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ニーナという名前の秘密はその由来にあります。 その誕生の歴史は…
数列の概念は、それぞれの自然数が何らかの実数値に対応することを意味します。 このような一連の数値は、任意の場合もあれば、特定の特性 (数列) を持つ場合もあります。 で 後者の場合シーケンスの後続の各要素 (メンバー) は、前の要素を使用して計算できます。
等差数列– 隣接するメンバーが同じ数だけ互いに異なる数値のシーケンス (2 番目から始まるシリーズのすべての要素は同様の特性を持ちます)。 この数値 (前の項と後の項の差) は一定であり、進行差と呼ばれます。
j 個の値からなるシーケンス A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j) を考えます。j は自然数 N の集合に属します。その定義によれば、数列は a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – というシーケンスです。 a(j-1) = d。 値 d は、この数列の望ましい差です。
d = a(j) – a(j-1)。
ハイライト:
数列の任意の 2 つの項 (i 番目、k 番目) がわかっている場合、特定のシーケンスの差は次の関係に基づいて決定できます。
a(i) = a(k) + (i – k)*d、つまり d = (a(i) – a(k))/(i-k) を意味します。
この式は、シーケンス要素の数がわかっている場合にのみ、未知の値を決定するのに役立ちます。
数列の合計は、その項の合計です。 最初の j 要素の合計値を計算するには、適切な式を使用します。
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j ただし、 a(j) = a(1) + d(j – 1) の場合、S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j。
式の主な本質は何ですか?
この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも 彼の番号で」 ん」 .
もちろん、最初の用語も知っておく必要があります 1そして進行度の差 dそうですね、これらのパラメータがなければ、特定の進行を書き留めることはできません。
この公式を暗記する(または暗記する)だけでは十分ではありません。 その本質を理解し、公式をさまざまな問題に適用する必要があります。 そして、適切な瞬間を忘れないようにしましょう...) 方法 忘れないで- わからない。 しかし 覚え方必要であれば、必ずアドバイスさせていただきます。 レッスンを最後まで受講した方が対象です。)
それでは、等差数列の n 項の公式を見てみましょう。
一般に数式とは何ですか? ちなみに、未読の方はぜひ読んでみてください。 そこではすべてがシンプルです。 それが何であるかを理解することはまだ残っています 第n期.
の進歩 全体像は一連の数字として書くことができます。
1、2、3、4、5、....
1- 等差数列の最初の項を表します。 3- 3人目のメンバー、 4- 4番目など。 第 5 期に興味がある場合は、次のように取り組んでいるとしましょう。 5、120分の1の場合 - s 120.
一般的にそれをどのように定義できますか? どれでも等差数列の項、 どれでも番号? とてもシンプルです! このような:
あ、ん
これです 等差数列の n 番目の項。文字 n は、すべてのメンバー番号 (1、2、3、4 など) を一度に非表示にします。
そして、そのような記録は私たちに何をもたらすのでしょうか? 考えてみてください、彼らは数字の代わりに文字を書き留めました...
この表記法は、等差数列を扱うための強力なツールを提供します。 表記法を使用する あ、ん、すぐに見つけることができます どれでもメンバー どれでも等差数列。 そして、その他の進行上の問題をたくさん解決してください。 さらに詳しくは自分の目で確認してください。
等差数列の n 番目の項の式では、次のようになります。
a n = a 1 + (n-1)d |
1- 等差数列の最初の項。
n- 会員番号。
この式は、あらゆる進行の主要なパラメータを結び付けます。 ; 1 ; dそして n. すべての進行上の問題は、これらのパラメータを中心に展開します。
n 項の式は、特定の数列を記述するためにも使用できます。 たとえば、問題は進行が条件によって指定されていると言う場合があります。
a n = 5 + (n-1) 2.
このような問題は行き止まりになる可能性があります...級数も差分もありません...しかし、条件を式と比較すると、この進行では次のことが容易に理解できます a 1 =5、およびd=2。
そして、それはさらに悪いことになる可能性があります!) 同じ条件を仮定すると、次のようになります。 a n = 5 + (n-1) 2、はい、括弧を開いて同様の括弧を付けてください。 新しい式が得られます。
a n = 3 + 2n。
これ 一般的なものではなく、特定の進行のためのものです。 ここに落とし穴が潜んでいます。 1期は3だと思う人もいる。 実際には最初の項は 5 ですが...もう少し低く、このような修正された式を使用して作業します。
進行問題では別の表記法があります - n+1。 ご想像のとおり、これは数列の「n プラス第一」項です。 その意味は単純で無害です。) これは、番号 n より 1 大きい数列のメンバーです。 たとえば、何らかの問題が発生した場合、 あ、んそれから5期目 n+1 6人目のメンバーになります。 などなど。
ほとんどの場合、指定 n+1漸化式で見られます。 この恐ろしい言葉を恐れないでください!) これは等差数列のメンバーを表現する単なる方法です 前回のものを通して。漸化式を使用して、次の形式で等差数列が与えられたとします。
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
4 番目から 3 番目まで、5 番目から 4 番目まで、というようになります。 たとえば、20 項をすぐに数えるにはどうすればよいでしょうか? 20? でもそんなわけない!) 19期がわかるまでは20期を数えることはできない。 これが漸化式と n 項の式の根本的な違いです。 リカレントは経由でのみ機能します 前の第 n 項の式は次のようになります。 初めそして許可します すぐに番号でメンバーを検索します。 一連の数値全体を順番に計算する必要はありません。
等差数列では、再帰式を通常の式に変えるのは簡単です。 連続する用語のペアを数え、その差を計算します d、必要に応じて最初の項を見つけます 1、通常の形式で数式を記述し、それを操作します。 州科学アカデミーではこのような作業が頻繁に行われます。
まず、公式を直接適用する方法を見てみましょう。 前回のレッスンの終わりに次の問題がありました。
等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 および d=1/6 の場合、121 を求めます。
この問題は公式を使わずに等差数列の意味だけで解くことができます。 追加しても追加しても... 1 ~ 2 時間。)
式によれば、解決には 1 分もかかりません。 時間を決めてもいいです。)決めましょう。
条件は、式を使用するためのすべてのデータを提供します。 a 1 =3、d=1/6。何が等しいかを理解することはまだ残っています n.質問はありません! 見つける必要があります 121。 したがって、次のように書きます。
ご注意ください! インデックスの代わりに n特定の数字が表示されました: 121。これは非常に論理的です。) 私たちは等差数列のメンバーに興味があります。 百二十一番。これは私たちのものになります n.これが意味です n= 121 括弧内の式にさらに代入します。 すべての数値を式に代入して計算します。
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
それでおしまい。 510 番目の項と 1003 番目の項をすぐに見つけることができます。 代わりに置きます n文字のインデックス内の希望の番号「 ああ」そして括弧内で数えます。
重要なことを思い出させてください。この式を使用すると、次のことがわかります。 どれでも等差数列項 彼の番号で」 ん」 .
もっと巧妙な方法で問題を解決しましょう。 次の問題に遭遇してみましょう。
a 17 =-2 の場合、等差数列 (a n) の最初の項を見つけます。 d=-0.5。
何かお困りのことがあれば、最初のステップを教えます。 等差数列の n 項の式を書きなさい!はい、はい。 ノートに直接、手で書き留めてください。
a n = a 1 + (n-1)d |
さて、式の文字を見ると、どのようなデータがあり、何が欠けているのかがわかります。 利用可能 d=-0.5、 17人目のメンバーがいる…あれ? それだけだと思っていたら問題は解決しません、はい...
まだ番号はあります n! 状態 a 17 =-2隠れた 2 つのパラメータ。これは、第 17 項の値 (-2) とその数 (17) の両方です。 それらの。 n=17。この「些細なこと」はしばしば頭をすり抜けてしまい、それがなければ(頭ではなく「些細な」ことがなければ!)問題は解決できません。 ただし...頭もありません。)
ここで、愚かにもデータを式に代入することができます。
a 17 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
そうそう、 17-2 であることがわかっています。 さて、次のように置き換えてみましょう。
-2 = a 1 + (17-1)・(-0.5)
基本的にはこれですべてです。 あとは等差数列の第 1 項を式から表現して計算するだけです。 答えは次のようになります。 a 1 = 6。
このテクニック - 式を書き留めて既知のデータを単純に置き換える - は、単純なタスクに非常に役立ちます。 もちろん、数式から変数を表現できなければなりませんが、どうすればよいでしょうか? このスキルがなければ数学はまったく勉強できないかもしれません...
もう 1 つの人気のあるパズル:
a 1 =2 の場合、等差数列の差 (a n) を求めます。 a 15 = 12。
私たちは何をしているのでしょうか? 驚くでしょう、私たちは式を書いているのです!)
a n = a 1 + (n-1)d |
私たちが知っていることを考えてみましょう: a1=2; a15=12; そして(特に強調します!) n=15。 これを式に代入してください。
12=2 + (15-1)d
私たちは算術を行います。)
12=2 + 14日
d=10/14 = 5/7
これが正解です。
したがって、次のタスクは、 n、1そして d決めた。 残っているのは、数値の求め方を学ぶことだけです。
数字 99 は等差数列 (a n) のメンバーであり、a 1 =12 です。 d=3。 この会員番号を見つけてください。
既知の量を n 項の式に代入します。
a n = 12 + (n-1) 3
一見すると、ここには未知の量が 2 つあります。 nとn。しかし あ、ん- これは番号が付いた進行中のメンバーです n...そして私たちはこの進行メンバーを知っています! 99です。その番号はわかりません。 ん、したがって、この番号を見つける必要があります。 数列 99 の項を式に代入します。
99 = 12 + (n-1) 3
式から表すと n、と私たちは思います。 答えは次のとおりです。 n=30。
そして今度は同じトピックに関する問題ですが、より創造的です):
数値 117 が等差数列 (a n) のメンバーであるかどうかを判断します。
-3,6; -2,4; -1,2 ...
もう一度式を書いてみましょう。 えっ、パラメータがないんですか? うーん...なぜ私たちに目があるのですか?) 進行の最初の項が見えますか? なるほど。 これは-3.6です。 安全に次のように書くことができます。 a 1 = -3.6。違い dシリーズからわかるでしょうか? 等差数列の違いがわかれば簡単です。
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
そこで、最も単純なことを行いました。 未知の番号への対処が残っている n前の問題では、少なくとも、それが与えられた数列の項であることがわかっていました。 しかし、ここでは私たちもわかりません...どうすればいいですか? さて、どうしよう、どうしよう... スイッチオン 創造性!)
私たちは 仮定する結局のところ、117 は私たちの進歩の一員なのです。 知らない番号で n。 そして、前の問題と同じように、この数値を見つけてみましょう。 それらの。 式を書き (はい、はい!))、数値を置き換えます。
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
もう一度式から表すとnを数えて次を取得します。
おっと! 数字が判明しました 分数! 111.5。 そして、数列の分数 起こらない。どのような結論を導き出せるでしょうか? はい! 117番 ではありません私たちの進歩のメンバー。 それは百と第一項と百と第二項の間のどこかです。 数値が自然であることが判明した場合、つまり が正の整数の場合、その数値は、見つかった数値の数列のメンバーになります。 私たちの場合、問題に対する答えは次のようになります。 いいえ。
GIA の実際のバージョンに基づくタスク:
等差数列は次の条件によって与えられます。
a n = -4 + 6.8n
進行の第 1 項と第 10 項を見つけます。
ここでの進行は珍しい方法で設定されています。 ある種の公式…それは起こります。)しかし、この公式(上で書いたように)- 等差数列の n 項の公式でもあります。彼女も許可します 進行のメンバーをその番号で見つけます。
最初のメンバーを募集しています。 考える人。 最初の項がマイナス 4 であるというのは致命的な間違いです!) 問題の式が変更されているためです。 その中の等差数列の最初の項 隠れた。大丈夫、すぐに見つけます。)
前の問題と同様に、次のように置き換えます。 n=1この式に:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
ここ! 最初の項は -4 ではなく 2.8 です。
同じ方法で 10 番目の項を探します。
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
それでおしまい。
そして今、これらの行を読んだ人には約束されたボーナスがあります。)
困難な戦闘状況で、国家試験や統一国家試験を忘れたとします。 便利な公式等差数列の n 番目の項。 何かは覚えているけど、なんとなく不確か… あるいは nそこで、または n+1、または n-1...なんと!
落ち着いた! この式は簡単に導き出せます。 それほど厳密ではありませんが、自信と正しい決断をするには間違いなく十分です!) 結論を言うと、等差数列の基本的な意味を覚えて、数分の時間を確保できれば十分です。 ただ絵を描くだけでいいのです。 わかりやすくするために。
数直線を引き、その上に最初の数直線をマークします。 2番目、3番目など。 メンバー。 そして私たちは違いに気づきます dメンバー間で。 このような:
私たちは絵を見て考えます: 2 番目の項は何に等しいでしょうか? 2番 1つ d:
ある 2 =a1+ 1 d
第三期とは何ですか? 三番目項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 二 d.
ある 3 =a1+ 2 d
わかりますか? いくつかの単語を太字で強調しているのは当然のことです。 わかりました、もう一歩)。
第四期とは何ですか? 4番目項は最初の項にプラスを加えたものに等しい 三つ d.
ある 4 =a1+ 3 d
ギャップの数、つまり d、 いつも 探しているメンバーの番号より1つ少ない数 n. つまり、その数に n、スペースの数意思 n-1。したがって、式は次のようになります (バリエーションはありません!)。
a n = a 1 + (n-1)d |
一般に、視覚的な絵は数学の多くの問題を解決するのに非常に役立ちます。 写真を無視しないでください。 ただし、絵を描くのが難しい場合は、式だけで十分です!) さらに、第 n 項の式を使用すると、方程式、不等式、システムなど、数学の強力な武器全体を解決策に結び付けることができます。 数式に画像を挿入することはできません...
独立した解決策のためのタスク。
ウォームアップするには:
1. 等差数列 (a n) a 2 =3; a5=5.1。 3 を見つけます。
ヒント: 画像によると、この問題は 20 秒で解けます...公式によると、それはさらに難しいことがわかります。 ただし、公式をマスターするには、公式の方が便利です。) セクション 555 では、この問題を図と公式の両方を使用して解決します。 違いを感じてください!)
そしてこれはもはやウォーミングアップではありません。)
2. 等差数列 (a n) a 85 =19.1。 a 236 =49, 3. a 3 を見つけます。
え、絵描きたくないの?) もちろんですよ! 公式によれば、そうです...
3. 等差数列は次の条件によって与えられます。a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5。 この数列の 125 項を見つけてください。
このタスクでは、進行は反復的に指定されます。 しかし、125 項まで数えてみると...誰もがそのような偉業を達成できるわけではありません。) しかし、n 項の公式は誰でもできるのです。
4. 等差数列 (a n) を指定すると、次のようになります。
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
数列の最小の正の項の数を見つけます。
5. タスク 4 の条件に従って、数列の最小の正の項と最大の負の項の合計を見つけます。
6. 増加する等差数列の第 5 項と第 12 項の積は -2.5 で、第 3 項と第 11 項の和はゼロです。 14 を見つけます。
最も簡単な作業ではありません、そうです...) 「指先」の方法はここでは機能しません。 数式を書いて方程式を解く必要があります。
答え(混乱中):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
うまくいきましたか? 素敵ですね!)
すべてがうまくいかないのですか? 起こります。 ところで、最後の作業で微妙な点が一つあります。 問題を読む際には注意が必要です。 そしてロジック。
これらすべての問題の解決策は、セクション 555 で詳しく説明されています。また、4 番目のファンタジーの要素、6 番目の微妙な点、および n 項の公式に関係する問題を解決するための一般的なアプローチ、すべてが説明されています。 お勧めします。
ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)
関数と導関数について知ることができます。
さて、皆さん、もしあなたがこの文章を読んでいるなら、内部のキャップ証拠は、あなたが等差数列が何であるかをまだ知らないが、本当に(いや、このように:すっごい!)知りたいと思っていることを示しています。 したがって、長い前置きであなたを苦しめるつもりはなく、すぐに本題に入ります。
まず、いくつかの例を示します。 いくつかの数値セットを見てみましょう。
これらすべてのセットに共通するものは何でしょうか? 一見すると何もありません。 しかし、実際には何かがあります。 つまり: 次の各要素は前の要素と同じ番号だけ異なります.
自分で判断してください。 最初のセットは単純に連続した番号で、次の各セットは前のセットより 1 つ大きくなります。 2 番目のケースでは、隣接する数値の差はすでに 5 ですが、この差は依然として一定です。 3 番目のケースでは、根が完全に存在します。 ただし、$2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ および $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$、つまり この場合、次の各要素は単に $\sqrt(2)$ ずつ増加します (この数値が非合理的であることを恐れないでください)。
したがって、このようなシーケンスはすべて等差数列と呼ばれます。 厳密な定義を与えてみましょう。
意味。 次の各数値が前の数値とまったく同じ量だけ異なる一連の数値を等差数列と呼びます。 数値が異なるまさにその量は進行差と呼ばれ、ほとんどの場合、文字 $d$ で示されます。
表記法: $\left(((a)_(n)) \right)$ は進行そのもの、$d$ はその差分です。
そして、重要な注意事項がいくつかあります。 まず、進行のみが考慮されます 注文した数値のシーケンス: 書き込まれた順序で厳密に読み取ることが許可されており、それ以外は許可されません。 番号を並べ替えたり交換したりすることはできません。
第二に、シーケンス自体は有限または無限のいずれかになります。 たとえば、集合 (1; 2; 3) は明らかに有限の等差数列です。 しかし、精神(1; 2; 3; 4; ...)で何かを書くと、これはすでに無限の進歩です。 4 の後の省略記号は、さらに多くの数字が来ることを示唆しているようです。 たとえば、無限にたくさんあります:)
また、進行状況が増加または減少する可能性があることにも注意してください。 増加するもの、つまり同じセット (1; 2; 3; 4; ...) がすでに見られました。 以下は減少の進行の例です。
分かった、分かった: 最後の例あまりにも複雑に思えるかもしれません。 しかし、残りの部分は、あなたも理解していると思います。 したがって、新しい定義を導入します。
意味。 等差数列は次のように呼ばれます。
- 次の各要素が前の要素より大きい場合は増加します。
- 逆に、後続の各要素が前の要素よりも小さい場合は減少します。
さらに、いわゆる「静止」シーケンスがあり、それらは同じ繰り返し番号で構成されます。 たとえば、(3; 3; 3; ...)。
残る疑問は 1 つだけです。増加の進行と減少の進行をどのように区別するかです。 幸いなことに、ここでのすべては数値 $d$ の符号のみに依存します。 進行の違い:
上記の 3 つの減少数の差 $d$ を計算してみましょう。 これを行うには、隣接する 2 つの要素 (たとえば、1 番目と 2 番目) を取得し、右側の数値から左側の数値を減算するだけで十分です。 次のようになります。
ご覧のとおり、3 つのケースすべてで、その差は実際にはマイナスであることが判明しました。 定義がほぼわかったので、今度は進行がどのように記述され、どのような特性があるかを理解します。
シーケンスの要素は交換できないため、番号を付けることができます。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ))、... \右\)\]
このセットの個々の要素は、進行のメンバーと呼ばれます。 これらは、最初のメンバー、2 番目のメンバーなどの番号で示されます。
さらに、すでにご存知のとおり、数列の隣接する項は次の式で関連付けられます。
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
つまり、数列の $n$ 番目の項を見つけるには、 $n-1$ 番目の項とその差 $d$ を知る必要があります。 この式はリカレントと呼ばれます。この式を使用すると、前の番号 (実際には前のすべての番号) を知っているだけで任意の番号を見つけることができるからです。 これは非常に不便なので、計算を最初の項と差に換算する、より巧妙な公式があります。
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
おそらくこの公式をすでに目にしたことがあるでしょう。 彼らはあらゆる種類の参考書やソリューションブックでそれを与えることを好みます。 そして、賢明な数学の教科書の中で、これは最初のものの1つです。
ただし、少し練習することをお勧めします。
タスクその1。 $((a)_(1))=8,d=-5$ の場合、等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ の最初の 3 項を書き留めます。
解決。 したがって、最初の項 $((a)_(1))=8$ と数列の差 $d=-5$ がわかります。 先ほど与えた式を使用して、$n=1$、$n=2$、$n=3$ を代入してみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \終了(整列)\]
答え: (8; 3; −2)
それでおしまい! 注意してください: 私たちの進歩は減少しています。
もちろん、$n=1$ を代入することはできません。最初の項はすでにわかっています。 しかし、unity を代用することで、最初の項でも式が機能することを確信しました。 他のケースでは、すべてが平凡な算術に終わった。
タスクその2。 等差数列の第 7 項が -40 に等しく、第 17 項が -50 に等しい場合、その最初の 3 つの項を書き留めます。
解決。 問題の状態を馴染みのある言葉で書いてみましょう。
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \右。\]
これらの要件を同時に満たす必要があるため、システム記号を付けました。 ここで、2 番目の方程式から最初の式を引くと (システムがあるので、これを行う権利があります)、次の結果が得られることに注意してください。
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1。 \\ \終了(整列)\]
これで、進行度の違いを見つけるのがとても簡単になります。 残っているのは、見つかった数値をシステムの方程式のいずれかに代入することだけです。 たとえば、最初の例では次のようになります。
\[\begin(行列) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \下矢印 \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34。 \\ \エンド(行列)\]
最初の項と違いがわかったので、残りは 2 番目と 3 番目の項を見つけることです。
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36。 \\ \終了(整列)\]
準備ができて! 問題は解決しました。
答え: (−34; −35; −36)
私たちが発見した数列の興味深い特性に注目してください。$n$th と $m$th の項を取り、それらを相互に減算すると、数列の差に $n-m$ の数を乗算した値が得られます。
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
シンプルだけどとても 有用な特性、これは必ず知っておく必要があります。その助けを借りて、多くの進行上の問題の解決を大幅にスピードアップできます。 これの明確な例を次に示します。
タスクその3。 等差数列の第 5 項は 8.4、第 10 項は 14.4 です。 この数列の第 15 項を求めます。
解決。 $((a)_(5))=8.4$、$((a)_(10))=14.4$ であり、$((a)_(15))$ を見つける必要があるため、次の点に注意します。
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d。 \\ \終了(整列)\]
しかし、条件 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ により、$5d=6$ となり、次のようになります。
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4。 \\ \終了(整列)\]
答え: 20.4
それでおしまい! 連立方程式を作成したり、最初の項と差を計算したりする必要はなく、すべてがわずか数行で解決されました。
次に、別のタイプの問題、進行の否定的な項と肯定的な項の検索を見てみましょう。 進行が増加し、その最初の項が否定的な場合、遅かれ早かれ肯定的な項がその中に現れることは周知の事実です。 そしてその逆も同様です。減少進行の条件は遅かれ早かれマイナスになります。
同時に、要素を順番に通過することで、この瞬間を「正面から」見つけることが常に可能であるとは限りません。 多くの場合、問題は、公式を知らなければ計算に数枚の紙が必要になるような方法で書かれており、答えを見つけるまでにただ眠ってしまうだけです。 したがって、これらの問題をより迅速に解決できるようにしてみましょう。
タスクその4。 等差数列 -38.5 には負の項がいくつありますか。 -35.8; ...?
解決。 したがって、$((a)_(1))=-38.5$、$((a)_(2))=-35.8$ となり、ここから違いがすぐにわかります。
差が正であるため、進行度が増加することに注意してください。 最初の項は負であるため、実際、ある時点で正の数に遭遇するでしょう。 唯一の問題は、それがいつ起こるかということです。
項の負性がどのくらいの期間 (つまり、自然数 $n$ まで) 残るかを調べてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \そうです。 \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15。 \\ \終了(整列)\]
最後の行については説明が必要です。 したがって、$n \lt 15\frac(7)(27)$ であることがわかります。 一方、数値の整数値のみで満足するため (さらに $n\in \mathbb(N)$)、許容される最大の数値は正確に $n=15$ となり、決して 16 ではありません。 。
タスクNo.5。 等差数列では $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ となります。 この数列の最初の正の項の数を求めます。
これは前の問題とまったく同じ問題になりますが、$((a)_(1))$ はわかりません。 しかし、隣接する項 $((a)_(5))$ と $((a)_(6))$ は既知であるため、進行の違いを簡単に見つけることができます。
さらに、標準的な公式を使用して、第 5 項から第 1 項までとその差を表現してみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162。 \\ \終了(整列)\]
ここで、前のタスクと同様に作業を進めます。 シーケンスのどの時点で正の数が現れるかを調べてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56。 \\ \終了(整列)\]
この不等式の最小整数解は 56 です。
注意してください: 最後のタスクでは、すべてが厳密な不等式に帰着したため、オプション $n=55$ は適していません。
単純な問題を解決する方法を学んだので、より複雑な問題に移りましょう。 しかしその前に、等差数列のもう 1 つの非常に便利な特性を勉強しましょう。これは将来、多くの時間を節約し、不等セルを節約するでしょう :)。
増加する等差数列 $\left(((a)_(n)) \right)$ のいくつかの連続する項を考えてみましょう。 それらを数直線上にマークしてみましょう。
数直線上の等差数列の項$((a)_(1)) ,\ ではなく、任意の用語 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ を特にマークしました。 ((a)_(2))、\ ((a)_(3))$ など なぜなら、これから説明するルールはどの「セグメント」にも同じように機能するからです。
そしてルールはとても簡単です。 漸化式を覚えて、マークされたすべての用語について書き留めてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \終了(整列)\]
ただし、これらの等式は別の方法で書き直すことができます。
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \終了(整列)\]
だから何? そして、項 $((a)_(n-1))$ と $((a)_(n+1))$ が $((a)_(n)) $ から同じ距離にあるという事実。 そして、この距離は $d$ に等しくなります。 $((a)_(n-2))$ と $((a)_(n+2))$ という項についても同じことが言えます - これらは $((a)_(n) からも削除されます)$ は $2d$ に等しい同じ距離にあります。 私たちは無限に続けることができますが、その意味は絵によってよく示されています
これは私たちにとって何を意味するのでしょうか? これは、隣接する数値がわかっていれば $((a)_(n))$ を見つけることができることを意味します。
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
私たちは、等差数列のすべての項が、隣接する項の算術平均に等しいという素晴らしいステートメントを導き出しました。 さらに: $((a)_(n))$ から 1 ステップではなく、$k$ ステップずつ左右に後退することができます。その場合でも、式は正しいままです。
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
それらの。 $((a)_(100))$ と $((a)_(200))$ がわかっていれば、いくつかの $((a)_(150))$ を簡単に見つけることができます。 (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$。 一見すると、この事実は何の役にも立たないように思えるかもしれません。 ただし、実際には、多くの問題は算術平均を使用するように特別に調整されています。 ご覧ください:
タスクその6。 数値 $-6((x)^(2))$、$x+1$、および $14+4((x)^(2))$ が連続する項である $x$ の値をすべて検索します。等差数列 (示された順序で)。
解決。 これらの数値は数列のメンバーであるため、算術平均条件が満たされます。中心要素 $x+1$ は、隣接する要素に関して表現できます。
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \終了(整列)\]
クラシックになりました 二次方程式。 その根、$x=2$ と $x=-3$ が答えです。
答え: -3; 2.
タスクNo.7。 数値 $-1;4-3;(()^(2))+1$ が等差数列を形成する $$ の値を (この順序で) 見つけます。
解決。 再び、隣接する項の算術平均を通じて中間項を表現してみましょう。
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \右。; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \終了(整列)\]
またまた二次方程式。 ここでも、$x=6$ と $x=1$ という 2 つのルートがあります。
答え: 1; 6.
問題を解決する過程で、ひどい数字が出てきた場合、または見つかった答えの正しさについて完全に確信が持てない場合は、問題を正しく解決できたかどうかを確認できる素晴らしいテクニックがあります。
問題番号 6 で、答え 3 と 2 を受け取ったとします。これらの答えが正しいことをどのように確認できるでしょうか。 それらを元の状態に接続して、何が起こるか見てみましょう。 3 つの数値 ($-6(()^(2))$、$+1$、$14+4(()^(2))$) があることを思い出してください。これらは等差数列を形成する必要があります。 $x=-3$ を代入してみましょう。
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50。 \終了(整列)\]
−54という数字が得られました。 −2; 50 と 52 の差は間違いなく等差数列です。 $x=2$ についても同じことが起こります。
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30。 \終了(整列)\]
再び進行しますが、差は 27 です。したがって、問題は正しく解決されました。 2 番目の問題を自分でチェックしたい人は、すぐに言っておきますが、そこもすべて正しいです。
一般に、最後の問題を解決しているときに、別の問題に遭遇しました。 興味深い事実これも覚えておく必要があります。
3 つの数値が 2 番目の数値が最初と最後の数値の算術平均である場合、これらの数値は等差数列を形成します。
将来的には、このステートメントを理解することで、問題の状況に基づいて必要な展開を文字通り「構築」できるようになります。 しかし、そのような「構築」に取り組む前に、すでに議論したことから直接派生するもう1つの事実に注意を払う必要があります。
もう一度数値軸に戻りましょう。 おそらくその間に、進行の何人かのメンバーがいることに注目してみましょう。 他のメンバーにとっても価値があります:
数直線上にマークされた要素が 6 つあります$((a)_(n))$ と $d$ で「左のしっぽ」を、$((a)_(k))$ と $d$ で「右のしっぽ」を表現してみます。 とても簡単です:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d。 \\ \終了(整列)\]
ここで、次の金額が等しいことに注意してください。
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \終了(整列)\]
簡単に言うと、進行の 2 つの要素 (合計で $S$ に等しい) を開始点として考え、次にこれらの要素から反対方向 (互いに近づくか、逆に遠ざかる) にステップを開始すると、次のようになります。それから 私たちがつまずくであろう要素の合計も等しいでしょう$S$。 これは、次の図で最も明確に表すことができます。
理解 この事実より根本的に問題を解決できるようになります ハイレベル上で検討したものよりも困難な場合があります。 たとえば、次のようなものがあります。
タスクNo.8。 最初の項が 66 で、2 番目と 12 番目の項の積が可能な限り最小となる等差数列の差を求めます。
解決。 知っていることをすべて書き留めてみましょう。
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min 。 \終了(整列)\]
したがって、進行の差 $d$ はわかりません。 実際には、積 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ は次のように書き換えることができるため、ソリューション全体はその違いを中心に構築されます。
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)。 \終了(整列)\]
タンク内の人々へ: 私は 2 番目のブラケットから全体の乗数 11 を取り出しました。 したがって、必要な積は変数 $d$ に関する二次関数になります。 したがって、関数 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ を考えます。そのグラフは上に枝がある放物線になります。 括弧を展開すると、次のようになります。
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
ご覧のとおり、最高項の係数は 11 です。これは正の数なので、実際には上向きの枝を持つ放物線を扱っていることになります。
スケジュール 二次関数- 放物線注意してください: この放物線は、横軸 $((d)_(0))$ の頂点で最小値をとります。 もちろん、この横軸は標準的なスキーム ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ という式があります) を使用して計算できますが、次のように注意する方がはるかに合理的です。目的の頂点が放物線の軸対称上にあるため、点 $((d)_(0))$ は方程式 $f\left(d \right)=0$ の根から等距離にあります。
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6。 \\ \終了(整列)\]
だからこそ、私はブラケットを開くことを特に急いでいませんでした。元の形では、ルートは非常に簡単に見つけることができました。 したがって、横軸は数値 -66 と -6 の算術平均に等しくなります。
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
発見された数字は何をもたらすのでしょうか? これにより、必要な積は最小値になります (ちなみに、$((y)_(\min ))$ を計算したことはありません。これは必要ありません)。 同時に、この数値は元の進行との差、つまり 私たちは答えを見つけました:)
答え: −36
タスクNo.9。 数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac(1)(6)$ の間に 3 つの数値を挿入して、これらの数値と一緒に等差数列を形成します。
解決。 基本的に、最初と最後の数字がすでにわかっている 5 つの数字のシーケンスを作成する必要があります。 欠落している数値を変数 $x$、$y$、$z$ で表しましょう。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
数値 $y$ は数列の「中間」であることに注意してください。数値 $x$ と $z$、および数値 $-\frac(1)(2)$ と $-\frac から等距離にあります。 (1)(6)$。 そして、$x$ と $z$ という数字からすると、 現時点で$y$ を取得できない場合、進行の終わりでは状況が異なります。 算術平均を思い出してみましょう。
$y$ がわかったので、残りの数値を求めます。 $x$ は数値 $-\frac(1)(2)$ と先ほど見つけた $y=-\frac(1)(3)$ の間にあることに注意してください。 それが理由です
同様の推論を使用して、残りの数を求めます。
準備ができて! 3 つの数字がすべて見つかりました。 元の数字の間に入れる順番で答えに書きましょう。
答え: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
タスクNo.10。 挿入された数字の最初、2 番目、最後の数字の合計が 56 であることがわかっている場合、数字 2 と 42 の間にいくつかの数字を挿入し、これらの数字と一緒に等差数列を形成します。
解決。 さらに複雑な問題ですが、これは前述のものと同じスキームに従って、算術平均によって解決されます。 問題は、正確にいくつの数値を挿入する必要があるかがわからないことです。 したがって、すべてを挿入した後は正確に $n$ の数値が存在し、それらの最初の数値は 2、最後の数値は 42 であると確実に仮定しましょう。この場合、必要な等差数列は次の形式で表すことができます。
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
ただし、数値 $((a)_(2))$ と $((a)_(n-1))$ は、端の数値 2 と 42 から互いに 1 ステップずつ取得されることに注意してください。つまり 。 シーケンスの中心に移動します。 そして、これが意味するのは、
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
ただし、上に書いた式は次のように書き換えることができます。
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \終了(整列)\]
$((a)_(3))$ と $((a)_(1))$ がわかれば、進行の違いを簡単に見つけることができます。
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5。 \\ \終了(整列)\]
残っているのは、残りの項を見つけることだけです。
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \終了(整列)\]
したがって、すでに 9 番目のステップで、シーケンスの左端、つまり数値 42 に到達します。合計で、挿入する必要がある数値は 7 つだけです。 12; 17; 22; 27; 32; 37.
答え: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
最後に、いくつかの比較的単純な問題について考えてみたいと思います。 そうですね、とても単純なことです。学校で数学を勉強していて、上に書かれていることを読んでいないほとんどの生徒にとって、これらの問題は難しいように思えるかもしれません。 ただし、これらは OGE や数学の統一州試験で出題されるタイプの問題なので、よく理解しておくことをお勧めします。
タスクNo.11。 チームは 1 月に 62 個の部品を作成しました。 来月前回よりも 14 個多くの部品を作成しました。 チームは 11 月に何個のパーツを作成しましたか?
解決。 明らかに、月ごとにリストされる部品の数は等差数列の増加を表します。 さらに:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
11 月は年の 11 番目の月なので、$((a)_(11))$ を見つける必要があります。
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
したがって、11月に202個の部品が生産されることになります。
タスクNo.12。 製本ワークショップでは 1 月に 216 冊の本を製本し、その後の各月では前年度よりも 4 冊多く製本しました。 12月のワークショップで何冊製本しましたか?
解決。 すべて同じです:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
12 月は年の最後の 12 月であるため、$((a)_(12))$ を探しています。
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
これが答えです。12 月には 260 冊の本が製本されます。
さて、ここまで読んでいただいた方には、急いでお祝いを申し上げたいと思います。あなたは等差数列における「若手戦士のコース」を無事に完了しました。 次のレッスンに進んでいただいても問題ありません。そこでは、進行の合計の公式と、そこから得られる重要で非常に役立つ結果について学びます。
等差数列と等比数列
理論情報
理論情報
等差数列 |
幾何級数 |
|
意味 |
等差数列 あ、ん 2 番目から始まる各メンバーが、同じ番号に前のメンバーを加算したものと等しいシーケンスです。 d (d- 進行度の差) |
幾何級数 bnゼロ以外の数値のシーケンスであり、2 番目から始まる各項は、前の項に同じ数値を乗算したものと等しくなります。 q (q- 進行の分母) |
漸化式 |
あらゆるナチュラルに n |
あらゆるナチュラルに n |
式n項 |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1、b n ≠ 0 |
特徴的な性質 | ||
最初の n 項の合計 |
コメント付きタスクの例
タスク 1
等差数列では ( あ、ん) 1 = -6, 2
n番目の項の式によると、次のようになります。
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21日
条件によると:
1= -6 の場合 22= -6 + 21 d 。
進行の違いを見つける必要があります。
d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
答え : 22 = -48.
タスク 2
等比数列の 5 番目の項を見つけます: -3; 6;....
第1の方法(n項公式を使用)
等比数列の n 項の公式によると、次のようになります。
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
なぜなら b1 = -3,
2番目の方法(漸化式を使用)
数列の分母は -2 (q = -2) なので、次のようになります。
b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
答え : b5 = -48.
タスク 3
等差数列では ( a n ) a 74 = 34; 76= 156. この数列の 75 番目の項を見つけます。
等差数列の場合、特性プロパティは次の形式になります。 .
このことから、次のようになります。
.
データを式に代入してみましょう。
答え:95。
タスク 4
等差数列では ( a n ) a n= 3n - 4. 最初の 17 項の合計を求めます。
等差数列の最初の n 項の合計を求めるには、2 つの公式が使用されます。
.
どれが入っているのか この場合より使いやすくなりましたか?
条件によって、元の数列の n 番目の項の公式がわかります ( あ、ん) あ、ん= 3n - 4. すぐに見つけることができ、 1、 そして 16 dが見つからずに。 したがって、最初の式を使用します。
答え:368。
タスク5
等差数列では( あ、ん) 1 = -6; 2= -8。 進行の第 22 項を見つけます。
n番目の項の式によると、次のようになります。
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+21日。
条件によっては、 1= -6 の場合 22= -6 + 21d 。 進行の違いを見つける必要があります。
d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
答え : 22 = -48.
タスク6
等比数列のいくつかの連続した項が書かれます。
x で示される数列の項を見つけます。
解くときはn次項の公式を使います。 b n = b 1 ∙ q n - 1のために 等比数列。 進行の第一期。 数列 q の分母を見つけるには、数列の指定された項のいずれかを取得し、前の項で割る必要があります。 この例では、 を取得して除算できます。 q = 3 が得られます。与えられた等比数列の 3 番目の項を見つける必要があるため、式では n の代わりに 3 を代入します。
見つかった値を式に代入すると、次のようになります。
.
答え : 。
タスク 7
第n項の式で与えられる等差数列のうち、条件を満たすものを選択する 27 > 9:
なぜなら 与えられた条件数列の 27 番目の項で満たされる必要がある場合、4 つの数列のそれぞれで n の代わりに 27 を代入します。 4 番目の進行では次のようになります。
.
答え: 4.
タスク8
等差数列で 1= 3、d = -1.5。 特定 最高値不等式が成り立つ n あ、ん > -6.
等差数列の問題は古代から存在していました。 彼らは現実的な必要があるために現れて解決策を要求しました。
それで、パピルスの一つに 古代エジプトこの文書には数学的な内容が含まれています - リンド・パピルス (紀元前 19 世紀) - には次の課題が含まれています。パン 10 メジャーを 10 人に分配します。ただし、それぞれの尺度の差が 8 分の 1 であることを条件とします。」
そして、古代ギリシャ人の数学的著作には、等差数列に関連したエレガントな定理があります。 したがって、アレクサンドリアのヒプシクルズ (2 世紀、多くの興味深い問題を作成し、ユークリッド原論に 14 冊目の本を追加した) は次の考えを定式化しました。 偶数後半の項の合計は、前半の項の合計よりも項数の 1/2 の 2 乗だけ大きくなります。」
シーケンスは an で示されます。 シーケンスの番号はそのメンバーと呼ばれ、通常はこのメンバーのシリアル番号を示すインデックス付きの文字で指定されます (a1、a2、a3 ... 読み:「a 1st」、「a 2nd」、「a 3rd」)等々 )。
シーケンスは無限または有限にすることができます。
等差数列とは何ですか? これは、前の項 (n) に同じ数 d を加えたものを意味し、数列の差になります。
もしd<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 の場合、この進行は増加していると見なされます。
最初の数項のみが考慮される場合、等差数列は有限と呼ばれます。 メンバーの数が非常に多いため、これはすでに終わりのない進歩です。
等差数列は次の式で定義されます。
an =kn+b、b と k は数値です。
逆のステートメントはまったく真です。シーケンスが同様の式で与えられる場合、それはまさに次の特性を持つ等差数列になります。
等差数列の任意の 4 つの数の特性は、n + m = k + l (m、n、k は数列数) の場合、an + am = ak + al という式で表すことができます。
等差数列では、次の式を使用して必要な (N 番目の) 項を見つけることができます。
たとえば、等差数列の最初の項 (a1) が与えられ、3 に等しく、差 (d) が 4 に等しいとします。 この数列の 45 番目の項を見つける必要があります。 a45 = 1+4(45-1)=177
式 an = ak + d(n - k) を使用すると、既知の場合、k 番目の項のいずれかを介して等差数列の n 番目の項を決定できます。
等差数列の項の合計 (有限数列の最初の n 項を意味します) は次のように計算されます。
Sn = (a1+an) n/2。
第 1 項も既知の場合は、計算に別の式が便利です。
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n。
n 個の項を含む等差数列の合計は次のように計算されます。
計算式の選択は、問題の条件と初期データによって異なります。
1、2、3、...、n、...などの任意の数の自然系列 最も単純な例等差数列。
等差数列に加えて、等比数列もあり、独自の特性と特徴があります。