti, pravilno rečeno, matematične strukture." Z drugimi besedami, matematiko je treba opredeliti kot znanost o matematičnih strukturah. Ta definicija je v bistvu tavtologija, saj pravi le eno: matematika se ukvarja s predmeti, ki jih proučuje. Druga pomanjkljivost te definicije je, da ne razjasni odnosa matematike do sveta okoli nas. Poleg tega Bourbaki poudarja, da so matematične strukture ustvarjene neodvisno od realnega sveta in njegovih pojavov. Zato je bil Bourbaki prisiljen izjaviti, da je »glavni problem razmerje med eksperimentalnim in matematičnim svetom. Zdi se, da obstaja tesna povezava med eksperimentalnimi pojavi in ​​matematičnimi strukturami, ki so jo na povsem nepričakovan način potrdila odkritja sodobne fizike, vendar se globokih razlogov za to popolnoma ne zavedamo ... in jih morda ne bomo nikoli izvedeli. .

Tako razočaranje ne more izhajati iz definicije F. Engelsa, saj že vsebuje trditev, da so matematični pojmi abstrakcije iz določenih odnosov in oblik realnega sveta. Ti koncepti so vzeti iz resničnega sveta in so z njim povezani. V bistvu to pojasnjuje neverjetno uporabnost rezultatov matematike na pojave sveta okoli nas in hkrati uspešnost procesa matematizacije znanja.

Matematika ni izjema od vseh področij znanja – oblikuje tudi koncepte, ki izhajajo iz praktičnih situacij in poznejših abstraktnih oblik; omogoča preučevanje realnosti tudi približno. Vendar se je treba zavedati, da matematika ne preučuje stvari iz resničnega sveta, temveč abstraktni pojmi in da so njeni logični zaključki popolnoma strogi in natančni. Njegova bližina ni notranje narave, temveč je povezana s sestavljanjem matematičnega modela pojava. Ugotavljamo tudi, da pravila matematike nimajo absolutne uporabnosti, imajo tudi omejeno področje uporabe, kjer kraljujejo. Izraženo misel pojasnimo s primerom: izkazalo se je, da dva in dva nista vedno enaka štiri. Znano je, da pri mešanju 2 litrov alkohola in 2 litrov vode dobimo manj kot 4 litre mešanice. V tej mešanici so molekule razporejene bolj kompaktno, prostornina mešanice pa je manjša od vsote prostornin sestavnih komponent. Aritmetično pravilo seštevanja je kršeno. Navedete lahko tudi primere, v katerih so kršene druge aritmetične resnice, na primer pri seštevanju nekaterih predmetov se izkaže, da je vsota odvisna od vrstnega reda seštevanja.

Številni matematiki matematičnih pojmov ne obravnavajo kot stvaritev čistega razuma, temveč kot abstrakcije iz resnično obstoječih stvari, pojavov, procesov ali abstrakcije iz že uveljavljenih abstrakcij (abstrakcije višjega reda). V Dialektiki narave je F. Engels zapisal, da "... se vsa tako imenovana čista matematika ukvarja z abstrakcijami ... vse njene količine so, strogo gledano, imaginarne količine ..." Te besede precej jasno odražajo mnenje eden od utemeljiteljev marksistične filozofije o vlogi abstrakcije v matematiki. Dodajmo le, da so vse te "imaginarne količine" vzete iz realnosti in niso konstruirane samovoljno, s prostim preletom misli. Tako je pojem števila prišel v splošno rabo. Sprva so bila to števila znotraj enot in poleg tega le pozitivna cela števila. Potem me je izkušnja prisilila, da sem razširil arzenal števil na desetice in stotine. Koncept neomejenosti niza celih števil se je rodil že v obdobju, ki je zgodovinsko blizu nas: Arhimed je v knjigi "Psammit" ("Izračun zrn peska") pokazal, kako je mogoče sestaviti števila, celo večja od danih. . Hkrati se je koncept delnih števil rodil iz praktičnih potreb. Izračuni, povezani z najpreprostejšimi geometrijskimi figurami, so človeštvo pripeljali do novih števil - iracionalnih. Tako se je postopoma oblikovala zamisel o nizu vseh realnih števil.

Isti poti lahko sledimo za vse druge koncepte matematike. Vsi so izhajali iz praktičnih potreb in se postopoma oblikovali v abstraktne koncepte. Ponovno se lahko spomnimo na besede F. Engelsa: »... čista matematika ima pomen, neodvisen od posebne izkušnje vsakega posameznika ... Vendar je popolnoma napačno, da se v čisti matematiki um ukvarja samo s svojimi produkti. ustvarjalnost in domišljija. Pojma števila in številke nista vzeta od nikoder, ampak samo iz resničnega sveta. Deset prstov, na katerih so se ljudje naučili šteti, torej izvesti prvo aritmetično operacijo, je vse prej kot produkt svobodne ustvarjalnosti uma. Da bi lahko šteli, je treba imeti ne samo predmete, ki jih je treba šteti, ampak tudi sposobnost, da se pri obravnavanju teh predmetov odvrne od vseh drugih lastnosti, razen števila, in ta sposobnost je rezultat dolgega zgodovinskega razvoja, ki temelji na izkušnje. Tako koncept števila kot koncept figure sta si izposojena izključno iz zunanjega sveta in nista nastala v glavi iz čistega razmišljanja. Morale so obstajati stvari, ki so imele določeno obliko, in te oblike je bilo treba primerjati, preden smo lahko prišli do koncepta figure.

Razmislimo, ali v znanosti obstajajo pojmi, ki nastajajo brez povezave s preteklim napredkom znanosti in sedanjim napredkom prakse. Dobro vemo, da je pred znanstveno matematično ustvarjalnostjo študij številnih predmetov v šoli, na univerzi, branje knjig, člankov, pogovori s strokovnjaki tako na svojem področju kot na drugih področjih znanja. Matematik živi v družbi in iz knjig, na radiu, iz drugih virov spoznava probleme, ki se pojavljajo v znanosti, tehniki in družbenem življenju. Poleg tega na razmišljanje raziskovalca vpliva celoten prejšnji razvoj znanstvene misli. Zato se izkaže, da je pripravljen na rešitev določenih problemov, potrebnih za napredek znanosti. Zato si znanstvenik ne more postavljati problemov po mili volji, na muho, ampak mora ustvarjati matematične koncepte in teorije, ki bi bili dragoceni za znanost, za druge raziskovalce, za človeštvo. Toda matematične teorije ohranijo svoj pomen pod različnimi pogoji. družbene formacije in zgodovinske dobe. Poleg tega se pogosto iste ideje porajajo od znanstvenikov, ki niso na noben način povezani. To je dodaten argument proti tistim, ki se držijo koncepta svobodnega ustvarjanja matematičnih pojmov.

Torej, povedali smo, kaj je vključeno v koncept "matematike". Obstaja pa tudi uporabna matematika. Razume se kot celota vseh matematičnih metod in disciplin, ki najdejo aplikacije zunaj matematike. V starih časih sta geometrija in aritmetika predstavljali vso matematiko, in ker sta obe našli številne aplikacije v trgovinski menjavi, merjenju površin in prostornin ter v zadevah navigacije, vsa matematika ni bila samo teoretična, ampak tudi uporabna. Kasneje, v stari Grčiji, je prišlo do delitve na matematiko in uporabno matematiko. Vendar so se vsi ugledni matematiki ukvarjali tudi z aplikacijami, ne le s čisto teoretičnimi raziskavami.

Nadaljnji razvoj matematike je bil ves čas povezan z napredkom naravoslovja in tehnike, s pojavom novih družbenih potreb. Do konca XVIII stoletja. pojavila se je potreba (predvsem v zvezi s problemi navigacije in topništva) po ustvarjanju matematične teorije gibanja. To sta v svojih delih storila G. V. Leibniz in I. Newton. Uporabna matematika je bila dopolnjena z novo zelo močno raziskovalno metodo - matematično analizo. Skoraj sočasno so potrebe demografije in zavarovalništva pripeljale do oblikovanja začetkov teorije verjetnosti (glej Teorija verjetnosti). 18. in 19. stoletja razširil vsebino uporabne matematike in ji dodal teorijo navadnih in parcialnih diferencialnih enačb, enačbe matematične fizike, elemente matematične statistike, diferencialno geometrijo. 20. stoletje prinesel nove metode matematičnega raziskovanja praktičnih problemov: teorija naključnih procesov, teorija grafov, funkcionalna analiza, optimalno vodenje, linearno in nelinearno programiranje. Poleg tega se je izkazalo, da sta teorija števil in abstraktna algebra našli nepričakovane aplikacije za probleme fizike. Posledično se je začelo oblikovati prepričanje, da uporabna matematika kot posebna disciplina ne obstaja in da lahko vso matematiko štejemo za uporabno. Morda ni treba reči, da je matematika uporabna in teoretična, ampak da se matematiki delijo na uporabne in teoretike. Za nekatere je matematika metoda spoznavanja okoliškega sveta in pojavov, ki se v njem dogajajo, zato znanstvenik razvija in širi matematično znanje. Za druge matematika sama po sebi predstavlja cel svet, vreden študija in razvoja. Za napredek znanosti so potrebni znanstveniki obeh vrst.

Matematika, preden katerikoli pojav proučuje s svojimi metodami, ustvari svoj matematični model, torej našteje vse tiste značilnosti pojava, ki jih bo upoštevala. Model prisili raziskovalca, da izbere tista matematična orodja, ki bodo omogočila ustrezen prenos značilnosti preučevanega pojava in njegovega razvoja. Kot primer vzemimo model planetarnega sistema: Sonce in planete obravnavamo kot materialne točke z ustreznimi masami. Interakcija obeh točk je določena s silo privlačnosti med njima

kjer sta m 1 in m 2 masi medsebojno delujočih točk, r je razdalja med njima in f je gravitacijska konstanta. Kljub preprostosti tega modela zadnjih tristo let z veliko natančnostjo prenaša značilnosti gibanja planetov sončnega sistema.

Seveda vsak model grobi resničnost in naloga raziskovalca je najprej predlagati model, ki po eni strani najpopolneje izraža dejansko plat zadeve (kot pravijo, njene fizične lastnosti), in po drugi strani daje pomemben približek realnosti. Seveda je za isti pojav mogoče predlagati več matematičnih modelov. Vsi imajo pravico do obstoja, dokler ne začne vplivati ​​​​znatno odstopanje med modelom in resničnostjo.