Metoda spreminjanja spremenljivke v nedoločenem integralu. Primeri rešitev

Pri reševanju nekaterih vrst integralov se, kot pravijo, izvede transformacija vstavljanje pod diferencialno znamenje. To naredimo zato, da dobimo tabelarični integral in ga enostavno vzamemo. Če želite to narediti, uporabite formulo: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Rad bi opozoril na tako pomemben odtenek, o katerem razmišljajo učenci. Kako se ta metoda razlikuje od metode zamenjave spremenljivke (substitucija)? To je isto, le na posnetkih je videti drugače. Oboje je pravilno.

Formula

Če v integrandu sledimo zmnožku dveh funkcij, od katerih je ena diferencial druge, potem postavimo pod znak diferenciala želeno funkcijo. Videti je takole:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Če povzamemo glavne funkcije

Za uspešno uporabo tega načina reševanja morate poznati tabele odvodov in integracije. Iz njih sledijo naslednje formule:

Primeri rešitev

Torej, v članku smo analizirali, kako se nekatere vrste integralov rešujejo z vnosom pod diferencialnim znakom. Spomnili smo se diferencialov pogosto uporabljenih elementarnih funkcij. Če izpitnih nalog ne boste mogli ali nimate dovolj časa rešiti sami, vam bomo v najkrajšem možnem času pomagali. Samo izpolnite naročilnico in kontaktirali vas bomo.

Integrali, ki jih bomo obravnavali, so podobni integralom iz prejšnjega odstavka, imajo obliko: oz

(koeficienti a, b in f niso enake nič).

To pomeni, da imamo v števcu linearno funkcijo. Kako rešiti take integrale?

Primer 14

Poiščite nedoločen integral

Bodite previdni, zdaj bomo razmislili o tipičnem algoritmu.

1) Ko je integral oblike

oz

(kjer so koeficienti a, b in f niso enake nič), potem je prva stvar, ki jo naredimo, ... vzeti osnutek. Dejstvo je, da moramo zdaj opraviti majhen izbor.

2) Števec integranda tvorimo z enakimi transformacijami (števec izrazimo z imenovalcem). Da bi to naredili, za zdaj preprosto priložimo izraz, ki je v imenovalcu v tem primeru (ni pomembno - pod korenom ali brez korena), pod diferencialno oznako: .

3) Odpiranje diferenciala:

Poglejmo števec našega integrala:

Izkazalo se je malo drugače.... In zdaj moramo izbrati faktor za diferencial, tako da se ob odpiranju izkaže vsaj 3 x. IN ta primer Z ustreznim množiteljem dobite:

4) Za samokontrolo ponovno odpremo diferencial:

Ponovno poglejmo števec našega integrala:

Že bližje, vendar nismo dobili "tistega" izraza (+2), ampak drugega: (+3/2).

5) Na naš diferencial

pripišemo izraz, ki smo ga prvotno imeli v integrandu:

- Odštej ( v tem primeru - odštejte, včasih je treba, nasprotno, dodati)

naš "ne tisti" izraz:

- Vzamemo obe konstanti v oklepajih in dodelimo diferencialno ikono na desni:

- Odštej (v nekaterih primerih morate dodati) konstante:

.

6) Preverjamo:

Dobili smo natančno števec integranda, kar pomeni, da je izbor uspel.

Čista zasnova rešitve je videti nekako takole:

(1) Števec na osnutku izberemo po zgornjem algoritmu. Vsekakor preverite, ali je izbira pravilna. Z določenimi izkušnjami pri reševanju integralov izbire ni težko izvesti v mislih.

(2) Deli števec z imenovalcem člen za členom. Pri praktičnem reševanju problemov lahko ta korak izpustimo

(3) Z lastnostjo linearnosti ločimo integrale. Vse konstante je smotrno odstraniti izven predznakov integralov.

(4) Prvi integral je pravzaprav tabelarni, uporabimo formulo (konstanta C dodamo kasneje, ko vzamemo drugi integral). Pri drugem integralu izpostavljamo polni kvadrat (to vrsto integralov smo obravnavali v prejšnjem odstavku). Ostalo je stvar tehnike.

In za malico še par primerov za samostojno rešitev - eden je lažji, drugi težji.

Primer 15

Poiščite nedoločen integral

Primer 16

Poiščite nedoločen integral

Za rešitev primerov 15 in 16 bo uporaben poseben primer integracije potenčne funkcije, ki ga ni v naši iskalni tabeli:

.

Primer 15: Rešitev:

Primer 16: Rešitev:

.

§ 5. Integrali in njihova uporaba

.

5.1. Osnovne definicije in formule. funkcija F(x) je antiderivativna funkcija f(x), če na kakšnem kompletu X enakost F (x)= f(x). Zbirka vseh primitivov za f(x) klical nedoločen integral in je označena. Hkrati, če F(x) - katerega koli od izvirnikov f(x), to
, konstantno C teče skozi celotno množico realnih števil. Tabela 2 prikazuje glavne formule, v katerih u= u(x).

tabela 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

če f(x) je funkcija, zvezna na segmentu [ a; b], potem obstaja določen integral iz te funkcije, ki jo je mogoče izračunati iz Newton-Leibnizova formula:

, (5.1)

Kje F(x) - kateri koli prototip f(x). Za razliko od nedoločenega integrala (ki je niz funkcij) je določeni integral število.

Lastnost imata tako nedoločeni kot določeni integral linearnost(integral vsote funkcij je enak vsoti integralov, konstantni faktor pa lahko vzamemo iz predznaka integrala):

.

Primer 5.1. Najti)
; b)
.

rešitev. V nalogi A) najprej poenostavimo integrand tako, da vsak člen iz števca delimo z imenovalcem, nato pa uporabimo lastnost linearnost in "tabelne" formule 1)-3):

V nalogi b) poleg tega linearnost in "tabelne" formule 3), 9), 1), uporabite Newton-Leibnizovo formulo (5.1):

5.2. Vstavljanje pod znak diferenciala in spreminjanje spremenljivke. Vidimo lahko, da včasih del integranda tvori diferencial nekega izraza, kar omogoča uporabo tabelaričnih formul.

Primer 5.2 Najti)
; b)
.

rešitev. V primeru A) je opaziti, da
in nato uporabite formulo 5) pri u=ln x:

Kdaj b)
, in torej zaradi 11) pri
dobimo:

Opomba 1. Pri uvajanju pod diferencialnim predznakom je koristno poleg zgoraj uporabljenih upoštevati še naslednja razmerja:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Opomba 2. Integrali iz primer 5.2. lahko najdete tudi s spremembo spremenljivke. V tem primeru bi morali v nekem integralu spremeniti tudi meje integracije. Pretvorbe v 5.2.b) bi izgledal takole, na primer:

V splošnem primeru je izbira zamenjave določena z obliko integranda. V nekaterih primerih se priporočajo posebne zamenjave. Na primer, če izraz vsebuje iracionalnost oblike
, potem lahko postavimo
oz
.

Primer 5.3 Najti)
; b)
.

rešitev. Kdaj A) imamo

(po zamenjavi je bila uporabljena tabelarična formula 11 )).

Pri odločanju b) nujno spremenimo meje integracije.

5.3. Integracija po delih. V nekaterih primerih pomaga "formula integracije po delih". Za nedoločen integral ima obliko

, (5.2)

za določeno

, (5.3)

Pomembno je upoštevati naslednje.

1) Če integrand vsebuje produkt polinoma x na funkcijah
, potem kot u izberemo polinom, izraz, ki ostane pod znakom integrala, pa se nanaša na dv.

2) Če integrand vsebuje inverzno trigonometrijo ( ) ali logaritemsko (
) funkcija, potem kot u eden od njih je izbran.

Primer 5.4. Najti)
; b)
.

rešitev. Kdaj A) uporabite formulo (5.2) in drugo pravilo. Točno tako, predvidevamo
. Potem
. Nadalje,
, in zato
. Zato,. V dobljenem integralu izberemo celoštevilski del integranda (to naredimo, ko stopnja števca ni manjša od stopnje imenovalca):

.

Končna rešitev izgleda takole:

V primeru b) uporaba (5.3) in prvo od pravil.

5.4. Integracija izrazov, ki vsebujejo kvadratni trinom. Glavni ideji sta izpostaviti polni kvadrat v kvadratnem trinomu in izvesti linearno zamenjavo, ki omogoča redukcijo prvotnega integrala na tabelarično obliko 10 )-16 ).

Primer 5.5. Najti)
; b)
; V)
.

rešitev. Kdaj A) delujemo takole:

torej (ob upoštevanju 13) )

Pri reševanju primera b) dodatne transformacije so potrebne zaradi prisotnosti spremenljivke v števcu integranda. Če izberemo polni kvadrat v imenovalcu (), dobimo:

Za drugega od integralov, zaradi 11) (Tabela 2) imamo:
. V prvi integral pod znakom diferenciala uvedemo:

Tako sestavimo vse skupaj in se vrnemo k spremenljivki x, dobimo:

V primeru V) vnaprej izberemo tudi celoten kvadrat:

5.5. Integracija najenostavnejših trigonometričnih funkcij. Pri integraciji izrazov oblike
(Kje m in n so naravna števila), je priporočljivo upoštevati naslednja pravila.

1) Če sta obe stopinji sodi, se uporabijo formule za "zmanjšanje stopnje": ; .

2) Predpostavimo, da je katero koli število m in n- Čuden. na primer n=2 k+1. V tem primeru ena od moči funkcije cosx »odcepiti«, da spravimo pod diferencialni znak (ker). V preostalem izrazu
z uporabo osnovne trigonometrične identitete
izraziti skozi
(). Po transformaciji integranda (in ob upoštevanju lastnosti linearnosti) dobimo algebraično vsoto integralov oblike
, od katerih je vsako mogoče najti s formulo 2) iz tabele 2:
.

Poleg tega so v nekaterih primerih formule tudi uporabne

Primer 5.6. Najti)
; b)
; V)
.

rešitev. A) Integrand vključuje liho (5.) potenco sinx, tako da ukrepamo naprej drugo pravilo, glede na to .

V primeru b) uporabite formulo (5.4 ), linearnost nedoločen integral, enakost
in tabelarno formulo 4):

Kdaj V) zaporedno znižati stopnjo, upoštevamo linearnost, možnost vnosa konstante pod diferencialnim predznakom in potrebne tabelarične formule:

5.6. Uporaba določenega integrala. Kot je znano, krivočrtni trapez ustreza nenegativnemu in neprekinjenemu segmentu [ a; b] funkcije f(x), imenovano območje, ki ga omejuje graf funkcije l= f(x), os OX in dve navpični črti x= a, x= b. Na kratko lahko to zapišemo takole: sl.3). in kje

Najprej se pogovorimo o izjavi problema v splošni pogled, nato pa nadaljujte s primeri integracije z zamenjavo. Recimo, da imamo nek integral $\int g(x) \; dx$. Vendar v tabeli integralov ni zahtevane formule in danega integrala ni mogoče razdeliti na več tabelarnih integralov (tj. neposredna integracija ni več potrebna). Vendar bo problem rešen, če nam uspe najti substitucijo $u=\varphi(x)$, ki zmanjša naš integral $\int g(x) \; dx$ v neki tabelni integral $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Po uporabi formule $\int f(u) \; du=F(u)+C$ vrniti moramo samo spremenljivko $x$. Formalno lahko to zapišemo takole:

$$\int g(x) \; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Problem je, kako izbrati takšno zamenjavo $u$. To bo zahtevalo poznavanje, prvič, tabele odvodov in sposobnost njene uporabe za razlikovanje kompleksnih funkcij, in drugič, tabele nedoločenih integralov. Poleg tega bomo nujno potrebovali formulo, ki jo bom zapisal spodaj. Če $y=f(x)$ potem:

\begin(enačba)dy=y"dx\end(enačba)

Tisti. diferencial neke funkcije je enak odvodu te funkcije, pomnoženemu z diferencialom neodvisne spremenljivke. To pravilo je zelo pomembno in prav to vam bo omogočilo uporabo metode zamenjave. Tukaj navajamo nekaj posebnih primerov, ki jih dobimo iz formule (1). Naj bo $y=x+C$, kjer je $C$ neka konstanta (preprosto povedano število). Nato, če zamenjamo izraz $x+C$ v formuli (1) namesto $y$, dobimo naslednje:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Ker je $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, zgornja formula postane:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Dobljeni rezultat zapišimo posebej, tj.

\begin(enačba)dx=d(x+C)\end(enačba)

Dobljena formula pomeni, da dodajanje konstante pod diferencial ne spremeni tega diferenciala, tj. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ in tako naprej.

Razmislite o še enem posebnem primeru za formulo (1). Naj bo $y=Cx$, kjer je $C$ spet neka konstanta. Poiščimo diferencial te funkcije tako, da v formulo (1) nadomestimo izraz $Cx$ namesto $y$:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Ker je $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, zgornja formula $d(Cx)=(Cx)"dx$ postane $d(Cx)=Cdx $ Če delimo oba dela te formule z $C$ (ob predpostavki, da je $C\neq 0$), dobimo $\frac(d(Cx))(C)=dx$. Ta rezultat lahko prepišemo v nekoliko drugačni obliki:

\begin(equation)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(equation)

Dobljena formula pravi, da množenje izraza pod diferencialom z določeno neničelno konstanto zahteva uvedbo ustreznega množitelja, ki kompenzira takšno množenje. Na primer, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

V primerih št. 1 in št. 2 bosta formuli (2) in (3) podrobno obravnavani.

Opomba o formulah

V tej temi bodo uporabljene tako formule 1-3, kot tudi formule iz tabele nedoločenih integralov, ki imajo prav tako svoja števila. Da ne bo zmede, se dogovorimo naslednje: če tema vsebuje besedilo "uporabljamo formulo št. 1", potem to pomeni dobesedno "uporabljamo formulo št. 1, ki se nahaja na tej strani". Če potrebujemo formulo iz tabele integralov, potem bomo to določili vsakič posebej. Na primer takole: "uporabimo formulo št. 1 iz tabele integralov."

In še ena majhna opomba

Preden začnete delati s primeri, je priporočljivo, da se seznanite z gradivom, predstavljenim v prejšnjih temah o konceptu nedoločenega integrala in . Predstavitev gradiva v tej temi temelji na informacijah, navedenih v omenjenih temah.

Primer #1

Poiščite $\int \frac(dx)(x+4)$.

Če se obrnemo na , ne moremo najti formule, ki bi se natančno ujemala z integralom $\int \frac(dx)(x+4)$. Temu integralu je najbližja formula št. 2 tabele integralov, tj. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Težava je sledeča: formula $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ predpostavlja, da so v integralu $\int \frac(du)(u)$ izrazi v imenovalcu in pod diferencialom morajo biti enaki (tam in tam je ena črka $u$). V našem primeru je v $\int \frac(dx)(x+4)$ črka $x$ pod diferencialom, izraz $x+4$ pa v imenovalcu, tj. obstaja jasno neskladje s tabelarično formulo. Poskusimo naš integral "prilagoditi" tabelnemu. Kaj se zgodi, če $x+4$ zamenjamo za diferencial namesto $x$? Za odgovor na to vprašanje uporabimo , pri čemer vanj nadomestimo izraz $x+4$ namesto $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Ker je $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, postane enakost $ d(x+4)=(x+4)"dx $:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Torej $dx=d(x+4)$. Iskreno povedano, bi enak rezultat lahko dobili, če bi preprosto zamenjali število $4$ namesto konstante $C$. V prihodnje bomo to storili, vendar smo prvič podrobneje analizirali postopek za pridobitev enakosti $dx=d(x+4)$. Toda kaj nam daje enakost $dx=d(x+4)$?

In daje nam naslednji zaključek: če $dx=d(x+4)$, potem lahko $d(x+4)$ namesto tega zamenjamo v integral $\int \frac(dx)(x+4)$ od $dx$ in integral se od tega ne spremeni:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

To transformacijo smo naredili samo zato, da bi dobljeni integral popolnoma ustrezal tabelarični formuli $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Da bi bilo to ujemanje precej jasno, zamenjamo izraz $x+4$ s črko $u$ (tj. naredimo zamenjava$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Pravzaprav je problem že rešen. Preostane le še vrnitev spremenljivke $x$. Če se spomnimo, da je $u=x+4$, dobimo: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Popolna rešitev brez pojasnila izgleda takole:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Odgovori: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Primer #2

Poiščite $\int e^(3x) dx$.

Če se obrnemo na tabelo nedoločenih integralov, ne bomo mogli najti formule, ki bi natančno ustrezala integralu $\int e^(3x) dx$. Temu integralu je najbližja formula št. 4 iz tabele integralov, tj. $\int e^u du=e^u+C$. Težava je naslednja: formula $\int e^u du=e^u+C$ predpostavlja, da morajo biti v integralu $\int e^u du$ izrazi v potenci $e$ in pod diferencialom enako (tam in tam je ena črka $u$). V našem primeru je v $\int e^(3x) dx$ črka $x$ pod diferencialom, izraz $3x$ pa je v potenci $e$, tj. obstaja jasno neskladje s tabelarično formulo. Poskusimo naš integral "prilagoditi" tabelnemu. Kaj se zgodi, če $3x$ zamenjamo za diferencial namesto $x$? Za odgovor na to vprašanje uporabimo in vanj zamenjamo izraz $3x$ namesto $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Ker je $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, postane enakost $d(3x)=(3x)"dx$:

$$ d(3x)=3dx $$

Če obe strani dobljene enakosti delimo s $3$, dobimo: $\frac(d(3x))(3)=dx$, tj. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Pravzaprav bi lahko enakost $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ dobili s preprosto zamenjavo števila $3$ namesto konstante $C$. V prihodnje bomo to storili, vendar smo prvič podrobno analizirali postopek za pridobitev enakosti $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$.

Kaj nam je dala nastala enakost $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$? To pomeni, da lahko $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ zamenjamo v integral $\int e^(3x) dx$ namesto v $dx$, ne da bi spremenili integral:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Konstanto $\frac(1)(3)$ vzamemo iz predznaka integrala in nadomestimo izraz $3x$ s črko $u$ (tj. naredimo zamenjava$u=3x$), nato pa uporabimo tabelarično formulo $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Kot v prejšnjem primeru morate vrniti izvirno spremenljivko $x$. Ker je $u=3x$, potem je $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Celotna rešitev brez komentarjev izgleda takole:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Odgovori: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Primer #3

Poiščite $\int (3x+2)^2 dx$.

Obstajata dva načina za iskanje tega integrala. Prvi način je razširitev oklepajev in neposredna integracija. Drugi način je uporaba metode zamenjave.

Prvi način

Ker je $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, potem $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Če integral $\int (9x^2+12x+4)dx$ predstavimo kot vsoto treh integralov in odvzamemo konstante iz predznakov ustreznih integralov, dobimo:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

Če želite najti $\int x^2 dx$, nadomestimo $u=x$ in $\alpha=2$ v formulo #1 integralne tabele: $\int x^2 dx=\frac(x^(2+ 1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Podobno, če nadomestimo $u=x$ in $\alpha=1$ v isto formulo iz tabele, dobimo: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1) + C=\frac(x^2)(2)+C$. Ker je $\int 1 dx=x+C$, potem:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Drugi način

Ne bomo odpirali oklepajev. Poskusimo, da se pod diferencialom namesto $x$ pojavi izraz $3x+2$. Tako boste lahko vnesli novo spremenljivko in uporabili formulo preglednice. Potrebujemo, da se faktor $3$ pojavi pod diferencialom, zato, če nadomestimo $C=3$ v vrednost, dobimo $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. Poleg tega pod razliko manjka izraz $2$. Glede na dodajanje konstante pod znakom diferenciala ne spremeni tega diferenciala, tj. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. Iz pogojev $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ in $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ imamo: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Ugotavljam, da je enakost $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ mogoče dobiti na drug način:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Uporabimo dobljeno enakost $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ in v integral $\int (3x+2)^2 dx$ nadomestimo izraz $\frac(1)(3 )d(3x +2)$ namesto $dx$. Konstanto $\frac(1)(3)$ vzamemo iz predznaka dobljenega integrala:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int(3x+2)^2 d(3x+2). $$

Nadaljnja rešitev je, da izvedemo zamenjavo $u=3x+2$ in uporabimo formulo št. 1 iz tabele integralov:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Če vrnemo izraz $3x+2$ namesto $u$, dobimo:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Popolna rešitev brez razlage je naslednja:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Predvidevam nekaj vprašanj, zato jih bom poskušal oblikovati in dati odgovore.

Vprašanje 1

Tukaj nekaj ne štima. Ko smo rešili na prvi način, smo dobili $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Pri reševanju drugega načina je bil odgovor: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Vendar prehod z drugega odgovora na prvega ne deluje! Če odpremo oklepaje, dobimo naslednje:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Odgovori se ne ujemajo! Od kod dodatni ulomek $\frac(8)(9)$?

To vprašanje nakazuje, da se morate obrniti na prejšnje teme. Preberite temo o konceptu nedoločenega integrala (dajanje Posebna pozornost vprašanje #2 na koncu strani) in neposredno integracijo (bodite pozorni na vprašanje #4). V teh temah je to vprašanje podrobno obravnavano. Na kratko, integralno konstanto $C$ lahko predstavimo v različne oblike. Na primer, v našem primeru s preimenovanjem $C_1=C+\frac(8)(9)$ dobimo:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Torej ni protislovja, odgovor lahko zapišemo tako v obliki $3x^3+6x^2+4x+C$ kot v obliki $\frac((3x+2)^3)(9)+ C$.

Vprašanje #2

Zakaj se je odločilo za drugi način? To je preprosto preveč kompliciranja! Zakaj bi uporabljali kopico dodatnih formul, da bi našli odgovor, ki ga je mogoče dobiti v nekaj korakih na prvi način? Vse, kar je bilo potrebno, je bilo odpreti oklepaje z uporabo šolske formule.

No, prvič, to ni takšen zaplet. Ko boste razumeli metodo zamenjave, boste začeli reševati take primere v eni vrstici: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Vendar poglejmo ta primer drugače. Predstavljajte si, da morate izračunati ne $\int (3x+2)^2 dx$, temveč $\int (3x+2)^(200) dx$. Pri reševanju drugega načina je potrebno samo nekoliko popraviti stopinje in odgovor bo pripravljen:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Zdaj pa si predstavljajte, da je treba isti integral $\int (3x+2)^(200) dx$ vzeti na prvi način. Najprej boste morali odpreti oklepaj $(3x+2)^(200)$ in tako pridobiti vsoto dvesto in enega člena! In potem bo treba vsak termin tudi integrirati. Zato je zaključek tukaj naslednji: za velike stopnje metoda neposredne integracije ni primerna. Druga metoda je kljub navidezni zapletenosti bolj praktična.

Primer #4

Poiščite $\int \sin2x dx$.

Ta primer bomo rešili na tri različne načine.

Prvi način

Poglejmo tabelo integralov. Formula št. 5 iz te tabele je najbližja našemu primeru, tj. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Za prilagoditev integrala $\int \sin2x dx$ obliki $\int \sin u du$ uporabimo , pri čemer pod diferencialni predznak uvedemo faktor $2$. Pravzaprav smo to že storili v primeru št. 2, tako da lahko brez podrobnih komentarjev:

$$ \int \sin 2x dx=\levo|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \desno|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Odgovori: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Drugi način

Za rešitev drugega načina uporabimo preprosto trigonometrično formulo: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Nadomestimo izraz $2 \sin x \cos x$ namesto $\sin 2x$, tako da konstanto $2$ odstranimo iz predznaka za integral:

Kaj je namen takšne preobrazbe? V tabeli ni integrala $\int \sin x\cos x dx$, vendar lahko $\int \sin x\cos x dx$ nekoliko preoblikujemo, da bo videti bolj kot tabela. Če želite to narediti, poiščite $d(\cos x)$ z uporabo. V omenjeno formulo nadomestimo $\cos x$ namesto $y$:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Ker je $d(\cos x)=-\sin x dx$, potem $\sin x dx=-d(\cos x)$. Ker je $\sin x dx=-d(\cos x)$, lahko nadomestimo $-d(\cos x)$ namesto $\sin x dx$ v $\int \sin x\cos x dx$. Vrednost integrala se ne spremeni:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Z drugimi besedami, mi pripeljal pod diferencial$\cosx$. Zdaj lahko z zamenjavo $u=\cos x$ uporabimo formulo #1 iz tabele integralov:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Odgovor prejet. Na splošno lahko črko $u$ izpustite. Ko boste pridobili dovolj spretnosti pri reševanju tovrstnih integralov, bo potreba po dodatnem zapisu izginila. Popolna rešitev brez razlage je naslednja:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Odgovori: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Tretji način

Za rešitev na tretji način uporabimo isto trigonometrično formulo: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Nadomestimo izraz $2 \sin x \cos x$ namesto $\sin 2x$, tako da konstanto $2$ odstranimo iz predznaka za integral:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Poiščite $d(\sin x)$ z uporabo. V omenjeno formulo nadomestimo $\sin x$ namesto $y$:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Torej $d(\sin x)=\cos x dx$. Iz dobljene enakosti sledi, da lahko $d(\sin x)$ nadomestimo namesto $\cos x dx$ v $\int \sin x\cos x dx$. Vrednost integrala se ne spremeni:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Z drugimi besedami, mi pripeljal pod diferencial$\sinx$. Zdaj lahko z zamenjavo $u=\sin x$ uporabimo formulo #1 iz tabele integralov:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Odgovor prejet. Popolna rešitev brez pojasnila je:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Odgovori: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Možno je, da se bo po branju tega primera, predvsem treh različnih (na prvi pogled) odgovorov, pojavilo vprašanje. Razmislimo o tem.

Vprašanje #3

Počakaj. Odgovori bi se morali ujemati, vendar so različni! V primeru št. 3 je bila razlika le v konstanti $\frac(8)(9)$, tu pa tudi navzven odgovori niso podobni: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Ali gre res spet za integralno konstanto $C$?

Ja, v tej konstanti je. Zreducirajmo vse odgovore v eno obliko, po kateri bo ta razlika v konstantah postala povsem jasna. Začnimo z $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Uporabljamo preprosto trigonometrično enačbo: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Nato izraz $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ postane:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2x+C-\frac(1)(2). $$

Zdaj pa se lotimo drugega odgovora, tj. $-\cos^2x+C$. Ker je $\cos^2 x=1-\sin^2x$, potem:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Trije odgovori, ki smo jih dobili v primeru št. 4, so postali: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Mislim, da je zdaj jasno, da se med seboj razlikujejo le po določeni številki. Tisti. zadeva se je spet izkazala v integralni konstanti. Kot lahko vidite, se lahko majhna razlika v integralni konstanti načeloma zelo spremeni videz odgovor, - vendar to ne preprečuje, da bi bil odgovor pravilen. Na kar vodim: če v zbirki nalog vidite odgovor, ki se ne ujema z vašim, to sploh ne pomeni, da je vaš odgovor napačen. Možno je, da ste preprosto prišli do odgovora na drugačen način, kot je nameraval avtor problema. Da bi se prepričali o pravilnem odgovoru, vam bo pomagalo preverjanje na podlagi definicije nedoločenega integrala. Na primer, če je integral $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ pravilno najden, potem velja enakost $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Preverimo, ali drži, da je odvod $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ enak integrandu $ \sin 2x $:

$$ \levo(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\desno)"=\levo(-\frac(1)(2)\cos 2x\desno)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x.$$

Preverjanje uspešno zaključeno. Enakost $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ velja, torej formula $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2) \cos 2x+C$ je pravilno V primeru #5 bomo preverili tudi rezultat, da se prepričamo, da je pravilen. kontrolno delo prisotna je zahteva po preverjanju rezultata.

Metoda seštevanja pod diferencialni predznak je v literaturi redko navedena, zato bomo najprej pokazali, zakaj je koristna.

Pogosto je v integrandu mogoče videti 2 fragmenta, od katerih je eden podobno kot izpeljanka drugo. na primer

a) v integralu števec x podobno izpeljanki iz :
;

b) integral
si lahko predstavljamo kot
, Kje
;

c) funkcijo
v integralu
- To
.

Takšne integrale je pogosto predlagano najti z zamenjavo nove spremenljivke funkcija, katere odvod odkriti. Torej, za navedene integrale

in če
, To
, Potem
in
, kje

b) ker
, To
, Potem
in
, Zato

Metoda zamenjave je podrobneje opisana v § 4.

Vendar pa je izračun 3. integrala z zamenjavo že povezan s težavami. Naj, ko opazi to
, smo zamenjali
.

Potem
in
. ekspresno
skozi t možno je takole:

(
, Zato
). Nadomestek:

Zaradi okornih dejanj se je skoraj vse zmanjšalo in dobil preprost tabelarični integral. Postavlja se vprašanje, ali bi bilo mogoče do njega priti hitreje, če skoraj ni bilo potrebe po izrazu.

Dejansko obstaja krajša rešitev:

potem, zamenjava
, takoj dobimo integral

Na enak način bi lahko našli integrale

Tukaj so koraki prikazani zelo podrobno, polovico pa jih lahko preskočite. V nadaljevanju bo rešitev še posebej kratka.

Tabela glavnih razlik

Primeri subsumiranja pod diferencialni predznak

3) ;

PD1. Poišči integrale

1) a)
; b)
; V)
; G)
; e)
;

e)
; in)
; h)
; in)
; Za)
;

2) a)
; b)
; V)
; G)
; e)
;

e)
; in)
; h)
; in)
; Za)
;

3) a)
; b)
; V)
; G)
; e)

e)
; in)
; h)
; in)
; Za)
;

4) a)
; b)
; V)
; G)
; e)
;

e)
; in)
; h)
; in)
; Za)
;

5) a)
; b)
; V)
; G)
; e)
;

e)
; in)
; h)
; in)
; Za)
.

§ 3. Integrali funkcij, ki vsebujejo kvadratni izraz

Pri integraciji funkcij, ki vsebujejo izraz
, bo formula pomagala
. na primer

b)
;

Primerno je, da dobljeni oklepaj označimo z novo črko in preidemo na integral nad to spremenljivko (diferenciali nove in stare spremenljivke bodo sovpadali).

Koeficient pred kvadratom je bolje vzeti iz oklepaja:

,

nato pa po možnosti še za integralni znak. Torej,

Namen zamenjave je prehod na integral brez linearnega člena
, saj integrali vsebujejo samo
, so lažje in pogosto - glede na tabelo. Hkrati se je pomembno spomniti, da
,
, in tako naprej.

Namreč (glej § 2),

Kje a- poljubna številka in številka
. Poleg tega pri

Kje
.

Opomba 1. Po zamenjavi se pogosto pojavijo integrali
,
oz
. Najdete jih takole:

podobno v 2. in 3. primeru.

Vendar integrali oblike
so precej zapleteni. Uporabite že pripravljene formule

(z razlikovanjem preverite, ali je temu res tako).

CI1. Poišči z uporabo enakosti
in zamenjave
:

Primer 1(na kratko
označen kot
.

Pri iskanju
in
upošteval, da
in
in uporabil osnovno pravilo tabelarnega povezovanja.

CI2. Integrale poiščite tako, da vsakega razširite v vsoto integralov, od katerih je eden tabelarnega tipa, drugi pa podoben tistim v nalogi KI1:

Primer 2 Poiščimo integral
, ki se razširi v vsoto dveh:

odgovor:(modul ni potreben, ker vedno
).

Primer 3 Vzemimo na enak način integral
:

Najbolj racionalen način za iskanje integralov je naslednji:

kje si se tega naučil
;

Kam pa potem
.

odgovor: .

Opomba 2. V prihodnosti boste morali integral pogosto razdeliti na 2 ali 3 integrale, v vsakem izmed njih pa se pojavi konstanta (
itd.). Zaradi kratkosti bomo mislili (vendar ne navedli) konstante v vsakem posameznem pomožnem integralu (ali navedli, vendar ne pospremili s številko), zapisali pa bomo samo splošno konstanto C v odgovoru. Hkrati pa vedno C je neka linearna kombinacija.

CI3. Po pridobitvi polnega kvadrata v imenovalcu in zamenjavi poiščite

Primer 4
Opaziti to

zamenjati
, Potem
in.

Nadomestek v integralu:

Primer 5

Ker lahko naredimo zamenjavo
, s katero
in
. Nadomestek:

Primer 6

Tukaj zamenjamo
, kje
in
. Nadomestek:

Kje
. Razčlenimo integral na dvoje:

.

Tako kot v prejšnjih primerih,

in 2. integral je tabelaren:
.

Torej, kje
. S tem

Primer 7

Zdaj pa zamenjava
, Zato
in
.

Preidemo na integral nove spremenljivke:

Kje
.

Najdemo ločeno

V)
(integral tabele).

Pomnožite 2. rezultat s 7, 3. z 10, zberite podobne člene in se vrnite k stari spremenljivki:

CI4. Poiščite integrale iracionalnih funkcij:

Primer 8 Najdimo
. Podoben integral brez korena smo že našli zgoraj (primer 6), dovolj pa je dodati koren na ustreznem koraku:

,

Kje
. Zrušijo

in najti

b)
.

Torej, kje
.

odgovor: .

Primer 9
Primerno je dobiti polni kvadrat, kot je ta:

Kje
. Potem

.

Zamenjajmo
. pri čemer
in
:

Ravnamo na enak način kot v primeru 8:

odgovor: .

Opomba 3. Nemogoče je odstraniti znak "-" ali kateri koli negativni skupni faktor izpod korena:
; itd. Primer 9 prikazuje edino možno Pravi način dejanja.

Primer 10 Poglejmo, kaj se bo spremenilo, če v primer 9 postavimo kvadrat: najdemo
. Zdaj, po enakih zamenjavah, se je izkazalo, da

Kot vedno,

2. in 3. integral pa najdemo na enak način kot v primeru 9:

;

.

V skladu z navodili na strani 19 lahko 1. integral pretvorimo na naslednji način:

kje spet
, A

Nov integral najdemo s trigonometrično zamenjavo
, ali s ponavljajočo integracijo po delih, jemanjem
in
. Uporabimo formulo
(stran 19):

Pomnožite vse integrale z njihovimi ustreznimi koeficienti in sestavite skupaj:

v odgovoru podajamo podobne pogoje.