Poiščite splošno rešitev sistema in fsr. Homogeni sistemi linearnih algebrskih enačb

Homogen sistem je vedno konsistenten in ima trivialno rešitev
. Za obstoj netrivialne rešitve je nujno, da je rang matrike je bil manj kot številka neznano:

.

Temeljni sistem odločanja homogeni sistem
imenujemo sistem rešitev v obliki stolpčnih vektorjev
, ki ustrezajo kanonični osnovi, tj. osnova, v kateri poljubne konstante
so izmenično enake ena, ostale pa na nič.

Potem skupna odločitev homogeni sistem ima obliko:

kje
so poljubne konstante. Z drugimi besedami, splošna rešitev je linearna kombinacija temeljnega sistema rešitev.

Tako lahko osnovne rešitve dobimo iz splošne rešitve, če prostim neznankam izmenično dodelimo vrednost enote, ob predpostavki, da so vse druge enake nič.

Primer. Poiščimo rešitev za sistem

Sprejmemo, nato dobimo rešitev v obliki:

Sestavimo zdaj temeljni sistem rešitev:

.

Splošno rešitev lahko zapišemo kot:

Rešitve sistema homogenih linearnih enačb imajo naslednje lastnosti:

Z drugimi besedami, vsaka linearna kombinacija rešitev homogenega sistema je spet rešitev.

Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo

Reševanje sistemov linearnih enačb je matematike zanimalo že več stoletij. Prvi rezultati so bili pridobljeni v XVIII. Leta 1750 je G. Kramer (1704–1752) objavil svoja dela o determinantah kvadratnih matrik in predlagal algoritem za iskanje inverzna matrika. Leta 1809 je Gauss orisal novo metodo rešitve, znano kot metoda izločanja.

Gaussova metoda ali metoda zaporednega izločanja neznank je sestavljena iz tega, da se s pomočjo elementarnih transformacij sistem enačb reducira na enakovreden sistem stopničaste (ali trikotne) oblike. Takšni sistemi vam omogočajo dosledno iskanje vseh neznank v določenem vrstnem redu.

Recimo, da je v sistemu (1)
(kar je vedno možno).

(1)

Če prvo enačbo pomnožimo s ti primerne številke

in seštejemo rezultat množenja z ustreznimi enačbami sistema, dobimo enakovredni sistem, v katerem vse enačbe, razen prve, ne bodo imele neznanke X 1

(2)

Sedaj pomnožimo drugo enačbo sistema (2) z ustreznimi številkami ob predpostavki, da

,

in če ga dodamo spodnjim, izločimo spremenljivko vseh enačb, začenši s tretjo.

Nadaljevanje tega procesa, po
korake dobimo:

(3)

Če je vsaj ena od številk
ni enako nič, potem je ustrezna enakost nekonsistentna in sistem (1) je nekonsistenten. Nasprotno pa za vsak skupni številski sistem
so enake nič. številka ni nič drugega kot rang sistemske matrike (1).

Prehod iz sistema (1) v (3) imenujemo v ravni črti Gaussova metoda in iskanje neznank iz (3) - nazaj .

Komentiraj : Priročneje je izvajati transformacije ne s samimi enačbami, temveč z razširjeno matriko sistema (1).

Primer. Poiščimo rešitev za sistem

.

Zapišimo razširjeno matriko sistema:

.

Dodajmo vrsticam 2,3,4 prvo, pomnoženo z (-2), (-3), (-2):

.

Zamenjajmo vrstici 2 in 3, nato pa v dobljeni matriki prištejmo vrstico 2 vrstici 4, pomnoženo z :

.

Vrstici 4 dodajte vrstico 3, pomnoženo s
:

.

To je očitno
, zato je sistem konsistenten. Iz nastalega sistema enačb

rešitev najdemo z obratno zamenjavo:

,
,
,
.

Primer 2 Poiščite sistemsko rešitev:

.

Očitno je, da je sistem nekonsistenten, saj
, a
.

Prednosti Gaussove metode :

Manj časa kot Cramerjeva metoda.

Nedvoumno ugotavlja združljivost sistema in omogoča iskanje rešitve.

Omogoča določanje ranga katere koli matrice.

Imenuje se sistem linearnih enačb, v katerem so vsi prosti členi enaki nič homogena :

Vsak homogen sistem je vedno konsistenten, saj je vedno bil nič (trivialno ) rešitev. Postavlja se vprašanje, pod kakšnimi pogoji bo imel homogen sistem netrivialno rešitev.

Izrek 5.2.Homogen sistem ima netrivialno rešitev, če in samo če je rang osnovne matrike manjši od števila njegovih neznank.

Posledica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivialno rešitev, če in samo če determinanta glavne matrike sistema ni enaka nič.

Primer 5.6. Določite vrednosti parametra l, za katere ima sistem netrivialne rešitve, in poiščite te rešitve:

rešitev. Ta sistem bo imel netrivialno rešitev, ko je determinanta glavne matrike enaka nič:

Tako je sistem netrivialen, ko je l=3 ali l=2. Za l=3 je rang glavne matrike sistema 1. Potem pustimo samo eno enačbo in predpostavimo, da l=a in z=b, dobimo x=b-a, tj.

Za l=2 je rang glavne matrike sistema 2. Nato kot osnovni pomor izberemo:

dobimo poenostavljen sistem

Od tod to ugotovimo x=z/4, y=z/2. Ob predpostavki z=4a, dobimo

Množica vseh rešitev homogenega sistema ima zelo pomembno vlogo linearna lastnost : če X stolpcev 1 in X 2 - rešitve homogenega sistema AX = 0, potem katera koli njihova linearna kombinacija a X 1+b X 2 bo tudi rešitev tega sistema. Res, ker SEKIRA 1 = 0 in SEKIRA 2 = 0 , potem A(a X 1+b X 2) = a SEKIRA 1+b SEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zaradi te lastnosti, če ima linearni sistem več kot eno rešitev, bo teh rešitev neskončno veliko.

Linearno neodvisni stolpci E 1 , E 2 , E k, ki so rešitve homogenega sistema, imenujemo temeljni sistem odločanja homogen sistem linearnih enačb, če lahko splošno rešitev tega sistema zapišemo kot linearno kombinacijo teh stolpcev:

Če ima homogen sistem n spremenljivk, rang glavne matrike sistema pa je enak r, potem k = n-r.

Primer 5.7. Poiščite temeljni sistem rešitev naslednjega sistema linearnih enačb:

rešitev. Poiščite rang glavne matrike sistema:

Tako množica rešitev tega sistema enačb tvori linearni podprostor dimenzije n - r= 5 - 2 = 3. Izberemo kot osnovni mol

.

Potem, če pustimo samo osnovne enačbe (ostalo bo linearna kombinacija teh enačb) in osnovne spremenljivke (preostale, tako imenovane proste spremenljivke, prenesemo na desno), dobimo poenostavljen sistem enačb:

Ob predpostavki x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, najdemo

, .

Ob predpostavki a= 1, b=c= 0, dobimo prvo osnovno rešitev; ob predpostavki b= 1, a = c= 0, dobimo drugo osnovno rešitev; ob predpostavki c= 1, a = b= 0, dobimo tretjo osnovno rešitev. Kot rezultat, normalno temeljni sistem rešitve bodo dobile obliko

Z uporabo temeljnega sistema lahko splošno rešitev homogenega sistema zapišemo kot

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Opozorimo na nekatere lastnosti rešitev nehomogenega sistema linearnih enačb AX=B in njihov odnos z ustreznim homogenim sistemom enačb AX = 0.

Splošna rešitev nehomogenega sistemaje enaka vsoti splošne rešitve ustreznega homogenega sistema AX = 0 in poljubne partikularne rešitve nehomogenega sistema. Res, naj Y 0 je poljubna partikularna rešitev nehomogenega sistema, tj. AY 0 = B, in Y je splošna rešitev nehomogenega sistema, tj. AY=B. Če odštejemo eno enakost od druge, dobimo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema SEKIRA=0. Posledično Y-Y 0 = X, oz Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Naj ima nehomogen sistem obliko AX = B 1 + B 2 . Potem lahko splošno rešitev takega sistema zapišemo kot X = X 1 + X 2 , kjer je AX 1 = B 1 in AX 2 = B 2. Ta lastnost izraža univerzalno lastnost vseh linearnih sistemov na splošno (algebraičnih, diferencialnih, funkcionalnih itd.). V fiziki se ta lastnost imenuje princip superpozicije, v elektro in radijski tehniki - načelo prekrivanja. Na primer, v teoriji linearnih električnih tokokrogov lahko tok v katerem koli tokokrogu dobimo kot algebraično vsoto tokov, ki jih povzroča vsak vir energije posebej.

Tudi v šoli se je vsak od nas učil enačb in zagotovo sistemov enačb. Toda malo ljudi ve, da jih je mogoče rešiti na več načinov. Danes bomo podrobno analizirali vse metode za reševanje linearnega sistema algebraične enačbe, ki je sestavljena iz več kot dveh enakosti.

Zgodba

Danes je znano, da umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov izvira iz starega Babilona in Egipta. Vendar pa so se enakosti v običajni obliki pojavile po pojavu enakega znaka "=", ki ga je leta 1556 uvedel angleški matematik Record. Mimogrede, ta znak je bil izbran z razlogom: pomeni dva vzporedna enaka segmenta. Dejansko ni boljšega primera enakosti.

Utemeljitelj modernih črkovnih oznak neznank in stopinjskih znakov je francoski matematik, vendar so se njegove oznake bistveno razlikovale od današnjih. Kvadrat neznanega števila je na primer označil s črko Q (lat. "quadratus"), kocko pa s črko C (lat. "cubus"). Ti zapisi se zdaj zdijo nerodni, a takrat je bil to najbolj razumljiv način zapisovanja sistemov linearnih algebrskih enačb.

Vendar pa je bila pomanjkljivost takratnih metod reševanja ta, da so matematiki upoštevali le pozitivne korenine. Morda je to posledica dejstva, da negativnih vrednosti ni bilo praktična uporaba. Tako ali drugače so bili italijanski matematiki Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano in Rafael Bombelli prvi, ki so se v 16. stoletju lotili negativnih korenin. AMPAK moderen videz, glavna metoda reševanja (skozi diskriminanto) je nastala šele v 17. stoletju zahvaljujoč delu Descartesa in Newtona.

Sredi 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Cramer ugotovil nov način za lažje reševanje sistemov linearnih enačb. Po njem so to metodo kasneje poimenovali in jo uporabljamo še danes. Toda o Cramerjevi metodi bomo govorili malo kasneje, za zdaj pa bomo obravnavali linearne enačbe in metode za njihovo reševanje ločeno od sistema.

Linearne enačbe

Linearne enačbe so najenostavnejše enačbe s spremenljivkami. Uvrščamo jih med algebraične. zapišite v splošni obliki, kot sledi: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... in n * x n \u003d b. Njihovo predstavitev v tej obliki bomo potrebovali pri nadaljnjem prevajanju sistemov in matrik.

Sistemi linearnih algebrskih enačb

Opredelitev tega izraza je naslednja: gre za niz enačb, ki imajo skupne neznanke in skupno rešitev. Praviloma se je v šoli vse reševalo po sistemih z dvema ali celo tremi enačbami. Obstajajo pa sistemi s štirimi ali več komponentami. Najprej ugotovimo, kako jih zapisati, da jih bo kasneje priročno rešiti. Prvič, sistemi linearnih algebrskih enačb bodo videti bolje, če bodo vse spremenljivke zapisane kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 itd. Drugič, vse enačbe je treba pripeljati v kanonično obliko: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Po vseh teh dejanjih lahko začnemo govoriti o tem, kako najti rešitev za sisteme linearnih enačb. Za to so zelo uporabne matrice.

matrice

Matrika je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, na njihovem presečišču pa so njeni elementi. To so lahko specifične vrednosti ali spremenljivke. Najpogosteje se za označevanje elementov pod njimi postavijo indeksi (na primer 11 ali 23). Prvi indeks pomeni številko vrstice, drugi pa številko stolpca. Na matricah, kot tudi na katerem koli drugem matematičnem elementu, lahko izvajate različne operacije. Tako lahko:

2) Pomnožite matriko z nekim številom ali vektorjem.

3) Transponiranje: spremeni matrične vrstice v stolpce in stolpce v vrstice.

4) Pomnožite matrike, če je število vrstic ene od njih enako številu stolpcev druge.

Vse te tehnike bomo obravnavali podrobneje, saj nam bodo v prihodnosti koristile. Odštevanje in seštevanje matrik je zelo enostavno. Ker vzamemo matrike enake velikosti, vsak element ene tabele ustreza vsakemu elementu druge tabele. Tako seštejemo (odštejemo) ta dva elementa (pomembno je, da sta v svojih matricah na istih mestih). Pri množenju matrike s številom ali vektorjem morate preprosto pomnožiti vsak element matrike s tem številom (ali vektorjem). Transpozicija je zelo zanimiv proces. Včasih ga je zelo zanimivo videti v resnično življenje, na primer, ko spremenite usmerjenost tablice ali telefona. Ikone na namizju so matrica in ko spremenite položaj, se prestavi in ​​postane širša, vendar se zmanjša v višino.

Analizirajmo tak postopek kot Čeprav nam ne bo koristil, ga bo vseeno koristno poznati. Dve matriki lahko pomnožite le, če je število stolpcev v eni tabeli enako številu vrstic v drugi. Zdaj pa vzemimo elemente vrstice ene matrike in elemente ustreznega stolpca druge. Med seboj jih pomnožimo in nato seštejemo (to pomeni, da bo na primer produkt elementov a 11 in a 12 z b 12 in b 22 enak: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tako dobimo en element tabele, ki ga polnimo naprej na podoben način.

Zdaj lahko začnemo obravnavati, kako je sistem linearnih enačb rešen.

Gaussova metoda

Ta tema se začne v šoli. Dobro poznamo pojem "sistem dveh linearnih enačb" in znamo ju reševati. Kaj pa, če je število enačb večje od dveh? To nam bo pomagalo

Seveda je ta metoda primerna za uporabo, če iz sistema naredite matriko. Vendar ga ne morete preoblikovati in rešiti v čisti obliki.

Torej, kako je sistem linearnih Gaussovih enačb rešen s to metodo? Mimogrede, čeprav je ta metoda poimenovana po njem, so jo odkrili že v starih časih. Gauss predlaga naslednje: izvajati operacije z enačbami, da bi sčasoma celoten niz reduciral na stopničasto obliko. To pomeni, da je potrebno, da se od zgoraj navzdol (če je pravilno postavljeno) od prve do zadnje enačbe zmanjša ena neznanka. Z drugimi besedami, poskrbeti moramo, da dobimo recimo tri enačbe: v prvi - tri neznanke, v drugi - dve, v tretji - eno. Nato iz zadnje enačbe poiščemo prvo neznanko, njeno vrednost nadomestimo v drugo ali prvo enačbo in nato poiščemo preostali dve spremenljivki.

Cramerjeva metoda

Za obvladovanje te metode je nujno obvladati veščine seštevanja, odštevanja matrik, poleg tega pa morate znati najti determinante. Torej, če vse to počnete slabo ali sploh ne znate, se boste morali naučiti in vaditi.

Kaj je bistvo te metode in kako narediti tako, da dobimo sistem linearnih Cramerjevih enačb? Vse je zelo preprosto. Matriko moramo sestaviti iz numeričnih (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih algebrskih enačb. To naredimo tako, da preprosto vzamemo števila pred neznankami in jih postavimo v tabelo v vrstnem redu, kot so zapisana v sistemu. Če je pred številko znak "-", potem zapišemo negativni koeficient. Torej smo sestavili prvo matriko koeficientov neznank, pri čemer ne vključujemo števil za enačaji (seveda je treba enačbo reducirati na kanonično obliko, ko je na desni le številka, vse neznanke pa z koeficienti so na levi). Nato morate ustvariti še več matrik - eno za vsako spremenljivko. Da bi to naredili, v prvi matriki po vrsti zamenjamo vsak stolpec s koeficienti s stolpcem številk za znakom enačaja. Tako dobimo več matrik in nato poiščemo njihove determinante.

Ko smo našli determinante, je stvar majhna. Imamo začetno matriko in nastalih je več matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da dobimo rešitve sistema, delimo determinanto nastale tabele z determinanto začetne tabele. Dobljeno število je vrednost ene od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznanke.

Druge metode

Obstaja več načinov za rešitev sistemov linearnih enačb. Na primer tako imenovana Gauss-Jordanova metoda, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratne enačbe in je povezana tudi z uporabo matrik. Obstaja tudi Jacobijeva metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Najlažje ga je prilagoditi računalniku in se uporablja v računalniški tehnologiji.

Težki primeri

Zapletenost običajno nastane, ko je število enačb manjše od števila spremenljivk. Potem lahko z gotovostjo trdimo, da je sistem nekonzistenten (torej nima korenin) ali pa se število njegovih rešitev nagiba k neskončnosti. Če imamo drugi primer, potem moramo zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vsebovala bo vsaj eno spremenljivko.

Zaključek

Prišli smo do konca. Povzemimo: analizirali smo, kaj sta sistem in matrika, se naučili najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega so bile obravnavane tudi druge možnosti. Ugotovili smo, kako se rešuje sistem linearnih enačb: Gaussova metoda in Pogovarjali smo se o težkih primerih in drugih načinih iskanja rešitev.

Pravzaprav je ta tema veliko obsežnejša in če jo želite bolje razumeti, vam svetujemo, da preberete bolj specializirano literaturo.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema predmeta linearne algebre. Ogromno problemov iz vseh vej matematike se zreducira na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za nastanek tega članka. Gradivo članka je izbrano in strukturirano tako, da lahko z njegovo pomočjo

• izberite optimalno metodo za reševanje vašega sistema linearnih algebrskih enačb,
• preuči teorijo izbrane metode,
• rešite svoj sistem linearnih enačb, pri čemer ste podrobno preučili rešitve tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Najprej podamo vse potrebne definicije, koncepte in uvedemo nekaj zapisov.

Nato obravnavamo metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo enolično rešitev. Najprej se osredotočimo na Cramerjevo metodo, drugič bomo prikazali matrično metodo za reševanje tovrstnih sistemov enačb, tretjič pa bomo analizirali Gaussovo metodo (metoda zaporednega izločanja neznanih spremenljivk). Za utrditev teorije bomo vsekakor rešili več SLAE na različne načine.

Nato preidemo na reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošni pogled, pri kateri število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema degenerirana. Oblikujemo Kronecker-Capellijev izrek, ki nam omogoča ugotavljanje združljivosti SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (v primeru njihove združljivosti) z uporabo koncepta baznega minora matrike. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Bodite pozorni na strukturo splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Podajte koncept temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si poglejmo nekaj primerov.

Na koncu obravnavamo sisteme enačb, ki so reducirane na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po straneh.

Definicije, pojmi, oznake.

Upoštevali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke, - koeficienti (nekatera realna ali kompleksna števila), - prosti členi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika SLAE se imenuje koordinirati.

AT matrična oblika ta sistem enačb ima obliko,
kje - glavna matrika sistema, - matrika-stolpec neznanih spremenljivk, - matrika-stolpec prostih članov.

Če matriki A kot (n + 1)-ti stolpec dodamo matriko-stolpec prostih členov, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih članov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, tj.

Z reševanjem sistema linearnih algebrskih enačb imenovan niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. Matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk se prav tako spremeni v identiteto.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje nezdružljivo.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene; če obstaja več kot ena rešitev, potem - negotova.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , nato se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Reševanje elementarnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število sistemskih enačb enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, potem bomo takšne SLAE imenovali osnovno. Takšni sistemi enačb imajo enolično rešitev in v primeru homogenega sistema so vse neznane spremenljivke enake nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati leta Srednja šola. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, eno neznano spremenljivko izrazili z drugimi in jo nadomestili v preostale enačbe, nato vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili v druge enačbe itd. Ali pa so uporabili metodo dodajanja, to je, da so dodali dve ali več enačb, da bi izločili nekatere neznane spremenljivke. O teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Rešiti moramo sistem linearnih algebrskih enačb

v katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, to je .

Naj bo determinanta glavne matrike sistema in so determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., …, n v stolpec brezplačnih članov:

S takim zapisom se neznane spremenljivke izračunajo po formulah Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajte njegovo determinanto (če je potrebno, glejte članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavite in izračunajte potrebne determinante (determinanto dobimo z zamenjavo prvega stolpca v matriki A s stolpcem prostih členov, determinanto - z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih članov, - z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih članov ):

Iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračuna determinant, ko je število sistemskih enačb večje od treh.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebrskih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A razsežnost n x n in je njena determinanta različna od nič.

Ker je , potem je matrika A invertibilna, to pomeni, da obstaja inverzna matrika . Če oba dela enačbe pomnožimo z levo, potem dobimo formulo za iskanje stolpčne matrike neznanih spremenljivk. Tako smo dobili rešitev sistema linearnih algebrskih enačb matrična metoda.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

rešitev.

Zapišimo sistem enačb v matrični obliki:

Ker

potem lahko SLAE rešimo z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko rešitev tega sistema najdemo kot .

Zgradimo inverzno matriko z uporabo matrike algebraičnih komplementov elementov matrike A (če je potrebno, glej članek):

Ostaja še izračunati - matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike na stolpcu matrike brezplačnih članov (če je potrebno, glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, še posebej za kvadratne matrike reda, višjega od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Gaussovi metodi.

Recimo, da moramo najti rešitev sistema n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporedne izločitve neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo in tako naprej, dokler ni samo neznana spremenljivka. x n ostane v zadnji enačbi. Tak postopek preoblikovanja enačb sistema za zaporedno izločanje neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po zaključku napredovanja Gaussove metode se x n najde iz zadnje enačbe, x n-1 se izračuna iz predzadnje enačbe z uporabo te vrednosti in tako naprej, x 1 se najde iz prve enačbe. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje reverzna Gaussova metoda.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Neznano spremenljivko x 1 izključimo iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Če želite to narediti, dodajte prvo enačbo, pomnoženo z, drugi enačbi sistema, dodajte prvo enačbo, pomnoženo z, tretji enačbi in tako naprej, dodajte prvo, pomnoženo z, n-ti enačbi. Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

Nato ravnamo podobno, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Če želite to narediti, tretji enačbi sistema dodajte drugo, pomnoženo z, četrti enačbi dodajte drugo, pomnoženo z, in tako naprej, drugič, pomnoženo z, dodajte n-ti enačbi. Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri tem pa ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Torej nadaljujemo z neposrednim potekom Gaussove metode, dokler sistem ne dobi oblike

Od tega trenutka začnemo obratni potek Gaussove metode: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot , s pomočjo dobljene vrednosti x n najdemo x n-1 iz predzadnje enačbe in tako naprej najdemo x 1 iz prve enačba.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, obema deloma druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oz.

Sedaj iz tretje enačbe izločimo x 2 tako, da njenim levim in desnim delom dodamo levi in ​​desni del druge enačbe, pomnožene z:

S tem je potek naprej Gaussove metode končan, začnemo obratni potek.

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe najdemo preostalo neznano spremenljivko in s tem zaključimo obraten potek Gaussove metode.

odgovor:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

V splošnem primeru število enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in degenerirana.

Kronecker-Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev sistema linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj nezdružljiv, daje Kronecker–Capellijev izrek:
da je sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, to je Rank( A)=Uvrstitev(T).

Oglejmo si kot primer uporabo Kronecker-Cappellijevega izreka za določanje združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

rešitev.

. Uporabimo metodo mejnih mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Oglejmo si mladoletnike tretjega reda, ki ga obkrožajo:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike dva.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

V to smer, Rang(A) , torej glede na Kronecker-Capellijev izrek lahko sklepamo, da je izvirni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Ni sistema rešitev.

Tako smo se naučili ugotoviti nedoslednost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev SLAE, če je vzpostavljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki ni nič osnovni.

Iz definicije baznega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za neničelno matriko A je lahko več bazičnih minorjev, vedno je en bazični minor.

Na primer, razmislite o matriki .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, ker niso ničelni

mladoletniki niso bazične, saj so enake nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p z n enak r, potem so vsi elementi vrstic (in stolpcev) matrike, ki ne tvorijo izbrane osnovne baze, linearno izraženi z ustreznimi elementi vrstic (in stolpcev) ), ki tvorijo osnovo minor.

Kaj nam daje izrek o rangu matrike?

Če smo s Kronecker-Capellijevim izrekom ugotovili združljivost sistema, potem izberemo katerikoli osnovni minor glavne matrike sistema (njegov vrstni red je enak r) in izločimo iz sistema vse enačbe, ki ne oblikujejo izbrani osnovni mol. Tako dobljen SLAE bo enakovreden originalnemu, saj so zavržene enačbe še vedno redundantne (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju pretiranih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, potem bo ta dokončen in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

.

rešitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Razširjeni matrični rang je tudi enako dve, saj je edini minor tretjega reda enak nič

in minor zgoraj obravnavanega drugega reda je drugačen od nič. Na podlagi Kronecker-Capellijevega izreka lahko trdimo združljivost izvirnega sistema linearnih enačb, saj je Rank(A)=Rank(T)=2 .

Kot podlago vzamemo . Sestavljen je iz koeficientov prve in druge enačbe:


Tretja enačba sistema ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo izločimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebrskih enačb. Rešimo ga po Cramerjevi metodi:


odgovor:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Če je število enačb r v dobljenem SLAE manjše od števila neznanih spremenljivk n, potem pustimo člene, ki tvorijo osnovni minor v levih delih enačb, preostale člene pa prenesemo v desne dele enačb. sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (teh je r), ki ostanejo na levi strani enačb, imenujemo glavni.

Pokličemo neznane spremenljivke (n - r jih je), ki so se znašle na desni strani prost.

Zdaj predpostavljamo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bo r glavnih neznanih spremenljivk izraženo v terminih prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem dobljene SLAE po Cramerjevi metodi, matrični metodi ali Gaussovi metodi.

Vzemimo primer.

Primer.

Reši sistem linearnih algebraičnih enačb .

rešitev.

Poiščite rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki obkroža ta minor:


Torej smo našli minor drugega reda, ki ni nič. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:


Tako je rang glavne matrice tri. Tudi rang razširjene matrike je enak trem, kar pomeni, da je sistem dosleden.

Najdeni neničelni minor tretjega reda bo vzet kot osnovni.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovo minor:


Člene, ki sodelujejo v osnovnem minorju, pustimo na levi strani enačb sistema, ostale z nasprotnimi predznaki pa prenesemo na desne strani:


Prostim neznanim spremenljivkam x 2 in x 5 dajemo poljubne vrednosti, to pomeni, da vzamemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru ima SLAE obliko


Dobljeni elementarni sistem linearnih algebrskih enačb rešimo po Cramerjevi metodi:


Posledično,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubna števila.

Povzemite.

Za rešitev sistema linearnih algebrskih enačb splošne oblike najprej ugotovimo njegovo združljivost s Kronecker-Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nedosleden.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo osnovni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega osnovnega minora.

Če je vrstni red osnovnega minora enak številu neznanih spremenljivk, potem ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s katero koli nam znano metodo.

Če je vrstni red baznega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami na levi strani enačb sistema, preostale člene prenesemo na desne strani in jim dodelimo poljubne vrednosti ​prostim neznanim spremenljivkam. Iz nastalega sistema linearnih enačb poiščemo glavne neznanke spremenljivke metode Cramerjeva, matrična ali Gaussova metoda.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Z uporabo Gaussove metode je mogoče rešiti sisteme linearnih algebrskih enačb katere koli vrste brez njihove predhodne preiskave glede združljivosti. Proces zaporednega izločanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o neskladnosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo omogoča najti.

Z vidika računalniškega dela je boljša Gaussova metoda.

Pazi natančen opis in analizirane primere v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Zapis splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebrskih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem razdelku se bomo osredotočili na skupne homogene in nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se posvetimo homogenim sistemom.

Temeljni sistem odločanja Homogen sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je množica (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r vrstni red baznega minora glavne matrike sistema.

Če označimo linearno neodvisne rešitve homogene SLAE kot X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) so matrični stolpci dimenzije n z 1 ) , potem je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljena kot linearna kombinacija vektorjev temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti С 1 , С 2 , …, С (n-r), to je .

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula podaja vse možne rešitve prvotnega SLAE, z drugimi besedami, vzame kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , v skladu s formulo, ki jo bo dobil eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve tega homogenega SLAE postavimo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo osnovni minor izvornega sistema linearnih enačb, izločimo vse druge enačbe iz sistema in prenesemo na desno stran enačb sistema z nasprotnimi predznaki vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke. Dajmo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti 1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke z reševanjem nastalega elementarnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer po Cramerjevi metodi. Tako bo dobljen X (1) - prva rešitev temeljnega sistema. Če prostim neznankam damo vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, potem dobimo X (2) . In tako naprej. Če prostim neznanim spremenljivkam damo vrednosti 0,0,…,0,1 in izračunamo glavne neznanke, potem dobimo X (n-r) . Tako bo zgrajen temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena kot

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo obrobnih minorov. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščite obrobni neničelni minor drugega reda:

Najden je minor drugega reda, ki je različen od nič. Pojdimo skozi minore tretjega reda, ki mejijo nanj, da poiščemo neničelnega:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike dva. Vzemimo osnovni mol. Zaradi jasnosti upoštevamo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba izvirnega SLAE ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev izvirnega homogenega sistema linearnih enačb. Osnovni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj originalni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega osnovnega minora pa je dva. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, nato najdemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Da bi razumeli, kaj je temeljni sistem odločanja si lahko ogledate video vadnico za isti primer s klikom. Zdaj pa preidimo na opis vseh potrebnih del. To vam bo pomagalo podrobneje razumeti bistvo tega vprašanja.

Kako najti temeljni sistem rešitev linearne enačbe?

Vzemimo za primer naslednji sistem linearnih enačb:

Poiščimo rešitev tega linearnega sistema enačb. Za začetek mi zapišite matriko koeficientov sistema.

Pretvorimo to matriko v trikotno. Prvo vrstico prepišemo brez sprememb. In vse elemente, ki so pod $a_(11)$, je treba postaviti na nič. Če želite namesto elementa $a_(21)$ narediti ničlo, morate od druge vrstice odšteti prvo in v drugo vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(31)$ narediti ničlo, morate od tretje vrstice odšteti prvo in v tretjo vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(41)$ narediti ničlo, morate od četrte vrstice odšteti prvo, pomnoženo z 2, in v četrto vrstico zapisati razliko. Če želite namesto elementa $a_(31)$ narediti ničlo, od pete vrstice odštejte prvo, pomnoženo z 2, in razliko zapišite v peto vrstico.

Prvo in drugo vrstico prepišemo brez sprememb. In vsi elementi, ki so pod $a_(22)$, morajo biti enaki nič. Da bi namesto elementa $a_(32)$ naredili ničlo, je treba od tretje vrstice odšteti sekundo, pomnoženo z 2, in razliko zapisati v tretjo vrstico. Da bi namesto elementa $a_(42)$ naredili ničlo, je treba od četrte vrstice odšteti sekundo, pomnoženo z 2, in razliko zapisati v četrto vrstico. Če želite namesto elementa $a_(52)$ narediti ničlo, od pete vrstice odštejte sekundo, pomnoženo s 3, in razliko zapišite v peto vrstico.

To vidimo zadnje tri vrstice so enake, torej če od četrtega in petega odštejete tretjino, bosta postala nič.

Za to matriko zapisati nov sistem enačbe.

Vidimo, da imamo samo tri linearno neodvisne enačbe in pet neznank, tako da bo osnovni sistem rešitev sestavljen iz dveh vektorjev. Torej mi premakni zadnji dve neznanki v desno.

Zdaj začnemo izražati tiste neznanke, ki so na levi strani, skozi tiste, ki so na desni strani. Začnemo z zadnjo enačbo, najprej izrazimo $x_3$, nato dobljeni rezultat nadomestimo v drugo enačbo in izrazimo $x_2$, nato pa v prvo enačbo in tukaj izrazimo $x_1$. Tako smo vse neznanke, ki so na levi strani, izrazili skozi neznanke, ki so na desni strani.

Nato lahko namesto $x_4$ in $x_5$ zamenjate poljubna števila in najdete $x_1$, $x_2$ in $x_3$. Vsakih takšnih pet števil bo korenin našega izvirnega sistema enačb. Če želite najti vektorje, ki so vključeni v FSR zamenjati moramo 1 namesto $x_4$ in nadomestiti 0 namesto $x_5$, poiskati $x_1$, $x_2$ in $x_3$, nato pa obratno $x_4=0$ in $x_5=1$.