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"Titan Siege"는 스칸디나비아와 고대 그리스를 주제로 한 대규모 온라인 게임입니다.
예, 예: 산술 진행은 당신을 위한 장난감이 아닙니다 :) 음, 친구들이여, 만약 당신이 이 텍스트를 읽고 있다면, 내부 캡 증거는 당신이 여전히 산술 진행이 무엇인지 모른다고 말하지만 당신은 정말로 (아니요, 이렇게: SOOOOO!) 알고 싶어합니다. 그러므로 나는 긴 소개로 당신을 괴롭히지 않고 즉시 사업을 시작할 것입니다.
시작하려면 몇 가지 예가 있습니다. 여러 세트의 숫자를 고려하십시오.
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
이 모든 세트의 공통점은 무엇입니까? 언뜻보기에 아무것도 없습니다. 그러나 실제로 뭔가가 있습니다. 즉: 각각의 다음 요소는 이전 요소와 동일한 숫자로 다릅니다..
스스로 판단하십시오. 첫 번째 세트는 각각 이전 세트보다 하나 더 많은 연속된 숫자입니다. 두 번째 경우에는 인접한 숫자의 차이가 이미 5이지만 이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 일반적으로 뿌리가 있습니다. 그러나 $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$인 반면 $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, 즉 이 경우 각각의 다음 요소는 단순히 $\sqrt(2)$만큼 증가합니다(그리고 이 숫자가 비합리적이라고 겁내지 마십시오).
따라서 이러한 모든 시퀀스를 산술 진행이라고 합니다. 엄격한 정의를 내리자:
정의. 각 다음 숫자가 이전 숫자와 정확히 같은 양만큼 다른 일련의 숫자를 산술 수열이라고 합니다. 숫자가 다른 바로 그 양을 진행 차이라고 하며 문자 $d$로 가장 자주 표시됩니다.
표기법: $\left(((a)_(n)) \right)$는 진행 그 자체이고 $d$는 차이입니다.
그리고 몇 가지 중요한 발언입니다. 첫째, 진행만 고려됩니다. 질서 있는일련의 숫자: 쓰여진 순서대로 엄격하게 읽을 수 있으며 다른 어떤 것도 허용되지 않습니다. 번호를 재정렬하거나 바꿀 수 없습니다.
둘째, 시퀀스 자체는 유한하거나 무한할 수 있습니다. 예를 들어 집합 (1; 2; 3)은 분명히 유한한 산술 수열입니다. 그러나 (1; 2; 3; 4; ...)와 같이 쓰면 이미 무한 진행입니다. 4 뒤에 오는 말줄임표는 꽤 많은 숫자가 더 나아가고 있음을 암시합니다. 예를 들어 무한히 많습니다. :)
또한 진행이 증가하고 감소하고 있음에 주목하고 싶습니다. 우리는 이미 증가하는 것을 보았습니다-동일한 세트 (1; 2; 3; 4; ...). 진행이 감소하는 예는 다음과 같습니다.
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
그래 그래: 마지막 예지나치게 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 나머지는 이해하실 것 같습니다. 따라서 새로운 정의를 소개합니다.
정의. 산술 진행을 다음과 같이 부릅니다.
- 각 다음 요소가 이전 요소보다 크면 증가합니다.
- 반대로 각 후속 요소가 이전 요소보다 작은 경우 감소합니다.
또한 소위 "정지" 시퀀스가 있습니다. 동일한 반복 번호로 구성됩니다. 예를 들어, (3; 3; 3; ...).
한 가지 질문만 남습니다. 증가하는 진행과 감소하는 진행을 구별하는 방법은 무엇입니까? 다행히도 여기서 모든 것은 숫자 $d$의 부호에만 의존합니다. 진행 차이:
- $d \gt 0$이면 진행률이 증가합니다.
- $d \lt 0$이면 진행이 분명히 감소합니다.
- 마지막으로 $d=0$의 경우가 있는데, 이 경우 전체 진행이 고정 시퀀스로 축소됩니다. 같은 숫자: (1; 1; 1; 1; ...) 등
위의 세 가지 감소 진행에 대한 차이 $d$를 계산해 봅시다. 이렇게하려면 인접한 두 요소 (예 : 첫 번째와 두 번째)를 가져 와서 오른쪽 숫자에서 왼쪽 숫자를 빼면 충분합니다. 다음과 같이 표시됩니다.
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
보시다시피 세 가지 경우 모두 그 차이는 실제로 음수였습니다. 이제 우리는 정의를 어느 정도 파악했으므로 진행이 어떻게 설명되고 어떤 속성이 있는지 알아낼 시간입니다.
진행 및 반복 공식의 구성원
시퀀스의 요소는 교환할 수 없으므로 번호를 매길 수 있습니다.
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \오른쪽\)\]
이 세트의 개별 요소를 진행의 구성원이라고 합니다. 이러한 방식으로 첫 번째 멤버, 두 번째 멤버 등의 숫자를 사용하여 표시됩니다.
또한 이미 알고 있듯이 진행의 이웃 구성원은 다음 공식으로 관련됩니다.
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\오른쪽 화살표 ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
간단히 말해서 진행의 $n$번째 항을 찾으려면 $n-1$번째 항과 차이 $d$를 알아야 합니다. 이러한 공식을 반복이라고합니다. 도움을 받으면 이전 숫자 만 알고 (사실 이전의 모든 숫자) 숫자를 찾을 수 있기 때문입니다. 이것은 매우 불편하므로 모든 계산을 첫 항과 차이로 줄이는 더 까다로운 공식이 있습니다.
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
이 공식을 전에 본 적이 있을 것입니다. 그들은 모든 종류의 참고 서적과 reshebniks에서 그것을 제공하는 것을 좋아합니다. 그리고 합리적인 수학 교과서에서 그것은 첫 번째 것 중 하나입니다.
그러나 조금 연습하는 것이 좋습니다.
작업 번호 1. $((a)_(1))=8,d=-5$인 경우 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 처음 세 항을 적으십시오.
해결책. 따라서 우리는 첫 항 $((a)_(1))=8$과 진행 차이 $d=-5$를 압니다. 방금 주어진 공식을 사용하여 $n=1$, $n=2$ 및 $n=3$를 대체해 보겠습니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 삼; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \종료(정렬)\]
답: (8; 3; -2)
그게 다야! 진행률이 감소하고 있습니다.
물론, $n=1$은 대체될 수 없습니다. 우리는 이미 첫 항을 알고 있습니다. 그러나 단위를 대체함으로써 우리는 첫 항에 대해서도 공식이 작동하는지 확인했습니다. 다른 경우에는 모든 것이 진부한 산술로 귀결되었습니다.
작업 번호 2. 7번째 항이 -40이고 17번째 항이 -50인 경우 산술 진행의 처음 세 항을 적으십시오.
해결책. 일반적인 용어로 문제의 조건을 작성합니다.
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \끝(정렬) \오른쪽.\]
\[\left\( \begin(정렬) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(정렬) \오른쪽.\]
이러한 요구 사항이 동시에 충족되어야 하기 때문에 시스템의 기호를 넣었습니다. 그리고 이제 우리는 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면(우리는 시스템이 있기 때문에 이것을 할 권리가 있습니다) 다음을 얻습니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \종료(정렬)\]
그렇게 진행 차이를 찾았습니다! 시스템의 방정식에서 찾은 숫자를 대체하는 것이 남아 있습니다. 예를 들어, 첫 번째:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \끝(행렬)\]
이제 첫 번째 용어와 차이점을 알고 있으므로 두 번째 및 세 번째 용어를 찾는 것이 남아 있습니다.
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \종료(정렬)\]
준비가 된! 문제 해결됨.
답: (-34; -35; -36)
우리가 발견한 수열의 흥미로운 속성에 주목하십시오. $n$번째 및 $m$번째 항을 취하여 서로 빼면 수 $n-m$을 곱한 수열의 차이를 얻습니다.
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
간단하지만 아주 유용한 재산, 확실히 알아야 할 사항-도움을 받으면 진행 과정에서 많은 문제의 해결 속도를 크게 높일 수 있습니다. 다음은 이에 대한 대표적인 예입니다.
작업 번호 3. 산술 진행의 다섯 번째 항은 8.4이고 열 번째 항은 14.4입니다. 이 수열의 15번째 항을 찾으십시오.
해결책. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$이고 $((a)_(15))$를 찾아야 하므로 다음 사항에 유의하십시오.
\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \종료(정렬)\]
그러나 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ 조건에 따라 $5d=6$, 여기서 우리는 다음을 얻습니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \종료(정렬)\]
답: 20.4
그게 다야! 방정식 시스템을 구성하고 첫 번째 항과 차이를 계산할 필요가 없었습니다. 모든 것이 단 몇 줄로 결정되었습니다.
이제 또 다른 유형의 문제인 진행의 부정적인 구성원과 긍정적인 구성원을 찾는 문제를 살펴보겠습니다. 진행이 증가하면 첫 번째 용어가 부정적이지만 조만간 긍정적 용어가 나타날 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 반대의 경우도 마찬가지입니다. 진행이 감소하는 조건은 조만간 음수가 됩니다.
동시에 요소를 순차적으로 정렬하여 "이마에서"이 순간을 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 문제는 공식을 모르면 계산에 여러 장이 걸리는 방식으로 설계됩니다. 답을 찾을 때까지 잠이 들었습니다. 따라서 우리는 이러한 문제를 더 빠른 방법으로 해결하려고 노력할 것입니다.
작업 번호 4. 산술 진행 -38.5에서 몇 개의 음수 항; -35.8; ...?
해결책. 따라서 $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, 여기서 즉시 차이점을 찾습니다.
차이가 양수이므로 진행률이 증가하고 있습니다. 첫 번째 용어는 음수이므로 실제로 어느 시점에서 우리는 양수를 우연히 발견하게 될 것입니다. 유일한 질문은 이것이 언제 일어날 것인가입니다.
알아보자: 용어의 부정성이 보존되는 기간(즉, 자연수 $n$까지):
\[\begin(정렬) & ((a)_(n)) \lt 0\오른쪽 화살표 ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\오른쪽 화살표 ((n)_(\max ))=15. \\ \종료(정렬)\]
마지막 줄은 설명이 필요합니다. 그래서 우리는 $n \lt 15\frac(7)(27)$를 압니다. 반면에 숫자의 정수 값만 적합하므로(추가: $n\in \mathbb(N)$) 허용 가능한 최대 숫자는 정확히 $n=15$이고 어떤 경우에도 16이 아닙니다.
작업 번호 5. 산술 진행에서 $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. 이 진행의 첫 번째 양수 항의 수를 찾으십시오.
이것은 이전 문제와 정확히 같은 문제이지만 우리는 $((a)_(1))$를 모릅니다. 그러나 이웃 항은 $((a)_(5))$ 및 $((a)_(6))$이므로 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.
또한 표준 공식을 사용하여 첫 번째와 차이로 다섯 번째 항을 표현해 봅시다.
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \종료(정렬)\]
이제 우리는 이전 문제와 유추하여 진행합니다. 시퀀스의 어느 지점에 양수가 나타날지 알아냅니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\오른쪽 화살표 ((n)_(\min ))=56. \\ \종료(정렬)\]
이 부등식의 최소 정수 솔루션은 숫자 56입니다.
마지막 작업에서 모든 것이 엄격한 불평등으로 축소되었으므로 $n=55$ 옵션은 우리에게 적합하지 않습니다.
간단한 문제를 해결하는 방법을 배웠으니 이제 더 복잡한 문제로 넘어갑시다. 하지만 먼저, 산술 진행의 또 다른 매우 유용한 속성을 배워 봅시다. 이것은 미래에 많은 시간과 불평등한 셀을 절약해 줄 것입니다. :)
산술 평균 및 등호 들여쓰기
증가하는 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 여러 연속 항을 고려하십시오. 수직선에 표시해 봅시다.
수직선의 산술 진행 멤버나는 임의의 멤버 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ 를 특별히 언급했으며 $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ 등 내가 지금 말할 규칙은 모든 "세그먼트"에 대해 동일하게 작동하기 때문입니다.
그리고 규칙은 매우 간단합니다. 재귀 공식을 기억하고 표시된 모든 멤버에 대해 적어 봅시다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \종료(정렬)\]
그러나 이러한 등식은 다르게 다시 작성할 수 있습니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \종료(정렬)\]
글쎄요? 그러나 $((a)_(n-1))$ 및 $((a)_(n+1))$ 항이 $((a)_(n)) $ . 그리고 이 거리는 $d$와 같습니다. $((a)_(n-2))$ 및 $((a)_(n+2))$ 용어에 대해서도 마찬가지입니다. $((a)_(n) )$ $2d$와 동일한 거리만큼. 무한정 계속해도 되지만 사진으로 그 의미를 잘 알 수 있습니다
진행 멤버는 중앙에서 같은 거리에 있습니다. 이것은 우리에게 무엇을 의미합니까? 즉, 이웃 숫자를 알고 있으면 $((a)_(n))$를 찾을 수 있습니다.
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
우리는 멋진 진술을 추론했습니다: 산술 진행의 각 구성원은 이웃 구성원의 산술 평균과 같습니다! 또한 $((a)_(n))$에서 왼쪽과 오른쪽으로 한 단계가 아니라 $k$ 단계로 벗어날 수 있으며 여전히 공식은 정확합니다.
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
저것들. $((a)_(100))$ 및 $((a)_(200))$를 알고 있으면 $((a)_(150))$를 쉽게 찾을 수 있습니다. (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. 언뜻 보기에 이 사실이 우리에게 유용한 정보를 제공하지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 산술 평균을 사용하기 위해 많은 작업이 특별히 "날카롭게" 되어 있습니다. 구경하다:
작업 번호 6. 숫자 $-6((x)^(2))$, $x+1$ 및 $14+4((x)^(2))$가 연속적인 구성원이 되도록 $x$의 모든 값을 찾습니다. 산술 진행(지정된 순서대로).
해결책. 이러한 숫자는 진행의 구성원이므로 산술 평균 조건이 충족됩니다. 중앙 요소 $x+1$는 이웃 요소로 표현할 수 있습니다.
\[\begin(정렬) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \종료(정렬)\]
클래식하게 나왔네요 이차 방정식. 그 뿌리: $x=2$ 및 $x=-3$가 답입니다.
답변: -3; 2.
작업 번호 7. 숫자 $-1;4-3;(()^(2))+1$이 (순서대로) 산술 수열을 형성하도록 $$의 값을 찾습니다.
해결책. 다시, 중간 항을 인접 항의 산술 평균으로 표현합니다.
\[\begin(정렬) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((엑스)^(2))+엑스; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \종료(정렬)\]
또 다른 이차 방정식. 그리고 다시 두 근: $x=6$ 및 $x=1$.
답변: 1; 6.
문제를 해결하는 과정에서 잔인한 숫자를 얻거나 찾은 답변의 정확성을 완전히 확신하지 못하는 경우 다음을 확인할 수 있는 놀라운 트릭이 있습니다. 문제를 올바르게 해결했습니까?
문제 6에서 -3과 2의 답을 얻었다고 가정해 봅시다. 이 답이 맞는지 어떻게 확인할 수 있습니까? 그것들을 원래 조건에 연결하고 무슨 일이 일어나는지 봅시다. 산술 수열을 형성해야 하는 세 개의 숫자($-6(()^(2))$, $+1$ 및 $14+4(()^(2))$)가 있음을 상기시켜 드리겠습니다. 대체 $x=-3$:
\[\begin(정렬) & x=-3\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \끝(정렬)\]
우리는 숫자 -54를 얻었습니다. -2; 52만큼 다른 50은 의심할 여지 없이 산술 수열입니다. $x=2$에 대해서도 마찬가지입니다.
\[\begin(정렬) & x=2\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \끝(정렬)\]
다시 진행이지만 차이는 27입니다. 따라서 문제는 올바르게 해결됩니다. 원하는 사람은 두 번째 작업을 스스로 확인할 수 있지만 즉시 말할 것입니다. 모든 것이 정확합니다.
일반적으로 마지막 작업을 해결하는 동안 다른 작업을 우연히 발견했습니다. 흥미로운 사실, 또한 기억해야 할 사항:
세 개의 숫자가 두 번째가 첫 번째와 마지막의 평균인 경우 이 숫자는 산술 수열을 형성합니다.
앞으로 이 문장을 이해하면 문자 그대로 문제의 조건에 따라 필요한 진행을 "구성"할 수 있습니다. 그러나 그러한 "건설"에 참여하기 전에 우리는 이미 고려한 것에서 직접적으로 이어지는 또 하나의 사실에 주목해야 합니다.
요소의 그룹화 및 합계
다시 수직선으로 돌아가 봅시다. 우리는 아마도 그 사이에 진행의 여러 구성원이 있음을 주목합니다. 다른 많은 회원들에게 가치가 있습니다.
수직선에 표시된 6개 요소$((a)_(n))$ 및 $d$로 "왼쪽 꼬리"를 표현하고 $((a)_(k))$ 및 $로 "오른쪽 꼬리"를 표현해 봅시다. d$. 매우 간단합니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \종료(정렬)\]
이제 다음 합계는 동일합니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= 에스; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= 에스. \끝(정렬)\]
간단히 말해서, 진행의 두 요소를 시작으로 간주하면 총 $S$와 같은 수와 같으며 이러한 요소에서 반대 방향으로(서로를 향하거나 반대 방향으로 이동) 단계를 시작합니다. 그 다음에 우리가 우연히 발견하게 될 요소의 합도 같을 것입니다$S$. 이는 그래픽으로 가장 잘 표현할 수 있습니다.
동일한 들여쓰기는 동일한 합계를 제공합니다. 이해 이 사실위에서 고려한 것보다 근본적으로 더 복잡한 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.
작업 번호 8. 첫 번째 항이 66이고 두 번째 항과 열두 번째 항의 곱이 가능한 가장 작은 산술 수열의 차를 구하십시오.
해결책. 우리가 아는 모든 것을 적어 봅시다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \끝(정렬)\]
따라서 진행 $d$의 차이를 알 수 없습니다. 실제로 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ 제품을 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로 전체 솔루션은 차이점을 중심으로 구축됩니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \끝(정렬)\]
탱크에 있는 사람들을 위해: 나는 두 번째 괄호에서 공통 인수 11을 취했습니다. 따라서 원하는 곱은 변수 $d$에 대한 2차 함수입니다. 따라서 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ 함수를 고려하십시오. 괄호를 열면 다음을 얻습니다.
\[\begin(정렬) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(정렬)\]
보시다시피 가장 높은 항의 계수는 11입니다. 이것은 양수이므로 가지가 위로 향하는 포물선을 실제로 다루고 있습니다.
일정 이차 함수- 포물선
참고: 이 포물선은 가로 좌표 $((d)_(0))$가 있는 정점에서 최소값을 취합니다. 물론 표준 체계(공식 $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$)에 따라 이 가로 좌표를 계산할 수 있지만 원하는 정점은 포물선의 축 대칭에 있으므로 점 $((d)_(0))$은 방정식 $f\left(d \right)=0$의 근에서 등거리에 있습니다.
\[\begin(정렬) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \종료(정렬)\]
그렇기 때문에 괄호를 여는 데 서두르지 않았습니다. 원래 형태에서는 뿌리를 찾기가 매우 쉬웠습니다. 따라서 가로 좌표는 평균과 같습니다. 산술 숫자-66 및 -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
발견된 숫자는 무엇입니까? 그것으로 필요한 제품은 가장 작은 값을 취합니다 (그런데 우리는 계산하지 않았습니다 $((y)_(\min ))$ - 이것은 우리에게 필요하지 않습니다). 동시에 이 숫자는 초기 진행의 차이입니다. 답을 찾았습니다. :)
답변: -36
작업 번호 9. 숫자 $-\frac(1)(2)$와 $-\frac(1)(6)$ 사이에 세 개의 숫자를 삽입하여 주어진 숫자와 함께 산술 수열을 형성합니다.
해결책. 사실 우리는 첫 번째와 마지막 숫자를 이미 알고 있는 5개의 숫자 시퀀스를 만들어야 합니다. 변수 $x$, $y$ 및 $z$로 누락된 숫자를 나타냅니다.
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
숫자 $y$는 시퀀스의 "중간"입니다. 숫자 $x$ 및 $z$와 숫자 $-\frac(1)(2)$ 및 $-\frac에서 등거리에 있습니다. (1)( 6)$. 그리고 숫자 $x$ 및 $z$에서 우리가 있는 경우 이 순간우리는 $y$를 얻을 수 없습니다. 그러면 진행이 끝날 때 상황이 달라집니다. 산술 평균을 기억하십시오.
이제 $y$를 알면 나머지 숫자를 찾을 수 있습니다. $x$는 방금 찾은 $-\frac(1)(2)$와 $y=-\frac(1)(3)$ 사이에 있습니다. 그래서
비슷하게 주장하면 나머지 숫자를 찾습니다.
준비가 된! 세 개의 숫자를 모두 찾았습니다. 원래 숫자 사이에 삽입해야 하는 순서대로 답에 적어 봅시다.
답: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
작업 번호 10. 숫자 2와 42 사이에 삽입된 숫자의 첫 번째, 두 번째, 마지막의 합이 56인 경우 주어진 숫자와 함께 등차수열을 이루는 여러 개의 숫자를 삽입합니다.
해결책. 그러나 산술 평균을 통해 이전 작업과 동일한 방식으로 해결되는 훨씬 더 어려운 작업입니다. 문제는 정확히 몇 개의 숫자를 삽입해야 하는지 모른다는 것입니다. 따라서 명확성을 위해 삽입 후 정확히 $n$개의 숫자가 있고 첫 번째 숫자는 2이고 마지막 숫자는 42라고 가정합니다. 이 경우 원하는 산술 수열은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \오른쪽\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
그러나 숫자 $((a)_(2))$ 및 $((a)_(n-1))$는 가장자리에 서있는 숫자 2와 42에서 서로를 향해 한 걸음씩 얻어집니다. , 즉 . 시퀀스의 중심으로. 그리고 이것은 다음을 의미합니다.
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
그러나 위 식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \종료(정렬)\]
$((a)_(3))$ 및 $((a)_(1))$를 알면 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\오른쪽 화살표 d=5. \\ \종료(정렬)\]
나머지 구성원을 찾는 것만 남아 있습니다.
\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \종료(정렬)\]
따라서 이미 9번째 단계에서 시퀀스의 왼쪽 끝인 숫자 42에 도달하게 됩니다. 총 7개의 숫자만 삽입해야 했습니다: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
답변: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
진행이 있는 텍스트 작업
결론적으로 비교적 간단한 몇 가지 문제를 고려하고 싶습니다. 음, 간단합니다. 학교에서 수학을 공부하고 위에 쓰여진 내용을 읽지 않은 대부분의 학생들에게 이러한 작업은 제스처처럼 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 수학에서 OGE와 USE에서 만나는 것은 바로 그러한 작업이므로 숙지하는 것이 좋습니다.
작업 번호 11. 팀은 1월에 62개의 부품을 생산했으며, 다음 달이전 제품보다 14개 더 많은 부품을 생산했습니다. 여단은 11월에 얼마나 많은 부품을 생산했습니까?
해결책. 분명히, 월별로 도색되는 부품의 수는 증가하는 산술 수열이 될 것입니다. 그리고:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
11월은 11번째 달이므로 $((a)_(11))$를 찾아야 합니다.
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
따라서 11월에는 202개의 부품이 생산될 예정입니다.
작업 번호 12. 제본공방은 1월에 216권을 제본했고 매달 전월보다 4권씩 제본했다. 12월 워크숍에서 제본한 책은 몇 권입니까?
해결책. 모두 같은:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(정렬)$
12월은 한 해의 마지막 12번째 달이므로 $((a)_(12))$를 찾습니다.
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
이것이 답입니다. 12월에 260권이 제본됩니다.
글쎄요, 여기까지 읽으셨다면 서둘러 축하드립니다. 산술 진행에서 "젊은 전사 과정"을 성공적으로 완료했습니다. 우리는 다음 수업으로 안전하게 넘어갈 수 있습니다. 여기서 우리는 진행 합계 공식과 그로부터 중요하고 매우 유용한 결과를 공부할 것입니다.
결정을 시작하기 전에 산술 진행 문제, 산술 진행은 숫자 시퀀스의 특별한 경우이므로 숫자 시퀀스가 무엇인지 고려하십시오.
숫자 시퀀스는 각 요소에 고유한 일련 번호가 있는 숫자 집합입니다.. 이 집합의 요소를 시퀀스의 구성원이라고 합니다. 시퀀스 요소의 서수는 색인으로 표시됩니다.
시퀀스의 첫 번째 요소입니다.
시퀀스의 다섯 번째 요소입니다.
- 시퀀스의 "n번째" 요소, 즉 번호 n에서 "대기열에 서 있는" 요소.
시퀀스 요소의 값과 서수 사이에는 종속성이 있습니다. 따라서 시퀀스를 시퀀스 요소의 서수를 인수로 갖는 함수로 간주할 수 있습니다. 다시 말해, 다음과 같이 말할 수 있습니다. 시퀀스는 자연 인수의 함수입니다.
순서는 세 가지 방법으로 지정할 수 있습니다.
1 . 시퀀스는 테이블을 사용하여 지정할 수 있습니다.이 경우 시퀀스의 각 구성원 값을 설정하기만 하면 됩니다.
예를 들어 누군가는 개인 시간 관리를 하기로 결정했고 우선 VKontakte에서 일주일 동안 보내는 시간을 계산했습니다. 표에 시간을 기록하면 7가지 요소로 구성된 시퀀스를 얻을 수 있습니다.
테이블의 첫 번째 줄에는 요일 수가 포함되고 두 번째 줄에는 시간이 분 단위로 포함됩니다. 즉, 월요일에 누군가 VKontakte에서 125 분, 즉 목요일에 248 분, 즉 금요일에 15 분을 보냈습니다.
2 . 시퀀스는 n번째 멤버 수식을 사용하여 지정할 수 있습니다.
이 경우 수에 대한 시퀀스 요소 값의 종속성은 공식으로 직접 표현됩니다.
예를 들어, 이면
주어진 숫자로 시퀀스 요소의 값을 찾으려면 요소 번호를 n번째 멤버의 수식으로 대체합니다.
인수의 값을 알고 있는 경우 함수의 값을 찾아야 하는 경우에도 동일한 작업을 수행합니다. 대신 함수의 방정식에서 인수 값을 대체합니다.
예를 들어, 
, 그 다음에
다시 한 번, 시퀀스에서는 임의의 숫자 함수와 달리 자연수만 인수가 될 수 있습니다.
3 . 시퀀스는 이전 멤버 값에 대한 숫자 n이 있는 시퀀스 멤버 값의 종속성을 표현하는 수식을 사용하여 지정할 수 있습니다. 이 경우 값을 찾기 위해 시퀀스 멤버의 번호만 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 시퀀스의 첫 번째 구성원 또는 처음 몇 구성원을 지정해야 합니다.
예를 들어 다음 시퀀스를 고려하십시오. 
, 
시퀀스 구성원의 값을 찾을 수 있습니다. 순서대로, 세 번째부터 시작:
즉, 시퀀스의 n번째 멤버 값을 찾을 때마다 이전 두 멤버로 돌아갑니다. 이러한 시퀀싱 방법을 재발, 라틴어 단어에서 재귀- 돌아와.
이제 산술 진행을 정의할 수 있습니다. 산술 진행은 숫자 시퀀스의 간단한 특수한 경우입니다.
산술 진행 숫자 시퀀스라고하며 두 번째부터 시작하여 각 멤버는 이전 멤버와 같고 동일한 숫자가 추가됩니다.
전화번호는 산술 진행의 차이. 산술 진행의 차이는 양수, 음수 또는 0이 될 수 있습니다.
If 제목="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} 증가.
예를 들어, 2; 5; 여덟; 열하나;...
이면, 산술 진행의 각 항은 이전 항보다 작고 진행은 다음과 같습니다. 쇠퇴.
예를 들어, 2; -하나; -4; -7;...
이면 진행의 모든 구성원이 같은 번호이고 진행은 다음과 같습니다. 변화 없는.
예를 들어, 2;2;2;2;...
산술 진행의 주요 속성:
그림을 보자.
우리는 그것을 본다
, 그리고 동시에
이 두 등식을 더하면 다음과 같습니다.
.
방정식의 양변을 2로 나눕니다.
따라서 산술 진행의 각 구성원은 두 번째부터 시작하여 인접한 두 구성원의 산술 평균과 같습니다.
더욱이, 이후
, 그리고 동시에
, 그 다음에
, 따라서
title="(!LANG:k>l로 시작하는 산술 진행의 각 구성원">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
회원 수식.
산술 진행의 구성원에 대해 다음 관계가 유지됨을 알 수 있습니다.
그리고 마지막으로
우리는 얻었다 n번째 항의 공식.
중요한!산술 진행의 모든 구성원은 및 로 표현할 수 있습니다. 첫 번째 용어와 산술 진행의 차이를 알면 해당 구성원을 찾을 수 있습니다.
산술 진행의 n 멤버의 합입니다.
임의의 산술 수열에서 극단적인 항목에서 동일한 간격으로 떨어진 항의 합은 서로 같습니다.
n개의 구성원이 있는 산술 진행을 고려하십시오. 이 진행의 n 구성원의 합을 와 같게 하십시오.
숫자의 오름차순으로 먼저 진행 조건을 정렬한 다음 내림차순으로 정렬합니다.
페어링해 봅시다:
각 괄호 안의 합은 이고 쌍의 수는 n입니다.
우리는 다음을 얻습니다.
그래서, 산술 진행의 n 구성원의 합은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
고려하다 산술 진행 문제 해결.
1 . 시퀀스는 n번째 멤버의 공식으로 제공됩니다. . 이 수열이 산술 수열임을 증명하십시오.
시퀀스의 인접한 두 구성원 간의 차이가 같은 수임을 증명해 보겠습니다.
우리는 수열의 인접한 두 구성원의 차이가 그들의 수에 의존하지 않고 상수라는 것을 얻었습니다. 따라서 정의상 이 수열은 산술 수열입니다.
2 . 산술 진행 -31이 주어지면; -27;...
a) 진행의 31항을 찾으십시오.
b) 숫자 41이 이 진행에 포함되는지 확인합니다.
ㅏ)우리는 그것을 봅니다;
진행을 위해 n번째 항에 대한 공식을 적어 봅시다.
일반적으로 
우리의 경우 
, 그래서 
온라인 계산기.
산술 진행 솔루션.
주어진: n , d, n
찾기: 1
이 수학 프로그램은 사용자가 지정한 숫자 \(a_n, d \) 및 \(n \)을 기반으로 산술 수열의 \(a_1\)을 찾습니다.
숫자 \(a_n\) 및 \(d \)는 정수뿐만 아니라 분수로도 지정할 수 있습니다. 또한 소수는 소수(\(2.5 \))와 일반 분수(\(-5\frac(2)(7) \))로 입력할 수 있습니다.
이 프로그램은 문제에 대한 답을 제공할 뿐만 아니라 해결책을 찾는 과정도 표시합니다.
이 온라인 계산기는 고등학생에게 유용할 수 있습니다. 일반 교육 학교준비 중 제어 작업및 시험, 시험 전에 지식을 테스트할 때 부모는 수학 및 대수학의 많은 문제의 솔루션을 제어합니다. 아니면 튜터를 고용하거나 새 교과서를 구입하기에는 너무 비쌀까요? 아니면 가능한 한 빨리 끝내고 싶습니까? 숙제수학 또는 대수학? 이 경우 자세한 솔루션과 함께 프로그램을 사용할 수도 있습니다.
이러한 방식으로 자신의 훈련 및/또는 동생의 훈련을 수행할 수 있으며 해결해야 할 과제 분야의 교육 수준이 높아집니다.
숫자 입력 규칙에 익숙하지 않은 경우 해당 규칙을 숙지하는 것이 좋습니다.
숫자 입력 규칙
숫자 \(a_n\) 및 \(d \)는 정수뿐만 아니라 분수로도 지정할 수 있습니다.
숫자 \(n\)은 양의 정수만 될 수 있습니다.
소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수 부분의 정수 부분과 소수 부분은 점이나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예를 들어 다음과 같이 입력할 수 있습니다. 소수 2.5정도 2.5정도
일반 분수 입력 규칙.
정수만 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.
분모는 음수가 될 수 없습니다.
분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
입력:
결과: \(-\frac(2)(3) \)
전체 부분앰퍼샌드로 분수와 구분: &
입력:
결과: \(-1\frac(2)(3) \)
이 작업을 해결하는 데 필요한 일부 스크립트가 로드되지 않았으며 프로그램이 작동하지 않을 수 있습니다.
AdBlock을 활성화했을 수 있습니다.
이 경우 비활성화하고 페이지를 새로 고칩니다.
솔루션을 표시하려면 JavaScript를 활성화해야 합니다.
다음은 브라우저에서 JavaScript를 활성화하는 방법에 대한 지침입니다.
왜냐하면 문제를 해결하려는 많은 사람들이 있습니다. 귀하의 요청이 대기 중입니다.
몇 초 후 솔루션이 아래에 나타납니다.
기다려주세요 비서...
만약 너라면 솔루션에서 오류를 발견했습니다., 그런 다음 피드백 양식에 그것에 대해 쓸 수 있습니다.
잊지 마요 어떤 작업을 표시당신은 무엇을 결정 필드에 입력.
당사의 게임, 퍼즐, 에뮬레이터:
약간의 이론.
숫자 시퀀스
번호 매기기는 일상 업무에서 자주 사용됩니다. 다양한 아이템그들의 순서를 나타냅니다. 예를 들어 각 거리의 집에는 번호가 매겨져 있습니다. 도서관에서는 독자의 구독에 번호가 매겨진 다음 특수 파일 캐비닛에 할당된 번호 순서대로 정렬됩니다.
저축은행에서는 예금자의 개인계좌 번호로 이 계좌를 쉽게 찾고 어떤 예금이 있는지 확인할 수 있습니다. 계좌 번호 1에 a1 루블의 예금, 계좌 번호 2에 a2 루블의 예금 등이 있습니다. 숫자 순서
1, 2, 3, ..., N
여기서 N은 모든 계정의 수입니다. 여기서, 1부터 N까지의 각각의 자연수 n에는 수 an이 할당된다.
수학도 공부한다 무한 수열:
1 , 2 , 3 , ..., n , ... .
숫자 a 1이 호출됩니다. 시퀀스의 첫 번째 멤버, 숫자 2 - 시퀀스의 두 번째 멤버, 번호 3 - 시퀀스의 세 번째 멤버등.
숫자 a n이 호출됩니다. 시퀀스의 n번째(n번째) 멤버, 그리고 자연수 n은 그것의 숫자.
예를 들어, 자연수의 제곱열에서 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... 및 1 = 1 은 시퀀스의 첫 번째 구성원입니다. 그리고 n = n 2 는 n번째 멤버시퀀스; a n+1 = (n + 1) 2는 시퀀스의 (n + 1)번째(en + 첫 번째) 구성원입니다. 종종 수열은 n번째 항의 공식으로 지정될 수 있습니다. 예를 들어 공식 \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \)은 시퀀스 \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
산술 진행
1년의 길이는 약 365일입니다. 더 정확한 값은 \(365\frac(1)(4) \)일이므로 4년마다 하루의 오류가 누적됩니다.
이 오류를 설명하기 위해 4년마다 하루를 더하고 연장된 해를 윤년이라고 합니다.
예를 들어, 세 번째 천년 윤년 2004년, 2008년, 2012년, 2016년, ....
이 시퀀스에서 두 번째부터 시작하는 각 멤버는 이전 멤버와 동일하며 동일한 숫자 4가 추가됩니다. 이러한 시퀀스를 호출합니다. 산술 진행.
정의.
숫자 시퀀스 a 1 , a 2 , a 3 , ..., an , ... 를 호출합니다. 산술 진행, 모든 자연 n에 대해 평등인 경우
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
여기서 d는 숫자입니다.
이 공식으로부터 a n+1 - an = d가 됩니다. 숫자 d를 차이라고 합니다. 산술 진행.
산술 진행의 정의에 따라 다음이 있습니다.
\(a_(n+1)=a_n+d, \쿼드 a_(n-1)=a_n-d, \)
어디
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), 여기서 \(n>1 \)
따라서 산술 수열의 각 요소는 두 번째부터 시작하여 인접한 두 요소의 산술 평균과 같습니다. 이것은 "산술"진행이라는 이름을 설명합니다.
a 1과 d가 주어지면 산술 수열의 나머지 항은 재귀 공식 a n+1 = an + d를 사용하여 계산할 수 있습니다. 이런 식으로 진행의 처음 몇 항을 계산하는 것은 어렵지 않지만 예를 들어 100의 경우 이미 많은 계산이 필요합니다. 일반적으로 이를 위해 n번째 항 공식이 사용됩니다. 산술 진행의 정의에 따르면
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
등.
일반적으로,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
왜냐하면 n번째 멤버산술 수열은 숫자 d에 (n-1)을 더하여 첫 번째 항에서 얻습니다.
이 공식은 산술 진행의 n번째 구성원의 공식.
산술 진행의 처음 n 항의 합
1부터 100까지의 모든 자연수의 합을 구해봅시다.
이 합계를 두 가지 방법으로 작성합니다.
S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
용어별로 다음 평등을 추가합니다.
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
이 합계에는 100개의 항이 있습니다.
따라서 2S = 101 * 100, 여기서 S = 101 * 50 = 5050입니다.
이제 임의의 산술 진행을 고려하십시오.
1 , 2 , 3 , ..., n , ...
S n을 이 수열의 처음 n 항의 합이라고 합니다.
S n \u003d 1, 2, 3, ..., n
그 다음에 산술 진행의 처음 n 항의 합은 다음과 같습니다.
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
\(a_n=a_1+(n-1)d \)이므로 이 공식에서 n을 대체하면 다른 공식을 얻습니다. 산술 진행의 처음 n 항의 합:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
누군가는 "진보"라는 단어를 고등 수학 섹션의 매우 복잡한 용어로 조심스럽게 취급합니다. 한편, 가장 간단한 산술 진행은 택시 카운터(아직도 남아 있는)의 작업입니다. 그리고 산술 시퀀스의 본질을 이해하는 것(그리고 수학에서 "본질을 이해하는 것"보다 더 중요한 것은 없습니다)은 몇 가지 기본 개념을 분석했기 때문에 그리 어렵지 않습니다.
수학 숫자 시퀀스
숫자 시퀀스를 일련의 숫자라고 부르는 것이 일반적이며 각 숫자에는 고유한 번호가 있습니다.
1은 시퀀스의 첫 번째 구성원입니다.
2는 시퀀스의 두 번째 구성원입니다.
7은 시퀀스의 일곱 번째 멤버입니다.
n은 시퀀스의 n번째 멤버입니다.
그러나 임의의 숫자와 숫자 집합은 우리의 관심을 끌지 않습니다. 수학적으로 명확하게 공식화할 수 있는 종속성에 의해 n번째 멤버의 값이 해당 서수와 관련되는 숫자 시퀀스에 주의를 집중할 것입니다. 즉, n번째 숫자의 수치는 n의 함수입니다.
a - 숫자 시퀀스의 구성원 값
n은 일련 번호입니다.
f(n)은 숫자 시퀀스 n의 서수가 인수인 함수입니다.
정의
산술 수열은 일반적으로 각 후속 항이 이전 항보다 같은 숫자만큼 더 큰(작은) 수치 시퀀스라고 합니다. 산술 시퀀스의 n번째 구성원에 대한 공식은 다음과 같습니다.
n - 산술 진행의 현재 멤버 값;
n+1 - 다음 숫자의 공식;
d - 차이(특정 숫자).
차이가 양수(d>0)이면 고려 중인 계열의 각 후속 구성원이 이전 구성원보다 클 것이며 이러한 산술 진행이 증가할 것임을 쉽게 결정할 수 있습니다.
아래 그래프에서 숫자 시퀀스를 "증가"라고 부르는 이유를 쉽게 알 수 있습니다.
차이가 음수인 경우(d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
지정된 멤버의 값
때로는 산술 수열의 임의 항 n의 값을 결정해야 합니다. 첫 번째부터 원하는 값까지 산술 진행의 모든 구성원 값을 연속적으로 계산하여 이를 수행할 수 있습니다. 그러나 이 방법은 예를 들어 5000분의 1 또는 800만분의 1 항의 값을 찾아야 하는 경우 항상 허용되는 것은 아닙니다. 전통적인 계산은 시간이 오래 걸립니다. 그러나 특정 수식을 사용하여 특정 산술 진행을 조사할 수 있습니다. n번째 항에 대한 공식도 있습니다. 산술 수열의 모든 구성원의 값은 수열의 첫 번째 구성원과 진행의 차이의 합에 원하는 구성원의 수를 곱한 후 1을 뺀 값으로 결정될 수 있습니다. .
공식은 증가 및 감소 진행에 대해 보편적입니다.
주어진 멤버의 값을 계산하는 예
산술 수열의 n번째 멤버의 값을 구하는 다음 문제를 해결해 봅시다.
조건: 매개변수가 있는 산술 수열이 있습니다.
시퀀스의 첫 번째 구성원은 3입니다.
숫자 시리즈의 차이는 1.2입니다.
과제: 214항의 값을 구해야 합니다.
솔루션: 주어진 멤버의 값을 결정하기 위해 다음 공식을 사용합니다.
a(n) = a1 + d(n-1)
문제 진술의 데이터를 식으로 대체하면 다음과 같습니다.
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2(214-1) = 258.6
답변: 시퀀스의 214번째 멤버는 258.6과 같습니다.
이 계산 방법의 장점은 명백합니다. 전체 솔루션은 2줄을 넘지 않습니다.
주어진 용어 수의 합
종종 주어진 산술 시리즈에서 일부 세그먼트 값의 합을 결정해야 합니다. 또한 각 항의 값을 계산한 다음 합산할 필요가 없습니다. 이 방법은 합계를 구해야 하는 항의 수가 적은 경우에 적용할 수 있습니다. 다른 경우에는 다음 공식을 사용하는 것이 더 편리합니다.
1에서 n까지의 산술 수열의 구성원의 합은 첫 번째 구성원과 n번째 구성원의 합에 구성원 번호 n을 곱하고 2로 나눈 것과 같습니다. 수식에서 n번째 멤버의 값이 기사의 이전 단락에 있는 표현식으로 대체되면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
계산 예
예를 들어 다음 조건의 문제를 해결해 보겠습니다.
시퀀스의 첫 번째 항은 0입니다.
차이는 0.5입니다.
문제에서 56에서 101까지 급수의 항의 합을 결정해야 합니다.
해결책. 진행의 합을 결정하는 공식을 사용합시다.
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
먼저 문제의 주어진 조건을 공식에 대입하여 진행의 101개 구성원 값의 합을 결정합니다.
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
당연히 56번째에서 101번째까지의 수열 항의 합을 알아보기 위해서는 S101에서 S55를 빼야 합니다.
초 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
따라서 이 예제에 대한 산술 진행의 합은 다음과 같습니다.
초 101 - 초 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5
산술 진행의 실제 적용 예
기사의 끝에서 첫 번째 단락에 제공된 산술 시퀀스의 예인 택시 미터 (택시 미터기)로 돌아가 보겠습니다. 그러한 예를 생각해 봅시다.
택시(3km 포함)에 타는 비용은 50루블입니다. 이후의 각 킬로미터는 22 루블 / km의 비율로 지불됩니다. 주행거리 30km. 여행 비용을 계산하십시오.
1. 상륙 비용에 가격이 포함된 처음 3km는 버리자.
30 - 3 = 27km.
2. 추가 계산은 일련의 산술 구문 분석에 지나지 않습니다.
회원 번호는 이동한 킬로미터 수입니다(처음 3을 뺀 값).
멤버의 값은 합계입니다.
이 문제의 첫 항은 1 = 50 루블입니다.
진행 차이 d = 22p.
우리에게 관심있는 수 - 산술 진행의 (27 + 1) 번째 구성원의 값 - 27km 끝에서 읽는 미터 - 27.999 ... = 28km.
28 \u003d 50 + 22 ∙ (28-1) \u003d 644
임의로 긴 기간 동안의 달력 데이터 계산은 특정 숫자 시퀀스를 설명하는 공식을 기반으로 합니다. 천문학에서 궤도의 길이는 천체에서 발광체까지의 거리에 기하학적으로 의존합니다. 또한 통계 및 기타 응용 수학 분야에서 다양한 수치 계열이 성공적으로 사용됩니다.
다른 종류의 숫자 시퀀스는 기하학적입니다.
기하 수열은 산술에 비해 변화율이 큰 것이 특징입니다. 정치, 사회학, 의학에서 특정 현상, 예를 들어 전염병 중 질병의 빠른 확산 속도를 보여주기 위해 종종 그 과정이 기하 급수적으로 발전한다고 말하는 것은 우연이 아닙니다.
기하학적 숫자 시리즈의 N 번째 멤버는 상수를 곱한다는 점에서 이전 멤버와 다릅니다. 예를 들어 첫 번째 멤버는 1이고 분모는 2입니다.
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16·2 = 32,
b n - 기하 수열의 현재 멤버 값;
b n+1 - 기하 수열의 다음 구성원 공식.
q는 기하 수열(상수)의 분모입니다.
산술 수열 그래프가 직선이면 기하 수열 그래프는 약간 다른 그림을 그립니다.
산술의 경우와 마찬가지로 기하 수열은 임의의 구성원 값에 대한 공식을 갖습니다. 기하 수열의 n번째 항은 첫 번째 항의 곱과 수열의 분모를 n의 거듭제곱으로 1만큼 줄인 것과 같습니다.
예시. 첫 항이 3이고 수열의 분모가 1.5인 기하 수열이 있습니다. 진행의 5번째 항 찾기
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
주어진 멤버 수의 합계도 특수 공식을 사용하여 계산됩니다. 기하 수열의 처음 n개 요소의 합은 수열의 n번째 요소와 그 분모의 곱과 수열의 첫 번째 요소 간의 차이를 분모를 1로 나눈 값과 같습니다.
위에서 설명한 공식을 사용하여 b n을 대체하면 고려되는 숫자 시리즈의 처음 n 구성원의 합계 값은 다음과 같은 형식을 취합니다.
예시. 기하 수열은 첫 항이 1인 것으로 시작합니다. 분모는 3으로 설정됩니다. 처음 8항의 합을 구해 봅시다.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
공식의 본질은 무엇입니까?
이 공식을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다. 어느 그의 번호로" N" .
물론 첫 번째 용어를 알아야합니다. 1진행 차이 디, 음, 이러한 매개 변수가 없으면 특정 진행을 기록할 수 없습니다.
이 공식을 외우거나 속이는 것만으로는 충분하지 않습니다. 그 본질을 동화하고 다양한 문제에 공식을 적용하는 것이 필요합니다. 예, 적시에 잊지 마세요, 예 ...) 방법 잊지마- 모르겠어요. 하지만 기억하는 방법필요하시면 힌트를 드리겠습니다. 수업을 끝까지 마스터하는 사람들을 위해.)
따라서 산술 진행의 n번째 구성원의 공식을 다루겠습니다.
일반적으로 공식이란 무엇입니까-우리는 상상합니다.) 산술 진행, 멤버 번호, 진행 차이는 이전 단원에서 명확하게 설명되었습니다. 읽지 않았다면 살펴보십시오. 모든 것이 간단합니다. 무엇인지 알아내는 것이 남아 있습니다. n번째 멤버.
일반적으로 진행은 일련의 숫자로 작성할 수 있습니다.
1, 2, 3, 4, 5, .....
1- 산술 진행의 첫 번째 용어를 나타냅니다. 3- 세 번째 멤버 4- 넷째, 등등. 다섯 번째 용어에 관심이 있다면 5, 백 이십이면-에서 120.
일반적으로 정의하는 방법 어느산술 진행의 멤버, s 어느숫자? 매우 간단합니다! 이와 같이:
엔
그게 다야 산술 진행의 n번째 멤버.문자 n 아래에는 1, 2, 3, 4 등 모든 구성원 수가 한 번에 숨겨져 있습니다.
그리고 그러한 기록은 우리에게 무엇을 제공합니까? 숫자 대신 편지를 적었다고 생각해 보세요.
이 표기법은 산술 진행 작업을 위한 강력한 도구를 제공합니다. 표기법 사용 엔, 우리는 빨리 찾을 수 있습니다 어느회원 어느산술 진행. 그리고 진행 중에 해결해야 할 많은 작업. 당신은 더 볼 수 있습니다.
산술 진행의 n번째 구성원의 공식에서:
| n = a1 + (n-1)d |
1- 산술 진행의 첫 번째 멤버
N- 회원번호.
공식은 모든 진행의 주요 매개변수를 연결합니다. 엔 ; 1; 디그리고 N. 이러한 매개 변수를 중심으로 모든 퍼즐이 진행됩니다.
n번째 수식은 특정 수열을 작성하는 데에도 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 문제에서 진행은 다음 조건에 의해 주어진다고 말할 수 있습니다.
n = 5 + (n-1) 2.
그런 문제는 혼란 스러울 수도 있습니다 ... 시리즈도없고 차이도 없습니다 ... 그러나 조건을 공식과 비교하면이 진행에서 쉽게 알 수 있습니다 1 \u003d 5, d \u003d 2.
그리고 그것은 더 화를 낼 수 있습니다!) 동일한 조건을 취하면 다음과 같습니다. n = 5 + (n-1) 2,예, 괄호를 열고 비슷한 것을 주나요? 우리는 새로운 공식을 얻습니다.
= 3 + 2n.
그것 일반적인 것이 아니라 특정 진행을 위한 것입니다. 여기에 함정이 있습니다. 어떤 사람들은 첫 항이 3이라고 생각합니다. 실제로 첫 번째 멤버는 5이지만 ... 조금 더 낮게 수정 된 공식으로 작업하겠습니다.
진행 과제에는 또 다른 표기법이 있습니다. n+1. 이것은 진행의 "n 더하기 첫 번째" 항입니다. 그 의미는 간단하고 무해합니다.) 이것은 숫자 n보다 하나 더 큰 진행의 구성원입니다. 예를 들어, 어떤 문제에서 우리가 엔다섯 번째 용어, 그 다음 n+1여섯번째 멤버가 됩니다. 등.
가장 자주 지정 n+1재귀 수식에서 발생합니다. 이 끔찍한 단어를 두려워하지 마십시오!) 이것은 단지 산술 진행의 용어를 표현하는 방법입니다 이전 것을 통해.순환 공식을 사용하여 이 형식으로 산술 진행이 주어졌다고 가정합니다.
n+1 = n +3
2 = 1 + 3 = 5+3 = 8
3 = 2 + 3 = 8+3 = 11
네 번째 - 세 번째, 다섯 번째 - 네 번째 등등. 그리고 즉시 세는 방법, 20번째 항을 말하세요. 20? 하지만 절대 안돼!) 19기는 알 수 없지만 20기는 셀 수 없다. 이것이 재귀 공식과 n번째 항의 공식 사이의 근본적인 차이점입니다. 재귀는 다음을 통해서만 작동합니다. 이전용어 및 n 번째 용어의 공식 - ~을 통해 첫번째그리고 허용 곧바로번호로 회원을 찾으십시오. 일련의 전체 숫자를 순서대로 세지 않습니다.
산술 진행에서 재귀 공식은 쉽게 일반 공식으로 바뀔 수 있습니다. 연속 용어 쌍을 세고 차이를 계산합니다. 디,필요한 경우 첫 번째 항을 찾으십시오. 1, 일반적인 형식으로 수식을 작성하고 작업하십시오. GIA에서는 이러한 작업이 종종 발견됩니다.
산술 진행의 n번째 구성원의 공식 적용.
먼저 수식을 직접 적용하는 방법을 살펴보겠습니다. 이전 수업이 끝날 때 문제가 발생했습니다.
산술 진행(an)이 주어집니다. 1=3이고 d=1/6이면 121을 찾으십시오.
이 문제는 수식 없이 단순히 산술 진행의 의미에 따라 풀 수 있습니다. 추가, 예 추가 ... 한두 시간.)
공식에 따르면 솔루션은 1분도 채 걸리지 않습니다. 시간을 정할 수 있습니다.) 우리가 결정합니다.
조건은 공식을 사용하기 위한 모든 데이터를 제공합니다. 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.무엇을 볼 수 남아있다 N.괜찮아요! 우리는 찾을 필요가 121. 여기에 다음과 같이 작성합니다.
주의해주세요! 색인 대신 N특정 숫자가 나타났습니다: 121. 상당히 논리적입니다.) 우리는 산술 진행의 구성원에 관심이 있습니다. 백 이십 일.이것은 우리의 N.바로 이런 뜻이다 N= 121 우리는 괄호 안에 있는 공식으로 더 대체할 것입니다. 수식의 모든 숫자를 대체하고 다음을 계산합니다.
121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
그게 전부입니다. 500번째 회원과 1000번째 회원을 빨리 찾을 수 있었습니다. 우리는 대신 넣어 N문자 "의 인덱스에서 원하는 숫자 ㅏ"그리고 괄호 안에, 우리는 고려합니다.
본질을 상기시켜 드리겠습니다. 이 공식을 사용하면 어느산술 진행의 항 그의 번호로" N" .
스마트하게 문제를 해결해 봅시다. 다음과 같은 문제가 있다고 가정해 보겠습니다.
a 17 =-2인 경우 산술 진행(an)의 첫 항을 찾으십시오. d=-0.5.
어려움이 있으시면 첫 번째 단계를 제안하겠습니다. 산술 진행의 n번째 항에 대한 공식을 적어보세요!예 예. 노트에 바로 손글씨:
| n = a1 + (n-1)d |
이제 수식의 문자를 보면 어떤 데이터가 있고 무엇이 누락되었는지 이해합니까? 사용 가능 d=-0.5,열일곱번째 멤버가 있는데... 다? 그게 다라고 생각하면 문제를 해결할 수 없습니다. 예 ...
우리는 또한 번호가 있습니다 N! 상태에서 17 =-2숨겨진 두 가지 옵션.이것은 17번째 멤버(-2)의 값과 숫자(17)입니다. 저것들. n=17.이 "작은 것"은 종종 머리를 지나치고 그것 없이는 (머리가 아닌 "작은 것" 없이는!) 문제를 해결할 수 없습니다. 비록 ... 그리고 머리도 없습니다.)
이제 데이터를 공식으로 어리석게 대체할 수 있습니다.
17 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)
바로 이거 야, 17우리는 그것이 -2라는 것을 압니다. 좋아요, 넣어봅시다:
-2 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)
본질적으로 그게 전부입니다. 수식에서 산술 진행의 첫 번째 항을 표현하고 계산합니다. 답을 얻습니다. 1 = 6.
공식을 작성하고 단순히 알려진 데이터를 대체하는 이러한 기술은 간단한 작업에 많은 도움이 됩니다. 물론 수식에서 변수를 표현할 수 있어야 하는데 어떡하지!? 이 기술 없이는 수학을 전혀 공부할 수 없습니다 ...
또 다른 인기 있는 문제:
a 1 =2인 경우 산술 진행(an)의 차를 구합니다. 15 =12.
우리 뭐하는거야? 당신은 놀랄 것입니다, 우리는 공식을 씁니다!)
| n = a1 + (n-1)d |
우리가 알고 있는 것을 고려하십시오: a1=2; 15=12; 그리고 (특별 하이라이트!) n=15. 다음 수식으로 자유롭게 대체하십시오.
12=2 + (15-1)d
산술을 해보자.)
12=2 + 14d
디=10/14 = 5/7
이것이 정답입니다.
그래서 작업 , 1그리고 디결정했다. 숫자를 찾는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다.
숫자 99는 산술 수열(an)의 구성원이며, 여기서 a 1 =12입니다. d=3. 이 구성원의 번호를 찾으십시오.
알려진 수량을 n번째 항의 공식으로 대체합니다.
n = 12 + (n-1) 3
언뜻 보기에 여기에는 두 가지 알려지지 않은 양이 있습니다. n과 n.하지만 엔번호가 있는 진행의 일부 구성원입니다. N... 그리고 우리가 알고 있는 진보의 이 멤버! 99입니다. 우리는 그의 번호를 모릅니다. N,따라서 이 번호도 찾아야 합니다. 진행 기간 99를 다음 공식으로 대체합니다.
99 = 12 + (n-1) 3
우리는 공식에서 표현 N, 우리는 생각한다. 답을 얻습니다. n=30.
이제 동일한 주제에 대한 문제이지만 더 창의적입니다.)
숫자 117이 산술 진행(an)의 구성원인지 확인합니다.
-3,6; -2,4; -1,2 ...
수식을 다시 작성해 봅시다. 매개 변수가 없습니까? 흠.. 왜 눈이 필요해?) 진행의 첫 번째 멤버가 보이나요? 우리는보다. 이것은 -3.6입니다. 다음과 같이 안전하게 작성할 수 있습니다. 1 \u003d -3.6.차이점 디시리즈에서 결정할 수 있습니까? 산술 진행의 차이점이 무엇인지 알면 쉽습니다.
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
예, 가장 간단한 작업을 수행했습니다. 알 수없는 번호를 처리하는 것이 남아 있습니다. N그리고 이해할 수 없는 숫자 117. 앞선 문제에서는 적어도 주어진 수열의 항이라는 것은 알고 있었다. 하지만 여기서 우리는 그것도 모릅니다 ... 어떻게 될까요!? 글쎄, 어떻게, 어떻게 ... 창의력을 발휘하십시오!)
우리 가정하다 117은 결국 우리 발전의 구성원입니다. 모르는 번호로 N. 그리고 앞의 문제처럼 이 숫자를 찾아봅시다. 저것들. 우리는 공식을 쓰고 (yes-yes!)) 숫자를 대체합니다.
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
다시 우리는 공식에서 표현N, 우리는 다음을 계산하고 얻습니다.
이런! 숫자가 나왔다 분수! 101.5. 그리고 진행의 분수 수 없습니다.우리는 어떤 결론을 내립니까? 예! 117번 아니다우리 진행의 일원. 101번째 멤버와 102번째 멤버 사이 어딘가입니다. 숫자가 자연수로 판명된 경우, 즉 양의 정수이면 숫자는 찾은 숫자가 있는 진행의 구성원이 됩니다. 그리고 우리의 경우 문제에 대한 답은 다음과 같습니다. 아니요.
실제 버전의 GIA를 기반으로 한 작업:
산술 진행은 다음 조건에 의해 제공됩니다.
n \u003d -4 + 6.8n
진행의 첫 번째 항과 열 번째 항을 찾으십시오.
여기서 진행은 특이한 방식으로 설정됩니다. 어떤 종류의 공식 ... 발생합니다.) 그러나이 공식 (위에서 쓴 것처럼) - 또한 산술 진행의 n번째 구성원의 공식입니다!그녀는 또한 허용 번호로 진행의 모든 구성원을 찾으십시오.
첫 번째 멤버를 찾고 있습니다. 생각하는 사람. 첫 항이 마이너스 4라는 것은 치명적인 착각입니다!) 문제의 공식이 수정되었기 때문입니다. 산술 진행의 첫 항 숨겨진.아무것도, 지금 찾을 수 있습니다.)
이전 작업과 마찬가지로 n=1이 공식에:
1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
여기! 첫 항은 -4가 아니라 2.8입니다!
마찬가지로 10번째 항을 찾고 있습니다.
10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
그게 전부입니다.
그리고 지금, 이 줄까지 읽은 사람들에게 약속된 보너스가 있습니다.)
GIA 또는 통합 국가 시험의 어려운 전투 상황에서 산술 진행의 n 번째 멤버의 유용한 공식을 잊었다고 가정합니다. 뭔가 떠오르지만 어쩐지 불확실합니다 ... 여부 N거기, 또는 n+1, 또는 n-1...어떻게!?
침착한! 이 공식은 유도하기 쉽습니다. 그다지 엄격하지는 않지만 자신감과 올바른 결정을 내리기에 충분합니다!) 결론을 위해 산술 진행의 기본 의미를 기억하고 몇 분의 시간을 갖는 것으로 충분합니다. 그림만 그리면 됩니다. 명확성을 위해.
숫자 축을 그리고 그 위에 첫 번째 축을 표시합니다. 두 번째, 세 번째 등 회원. 그리고 차이점에 주목하십시오 디회원간. 이와 같이:
우리는 그림을 보고 생각합니다. 두 번째 용어는 무엇입니까? 초 하나 디:
ㅏ 2 =a 1 + 1 디
세 번째 용어는 무엇입니까? 제삼용어는 첫 번째 용어를 더한 것과 같습니다. 둘 디.
ㅏ 3 =a 1 + 2 디
이해하십니까? 나는 일부 단어를 굵게 표시하지 않습니다. 자, 한 걸음 더.)
네 번째 용어는 무엇입니까? 네번째용어는 첫 번째 용어를 더한 것과 같습니다. 삼 디.
ㅏ 4 =a 1 + 3 디
간격의 수, 즉 디, 언제나 찾고 있는 회원의 수보다 하나 적은 수 N. 즉, 숫자까지 n, 간격의 수될거야 n-1.따라서 공식은 다음과 같습니다(옵션 없음!).
| n = a1 + (n-1)d |
일반적으로 시각적 그림은 수학의 많은 문제를 푸는 데 매우 유용합니다. 사진을 무시하지 마십시오. 그러나 그림을 그리는 것이 어렵다면 ... 공식 만!) 또한 n 번째 용어의 공식을 사용하면 방정식, 부등식, 시스템 등 강력한 수학 무기 전체를 솔루션에 연결할 수 있습니다. 방정식에 그림을 넣을 수 없습니다...
독립적인 결정을 위한 작업.
워밍업:
1. 산술 진행(an)에서 a 2 =3; 5 \u003d 5.1. 3을 찾으십시오.
힌트: 그림으로 보면 20초면 문제가 풀린다... 공식으로 보면 더 어렵다. 그러나 공식을 마스터하는 데 더 유용합니다.) 섹션 555에서 이 문제는 그림과 공식으로 모두 해결됩니다. 차이를 느껴봐!)
그리고 이것은 더 이상 워밍업이 아닙니다.)
2. 산술 진행에서 (an) a 85 \u003d 19.1; 236 =49, 3. 3을 찾습니다.
뭐, 그림 그리기 꺼려?) 그래도! 공식에서 더 낫습니다. 예 ...
3. 산술 진행은 다음 조건으로 제공됩니다.1 \u003d -5.5; n+1 = n +0.5. 이 수열의 125번째 항을 찾으십시오.
이 작업에서는 진행이 반복되는 방식으로 제공됩니다. 하지만 125번째 항까지 세어보니... 아무나 그런 위업을 할 수 있는 것은 아닙니다.) 하지만 n번째 항의 공식은 모두의 힘 안에 있습니다!
4. 주어진 산술 진행(an):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
진행의 가장 작은 양수 항의 수를 찾으십시오.
5. 작업 4의 조건에 따라 진행의 가장 작은 양수 멤버와 가장 큰 음수 멤버의 합을 찾습니다.
6. 증가하는 산술 수열의 5항과 12항의 곱은 -2.5이고 3항과 11항의 합은 0입니다. 14를 찾으십시오.
가장 쉬운 작업은 아닙니다. 예 ...) 여기서 "손가락으로"하는 방법은 작동하지 않습니다. 수식을 작성하고 방정식을 풀어야 합니다.
답변(혼란):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
일어난? 멋지다!)
모든 것이 잘 풀리지 않습니까? 일어난다. 그건 그렇고, 마지막 작업에는 미묘한 점이 하나 있습니다. 문제를 읽을 때 주의가 필요합니다. 그리고 논리.
이 모든 문제에 대한 해결책은 섹션 555에서 자세히 논의됩니다. 그리고 네 번째의 판타지 요소, 여섯 번째의 미묘한 순간, n 번째 용어의 공식에 대한 문제를 해결하기 위한 일반적인 접근 방식-모든 것이 그려져 있습니다. 추천합니다.
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