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ヴィトゥス・ベーリングの第二次カムチャツカ遠征の歴史を読んでいて気づいたのですが…
私たちは「」というテーマについて研究を続けています。 方程式を解く」 私たちはすでに一次方程式に慣れており、次は次のことに慣れようとしています。 二次方程式.
まず、二次方程式とは何か、そしてそれがどのように記述されるかを見てみましょう。 全体像、および関連する定義を示します。 この後、例を使用して、不完全な 2 次方程式がどのように解かれるかを詳しく調べます。 解決策に移りましょう 完全な方程式, 根の公式を求め、二次方程式の判別式に慣れ、代表的な例の解法を考えていきます。 最後に、根と係数の間の関係をたどってみましょう。
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二次方程式とは何ですか? それらのタイプ
まず、二次方程式とは何かを明確に理解する必要があります。 したがって、二次方程式についての会話は、二次方程式の定義と関連する定義から始めるのが論理的です。 この後、二次方程式の主なタイプ、つまり縮小された方程式と非縮小方程式、および完全な方程式と不完全な方程式を検討できます。
二次方程式の定義と例
意味。
二次方程式は次の形式の方程式です a×2+bx+c=0ここで、x は変数、a、b、c は数値、a はゼロ以外です。
すぐに、二次方程式は二次方程式と呼ばれることが多いと言いましょう。 これは、二次方程式が次のとおりであるという事実によるものです。 代数方程式二級。
述べられた定義により、二次方程式の例を示すことができます。 つまり、2 x 2 +6 x+1=0、0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 などとなります。 これらは二次方程式です。
意味。
数字 a、b、c と呼ばれます 二次方程式の係数 a・x 2 +b・x+c=0、係数 a は最初の係数、または最高の係数、または x 2 の係数と呼ばれ、b は 2 番目の係数、または x の係数、c は自由項です。 。
たとえば、5 x 2 −2 x −3=0 という形式の二次方程式を考えてみましょう。ここでは、最初の係数は 5、2 番目の係数は −2、自由項は −3 です。 先ほどの例のように、係数 b および/または c が負の場合、二次方程式の短縮形は 5 x 2 +(－2 ) ではなく 5 x 2 －2 x－3=0 になることに注意してください。・x+(−3)=0 。
係数 a および/または b が 1 または -1 に等しい場合、それらは通常、二次方程式に明示的に存在しません。これは、そのような の記述の特殊性によるものです。 たとえば、二次方程式 y 2 -y+3=0 では、先頭の係数は 1 であり、y の係数は -1 に等しくなります。
縮小および非縮小二次方程式
先頭の係数の値に応じて、換算二次方程式と非換算二次方程式が区別されます。 対応する定義を示しましょう。
意味。
先頭の係数が 1 である二次方程式を次のように呼びます。 与えられた二次方程式。 それ以外の場合、二次方程式は次のようになります。 手付かずの.
によると この定義、二次方程式 x 2 −3・x+1=0、x 2 −x−2/3=0 など。 – 与えられた場合、それぞれの最初の係数は 1 に等しい。 A 5 x 2 −x−1=0 など - 非還元二次方程式。その主要係数は 1 とは異なります。
縮小されていない二次方程式から、両辺を先頭の係数で割ることにより、縮小された方程式に進むことができます。 このアクションは等価変換です。つまり、この方法で得られた縮小二次方程式は、元の縮小されていない二次方程式と同じ根を持つか、同様に根を持ちません。
非縮小二次方程式から縮小二次方程式への遷移がどのように実行されるかの例を見てみましょう。
例。
方程式 3 x 2 +12 x−7=0 から、対応する縮小二次方程式に進みます。
解決。
元の方程式の両辺を先頭の係数 3 で割るだけで済みます。これはゼロではないので、このアクションを実行できます。 (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 があり、これは同じで、(3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 となり、(3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0、ここから 。 このようにして、元の二次方程式と等価な縮小二次方程式が得られました。
答え：
完全および不完全な二次方程式
二次方程式の定義には、a≠0 という条件が含まれています。 この条件は、方程式 a x 2 + b x + c = 0 が 2 次であるために必要です。a = 0 のとき、実際には b x + c = 0 の形式の一次方程式になるからです。
係数 b と c については、個別に、または一緒にゼロに等しくすることができます。 このような場合、二次方程式は不完全と呼ばれます。
意味。
二次方程式 a x 2 +b x+c=0 と呼ばれます。 不完全、係数 b、c の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合。
順番に
意味。
完全な二次方程式は、すべての係数がゼロとは異なる方程式です。
このような名前は偶然に付けられたものではありません。 このことは、以下の議論から明らかになるであろう。
係数 b が 0 の場合、二次方程式は a・x 2 +0・x+c=0 の形式になり、方程式 a・x 2 +c=0 と等価になります。 c=0、つまり二次方程式の形式が a・x 2 +b・x+0=0 の場合、a・x 2 +b・x=0 と書き直すことができます。 そして、b=0 および c=0 の場合、二次方程式 a・x 2 =0 が得られます。 結果として得られる方程式は、左側に変数 x を含む項、自由項、またはその両方が含まれていないという点で、完全な 2 次方程式とは異なります。 したがって、それらの名前は不完全二次方程式です。
したがって、方程式 x 2 +x+1=0 および −2 x 2 −5 x+0.2=0 は完全な 2 次方程式の例であり、x 2 =0、−2 x 2 =0、5 x 2 +3=0 となります。 , −x 2 −5 x=0 は不完全な 2 次方程式です。
不完全な二次方程式を解く
前の段落の情報から、次のことがわかります。 3 種類の不完全二次方程式:
- ａ・ｘ ２ ＝０、係数ｂ＝０およびｃ＝０がそれに対応する。
- b=0 の場合、a x 2 +c=0 ;
- ｃ＝０の場合、ａ・ｘ ２ ＋ｂ・ｘ＝０となる。
これらのタイプのそれぞれの不完全な二次方程式がどのように解かれるかを順番に見てみましょう。
a x 2 =0
係数 b と c がゼロに等しい不完全な 2 次方程式、つまり a x 2 =0 の形式の方程式を解くことから始めましょう。 方程式ａ・ｘ ２ ＝０は、方程式ｘ ２ ＝０と等価であり、両方の部分をゼロ以外の数ａで除算することによって元から得られる。 明らかに、0 2 =0 であるため、方程式 x 2 =0 の根はゼロです。 この方程式には他の根がありません。これは、ゼロ以外の数値 p に対して不等式 p 2 >0 が成り立つという事実によって説明されます。これは、p≠0 に対して、等号 p 2 =0 は決して達成されないことを意味します。
したがって、不完全な 2 次方程式 a・x 2 =0 は単一の根 x=0 を持ちます。
例として、不完全な二次方程式 −4 x 2 =0 の解を与えます。 これは方程式 x 2 =0 と同等であり、その唯一の根は x=0 です。したがって、元の方程式には 1 つの根ゼロがあります。
この場合の簡単な解決策は次のように書くことができます。
−4 x 2 =0 、
× 2 =0、
x=0 。
a×2+c=0
ここで、係数 b が 0 で c≠0 である不完全 2 次方程式、つまり a x 2 +c=0 の形式の方程式がどのように解かれるかを見てみましょう。 方程式の一方の辺から符号が反対のもう一方の辺に項を移動したり、方程式の両辺をゼロ以外の数値で除算すると等価な方程式が得られることがわかっています。 したがって、不完全な二次方程式 a x 2 +c=0 の次の等価変換を実行できます。
- c を右側に移動すると、方程式 a x 2 =−c が得られます。
- 両辺を a で割ると、 が得られます。
結果として得られる方程式により、その根に関する結論を導き出すことができます。 a と c の値に応じて、式の値は負の値 (たとえば、a=1 および c=2 の場合、 ) または正の値 (たとえば、a=−2 および c=6 の場合、 then)、条件 c≠0 により、これは 0 に等しくありません。 ケースを分けて見てみましょう。
の場合、方程式には根がありません。 このステートメントは、任意の数値の 2 乗は負ではないという事実から導かれます。 このことから、 のとき、任意の数 p に対して等式は成り立たないことがわかります。
の場合、方程式の根の状況が異なります。 この場合、 について覚えていれば、 であるため、方程式の根はすぐに明らかになります。 確かに、この数値が方程式の根でもあることは容易に推測できます。 この方程式には、矛盾などによって示される他の根はありません。 これをやってみましょう。
先ほど発表した方程式の根を x 1 および −x 1 と表します。 方程式には、示された根 x 1 および −x 1 とは異なるもう 1 つの根 x 2 があるとします。 x の代わりにその根を方程式に代入すると、方程式が正しい数値的等式になることが知られています。 x 1 と −x 1 については が得られ、x 2 については が得られます。 数値等式の特性により、正しい数値等式の項ごとの減算を実行できるため、等式の対応する部分を減算すると、x 1 2 −x 2 2 =0 が得られます。 数値を使った演算の特性により、結果の等価性を (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 として書き換えることができます。 2 つの数値の積がゼロに等しいことは、それらの少なくとも 1 つがゼロに等しい場合にのみわかります。 したがって、結果として得られる等価性から、x 1 −x 2 =0 および/または x 1 +x 2 =0 となり、これは同じ、x 2 =x 1 および/または x 2 =-x 1 となります。 最初に方程式 x 2 の根は x 1 および −x 1 とは異なると述べたので、矛盾に気づきました。 これは、方程式には と 以外の根がないことが証明されます。
この段落の情報をまとめてみましょう。 不完全な 2 次方程式 a x 2 +c=0 は、次の方程式と等価です。
- の場合はルートがありません。
- 2 つのルートがあり、 の場合、 。
a・x 2 +c=0 の形式の不完全な 2 次方程式を解く例を考えてみましょう。
二次方程式 9 x 2 +7=0 から始めましょう。 自由項を方程式の右側に移動すると、9 x 2 = −7 の形式になります。 結果の方程式の両辺を 9 で割ると、 が得られます。 右辺が負の数であるため、この方程式には根がありません。したがって、元の不完全な 2 次方程式 9 x 2 +7 = 0 には根がありません。
別の不完全な二次方程式 −x 2 +9=0 を解いてみましょう。 9 を右側に移動します: −x 2 =−9。 ここで、両辺を −1 で割ると、x 2 =9 が得られます。 右側には正の数があり、そこから または と結論付けられます。 次に、最終的な答えを書き留めます。不完全な 2 次方程式 −x 2 +9=0 には 2 つの根 x=3 または x=−3 があります。
a x 2 +b x=0
c=0 に対する最後のタイプの不完全二次方程式の解を扱うことが残っています。 a x 2 + b x = 0 の形式の不完全な 2 次方程式を解くことができます。 因数分解法。 明らかに、方程式の左側にあるように、括弧内の共通因数 x を取り出すだけで十分です。 これにより、元の不完全な 2 次方程式から、x・(a・x+b)=0 の形式の等価方程式に移行することができます。 そして、この方程式は 2 つの方程式 x=0 と a・x+b=0 のセットと等価であり、後者は線形で根 x=−b/a を持ちます。
したがって、不完全な 2 次方程式 a・x 2 +b・x=0 には 2 つの根 x=0 と x=−b/a があります。
資料を統合するために、特定の例に基づいてソリューションを分析します。
例。
方程式を解きます。
解決。
x を括弧から外すと、次の式が得られます。 これは、2 つの方程式 x=0 と に相当します。 得られたものを解決する 一次方程式: 、帯分数を普通の分数で割ることで、 が得られます。 したがって、元の方程式の根は x=0 と です。
必要な練習を積めば、そのような方程式の解は簡単に書くことができます。
答え：
x=0 , .
判別式、二次方程式の根の公式
二次方程式を解くにはルート公式があります。 書き留めてみましょう 二次方程式の根の公式： 、 どこ D=b 2 −4 a c- いわゆる 二次方程式の判別式。 このエントリは本質的に次のことを意味します。
ルート公式がどのように導出されたか、またそれが二次方程式のルートを求める際にどのように使用されるかを知ることは役に立ちます。 これを理解しましょう。
二次方程式の根の公式の導出
二次方程式 a・x 2 +b・x+c=0 を解く必要があります。 同等の変換をいくつか実行してみましょう。
- この方程式の両辺をゼロ以外の数値 a で割ると、次の二次方程式が得られます。
- 今 完全な正方形を選択するその左側: 。 この後、方程式は次の形式になります。
- この段階では、最後の 2 つの項を反対の符号を使って右側に移すことができます。
- そして、右側の式も変形してみましょう。
その結果、元の 2 次方程式 a・x 2 +b・x+c=0 と等価な方程式が得られます。
前の段落で検討したときに、同様の形式の方程式を既に解いています。 これにより、方程式の根に関して次の結論を導き出すことができます。
- の場合、方程式には実際の解がありません。
- の場合、方程式は の形式を持ち、したがって となり、そこから唯一の根が見えます。
- if 、then or 、これは or と同じです。つまり、方程式には 2 つの根があります。
したがって、方程式の根の有無、したがって元の二次方程式は、右辺の式の符号に依存します。 次に、分母 4・a 2 は常に正であるため、この式の符号は分子の符号によって決まります。つまり、式 b 2 -4・a・c の符号によって決まります。 この式 b 2 −4 a c は 二次方程式の判別式そして手紙で指定された D。 ここから、判別式の本質は明らかです。その値と符号に基づいて、二次方程式に実根があるかどうか、また、ある場合はその数が 1 または 2 であると結論付けられます。
方程式に戻って、判別表記を使用して書き直してみましょう。 そして、次のような結論を導き出します。
- Dの場合<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- D=0 の場合、この方程式の根は 1 つになります。
- 最後に、D>0 の場合、方程式には 2 つの根 or があり、これは or の形式で書き直すことができ、分数を展開して共通の分母にすると得られます。
そこで、二次方程式の根の公式を導き出しました。それらは次のようになります。ここで、判別式 D は式 D=b 2 −4・a・c によって計算されます。
これらの助けを借りて、正の判別式を使用して、二次方程式の実根を両方とも計算できます。 判別式がゼロに等しい場合、両方の式は同じ根の値を与え、二次方程式の一意の解に対応します。 また、負の判別式では、二次方程式の根の公式を使用しようとすると、負の数の平方根を抽出する必要が生じ、学校のカリキュラムの範囲を超えてしまいます。 負の判別式を使用すると、二次方程式には実根はありませんが、ペアがあります。 複素共役ルート。これは、取得したのと同じルート公式を使用して見つけることができます。
ルート公式を使用して二次方程式を解くアルゴリズム
実際には、二次方程式を解くときに、ルート公式を使用してその値をすぐに計算できます。 しかし、これはより複雑なルートを見つけることに関係しています。
ただし、学校の代数コースでは通常、 私たちが話しているのは複素数についてではなく、二次方程式の実根についてです。 この場合、二次方程式の根の公式を使用する前に、まず判別式を見つけて、それが負でないことを確認することをお勧めします (そうしないと、方程式には実根がないと結論付けることができます)。そしてルートの値を計算するだけです。
上記の推論により、次のように書くことができます 二次方程式を解くアルゴリズム。 二次方程式 a x 2 +b x+c=0 を解くには、次のことを行う必要があります。
- 判別式D=b 2 −4・a・cを用いてその値を計算する。
- 判別式が負の場合、二次方程式には実根がないと結論付けます。
- D=0 の場合、式を使用して方程式の唯一の根を計算します。
- 判別式が正の場合、ルート公式を使用して二次方程式の 2 つの実根を求めます。
ここでは、判別式がゼロに等しい場合、 と同じ値が得られる式を使用することもできることに注意してください。
二次方程式を解くためのアルゴリズムの使用例に進むことができます。
二次方程式を解く例
正、負、ゼロの判別式を使用した 3 つの二次方程式の解を考えてみましょう。 それらの解を扱ったので、類推により、他の二次方程式を解くことが可能になります。 始めましょう。
例。
方程式 x 2 +2・x−6=0 の根を求めます。
解決。
この場合、二次方程式の係数は次のようになります: a=1、b=2、c=−6。 アルゴリズムによれば、まず判別式を計算する必要があります。これを行うには、指定された a、b、c を判別式に代入します。 D=b 2 −4・a・c=2 2 −4・1・(−6)=4+24=28。 28>0、つまり判別式はゼロより大きいため、二次方程式には 2 つの実根があります。 ルート公式を使用してそれらを見つけてみましょう。 が得られます。ここで、次のようにして結果の式を簡略化できます。 乗数をルート記号を超えて移動する次に分数の換算が続きます。
答え：
次の典型的な例に移りましょう。
例。
二次方程式 −4 x 2 +28 x−49=0 を解きます。
解決。
まず判別式を見つけることから始めます。 D=28 2 −4・(−4)・(−49)=784−784=0。 したがって、この二次方程式には根が 1 つあり、次のようになります。
答え：
x=3.5。
負の判別式を使用して二次方程式を解くことを検討する必要があります。
例。
方程式 5・y 2 +6・y+2=0 を解きます。
解決。
二次方程式の係数は次のとおりです: a=5、b=6、c=2。 これらの値を判別式に代入すると、 D=b 2 −4・a・c=6 2 −4・5・2=36−40=−4。 判別式は負であるため、この二次方程式には実根がありません。
複素根を示す必要がある場合は、二次方程式の根によく知られている公式を適用して、 複素数を使った演算:
答え：
実際のルートはなく、複雑なルートは次のとおりです。
二次方程式の判別式が負の場合、学校では通常、実根は存在せず、複素根は見つからないことを示す答えをすぐに書き留めることにもう一度注意してください。
偶数 2 番目の係数の根の式
二次方程式の根の公式、D=b 2 −4·a·c を使用すると、よりコンパクトな形式の公式を取得でき、x の偶数係数を使用して (または単純に を使用して) 二次方程式を解くことができます。たとえば、形式 2·n の係数、または 14·ln5=2·7·ln5 )。 彼女を外に出しましょう。
a x 2 +2 n x+c=0 の形式の二次方程式を解く必要があるとします。 私たちが知っている公式を使用してそのルーツを見つけてみましょう。 これを行うために、判別式を計算します。 D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)、そしてルート公式を使用します。
式 n 2 −a c を D 1 と表します (D " で表されることもあります)。その場合、2 番目の係数 2 n を考慮した二次方程式の根の公式は次の形式になります。 
ここで、Ｄ １ ＝ｎ ２ −ａ・ｃである。
Ｄ＝４・Ｄ １ 、すなわちＤ １ ＝Ｄ／４であることが容易にわかる。 言い換えると、D 1 は判別式の 4 番目の部分です。 D 1 の符号が D の符号と同じであることは明らかです。 つまり、符号Ｄ１は、２次方程式の根の有無を示す指標でもある。
したがって、2 番目の係数 2·n を使用して二次方程式を解くには、次のものが必要です。
- D 1 =n 2 −a・c を計算します。
- D1の場合<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 =0 の場合、次の式を使用して方程式の唯一の根を計算します。
- D 1 >0 の場合、次の式を使用して 2 つの実根を求めます。
この段落で得られたルート公式を使用して例を解くことを考えてみましょう。
例。
二次方程式 5 x 2 −6 x −32=0 を解きます。
解決。
この方程式の 2 番目の係数は 2・(-3) として表すことができます。 つまり、元の 2 次方程式を 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 (ここでは a=5、n=−3、c=−32) の形式で書き直して、次の 4 番目の部分を計算できます。判別式: D 1 =n 2 −a・c=(−3) 2 −5・(−32)=9+160=169。 その値が正であるため、方程式には 2 つの実根があります。 適切なルート公式を使用してそれらを見つけてみましょう。
二次方程式の根に通常の公式を使用することも可能ですが、この場合はより多くの計算作業を実行する必要があることに注意してください。
答え：
二次方程式の形式を簡略化する
場合によっては、数式を使用して二次方程式の根を計算し始める前に、「この方程式の形式を単純化することは可能ですか?」という質問をしても問題はありません。 計算に関しては、1100 x 2 −400 x−600=0 よりも 2 次方程式 11 x 2 −4 x−6=0 を解く方が簡単であることに同意します。
通常、二次方程式の形式を単純化するには、両辺を特定の数で乗算または除算します。 たとえば、前の段落では、両辺を 100 で割ることによって、方程式 1100 x 2 −400 x −600=0 を簡略化することができました。
同様の変換は二次方程式で実行されますが、その係数は ではありません。 この場合、通常、方程式の両辺はその係数の絶対値で除算されます。 たとえば、二次方程式 12 x 2 −42 x+48=0 を考えてみましょう。 その係数の絶対値: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6。 元の二次方程式の両辺を 6 で割ると、等価な二次方程式 2 x 2 −7 x+8=0 が得られます。
また、二次方程式の両辺の乗算は、通常、分数係数を取り除くために行われます。 この場合、乗算は係数の分母によって実行されます。 たとえば、二次方程式の両辺に LCM(6, 3, 1)=6 を掛けると、より単純な形式 x 2 +4・x−18=0 になります。
この点の結論として、ほとんどの場合、すべての項の符号を変更することによって、二次方程式の最高係数のマイナスを取り除くことに注意します。これは、両辺に −1 を掛ける (または割る) ことに相当します。 たとえば、通常、二次方程式 −2 x 2 −3 x+7=0 から解 2 x 2 +3 x−7=0 に進みます。
二次方程式の根と係数の関係
二次方程式の根の公式は、係数を通じて方程式の根を表します。 根の公式に基づいて、根と係数の間の他の関係を取得できます。
ビエタの定理からの最もよく知られ、適用可能な公式は、 と の形式です。 特に、指定された 2 次方程式の場合、根の合計は符号が反対の 2 番目の係数に等しく、根の積は自由項に等しくなります。 たとえば、二次方程式 3 x 2 −7 x + 22 = 0 の形を見ると、その根の合計は 7/3 に等しく、根の積は 22 に等しいとすぐに言えます。 /3.
すでに記述された式を使用すると、二次方程式の根と係数の間の他の多くの関係を取得できます。 たとえば、二次方程式の根の二乗和を係数で表すことができます。
参考文献。
- 代数：教科書 8年生用。 一般教養 機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。 編集者 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2008. - 271 p. ： 病気。 - ISBN 978-5-09-019243-9。
- モルドコビッチ A.G.代数。 8年生。 2 時間で パート 1。一般教育機関の学生向けの教科書 / A. G. モルドコビッチ。 - 第 11 版、削除されました。 - M.: Mnemosyne、2009. - 215 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-01155-2。
二次方程式は中学2年生で習うので、難しいことは何もありません。 それらを解決する能力が絶対に必要です。
二次方程式は、ax 2 + bx + c = 0 の形式の方程式です。ここで、係数 a、b、c は任意の数であり、a ≠ 0 です。
具体的な解法を学ぶ前に、すべての二次方程式は 3 つのクラスに分類できることに注意してください。
- 彼らには根がありません。
- ルートは 1 つだけです。
- 彼らには2つの異なるルーツがあります。
これは、根が常に存在し一意である二次方程式と線形方程式の重要な違いです。 方程式の根の数を確認するにはどうすればよいですか? これには素晴らしいことがあります - 判別式.
判別式
二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 が与えられると、判別式は単に数値 D = b 2 − 4ac になります。
この公式を暗記する必要があります。 それがどこから来たのかは今では重要ではありません。 もう 1 つ重要なことは、判別式の符号によって、二次方程式の根がいくつあるかを判断できることです。 つまり:
- Dの場合< 0, корней нет;
- D = 0 の場合、ルートは 1 つだけ存在します。
- D > 0 の場合、根は 2 つになります。
注意してください: 判別式は根の数を示し、何らかの理由で多くの人が信じているように、根の符号はまったく示しません。 例を見てみれば、すべてを理解できるでしょう。
タスク。 二次方程式には根がいくつありますか:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0。
最初の方程式の係数を書き出して、判別式を見つけてみましょう。
a = 1、b = −8、c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
したがって、判別式は正であるため、方程式には 2 つの異なる根があります。 2 番目の方程式を同様の方法で分析します。
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131。
判別式は負であり、根はありません。 残った最後の方程式は次のとおりです。
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0。
判別式はゼロです - 根は 1 になります。
各方程式に係数が記載されていることに注意してください。 はい、長いです、はい、退屈ですが、可能性を混同したり愚かな間違いを犯したりすることはありません。 スピードか品質か、自分で選択してください。
ちなみに、コツを掴めば、しばらくすると係数をすべて書き留める必要がなくなります。 このような操作を頭の中で実行します。 ほとんどの人は、50 ～ 70 個の方程式が解かれた後のどこかでこれを開始しますが、一般的にはそれほど多くはありません。
二次方程式の根
それでは、解決策自体に移りましょう。 判別式 D > 0 の場合、根は次の式を使用して求めることができます。
二次方程式の根の基本公式
D = 0 の場合、これらの式のいずれかを使用できます。同じ数値が得られ、それが答えとなります。 最後に、D の場合< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- × 2 + 12x + 36 = 0。
最初の方程式:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16。
D > 0 ⇒ 方程式には根が 2 つあります。 それらを見つけてみましょう:
2 番目の方程式:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64。
D > 0 ⇒ この方程式にも根が 2 つあります。 見つけてみましょう
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \終了(整列)\]
最後に、3 番目の方程式は次のようになります。
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0。
D = 0 ⇒ 方程式の根は 1 つです。 任意の式を使用できます。 たとえば、最初のものは次のとおりです。
例からわかるように、すべては非常に簡単です。 公式を知っていて計算ができれば問題ありません。 ほとんどの場合、式に負の係数を代入するとエラーが発生します。 ここでも、上で説明したテクニックが役に立ちます。式を文字通りに見て、各ステップを書き留めてください。そうすれば、すぐにエラーを取り除くことができます。
不完全な二次方程式
二次方程式が定義で与えられたものとわずかに異なる場合があります。 例えば：
- x 2 + 9x = 0;
- × 2 − 16 = 0。
これらの方程式には項の 1 つが欠けていることに気づくのは簡単です。 このような二次方程式は、標準的な方程式よりも解くのがさらに簡単で、判別式を計算する必要さえありません。 そこで、新しい概念を導入しましょう。
方程式 ax 2 + bx + c = 0 は、b = 0 または c = 0 の場合、つまり、 変数 x または自由要素の係数はゼロに等しい。
もちろん、それは十分に可能です 重症の場合、これらの係数が両方ともゼロに等しい場合: b = c = 0。この場合、方程式は ax 2 = 0 の形式になります。明らかに、このような方程式には 1 つの根があります: x = 0。
残りのケースを考えてみましょう。 b = 0 とすると、ax 2 + c = 0 という形式の不完全な 2 次方程式が得られます。これを少し変形してみましょう。
算術平方根は非負の数のみに存在するため、最後の等式は (−c /a) ≥ 0 の場合にのみ意味を持ちます。 結論:
- ax 2 + c = 0 という形式の不完全な 2 次方程式で、不等式 (−c /a) ≥ 0 が満たされる場合、根は 2 つ存在します。 式は上に示されています。
- (−c /a) の場合< 0, корней нет.
ご覧のとおり、判別式は必要ありません。不完全な 2 次方程式には複雑な計算がまったくありません。 実際、不等式 (−c /a) ≥ 0 を覚える必要さえありません。値 x 2 を表現し、等号の反対側にあるものを確認するだけで十分です。 正の数がある場合、根は 2 つになります。 負の値の場合、ルートはまったく存在しません。
ここで、自由要素がゼロに等しい、ax 2 + bx = 0 の形式の方程式を見てみましょう。 ここではすべてが単純です。常に 2 つのルートが存在します。 多項式を因数分解するだけで十分です。
括弧内の共通因数を取り出す因数の少なくとも 1 つがゼロの場合、積はゼロになります。 根はここから来ています。 結論として、これらの方程式のいくつかを見てみましょう。
タスク。 二次方程式を解く：
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0。
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7。
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6。 根がないので、 平方は負の数に等しくすることはできません。
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5。
コピエフスカヤ田舎中学校
二次方程式を解く 10 の方法
責任者: パトリケエワ ガリーナ アナトリエフナ、
数学の先生
コペボ村、2007
1. 二次方程式の発展の歴史
1.1 古代バビロンの二次方程式
1.2 ディオファントスが二次方程式をどのように構成し、解いたか
1.3 インドの二次方程式
1.4 アル・ホレズミによる二次方程式
1.5 ヨーロッパ XIII ～ XVII 世紀の二次方程式
1.6 ビエタの定理について
2. 二次方程式の解法
結論
文学
1. 二次方程式の発展の歴史
1.1 古代バビロンの二次方程式
古代においてさえ、一次方程式だけでなく二次方程式を解く必要があったのは、土地区画の面積の発見や軍事的な性質の掘削作業に関連した問題を解決する必要があったからです。天文学や数学そのものの発展と同様に。 二次方程式は紀元前 2000 年頃に解けるようになりました。 e. バビロニア人。
現代の代数表記を使用すると、彼らの楔形文字テキストには、不完全なものに加えて、たとえば完全な二次方程式が存在すると言えます。
× 2 + × = ¾; × 2 - × = 14,5
バビロニアの文書に記載されているこれらの方程式を解くための規則は、基本的に現代のものと一致しますが、バビロニア人がどのようにしてこの規則に到達したのかは不明です。 これまでに発見されたほぼすべての楔形文字テキストは、レシピの形で提示された解決策を伴う問題のみを提供しており、それらがどのように発見されたのかについては示されていません。
にもかかわらず ハイレベルバビロンで代数学が発展したため、楔形文字テキストには負の数の概念が欠けており、 一般的な方法二次方程式を解くこと。
1.2 ディオファントスが二次方程式をどのように構成し、解いたか。
ディオファントスの『算術』には、代数学の体系的な表現は含まれていませんが、説明を伴い、さまざまな次数の方程式を構築することによって解決される体系的な一連の問題が含まれています。
ディオファントスは方程式を作成するとき、未知数を巧みに選択して解を単純化します。
たとえば、これは彼の仕事の 1 つです。
問題11。「合計が 20 で積が 96 であることを知って、2 つの数値を見つけてください。」
ディオファントスは次のように推論します。問題の条件から、必要な数は等しくないことがわかります。なぜなら、それらが等しい場合、その積は 96 ではなく 100 に等しくなるからです。したがって、それらの 1 つは以上になります。それらの合計の半分、つまり 。 10 + ×、もう一方は小さい、つまり 10代。 それらの違い 2倍 .
したがって、次の方程式が成り立ちます。
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - × 2 = 96
× 2 - 4 = 0 (1)
ここから x = 2。 必要な数値の 1 つが次と等しい 12 、 他の 8 。 解決 x = -2ギリシャの数学は正の数しか知らなかったため、ディオファントスは存在しないからです。
必要な数値の 1 つを未知数として選択してこの問題を解決すると、方程式の解が得られます。
y(20 - y) = 96、
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
ディオファントスが、必要な数の半差を未知数として選択することにより、解を単純化していることは明らかです。 彼は問題を不完全な二次方程式 (1) を解くことになんとか還元しました。
1.3 インドの二次方程式
二次方程式に関する問題は、インドの数学者で天文学者のアリヤバッタによって 499 年に編纂された天文論文「アリヤバティアム」にすでに記載されています。 別のインドの科学者、ブラフマグプタ（7世紀）は次のように概説しています。 原則二次方程式の解は単一の正準形式に変換されます。
ああ 2 + b x = c、a > 0。 (1)
式 (1) の係数は、 あ、マイナスになることもあります。 ブラフマグプタの規則は本質的に私たちの規則と同じです。
で 古代インド難しい問題を解決するための公開コンテストが一般的でした。 インドの古い本の一つには、そのような競技について次のように書かれています。「太陽がその輝きで星を上回るように、学識のある人は公の集会で代数問題を提案し、解決して他の人の栄光を上回ります。」 問題は詩的な形式で提示されることがよくありました。
これは、12 世紀の有名なインドの数学者の問題の 1 つです。 バスカーズ。
問題13。
「陽気な猿の群れ そしてブドウの木に沿って 12 匹…
当局は食事をして楽しんだ。 彼らは飛び跳ねたり、ぶら下がったりし始めました...
広場には猿がいます、パート 8 猿は何匹いましたか?
クリアリングを楽しんでました。 教えてください、このパックには？
バスカラ氏の解は、二次方程式の根が 2 値であることを彼が知っていたことを示しています (図 3)。
問題 13 に対応する式は次のとおりです。
( × /8) 2 + 12 = ×
バスカラはこう装って書いている。
x 2 - 64x = -768
そして、この方程式の左辺を正方形にするには、両辺を加算します。 32 2 、そして次を取得します:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024、
(x - 32) 2 = 256、
x - 32 = ± 16、
x 1 = 16、x 2 = 48。
1.4 al の二次方程式 - ホレズミ
アル・ホレズミの代数論文では、一次方程式と二次方程式の分類が示されています。 著者は6種類の方程式を数え、以下のように表現します。
1) 「平方根は根に等しい」、つまり 斧 2 + c = b X.
2) 「正方形は数字に等しい」、つまり 斧 2 = c。
3) 「根は数字に等しい」、つまり ああ=す。
4) 「平方根と数字は根に等しい」、つまり 斧 2 + c = b X.
5) 「二乗と根は数字に等しい」、つまり ああ 2 + bx = s.
6) 「根と数は平方に等しい」、つまり bx + c = ax 2 。
負の数の使用を避けたアル・ホレズミにとって、これらの各式の項は加数であり、減算ではありません。 この場合、正の解をもたない方程式は明らかに考慮されません。 著者は、アル・ジャブルとアル・ムカバラの手法を使用してこれらの方程式を解く方法を説明します。 もちろん、彼の決定は私たちの決定と完全に一致するわけではありません。 これが純粋に修辞的なものであることは言うまでもなく、たとえば、最初のタイプの不完全な二次方程式を解くとき、次のことに注意する必要があります。
アル・ホレズミは、17 世紀以前のすべての数学者と同様に、ゼロ解を考慮していません。これはおそらく、特定の実際的な問題ではゼロ解が重要ではないためです。 完全な二次方程式を解くとき、アル・ホレズミは特定の数値例を使用してそれらを解くための規則を示し、次に幾何学的証明を示します。
問題14。「正方形と21という数字は10の根に等しい。 根を探せ』 (方程式の根 x 2 + 21 = 10x を意味します)。
著者の解決策は次のようなものです。根の数を半分に割ると 5 が得られ、5 をそのまま掛けて積から 21 を引くと、残りは 4 になります。4 から根を取ると 2 が得られます。5 から 2 を引きます。 、3 を取得すると、これが目的のルートになります。 または、2 に 5 を足すと 7 になります。これもルートです。
アル・ホレズミの論文は、二次方程式の分類を体系的に説明し、その解の公式を与えた、私たちに伝えられた最初の本です。
1.5 ヨーロッパにおける二次方程式 XIII - XVII bb
ヨーロッパのアル・ホレズミの方針に沿って二次方程式を解くための公式は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチによって 1202 年に書かれたそろばんの本に初めて記載されました。 この膨大な著作には、イスラム諸国と両国の数学の影響が反映されています。 古代ギリシャ、プレゼンテーションの完全性と明瞭さの両方によって区別されます。 著者は独自にいくつかの新しいものを開発しました 代数的な例問題を解決し、ヨーロッパで初めて負の数を導入しました。 彼の本は、イタリアだけでなく、ドイツ、フランス、その他のヨーロッパ諸国でも代数知識の普及に貢献しました。 そろばんの本からの多くの問題は、16 ～ 17 世紀のヨーロッパのほぼすべての教科書で使用されました。 そして部分的にXVIII。
二次方程式を解くための一般規則は、単一の標準形式にまとめられます。
×2+ bx = c、
係数符号の考えられるすべての組み合わせに対して b , とヨーロッパでは 1544 年に M. シュティーフェルによってのみ策定されました。
一般形式で二次方程式を解く公式の導出は Vieth から入手できますが、Vieth は正の根のみを認識しました。 イタリアの数学者タルターリア、カルダーノ、ボンベリは 16 世紀の最初の数学者の一人です。 正の根に加えて、負の根も考慮されます。 17世紀のみ。 ジラール、デカルト、ニュートン、その他の科学者の研究のおかげで、二次方程式を解く方法は現代的な形になりました。
1.6 ビエタの定理について
二次方程式の係数とその根との関係を表す定理は、ヴィエタにちなんで名付けられ、1591 年に彼によって次のように初めて定式化されました。 B + D、乗算 あ - あ 2 、等しい BD、 それ あ等しい でそして等しい D ».
Vieta を理解するには、次のことを覚えておく必要があります。 あは、他の母音文字と同様に、未知のもの (私たちの ×)、母音 で、 D- 未知の係数。 現代代数学の言語では、上記の Vieta 定式化は次のことを意味します。
(+ b )x - x 2 = 腹筋 ,
× 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a、x 2 = b .
ビエテは方程式の根と係数の関係を記号を使って書かれた一般式で表現し、方程式の解き方の統一性を確立しました。 しかし、ベトの象徴性はまだ遠いです。 モダンな外観。 彼は負の数を認識しなかったため、方程式を解くとき、すべての根が正である場合のみを考慮しました。
2. 二次方程式の解法
二次方程式は、代数学の壮大な建造物を支える基礎です。 二次方程式が見つかる 幅広い用途三角関数、指数関数、対数、無理数、超越方程式や不等式を解くとき。 私たちは皆、二次方程式の解き方を知っています。 学生時代（8年生）卒業まで。
方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 判別式を使用すると、次の形式の一般式を使用して二次方程式を解くことができます。
判別式は多項式の次数に応じて異なります。 上の式は、次の形式の二次方程式を解くのに適しています。
判別式には、知っておく必要がある次の特性があります。
* 多項式に複数の根がある (根が等しい) 場合、「D」は 0 です。
* 「D」は多項式の根に関して対称な多項式であり、したがってその係数における多項式です。 さらに、この多項式の係数は、根がとられる拡張に関係なく整数です。
次の形式の二次方程式が与えられたとします。
1 方程式
式によれば、次のようになります。
\ なので、方程式には根が 2 つあります。 それらを定義しましょう:
オンライン判別ソルバーを使用して方程式を解くにはどこでできますか?
この方程式は、当社の Web サイト https://site で解くことができます。 無料のオンライン ソルバーを使用すると、あらゆる複雑な方程式を数秒でオンラインで解くことができます。 ソルバーにデータを入力するだけです。 また、ビデオの説明を見て、方程式の解き方を Web サイトで調べることもできます。質問がある場合は、VKontakte グループ http://vk.com/pocketTeacher で質問することができます。 私たちのグループに参加してください。いつでも喜んでお手伝いいたします。
二次方程式 - 簡単に解けます！ ※以下「KU」といいます。皆さん、数学において、このような方程式を解くことほど簡単なことはないと思われるでしょう。 しかし、多くの人が彼に関して問題を抱えていることを何かが教えてくれました。 Yandex が毎月どれだけのオンデマンド インプレッションを発生させるかを確認することにしました。 何が起こったのか、見てください。
それはどういう意味ですか？ これは、月に約 70,000 人がこの情報を探していることを意味します。この夏はそれとどのような関係があるのでしょうか、また、この夏の間で何が起こるのでしょうか。 学年— リクエストは 2 倍になります。 これは驚くべきことではありません。ずっと前に学校を卒業し、統一国家試験の準備をしている男女がこの情報を探しており、小学生も記憶を新たにしようと努めているからです。
この方程式の解き方を解説するサイトはたくさんありますが、私も寄稿して資料を公開することにしました。 まず、訪問者がこのリクエストに基づいて私のサイトに来てほしいと考えています。 次に、他の記事で「KU」の話題が出た際には、この記事へのリンクを貼ります。 第三に、彼の解決策について、通常他のサイトで述べられている内容よりももう少し詳しく説明します。 始めましょう!記事の内容:
二次方程式は次の形式の方程式です。
ここで、係数 a、bおよび c は任意の数で、a≠0 です。
学校のコースでは、資料は次の形式で提供されます。方程式は 3 つのクラスに分割されます。
1. ルーツは 2 つあります。
2. *ルートは 1 つだけです。
3. 彼らには根がありません。 ここで特に注目に値するのは、それらには本当のルーツがないということです。
ルートはどのように計算されますか? ただ！
判別式を計算します。 この「ひどい」という言葉の根底には、非常に単純な公式があります。
根の公式は次のとおりです。
※これらの公式を暗記する必要があります。
すぐに書き留めて解決できます。
例：
1. D > 0 の場合、方程式には 2 つの根があります。
2. D = 0 の場合、方程式の根は 1 つです。
3.Dの場合< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
方程式を見てみましょう。
による この機会に、判別式がゼロの場合、学校のコースでは結果は 1 根、ここでは 9 に等しいと言われます。 どれも正しいし、そうなんですが…。
この考えは多少間違っています。 実は根が２つあるんです。 はい、はい、驚かないでください。2 つの等しい根が得られます。数学的に正確に言うと、答えは 2 つの根を表すはずです。
× 1 = 3 × 2 = 3
しかし、これはそうです - ちょっとした余談です。 学校ではそれを書き留めて、根は1つであると言うことができます。
次の例は次のとおりです。
ご存知のとおり、負の数の根を求めることはできないため、次の解は この場合いいえ。
それが決定プロセス全体です。
二次関数。
これは、ソリューションが幾何学的にどのように見えるかを示しています。 これを理解することは非常に重要です (将来、記事の 1 つで 2 次不等式の解法を詳細に分析します)。
これは次の形式の関数です。
ここで、x と y は変数です
a、b、c – 指定された数値 (a ≠ 0)
グラフは放物線です。
つまり、「y」をゼロとして二次方程式を解くと、放物線と x 軸の交点が見つかることがわかります。 これらの点は 2 つ (判別式が正)、1 つ (判別式がゼロ)、なし (判別式が負) の場合があります。 についての詳細 二次関数 見ることができますインナ・フェルドマンによる記事。
例を見てみましょう:
例 1: 解決する 2倍 2 +8 ×–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
答え: x 1 = 8 x 2 = –12
※式の左辺と右辺を2で割る、つまり簡略化することはすぐにできました。 計算が簡単になります。
例 2: 決める ×2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
x 1 = 11 および x 2 = 11 であることがわかりました。
答えに x = 11 と書いても構いません。
答え: x = 11
例 3: 決める × 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
判別式が負であるため、実数では解がありません。
答え: 解決策はありません
判別式は負です。 解決策はあります！
ここでは負の判別式が得られた場合の式の解き方について説明します。 複素数について何か知っていますか? それらがなぜ、どこで生まれたのか、そして数学におけるそれらの特定の役割と必要性については、ここでは詳しく説明しません。これは大きな別の記事のトピックです。
複素数の概念。
ちょっとした理論。
複素数 z は次の形式の数です。
z = a + bi
ここで、a と b は実数、i はいわゆる虚数単位です。
あ+び – これは単一の数字であり、追加ではありません。
虚数単位はマイナス 1 の根に等しいです。
ここで次の方程式を考えてみましょう。
2 つの共役根が得られます。
不完全な二次方程式。
特殊なケースを考えてみましょう。これは、係数「b」または「c」がゼロに等しい（または両方がゼロに等しい）場合です。 差別的な問題を起こすことなく簡単に解決できます。
ケース 1. 係数 b = 0。
方程式は次のようになります。
変換しましょう:
例：
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
ケース 2. 係数 c = 0。
方程式は次のようになります。
変換して因数分解してみましょう:
*因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。
例：
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 または x–5 =0
× 1 = 0 × 2 = 5
ケース 3. 係数 b = 0 および c = 0。
ここで、方程式の解が常に x = 0 になることは明らかです。
係数の便利なプロパティとパターン。
大きな係数を持つ方程式を解くことができるプロパティがあります。
あ× 2 + bx+ c=0 平等が成り立つ
ある + b+ c = 0、それ
- 方程式の係数の場合 あ× 2 + bx+ c=0 平等が成り立つ
ある+ c =b, それ
これらのプロパティは決定に役立ちます ある種の方程式
例 1: 5001 × 2 –4995 × – 6=0
オッズの合計は 5001+( – 4995)+(– 6) = 0、つまり
例 2: 2501 × 2 +2507 ×+6=0
平等が成り立つ ある+ c =b, 手段
係数の規則性。
1. 方程式 ax 2 + bx + c = 0 の係数「b」が (a 2 +1) に等しく、係数「c」が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しい
ax 2 + (a 2 +1)・x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a。
例。 6x 2 + 37x + 6 = 0 という式を考えてみましょう。
x 1 = –6 x 2 = –1/6。
2. 方程式 ax 2 – bx + c = 0 の係数「b」が (a 2 +1) に等しく、係数「c」が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しいです。
ax 2 – (a 2 +1)・x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a。
例。 15x 2 –226x +15 = 0 という式を考えてみましょう。
× 1 = 15 × 2 = 1/15。
3. 式の場合 ax 2 + bx – c = 0 係数「b」 は (a 2 に等しい) – 1) および係数「c」 係数「a」と数値的に等しい, その場合、その根は等しいです
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a。
例。 17x 2 +288x – 17 = 0 という式を考えてみましょう。
× 1 = – 17 × 2 = 1/17。
4. 方程式 ax 2 – bx – c = 0 の係数「b」が (a 2 – 1) に等しく、係数 c が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しい。
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a。
例。 10x 2 – 99x –10 = 0 という式を考えてみましょう。
× 1 = 10 × 2 = – 1/10
ビエタの定理。
ビエタの定理は、フランスの有名な数学者フランソワ ビエタにちなんで命名されました。 ビエタの定理を使用すると、任意の KU の根の和と積を係数で表現できます。
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
合計すると、14 という数字から得られるのは 5 と 9 だけです。これらは根です。 一定のスキルがあれば、提示された定理を使用して、多くの二次方程式を口頭ですぐに解くことができます。
さらにビエタの定理。 これは、二次方程式を通常の方法 (判別式を介して) で解いた後、結果の根をチェックできるという点で便利です。 これを常に行うことをお勧めします。
輸送方法
この方法では、係数「a」が自由項に「投げられた」かのように乗算されるため、このように呼ばれます。 「転送」方式。この方法は、ビエタの定理を使用して方程式の根を簡単に見つけることができる場合、そして最も重要なことに、判別式が正確な二乗である場合に使用されます。
もし あ± b+c≠ 0 の場合、転送テクニックが使用されます。例:
2× 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => × 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
式 (2) のビエタの定理を使用すると、x 1 = 10 x 2 = 1 を簡単に決定できます。
方程式の結果の根は 2 で割る必要があります (2 つは x 2 から「投げられた」ため)、次のようになります。
× 1 = 5 × 2 = 0.5。
根拠は何ですか? 何が起こっているか見てください。
式 (1) と (2) の判別式は等しいです。
方程式の根を見ると、分母が異なるだけであり、結果は x 2 の係数に正確に依存します。
2 番目の (変更された) ものには 2 倍大きい根があります。
したがって、結果を 2 で割ります。
※3が出た場合は結果を3で割ります。
答え: x 1 = 5 x 2 = 0.5
平方メートル ur-ieと統一国家試験。
その重要性について簡単に説明します。考えずにすぐに判断できなければなりません。根と判別式の公式を暗記する必要があります。 統一国家試験のタスクに含まれる問題の多くは、要するに 2 次方程式 (幾何学的な方程式も含む) を解くことになります。
注目すべき点があります!
1. 方程式を記述する形式は「暗黙的」にすることができます。 たとえば、次のような入力が可能です。
15+9x2 - 45x = 0 または 15x+42+9x 2 - 45x=0 または 15 -5x+10x 2 = 0。
（解くときに混乱しないように）標準的な形式にする必要があります。
2. x は未知の量であり、t、q、p、h などの他の文字で表すことができることに注意してください。
