Opis: War Thunder je vojaška MMO igra naslednje generacije, posvečena...
Linearno filtriranje slik lahko izvajamo tako v prostorski kot v frekvenčni domeni. V tem primeru se šteje, da "nizke" prostorske frekvence ustrezajo glavni vsebini slike - ozadju in velikim predmetom, "visoke" prostorske frekvence pa ustrezajo majhnim predmetom, majhnim detajlom velikih oblik in šumu. komponento.
Tradicionalno se za premik v območje prostorskih frekvenc uporabljajo metode, ki temeljijo na $\textit(Fourierjevi transformaciji)$. AT Zadnja leta Vse pogosteje se uporabljajo tudi metode, ki temeljijo na $\textit(wavelet-transform)$.
Fourierjeva transformacija.
Fourierjeva transformacija vam omogoča, da skoraj vsako funkcijo ali niz podatkov predstavite kot kombinacijo trigonometričnih funkcij, kot sta sinus in kosinus, kar vam omogoča, da identificirate periodične komponente v podatkih in ocenite njihov prispevek k strukturi izvirnih podatkov ali obliki funkcijo. Tradicionalno obstajajo tri glavne oblike Fourierjeve transformacije: integralna Fourierjeva transformacija, Fourierjeva serija in diskretna Fourierjeva transformacija.
Integralna Fourierjeva transformacija pretvori realno funkcijo v par realnih funkcij ali eno kompleksno funkcijo v drugo.
Realno funkcijo $f(x)$ lahko razširimo v smislu ortogonalnega sistema trigonometričnih funkcij, kar pomeni, da jo lahko predstavimo kot
$$ f\levo(x \desno)=\int\limits_0^\infty (A\levo(\omega \desno)) \cos \levo((2\pi \omega x) \desno)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \desno)d\omega, $$
kjer se $A(\omega)$ in $B(\omega)$ imenujeta integralni kosinus in sinus transformacija:
$$ A\levo(\omega \desno)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\levo(x \desno)) \cos \left((2\pi \omega x )\desno)dx; \quad B\levo(\omega \desno)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\levo(x \desno)) \sin \left((2\pi \omega x )\desno)dx. $$
Fourierjeva vrsta predstavlja periodično funkcijo $f(x)$, definirano na intervalu $$ kot neskončno vrsto v sinusih in kosinusih. To je periodična funkcija$f(x)$ je dodeljeno neskončno zaporedje Fourierjevih koeficientov
$$ f\levo(x \desno)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \desno)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \desno)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \desno)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \desno)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \desno)dx . $$
Diskretna Fourierjeva transformacija pretvori končno zaporedje realnih števil v končno zaporedje Fourierjevih koeficientov.
Naj bo $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ zaporedje realnih števil - na primer odčitki svetlosti slikovnih pik vzdolž črte slike. To zaporedje lahko predstavimo kot kombinacijo končnih vsot oblike
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \desno)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \desno)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ), \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \levo((\frac(2\pi ik)(N)) \desno)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \desno) ), \quad i\le k Glavna razlika med tremi oblikami Fourierjeve transformacije je v tem, da če je integralna Fourierjeva transformacija definirana čez celotno domeno funkcije $f(x)$, sta serija in diskretna Fourierjeva transformacija definirani samo na diskretnem nizu točke, ki je neskončna za Fourierjev niz in končna za diskretne transformacije. Kot je razvidno iz definicij Fourierjeve transformacije, je za sisteme digitalne obdelave signalov najbolj zanimiva diskretna Fourierjeva transformacija. Podatki, pridobljeni iz digitalnih medijev ali informacijskih virov, so urejeni nizi števil, zapisanih kot vektorji ali matrike. Običajno se predpostavlja, da so vhodni podatki za diskretno transformacijo enotni vzorec s korakom $\Delta $, medtem ko se vrednost $T=N\Delta $ imenuje dolžina zapisa ali glavna perioda. Osnovna frekvenca je enaka $1/T$. Tako se v diskretni Fourierjevi transformaciji vhodni podatki razčlenijo na frekvence, ki so celo število večkratnik osnovne frekvence. Največja frekvenca, določena z dimenzijo vhodnih podatkov, je enaka $1/2 \Delta $ in se imenuje $\it(Nyquistova frekvenca)$. Upoštevanje Nyquistove frekvence je bistveno pri uporabi diskretne transformacije. Če imajo vhodni podatki periodične komponente s frekvencami, ki presegajo Nyquistovo frekvenco, bodo pri izračunu diskretne Fourierove transformacije visokofrekvenčni podatki nadomeščeni z nižjo frekvenco, kar lahko povzroči napake pri interpretaciji rezultatov diskretne transformacije. Pomembno orodje za analizo podatkov je tudi $\it(energijski spekter)$. Moč signala na frekvenci $\omega $ se določi na naslednji način: $$ P \levo(\omega \desno)=\frac(1)(2)\levo((A \levo(\omega \desno)^2+B \levo(\omega \desno)^2) \desno ) . $$ Ta vrednost se pogosto imenuje $\it(energija signala)$ pri frekvenci $\omega $. Po Parsevalovem izreku je skupna energija vhodnega signala enaka vsoti energij po vseh frekvencah. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i) \prav)) . $$ Graf moči v odvisnosti od frekvence se imenuje energijski spekter ali spekter moči. Energijski spekter omogoča odkrivanje skritih periodičnosti vhodnih podatkov in ovrednotenje prispevka določenih frekvenčnih komponent k strukturi vhodnih podatkov. Poleg trigonometrične oblike diskretne Fourierjeve transformacije se pogosto uporablja $\it(kompleksna predstavitev)$. Kompleksna oblika Fourierjeve transformacije se pogosto uporablja v multivariatni analizi in zlasti pri obdelavi slik. Prehod iz trigonometrične v kompleksno obliko se izvede na podlagi Eulerjeve formule $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ Če je vhodno zaporedje $N$ kompleksnih števil, bo njegova diskretna Fourierjeva transformacija takšna $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ in obratno transformacijo $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ Če je vhodno zaporedje niz realnih števil, potem zanj obstaja tako kompleksna kot sinusno-kosinusna diskretna transformacija. Razmerje teh predstavitev je izraženo na naslednji način: $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \desno)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ preostale $N/2$ vrednosti transformacije so kompleksno konjugirane in ne vsebujejo dodatnih informacij. Zato je graf močnostnega spektra diskretne Fourierove transformacije simetričen glede na $N/2$. Najenostavnejši način za izračun diskretne Fourierove transformacije (DFT) je neposredno seštevanje, ki povzroči $N$ operacij na koeficient. Skupno je $N$ koeficientov, tako da je skupna kompleksnost $O\left((N^2) \right)$. Ta pristop ni praktičnega pomena, saj obstajajo veliko bolj učinkoviti načini za izračun DFT, imenovani hitra Fourierjeva transformacija (FFT), ki ima $O (N\log N)$ zapletenost. FFT se uporablja samo za zaporedja, katerih dolžina (število elementov) je večkratnik potence 2. Najsplošnejši princip algoritma FFT je razdelitev vhodnega zaporedja na dve zaporedji polovične dolžine. Prvo zaporedje je zapolnjeno s sodo oštevilčenimi podatki, drugo zaporedje pa z liho oštevilčenimi podatki. To omogoča izračun koeficientov DFT z dvema transformacijama $N/2$. Označite $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, potem $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n) ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\meje_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/2) ^(mn) \omega _N^m $. Za milijon dolarjev< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Diskretna Fourierjeva transformacija za dvodimenzionalni niz $M\times N$ števil je definirana takole: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\levo[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \desno]) ), $$ in obratno transformacijo $$ x_(mn) =\vsota\meje_(u=1)^(N-1) (\vsota\meje_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\levo[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \desno]) ). $$ V primeru obdelave slike se komponente 2D Fourierove transformacije imenujejo $\textit(prostorske frekvence)$. Pomembna lastnost dvodimenzionalne Fourierove transformacije je možnost njenega izračuna z uporabo enodimenzionalnega postopka FFT: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \desno] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ Tu je izraz v oglatih oklepajih enodimenzionalna transformacija vrstice podatkovne matrike, ki jo je mogoče izvesti z enodimenzionalnim FFT. Tako je treba za pridobitev dvodimenzionalne Fourierove transformacije najprej izračunati enodimenzionalne transformacije vrstic, zapisati rezultate v izvirno matriko in izračunati enodimenzionalne transformacije za stolpce nastale matrike. Pri izračunu dvodimenzionalne Fourierjeve transformacije bodo nizke frekvence koncentrirane v vogalih matrike, kar ni zelo primerno za nadaljnjo obdelavo prejetih informacij. Če želite prevesti predstavitev dvodimenzionalne Fourierjeve transformacije, v kateri so nizke frekvence koncentrirane v središču matrike, lahko izvedete preprost postopek, ki je sestavljen iz množenja izvirnih podatkov z $-1^(m+n)$ . Na sl. 16 prikazuje originalno sliko in njeno Fourierjevo transformacijo. Sivina slika in njena Fourierjeva slika (slike pridobljene v sistemu LabVIEW) Konvolucija funkcij $s(t)$ in $r(t)$ je definirana kot $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ V praksi se je treba ukvarjati z diskretno konvolucijo, pri kateri se zvezne funkcije nadomestijo z nizi vrednosti na vozliščih enotne mreže (običajno se vzame celoštevilska mreža): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ Tu $-N$ in $P$ definirata obseg, zunaj katerega je $r(t) = 0$. Pri izračunu konvolucije s Fourierjevo transformacijo se uporablja lastnost Fourierove transformacije, po kateri je zmnožek slik funkcij v frekvenčnem področju enakovreden konvoluciji teh funkcij v časovnem področju. Za izračun uskladitve je treba izvorne podatke transformirati v frekvenčno domeno, to je izračunati njihovo Fourierjevo transformacijo, pomnožiti rezultate transformacije in izvesti inverzno Fourierjevo transformacijo, s katero se obnovi prvotna predstavitev. Edina subtilnost v delovanju algoritma je povezana z dejstvom, da se v primeru diskretne Fourierjeve transformacije (v nasprotju z zvezno) zvijeta dve periodični funkciji, to pomeni, da naši nizi vrednosti določajo točno periode teh funkcij in ne le vrednosti na nekem ločenem odseku osi. To pomeni, da algoritem upošteva, da točki $x_(N )$ ne sledi nič, ampak točka $x_(0)$ in tako naprej v krogu. Zato je za pravilno izračunavanje konvolucije potrebno signalu pripisati dovolj dolgo zaporedje ničel. Metode linearnega filtriranja so med dobro strukturiranimi metodami, za katere so bile razvite učinkovite računske sheme, ki temeljijo na hitrih konvolucijskih algoritmih in spektralni analizi. Na splošno algoritmi linearnega filtriranja izvajajo transformacijo oblike $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ kjer je $K(\zeta ,\eta)$ jedro linearne transformacije. Pri diskretni predstavitvi signala se integral v tej formuli degenerira v uteženo vsoto vzorcev izvirne slike znotraj določene zaslonke. V tem primeru lahko izbira jedra $K(\zeta ,\eta)$ v skladu z enim ali drugim kriterijem optimalnosti vodi do številnih uporabnih lastnosti (Gaussovo glajenje pri regularizaciji problema numerične diferenciacije slike itd.). Metode linearne obdelave so najučinkoviteje implementirane v frekvenčni domeni. Uporaba Fourierjeve slike slike za izvajanje operacij filtriranja je predvsem posledica večje zmogljivosti takih operacij. Izvedba neposredne in inverzne dvodimenzionalne Fourierove transformacije in množenje s koeficienti Fourierjeve slike filtra praviloma traja manj časa kot izvedba dvodimenzionalne konvolucije izvirne slike. Algoritmi filtriranja v frekvenčni domeni temeljijo na konvolucijskem izreku. V dvodimenzionalnem primeru je konvolucijska transformacija videti takole: $$ G\levo((u,v) \desno)=H\levo((u,v) \desno)F\levo((u,v) \desno), $$ kjer je $G$ Fourierjeva transformacija rezultata konvolucije, $H$ je Fourierjeva transformacija filtra in $F$ je Fourierjeva transformacija izvirne slike. To pomeni, da je v frekvenčni domeni dvodimenzionalna konvolucija nadomeščena z elementnim množenjem slik izvirne slike in ustreznega filtra. Če želite izvesti zbiranje, morate narediti naslednje: Razmerje med funkcijo filtra v frekvenčnem področju in prostorskem področju je mogoče določiti z uporabo konvolucijskega izreka $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \desno)\ast h(x,y)) \desno]=F\levo((u,v) \desno)H\levo(( u,v) \desno), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \desno)h(x,y)) \desno]=F\levo((u,v) \desno)\ast H\levo(( u,v)\desno). $$ Konvolucijo funkcije z impulzno funkcijo lahko predstavimo na naslednji način: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \desno)) ) \delta \left((x-x_0, y-y_0 ) \desno)=s(x_0 ,y_0). $$ Fourierjeva transformacija impulzne funkcije $$ F\levo((u,v) \desno)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ levo((x,y) \desno) ) ) e^( (-2\pi j\levo((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \desno)) ) =\ frac(1)(MN). $$ Naj bo $f(x,y) = \delta (x,y)$, potem konvolucija $$ f\levo((x,y) \desno)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\levo((x,y) \desno), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \desno)\ast h(x,y)) \desno]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \desno)) \desno]H\levo((u,v) \desno)=\frac(1)(MN)H\levo((u,v) \desno). $$ Iz teh izrazov je razvidno, da so funkcije filtra v frekvenčni in prostorski domeni med seboj povezane s Fourierjevo transformacijo. Za dano funkcijo filtra frekvenčne domene lahko vedno najdete ustrezen filter prostorske domene z uporabo inverzne Fourierove transformacije. Enako velja za obratni primer. Z uporabo tega odnosa je mogoče določiti postopek sinteze prostorskih linearnih filtrov. ($\textit(Idealni nizkopasovni filter)$) $H(u,v)$ je $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Idealni visokoprepustni filter)$) dobimo z obračanjem idealnega nizkoprepustnega filtra: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ Tukaj so nizkofrekvenčne komponente popolnoma potlačene, medtem ko se ohranjajo visokofrekvenčne. Vendar pa je, tako kot v primeru idealnega nizkoprepustnega filtra, njegova uporaba polna pojava znatnega popačenja. Za oblikovanje filtrov z minimalnim popačenjem se uporabljajo različni pristopi. Eden od njih je sinteza filtrov na osnovi eksponentov. Takšni filtri vnašajo minimalno popačenje v nastalo sliko in so primerni za sintezo v frekvenčni domeni. Pri obdelavi slik se pogosto uporablja družina filtrov, ki temelji na realni Gaussovi funkciji. $\textit(Low Pass Gaussov filter)$ ima obliko $$ h\levo(x \desno)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\levo((\pi \sigma x) \desno)^2) \mbox( in ) H\left( u \desno)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ Čim ožji je profil filtra v frekvenčni domeni (večji kot je $\sigma $), tem širši je v prostorski domeni. ($\textit(High Pass Gaussov filter)$) ima obliko $$ h\levo(x \desno)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\levo((\pi \sigma _A x) \desno)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\levo((\pi \sigma _B x) \desno)^2 ), $$ $$ H\levo(u \desno)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ V dvodimenzionalnem primeru ($\it(low-pass)$) je Gaussov filter videti takole: $$ H\levo((u,v) \desno)=e^(-\frac(D^2\levo((u,v) \desno))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High-Pass)$) Gaussov filter ima obliko $$ H\levo((u,v) \desno)=1-e^(-\frac(D^2\levo((u,v) \desno))(2D_0^2 )). $$ Razmislite o primeru filtriranja slike (slika 1) v frekvenčni domeni (slika 17 - 22). Upoštevajte, da je frekvenčno filtriranje slike lahko smiselno tako za glajenje ($\textit(nizkoprepustno filtriranje)$) kot za poudarjanje kontur in predmetov majhne velikosti ($\textit(visokoprepustno filtriranje)$). Kot je razvidno iz sl. 17, 19, ko se "moč" filtriranja v nizkofrekvenčni komponenti slike poveča, postane učinek "navideznega defokusiranja" ali $\it(blur)$ slike bolj izrazit. Hkrati velik del informacijske vsebine slike postopoma prehaja v visokofrekvenčno komponento, kjer so na začetku opazne le konture predmetov (sl. 18, 20 - 22). Oglejmo si zdaj obnašanje visokoprepustnih in nizkopasovnih filtrov (sl. 23 - 28) v prisotnosti aditivnega Gaussovega šuma na sliki (sl. 7). Kot je razvidno iz sl. 23, 25 so lastnosti nizkofrekvenčnih filtrov pri zatiranju aditivnega naključnega hrupa podobne lastnostim prej obravnavanih linearnih filtrov - z zadostno močjo filtra je hrup zadušen, vendar je cena za to močna zamegljenost kontur in »defokusiranje« celotne slike. Visokofrekvenčna komponenta šumne slike preneha biti informativna, saj je poleg informacij o konturi in objektu zdaj v celoti prisotna tudi šumna komponenta (sl. 27, 28). Uporaba frekvenčnih metod je najprimernejša, ko sta znana statistični model procesa šuma in/ali optična prenosna funkcija kanala za prenos slike. Takšne apriorne podatke je priročno upoštevati tako, da kot obnovitveni filter izberemo generaliziran nadzorovan (s parametri $\sigma$ in $\mu$) filter naslednje oblike: $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2))\desno] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\desno]. $$ kjer $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Prednosti metod linearnega filtriranja so njihov jasen fizični pomen in enostavnost analize rezultatov. Vendar pa z močnim poslabšanjem razmerja signal/šum, z možnimi različicami površinskega šuma in prisotnostjo impulznega šuma z visoko amplitudo metode linearne predprocesiranja morda ne bodo zadostovale. V tem primeru so nelinearne metode veliko močnejše. Diskretna dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija matrike vzorca slike je definirana kot niz: kjer je , diskretna inverzna transformacija pa ima obliko: Po analogiji s terminologijo zvezne Fourierove transformacije se spremenljivke imenujejo prostorske frekvence. Opozoriti je treba, da vsi raziskovalci ne uporabljajo definicije (4.97), (4.98). Nekateri raje postavijo vse konstante lestvice v inverzni izraz, drugi pa obrnejo predznake v jedrih. Ker so transformacijska jedra simetrična in ločljiva, lahko dvodimenzionalno transformacijo izvedemo kot zaporedne enodimenzionalne transformacije nad vrsticami in stolpci slikovne matrike. Osnovne transformacijske funkcije so eksponenti s kompleksnimi eksponenti, ki jih je mogoče razstaviti na sinusno in kosinusno komponento. V to smer, Spekter slike ima veliko zanimivih strukturnih značilnosti. Spektralna komponenta na začetku frekvenčne ravnine enako povečanju v n krat povprečna (na prvotni ravnini) vrednost svetlosti slike. Zamenjava v enakost (4,97) kjer sta in sta konstanti, dobimo: Za vse vrednosti celega števila in drugi eksponentni faktor enakosti (4.101) postane ena. Tako je ob , ki označuje periodičnost frekvenčne ravnine. Ta rezultat je prikazan na sliki 4.14, a. 2D Fourierjev spekter slike je v bistvu predstavitev 2D polja kot Fourierove vrste. Da bi bila taka predstavitev veljavna, mora imeti tudi izvirna slika periodično strukturo, tj. imajo vzorec, ki se ponavlja navpično in vodoravno (slika 4.14, b). Tako desni rob slike meji na levi, zgornji rob pa na spodnji. Zaradi prekinitev vrednosti svetlosti na teh mestih se v spektru slike pojavijo dodatne komponente, ki ležijo na koordinatnih oseh frekvenčne ravnine. Te komponente niso povezane z vrednostmi svetlosti notranjih pikslov slike, vendar so potrebne za reprodukcijo njenih ostrih robov. Če niz vzorcev slike opisuje svetilno polje, bodo številke realne in pozitivne. Vendar pa ima Fourierjev spekter te slike na splošno kompleksne vrednosti. Ker spekter vsebuje komponento, ki predstavlja realne in imaginarne dele ali fazo in modul spektralnih komponent za vsako frekvenco, se lahko zdi, da Fourierjeva transformacija poveča dimenzijo slike. Vendar to ni tako, saj ima pod kompleksno konjugacijo simetrijo. Če v enačbi (4.101) postavimo in enako celim številom, dobimo po kompleksni konjugaciji enakost: S pomočjo substitucije in src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> lahko pokažemo, da Zaradi prisotnosti kompleksne konjugirane simetrije se skoraj polovica spektralnih komponent izkaže za odvečne, tj. lahko se oblikujejo iz preostalih komponent (slika 4.15). Seveda lahko harmonike, ki ne padejo v spodnjo, ampak v desno polravnino, seveda štejemo za presežne komponente. Fourierjeva analiza pri obdelavi slik se uporablja za iste namene kot pri enodimenzionalnih signalih. Vendar v frekvenčni domeni slike ne predstavljajo nobene pomembne informacije, zaradi česar Fourierjeva transformacija ni tako uporabno orodje za analizo slike. Na primer, ko se Fourierjeva transformacija uporabi za enodimenzionalni zvočni signal, se težko formalna in kompleksna valovna oblika v časovni domeni pretvori v lahko razumljiv spekter v frekvenčni domeni. Za primerjavo, s Fourierjevo transformacijo (Fourierjeva transformacija) slike pretvorimo urejene informacije v prostorski domeni (prostorski domeni) v kodirano obliko v frekvenčni domeni (frekvenčni domeni). Skratka, ne pričakujte, da vam bo Fourierjeva transformacija pomagala razumeti informacije, kodirane v slikah. Podobno se pri načrtovanju filtra ne sklicujte na frekvenčno domeno. Osnovno značilna lastnost na slikah je rob - črta, ki ločuje enega predmet oz regiji od drugega predmet oz področja. Ker konture na sliki vsebujejo širok razpon frekvenčnih komponent, je poskus spreminjanja slike z manipulacijo frekvenčnega spektra neučinkovita naloga. Filtri za obdelavo slik so običajno zasnovani v prostorski domeni, kjer so informacije predstavljene v najenostavnejši in najbolj dostopni obliki. Pri reševanju problemov obdelave slik je treba delovati precej operacijsko glajenje in podčrtaji konture (prostorska domena) kot glede na visokoprepustni filter in nizkoprepustni filter(frekvenčna domena). Kljub temu ima Fourierjeva analiza slike več uporabnih lastnosti. na primer konvolucija v prostorski domeni ustreza množenje v frekvenčni domeni. To je pomembno, ker je množenje preprostejša matematična operacija kot konvolucija. Tako kot pri 1D signalih vam ta lastnost omogoča konvolucijo s FFT in uporabo različne metode dekonvolucija. drugo uporabna lastnina v frekvenčni domeni je Fourierjev sektorski izrek, ki vzpostavlja korespondence med sliko in njenimi projekcijami (pogledi iste slike z razne zabave). Ta izrek tvori teoretično osnovo smeri, kot je računalniška tomografija, fluoroskopijaširoko uporablja v medicini in industriji. Frekvenčni spekter slike je mogoče izračunati na več načinov, vendar je najbolj praktična metoda za izračun spektra algoritem FFT. Pri uporabi algoritma FFT mora izvirna slika vsebovati n vrstice in n stolpce in številko n mora biti večkratnik stopnje 2, tj. 256, 512, 1024 in itd. Če izvorna slika po razsežnosti ni večkratnik potence 2, je treba dodati slikovne pike z ničelno vrednostjo, da sliko podložite na želeno velikost. Ker Fourierjeva transformacija ohranja vrstni red informacij, se bodo amplitude nizkofrekvenčnih komponent nahajale na vogalih dvodimenzionalnega spektra, medtem ko bodo visokofrekvenčne komponente v njegovem središču. Kot primer upoštevajte rezultat Fourierjeve transformacije elektronske mikroskopske slike vhodne stopnje operacijskega ojačevalnika (slika 4.16). Ker frekvenčna domena lahko vsebuje slikovne pike z negativnimi vrednostmi, je lestvica sivine teh slik premaknjena tako, da so negativne vrednosti zaznane kot temne točke na sliki, ničelne vrednosti so sive, pozitivne vrednosti pa svetlo. Običajno so nizkofrekvenčne komponente spektra slike veliko večje po amplitudi kot visokofrekvenčne, kar pojasnjuje prisotnost zelo svetlih in zelo temnih pik v štirih kotih slike spektra (slika 4.16, b). Kot je razvidno iz slike, tipično 19 Vstopnica 1. Operacija dilatacije 2. Prostorsko-spektralne značilnosti dilatacijske operacije. Naj sta A in B množici iz prostora Z 2 . Dilatacijo množice A glede na množico B (ali glede na B) označimo z A⊕B in definiramo kot Lahko ga prepišemo v naslednji obliki: Množico B bomo imenovali množica, ki tvori strukturo, ali dilatacijski primitiv. Enačba (11) temelji na pridobitvi središčnega odboja množice B glede na njene začetne koordinate (središče B), nato premiku te množice na točko z, razširitvi množice A vzdolž B – množica vseh takih premikov z, pri katerem in A sovpadata v vsaj enem elementu. Ta definicija ni edini. Vendar pa je postopek dilatacije na nek način podoben operaciji konvolucije, ki se izvaja na nizih. Prostorske spektralne značilnosti V skladu z (1.8) je dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija definirana kot kje w x, w y so prostorske frekvence. Kvadrat modula spektra M( w x, w y) = |Ф( w x, w y)| 2 se lahko uporabi za izračun številnih funkcij. Integracija funkcij M(w x, w y) s kotom na ravnini prostorskih frekvenc daje prostorsko-frekvenčno značilnost, ki je invariantna glede na premik in rotacijo slike. Z uvedbo funkcije M(w x, w y) v polarnih koordinatah, zapišemo to lastnost v obliki kje q= arktan( w y/w x); r 2 = w x 2 +w y 2 . 20 vstopnic 1. Erozijska operacija Pustiti f(x 1 , x 2) je funkcija dveh spremenljivk. Po analogiji z enodimenzionalno Fourierjevo transformacijo lahko uvedemo dvodimenzionalno Fourierjevo transformacijo: Funkcija pri fiksnih vrednostih ω 1, ω 2 opisuje ravninski val v ravnini x 1 , x 2 (slika 19.1). Količine ω 1 , ω 2 imata pomen prostorskih frekvenc in dimenzije mm−1 , funkcija F(ω 1 , ω 2) pa določa spekter prostorskih frekvenc. Sferična leča je sposobna izračunati spekter optičnega signala (slika 19.2). Na sliki 19.2 so uvedeni naslednji zapisi: φ - goriščna razdalja, Slika 19.1 - K definiciji prostorskih frekvenc Dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija ima vse lastnosti enodimenzionalne transformacije, poleg tega pa opazimo še dve dodatni lastnosti, katerih dokaz zlahka sledi iz definicije dvodimenzionalne Fourierjeve transformacije. Slika 19.2 - Izračun spektra optičnega signala z uporabo Faktorizacija. Če je dvodimenzionalni signal faktoriziran, potem je njegov spekter tudi faktoriziran: Radialna simetrija. Če je 2D signal radialno simetričen, tj Kje je Besselova funkcija ničelnega reda. Formula, ki določa razmerje med radialno simetričnim dvodimenzionalnim signalom in njegovim prostorskim spektrom, se imenuje Hanklova transformacija. PREDAVANJE 20. Diskretna Fourierjeva transformacija. nizkoprepustni filter Neposredna dvodimenzionalna diskretna Fourierjeva transformacija (DFT) transformira sliko, podano v prostorskem koordinatnem sistemu ( x, y), v dvodimenzionalno diskretno transformacijo slike, podano v frekvenčnem koordinatnem sistemu ( u,v): Inverzna diskretna Fourierjeva transformacija (IDFT) ima obliko: Vidimo lahko, da je DFT kompleksna transformacija. Modul te transformacije predstavlja amplitudo spektra slike in se izračuna kot kvadratni koren vsote kvadratov realnega in imaginarnega dela DFT. Faza (kot faznega premika) je opredeljena kot arktangens razmerja med imaginarnim delom DFT in realnim delom. Energijski spekter je enak kvadratu amplitude spektra oziroma vsoti kvadratov imaginarnega in realnega dela spektra. Konvolucijski izrek V skladu s konvolucijskim izrekom lahko konvolucijo dveh funkcij v prostorski domeni dobimo z ODFT produkta njunega DFT, tj. Filtriranje v frekvenčni domeni vam omogoča, da izberete frekvenčni odziv filtra iz DFT slike, kar zagotavlja potrebno transformacijo slike. Upoštevajte frekvenčni odziv najpogostejših filtrov.Kompleksna predstavitev Fourierove transformacije.
Hitra Fourierjeva transformacija.
Dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija.
Konvolucija s Fourierjevo transformacijo.
Filtriranje slik v frekvenčni domeni.
Funkcija je nespremenljiva glede na merilo
sferična leča
