Kako zapisati kvadratno enačbo kot produkt. Rešitev kvadratnih enačb, formula korenov, primeri

Še naprej preučujemo temo rešitev enačb". Z linearnimi enačbami smo se že seznanili, sedaj pa se bomo še seznanili z njimi kvadratne enačbe.

Najprej bomo analizirali, kaj je kvadratna enačba, kako je zapisana splošni pogled, in podajte sorodne definicije. Nato bomo s pomočjo primerov podrobno analizirali, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe. Nato preidimo na reševanje popolnih enačb, dobimo formulo za korenine, se seznanimo z diskriminantom kvadratna enačba in razmislite o rešitvah tipičnih primerov. Nazadnje sledimo povezavam med koreni in koeficienti.

Navigacija po straneh.

Kaj je kvadratna enačba? Njihove vrste

Najprej morate jasno razumeti, kaj je kvadratna enačba. Zato je logično, da začnemo govoriti o kvadratnih enačbah z definicijo kvadratne enačbe in z njo povezanih definicij. Po tem lahko razmislite o glavnih vrstah kvadratnih enačb: zmanjšanih in nereduciranih ter popolnih in nepopolnih enačb.

Definicija in primeri kvadratnih enačb

Opredelitev.

Kvadratna enačba je enačba oblike a x 2 +b x+c=0, kjer je x spremenljivka, a , b in c so nekatera števila, a je različen od nič.

Takoj povejmo, da se kvadratne enačbe pogosto imenujejo enačbe druge stopnje. To je zato, ker je kvadratna enačba algebrska enačba druge stopnje.

Zvočna definicija nam omogoča podati primere kvadratnih enačb. Torej 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. so kvadratne enačbe.

Opredelitev.

Številke a , b in c se imenujejo koeficienti kvadratne enačbe a x 2 + b x + c \u003d 0, koeficient a pa se imenuje prvi ali višji ali koeficient pri x 2, b je drugi koeficient ali koeficient pri x in c je prosti član.

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 −2 x−3=0, tukaj je vodilni koeficient 5, drugi koeficient je −2, prosti člen pa je −3. Upoštevajte, da ko sta koeficienta b in/ali c negativna, kot v pravkar navedenem primeru, se uporabi kratka oblika kvadratne enačbe oblike 5 x 2 −2 x−3=0, ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Omeniti velja, da ko sta koeficienta a in/ali b enaka 1 ali −1, potem običajno nista eksplicitno prisotna v zapisu kvadratne enačbe, kar je posledica posebnosti zapisa takega . Na primer, v kvadratni enačbi y 2 −y+3=0 je vodilni koeficient ena, koeficient pri y pa je −1.

Reducirane in nereducirane kvadratne enačbe

Glede na vrednost vodilnega koeficienta ločimo reducirane in nereducirane kvadratne enačbe. Navedimo ustrezne definicije.

Opredelitev.

Imenuje se kvadratna enačba, v kateri je vodilni koeficient 1 reducirana kvadratna enačba. V nasprotnem primeru je kvadratna enačba nereducirano.

Po navedbah ta definicija, kvadratne enačbe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 itd. - zmanjšano, v vsakem od njih je prvi koeficient enak eni. In 5 x 2 −x−1=0 itd. - nereducirane kvadratne enačbe, katerih vodilni koeficienti so različni od 1 .

Iz katere koli nereducirane kvadratne enačbe, tako da oba njena dela delite z vodilnim koeficientom, lahko preidete na reducirano enačbo. To dejanje je ekvivalentna transformacija, kar pomeni, da ima tako dobljena reducirana kvadratna enačba enake korene kot izvirna nereducirana kvadratna enačba ali pa nima nobenih korenin.

Vzemimo primer, kako se izvede prehod iz nereducirane kvadratne enačbe v reducirano.

Primer.

Iz enačbe 3 x 2 +12 x−7=0 pojdite na ustrezno zmanjšano kvadratno enačbo.

rešitev.

Dovolj je, da izvedemo delitev obeh delov prvotne enačbe z vodilnim koeficientom 3, ki je različen od nič, da lahko izvedemo to dejanje. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, kar je enako kot (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 in tako naprej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , od koder . Tako smo dobili pomanjšano kvadratno enačbo, ki je enakovredna prvotni.

odgovor:

Popolne in nepopolne kvadratne enačbe

V definiciji kvadratne enačbe je pogoj a≠0. Ta pogoj je nujen, da je enačba a x 2 +b x+c=0 točno kvadratna, saj z a=0 dejansko postane linearna enačba oblike b x+c=0 .

Koeficienta b in c sta lahko enaka nič, ločeno in skupaj. V teh primerih se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev.

Kvadratna enačba a x 2 +b x+c=0 se imenuje nepopolna, če je vsaj eden od koeficientov b , c enak nič.

Po svoje

Opredelitev.

Popolna kvadratna enačba je enačba, v kateri so vsi koeficienti različni od nič.

Ta imena niso dana po naključju. To bo razvidno iz naslednje razprave.

Če je koeficient b enak nič, ima kvadratna enačba obliko a x 2 +0 x+c=0 in je enakovredna enačbi a x 2 +c=0 . Če je c=0, kar pomeni, da ima kvadratna enačba obliko a x 2 +b x+0=0, potem jo lahko prepišemo kot a x 2 +b x=0. In z b=0 in c=0 dobimo kvadratno enačbo a·x 2 =0. Dobljene enačbe se od polne kvadratne enačbe razlikujejo po tem, da njihove leve strani ne vsebujejo niti člena s spremenljivko x, niti prostega člena ali obojega. Od tod tudi njihovo ime - nepopolne kvadratne enačbe.

Torej sta enačbi x 2 +x+1=0 in −2 x 2 −5 x+0,2=0 primera popolnih kvadratnih enačb in x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 so nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Iz podatkov prejšnjega odstavka izhaja, da je tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

• a x 2 =0 , temu ustrezata koeficienta b=0 in c=0;
• a x 2 +c=0, ko je b=0;
• in a x 2 +b x=0, ko je c=0.

Analizirajmo po vrstnem redu, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe vsake od teh vrst.

a x 2 \u003d 0

Začnimo z reševanjem nepopolnih kvadratnih enačb, v katerih sta koeficienta b in c enaka nič, torej z enačbami oblike a x 2 =0. Enačba a·x 2 =0 je enakovredna enačbi x 2 =0, ki jo dobimo iz izvirnika tako, da oba njena dela delimo z ničelnim številom a. Očitno je koren enačbe x 2 \u003d 0 enak nič, saj je 0 2 \u003d 0. Ta enačba nima drugih korenov, kar je pojasnjeno, da za vsako neničelno število p velja neenakost p 2 >0, kar pomeni, da za p≠0 enakost p 2 =0 nikoli ni dosežena.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a x 2 \u003d 0 en sam koren x \u003d 0.

Kot primer podajamo rešitev nepopolne kvadratne enačbe −4·x 2 =0. Enakovredna je enačbi x 2 \u003d 0, njen edini koren je x \u003d 0, zato ima izvirna enačba en sam koren nič.

Kratka rešitev v tem primeru je lahko naslednja:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Poglejmo zdaj, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe, v katerih je koeficient b enak nič in c≠0, torej enačbe oblike a x 2 +c=0. Vemo, da prenos člena z ene strani enačbe na drugo z nasprotnim predznakom, kot tudi deljenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič, dajo ekvivalentno enačbo. Zato je mogoče izvesti naslednje ekvivalentne transformacije nepopolne kvadratne enačbe a x 2 +c=0:

• premakni c na desno stran, kar da enačbo a x 2 =−c,
• in oba njegova dela delimo z a , dobimo .

Nastala enačba nam omogoča, da sklepamo o njenih koreninah. Odvisno od vrednosti a in c je lahko vrednost izraza negativna (na primer, če a=1 in c=2, potem ) ali pozitivna (na primer, če a=−2 in c=6 , tedaj ), ni enako nič , ker po pogoju c≠0 . Ločeno bomo analizirali primere in .

Če , potem enačba nima korenin. Ta trditev izhaja iz dejstva, da je kvadrat poljubnega števila nenegativno število. Iz tega sledi, da ko , potem za nobeno število p enakost ne more veljati.

Če je , potem je situacija s koreninami enačbe drugačna. V tem primeru, če se spomnimo približno, potem postane koren enačbe takoj očiten, to je število, saj. Zlahka je uganiti, da je število dejansko tudi koren enačbe . Ta enačba nima drugih korenin, kar je mogoče pokazati na primer s protislovjem. Naredimo to.

Pravkar zveneče korenine enačbe označimo kot x 1 in −x 1 . Recimo, da ima enačba še en koren x 2 , ki je drugačen od navedenih korenov x 1 in −x 1 . Znano je, da zamenjava v enačbo namesto x njenih korenin spremeni enačbo v pravo numerično enakost. Za x 1 in −x 1 velja , za x 2 pa . Lastnosti številskih enakosti nam omogočajo, da izvajamo odštevanje pravih številskih enakosti po členih, tako da z odštevanjem ustreznih delov enačb dobimo x 1 2 − x 2 2 =0. Lastnosti operacij s števili nam omogočajo, da nastalo enakost prepišemo kot (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vemo, da je produkt dveh števil enak nič, če in samo če je vsaj eno od njiju enako nič. Iz dobljene enakosti torej sledi, da je x 1 −x 2 =0 in/ali x 1 +x 2 =0 , kar je enako, x 2 =x 1 in/ali x 2 = −x 1 . Tako smo prišli do protislovja, saj smo na začetku rekli, da je koren enačbe x 2 drugačen od x 1 in −x 1 . To dokazuje, da enačba nima drugih korenin kot in .

Povzemimo informacije v tem odstavku. Nepopolna kvadratna enačba a x 2 +c=0 je enakovredna enačbi , ki

• nima korenin, če,
• ima dva korena in če .

Razmislite o primerih reševanja nepopolnih kvadratnih enačb oblike a·x 2 +c=0 .

Začnimo s kvadratno enačbo 9 x 2 +7=0 . Po prenosu prostega člena na desno stran enačbe bo ta prevzel obliko 9·x 2 =−7. Če obe strani dobljene enačbe delimo z 9, dobimo . Ker dobimo negativno število na desni strani, ta enačba nima korenin, torej izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 x 2 +7=0 nima korenin.

Rešimo še eno nepopolno kvadratno enačbo −x 2 +9=0. Devet prenesemo na desno stran: -x 2 \u003d -9. Zdaj oba dela delimo z −1, dobimo x 2 =9. Desna stran vsebuje pozitivno število, iz česar sklepamo, da oz. Potem ko zapišemo končni odgovor: nepopolna kvadratna enačba −x 2 +9=0 ima dva korena x=3 ali x=−3.

a x 2 +b x=0

Ukvarjamo se še z rešitvijo zadnje vrste nepopolnih kvadratnih enačb za c=0. Nepopolne kvadratne enačbe oblike a x 2 +b x=0 vam omogočajo reševanje metoda faktorizacije. Očitno lahko, ki se nahaja na levi strani enačbe, za kar je dovolj, da skupni faktor x vzamemo iz oklepaja. To nam omogoča prehod iz prvotne nepopolne kvadratne enačbe v ekvivalentno enačbo oblike x·(a·x+b)=0 . In ta enačba je enakovredna naboru dveh enačb x=0 in a x+b=0, od katerih je zadnja linearna in ima koren x=−b/a.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a x 2 +b x=0 dva korena x=0 in x=−b/a.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev določenega primera.

Primer.

Reši enačbo.

rešitev.

Vzamemo x iz oklepajev, to je enačba. Enakovredno je dvema enačbama x=0 in . Rešujemo prejeto linearna enačba: , in po delitvi mešanega števila z navadnim ulomkom najdemo . Zato sta korena prvotne enačbe x=0 in .

Po pridobitvi potrebne prakse lahko rešitve takih enačb na kratko zapišemo:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminanta, formula korenov kvadratne enačbe

Za reševanje kvadratnih enačb obstaja korenska formula. Zapišimo formula korenin kvadratne enačbe: , kje D=b 2 −4 a c- tako imenovani diskriminanta kvadratne enačbe. Zapis v bistvu pomeni, da.

Koristno je vedeti, kako je bila pridobljena korenska formula in kako se uporablja pri iskanju korenin kvadratnih enačb. Ukvarjajmo se s tem.

Izpeljava formule korenov kvadratne enačbe

Rešiti moramo kvadratno enačbo a·x 2 +b·x+c=0 . Izvedimo nekaj enakovrednih transformacij:

• Oba dela te enačbe lahko delimo z ničelnim številom a, kot rezultat dobimo pomanjšano kvadratno enačbo.
• zdaj izberite polni kvadrat na levi strani: . Po tem bo enačba dobila obliko.
• Na tej stopnji je mogoče izvesti prenos zadnjih dveh členov na desno stran z nasprotnim predznakom, imamo .
• In transformirajmo tudi izraz na desni strani: .

Kot rezultat pridemo do enačbe , ki je enakovredna izvirni kvadratni enačbi a·x 2 +b·x+c=0 .

Enačbe podobne oblike smo že reševali v prejšnjih odstavkih, ko smo analizirali . To nam omogoča, da potegnemo naslednje zaključke glede korenin enačbe:

• če , potem enačba nima pravih rešitev;
• če , potem ima enačba obliko , torej , iz katere je viden njen edini koren;
• če , potem ali , kar je enako ali , kar pomeni, da ima enačba dva korena.

Tako je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe in s tem izvirne kvadratne enačbe odvisna od predznaka izraza na desni strani. Predznak tega izraza pa je določen s predznakom števca, saj je imenovalec 4 a 2 vedno pozitiven, to je predznak izraza b 2 −4 a c . Ta izraz b 2 −4 a c se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe in označena s črko D. Od tu je bistvo diskriminanta jasno - po njegovi vrednosti in znaku se sklepa, ali ima kvadratna enačba prave korenine, in če je tako, kakšno je njihovo število - ena ali dve.

Vrnemo se k enačbi , jo prepišemo z zapisom diskriminante: . In sklepamo:

• če D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• če je D=0, ima ta enačba en sam koren;
• končno, če je D>0, potem ima enačba dva korena ali , ki ju lahko prepišemo v obliki ali , in po razširitvi in ​​zmanjšanju ulomkov na skupni imenovalec dobimo .

Tako smo izpeljali formule za korenine kvadratne enačbe, izgledajo kot , kjer je diskriminanta D izračunana po formuli D=b 2 −4 a c .

Z njihovo pomočjo lahko s pozitivno diskriminanto izračunate oba realna korena kvadratne enačbe. Ko je diskriminanta enaka nič, dajeta obe formuli enako vrednost korena, ki ustreza edini rešitvi kvadratne enačbe. In pri negativnem diskriminantu se pri poskusu uporabe formule za korenine kvadratne enačbe soočimo z izluščitvijo kvadratnega korena iz negativnega števila, kar nas popelje izven okvira šolskega kurikuluma. Z negativno diskriminanto kvadratna enačba nima pravih korenin, ima pa par kompleksen konjugat korenine, ki jih lahko najdemo z istimi korenskimi formulami, ki smo jih dobili.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb z uporabo korenskih formul

V praksi lahko pri reševanju kvadratne enačbe takoj uporabite korensko formulo, s katero izračunate njihove vrednosti. Toda tu gre bolj za iskanje kompleksnih korenin.

Vendar pa je v šolskem tečaju algebre običajno tako pogovarjamo se ne o kompleksnih, ampak o realnih korenih kvadratne enačbe. V tem primeru je priporočljivo najprej poiskati diskriminanco, preden uporabimo formule za korenine kvadratne enačbe, se prepričati, da je nenegativna (sicer lahko sklepamo, da enačba nima pravih korenin), nato pa izračunajte vrednosti korenin.

Zgornje sklepanje nam omogoča pisanje algoritem za reševanje kvadratne enačbe. Za rešitev kvadratne enačbe a x 2 + b x + c \u003d 0 potrebujete:

• s pomočjo diskriminantne formule D=b 2 −4 a c izračunaj njegovo vrednost;
• sklepati, da kvadratna enačba nima realnih korenin, če je diskriminanta negativna;
• izračunajte edini koren enačbe s formulo če je D=0 ;
• poiščite dva realna korena kvadratne enačbe z uporabo korenske formule, če je diskriminanta pozitivna.

Tukaj samo opazimo, da če je diskriminant enak nič, lahko uporabimo tudi formulo, ki bo dala enako vrednost kot .

Lahko preidete na primere uporabe algoritma za reševanje kvadratnih enačb.

Primeri reševanja kvadratnih enačb

Razmislite o rešitvah treh kvadratnih enačb s pozitivno, negativno in ničelno diskriminanto. Ko bomo obravnavali njihovo rešitev, bo po analogiji mogoče rešiti katero koli drugo kvadratno enačbo. Začnimo.

Primer.

Poiščite korene enačbe x 2 +2 x−6=0 .

rešitev.

V tem primeru imamo naslednje koeficiente kvadratne enačbe: a=1 , b=2 in c=−6 . V skladu z algoritmom morate najprej izračunati diskriminanco, za to nadomestimo navedene a, b in c v diskriminantno formulo, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ker je 28>0, kar pomeni, da je diskriminanta večja od nič, ima kvadratna enačba dva realna korena. Poiščimo jih s formulo korenin , dobimo , tukaj lahko poenostavimo izraze, dobljene z faktoriziranje predznaka korena sledi zmanjšanje frakcij:

odgovor:

Pojdimo k naslednjemu značilnemu primeru.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo −4 x 2 +28 x−49=0 .

rešitev.

Začnemo z iskanjem diskriminatorja: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Zato ima ta kvadratna enačba en sam koren, ki ga najdemo kot , to je

odgovor:

x=3,5.

Preostane še obravnava rešitve kvadratnih enačb z negativno diskriminanto.

Primer.

Rešite enačbo 5 y 2 +6 y+2=0 .

rešitev.

Tu so koeficienti kvadratne enačbe: a=5 , b=6 in c=2 . Če nadomestimo te vrednosti v diskriminantno formulo, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminanta je negativna, zato ta kvadratna enačba nima pravih korenin.

Če morate določiti kompleksne korenine, potem uporabimo dobro znano formulo za korenine kvadratne enačbe in izvedemo operacije s kompleksnimi števili:

odgovor:

pravih korenin ni, kompleksne korenine so: .

Še enkrat ugotavljamo, da če je diskriminanta kvadratne enačbe negativna, potem šola običajno takoj zapiše odgovor, v katerem navede, da ni pravih korenin, in ne najdejo kompleksnih korenin.

Korenska formula za sode druge koeficiente

Formula za korenine kvadratne enačbe, kjer D=b 2 −4 a c vam omogoča, da dobite bolj kompaktno formulo, ki vam omogoča reševanje kvadratnih enačb s sodim koeficientom pri x (ali preprosto s koeficientom, ki izgleda kot 2 n , na primer, ali 14 ln5=2 7 ln5 ). Odpeljimo jo ven.

Recimo, da moramo rešiti kvadratno enačbo oblike a x 2 +2 n x + c=0 . Poiščimo njene korenine s pomočjo nam znane formule. Da bi to naredili, izračunamo diskriminanco D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), nato pa uporabimo korensko formulo:

Označite izraz n 2 −a c kot D 1 (včasih je označen z D "). Potem ima formula za korenine obravnavane kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n obliko , kjer je D 1 =n 2 −a c .

Lahko vidimo, da je D=4·D 1 ali D 1 =D/4. Z drugimi besedami, D 1 je četrti del diskriminante. Jasno je, da je predznak D 1 enak predznaku D . To pomeni, da je znak D 1 tudi indikator prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Če želite torej rešiti kvadratno enačbo z drugim koeficientom 2 n, potrebujete

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Če D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Če je D 1 =0, izračunajte edini koren enačbe z uporabo formule;
• Če je D 1 >0, poiščite dva prava korena s pomočjo formule.

Razmislite o rešitvi primera z uporabo korenske formule, pridobljene v tem odstavku.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo 5 x 2 −6 x−32=0 .

rešitev.

Drugi koeficient te enačbe lahko predstavimo kot 2·(−3) . To pomeni, da lahko prepišete prvotno kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tukaj a=5, n=−3 in c=−32, in izračunate četrti del diskriminator: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ker je njena vrednost pozitivna, ima enačba dva realna korena. Najdemo jih z ustrezno korensko formulo:

Upoštevajte, da je bilo mogoče uporabiti običajno formulo za korenine kvadratne enačbe, vendar bi bilo v tem primeru treba opraviti več računskega dela.

odgovor:

Poenostavitev oblike kvadratnih enačb

Včasih, preden se lotimo izračuna korenin kvadratne enačbe z uporabo formul, ne škodi postaviti vprašanje: "Ali je mogoče poenostaviti obliko te enačbe"? Strinjam se, da bo v računskem smislu lažje rešiti kvadratno enačbo 11 x 2 −4 x −6=0 kot 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Običajno se oblika kvadratne enačbe poenostavi tako, da se obe njeni strani pomnožita ali delita z nekim številom. Na primer, v prejšnjem odstavku nam je uspelo doseči poenostavitev enačbe 1100 x 2 −400 x −600=0 tako, da smo obe strani delili s 100 .

Podobno transformacijo izvedemo s kvadratnimi enačbami, katerih koeficienti niso . V tem primeru se oba dela enačbe običajno delita z absolutnimi vrednostmi njegovih koeficientov. Za primer vzemimo kvadratno enačbo 12 x 2 −42 x+48=0. absolutne vrednosti njegovih koeficientov: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Če oba dela prvotne kvadratne enačbe delimo s 6, dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 x 2 −7 x+8=0.

In množenje obeh delov kvadratne enačbe se običajno izvede, da se znebimo delnih koeficientov. V tem primeru se množenje izvede na imenovalcih njegovih koeficientov. Če na primer oba dela kvadratne enačbe pomnožimo z LCM(6, 3, 1)=6 , bo imela enostavnejšo obliko x 2 +4 x−18=0 .

V zaključku tega odstavka ugotavljamo, da se skoraj vedno znebite minusa pri vodilnem koeficientu kvadratne enačbe s spremembo predznakov vseh členov, kar ustreza množenju (ali deljenju) obeh delov z −1. Na primer, običajno gredo iz kvadratne enačbe −2·x 2 −3·x+7=0 k rešitvi 2·x 2 +3·x−7=0 .

Povezava med koreni in koeficienti kvadratne enačbe

Formula za korene kvadratne enačbe izraža korene enačbe v smislu njenih koeficientov. Na podlagi formule korenov lahko dobite druga razmerja med koreni in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne formule iz izreka Vieta oblike in . Zlasti za dano kvadratno enačbo je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen. Na primer, glede na obliko kvadratne enačbe 3 x 2 −7 x+22=0 lahko takoj rečemo, da je vsota njenih korenin 7/3, produkt korenin pa 22/3.

Z uporabo že napisanih formul lahko dobite številne druge povezave med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe lahko izrazite z njenimi koeficienti: .

Bibliografija.

• Algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič zapletenega. Bistvena je sposobnost njihovega reševanja.

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a , b in c poljubna števila, a ≠ 0.

Preden preučimo posebne metode reševanja, omenimo, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

1. Nimajo korenin;
2. Imajo natanko eno korenino;
3. Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminator

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminanta preprosto število D = b 2 − 4ac.

To formulo je treba poznati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Še ena stvar je pomembna: s predznakom diskriminante lahko določite, koliko korenin ima kvadratna enačba. namreč:

1. Če D< 0, корней нет;
2. Če je D = 0, obstaja natanko en koren;
3. Če je D > 0, bosta korena dva.

Upoštevajte: diskriminator označuje število korenin in ne sploh njihovih znakov, kot iz neznanega razloga mnogi mislijo. Oglejte si primere in vse vam bo jasno:

Naloga. Koliko korenin ima kvadratna enačba:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišemo koeficiente prve enačbe in poiščemo diskriminanco:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminanta je torej pozitivna, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na enak način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanta je negativna, korenin ni. Zadnja enačba ostaja:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je enak nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so bili za vsako enačbo izpisani koeficienti. Da, dolgo je, da, dolgočasno je - vendar ne boste mešali možnosti in ne delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če si »napolnite roko«, vam čez nekaj časa ne bo več treba pisati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v svoji glavi. Večina ljudi začne s tem nekje po 50-70 rešenih enačbah – na splošno ne tako veliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na rešitev. Če je diskriminant D > 0, je mogoče korene najti po formulah:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobite isto število, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ima enačba spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \levo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabi se lahko katera koli formula. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate računati, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak, ko se v formulo nadomestijo negativni koeficienti. Tukaj vam bo spet pomagala zgoraj opisana tehnika: preglejte formulo dobesedno, pobarvajte vsak korak - in se kmalu znebite napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je navedena v definiciji. Na primer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Zlahka je videti, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: zanje ni treba niti izračunati diskriminante. Predstavimo torej nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je povsem mogoče Težek primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b \u003d c \u003d 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 \u003d 0. Očitno ima takšna enačba en koren: x \u003d 0.

Razmislimo o drugih primerih. Naj bo b \u003d 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c \u003d 0. Nekoliko jo preoblikujemo:

Ker aritmetični kvadratni koren obstaja le iz nenegativnega števila, je zadnja enakost smiselna le, če je (−c / a ) ≥ 0. Sklep:

1. Če nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 + c = 0 izpolnjuje neenakost (−c / a ) ≥ 0, bosta korena dva. Formula je navedena zgoraj;
2. Če (−c / a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminanta ni bila potrebna - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav si niti ni treba zapomniti neenakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovolj je izraziti vrednost x 2 in videti, kaj je na drugi strani enačaja. Če obstaja pozitivno število, bosta korena dva. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Opravimo zdaj enačbe oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je faktorizirati polinom:

Izvzem skupnega faktorja iz oklepaja

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Na koncu bomo analizirali več teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ni korenin, saj kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Podeželska srednja šola Kopyevskaya

10 načinov za reševanje kvadratnih enačb

Vodja: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteljica matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1.1 Kvadratne enačbe v starem Babilonu

1.2 Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

1.4 Kvadratne enačbe v al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne enačbe v Evropi XIII - XVII stoletja

1.6 O Vietovem izreku

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Zaključek

Literatura

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1.1 Kvadratne enačbe v starem Babilonu

Potreba po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje v starih časih je nastala zaradi potrebe po reševanju problemov, povezanih z iskanjem območij zemlje in zemeljskih del vojaške narave, pa tudi zaradi razvoja astronomije in matematika sama. Kvadratne enačbe so lahko rešili približno 2000 pr. e. Babilonci.

Z uporabo sodobnega algebraičnega zapisa lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih tudi takšne, na primer, popolne kvadratne enačbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za reševanje teh enačb, navedeno v babilonskih besedilih, v bistvu sovpada s sodobnim, vendar ni znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila podajajo samo probleme z rešitvami, navedenimi v obliki receptov, brez navedbe, kako so bile najdene.

Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu v klinopisnih besedilih ni koncepta negativnega števila in običajne metode rešitve kvadratnih enačb.

1.2 Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe.

Diofantova aritmetika ne vsebuje sistematične razlage algebre, vsebuje pa sistematično vrsto problemov, ki jih spremljajo razlage in se rešujejo s sestavljanjem enačb različnih stopenj.

Pri sestavljanju enačb Diofant spretno izbira neznanke, da poenostavi rešitev.

Tukaj je na primer ena od njegovih nalog.

Naloga 11."Poišči dve števili, pri čemer veš, da je njuna vsota 20 in njun produkt 96."

Diofant trdi takole: iz pogoja problema izhaja, da želena števila niso enaka, saj če bi bila enaka, potem njihov produkt ne bi bil 96, ampak 100. Tako bo eno od njih več kot polovica njihovega vsota, tj. 10+x, drugi je manjši, tj. 10-ih. Razlika med njimi 2x .

Od tod enačba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Od tod x = 2. Ena od želenih številk je 12 , drugo 8 . rešitev x = -2 kajti Diofant ne obstaja, saj je grška matematika poznala samo pozitivna števila.

Če ta problem rešimo tako, da za neznanko izberemo eno izmed želenih števil, potem pridemo do rešitve enačbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je, da Diofant poenostavi rešitev tako, da za neznanko izbere polovično razliko želenih števil; problem mu uspe reducirati na reševanje nepopolne kvadratne enačbe (1).

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

Probleme za kvadratne enačbe najdemo že v astronomskem traktatu "Aryabhattam", ki ga je leta 499 sestavil indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski učenjak, Brahmagupta (7. stoletje), je razložil splošno pravilo rešitve kvadratnih enačb, reducirane na eno samo kanonično obliko:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

V enačbi (1) so koeficienti, razen a, lahko tudi negativno. Brahmaguptino pravilo v bistvu sovpada z našim.

AT starodavna Indija pogosta so bila javna tekmovanja v reševanju težjih problemov. V eni od starodavnih indijskih knjig je o takšnih tekmovanjih rečeno naslednje: »Kakor sonce s svojim sijajem zasenči zvezde, tako bo učenec zasenčil slavo drugega na javnih srečanjih, predlaganju in reševanju algebrskih problemov.« Naloge so bile pogosto oblečene v poetično obliko.

Tukaj je ena od težav slavnega indijskega matematika XII. Bhaskara.

Naloga 13.

"Življiva jata opic in dvanajst v trtah ...

Ko ste jedli moč, se zabavali. Začeli so skakati, viseti ...

Osmi del jih je v kvadratu Koliko opic je bilo tam,

Zabava na travniku. Mi poveš, v tej jati?

Bhaskarina rešitev nakazuje, da je vedel za dvovrednost korenin kvadratnih enačb (slika 3).

Enačba, ki ustreza problemu 13, je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinko:

x 2 - 64x = -768

in da dopolni levo stran te enačbe na kvadrat, doda obema stranema 32 2 , dobim potem:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne enačbe v al-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebraična razprava podaja klasifikacijo linearnih in kvadratnih enačb. Avtor navaja 6 vrst enačb, ki jih izrazi na naslednji način:

1) "Kvadrati so enaki koreninam", tj. sekira 2 + c = b X.

2) "Kvadrati so enaki številu", tj. sekira 2 = s.

3) "Korenine so enake številu", tj. ah = s.

4) "Kvadrati in števila so enaki korenom", tj. sekira 2 + c = b X.

5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Koreni in števila so enaki kvadratom", tj. bx + c \u003d sekira 2.

Za al-Khwarizmija, ki se je izogibal uporabi negativnih števil, so členi vsake od teh enačb seštevalci, ne odštevalci. V tem primeru enačbe, ki nimajo pozitivnih rešitev, očitno niso upoštevane. Avtor oriše metode za reševanje teh enačb z uporabo metod al-jabr in al-muqabala. Njegove odločitve seveda ne sovpadajo povsem z našimi. Da ne omenjamo dejstva, da je zgolj retorično, je treba na primer opozoriti, da pri reševanju nepopolne kvadratne enačbe prve vrste

al-Khorezmi, tako kot vsi matematiki pred 17. stoletjem, ne upošteva ničelne rešitve, verjetno zato, ker v specifičnih praktičnih problemih ni pomembna. Pri reševanju popolnih kvadratnih enačb al-Khorezmi navede pravila za reševanje in nato geometrijske dokaze z uporabo posebnih numeričnih primerov.

Naloga 14.»Kvadrat in število 21 sta enaka 10 korenin. Poišči koren" (ob predpostavki, da je koren enačbe x 2 + 21 = 10x).

Avtorjeva rešitev gre nekako takole: število korenov razdelite na pol, dobite 5, pomnožite 5 s samim seboj, od zmnožka odštejete 21, ostane 4. Izvlecite koren iz 4, dobite 2. Odštejte 2 od 5, dobite dobili 3, bo to želeni koren. Ali pa dodajte 2 k 5, kar bo dalo 7, to je tudi koren.

Treatise al-Khorezmi je prva knjiga, ki je prišla do nas, v kateri je sistematično navedena klasifikacija kvadratnih enačb in podane formule za njihovo rešitev.

1.5 Kvadratne enačbe v Evropi XIII - XVII stoletja

Formule za reševanje kvadratnih enačb po vzoru al-Khorezmija v Evropi so bile prvič podane v "Knjigi o abaku", ki jo je leta 1202 napisal italijanski matematik Leonardo Fibonacci. To obsežno delo, ki odseva vpliv matematike, tako držav islama kot Antična grčija, se razlikuje tako po popolnosti kot po jasnosti predstavitve. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja problemov in prvi v Evropi pristopil k uvajanju negativnih števil. Njegova knjiga je prispevala k širjenju algebraičnega znanja ne samo v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številne naloge iz "Knjige abakusa" so prešle v skoraj vse evropske učbenike 16. - 17. stoletja. in deloma XVIII.

Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko:

x 2+ bx = z,

za vse možne kombinacije predznakov koeficientov b , z je v Evropi šele leta 1544 oblikoval M. Stiefel.

Vieta ima splošno izpeljavo formule za reševanje kvadratne enačbe, vendar je Vieta priznaval samo pozitivne korene. Med prvimi v 16. stoletju so bili italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli. Upoštevajte poleg pozitivnih tudi negativne korenine. Šele v XVII stoletju. Zahvaljujoč delu Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov dobi način reševanja kvadratnih enačb sodoben videz.

1.6 O Vietovem izreku

Izrek, ki izraža razmerje med koeficienti kvadratne enačbe in njenimi koreninami, ki nosi ime Vieta, je prvič formuliral leta 1591, kot sledi: »Če B + D pomnoženo z A - A 2 , enako BD, potem A enako AT in enaka D ».

Da bi razumeli Vieto, se moramo tega spomniti AMPAK, kot vsak samoglasnik, je zanj pomenil neznano (naš X), samoglasnike AT, D- koeficienti za neznano. V jeziku sodobne algebre zgornja Vietova formulacija pomeni: če

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Z izražanjem razmerja med koreninami in koeficienti enačb s splošnimi formulami, napisanimi s simboli, je Viet vzpostavil enotnost v metodah reševanja enačb. Vendar pa je simbolika Viete še daleč od tega moderen videz. Negativnih števil ni poznal, zato je pri reševanju enačb upošteval samo primere, ko so vsi koreni pozitivni.

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Kvadratne enačbe so temelj, na katerem sloni veličastna zgradba algebre. Najdi kvadratne enačbe široka uporaba pri reševanju trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih, iracionalnih in transcendentnih enačb in neenačb. Vsi vemo, kako rešiti kvadratne enačbe z šolska klop(8. razred), pred maturo.

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Enačbe je človek uporabljal že od pradavnine in od takrat se je njihova uporaba le še povečala. Diskriminant vam omogoča, da rešite katero koli kvadratno enačbo s splošno formulo, ki ima naslednjo obliko:

Diskriminantna formula je odvisna od stopnje polinoma. Zgornja formula je primerna za reševanje kvadratnih enačb naslednje oblike:

Diskriminant ima naslednje lastnosti, ki jih morate poznati:

* "D" je 0, ko ima polinom več korenin (enake korenine);

* "D" je simetričen polinom glede na korenine polinoma in je zato polinom v svojih koeficientih; poleg tega so koeficienti tega polinoma cela števila, ne glede na razširitev, v kateri so vzeti koreni.

Recimo, da imamo kvadratno enačbo naslednje oblike:

1 enačba

Po formuli imamo:

Ker \, ima enačba 2 korena. Opredelimo jih:

Kje lahko rešim enačbo prek diskriminantnega spletnega reševalca?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https: // site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletno enačbo katere koli zahtevnosti. Vse kar morate storiti je, da vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite reševanja enačbe na naši spletni strani. Če imate kakršna koli vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

Kvadratna enačba - enostavno rešiti! *Dalje v besedilu »KU«. Prijatelji, zdi se, da je v matematiki lahko lažje kot reševanje takšne enačbe. A nekaj mi je reklo, da ima marsikdo težave z njim. Odločil sem se, da vidim, koliko prikazov Yandex daje na zahtevo na mesec. Evo kaj se je zgodilo, poglejte si:

Kaj to pomeni? To pomeni, da te podatke išče okoli 70.000 ljudi na mesec, poleti je, kaj bo med šolskim letom - povpraševanj bo dvakrat več. To ni presenetljivo, saj te informacije iščejo tisti fantje in dekleta, ki so že dolgo končali šolo in se pripravljajo na izpit, pa tudi šolarji si poskušajo osvežiti spomin.

Kljub temu, da obstaja veliko strani, ki govorijo, kako rešiti to enačbo, sem se odločil, da tudi jaz prispevam in objavim gradivo. Prvič, želim, da obiskovalci pridejo na moje spletno mesto na to zahtevo; drugič, v drugih člankih, ko pride do govora "KU", bom dal povezavo do tega članka; tretjič, povedal vam bom nekaj več o njegovi rešitvi, kot je običajno navedeno na drugih straneh. Začnimo! Vsebina članka:

Kvadratna enačba je enačba oblike:

kjer so koeficienti a,bin s poljubnimi števili, z a≠0.

V šolskem tečaju je gradivo podano v naslednji obliki - razdelitev enačb na tri razrede je pogojno izvedena:

1. Imeti dve korenini.

2. * Imeti samo eno korenino.

3. Nimajo korenin. Tu velja omeniti, da nimajo pravih korenin

Kako se izračunajo korenine? Samo!

Izračunamo diskriminanco. Pod to "grozno" besedo se skriva zelo preprosta formula:

Korenske formule so naslednje:

*Te formule morate poznati na pamet.

Takoj lahko zapišete in rešite:

primer:

1. Če je D > 0, ima enačba dva korena.

2. Če je D = 0, ima enačba en koren.

3. Če D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Poglejmo enačbo:

Avtor: tej priložnosti, ko je diskriminant nič, šolski tečaj pravi, da dobimo en koren, tukaj je enak devet. Tako je, ampak ...

Ta predstavitev je nekoliko napačna. Pravzaprav obstajata dve korenini. Da, da, ne bodite presenečeni, izkaže se dva enaka korena in da bi bili matematično natančni, je treba v odgovor zapisati dva korena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ampak to je tako - majhna digresija. V šoli lahko zapišete in rečete, da je samo ena korenina.

Zdaj pa naslednji primer:

Kot vemo, se koren negativnega števila ne izlušči, zato so rešitve v ta primeršt.

To je celoten postopek odločanja.

Kvadratna funkcija.

Tukaj je videti rešitev geometrično. To je izjemno pomembno razumeti (v prihodnje bomo v enem izmed člankov podrobno analizirali rešitev kvadratne neenačbe).

To je funkcija obrazca:

kjer sta x in y spremenljivki

a, b, c so podana števila, kjer je a ≠ 0

Graf je parabola:

To pomeni, da se izkaže, da z reševanjem kvadratne enačbe z "y" enakim nič, najdemo točke presečišča parabole z osjo x. Te točke sta lahko dve (diskriminanta je pozitivna), ena (diskriminanta je nič) ali nobena (diskriminanta je negativna). Podrobnosti o kvadratna funkcija Lahko si ogledatečlanek Inne Feldman.

Razmislite o primerih:

Primer 1: Odločite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Levo in desno stran enačbe bi lahko takoj delili z 2, torej jo poenostavili. Izračuni bodo lažji.

Primer 2: Odločite se x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo to x 1 \u003d 11 in x 2 \u003d 11

V odgovoru je dovoljeno pisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primer 3: Odločite se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanta je negativna, rešitve v realnih številih ni.

Odgovor: ni rešitve

Diskriminant je negativen. Obstaja rešitev!

Tukaj bomo govorili o reševanju enačbe v primeru, ko dobimo negativno diskriminanto. Veste kaj o kompleksnih številih? Tukaj se ne bom spuščal v podrobnosti o tem, zakaj in kje so nastali ter kakšna je njihova posebna vloga in nujnost v matematiki, to je tema za velik ločen članek.

Koncept kompleksnega števila.

Malo teorije.

Kompleksno število z je število oblike

z = a + bi

kjer sta a in b realna števila, i je tako imenovana imaginarna enota.

a+bi je ENO ŠTEVILO, ne dodatek.

Imaginarna enota je enaka korenu iz minus ena:

Zdaj razmislite o enačbi:

Dobite dva konjugirana korena.

Nepopolna kvadratna enačba.

Upoštevajte posebne primere, to je, ko je koeficient "b" ali "c" enak nič (ali sta oba enaka nič). Rešujejo se enostavno brez diskriminacije.

Primer 1. Koeficient b = 0.

Enačba ima obliko:

Preobrazimo:

primer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Primer 2. Koeficient c = 0.

Enačba ima obliko:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Produkt je enak nič, če je vsaj eden izmed faktorjev enak nič.

primer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ali x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Primer 3. Koeficienta b = 0 in c = 0.

Tu je jasno, da bo rešitev enačbe vedno x = 0.

Uporabne lastnosti in vzorci koeficientov.

Obstajajo lastnosti, ki omogočajo reševanje enačb z velikimi koeficienti.

ax 2 + bx+ c=0 enakost

a + b+ c = 0, potem

— če za koeficiente enačbe ax 2 + bx+ c=0 enakost

a+ z =b, potem

Te lastnosti pomagajo pri določene vrste enačbe.

Primer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Vsota koeficientov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, torej

Primer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Enakopravnost a+ z =b, pomeni

Pravilnosti koeficientov.

1. Če je v enačbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficient "b" (a 2 +1) in je koeficient "c" številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Če je v enačbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficient "b" (a 2 +1) in koeficient "c" številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Če je v enačbi ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" enako (a 2 – 1), in koeficient "c" številčno enaka koeficientu "a", potem sta njeni korenini enaki

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Če je v enačbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficient "b" enak (a 2 - 1), koeficient c pa je številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietov izrek.

Vietov izrek je dobil ime po slavnem francoskem matematiku Francoisu Vieti. Z uporabo Vietovega izreka lahko izrazimo vsoto in zmnožek korenin poljubnega KU z njegovimi koeficienti.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Število 14 v seštevku da samo 5 in 9. To so korenine. Z določeno spretnostjo lahko z uporabo predstavljenega izreka takoj ustno rešite številne kvadratne enačbe.

Še več, Vietov izrek. priročno, ker je po rešitvi kvadratne enačbe na običajen način (skozi diskriminanto) mogoče preveriti nastale korene. Priporočam, da to počnete ves čas.

NAČIN PRENOSA

S to metodo se koeficient "a" pomnoži s prostim izrazom, kot da se "prenese" nanj, zato se imenuje način prenosa. Ta metoda se uporablja, ko je enostavno najti korenine enačbe z uporabo Vietovega izreka in, kar je najpomembnejše, ko je diskriminanta natančen kvadrat.

Če a± b+c≠ 0, potem se uporabi tehnika prenosa, na primer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

V skladu z izrekom Vieta v enačbi (2) je enostavno ugotoviti, da je x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Dobljene korene enačbe je treba deliti z 2 (ker sta bili "vrženi" iz x 2), dobimo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Kakšna je utemeljitev? Poglej kaj se dogaja.

Diskriminanti enačb (1) in (2) so:

Če pogledate korenine enačb, dobite samo različne imenovalce, rezultat pa je odvisen natančno od koeficienta pri x 2:

Druge (spremenjene) korenine so 2-krat večje.

Zato rezultat delimo z 2.

*Če vržemo tri iste vrste, potem rezultat delimo s 3 in tako naprej.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie in izpit.

Na kratko bom povedal o njegovem pomenu - MORAMO BI BITI SPOSOBNI ODLOČATI hitro in brez razmišljanja, morate poznati formule korenov in diskriminant na pamet. Veliko nalog, ki so del nalog USE, se nanaša na reševanje kvadratne enačbe (vključno z geometrijskimi).

Kaj je vredno omeniti!

1. Oblika enačbe je lahko "implicitna". Na primer, možen je naslednji vnos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ali 15x+42+9x 2 - 45x=0 ali 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga prenesti v standardno obliko (da se ne boste zmedli pri reševanju).

2. Ne pozabite, da je x neznana vrednost in jo lahko označimo s katero koli drugo črko - t, q, p, h in drugimi.