Opis: War Thunder je vojaška MMO igra naslednje generacije, posvečena...
Matrika A -1 se imenuje inverzna matrika glede na matriko A, če je A * A -1 \u003d E, kjer je E identitetna matrika n-tega reda. Inverzna matrika lahko obstaja samo za kvadratne matrike.
Storitvena naloga. Z uporabo te spletne storitve lahko najdete algebraične dodatke, transponirano matriko A T , unijsko matriko in inverzno matriko. Rešitev se izvaja neposredno na spletnem mestu (online) in je brezplačna. Rezultati izračuna so predstavljeni v poročilu v formatu Word in v formatu Excel (se pravi, da je možno preveriti rešitev). glej primer oblikovanja.
Navodilo. Če želite dobiti rešitev, morate določiti dimenzijo matrike. Nato v novem pogovornem oknu izpolnite matriko A .
Glej tudi inverzno matriko po Jordan-Gaussovi metodi
Algoritem za iskanje inverzne matrike
- Iskanje transponirane matrike A T .
- Definicija algebraičnih dodatkov. Zamenjajte vsak element matrike z njegovim algebraičnim komplementom.
- Sestavljanje inverzne matrike iz algebrskih dodatkov: vsak element nastale matrike je deljen z determinanto prvotne matrike. Nastala matrika je inverzna prvotni matriki.
- Ugotovite, ali je matrika kvadratna. Če ne, potem zanj ni inverzne matrike.
- Izračun determinante matrike A . Če ni enaka nič, nadaljujemo z reševanjem, sicer inverzna matrika ne obstaja.
- Definicija algebraičnih dodatkov.
- Polnjenje unijske (vzajemne, adjungirane) matrike C .
- Sestavljanje inverzne matrike iz algebrskih dodatkov: vsak element pridružene matrike C se deli z determinanto izvirne matrike. Nastala matrika je inverzna prvotni matriki.
- Naredite preverjanje: pomnožite izvirno in dobljeno matriko. Rezultat bi morala biti identitetna matrika.
Primer #1. Matriko zapišemo v obliki:
Algebrski dodatki.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Potem inverzna matrika lahko zapišemo kot:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Še en algoritem za iskanje inverzne matrike
Predstavljamo še eno shemo za iskanje inverzne matrike.- Poiščite determinanto podane kvadratne matrike A .
- Vsem elementom matrike A najdemo algebraične dodatke.
- Algebraične komplemente elementov vrstic zapišemo v stolpce (transpozicija).
- Vsak element dobljene matrike delimo z determinanto matrike A .
Poseben primer: Inverz glede na identitetno matriko E je identitetna matrika E .
Matrična algebra - inverzna matrikainverzna matrika
inverzna matrika Imenuje se matrika, ki, ko jo pomnožimo tako na desni kot na levi z dano matriko, damo matriko identitete.
Označimo matriko inverzno matriki AMPAK skozi, potem po definiciji dobimo:
kje E je identitetna matrika.
kvadratna matrika klical neposebne (nedegeneriran), če njegova determinanta ni enaka nič. V nasprotnem primeru se imenuje poseben (degeneriran) oz ednina.
Obstaja izrek: vsaka nesingularna matrika ima inverzno matriko.
Imenuje se operacija iskanja inverzne matrike pritožba matrice. Razmislite o algoritmu za inverzijo matrike. Naj bo podana nesingularna matrika n-th red:
kjer je Δ = det A ≠ 0.
Algebraični elementni komplement matrice n-th red AMPAK determinanta matrike ( n–1)-ti vrstni red dobljen z brisanjem jaz-ta vrstica in j-th stolpec matrike AMPAK:
Ustvarimo t.i priloženo matrika:
kjer so algebraični komplementi ustreznih elementov matrike AMPAK.
Upoštevajte, da so algebrski komplementi vrstičnih elementov matrike AMPAK so postavljeni v ustrezne stolpce matrike Ã
, to pomeni, da se matrika prenaša hkrati.
Razdelitev vseh elementov matrike Ã
na Δ - vrednost determinante matrike AMPAK, kot rezultat dobimo inverzno matriko:
Opazimo številne posebne lastnosti inverzne matrike:
1) za dano matriko AMPAK njegova inverzna matrika
je edini;
2) če obstaja inverzna matrika, potem desno vzvratno in levo vzvratno matrike sovpadajo z njim;
3) posebna (degenerirana) kvadratna matrika nima inverzne matrike.
Glavne lastnosti inverzne matrike:
1) determinanta inverzne matrike in determinanta izvirne matrike sta recipročni;
2) inverzna matrika produkta kvadratnih matrik je enaka produktu inverznih matrik faktorjev, vzetih v obratnem vrstnem redu:
3) transponirana inverzna matrika je enaka inverzni matriki iz dane transponirane matrike:
PRIMER Izračunaj inverzno matriko dane.
Inverzna matrika za dano je takšna matrika, množenje izvirne, s katero dobimo identitetno matriko: Obvezen in zadosten pogoj za prisotnost inverzne matrike je neenakost determinante prvotne (ki posledično pomeni, da mora biti matrika kvadratna). Če je determinanta matrike enaka nič, se imenuje degenerirana in taka matrika nima inverzne. V višji matematiki imajo inverzne matrike pomembnost in se uporabljajo za reševanje številnih problemov. Na primer, na iskanje inverzne matrike zgrajeno matrična metoda rešitve sistemov enačb. Naše storitveno mesto omogoča izračunajte inverzno matriko na spletu dve metodi: Gauss-Jordanova metoda in uporaba matrike algebraičnih dodatkov. Prvi pomeni veliko število elementarnih transformacij znotraj matrike, drugi - izračun determinant in algebrskih dodatkov vsem elementom. Za izračun determinante matrike na spletu lahko uporabite našo drugo storitev - Izračun determinante matrike na spletu
.Poiščite inverzno matriko na spletnem mestu
Spletna stran vam omogoča, da najdete inverzna matrika na spletu hitro in brezplačno. Na spletnem mestu izračune opravi naš servis in prikaže rezultat s podrobno rešitvijo za iskanje inverzna matrika. Strežnik vedno poda samo natančen in pravilen odgovor. V nalogah po definiciji inverzna matrika na spletu, je nujno, da determinanta matrice je bil drugačen od nič, sicer Spletna stran bo poročal o nemožnosti iskanja inverzne matrike zaradi dejstva, da je determinanta izvirne matrike enaka nič. Naloga iskanja inverzna matrika najdemo ga v mnogih vejah matematike in je ena najbolj osnovni pojmi algebra in matematično orodje pri uporabnih problemih. Neodvisen definicija inverzne matrike zahteva precej truda, veliko časa, izračunov in velike previdnosti, da ne pride do zdrsa ali manjše napake pri izračunih. Zato naša storitev iskanje inverzne matrike na spletu vam bo močno olajšal nalogo in postal nepogrešljivo orodje za reševanje matematičnih problemov. Tudi če ti poiščite inverzno matriko sami, priporočamo, da svojo rešitev preverite na našem strežniku. Vnesite svojo prvotno matriko na naš račun za inverzno matriko na spletu in preverite svoj odgovor. Naš sistem se nikoli ne zmoti in najde inverzna matrika dano dimenzijo v načinu na spletu takoj! Na strani Spletna stran vnos znakov je dovoljen v elementih matrice, v tem primeru inverzna matrika na spletu bodo predstavljeni v splošni simbolni obliki.
Iskanje inverzne matrike.
V tem članku se bomo ukvarjali s konceptom inverzne matrike, njenimi lastnostmi in načini iskanja. Oglejmo si podrobneje reševanje primerov, v katerih je potrebno sestaviti inverzno matriko za dano.
Navigacija po straneh.
Inverzna matrika - definicija.
Iskanje inverzne matrike z uporabo matrike algebraičnih dodatkov.
Lastnosti inverzne matrike.
Iskanje inverzne matrike po Gauss-Jordanovi metodi.
Iskanje elementov inverzne matrike z reševanjem ustreznih sistemov linearnih algebrskih enačb.
Inverzna matrika - definicija.
Koncept inverzne matrike je uveden samo za kvadratne matrike, katerih determinanta je drugačna od nič, to je za nesingularne kvadratne matrike.
Opredelitev.
Matrixse imenuje inverzna matrika, katerih determinanta je različna od nič, če so enakosti resnične 
, kje E je identitetna matrika reda n na n.
Iskanje inverzne matrike z uporabo matrike algebraičnih dodatkov.
Kako najti inverzno matriko za dano?
Najprej potrebujemo koncepte transponirana matrika, matrični minor in algebraični komplement elementa matrike.
Opredelitev.
Minork-th naročilo matrice A naročilo m na n je determinanta matrike reda k na k, ki je pridobljen iz elementov matrike AMPAK ki se nahaja v izbranem k vrstice in k stolpce. ( k ne presega najmanjšega števila m oz n).
Minor (n-1)th red, ki je sestavljen iz elementov vseh vrstic, razen i-ti, in vsi stolpci razen j-th, kvadratna matrika AMPAK naročilo n na n označimo kot .
Z drugimi besedami, minor dobimo iz kvadratne matrike AMPAK naročilo n na n prečrtavanje elementov i-ti vrstice in j-th stolpec.
Na primer, napišimo, manjše 2 red, ki ga dobimo iz matrike 
izbor elementov njegove druge, tretje vrstice in prvega, tretjega stolpca 
. Prikazujemo tudi minor, ki ga dobimo iz matrice 
brisanje druge vrstice in tretjega stolpca 
. Naj ponazorimo konstrukcijo teh pomorov: in .
Opredelitev.
Algebrsko seštevanje element kvadratne matrike se imenuje minor (n-1)th red, ki ga dobimo iz matrike AMPAK, brisanje njegovih elementov i-ti vrstice in j-th stolpec pomnožen z .
Algebraični komplement elementa je označen kot . torej 
.
Na primer za matriko 
algebraični komplement elementa je .
Drugič, potrebovali bomo dve lastnosti determinante, o katerih smo razpravljali v razdelku izračun matrične determinante:
Na podlagi teh lastnosti determinante so definicije operacije množenja matrike s številom in koncept inverzne matrike, imamo enakost 
, kjer je transponirana matrika, katere elementi so algebraični komplementi.
Matrix 
je dejansko inverzna matrika AMPAK, saj so enakosti 
. Pokažimo ga 
Sestavljajmo inverzni matrični algoritem z uporabo enakosti 
.
Analizirajmo algoritem za iskanje inverzne matrike na primeru.
Primer.
Glede na matriko 
. Poiščite inverzno matriko.
rešitev.
Izračunajte determinanto matrike AMPAK, ki ga razširi z elementi tretjega stolpca: 
Determinant ni nič, torej matrika AMPAK reverzibilen.
Poiščimo matriko iz algebraičnih dodatkov: 
Zato 
Izvedimo transpozicijo matrike iz algebraičnih dodatkov: 
Zdaj najdemo inverzno matriko kot 
:
Preverimo rezultat: 
Enakopravnost 
se izvajajo, zato je inverzna matrika pravilno najdena.
Lastnosti inverzne matrike.
Koncept inverzne matrike, enakost 
, definicije operacij na matrikah in lastnosti determinante matrike omogočajo utemeljitev naslednjega lastnosti inverzne matrike:
Iskanje elementov inverzne matrike z reševanjem ustreznih sistemov linearnih algebrskih enačb.
Razmislite o drugem načinu iskanja inverzne matrike za kvadratno matriko AMPAK naročilo n na n.
Ta metoda temelji na rešitvi n sistemi linearnih nehomogenih algebrskih enačb z n neznano. Neznane spremenljivke v teh sistemih enačb so elementi inverzne matrike.
Ideja je zelo preprosta. Inverzno matriko označimo kot X, to je 
. Ker je po definiciji inverzne matrike , potem 
Če izenačimo ustrezne elemente po stolpcih, dobimo n sistemi linearne enačbe
Rešimo jih na poljuben način in iz najdenih vrednosti sestavimo inverzno matriko.
Analizirajmo to metodo s primerom.
Primer.
Glede na matriko 
. Poiščite inverzno matriko.
rešitev.
Sprejmi 
. Enakost nam daje tri sisteme linearnih nehomogenih algebrskih enačb: 
Rešitve teh sistemov ne bomo opisovali, po potrebi si oglejte razdelek reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb.
Iz prvega sistema enačb imamo , iz drugega - , iz tretjega - . Zato ima želena inverzna matrika obliko 
. Priporočamo, da preverite, ali je rezultat pravilen.
Povzemite.
Upoštevali smo koncept inverzne matrike, njene lastnosti in tri metode za njeno iskanje.
Primer rešitev inverzne matrike
1. vaja. Rešite SLAE z metodo inverzne matrike. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4
Začetek obrazca
Konec obrazca
rešitev. Zapišimo matriko v obliki: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Glavna determinanta Manjša za (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 manjši za (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 manjši za (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Manjša za (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Manjša determinanta ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Transponirana matrika Algebraična dopolnila ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverzna matrika Vektor rezultata X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1
Poglej tudi Rešitve SLAE z metodo inverzne matrike na spletu. Če želite to narediti, vnesite svoje podatke in pridobite odločitev s podrobnimi komentarji.
Naloga 2. Sistem enačb zapišite v matrični obliki in ga rešite z inverzno matriko. Preverite dobljeno rešitev. rešitev:xml:xls
Primer 2. Sistem enačb zapiši v matrični obliki in reši z inverzno matriko. rešitev:xml:xls
Primer. Podan je sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami. Zahtevano: 1) poiščite njegovo rešitev z uporabo Cramerjeve formule; 2) zapišite sistem v matrični obliki in ga rešite z uporabo matričnega računa. Smernice. Po reševanju po Cramerjevi metodi poiščite gumb "Inverzna matrična rešitev za začetne podatke". Prejeli boste ustrezno odločbo. Tako podatkov ne bo treba ponovno izpolnjevati. rešitev. Označimo z A - matriko koeficientov za neznanke; X - matrika stolpcev neznank; B - matrični stolpec prostih članov:
|
|
Vektor B: B T =(4,-3,-3) Glede na te zapise ima ta sistem enačb naslednjo matrično obliko: А*Х = B. Če je matrika A nesingularna (njena determinanta je različna od nič, potem ima inverzna matrika А -1 Če pomnožimo obe strani enačbe z A -1, dobimo: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Ta enakost se imenuje matrični zapis rešitve sistema linearnih enačb. Za rešitev sistema enačb je potrebno izračunati inverzno matriko A -1 . Sistem bo imel rešitev, če je determinanta matrike A različna od nič. Poiščimo glavno determinanto. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Torej je determinanta 14 ≠ 0, zato nadaljujemo z rešitvijo. Da bi to naredili, najdemo inverzno matriko z algebrskimi dodatki. Naj imamo nesingularno matriko A:
|
|
Računamo algebraične dodatke.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Pregled. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls odgovor: -1,1,2.
Podobno inverzom v številnih lastnostih.
Enciklopedični YouTube
1 / 5
✪ Kako najti inverzno matriko - bezbotvy
✪ Inverzna matrika (2 načina iskanja)
✪ Inverzna matrika #1
✪ 2015-01-28. Inverzna matrika 3x3
✪ 2015-01-27. Inverzna matrika 2x2
Podnapisi
Lastnosti inverzne matrike
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), kje det (\displaystyle \ \det) označuje determinanto.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) za dve kvadratni invertibilni matriki A (\displaystyle A) in B (\displaystyle B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), kje (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) označuje transponirano matriko.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) za kateri koli koeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
- Če je treba rešiti sistem linearnih enačb , (b je neničelni vektor), kjer je x (\displaystyle x) je želeni vektor in če A − 1 (\displaystyle A^(-1)) obstaja, torej x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). V nasprotnem primeru je dimenzija prostora rešitev večja od nič ali pa jih sploh ni.
Načini iskanja inverzne matrike
Če je matrika obrnljiva, lahko za iskanje inverzne matrike uporabite eno od naslednjih metod:
Eksaktne (direktne) metode
Gauss-Jordanova metoda
Vzemimo dve matriki: sebe A in samski E. Prinesimo matrico A identitetni matriki po Gauss-Jordanovi metodi z uporabo transformacij v vrsticah (transformacije lahko uporabite tudi v stolpcih, vendar ne v mešanici). Po uporabi vsake operacije na prvi matriki, uporabite isto operacijo na drugi. Ko je redukcija prve matrike na identitetno obliko končana, bo druga matrika enaka A -1.
Pri uporabi Gaussove metode bo prva matrika z leve pomnožena z eno od osnovnih matrik Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekcijska ali diagonalna matrika s tistimi na glavni diagonali, razen enega položaja):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Desna puščica \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\pike &&&\\0&\pike &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\pike &0\\0&\pike &0&1/a_(mm)&0&\pike &0\\0&\pike &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\pike &0\\&&&\pike &&&\\0&\pike &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\pike &1\end(bmatrix))).Druga matrika po uporabi vseh operacij bo enaka Λ (\displaystyle \Lambda ), torej bo želena. Kompleksnost algoritma - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Uporaba matrike algebraičnih dodatkov
Matrika Inverzna matrika A (\displaystyle A), predstavljajo v obliki
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
kje adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- priložena matrica;
Kompleksnost algoritma je odvisna od kompleksnosti algoritma za izračun determinante O det in je enaka O(n²) O det .
Uporaba razgradnje LU/LUP
Matrična enačba A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) za inverzno matriko X (\displaystyle X) si lahko ogledate kot zbirko n (\displaystyle n) sistemi oblike A x = b (\displaystyle Ax=b). Označimo i (\displaystyle i)-th stolpec matrike X (\displaystyle X) skozi X i (\displaystyle X_(i)); potem A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),zaradi i (\displaystyle i)-th stolpec matrike I n (\displaystyle I_(n)) je enotski vektor e i (\displaystyle e_(i)). z drugimi besedami, iskanje inverzne matrike je zmanjšano na reševanje n enačb z isto matriko in različnimi desnimi stranmi. Po zagonu razširitve LUP (čas O(n³)) vsaka od n enačb potrebuje O(n²) časa za rešitev, tako da tudi ta del dela traja O(n³) časa.
Če je matrika A nesingularna, potem lahko zanjo izračunamo dekompozicijo LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Pustiti P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Nato lahko iz lastnosti inverzne matrike zapišemo: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Če to enakost pomnožimo z U in L, potem lahko dobimo dve enakosti oblike U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) in D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prva od teh enačb je sistem n² linearnih enačb za n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) katerih desne strani poznamo (iz lastnosti trikotnih matrik). Drugi je tudi sistem n² linearnih enačb za n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) katerih desne strani poznamo (tudi iz lastnosti trikotnih matrik). Skupaj tvorijo sistem n² enačb. S pomočjo teh enačb lahko rekurzivno določimo vseh n² elementov matrike D. Nato iz enačbe (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. dobimo enakost A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
V primeru uporabe LU dekompozicije ni potrebna nobena permutacija stolpcev matrike D, lahko pa se rešitev razhaja tudi, če je matrika A nesingularna.
Kompleksnost algoritma je O(n³).
Iterativne metode
Schultzove metode
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\vsota _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\konec(primeri)))
Ocena napake
Izbira začetnega približka
Problem izbire začetnega približka v obravnavanih procesih iterativne matrične inverzije nam ne omogoča, da bi jih obravnavali kot neodvisne univerzalne metode, ki tekmujejo z metodami direktne inverzije, ki temeljijo na primer na LU dekompoziciji matrik. Obstaja nekaj priporočil za izbiro U 0 (\displaystyle U_(0)), zagotavljanje izpolnjevanja pogoja ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (spektralni polmer matrike je manjši od enote), kar je potrebno in zadostno za konvergenco procesa. Vendar pa je v tem primeru najprej treba poznati oceno od zgoraj za spekter invertibilne matrike A ali matrike A A T (\displaystyle AA^(T))(namreč, če je A simetrična pozitivno določena matrika in ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), potem lahko vzamete U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), kje ; če je A poljubna nesingularna matrika in ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), potem pa domnevaj U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), kjer tudi α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\desno)); Seveda je situacijo mogoče poenostaviti in z uporabo dejstva, da ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), postavite U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Drugič, s takšno specifikacijo začetne matrike ni nobenega zagotovila, da ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) bo majhen (morda celo ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), visoka stopnja konvergence pa ne bo takoj očitna.
Primeri
Matrica 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)Inverzija matrike 2x2 je možna le pod pogojem, da a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
