ウシャコフメダルは、この賞に移管された数少ない賞の1つです...
親愛なる生徒の皆さん！ CJSC Manufacturing Company SKB という会社が設立されたことをお知らせします。
はい、はい： 等差数列- これらはあなたのためのおもちゃではありません:) さて、皆さん、もしあなたがこの文章を読んでいるなら、内部のキャップ証拠は、あなたが等差数列が何であるかをまだ知らないが、本当に（いや、このように：すっごい！）知りたいと思っていることを示しています。 したがって、長い前置きであなたを苦しめるつもりはなく、すぐに本題に入ります。
まず、いくつかの例を示します。 いくつかの数値セットを見てみましょう。
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
これらすべてのセットに共通するものは何でしょうか? 一見すると何もありません。 しかし、実際には何かがあります。 つまり: 次の各要素は前の要素と同じ番号だけ異なります.
自分で判断してください。 最初のセットは単純に連続した番号で、次の各セットは前のセットより 1 つ大きくなります。 2 番目のケースでは、隣接する数値の差はすでに 5 ですが、この差は依然として一定です。 3 番目のケースでは、根がまったくありません。 ただし、$2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ および $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$、つまり この場合、次の各要素は単に $\sqrt(2)$ ずつ増加します (この数値が非合理的であることを恐れないでください)。
したがって、このようなシーケンスはすべて等差数列と呼ばれます。 厳密な定義を与えてみましょう。
意味。 次の各数値が前の数値とまったく同じ量だけ異なる一連の数値を等差数列と呼びます。 数値が異なるまさにその量は進行差と呼ばれ、ほとんどの場合、文字 $d$ で示されます。
表記法: $\left(((a)_(n)) \right)$ は進行そのもの、$d$ はその差分です。
そして、重要な注意事項がいくつかあります。 まず、進行のみが考慮されます 注文した数値のシーケンス: 書き込まれた順序で厳密に読み取ることが許可されており、それ以外は許可されません。 番号を並べ替えたり交換したりすることはできません。
第二に、シーケンス自体は有限または無限のいずれかになります。 たとえば、集合 (1; 2; 3) は明らかに有限の等差数列です。 しかし、精神（1; 2; 3; 4; ...）で何かを書くと、これはすでに無限の進歩です。 4 の後の省略記号は、さらに多くの数字が来ることを示唆しているようです。 たとえば、無限にたくさんあります:)
また、進行状況が増加または減少する可能性があることにも注意してください。 増加するもの、つまり同じセット (1; 2; 3; 4; ...) がすでに見られました。 減少進行の例を次に示します。
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
分かった、分かった： 最後の例あまりにも複雑に思えるかもしれません。 しかし、残りの部分は、あなたも理解していると思います。 したがって、新しい定義を導入します。
意味。 等差数列は次のように呼ばれます。
- 次の各要素が前の要素より大きい場合は増加します。
- 逆に、後続の各要素が前の要素よりも小さい場合は減少します。
さらに、いわゆる「静止」シーケンスがあり、それらは同じ繰り返し番号で構成されます。 たとえば、(3; 3; 3; ...)。
残る疑問は 1 つだけです。増加の進行と減少の進行をどのように区別するかです。 幸いなことに、ここでのすべては数値 $d$ の符号のみに依存します。 進行の違い:
- $d \gt 0$ の場合、進行度は増加します。
- $d \lt 0$ の場合、進行度は明らかに減少しています。
- 最後に、$d=0$ の場合があります。この場合、進行全体が定常シーケンスに還元されます。 同じ数字: (1; 1; 1; 1; ...) など
上記の 3 つの減少数の差 $d$ を計算してみましょう。 これを行うには、隣接する 2 つの要素 (たとえば、1 番目と 2 番目) を取得し、右側の数値から左側の数値を減算するだけで十分です。 次のようになります。
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$。
ご覧のとおり、3 つのケースすべてで、その差は実際にはマイナスであることが判明しました。 定義がほぼわかったので、今度は進行がどのように記述され、どのような特性があるかを理解します。
進行項と漸化式
シーケンスの要素は交換できないため、番号を付けることができます。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ））、... \右\）\]
このセットの個々の要素は、進行のメンバーと呼ばれます。 これらは、最初のメンバー、2 番目のメンバーなどの番号で示されます。
さらに、すでにご存知のとおり、数列の隣接する項は次の式で関連付けられます。
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
つまり、数列の $n$ 番目の項を見つけるには、 $n-1$ 番目の項とその差 $d$ を知る必要があります。 この式はリカレントと呼ばれます。この式を使用すると、前の番号 (実際には前のすべての番号) を知っているだけで任意の番号を見つけることができるからです。 これは非常に不便なので、計算を最初の項と差に換算する、より巧妙な公式があります。
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
おそらく、あなたはすでにこの公式に出会ったことがあるでしょう。 彼らはあらゆる種類の参考書や問題集でそれを与えることを好みます。 そして、賢明な数学の教科書の中で、これは最初のものの1つです。
ただし、少し練習することをお勧めします。
タスクその1。 $((a)_(1))=8,d=-5$ の場合、等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ の最初の 3 項を書き留めます。
解決。 したがって、最初の項 $((a)_(1))=8$ と数列の差 $d=-5$ がわかります。 先ほど与えた式を使用して、$n=1$、$n=2$、$n=3$ を代入してみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \終了(整列)\]
答え: (8; 3; −2)
それでおしまい！ 注意してください: 私たちの進歩は減少しています。
もちろん、$n=1$ を代入することはできません。最初の項はすでにわかっています。 しかし、unity を代用することで、最初の項でも式が機能することを確信しました。 他のケースでは、すべてが平凡な算術に終わった。
タスクその2。 等差数列の第 7 項が -40 に等しく、第 17 項が -50 に等しい場合、その最初の 3 つの項を書き留めます。
解決。 問題の状態を馴染みのある言葉で書いてみましょう。
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \右。\]
これらの要件を同時に満たす必要があるため、システム記号を付けました。 ここで、2 番目の方程式から最初の式を引くと (システムがあるので、これを行う権利があります)、次の結果が得られることに注意してください。
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1。 \\ \終了(整列)\]
これで、進行度の違いを見つけるのがとても簡単になります。 残っているのは、見つかった数値をシステムの方程式のいずれかに代入することだけです。 たとえば、最初の例では次のようになります。
\[\begin(行列) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \下矢印 \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34。 \\ \エンド(行列)\]
最初の項と違いがわかったので、残りは 2 番目と 3 番目の項を見つけることです。
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36。 \\ \終了(整列)\]
準備ができて！ 問題は解決されました。
答え: (−34; −35; −36)
私たちが発見した数列の興味深い特性に注目してください。$n$th と $m$th の項を取り、それらを相互に減算すると、数列の差に $n-m$ の数を乗算した値が得られます。
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
シンプルだけどとても 有用な特性、これは必ず知っておく必要があります。その助けを借りて、多くの進行上の問題の解決を大幅にスピードアップできます。 これの明確な例を次に示します。
タスクその3。 等差数列の第 5 項は 8.4、第 10 項は 14.4 です。 この数列の第 15 項を求めます。
解決。 $((a)_(5))=8.4$、$((a)_(10))=14.4$ であり、$((a)_(15))$ を見つける必要があるため、次の点に注意します。
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d。 \\ \終了(整列)\]
しかし、条件 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ により、$5d=6$ となり、次のようになります。
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4。 \\ \終了(整列)\]
答え: 20.4
それでおしまい！ 連立方程式を作成したり、最初の項と差を計算したりする必要はなく、すべてがわずか数行で解決されました。
次に、別の種類の問題、つまり進行の否定的な項と肯定的な項の検索を見てみましょう。 進行が増加し、その最初の項が否定的な場合、遅かれ早かれ肯定的な項がその中に現れることは周知の事実です。 そしてその逆も同様です。減少進行の条件は遅かれ早かれマイナスになります。
同時に、要素を順番に通過して、この瞬間を「正面から」見つけることが常に可能であるとは限りません。 多くの場合、問題は、公式を知らなければ計算に数枚の紙が必要になるような方法で書かれており、答えを見つけるまでにただ眠ってしまうだけです。 したがって、これらの問題をより迅速に解決できるようにしてみましょう。
タスクその4。 等差数列 -38.5 には負の項がいくつありますか。 -35.8; ...?
解決。 したがって、$((a)_(1))=-38.5$、$((a)_(2))=-35.8$ となり、ここから違いがすぐにわかります。
差が正であるため、進行度が増加することに注意してください。 最初の項は負であるため、実際、ある時点で正の数に遭遇するでしょう。 唯一の問題は、それがいつ起こるかということです。
項の負性がどのくらいの期間 (つまり、自然数 $n$ まで) 残るかを調べてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \そうです。 \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15。 \\ \終了(整列)\]
最後の行については説明が必要です。 したがって、$n \lt 15\frac(7)(27)$ であることがわかります。 一方、数値の整数値のみ (さらに $n\in \mathbb(N)$) で満足するため、許容される最大の数値は正確に $n=15$ となり、決して 16 ではありません。 。
タスクNo.5。 等差数列では $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ となります。 この数列の最初の正の項の数を求めます。
これは前の問題とまったく同じ問題になりますが、$((a)_(1))$ はわかりません。 しかし、隣接する項 $((a)_(5))$ と $((a)_(6))$ は既知であるため、進行の違いを簡単に見つけることができます。
さらに、標準的な公式を使用して、第 5 項から第 1 項までとその差を表現してみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162。 \\ \終了(整列)\]
ここで、前のタスクと同様に作業を進めます。 シーケンスのどの時点で正の数が現れるかを調べてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56。 \\ \終了(整列)\]
この不等式の最小整数解は 56 です。
注意してください: 最後のタスクでは、すべてが厳密な不等式に帰着したため、オプション $n=55$ は適していません。
単純な問題を解決する方法を学んだので、より複雑な問題に移りましょう。 しかしその前に、等差数列のもう 1 つの非常に便利な特性を勉強しましょう。これは将来、多くの時間を節約し、不等セルを節約するでしょう :)。
算術平均と等しいインデント
増加する等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ のいくつかの連続する項を考えてみましょう。 それらを数直線上にマークしてみましょう。
数直線上の等差数列の項$((a)_(1)) ,\ ではなく、任意の用語 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ を特にマークしました。 ((a)_(2))、\ ((a)_(3))$ など なぜなら、これから説明するルールはどの「セグメント」にも同じように機能するからです。
そしてルールはとても簡単です。 漸化式を覚えて、マークされたすべての項についてそれを書きましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \終了(整列)\]
ただし、これらの等式は別の方法で書き直すことができます。
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \終了(整列)\]
だから何？ そして、項 $((a)_(n-1))$ と $((a)_(n+1))$ が $((a)_(n)) $ から同じ距離にあるという事実。 そして、この距離は $d$ に等しい。 $((a)_(n-2))$ と $((a)_(n+2))$ という項についても同じことが言えます - これらは $((a)_(n) からも削除されます)$ は $2d$ に等しい同じ距離にあります。 私たちは無限に続けることができますが、その意味は絵によってよく示されています
進行の条件は中心から同じ距離にあります これは私たちにとって何を意味するのでしょうか？ これは、隣接する数値がわかっていれば $((a)_(n))$ を見つけることができることを意味します。
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
私たちは、等差数列のすべての項が、隣接する項の算術平均に等しいという素晴らしいステートメントを導き出しました。 さらに: $((a)_(n))$ から 1 ステップではなく、$k$ ステップずつ左右に後退することができます。その場合でも、式は正しいままです。
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
それらの。 $((a)_(100))$ と $((a)_(200))$ がわかっていれば、いくつかの $((a)_(150))$ を簡単に見つけることができます。 (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$。 一見すると、この事実は何の役にも立たないように思えるかもしれません。 ただし、実際には、多くの問題は算術平均を使用するように特別に調整されています。 ご覧ください:
タスクその6。 数値 $-6((x)^(2))$、$x+1$、および $14+4((x)^(2))$ が連続する項である $x$ の値をすべて検索します。等差数列 (示された順序で)。
解決。 これらの数値は数列のメンバーであるため、算術平均条件が満たされます。中心要素 $x+1$ は、隣接する要素に関して表現できます。
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \終了(整列)\]
クラシックになりました 二次方程式。 その根、$x=2$ と $x=-3$ が答えです。
答え: -3; 2.
タスクNo.7。 数値 $-1;4-3;(()^(2))+1$ が等差数列を形成する $$ の値を (この順序で) 見つけます。
解決。 再び、隣接する項の算術平均を通じて中間項を表現してみましょう。
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \右。; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \終了(整列)\]
またまた二次方程式。 ここでも、$x=6$ と $x=1$ という 2 つのルートがあります。
答え: 1; 6.
問題を解決する過程で、ひどい数字が出てきた場合、または見つかった答えの正しさについて完全に確信が持てない場合は、問題を正しく解決できたかどうかを確認できる素晴らしいテクニックがあります。
問題番号 6 で、答え 3 と 2 を受け取ったとします。これらの答えが正しいことをどのように確認できるでしょうか。 それらを元の状態に接続して、何が起こるか見てみましょう。 3 つの数値 ($-6(()^(2))$、$+1$、$14+4(()^(2))$) があることを思い出してください。これらは等差数列を形成する必要があります。 $x=-3$ を代入してみましょう。
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50。 \終了(整列)\]
−54という数字が得られました。 −2; 50 と 52 の差は間違いなく等差数列です。 $x=2$ についても同じことが起こります。
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30。 \終了(整列)\]
再び進行しますが、差は 27 です。したがって、問題は正しく解決されました。 2 番目の問題をご自身で確認したい場合は、すぐに言っておきますが、そこもすべて正しいです。
一般に、最後の問題を解決しているときに、別の問題に遭遇しました。 興味深い事実これも覚えておく必要があります。
3 つの数値が 2 番目の数値が最初と最後の数値の算術平均である場合、これらの数値は等差数列を形成します。
将来的には、このステートメントを理解することで、問題の状況に基づいて必要な展開を文字通り「構築」できるようになります。 しかし、そのような「構築」に取り組む前に、すでに議論したことから直接派生するもう1つの事実に注意を払う必要があります。
要素のグループ化と合計
もう一度数値軸に戻りましょう。 おそらくその間に、進行の何人かのメンバーがいることに注目してみましょう。 他のメンバーにとっても価値があります:
数直線上にマークされた要素が 6 つあります$((a)_(n))$ と $d$ で「左のしっぽ」を、$((a)_(k))$ と $d$ で「右のしっぽ」を表現してみます。 それはとても簡単です:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d。 \\ \終了(整列)\]
ここで、次の金額が等しいことに注意してください。
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \終了(整列)\]
簡単に言うと、進行の 2 つの要素 (合計で $S$ に等しい) を開始点として考え、次にこれらの要素から反対方向 (互いに近づくか、逆に遠ざかる) にステップを開始すると、次のようになります。それから 私たちがつまずくであろう要素の合計も等しいでしょう$S$。 これは、次の図で最も明確に表すことができます。
等しいインデントは同じ量を与えます 理解 この事実より根本的に問題を解決できるようになります ハイレベル上で検討したものよりも困難な場合があります。 たとえば、次のようなものがあります。
タスクNo.8。 最初の項が 66 で、2 番目と 12 番目の項の積が可能な限り最小となる等差数列の差を求めます。
解決。 知っていることをすべて書き留めてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min 。 \終了(整列)\]
したがって、進行の差 $d$ はわかりません。 実際には、積 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ は次のように書き換えることができるため、ソリューション全体はその違いを中心に構築されます。
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)。 \終了(整列)\]
タンク内の人々へ: 私は 2 番目の括弧から合計乗数 11 を取り出しました。 したがって、必要な積は変数 $d$ に関する二次関数になります。 したがって、関数 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ を考えます。そのグラフは上に枝がある放物線になります。 括弧を展開すると、次のようになります。
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
ご覧のとおり、最高項の係数は 11 です。これは正の数なので、実際には上向きの枝を持つ放物線を扱っていることになります。
スケジュール 二次関数- 放物線
注意してください: この放物線は、横軸 $((d)_(0))$ の頂点で最小値をとります。 もちろん、この横軸は標準的なスキーム ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ という式があります) を使用して計算できますが、次のように注意する方がはるかに合理的です。目的の頂点が放物線の軸対称上にあるため、点 $((d)_(0))$ は方程式 $f\left(d \right)=0$ の根から等距離にあります。
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6。 \\ \終了(整列)\]
だからこそ、私はブラケットを開くことを特に急いでいませんでした。元の形では、ルートは非常に簡単に見つけることができました。 したがって、横軸は数値 -66 と -6 の算術平均に等しくなります。
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
発見された数字は何をもたらすのでしょうか? これを使用すると、必要な積は最小値になります (ちなみに、$((y)_(\min ))$ を計算したことはありません。これは必要ありません)。 同時に、この数値は元の進行との差です。 私たちは答えを見つけました:)
答え: −36
タスクNo.9。 数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac(1)(6)$ の間に 3 つの数値を挿入して、これらの数値と一緒に等差数列を形成します。
解決。 基本的に、最初と最後の数字がすでにわかっている 5 つの数字のシーケンスを作成する必要があります。 欠落している数値を変数 $x$、$y$、$z$ で表しましょう。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
数値 $y$ は数列の「中間」であることに注意してください。数値 $x$ と $z$、および数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac から等距離にあります。 (1)(6)$。 そして、$x$ と $z$ という数字からすると、 現時点で$y$ を取得できない場合、進行の終わりでは状況が異なります。 算術平均を思い出してみましょう。
$y$ がわかったので、残りの数値を求めます。 $x$ は数値 $-\frac(1)(2)$ と先ほど見つけた $y=-\frac(1)(3)$ の間にあることに注意してください。 それが理由です
同様の推論を使用して、残りの数を求めます。
準備ができて！ 3 つの数字がすべて見つかりました。 元の数字の間に入れる順番で答えに書きましょう。
答え: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
タスクNo.10。 挿入された数字の最初、2 番目、最後の数字の合計が 56 であることがわかっている場合、数字 2 と 42 の間にいくつかの数字を挿入し、これらの数字と一緒に等差数列を形成します。
解決。 さらに複雑な問題ですが、これは前述のものと同じスキームに従って、算術平均によって解決されます。 問題は、正確にいくつの数値を挿入する必要があるかがわからないことです。 したがって、すべてを挿入した後は正確に $n$ の数値が存在し、それらの最初の数値は 2、最後の数値は 42 であると確実に仮定しましょう。この場合、必要な等差数列は次の形式で表すことができます。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
ただし、数値 $((a)_(2))$ と $((a)_(n-1))$ は、端の数値 2 と 42 から互いに 1 ステップずつ取得されることに注意してください。つまり 。 シーケンスの中心に移動します。 そして、これが意味するのは、
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
ただし、上に書いた式は次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \終了(整列)\]
$((a)_(3))$ と $((a)_(1))$ がわかれば、進行の違いを簡単に見つけることができます。
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\右矢印 d=5。 \\ \終了(整列)\]
残っているのは、残りの項を見つけることだけです。
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \終了(整列)\]
したがって、すでに 9 番目のステップで、シーケンスの左端、つまり数値 42 に到達します。合計で、挿入する必要がある数値は 7 つだけです。 12; 17; 22; 27; 32; 37.
答え: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
進行を伴う文章の問題
最後に、いくつかの比較的単純な問題について考えてみたいと思います。 そうですね、とても単純なことです。学校で数学を勉強していて、上に書かれていることを読んでいないほとんどの生徒にとって、これらの問題は難しいように思えるかもしれません。 ただし、これらは OGE や数学の統一州試験で出題されるタイプの問題なので、よく理解しておくことをお勧めします。
タスクNo.11。 チームは 1 月に 62 個の部品を作成しました。 来月前回よりも 14 個多くの部品を作成しました。 チームは 11 月に何個のパーツを作成しましたか?
解決。 明らかに、月ごとにリストされる部品の数は等差数列の増加を表します。 さらに：
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
11 月は年の 11 番目の月なので、$((a)_(11))$ を見つける必要があります。
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
したがって、11月に202個の部品が生産されることになります。
タスクNo.12。 製本ワークショップでは、1月に216冊の本を製本し、その後の各月では前月よりも4冊多く製本しました。 12月のワークショップで何冊製本しましたか？
解決。 すべて同じです:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
12 月は 1 年の最後の 12 月であるため、$((a)_(12))$ を探しています。
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
これが答えです。12 月には 260 冊の本が製本されます。
さて、ここまで読んでいただいた方には、急いでお祝いを申し上げたいと思います。あなたは等差数列における「若手戦士のコース」を無事に完了しました。 次のレッスンに進んでいただいても問題ありません。そこでは、進行の合計の公式と、そこから得られる重要で非常に役立つ結果について学びます。
決断を始める前に 等差数列の問題, 等差数列は数列の特殊なケースであるため、数列とは何かを考えてみましょう。
数値シーケンスは数値セットであり、その各要素には独自のシリアル番号があります。。 このセットの要素はシーケンスのメンバーと呼ばれます。 シーケンス要素のシリアル番号はインデックスによって示されます。
シーケンスの最初の要素。
シーケンスの 5 番目の要素。
- シーケンスの「n 番目」の要素、つまり 番号 n の要素「キューに待機中」。
シーケンス要素の値とそのシーケンス番号の間には関係があります。 したがって、シーケンスは、引数がシーケンスの要素の序数である関数と考えることができます。 言い換えれば、次のように言えます。 シーケンスは自然引数の関数です。
シーケンスは次の 3 つの方法で設定できます。
1 . 順序はテーブルを使用して指定できます。この場合、シーケンスの各メンバーの値を設定するだけです。
たとえば、ある人が個人的な時間管理を始めることにし、まず、1 週間に VKontakte に費やす時間を数えてみることにしました。 時間をテーブルに記録すると、次の 7 つの要素からなるシーケンスが得られます。
表の最初の行は曜日を示し、2 行目は時間を分単位で示します。 つまり、月曜日には誰かがVKontakteに125分を費やし、木曜日には248分、金曜日にはわずか15分を費やしたことがわかります。
2 . 数列は、n 項の式を使用して指定できます。
この場合、シーケンス要素の値のその番号への依存性は、式の形式で直接表現されます。
たとえば、 の場合、
与えられた番号を持つシーケンス要素の値を求めるには、要素番号を n 番目の項の式に代入します。
引数の値がわかっている場合に関数の値を見つける必要がある場合にも、同じことを行います。 引数の値を関数方程式に代入します。
たとえば、 
、 それ
任意の数値関数とは異なり、シーケンスでは引数は自然数のみであることにもう一度注意してください。
3 。 シーケンスは、シーケンスのメンバー番号 n の値の、前のメンバーの値への依存性を表す式を使用して指定できます。
この場合、シーケンス メンバーの値を見つけるには、その番号だけを知っているだけでは十分ではありません。 シーケンスの最初のメンバーまたは最初のいくつかのメンバーを指定する必要があります。 
, 
たとえば、次のシーケンスを考えてみましょう シーケンスメンバーの値を見つけることができます一つ一つ
、3番目から: つまり、シーケンスの n 番目の項の値を見つけるたびに、前の 2 つの項に戻ります。 シーケンスを指定するこのメソッドは次のように呼ばれます。再発する 、ラテン語から繰り返し
- 戻ってくる。
これで等差数列を定義できるようになりました。 等差数列は、数列の単純な特殊なケースです。 は数値シーケンスであり、2 番目から始まる各メンバーは、同じ番号に前のメンバーを加算したものと等しくなります。
番号が呼ばれます 等差数列の違い。 等差数列の差は、正、負、またはゼロに等しくなります。
if title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} 増加する.
たとえば、2; 5; 8; 11;...
の場合、等差数列の各項は前の項より小さく、数列は次のようになります。 減少する.
たとえば、2; -1; -4; -7;...
の場合、数列のすべての項は同じ数値に等しく、数列は次のようになります。 静止した.
たとえば、2;2;2;2;...
等差数列の主な特性:
写真を見てみましょう。
それがわかります
、そして同時に
これら 2 つの等式を追加すると、次のようになります。
.
等式の両辺を 2 で割ります。
したがって、2 番目から始まる等差数列の各要素は、隣接する 2 つの要素の算術平均に等しくなります。
さらに、以来、
、そして同時に
、 それ
、したがって
title="k>l で始まる等差数列の各項">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
第 3 項の式。
等差数列の項が次の関係を満たすことがわかります。
そして最後に
得た n項の公式。
重要！等差数列の任意の要素は、and を使用して表現できます。 最初の項と等差数列の違いがわかれば、どの項も見つけることができます。
等差数列の n 項の合計。
任意の等差数列では、極値の項から等距離にある項の合計は互いに等しくなります。
n項の等差数列を考えてみましょう。 この数列の n 項の合計が に等しいとします。
数列の項を最初に数値の昇順に並べ、次に降順に並べてみましょう。
ペアで追加しましょう:
各括弧内の合計は 、ペアの数は n です。
得られるものは次のとおりです。
それで、 等差数列の n 項の合計は、次の式を使用して求めることができます。
考えてみましょう 等差数列の問題を解く.
1 . 数列は、n 番目の項の式で与えられます。 . この数列が等差数列であることを証明してください。
数列の 2 つの隣接する項間の差が同じ数に等しいことを証明しましょう。
シーケンスの 2 つの隣接するメンバー間の差は、その数に依存せず、定数であることがわかりました。 したがって、定義上、このシーケンスは等差数列です。
2 . 等差数列 -31 を指定すると、 -27;...
a) 進行の 31 項を見つけます。
b) この数列に数字 41 が含まれているかどうかを判断します。
A)それはわかります。
進行のための n 項の公式を書き留めてみましょう。
一般的に 
私たちの場合 
、 それが理由です 
オンライン計算機。
等差数列を解く。
与えられた: a n 、 d 、 n
検索: a 1
この数学プログラムは、ユーザー指定の数値 \(a_n, d\) と \(n\) に基づいて等差数列の \(a_1\) を求めます。
\(a_n\) や \(d\) は整数だけでなく分数も指定できます。 また、分数は小数の形式（\(2.5\)）と普通の分数の形式（\(-5\frac(2)(7)\)）で入力できます。
プログラムは問題の答えを与えるだけでなく、解決策を見つけるプロセスも表示します。
このオンライン計算機は高校生に役立つかもしれません 中学校に備えて テスト統一州試験の前に知識をテストする試験では、保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理することができます。 それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、できるだけ早く終わらせたいだけですか？宿題
数学か代数学でしょうか？ この場合、詳細な解決策を備えた当社のプログラムを使用することもできます。
このようにして、問題解決の分野での教育レベルが向上しながら、自分自身のトレーニングや弟や妹のトレーニングを行うことができます。
数値入力のルールに慣れていない場合は、よく理解しておくことをお勧めします。
数字の入力ルール
\(a_n\) や \(d\) は整数だけでなく分数も指定できます。
数値 \(n\) には正の整数のみを使用できます。
小数部を入力するときのルール。
小数部の整数部と小数部は、ピリオドまたはカンマで区切ることができます。 たとえば、次のように入力できます。小数
それで2.5かそこら2.5
普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数のみです。
分母を負にすることはできません。 /
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。
入力：
結果: \(-\frac(2)(3)\)全体の部分 &
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。
アンパサンドで分数と区切ります。
1 を見つける
この問題を解決するために必要な一部のスクリプトが読み込まれていないため、プログラムが動作しない可能性があることが判明しました。
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忘れないで どのタスクを指定するかあなたが何を決めるか フィールドに入力します.
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ちょっとした理論。
数列
ナンバリングは日常業務でよく使用されます さまざまなアイテム表示される順序を示します。 たとえば、各通りの家には番号が付けられています。 図書館では、読者の購読に番号が付けられ、割り当てられた番号順に特別なカード ファイルに並べられます。
貯蓄銀行では、預金者の個人口座番号を使用して、この口座を簡単に見つけて、その預金額を確認できます。 口座番号 1 には a1 ルーブルの預金が含まれ、口座番号 2 には a2 ルーブルの預金が含まれているとします。 数列
a 1 、 a 2 、 a 3 、 ...、 a N
ここで、N はすべてのアカウントの数です。 ここで、1 から N までの各自然数 n には、数値 a n が対応付けられています。
数学も勉強しました 無限の数列:
a 1 、 a 2 、 a 3 、 ...、 a n 、 ... 。
数字 a 1 と呼ばれる 数列の最初の項、番号 a 2 - シーケンスの第 2 項、番号 a 3 - 数列の第 3 項等
a n という数字は シーケンスの n 番目 (n 番目) のメンバー、自然数 n はその 番号.
たとえば、自然数 1、4、9、16、25、...、n 2、(n + 1) 2、... の平方数列では、1 = 1 が数列の最初の項になります。 そして、n = n 2 は、 第n期シーケンス; a n+1 = (n + 1) 2 は、数列の (n + 1) 番目 (n プラス最初) の項です。 多くの場合、数列はその n 番目の項の式によって指定できます。 たとえば、式 \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) はシーケンス \(1, \; \frac(1)(2) , \; を定義します。 \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
等差数列
1年の長さは約365日です。 より正確な値は \(365\frac(1)(4)\) 日であるため、4 年ごとに 1 日の誤差が累積します。
この誤差を考慮して、4 年ごとに 1 日が追加され、延長された年は閏年と呼ばれます。
たとえば、3000 年紀には 閏年は 2004 年、2008 年、2012 年、2016 年、... です。
このシーケンスでは、2 番目から始まる各メンバーは前のメンバーに等しく、同じ数値 4 を加算したものになります。このようなシーケンスはと呼ばれます。 算術級数.
意味。
数列 a 1、a 2、a 3、...、a n、... と呼ばれます。 等差数列、すべてが自然で等しい場合
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ここで、d は何らかの数値です。
この式から、a n+1 - a n = d となります。 数値dは差と呼ばれます 等差数列.
等差数列の定義により、次のようになります。
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
どこ
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \)、ここで \(n>1 \)
したがって、等差数列の各項は、2 番目から始まり、隣接する 2 つの項の算術平均に等しくなります。 これが「算術」数列という名前の説明です。
a 1 と d が与えられた場合、等差数列の残りの項は漸化式 a n+1 = a n + d を使用して計算できることに注意してください。 この方法では、数列の最初のいくつかの項を計算するのは難しくありませんが、たとえば 100 の場合、すでに多くの計算が必要になります。 通常、これには n 項式が使用されます。 等差数列の定義による
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
等
まったく、
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
なぜなら 第n期等差数列の は、(n-1) 倍の数値 d を加算することによって、第 1 項から得られます。
この式はと呼ばれます 等差数列の n 番目の項の式.
等差数列の最初の n 項の合計
1 から 100 までのすべての自然数の合計を求めます。
この金額を 2 つの方法で書きましょう。
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100、
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1。
これらの等式を項ごとに追加してみましょう。
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101。
この合計には 100 個の項があります
したがって、2S = 101 * 100、したがって S = 101 * 50 = 5050 となります。
ここで任意の等差数列を考えてみましょう
a 1 、 a 2 、 a 3 、 ...、 a n 、 ...
S n をこの数列の最初の n 項の合計とします。
S n = a 1 、a 2 、a 3 、...、a n
それから 等差数列の最初の n 項の合計は次と等しい
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
\(a_n=a_1+(n-1)d\) なので、この式の n を置き換えると、別の計算式が得られます。 等差数列の最初の n 項の合計:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
「進歩」という言葉を、セクションの非常に複雑な用語として慎重に扱う人もいます。 高等数学。 一方、最も単純な等差数列は、タクシー メーター (現在も存在します) の動作です。 そして、等差数列の本質を理解すること (数学においては「本質を理解すること」以上に重要なことはありません) は、いくつかの基本的な概念を分析すれば、それほど難しくありません。
数学的な数列
数値シーケンスは通常、一連の数値と呼ばれ、それぞれに独自の番号があります。
1 はシーケンスの最初のメンバーです。
2 は数列の第 2 項です。
7 はシーケンスの 7 番目のメンバーです。
n はシーケンスの n 番目のメンバーです。
ただし、任意の数字や数の集合が私たちの興味を引くわけではありません。 私たちは、数学的に明確に定式化できる関係によって、n 番目の項の値がその序数に関連付けられている数列に焦点を当てます。 言い換えれば、n 番目の数値は n の関数です。
a は数値シーケンスのメンバーの値です。
n はシリアル番号です。
f(n) は関数であり、数値シーケンス n 内の序数が引数になります。
意味
等差数列は通常、後続の各項が前の項よりも同じ数だけ大きい (小さい) 数列と呼ばれます。 等差数列の n 番目の項の式は次のとおりです。
a n - 等差数列の現在のメンバーの値。
n+1 - 次の数の式。
d - 差（特定の数値）。
差が正 (d>0) の場合、検討中の系列の後続の各メンバーが前のメンバーよりも大きくなり、そのような等差数列が増加することを判断するのは簡単です。
以下のグラフでは、数列が「増加」と呼ばれる理由が簡単にわかります。
差がマイナスの場合（d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
指定されたメンバーの値
等差数列の任意の項 n の値を決定する必要がある場合があります。 これは、等差数列のすべてのメンバーの値を最初の値から目的の値まで順番に計算することで実行できます。 ただし、このパスは、たとえば 5,000 番目または 8,000 万番目の項の値を見つける必要がある場合には、常に受け入れられるわけではありません。 従来の計算では非常に時間がかかります。 ただし、特定の等差数列は、特定の公式を使用して調べることができます。 n 番目の項の公式もあります。等差数列の任意の項の値は、数列の最初の項と数列の差を加算し、目的の項の数を乗じて減算したものとして求めることができます。 1つ。
この公式は、進行の増減に普遍的です。
指定された項の値を計算する例
等差数列の n 番目の項の値を求める次の問題を解いてみましょう。
条件: パラメータを持つ等差数列があります:
数列の最初の項は 3 です。
数列の差は 1.2 です。
タスク: 214 項の値を見つける必要があります
解決策: 特定の項の値を決定するには、次の式を使用します。
a(n) = a1 + d(n-1)
問題ステートメントのデータを式に代入すると、次のようになります。
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
答え: 数列の 214 番目の項は 258.6 に等しい。
この計算方法の利点は明らかです。ソリューション全体は 2 行しかかかりません。
指定された数の項の合計
多くの場合、特定の等差級数では、そのセグメントのいくつかの値の合計を求める必要があります。 これを行うために、各項の値を計算して合計する必要もありません。 この方法は、和を求める必要がある項の数が少ない場合に適用できます。 それ以外の場合は、次の式を使用する方が便利です。
1 から n までの等差数列の項の合計は、最初の項と n 番目の項の合計を項 n で乗算し、2 で割ったものに等しくなります。 式内の n 番目の項の値が記事の前の段落の式に置き換えられると、次のようになります。
計算例
たとえば、次の条件で問題を解いてみましょう。
数列の最初の項はゼロです。
その差は0.5です。
この問題では、56 から 101 までの級数の項の合計を求める必要があります。
解決。 進行量を決定するための公式を使用してみましょう。
s(n) = (2・a1 + d・(n-1))・n/2
まず、問題の与えられた条件を式に代入して、数列の 101 項の値の合計を決定します。
s 101 = (2・0 + 0.5・(101-1))・101/2 = 2,525
明らかに、56 番目から 101 番目までの数列の項の合計を求めるには、S 101 から S 55 を引く必要があります。
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
したがって、この例の等差数列の合計は次のようになります。
s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
等差数列の実践例
この記事の最後で、最初の段落で示した等差数列の例であるタクシーメーター (タクシーの車のメーター) に戻りましょう。 この例を考えてみましょう。
タクシーの乗車料金は 50 ルーブル (3 km の移動を含む) です。 以降の各キロは 22 ルーブル/km の料金で支払われます。 走行距離は30km。 旅行の費用を計算します。
1. 最初の 3 km は捨てましょう。その料金は着陸料に含まれています。
30 - 3 = 27 km。
2. さらなる計算は、算術数値系列を解析することに他なりません。
会員番号 - 移動キロ数 (最初の 3 キロメートルを差し引いたもの)。
メンバーの値は合計です。
この問題の最初の項は、1 = 50 ルーブルに相当します。
進行度の差 d = 22 r。
私たちが関心のある数値は等差数列の (27+1) 番目の項の値です。27 キロメートルの終わりのメーターの読み取り値は 27.999... = 28 km です。
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
任意の長期間のカレンダー データの計算は、特定の数値シーケンスを記述する式に基づいています。 天文学では、軌道の長さは天体から星までの距離に幾何学的に依存します。 さらに、さまざまな数列が統計やその他の数学の応用分野でうまく使用されています。
別のタイプの数列は幾何学的です
等差数列は、等差数列と比較して変化率が大きいという特徴があります。 政治、社会学、医学において、特定の現象、たとえば流行期の病気の蔓延の速さを示すために、その過程が幾何級数的に発展すると言われるのは偶然ではありません。
等比数列の N 番目の項は、分母に何らかの定数が乗算される点で前の項とは異なります。たとえば、最初の項が 1 で、分母はそれに対応して 2 に等しくなります。
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32、
b n - 等比数列の現在の項の値。
b n+1 - 等比数列の次の項の式。
qは等比数列の分母（定数）です。
等差数列のグラフが直線である場合、等差数列は少し異なる絵を描きます。
算術の場合と同様、等比数列には任意の項の値を求める式があります。 等比数列の n 番目の項は、最初の項と、n 乗の数列の分母を 1 減じたものとの積に等しくなります。
例。 最初の項が 3、数列の分母が 1.5 である等比数列があります。 進行の第5項を見つけよう
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
指定された数の項の合計も、特別な式を使用して計算されます。 等比数列の最初の n 項の合計は、数列の n 番目の項とその分母の積と、数列の最初の項の差を分母で割って 1 を引いた値に等しくなります。
上記の公式を使用して b n を置き換えると、考慮中の数列の最初の n 項の合計の値は次の形式になります。
例。 等比数列は、最初の項が 1 に等しいことから始まります。分母は 3 に設定されています。最初の 8 項の合計を求めてみましょう。
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
式の主な本質は何ですか?
この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも 彼の番号で」 ん」 .
もちろん、最初の用語も知っておく必要があります 1そして進行度の差 dそうですね、これらのパラメータがなければ、特定の進行を書き留めることはできません。
この公式を暗記する（または暗記する）だけでは十分ではありません。 その本質を理解し、公式をさまざまな問題に適用する必要があります。 そして、適切なタイミングを忘れないようにしましょう...) 方法 忘れないで- わからない。 しかし 覚え方必要であれば、必ずアドバイスさせていただきます。 レッスンを最後まで受講した方が対象です。）
それでは、等差数列の n 項の公式を見てみましょう。
一般に数式とは何ですか? ちなみに、未読の方はぜひ読んでみてください。 そこではすべてがシンプルです。 それが何であるかを理解することはまだ残っています n期目。
一般に、進行は一連の数値として記述できます。
1、2、3、4、5、....
1- 等差数列の最初の項を表します。 3- 3人目のメンバー、 4- 4番目など。 第 5 期に興味がある場合は、次のように取り組んでいるとしましょう。 5、120分の1の場合 - s 120.
一般的にそれをどのように定義できますか? どれでも等差数列の項、 どれでも番号？ とてもシンプルです！ このような：
あ、ん
これです 等差数列の n 番目の項。文字 n は、すべてのメンバー番号 (1、2、3、4 など) を一度に非表示にします。
そして、そのような記録は私たちに何をもたらすのでしょうか？ 考えてみてください、彼らは数字の代わりに文字を書き留めました...
この表記法は、等差数列を扱うための強力なツールを提供します。 表記法を使用する あ、ん、すぐに見つけることができます どれでもメンバー どれでも等差数列。 そして、その他の進行上の問題をたくさん解決してください。 さらに詳しくは自分の目で確認してください。
等差数列の n 番目の項の式では、次のようになります。
| a n = a 1 + (n-1)d |
1- 等差数列の最初の項。
n- 会員番号。
この式は、あらゆる進行の主要なパラメータを結び付けます。 ; 1 ; dそして n. すべての進行上の問題は、これらのパラメータを中心に展開します。
n 項の公式は、特定の数列を記述するためにも使用できます。 たとえば、この問題では、進行が条件によって指定されているという場合があります。
a n = 5 + (n-1) 2.
このような問題は行き止まりになる可能性があります...級数も差分もありません...しかし、条件を式と比較すると、このような進行であることが簡単に理解できます ａ １ ＝５、およびｄ＝２である。
そして、それはさらに悪いことになる可能性があります!) 同じ条件を仮定すると、次のようになります。 a n = 5 + (n-1) 2、はい、括弧を開いて同様の括弧を付けてください。 新しい式が得られます。
a n = 3 + 2n。
これ 一般的なものではなく、特定の進行のためのものです。 ここに落とし穴が潜んでいます。 1期は3だと思う人もいる。 実際には最初の項は 5 ですが...もう少し低く、このような修正された式を使用して作業します。
進行問題では別の表記法があります - n+1。 ご想像のとおり、これは数列の「n プラス第一」項です。 その意味は単純で無害です。) これは、番号 n より 1 大きい数列のメンバーです。 たとえば、何らかの問題が発生した場合、 あ、んそれから5期目 n+1 6人目のメンバーになります。 などなど。
ほとんどの場合、指定 n+1漸化式で見られます。 この恐ろしい言葉を恐れないでください!) これは等差数列のメンバーを表現する単なる方法です 前回のものを通して。漸化式を使用して、次の形式で等差数列が与えられたとします。
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
4 番目から 3 番目まで、5 番目から 4 番目まで、というようになります。 たとえば、20 項をすぐに数えるにはどうすればよいでしょうか? 20? でもそんなわけない！） 19期がわかるまでは20期を数えることはできない。 これが漸化式と n 項の式の根本的な違いです。 リカレントは経由でのみ機能します 前の第 n 項の式は次のようになります。 初めそして許可します すぐに番号でメンバーを検索します。 一連の数値全体を順番に計算する必要はありません。
等差数列では、再帰式を通常の式に変えるのは簡単です。 連続する用語のペアを数え、その差を計算します d、必要に応じて最初の項を見つけます 1、通常の形式で数式を記述し、それを操作します。 州科学アカデミーでは、このようなタスクが頻繁に発生します。
等差数列の n 番目の項に対する公式の適用。
まず、公式を直接適用してみましょう。 前回のレッスンの最後に問題がありました。
等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 かつ d=1/6 の場合、121 を求めます。
この問題は公式を使わずに等差数列の意味だけで解くことができます。 追加しても追加しても... 1 ～ 2 時間。)
式によれば、解決には 1 分もかかりません。 時間を決めてもいいです。）決めましょう。
条件は、式を使用するためのすべてのデータを提供します。 ａ １ ＝３、ｄ＝１／６。何が等しいかを理解することはまだ残っています n.質問はありません！ 見つける必要があります 121。 したがって、次のように書きます。
ご注意ください！ インデックスの代わりに n特定の数字が表示されました: 121。これは非常に論理的です。) 私たちは等差数列のメンバーに興味があります。 百二十一番。これは私たちのものになります n.これが意味です n= 121 括弧内の式にさらに代入します。 すべての数値を式に代入して計算します。
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
それでおしまい。 ちょうど 510 番目の項と 1003 番目の項をすぐに見つけることができます。 代わりに置きます n文字「」の隣にあるインデックス内の希望の数字 ああ」そして括弧内で数えます。
重要なことを思い出させてください。この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも等差数列項 彼の番号で」 ん」 .
もっと巧妙な方法で問題を解決しましょう。 次の問題に遭遇してみましょう。
a 17 =-2 の場合、等差数列 (a n) の最初の項を見つけます。 d=-0.5。
何かお困りのことがあれば、最初のステップを教えます。 等差数列の n 項の式を書きなさい!はい、はい。 ノートに直接、手で書き留めてください。
| a n = a 1 + (n-1)d |
さて、式の文字を見ると、どのようなデータがあり、何が欠けているのかがわかります。 利用可能 d=-0.5、 17人目のメンバーがいる…あれ？ それだけだと思っていたら問題は解決しません、はい...
まだ番号はあります n！ 状態 a 17 =-2隠れた 2 つのパラメータ。これは、第 17 項の値 (-2) とその数 (17) の両方です。 それらの。 n=17。この「些細なこと」はしばしば頭をすり抜けてしまい、それがなければ（頭ではなく「些細な」ことがなければ！）問題は解決できません。 ただし...頭もありません。)
ここで、愚かにもデータを式に代入することができます。
a 17 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
そうそう、 17-2 であることがわかっています。 さて、次のように置き換えてみましょう。
-2 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
基本的にはこれですべてです。 あとは等差数列の第 1 項を式から表現して計算するだけです。 答えは次のようになります。 a 1 = 6。
このテクニック - 式を書き留めて既知のデータを単純に置き換える - は、単純なタスクに非常に役立ちます。 もちろん、数式から変数を表現できなければなりませんが、どうすればよいでしょうか? このスキルがなければ数学はまったく勉強できないかもしれません...
もう 1 つの人気のあるパズル:
a 1 =2 の場合、等差数列の差 (a n) を求めます。 a 15 = 12。
私たちは何をしているのでしょうか？ 驚くでしょう、私たちは式を書いているのです!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
私たちが知っていることを考えてみましょう: ａ１＝２； a 15 = 12; そして（特に強調します！） n=15。 これを式に代入してください。
12=2 + (15-1)d
私たちは算術を行います。)
12=2 + 14日
d=10/14 = 5/7
これが正解です。
したがって、次のタスクは、 n、1そして d決めた。 残っているのは、数値の求め方を学ぶことだけです。
数字 99 は等差数列 (a n) のメンバーであり、a 1 =12 です。 d=3。 この会員番号を見つけてください。
既知の量を n 項の式に代入します。
a n = 12 + (n-1) 3
一見すると、ここには未知の量が 2 つあります。 nとn。しかし あ、ん- これは番号が付いた進行中のメンバーです n...そして私たちはこの進行メンバーを知っています! 99です。その番号はわかりません。 ん、したがって、この番号を見つける必要があります。 数列 99 の項を式に代入します。
99 = 12 + (n-1) 3
式から表すと n、と私たちは思います。 答えは次のとおりです。 n=30。
そして今度は同じトピックに関する問題ですが、より創造的です):
数値 117 が等差数列 (a n) のメンバーであるかどうかを判断します。
-3,6; -2,4; -1,2 ...
もう一度式を書いてみましょう。 えっ、パラメータがないんですか？ うーん...なぜ私たちに目があるのですか?) 進行の最初の項が見えますか? なるほど。 これは-3.6です。 安全に次のように書くことができます。 a 1 = -3.6。違い dシリーズから判断できますか？ 等差数列の違いがわかれば簡単です。
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
そこで、最も単純なことを行いました。 残っているのは未知の番号に対処することだけです n前の問題では、少なくとも、それが与えられた数列の項であることがわかっていました。 しかし、ここでは私たちもわかりません...どうすればいいですか? さて、どうなるか、どうなるか...創造力を発揮してください!)
私たちは 仮定する結局のところ、117 は私たちの進歩の一員なのです。 知らない番号で n。 そして、前の問題と同じように、この数値を見つけてみましょう。 それらの。 式を書き (はい、はい!))、数値を代入します。
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
もう一度式から表すとnを数えて次を取得します。
おっと！ 数字が判明しました 分数！ 111.5。 そして、数列の分数 起こらない。どのような結論を導き出せるでしょうか? はい！ 117番 ではありません私たちの進歩のメンバー。 それは百と第一項と百と第二項の間のどこかです。 数値が自然であることが判明した場合、つまり が正の整数の場合、その数値は、見つかった数値の数列のメンバーになります。 私たちの場合、問題に対する答えは次のようになります。 いいえ。
GIA の実際のバージョンに基づくタスク:
等差数列は次の条件によって与えられます。
a n = -4 + 6.8n
進行の第 1 項と第 10 項を見つけます。
ここでの進行は珍しい方法で設定されています。 ある種の公式…それは起こります。）しかし、この公式（上で書いたように）- 等差数列の n 項の公式でもあります。彼女も許可します 番号によって進行のメンバーを見つけます。
最初のメンバーを募集しています。 考える人。 最初の項がマイナス 4 であるというのは致命的な間違いです!) 問題の式が変更されているためです。 その中の等差数列の最初の項 隠れた。大丈夫、すぐに見つけます。）
前の問題と同様に、次のように置き換えます。 n=1この式に：
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
ここ！ 最初の項は -4 ではなく 2.8 です。
同じ方法で 10 番目の項を探します。
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
それでおしまい。
そして今、これらの行を読んだ人には約束されたボーナスがあります。)
国家試験や統一国家試験の厳しい戦闘状況で、等差数列の n 項に役立つ公式を忘れたとします。 何かは覚えているけど、なんとなく不確か… あるいは nそこで、または n+1、または n-1...なんと！
落ち着いた！ この式は簡単に導き出せます。 それほど厳密ではありませんが、自信と正しい決断をするには間違いなく十分です!) 結論を言うと、等差数列の基本的な意味を覚えて、数分の時間を確保できれば十分です。 ただ絵を描くだけでいいのです。 わかりやすくするために。
数直線を引き、その上に最初の数直線をマークします。 2番目、3番目など。 メンバー。 そして私たちは違いに気づきます dメンバー間で。 このような：
私たちは絵を見て考えます: 2 番目の項は何に等しいでしょうか? 2番 1つ d:
ある 2 =a1+ 1 d
第三期とは何ですか？ 三番目項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 二 d.
ある 3 =a1+ 2 d
わかりますか？ いくつかの単語を太字で強調しているのは当然のことです。 わかりました、もう一歩）。
第四期とは何ですか？ 4番目項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 三つ d.
ある 4 =a1+ 3 d
ギャップの数、つまり d、 いつも 探しているメンバーの番号より1つ少ない数 n. つまり、その数に n、スペースの数意思 n-1。したがって、式は次のようになります (バリエーションはありません!)。
| a n = a 1 + (n-1)d |
一般に、視覚的な絵は数学の多くの問題を解決するのに非常に役立ちます。 写真を無視しないでください。 ただし、絵を描くのが難しい場合は、式だけで十分です!) さらに、第 n 項の式を使用すると、方程式、不等式、システムなど、数学の強力な武器全体を解決策に結び付けることができます。 数式に画像を挿入することはできません...
独立したソリューションのためのタスク。
ウォームアップするには:
1. 等差数列 (a n) a 2 =3; ａ５＝５．１。 3 を見つけます。
ヒント: 画像によると、この問題は 20 秒で解けます...公式によると、それはさらに難しいことがわかります。 ただし、公式をマスターするには、この方が便利です。) セクション 555 では、この問題は図と公式の両方を使用して解決されます。 違いを感じてください!)
そしてこれはもはやウォームアップではありません。)
2. 等差数列 (a n) a 85 =19.1。 a 236 =49, 3. a 3 を見つけます。
え、絵描きたくないの？） もちろんですよ！ 公式によれば、そうです...
3. 等差数列は次の条件によって与えられます。a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5。 この数列の 125 項を見つけてください。
このタスクでは、進行は反復的に指定されます。 しかし、125 項まで数えてみると...誰もがそのような偉業を達成できるわけではありません。) しかし、n 項の公式は誰でもできるのです。
4. 等差数列 (a n) を指定すると、次のようになります。
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
数列の最小の正の項の数を見つけます。
5. タスク 4 の条件に従って、数列の最小の正の項と最大の負の項の合計を見つけます。
6. 増加する等差数列の第 5 項と第 12 項の積は -2.5 で、第 3 項と第 11 項の和はゼロです。 14 を見つけます。
最も簡単な作業ではありません、そうです...) 「指先」の方法はここでは機能しません。 数式を書いて方程式を解く必要があります。
答え（混乱中）：
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
うまくいきましたか？ 素敵ですね！)
すべてがうまくいかないのですか？ 起こります。 ところで、最後の作業で微妙な点が一つあります。 問題を読む際には注意が必要です。 そしてロジック。
これらすべての問題の解決策は、セクション 555 で詳しく説明されています。また、4 番目のファンタジーの要素、6 番目の微妙な点、および n 項の公式に関係する問題を解決するための一般的なアプローチ、すべてが説明されています。 お勧めします。
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう！）
関数と導関数について知ることができます。
