二次関数の導関数。二次関数とそのグラフ

家族と人間関係 13.10.2019

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二次関数は次の形式の関数です。
y=a*(x^2)+b*x+c、
ここで、a は未知の x の最高次数の係数です。
b - 未知の x の係数、
c は無料会員です。二次関数のグラフは放物線と呼ばれる曲線です。全体図

放物線は下の図に示されています。

図1 放物線の全体図。いくつかありますさまざまな方法で

二次関数をプロットします。そのうちの主要かつ最も一般的なものを見ていきます。

二次関数をプロットするためのアルゴリズム y=a*(x^2)+b*x+c

1. 座標系を構築し、単位セグメントをマークし、座標軸にラベルを付けます。
2. 放物線の分岐の方向 (上または下) を決定します。

これを行うには、係数 a の符号を確認する必要があります。プラスがあれば枝は上に向き、マイナスがあれば枝は下に向きます。
3. 放物線の頂点の x 座標を決定します。

これを行うには、Xvertex = -b/2*a という式を使用する必要があります。
4. 放物線の頂点の座標を決定します。

これを行うには、方程式 Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c に x の代わりに、前の手順で見つかった Xverhiny の値を代入します。

5. 結果の点をグラフ上にプロットし、それを通る対称軸を Oy 座標軸に平行に描きます。
6. グラフと Ox 軸の交点を見つけます。

これを行うには、既知の方法のいずれかを使用して二次方程式 a*(x^2)+b*x+c = 0 を解く必要があります。方程式に実根がない場合、関数のグラフは Ox 軸と交差しません。
7. グラフと Oy 軸の交点の座標を見つけます。

これを行うには、値 x=0 を方程式に代入し、y の値を計算します。これとそれと対称な点をグラフ上にマークします。
8. 任意の点 A(x,y) の座標を求めます。

9. グラフ上の結果の点を滑らかな線で結び、極点を超えて座標軸の端までグラフを続けます。グラフのリーダーにラベルを付けるか、スペースが許せばグラフ自体に沿ってラベルを付けます。

プロット例

例として、方程式 y=x^2+4*x-1 で与えられる二次関数をプロットしてみましょう。
1. 座標軸を描画し、ラベルを付け、単位セグメントをマークします。
2. 係数値 a=1、b=4、c=-1。 a=1 は 0 より大きいので、放物線の枝は上向きになります。
3. 放物線の頂点の X 座標 Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2 を決定します。
4. 放物線の頂点の座標 Y を決定します。
頂点 = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5。
5. 頂点をマークし、対称軸を描きます。
6. 二次関数のグラフと Ox 軸の交点を見つけます。二次方程式 x^2+4*x-1=0 を解きます。
x1=-2-√3 x2=-2+√3。得られた値をグラフ上にマークします。
7. グラフと Oy 軸の交点を見つけます。
x=0; y=-1
8. 任意の点 B を選択します。その座標を x=1 とします。
すると、y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4となります。
9. 結果の点を接続し、グラフに署名します。

与えられた方法論的資料これは参照のみを目的としており、幅広いトピックに適用されます。この記事では、基本的な初等関数のグラフの概要を説明し、次の点について説明します。最も重要な質問 – グラフを正しく素早く作成する方法。勉強中高等数学基本的な初等関数のグラフを知らないと難しいので、放物線、双曲線、サイン、コサインなどのグラフがどのようなものかを覚えて、関数の値をいくつか覚えておくことが非常に重要です。主な関数のいくつかのプロパティについても説明します。

私は資料の完全性や科学的徹底性を主張しません。まず第一に、実践に重点を置きます。 高等数学のあらゆるトピックにおいて、文字通りあらゆる段階で遭遇します。。ダミー用のチャート？そう言えるかもしれない。

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そして、すぐに始めましょう:

座標軸を正しく構築するにはどうすればよいですか?

実際には、テストはほとんどの場合、正方形に並べられた別々のノートに生徒によって記入されます。なぜ市松模様のマークが必要なのでしょうか? 結局のところ、作業は原則としてA4シートで行うことができます。そして、ケージは高品質で正確な図面設計のためにのみ必要です。

関数グラフの描画は座標軸から始まります。.

図面は 2 次元または 3 次元にすることができます。

まず二次元の場合を考えてみましょう デカルト直交座標系:

1) 座標軸を描きます。軸はと呼ばれます X軸、軸は y軸。私たちは常にそれらを描こうとしています きちんとしていて曲がっていない。矢印はパパ・カルロのひげに似ていてはなりません。

2) 軸にラベルを付ける大文字で「X」と「Y」。 軸にラベルを付けることを忘れないでください.

3) 軸に沿ってスケールを設定します。 0と2の1を描く。図面を作成するときに、最も便利で頻繁に使用されるスケールは、1 ユニット = 2 セル (左側の図面) - 可能であれば、これに固執します。ただし、図面がノートブックのシートに収まらない場合があります。その場合は、縮尺を縮小します。1 ユニット = 1 セル (右側の図面)。まれですが、図面の縮尺をさらに縮小 (または拡大) する必要がある場合があります。

「マシンガン」...-5、-4、-3、-1、0、1、2、3、4、5、... する必要はありません。なぜなら、座標面はデカルトの記念碑ではないし、学生は鳩ではないからである。置きますゼロそして 軸に沿って 2 つのユニット。時々 の代わりに単位を指定する場合、横軸に「2」、縦軸に「3」など、他の値を「マーク」すると便利です。また、このシステム (0、2、および 3) は座標グリッドも一意に定義します。

図面を作成する前に、図面の推定寸法を見積もることをお勧めします。。したがって、たとえば、頂点、、を持つ三角形を描画する必要があるタスクの場合、一般的な 1 ユニット = 2 セルのスケールが機能しないことは完全に明らかです。なぜ？要点を見てみましょう。ここでは、15センチメートル下を測定する必要がありますが、明らかに、図面はノートのシートに収まりません（またはかろうじて収まります）。したがって、すぐに小さいスケール (1 ユニット = 1 セル) を選択します。

ちなみにセンチとノートセルくらい。ノートのマス目30枚に15センチが入るって本当ですか？楽しみのために、定規を使ってノートの 15 センチメートルを測ってください。ソ連では、これは真実だったかもしれません...同じセンチメートルを水平方向と垂直方向に測定すると、(セル内の) 結果が異なることに注目するのは興味深いことです。厳密に言えば、現代のノートは市松模様ではなく長方形です。これはナンセンスに思えるかもしれませんが、このような状況で、たとえばコンパスで円を描くのは非常に不便です。正直に言うと、そのような瞬間に、国内の自動車産業、飛行機の墜落、発電所の爆発は言うまでもなく、生産中のハッキング作業のために収容所に送られた同志スターリンの正しさについて考え始めます。

品質について、あるいは文具に関する簡単なおすすめについて。現在、販売されているノートブックのほとんどは、控えめに言っても完全に駄作です。ゲルペンだけでなくボールペンも濡れる理由！紙のコストを節約できます。登録用テスト高価ですが、アルハンゲリスクパルプ製紙工場のノートブック（18枚、正方形）または「Pyaterochka」を使用することをお勧めします。ゲルペンを選択することをお勧めします。たとえ安価な中国製のゲルリフィルであっても、紙が汚れたり破れたりするボールペンよりもはるかに優れています。私が覚えている唯一の「競争力のある」ボールペンはエーリッヒ・クラウスです。彼女は、芯が詰まっていても、ほとんど空っぽでも、明確に、美しく、一貫して書きます。

さらに: 解析幾何学の目から見た直交座標系のビジョンについては、この記事で説明されています ベクトルの線形 (非) 依存性。ベクトルの基礎, 詳細情報座標の四半期については、レッスンの 2 番目の段落で確認できます。 線形不等式.

3Dケース

ここもほぼ同じですね。

1) 座標軸を描きます。標準： 軸適用 – 上方向、axis – 右方向、axis – 左下方向 厳密に 45度の角度で。

2) 軸にラベルを付けます。

3) 軸に沿ってスケールを設定します。 軸に沿ったスケールは、他の軸に沿ったスケールより 2 倍小さい。また、右の図では軸に沿って非標準の「ノッチ」を使用していることにも注意してください。 (この可能性についてはすでに上で述べました)。私の観点からすると、これはより正確で、より速く、より審美的に美しいです。顕微鏡で細胞の中央を探して、座標の原点に近いユニットを「彫刻」する必要はありません。

3D 図面を作成するときも、スケールを優先してください
1 ユニット = 2 セル (左の図)。

これらのルールは何のためにあるのでしょうか? ルールは破られるために作られています。それが今からやることです。実際のところ、記事のその後の図は私が Excel で作成することになるため、座標軸は観点からは間違って見えるでしょう。正しい設計。すべてのグラフを手動で描くこともできますが、Excel はグラフをより正確に描画しようとしないため、グラフを描くのは実際には怖いです。

グラフと初等関数の基本特性

一次関数は次の方程式で与えられます。一次関数のグラフは次のようになります。直接。直線を作成するには、2 つの点を知るだけで十分です。

例1

関数のグラフを作成します。 2つの点を見つけてみましょう。ポイントの 1 つとしてゼロを選択することが有利です。

の場合、

別の点、たとえば 1 を見てみましょう。

の場合、

タスクを完了すると、通常、点の座標が表にまとめられます。

そして、値自体は口頭または草案、電卓で計算されます。

2 つの点が見つかったので、図を描いてみましょう。

図面を作成するときは、必ずグラフィックスに署名します.

線形関数の特殊なケースを思い出すと役に立ちます。

署名をどのように配置したかに注目してください。 図面を検討する際に、署名に不一致があってはならない。でこの場合線の交点の隣やグラフ間の右下に署名を入れることは非常に望ましくありませんでした。

1) () の形の一次関数を正比例といいます。例えば、。正比例グラフは常に原点を通過します。したがって、直線の構築は単純化され、1 つの点を見つけるだけで十分です。

2) 形式の方程式は軸に平行な直線を指定します。特に軸自体は方程式によって与えられます。関数のグラフは、点を見つけることなくすぐにプロットされます。つまり、このエントリは次のように理解される必要があります。「x の値がどのような場合でも、y は常に -4 に等しい」ということです。

3) 形式の方程式は、軸に平行な直線を指定します。特に、軸自体は方程式によって与えられます。関数のグラフもすぐにプロットされます。このエントリは、「y のどの値に対しても、x は常に 1 に等しい」と理解する必要があります。

なぜ6年生のことを覚えているのかと疑問に思う人もいるでしょう。それはその通りですし、おそらくそうなのかもしれませんが、私は長年の練習を通じて、やのようなグラフを作成するという課題に困惑している十数人の生徒に出会ってきました。

直線を作成することは、図面を作成するときに最も一般的な操作です。

直線については解析幾何学の過程で詳しく説明されているので、興味のある方は記事を参照してください。 平面上の直線の方程式.

2次関数、3次関数のグラフ、多項式のグラフ

放物線。 2次関数のグラフ ()内は放物線を表します。有名なケースを考えてみましょう。

関数のいくつかのプロパティを思い出してみましょう。

したがって、方程式の解は次のようになります。 – 放物線の頂点が位置するのはこの点です。なぜそうなるのかは、導関数に関する理論的な記事と関数の極値に関するレッスンから学ぶことができます。それまでの間、対応する「Y」値を計算してみましょう。

したがって、頂点は点にあります

次に、放物線の対称性を厚かましくも利用しながら、他の点を見つけます。注意すべき機能は、 – 均等ではないしかし、それにもかかわらず、放物線の対称性をキャンセルする人は誰もいませんでした。

残りのポイントをどのような順序で見つけるかは、最終的な表から明らかになるでしょう。

この構築アルゴリズムは、比喩的に、アンフィサ・チェーホワの「シャトル」または「往復」原理と呼ぶことができます。

絵を描いてみましょう:

調べたグラフから、別の便利な機能が思い浮かびます。

二次関数の場合 () 以下は真実です:

の場合、放物線の枝は上向きになります。.

の場合、放物線の枝は下を向いています。.

曲線に関する深い知識は、双曲線と放物線のレッスンで得ることができます。

三次放物線は関数によって与えられます。これは学校でおなじみの絵です。

関数の主なプロパティをリストしてみましょう

関数のグラフ

放物線の枝の 1 つを表します。絵を描いてみましょう:

関数の主なプロパティ:

この場合の軸は、 垂直漸近線 の双曲線のグラフの場合。

意思大きな間違い, 図面を作成するときに、うっかりグラフが漸近線と交差することを許可してしまった場合。

また、片側極限からは、双曲線が次のようになります。 上から限定されないそして 下から限定されない.

無限大での関数を調べてみましょう。つまり、軸に沿って左 (または右) に無限に移動し始めると、「ゲーム」は規則正しいステップになります。 無限に近いゼロに近づき、それに応じて双曲線の枝も 無限に近い軸に近づく。

それで軸は 水平漸近線 関数のグラフの場合、「x」がプラスまたはマイナス無限大になる傾向がある場合。

機能は奇数、したがって、双曲線は原点に対して対称になります。この事実図面からも明らかであり、さらに分析的にも簡単に検証できます。 .

() 形式の関数のグラフは、双曲線の 2 つの分岐を表します。.

の場合、双曲線は座標の第 1 四半期と第 3 四半期に位置します。(上の写真を参照)。

の場合、双曲線は座標の 2 番目と 4 番目の四半期に位置します。.

示された双曲線居住パターンは、グラフの幾何学的変換の観点から分析するのが容易です。

例 3

双曲線の右枝を作成する

点ごとの構築方法を使用します。整数で割り切れるように値を選択すると有利です。

絵を描いてみましょう:

双曲線の左枝を作成するのは難しくありません。関数の奇妙さがここで役に立ちます。大まかに言うと、点ごとの構成表で、頭の中で各数字にマイナスを加え、対応する点を配置し、2 番目の分岐を描画します。

考慮した線に関する詳細な幾何学的情報は、「双曲線と放物線」の記事に記載されています。

指数関数のグラフ

高等数学の問題では 95% の場合に指数関数が現れるため、このセクションではすぐに指数関数について考えます。

これは無理数であることを思い出させてください。これはグラフを作成するときに必要になります。実際、私は儀式なしでグラフを作成します。 3つのポイント、おそらくそれで十分です:

関数のグラフは今のところそのままにしておきますが、これについては後で詳しく説明します。

関数の主なプロパティ:

関数グラフなどは基本的に同じように見えます。

2 番目のケースは、実際にはそれほど頻繁には発生しませんが、実際に発生するため、この記事に含める必要があると考えました。

対数関数のグラフ

自然対数をもつ関数を考えてみましょう。
ポイントごとの描画を作成してみましょう。

対数を忘れた場合は、学校の教科書を参照してください。

関数の主なプロパティ:

定義のドメイン:

値の範囲: 。

機能は上記に限定されません。、ゆっくりではありますが、対数の分岐は無限大まで上がります。
右側のゼロに近い関数の動作を調べてみましょう。。それで軸は 垂直漸近線 関数のグラフの場合、「x」は右からゼロになる傾向があります。

対数の典型的な値を知り、覚えておくことが不可欠です: .

原則として、底を底とする対数のグラフは同じように見えます: 、、(10 を底とする 10 進対数) など。さらに、底辺が大きいほど、グラフは平坦になります。

このケースについては考慮しません。そのような根拠に基づいて最後にグラフを作成したのがいつだったか覚えていません。そして、高等数学の問題において対数が登場することは非常にまれであるようです。

この段落の最後にもう一つ事実を述べておきます。 指数関数と対数関数– これらは 2 つの相互に逆関数です。対数のグラフをよく見ると、これは同じ指数であり、位置が少し異なるだけであることがわかります。

三角関数のグラフ

三角関数の拷問は学校のどこから始まりますか? 右。正弦波から

関数をプロットしてみましょう

この行は次のように呼ばれます 正弦波.

「円周率」は無理数であることを思い出してください。三角関数では目がまぶしくなります。

関数の主なプロパティ:

この機能は 定期的な期間付き。それはどういう意味ですか？セグメントを見てみましょう。その左右には、グラフの全く同じ部分が延々と繰り返されます。

定義のドメイン: つまり、「x」の任意の値には正弦値が存在します。

値の範囲: 。機能は限定: つまり、すべての「ゲーム」は厳密にセグメント内に存在します。
これは起こりません。より正確に言えば、起こりますが、これらの方程式には解がありません。

放物線を作るにはどうすればよいでしょうか？二次関数をグラフ化するにはいくつかの方法があります。それぞれに長所と短所があります。 2 つの方法を考えてみましょう。

まず、y=x²+bx+c および y= -x²+bx+c の形式の二次関数をプロットしましょう。

例。

関数 y=x²+2x-3 をグラフにします。

解決：

y=x²+2x-3 は二次関数です。グラフは上に枝がある放物線です。放物線の頂点座標

頂点 (-1;-4) から放物線 y=x² のグラフを作成します (座標の原点からのように。(0;0) の代わりに頂点 (-1;-4)。 -4) 右に 1 単位、上に 1 単位進み、次に左に 1 単位、上に 1 単位で移動します。2 - 右、4 - 上、2 - 左、9 - 上、3 -左、9 - 上これらの 7 ポイントが不十分な場合は、右に 4、上に 16 など)。

二次関数 y= -x²+bx+c のグラフは放物線であり、その枝は下に向いています。グラフを構築するには、頂点の座標を探し、そこから放物線 y= -x² を構築します。

例。

関数 y= -x²+2x+8 をグラフにします。

解決：

y= -x²+2x+8 は二次関数です。グラフは下に枝がある放物線です。放物線の頂点座標

上から放物線 y= -x² (1 - 右に、1 - 下; 1 - 左、1 - 下; 2 - 右、4 - 下; 2 - 左、4 - 下など) を作成します。

この方法を使用すると、放物線をすばやく作成でき、関数 y=x² および y= -x² のグラフの作成方法を知っていれば、難しくありません。欠点: 頂点の座標が小数の場合、グラフを構築するのはあまり便利ではありません。グラフと Ox 軸の交点の正確な値を知る必要がある場合は、さらに方程式 x²+bx+c=0 (または -x²+bx+c=0) を解く必要があります。これらの点が図面から直接決定できる場合。

放物線を作成するもう 1 つの方法は点によるものです。つまり、グラフ上でいくつかの点を見つけて、それらを通る放物線を描くことができます (線 x=xₒ が対称軸であることを考慮して)。通常、この目的のために、放物線の頂点、グラフと座標軸の交点、および 1 ～ 2 つの追加点を取得します。

関数 y=x²+5x+4 のグラフを描きます。

解決：

y=x²+5x+4 は二次関数です。グラフは上に枝がある放物線です。放物線の頂点座標

つまり、放物線の頂点が点 (-2.5; -2.25) になります。

探しています。 Ox 軸との交点 y=0: x²+5x+4=0。ルーツ二次方程式 x1=-1、x2=-4、つまり、グラフ上に 2 つの点 (-1; 0) と (-4; 0) が得られます。

グラフと Oy 軸 x=0 の交点: y=0²+5∙0+4=4。ポイントを獲得しました (0; 4)。

グラフを明確にするために、追加の点を見つけることができます。 x=1 だとすると、y=1²+5∙1+4=10、つまりグラフ上の別の点は (1; 10) になります。これらの点を座標平面上にマークします。頂点を通る線に対する放物線の対称性を考慮して、さらに 2 つの点 (-5; 6) と (-6; 10) をマークし、それらを通る放物線を描きます。