S tem matematičnim programom lahko rešiti kvadratno enačbo.

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja na dva načina:
- z uporabo diskriminatorja
- z uporabo izreka Vieta (če je mogoče).

Poleg tega je odgovor prikazan natančen, ne približen.
Na primer, za enačbo \(81x^2-16x-1=0\) je odgovor prikazan v tej obliki:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ namesto tega: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Ta program je lahko koristen za srednješolce splošne šole v pripravah na kontrolno delo in izpite, pri preverjanju znanja pred izpitom, staršem za kontrolo reševanja številnih nalog pri matematiki in algebri. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le čimprej opraviti? Domača naloga matematika ali algebra? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobno rešitvijo.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se poveča raven izobrazbe na področju nalog, ki jih je treba rešiti.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega polinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vnos kvadratnega polinoma

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Številke lahko vnesete kot cela števila ali ulomke.
Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne le v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celega števila ločen s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalke torej: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen.

Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
cel del ločeno od ulomka z znakom &: &
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju kvadratne enačbe vvedeni izraz najprej poenostavimo.
Na primer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odločite se

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te naloge, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

V brskalniku imate onemogočen JavaScript.
Za prikaz rešitve mora biti omogočen JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker Veliko je ljudi, ki želijo rešiti težavo, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Po nekaj sekundah se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije .
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Kvadratna enačba in njeni koreni. Nepopolne kvadratne enačbe

Vsaka od enačb
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ima obliko
\(ax^2+bx+c=0, \)
kjer je x spremenljivka, a, b in c so števila.
V prvi enačbi a = -1, b = 6 in c = 1,4, v drugi a = 8, b = -7 in c = 0, v tretji a = 1, b = 0 in c = 4/9. Take enačbe imenujemo kvadratne enačbe.

Opredelitev.
kvadratna enačba imenuje se enačba oblike ax 2 +bx+c=0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila in \(a \neq 0 \).

Števila a, b in c so koeficienti kvadratne enačbe. Število a imenujemo prvi koeficient, število b drugi koeficient in število c presečišče.

V vsaki od enačb oblike ax 2 +bx+c=0, kjer \(a \neq 0 \), je največja potenca spremenljivke x kvadrat. Od tod tudi ime: kvadratna enačba.

Upoštevajte, da kvadratno enačbo imenujemo tudi enačba druge stopnje, saj je njena leva stran polinom druge stopnje.

Kvadratno enačbo, v kateri je koeficient pri x 2 enak 1, imenujemo reducirana kvadratna enačba. Na primer, dane kvadratne enačbe so enačbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Če je v kvadratni enačbi ax 2 +bx+c=0 vsaj eden od koeficientov b ali c enak nič, se taka enačba imenuje nepopolna kvadratna enačba. Torej so enačbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 nepopolne kvadratne enačbe. V prvem izmed njih b=0, v drugem c=0, v tretjem b=0 in c=0.

Nepopolne kvadratne enačbe so treh vrst:
1) ax 2 +c=0, kjer \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kjer \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Razmislite o rešitvi enačb vsake od teh vrst.

Za rešitev nepopolne kvadratne enačbe oblike ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \) se njen prosti člen prenese na desno stran in oba dela enačbe delimo z a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Ker \(c \neq 0 \), potem \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Če \(-\frac(c)(a)>0 \), ima enačba dva korena.

Če \(-\frac(c)(a) Za rešitev nepopolne kvadratne enačbe oblike ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) faktoriziramo njeno levo stran in dobimo enačbo
\(x(ax+b)=0 \desna puščica \levo\( \begin(matrika)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(matrika) \desno. \desna puščica \levo\( \begin (matrika)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrika) \desno. \)

Zato ima nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) vedno dva korena.

Nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 \u003d 0 je enakovredna enačbi x 2 \u003d 0 in ima zato en sam koren 0.

Formula za korenine kvadratne enačbe

Oglejmo si sedaj, kako se rešujejo kvadratne enačbe, v katerih sta oba koeficienta neznank in prosti člen različna od nič.

Kvadratno enačbo rešimo v splošni obliki in kot rezultat dobimo formulo korenin. Nato lahko to formulo uporabimo za rešitev katere koli kvadratne enačbe.

Rešite kvadratno enačbo ax 2 +bx+c=0

Če oba njena dela delimo z a, dobimo ekvivalentno zmanjšano kvadratno enačbo
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

To enačbo transformiramo tako, da označimo kvadrat binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\levo(\frac(b)(2a)\desno)^2- \levo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \desna puščica \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\levo(\frac(b)(2a)\desno)^2 = \levo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 - \frac(c)(a) \desna puščica \) \(\levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \desna puščica \levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \desna puščica \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Desna puščica x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Desna puščica \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Korenski izraz se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe ax 2 +bx+c=0 ("diskriminant" v latinščini - razlikovalec). Označujemo ga s črko D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Zdaj z uporabo zapisa diskriminante prepišemo formulo za korenine kvadratne enačbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kjer \(D= b^2-4ac \)

Očitno je, da:
1) Če je D>0, ima kvadratna enačba dva korena.
2) Če je D=0, ima kvadratna enačba en koren \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Če D Torej ima lahko kvadratna enačba, odvisno od vrednosti diskriminante, dva korena (za D > 0), en koren (za D = 0) ali nobenih korenin (za D. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo , je priporočljivo narediti na naslednji način:
1) izračunajte diskriminanco in jo primerjajte z ničlo;
2) če je diskriminanta pozitivna ali enaka nič, potem uporabite korensko formulo, če je diskriminanta negativna, potem zapišite, da ni korenin.

Vietov izrek

Dana kvadratna enačba ax 2 -7x+10=0 ima korena 2 in 5. Vsota korenin je 7, produkt pa 10. Vidimo, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotni predznak, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Vsaka reducirana kvadratna enačba, ki ima korene, ima to lastnost.

Vsota korenin dane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.

Tisti. Vietov izrek pravi, da imata korena x 1 in x 2 reducirane kvadratne enačbe x 2 +px+q=0 lastnost:
\(\levo\( \begin(matrika)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(matrika) \desno. \)

Nekatere težave v matematiki zahtevajo sposobnost izračuna vrednosti kvadratnega korena. Te težave vključujejo reševanje enačb drugega reda. V tem članku predstavljamo učinkovita metoda računanje kvadratnih korenov in ga uporabite pri delu s formulami korenov kvadratne enačbe.

Kaj je kvadratni koren?

V matematiki ta koncept ustreza simbolu √. Zgodovinski podatki pravijo, da so jo začeli uporabljati okoli prve polovice 16. stoletja v Nemčiji (prvo nemško delo o algebri Christopha Rudolfa). Znanstveniki menijo, da je ta simbol preoblikovana latinska črka r (radix pomeni "koren" v latinščini).

Koren poljubnega števila je enak taki vrednosti, katere kvadrat ustreza korenskemu izrazu. V jeziku matematike bo ta definicija videti takole: √x = y, če je y 2 = x.

Koren pozitivnega števila (x > 0) je tudi pozitivno število (y > 0), vendar če vzamete koren negativnega števila (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Tu sta dva preprosta primera:

√9 = 3, ker je 3 2 = 9; √(-9) = 3i, ker je i 2 = -1.

Heronova iterativna formula za iskanje vrednosti kvadratnih korenov

Zgornji primeri so zelo preprosti in izračun korenin v njih ni težak. Težave se začnejo pojavljati že pri iskanju korenskih vrednosti za katero koli vrednost, ki je ni mogoče predstaviti kot kvadrat naravnega števila, na primer √10, √11, √12, √13, da ne omenjamo dejstva, da je v praksi je potrebno za iskanje korenov za necela števila: na primer √(12,15), √(8,5) itd.

V vseh zgoraj navedenih primerih velja posebna metoda računanje kvadratnega korena. Trenutno je znanih več takšnih metod: na primer razširitev v Taylorjevo vrsto, deljenje s stolpcem in nekatere druge. Od vseh znanih metod je morda najbolj preprosta in učinkovita uporaba Heronove iterativne formule, ki je znana tudi kot babilonska metoda za določanje kvadratnih korenov (obstajajo dokazi, da so jo stari Babilonci uporabljali v svojih praktičnih izračunih).

Naj bo treba določiti vrednost √x. Formula za iskanje kvadratnega korena je naslednja:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kjer je lim n->∞ (a n) => x.

Razvozlajmo ta matematični zapis. Za izračun √x morate vzeti neko število a 0 (lahko je poljubno, a če želite hitro dobiti rezultat, ga izberite tako, da je (a 0) 2 čim bližje x. Nato ga nadomestite v navedeno formulo za izračun kvadratnega korena in dobite novo število a 1, ki bo že bližje želeni vrednosti. Po tem je treba v izraz nadomestiti 1 in dobiti 2. Ta postopek je treba ponavljati, dokler je dosežena zahtevana natančnost.

Primer uporabe Heronove iterativne formule

Za mnoge se algoritem za pridobivanje kvadratnega korena danega števila morda zdi precej zapleten in zmeden, v resnici pa se vse izkaže za veliko preprostejše, saj se ta formula zelo hitro konvergira (še posebej, če je izbrana dobra številka 0).

Dajmo preprost primer: izračunati je treba √11. Izberemo 0 \u003d 3, saj je 3 2 \u003d 9, kar je bližje 11 kot 4 2 \u003d 16. Če zamenjamo formulo, dobimo:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Z izračuni nima smisla nadaljevati, saj smo ugotovili, da se 2 in 3 začneta razlikovati šele na 5. decimalnem mestu. Tako je bilo dovolj, da smo formulo uporabili samo 2-krat, da smo izračunali √11 z natančnostjo 0,0001.

Trenutno se za izračun korenin pogosto uporabljajo kalkulatorji in računalniki, vendar si je koristno zapomniti označeno formulo, da lahko ročno izračunamo njihovo natančno vrednost.

Enačbe drugega reda

Razumevanje, kaj je kvadratni koren, in sposobnost njegovega izračuna se uporablja pri reševanju kvadratnih enačb. Te enačbe so enačbe z eno neznanko, splošna oblika kar je prikazano na spodnji sliki.

Tukaj so c, b in a nekatera števila, a ne sme biti enako nič, vrednosti c in b pa sta lahko popolnoma poljubni, vključno z enakimi nič.

Vse vrednosti x, ki ustrezajo enakosti, prikazani na sliki, se imenujejo njegove korenine (tega koncepta ne smemo zamenjevati s kvadratnim korenom √). Ker ima obravnavana enačba 2. red (x 2), potem zanjo ne more biti več korenin kot dve števili. Kako najti te korenine, bomo razmislili kasneje v članku.

Iskanje korenin kvadratne enačbe (formula)

To metodo reševanja obravnavane vrste enačb imenujemo tudi univerzalna ali metoda prek diskriminatorja. Uporablja se lahko za katero koli kvadratno enačbo. Formula za diskriminanco in korenine kvadratne enačbe je naslednja:

Iz nje je razvidno, da so koreni odvisni od vrednosti vsakega od treh koeficientov enačbe. Poleg tega se izračun x 1 razlikuje od izračuna x 2 le po predznaku pred kvadratnim korenom. Radikalni izraz, ki je enak b 2 - 4ac, ni nič drugega kot diskriminanta obravnavane enakosti. Diskriminanta v formuli za korenine kvadratne enačbe ima pomembno vlogo, ker določa število in vrsto rešitev. Torej, če je nič, bo obstajala samo ena rešitev, če je pozitivna, ima enačba dva realna korena in nazadnje negativna diskriminanta vodi do dveh kompleksnih korenov x 1 in x 2.

Vietov izrek ali nekatere lastnosti korenov enačb drugega reda

Konec 16. stoletja je eden od ustanoviteljev sodobne algebre, Francoz, ki je študiral enačbe drugega reda, uspel pridobiti lastnosti njenih korenin. Matematično jih lahko zapišemo takole:

x 1 + x 2 = -b / a in x 1 * x 2 = c / a.

Obe enakosti zlahka dobi vsak, za to pa je potrebno le izvesti ustrezne matematične operacije s koreni, ki jih dobimo s formulo z diskriminantom.

Kombinacijo teh dveh izrazov lahko upravičeno imenujemo druga formula korenin kvadratne enačbe, ki omogoča ugibati njene rešitve brez uporabe diskriminante. Tukaj je treba opozoriti, da čeprav sta oba izraza vedno veljavna, ju je priročno uporabiti za rešitev enačbe le, če jo je mogoče faktorizirati.

Naloga utrjevanja pridobljenega znanja

Rešili bomo matematični problem, v katerem bomo prikazali vse tehnike, obravnavane v članku. Pogoji problema so naslednji: najti morate dve števili, katerih produkt je -13, vsota pa 4.

Ta pogoj takoj spominja na Vietin izrek, z uporabo formul za vsoto kvadratnih korenin in njihov produkt zapišemo:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Ob predpostavki, da je a = 1, potem je b = -4 in c = -13. Ti koeficienti nam omogočajo, da sestavimo enačbo drugega reda:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Uporabimo formulo z diskriminantom, dobimo naslednje korenine:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

To pomeni, da se je naloga zmanjšala na iskanje števila √68. Upoštevajte, da je 68 = 4 * 17, potem z uporabo lastnosti kvadratnega korena dobimo: √68 = 2√17.

Zdaj uporabimo obravnavano formulo kvadratnega korena: a 0 \u003d 4, nato:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Ni treba izračunati 3, ker se najdene vrednosti razlikujejo le za 0,02. Tako je √68 = 8,246. Če ga zamenjamo v formulo za x 1,2, dobimo:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 = 6,123 in x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

Kot lahko vidite, je vsota najdenih števil res enaka 4, če pa najdete njihov produkt, bo enak -12,999, kar izpolnjuje pogoj problema z natančnostjo 0,001.

Ta tema se lahko sprva zdi zapletena zaradi številnih ne tako preprostih formul. Ne le, da imajo same kvadratne enačbe dolge vnose, temveč se koreni najdejo tudi prek diskriminante. Skupaj so tri nove formule. Ni prav enostavno zapomniti. To je mogoče le po pogostem reševanju takih enačb. Potem si bodo vse formule zapomnile same.

Splošni pogled na kvadratno enačbo

Tukaj je predlagana njihova eksplicitna notacija, ko je največja stopnja zapisana najprej in nato - v padajočem vrstnem redu. Pogosto pride do situacij, ko se pojma razlikujeta. Potem je bolje enačbo prepisati v padajočem vrstnem redu glede na stopnjo spremenljivke.

Uvedemo notacijo. Predstavljeni so v spodnji tabeli.

Če sprejmemo te zapise, se vse kvadratne enačbe zmanjšajo na naslednji zapis.

Poleg tega je koeficient a ≠ 0. To formulo označimo s številko ena.

Ko je enačba podana, ni jasno, koliko korenin bo v odgovoru. Ker je vedno možna ena od treh možnosti:

• raztopina bo imela dve korenini;
• odgovor bo ena številka;
• Enačba sploh nima korenin.

In čeprav odločitev ni pripeljana do konca, je težko razumeti, katera od možnosti bo v posameznem primeru izpadla.

Vrste zapisov kvadratnih enačb

Naloge imajo lahko različne vnose. Ne bodo vedno videti kot splošna formula kvadratne enačbe. Včasih bo manjkalo nekaj izrazov. Zgoraj napisano je popolna enačba. Če v njem odstranite drugi ali tretji člen, dobite nekaj drugega. Te zapise imenujemo tudi kvadratne enačbe, le nepopolne.

Poleg tega lahko izginejo le izrazi, za katere koeficienta "b" in "c". Število "a" v nobenem primeru ne more biti enako nič. Ker se v tem primeru formula spremeni v linearno enačbo. Formule za nepopolno obliko enačb bodo naslednje:

Torej, obstajata samo dve vrsti, poleg popolnih obstajajo tudi nepopolne kvadratne enačbe. Naj bo prva formula številka dve, druga pa številka tri.

Diskriminanta in odvisnost števila korenin od njene vrednosti

To število je treba poznati, da lahko izračunamo korenine enačbe. Vedno ga je mogoče izračunati, ne glede na to, kakšna je formula kvadratne enačbe. Da bi izračunali diskriminanto, morate uporabiti spodaj napisano enakost, ki bo imela številko štiri.

Po zamenjavi vrednosti koeficientov v to formulo lahko dobite številke z različna znamenja. Če je odgovor pritrdilen, bosta odgovor na enačbo dva različna korena. Z negativnim številom bodo korenine kvadratne enačbe odsotne. Če je enako nič, bo odgovor ena.

Kako se reši popolna kvadratna enačba?

Pravzaprav se je obravnava tega vprašanja že začela. Kajti najprej morate najti diskriminanco. Ko je razjasnjeno, da obstajajo korenine kvadratne enačbe in je njihovo število znano, morate uporabiti formule za spremenljivke. Če obstajata dve korenini, potem morate uporabiti takšno formulo.

Ker vsebuje znak "±", bosta na voljo dve vrednosti. Izraz pod znakom kvadratnega korena je diskriminanta. Zato lahko formulo prepišemo na drugačen način.

Formula pet. Iz istega zapisa je razvidno, da če je diskriminanta nič, bosta oba korena imela enake vrednosti.

Če rešitev kvadratnih enačb še ni izdelana, je bolje, da zapišete vrednosti vseh koeficientov, preden uporabite diskriminantne in spremenljive formule. Kasneje ta trenutek ne bo povzročal težav. Toda na samem začetku je zmeda.

Kako se reši nepopolna kvadratna enačba?

Tukaj je vse veliko preprostejše. Tudi dodatne formule niso potrebne. In ne boste potrebovali tistih, ki so že napisane za diskriminantno in neznano.

Najprej razmislite o nepopolni enačbi številka dve. V tej enačbi naj bi neznano vrednost vzeli iz oklepaja in rešili linearno enačbo, ki bo ostala v oklepaju. Odgovor bo imel dva korena. Prvi je nujno enak nič, ker obstaja faktor, sestavljen iz same spremenljivke. Drugo dobimo z reševanjem linearne enačbe.

Nepopolno enačbo pri številki tri rešimo s prenosom števila z leve strani enačbe na desno. Nato morate deliti s koeficientom pred neznanko. Ostaja le, da izvlečete kvadratni koren in ga ne pozabite dvakrat zapisati z nasprotnimi znaki.

Sledi nekaj dejanj, ki vam pomagajo pri učenju reševanja vseh vrst enačb, ki se spremenijo v kvadratne enačbe. Učencu bodo pomagali preprečiti napake zaradi nepazljivosti. Te pomanjkljivosti so vzrok za slabe ocene pri študiju obsežne teme "Kvadrične enačbe (8. razred)". Nato teh dejanj ne bo treba nenehno izvajati. Ker bo tam stabilna navada.

• Najprej morate napisati enačbo v standardni obliki. Se pravi, najprej izraz z največjo stopnjo spremenljivke, nato pa - brez stopnje in zadnji - le številka.

• Če se pred koeficientom "a" pojavi minus, lahko začetniku zaplete delo pri preučevanju kvadratnih enačb. Bolje se je znebiti. V ta namen je treba vse enakosti pomnožiti z "-1". To pomeni, da bodo vsi členi spremenili predznak v nasprotni.

• Na enak način je priporočljivo, da se znebite ulomkov. Enostavno pomnožite enačbo z ustreznim faktorjem, tako da se imenovalci izničijo.

Primeri

Rešiti je treba naslednje kvadratne enačbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva enačba: x 2 - 7x \u003d 0. Je nepopolna, zato jo rešujemo, kot je opisano za formulo številka dve.

Po oklepajih se izkaže: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi koren ima vrednost: x 1 = 0. Drugi bo najden iz linearna enačba: x - 7 = 0. Lahko vidimo, da je x 2 = 7.

Druga enačba: 5x2 + 30 = 0. Spet nepopolna. Le ta se reši, kot je opisano za tretjo formulo.

Po prenosu 30 na desno stran enačbe: 5x 2 = 30. Zdaj morate deliti s 5. Izkazalo se je: x 2 = 6. Odgovori bodo številke: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tretja enačba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tu in spodaj se bo rešitev kvadratnih enačb začela tako, da jih prepišemo v standardno obliko: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Zdaj je čas, da uporabimo drugo uporaben nasvet in vse pomnožite z minus ena. Izkazalo se je x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Po četrti formuli morate izračunati diskriminanco: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivno število. Iz zgoraj povedanega se izkaže, da ima enačba dva korena. Izračunati jih je treba po peti formuli. Glede na to se izkaže, da x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Potem x 1 \u003d 3, x 2 = - 5.

Četrta enačba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 se pretvori v tole: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta je enaka tej vrednosti: -23. Ker je to število negativno, bo odgovor na to nalogo naslednji vnos: "Ni korenin."

Peto enačbo 12x + x 2 + 36 = 0 prepišemo takole: x 2 + 12x + 36 = 0. Po uporabi formule za diskriminanto dobimo število nič. To pomeni, da bo imel en koren, in sicer: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta enačba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahteva transformacije, ki so sestavljene iz dejstva, da morate prinesti podobne izraze, preden odprete oklepaje. Na mestu prvega bo tak izraz: x 2 + 2x + 1. Po enakosti se pojavi ta vnos: x 2 + 3x + 2. Po preštetju podobnih členov bo enačba dobila obliko: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepopolno. Podobno kot je bilo že obravnavano nekoliko višje. Korenini tega bosta števili 0 in 1.

Upam, da se boste po preučevanju tega članka naučili najti korenine popolne kvadratne enačbe.

S pomočjo diskriminante se rešujejo samo popolne kvadratne enačbe, za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb pa se uporabljajo druge metode, ki jih boste našli v članku "Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb".

Katere kvadratne enačbe imenujemo popolne? to enačbe oblike ax 2 + b x + c = 0, kjer koeficienti a, b in c niso enaki nič. Če želite torej rešiti celotno kvadratno enačbo, morate izračunati diskriminanco D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Glede na to, kakšno vrednost ima diskriminant, bomo odgovor zapisali.

Če je diskriminanta negativno število (D< 0),то корней нет.

Če je diskriminant nič, potem x \u003d (-b) / 2a. Ko je diskriminant pozitivno število (D > 0),

potem je x 1 = (-b - √D)/2a in x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primer. reši enačbo x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Reši enačbo 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odgovor: brez korenin.

Reši enačbo 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odgovor: - 3,5; eno.

Predstavljajmo si torej rešitev popolnih kvadratnih enačb po shemi na sliki 1.

Te formule je mogoče uporabiti za rešitev katere koli popolne kvadratne enačbe. Paziti morate le na enačba je bila zapisana kot polinom standardne oblike

a x 2 + bx + c, sicer lahko narediš napako. Če na primer pišete enačbo x + 3 + 2x 2 = 0, se lahko zmotno odločite, da

a = 1, b = 3 in c = 2. Potem

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 in potem ima enačba dva korena. In to ni res. (Glejte rešitev 2. primera zgoraj).

Če torej enačba ni zapisana kot polinom standardne oblike, je treba najprej celotno kvadratno enačbo zapisati kot polinom standardne oblike (na prvem mestu naj bo monom z največjim eksponentom, tj. a x 2 , potem z manj – bx, nato pa prosti termin z.

Pri reševanju zgornje kvadratne enačbe in kvadratne enačbe s sodim koeficientom za drugi člen lahko uporabimo tudi druge formule. Spoznajmo te formule. Če je v polni kvadratni enačbi z drugim členom koeficient sod (b = 2k), potem lahko enačbo rešimo z uporabo formul, prikazanih v diagramu na sliki 2.

Popolna kvadratna enačba se imenuje zmanjšana, če je koeficient pri x 2 je enako enoti in enačba ima obliko x 2 + px + q = 0. Takšno enačbo lahko damo rešiti ali pa jo dobimo tako, da vse koeficiente enačbe delimo s koeficientom a stoji pri x 2 .

Slika 3 prikazuje diagram rešitve pomanjšanega kvadrata
enačbe. Razmislite o primeru uporabe formul, obravnavanih v tem članku.

Primer. reši enačbo

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Rešimo to enačbo z uporabo formul, prikazanih na sliki 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3

Vidite lahko, da je koeficient pri x v tej enačbi sodo število, to je b \u003d 6 ali b \u003d 2k, od koder je k \u003d 3. Nato poskusimo rešiti enačbo z uporabo formul, prikazanih na diagramu slike D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6) \ u003d 9 + 18 \u003d 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3. Opazimo, da so vsi koeficienti v tej kvadratni enačbi deljivi s 3 in z deljenjem dobimo pomanjšano kvadratno enačbo x 2 + 2x - 2 = 0. To enačbo rešimo z uporabo formul za pomanjšano kvadratno enačbo
enačbe slika 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3.

Kot lahko vidite, smo pri reševanju te enačbe z različnimi formulami dobili enak odgovor. Če torej dobro obvladate formule, prikazane na diagramu na sliki 1, lahko vedno rešite katero koli popolno kvadratno enačbo.

blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Znano je, da gre za posebno različico enakosti ax 2 + in + c \u003d o, kjer so a, b in c realni koeficienti za neznano x in kjer je a ≠ o, b in c pa bosta ničli - hkrati ali ločeno. Na primer c = o, v ≠ o ali obratno. Skoraj smo se spomnili definicije kvadratne enačbe.

Trinom druge stopnje je enak nič. Njegov prvi koeficient a ≠ o, b in c lahko zavzameta poljubne vrednosti. Vrednost spremenljivke x bo takrat takrat, ko jo bo pri zamenjavi spremenila v pravilno številsko enakost. Ostanimo pri realnih koreninah, čeprav so rešitve enačbe lahko tudi popolne.Običajno imenujemo enačbo, v kateri nobeden od koeficientov ni enak o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Rešimo primer. 2x2 -9x-5 = oh, najdemo
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D je pozitiven, zato so koreni, x 1 = (9+√121): 4 = 5, in drugi x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Preverjanje vam bo pomagalo zagotoviti, da so pravilni.

Tukaj je korak za korakom rešitev kvadratne enačbe

Preko diskriminante lahko rešite katero koli enačbo, na levi strani katere je znan kvadratni trinom z ≠ o. V našem primeru. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Razmislite, kaj so nepopolne enačbe druge stopnje

1. sekira 2 + in = o. Prosti člen, koeficient c pri x 0, je tukaj nič, v ≠ o.
   Kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo te vrste? Vzemimo x iz oklepaja. Zapomnite si, kdaj je produkt dveh faktorjev enak nič.
   x(ax+b) = o, to je lahko, ko je x = o ali ko je ax+b = o.
   Če rešimo 2., imamo x = -v/a.
   Posledično imamo korenine x 1 \u003d 0, glede na izračune x 2 \u003d -b / a.
2. Zdaj je koeficient pri x o, vendar c ni enak (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. C prenesemo na desno stran enakosti, dobimo x 2 \u003d -c. Ta enačba ima prave korene le, če je -c pozitivno število (c ‹ o),
   x 1 je potem enak √(-c), oziroma x 2 je -√(-c). V nasprotnem primeru enačba sploh nima korenin.
3. Zadnja možnost: b \u003d c \u003d o, to je sekira 2 \u003d o. Seveda ima tako preprosta enačba en koren, x = o.

Posebni primeri

Razmislili smo, kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo, zdaj pa bomo vzeli katero koli.

• V polni kvadratni enačbi je drugi koeficient x sodo število.
  Naj bo k = o,5b. Imamo formule za izračun diskriminante in korenov.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, korenine se izračunajo na naslednji način x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a za D › o.
  x = -k/a pri D = o.
  Za D ‹ o ni korenin.
• Obstajajo reducirane kvadratne enačbe, ko je koeficient x na kvadrat 1, se običajno zapišejo x 2 + px + q \u003d o. Zanje veljajo vse zgornje formule, vendar so izračuni nekoliko preprostejši.
  Primer, x 2 -4x-9 \u003d 0. Izračunamo D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Poleg tega se zlahka uporabi za dane Pravi, da je vsota korenin enačbe enaka -p, drugi koeficient z minusom (kar pomeni nasprotni predznak), produkt teh istih korenin pa bo biti enak q, prostemu členu. Preverite, kako preprosto bi bilo ustno določiti korenine te enačbe. Za nereducirane (za vse koeficiente, ki niso enaki nič) se ta izrek uporablja na naslednji način: vsota x 1 + x 2 je enaka -v / a, produkt x 1 x 2 je enak c / a. .

Vsota prostega člena c in prvega koeficienta a je enaka koeficientu b. V tej situaciji ima enačba vsaj eno korenino (lahko jo je dokazati), prva je nujno enaka -1, druga pa c / a, če obstaja. Kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo, lahko preverite sami. Enostavno peasy. Koeficienti so lahko med seboj v nekaterih razmerjih

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Vsota vseh koeficientov je o.
  Korenine takšne enačbe so 1 in c / a. Primer, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Obstajajo številni drugi načini za reševanje različnih enačb druge stopnje. Tukaj je na primer metoda za pridobivanje polnega kvadrata iz danega polinoma. Obstaja več grafičnih načinov. Ko se pogosto ukvarjate s takimi primeri, se jih boste naučili »klikati« kot semena, saj vam vse metode pridejo na misel samodejno.