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この数学プログラムを使用すると、次のことができます 二次方程式を解く.
プログラムは問題に対する答えを与えるだけでなく、次の 2 つの方法で解決プロセスを表示します。
- 判別式を使用する
- ビエタの定理を使用します (可能な場合)。
さらに、答えは近似値ではなく正確なものとして表示されます。
たとえば、方程式 \(81x^2-16x-1=0\) の場合、答えは次の形式で表示されます。
このプログラムは高校生にも役立つかもしれません 中学校に備えて テスト統一州試験の前に知識をテストする試験では、保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理することができます。 それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、できるだけ早く終わらせたいだけですか？宿題
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2 次多項式の入力規則に慣れていない場合は、よく理解しておくことをお勧めします。
2次多項式を入力するためのルール
任意のラテン文字が変数として機能します。
例: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) など。
数値は整数または小数として入力できます。
また、小数は小数の形式だけでなく、普通の分数の形式でも入力できます。
小数部を入力するときのルール。
小数部では、小数部と整数部をピリオドまたはカンマで区切ることができます。 たとえば、次のように入力できます。小数
このように: 2.5x - 3.5x^2
普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数のみです。
分母を負にすることはできません。 /
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。全体の部分 &
アンパサンドで分数と区切ります。
入力: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
結果: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) 式を入力するとき括弧を使用できます
。 この場合、２次方程式を解く際には、まず導入した式を簡略化する。
例: x^2+2x-1
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ちょっとした理論。
二次方程式とその根。 不完全な二次方程式
それぞれの方程式
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
のように見える
\(ax^2+bx+c=0, \)
ここで、x は変数、a、b、c は数値です。
最初の方程式では a = -1、b = 6、c = 1.4、2 番目の方程式では a = 8、b = -7、c = 0、3 番目の方程式では a = 1、b = 0、c = 4/9 です。 このような方程式は次のように呼ばれます 二次方程式.
意味。
二次方程式は、ax 2 +bx+c=0 という形式の方程式と呼ばれます。ここで、x は変数、a、b、c は数値、そして \(a \neq 0 \) です。
数値 a、b、c は 2 次方程式の係数です。 数値 a は第 1 係数、数値 b は第 2 係数、数値 c は自由項と呼ばれます。
ax 2 +bx+c=0 の形式のそれぞれの方程式で、\(a \neq 0 \) は、最も 高度な変数 x は正方形です。 したがって、二次方程式という名前が付けられました。
なお、二次方程式は左辺が 2 次の多項式であるため、2 次方程式とも呼ばれます。
x 2 の係数が 1 に等しい二次方程式をといいます。 与えられた二次方程式。 たとえば、与えられた二次方程式は次の方程式です。
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
二次方程式 ax 2 +bx+c=0 で、係数 b または c の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、そのような方程式は次のように呼ばれます。 不完全な二次方程式。 したがって、方程式 -2x 2 +7=0、3x 2 -10x=0、-4x 2 =0 は不完全な 2 次方程式です。 1 つ目では b=0、2 つ目では c=0、3 つ目では b=0 および c=0。
不完全二次方程式には 3 つのタイプがあります。
1) ax 2 +c=0、ここで \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0、ここで \(b \neq 0 \);
３）ａｘ２＝０。
これらのタイプのそれぞれの方程式を解くことを考えてみましょう。
ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \) の形式の不完全な 2 次方程式を解くには、その自由項を右側に移動し、方程式の両辺を a で割ります。
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
\(c \neq 0 \) なので、 \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
\(-\frac(c)(a)>0\) の場合、方程式には根が 2 つあります。
If \(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) を使用して ax 2 +bx=0 の形式の不完全な 2 次方程式を解くには、その左辺を因数分解して次の方程式を取得します。
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (配列)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(配列) \right。
これは、ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) という形式の不完全な 2 次方程式には常に 2 つの根があることを意味します。
ax 2 =0 という形式の不完全な 2 次方程式は方程式 x 2 =0 と等価であるため、根は 0 だけです。
二次方程式の根の公式
ここで、未知数の係数と自由項の両方が非ゼロである 2 次方程式を解く方法を考えてみましょう。
二次方程式を一般形式で解き、その結果として根の公式を取得します。 この公式を使用して、任意の二次方程式を解くことができます。
二次方程式 ax 2 +bx+c=0 を解きます。
両辺を a で割ると、等価な縮小二次方程式が得られます。
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
二項式の二乗を選択して、この方程式を変形しましょう。
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
根次式は次のように呼ばれます。 二次方程式の判別式 ax 2 +bx+c=0 (ラテン語で「識別」-識別子)。 それは文字 D で指定されます。
\(D = b^2-4ac\)
ここで、判別表記を使用して、二次方程式の根の式を書き直します。
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)、ここで \(D= b^2-4ac \)
次のことは明らかです。
1) D>0 の場合、二次方程式には 2 つの根があります。
2) D=0 の場合、二次方程式には 1 つの根 \(x=-\frac(b)(2a)\) があります。
3) D の場合 したがって、判別式の値に応じて、二次方程式は 2 つの根 (D > 0 の場合)、1 つの根 (D = 0 の場合)、または根なし (D の場合) になります。式を使用するには、次の方法を実行することをお勧めします。
1) 判別式を計算し、それをゼロと比較します。
2) 判別式が正またはゼロの場合は根の公式を使用し、判別式が負の場合は根がないことを書き留めます。
ビエタの定理
指定された 2 次方程式 ax 2 -7x+10=0 には根 2 と 5 があります。根の合計は 7 で、積は 10 です。根の合計は、その逆をとった 2 番目の係数に等しいことがわかります。符号があり、根の積は自由項に等しい。 ルートを持つ縮小二次方程式には、この性質があります。
上の 2 次方程式の根の和は、符号を逆にした 2 番目の係数に等しく、根の積は自由項に等しくなります。
それらの。 ビエタの定理では、縮小二次方程式 x 2 +px+q=0 の根 x 1 と x 2 には次の特性があると述べています。
\(\left\( \begin(配列)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(配列) \right. \)
数学の問題の中には、平方根の値を計算する能力が必要なものもあります。 このような問題には、2 次方程式を解くことが含まれます。 この記事でご紹介するのは、 効果的な方法計算 平方根二次方程式の根の公式を操作するときに使用します。
平方根とは何ですか?
数学では、この概念は記号 √ に対応します。 歴史的データによると、これは 16 世紀前半頃にドイツで初めて使用されました (クリストフ・ルドルフによるドイツ初の代数に関する著作)。 科学者は、指定された記号はラテン文字 r (基数はラテン語で「根」を意味します) が変換されたものであると考えています。
任意の数値の根は、その二乗が根号式に対応する値と等しくなります。 数学の言語では、この定義は次のようになります: y 2 = x の場合、√x = y。
正の数 (x > 0) の根も正の数 (y > 0) ですが、負の数 (x の根) を取ると、< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
以下に 2 つの簡単な例を示します。
3 2 = 9 なので、√9 = 3。 i 2 = -1 なので、√(-9) = 3i。
平方根の値を求めるための Heron の反復公式
上記の例は非常に単純であり、その根を計算することは難しくありません。 自然数の 2 乗として表すことができない値 (√10、√11、√12、√13 など) のルート値を見つける場合でも、実際には問題があることは言うまでもなく、困難が生じ始めます。非整数の根を見つけるのに必要です: たとえば、√(12.15)、√(8.5) など。
上記のすべてのケースで、次を使用する必要があります。 特別な方法平方根の計算。 現在、そのような方法がいくつか知られています。たとえば、テイラー級数展開、列分割などです。 すべての既知の方法の中で、おそらく最も簡単で効果的なのはヘロンの反復公式の使用です。これは平方根を求めるバビロニアの方法としても知られています (古代バビロニア人が実際の計算にそれを使用したという証拠があります)。
√x の値を決定する必要があるとしましょう。 平方根を求める公式は次のとおりです。
a n+1 = 1/2(a n +x/a n)、ここで lim n->∞ (a n) => x。
この数学表記を解読してみましょう。 √x を計算するには、特定の数値 0 を取得する必要があります (これは任意で構いませんが、結果をすぐに得るには、(a 0) 2 が x にできるだけ近くなるようにその数値を選択する必要があります。次に、それを次の式に代入します。平方根を計算するための指定された式を実行し、新しい数値 1 を取得します。この数値はすでに目的の値に近づいています。この後、式に 1 を代入して 2 を取得する必要があります。この手順を繰り返す必要があります。必要な精度が得られます。
Heron の反復公式の使用例
特定の数値の平方根を取得するための上記のアルゴリズムは、多くの人にとって非常に複雑で混乱しているように聞こえるかもしれませんが、実際には、この式は非常に早く収束するため (特に成功した数値 0 が選択された場合)、すべてがはるかに単純であることがわかります。 。
簡単な例を挙げてみましょう。√11 を計算する必要があります。 3 2 = 9 は 4 2 = 16 よりも 11 に近いため、0 = 3 を選択しましょう。式に代入すると、次のようになります。
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;
a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;
a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662。
2 と 3 は小数点第 5 位からのみ違い始めることがわかったので、計算を続ける意味はありません。 したがって、0.0001 の精度で √11 を計算するには、この式を 2 回適用するだけで十分です。
現在、ルートの計算には電卓やコンピューターが広く使用されていますが、正確な値を手動で計算できるように、マークされた式を覚えておくと便利です。
2次方程式
平方根とは何かを理解し、それを計算する能力は、二次方程式を解く際に使用されます。 これらの方程式は、未知数が 1 つある等式と呼ばれます。 全体像それを下の図に示します。
ここで、c、b、a はいくつかの数値を表し、a はゼロであってはならず、c と b の値はゼロを含む完全に任意の値にすることができます。
図に示されている等式を満たす x の値はその根と呼ばれます (この概念を平方根 √ と混同しないでください)。 考慮中の方程式は 2 次 (x 2) であるため、その方程式の根は 2 つを超えることはできません。 この記事では、これらのルートを見つける方法をさらに詳しく見てみましょう。
二次方程式の根を求める（式）
検討中のタイプの等式を解くこの方法は、ユニバーサル法または判別法とも呼ばれます。 あらゆる二次方程式に使用できます。 二次方程式の判別式と根の式は次のとおりです。
これは、根が方程式の 3 つの係数のそれぞれの値に依存することを示しています。 また、x 1 の計算と x 2 の計算は、平方根の前の符号が異なるだけです。 b 2 - 4ac に等しい根次式は、問題の等式の判別式にすぎません。 二次方程式の根の公式の判別式は、解の数と種類を決定するため、重要な役割を果たします。 したがって、それがゼロに等しい場合、解は 1 つだけあり、それが正の場合、方程式には 2 つの実根があり、最後に、負の判別式により 2 つの複素根 x 1 と x 2 が得られます。
ビエタの定理または 2 次方程式の根のいくつかの性質
16 世紀末、近代代数学の創始者の 1 人であるフランス人が 2 次方程式を研究し、その根の性質を得ることができました。 数学的には次のように書くことができます。
x 1 + x 2 = -b / a および x 1 * x 2 = c / a。
どちらの等式も誰でも簡単に求めることができます。これを行うには、判別式を使用して公式から得られた根に対して適切な数学的演算を実行するだけです。
これら 2 つの式の組み合わせは、二次方程式の根の 2 番目の公式と呼ぶことができ、判別式を使用せずに解を推測することが可能になります。 ここで、どちらの式も常に有効ですが、因数分解できる場合にのみ方程式を解くためにこれらを使用すると便利であることに注意してください。
得た知識を定着させる仕事
この記事で説明されているすべてのテクニックを実証する数学的問題を解決してみましょう。 問題の条件は次のとおりです。積が -13 で合計が 4 となる 2 つの数値を見つける必要があります。
この条件は、平方根の和とその積の公式を使用して次のように書くビエタの定理をすぐに思い出させます。
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13。
a = 1 と仮定すると、b = -4、c = -13 となります。 これらの係数を使用して、2 次の方程式を作成できます。
x 2 - 4x - 13 = 0。
判別式を使用して次の根を求めてみましょう。
x 1.2 = (4 ± √D)/2、D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68。
つまり、問題は√68 という数字を見つけることに帰着しました。 68 = 4 * 17 であることに注意してください。平方根プロパティを使用すると、√68 = 2√17 が得られます。
ここで、考慮された平方根の式、a 0 = 4 を使用してみましょう。その場合、次のようになります。
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;
a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231。
見つかった値の違いは 0.02 だけであるため、3 を計算する必要はありません。 したがって、√68 = 8.246となります。 これを x 1,2 の式に代入すると、次のようになります。
x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123、x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123。
ご覧のとおり、見つかった数値の合計は実際には 4 に等しくなりますが、その積を求めると -12.999 となり、精度 0.001 で問題の条件を満たします。
このトピックは、それほど単純ではない公式が多数あるため、最初は複雑に見えるかもしれません。 二次方程式自体が長い表記法を持っているだけでなく、判別式によって根も求められます。 合計 3 つの新しい式が得られます。 なかなか覚えられません。 これは、そのような方程式を頻繁に解いた後にのみ可能になります。 そうすれば、すべての公式は自動的に記憶されます。
二次方程式の全体像
ここでは、最大の次数が最初に書き込まれ、次に降順で書き込まれる場合の明示的な記録を提案します。 用語が矛盾している状況がよくあります。 その場合は、変数の次数が大きい順に方程式を書き直すとよいでしょう。
いくつかの表記法を紹介しましょう。 それらを以下の表に示します。
これらの表記を受け入れると、すべての二次方程式は次の表記に帰着します。
また、係数 a ≠ 0 です。この式を 1 番目とします。
方程式が与えられたとき、答えに根がいくつあるかは明らかではありません。 なぜなら、次の 3 つのオプションのいずれかが常に可能だからです。
- 解には 2 つの根があります。
- 答えは 1 つの数字になります。
- 方程式には根がまったくありません。
そして、決定が確定するまでは、特定のケースでどの選択肢が現れるかを理解することは困難です。
二次方程式の記録の種類
タスクには異なるエントリがある場合があります。 これらは、必ずしも一般的な二次方程式の式のように見えるとは限りません。 場合によっては、いくつかの用語が欠落している場合があります。 上に書いたのが完全な方程式です。 その中の 2 番目または 3 番目の項を削除すると、別のものが得られます。 これらの記録は二次方程式とも呼ばれますが、不完全です。
また、係数「b」と「c」を持つ項のみが消滅する可能性があります。 数値「a」は、いかなる状況においてもゼロになることはできません。 この場合、式は一次方程式になるからです。 不完全な形の方程式の式は次のようになります。
つまり、完全な 2 次方程式に加えて、不完全な 2 次方程式も 2 種類しかありません。 最初の式を 2 番目、2 番目の式を 3 番目とします。
根の数の判別式とその値への依存性
方程式の根を計算するには、この数値を知る必要があります。 二次方程式の公式に関係なく、常に計算できます。 判別式を計算するには、以下に示す等式を使用する必要があります。これには番号 4 が含まれます。
この式に係数の値を代入すると、次のように数値を取得できます。 さまざまな兆候。 答えが「はい」の場合、方程式の答えは 2 つの異なる根になります。 数値が負の場合、二次方程式の根は存在しません。 それがゼロに等しい場合、答えは 1 つだけになります。
完全な二次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?
実はこの問題についてはすでに検討が始まっている。 なぜなら、まず判別式を見つける必要があるからです。 二次方程式の根が存在することが判明し、その数がわかったら、変数の公式を使用する必要があります。 根が 2 つある場合は、次の式を適用する必要があります。
「±」記号が含まれているため、値は 2 つとなります。 平方根記号の下の式は判別式です。 したがって、式は別の方法で書き換えることができます。
式番号 5。 同じレコードから、判別式がゼロに等しい場合、両方のルートが同じ値を取ることが明らかです。
二次方程式を解くことがまだできていない場合は、判別式と変数式を適用する前に、すべての係数の値を書き留めておくことをお勧めします。 後でこの瞬間に困難が生じることはありません。 しかし、最初は混乱があります。
不完全な二次方程式を解くにはどうすればよいですか?
ここではすべてがはるかに簡単です。 追加の数式も必要ありません。 そして、判別可能なものや未知のもののためにすでに書き留められているものは必要ありません。
まず、不完全な式 2 を見てみましょう。 この等式では、未知の量を括弧から取り出して、括弧内に残る一次方程式を解く必要があります。 答えには 2 つの根があります。 変数自体から構成される乗数があるため、最初の値は必ずゼロに等しくなります。 2 番目のものは、一次方程式を解くことによって得られます。
不完全な方程式番号 3 は、等式の左側から右側に数値を移動することによって解決されます。 次に、未知のものに直面する係数で割る必要があります。 残っているのは、平方根を抽出し、それを反対の符号で 2 回忘れずに書き留めることだけです。
以下は、二次方程式に変換されるあらゆる種類の等式を解く方法を学ぶのに役立ついくつかの手順です。 これらは、生徒が不注意による間違いを避けるのに役立ちます。 これらの欠点は、広範なトピック「二次方程式 (8 年生)」を学習する際に成績低下の原因となる可能性があります。 その後、これらのアクションを継続的に実行する必要がなくなります。 安定したスキルが出るので。
- まず、方程式を標準形式で記述する必要があります。 つまり、最初に変数の次数が最大の項が表示され、次に次数なしで、最後に単なる数値が表示されます。
- 係数「a」の前にマイナスが現れると、二次方程式を勉強する初心者にとって作業が複雑になる可能性があります。 取り除いた方が良いです。 この目的のために、すべての等号には「-1」を掛ける必要があります。 これは、すべての項の符号が反対に変わることを意味します。
- 同様の方法で端数を取り除くことをお勧めします。 分母が相殺されるように、方程式に適切な係数を掛けるだけです。
例
次の二次方程式を解く必要があります。
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)。
最初の方程式: x 2 − 7x = 0。これは不完全であるため、式 2 で説明したように解決されます。
これを括弧から外すと、x (x - 7) = 0 となります。
最初の根は値 x 1 = 0 をとります。2 番目の根は次のように求められます。 一次方程式: x - 7 = 0。x 2 = 7 であることが簡単にわかります。
2 番目の方程式: 5x 2 + 30 = 0。これも不完全です。 それのみを 3 番目の公式で説明したように解決します。
30 を方程式の右側に移動した後: 5x 2 = 30。次に、5 で割る必要があります。結果は次のようになります: x 2 = 6。答えは次の数字になります: x 1 = √6、x 2 = - √6.
3 番目の方程式: 15 − 2x − x 2 = 0。二次方程式を解くには、標準形式で書き換えることから始まります: − x 2 − 2x + 15 = 0。次に 2 番目の方程式を使用します。 役立つアドバイスそしてすべてにマイナス 1 を掛けます。 x 2 + 2x - 15 = 0 となります。4 番目の式を使用して、判別式 D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64 を計算する必要があります。これは正の数です。 上記のことから、方程式には 2 つの根があることがわかります。 これらは 5 番目の公式を使用して計算する必要があります。 x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2 であることがわかります。すると、x 1 = 3、x 2 = - 5 となります。
4 番目の方程式 x 2 + 8 + 3x = 0 は、x 2 + 3x + 8 = 0 に変換されます。その判別式は、この値 -23 と等しくなります。 この数値は負であるため、このタスクに対する答えは次のエントリになります:「根はありません」。
5 番目の方程式 12x + x 2 + 36 = 0 は、x 2 + 12x + 36 = 0 のように書き直す必要があります。判別式に式を適用すると、数値 0 が得られます。 これは、根が 1 つあることを意味します: x = -12/ (2 * 1) = -6。
6 番目の方程式 (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) には変換が必要です。これは、まず括弧を開けて、同様の項を取得する必要があるという事実から構成されます。 最初の式の代わりに、次の式が表示されます: x 2 + 2x + 1。等号の後に、次のエントリが表示されます: x 2 + 3x + 2。類似した項が数えられた後、方程式は次の形式になります: x 2 -x = 0。不完全なものになってしまいました。 これと同様のことは、すでに少し上のところで議論されています。 この根は数字の 0 と 1 になります。
この記事を読んだ後、完全な二次方程式の根を求める方法を学習できることを願っています。
判別式を使用すると、完全な 2 次方程式のみが解かれます。不完全な 2 次方程式を解くには、「不完全 2 次方程式の解法」の記事で説明されている他の方法が使用されます。
完全と呼ばれる二次方程式は何ですか? これ ax 2 + b x + c = 0 の形式の方程式ここで、係数 a、b、c はゼロではありません。 したがって、完全な二次方程式を解くには、判別式 D を計算する必要があります。
D = b 2 – 4ac。
判別式の値に応じて、答えを書きます。
判別式が負の数の場合 (D< 0),то корней нет.
判別式がゼロの場合、x = (-b)/2a になります。 判別式が正の数（D > 0）の場合、
次に、x 1 = (-b - √D)/2a、x 2 = (-b + √D)/2a となります。
例えば。 方程式を解く ×2– 4x + 4= 0。
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
答え: 2.
方程式 2 を解く ×2 + x + 3 = 0。
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
答え: 根がありません.
方程式 2 を解く ×2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
× 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
答え: – 3.5; 1.
それでは、図 1 の図を使用して、完全な 2 次方程式の解を想像してみましょう。
これらの公式を使用すると、完全な二次方程式を解くことができます。 ただ注意する必要があるのは、 方程式は標準形式の多項式として記述されました
あ ×2 + bx + c、そうしないと間違いを犯す可能性があります。 たとえば、方程式 x + 3 + 2x 2 = 0 を書く際に、次のように誤って判断してしまう可能性があります。
a = 1、b = 3、c = 2。すると
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 とすると、方程式には根が 2 つあります。 そして、これは真実ではありません。 (上記の例 2 の解決策を参照してください)。
したがって、方程式が標準形式の多項式として記述されていない場合は、最初に完全な 2 次方程式を標準形式の多項式として記述しなければなりません (最大の指数を持つ単項式が最初に来る必要があります)。 あ ×2 、その後は少なくなります – bxそして無料会員に と。
縮小二次方程式や第 2 項の係数が偶数の二次方程式を解く場合には、他の公式を使用することができます。 これらの公式を理解しましょう。 完全な 2 次方程式の第 2 項の係数が偶数 (b = 2k) の場合、図 2 の図に示されている式を使用して方程式を解くことができます。
完全な二次方程式は、係数が ×2 は 1 に等しく、方程式は次の形式になります。 × 2 + ピクセル + q = 0。 このような方程式を解として与えることも、方程式のすべての係数を係数で除算することによって取得することもできます。 あに立っています。 ×2 .
図 3 は、縮小平方を解くための図を示しています。 
方程式。 この記事で説明した公式の適用例を見てみましょう。
例。 方程式を解く
3×2 + 6x – 6 = 0。
図 1 の図に示されている式を使用して、この方程式を解いてみましょう。
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
答え: –1 – √3; –1 + √3
この方程式の x の係数に注目してください。 偶数つまり、b = 6 または b = 2k、つまり k = 3 となります。次に、図の図に示されている式を使用して方程式を解いてみましょう D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
答え: –1 – √3; –1 + √3。 この二次方程式のすべての係数が 3 で割り切れることに注目し、除算を実行すると、縮小二次方程式 x 2 + 2x – 2 = 0 が得られます。縮小二次方程式の公式を使用してこの方程式を解きます。 
方程式図3。
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
答え: –1 – √3; –1 + √3。
ご覧のとおり、さまざまな公式を使用してこの方程式を解いたとき、同じ答えが得られました。 したがって、図 1 の図に示されている公式を完全にマスターすれば、完全な 2 次方程式をいつでも解くことができます。
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これは等式 ax 2 + bx + c = o の特定のバージョンであることが知られています。ここで、a、b、c は未知の x の実係数であり、a ≠ o、b と c はゼロになります - 同時に、または別に。 たとえば、c = o、b ≠ o、またはその逆です。 二次方程式の定義はほぼ覚えていました。
2 次三項式はゼロです。 その最初の係数 a ≠ o、b、c は任意の値を取ることができます。 変数 x の値は、代入によって正確な数値的等価性が得られるときの値になります。 実数根に焦点を当てましょう。ただし、方程式の解も o、a ≠ o、b ≠ o、c ≠ o に等しくない方程式を完全と呼ぶのが通例です。
例を解いてみましょう。 2x 2 -9x-5 = ああ、見つかりました
D = 81+40 = 121、
D は正です。これは、根 x 1 = (9+√121):4 = 5、および 2 番目の x 2 = (9-√121):4 = -o.5 があることを意味します。 チェックすると、それらが正しいかどうかを確認できます。
ここでは、二次方程式の段階的な解法を示します。
判別式を使用すると、左辺に a ≠ o の既知の 2 次三項式が存在する方程式を解くことができます。 私たちの例では。 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)
2次の不完全方程式とは何かを考えてみましょう
- ax 2 +in = o。 自由項、つまり x 0 における係数 c は、ここでは 0 に等しくなります (≠ o)。
このタイプの不完全な二次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか? 括弧内の x を外してみましょう。 2 つの因数の積がゼロに等しい場合を思い出してみましょう。
x(ax+b) = o、これは x = o の場合、または ax+b = o の場合です。
2 番目を解くと、x = -в/а が得られます。
その結果、計算 x 2 = -b/a によれば、根 x 1 = 0 が得られます。 - ここで、x の係数は o に等しく、c は o に等しくありません (≠)。
x 2 +c = o。 c を等式の右側に移動すると、x 2 = -с が得られます。 この方程式は、-c が正の数 (c ‹ o) の場合にのみ実根を持ちます。
x 1 はそれぞれ √(-c) に等しく、x 2 は -√(-c) となります。 それ以外の場合、方程式には根がまったくありません。 - 最後のオプション: b = c = o、つまり ax 2 = o。 当然のことながら、このような単純な方程式には根が 1 つあり、x = o になります。
特殊な場合
不完全な二次方程式を解く方法を説明しましたが、今度は任意の型を取り上げてみましょう。
- 完全な二次方程式では、x の 2 番目の係数は偶数です。
k = o.5b とします。 判別式と根を計算するための公式があります。
D/4 = k 2 - ac、根は D › o に対して x 1,2 = (-k±√(D/4))/a として計算されます。
D = o で x = -k/a。
D ‹ o には根がありません。 - 与えられた二次方程式があります。x の 2 乗の係数が 1 のとき、通常は x 2 + рх + q = o と書きます。 上記の式はすべて当てはまりますが、計算はもう少し単純です。
例、x 2 -4x-9 = 0。D を計算します: 2 2 +9、D = 13。
x 1 = 2+√13、x 2 = 2-√13。 - さらに、方程式の根の合計は -p に等しく、2 番目の係数にはマイナス (反対の符号を意味します) が付き、これらの同じ根の積は次のようになります。 q、自由項と等しくなります。 この方程式の根を口頭で求めることがいかに簡単かを見てください。 縮小されていない係数 (ゼロに等しくないすべての係数) の場合、この定理は次のように適用できます。合計 x 1 + x 2 は -b/a に等しく、積 x 1 · x 2 は c/a に等しくなります。
自由項 c と最初の係数 a の合計は係数 b に等しくなります。 この状況では、方程式には少なくとも 1 つの根 (証明が簡単) があり、最初の根は必ず -1 に等しく、2 番目の根は (存在する場合) -c/a に等しくなります。 不完全な二次方程式の解き方を自分で確認することができます。 これ以上にシンプルなことはありません。 係数は互いに特定の関係にある可能性があります
- x 2 +x = 0、7x 2 -7 = 0。
- すべての係数の合計は o に等しくなります。
このような方程式の根は 1 と c/a です。 例、2x 2 -15x+13 = o。
x 1 = 1、x 2 = 13/2。
さまざまな 2 次方程式を解く方法は他にもたくさんあります。 ここでは、たとえば、与えられた多項式から完全な正方形を抽出する方法を示します。 いくつかのグラフィカルな方法があります。 このような例を頻繁に扱うと、すべての方法が自動的に頭に浮かぶため、種子のようにそれらを「クリック」することを学びます。
