線形代数方程式の同次系。 線形代数方程式の解法系、解法、例題

自動

与えられた行列

検索: 1) aA - bB、: 1) 行列に数値を乗算し、行列を加算する規則を使用して、順番に求めます。

2. 次の場合に A*B を求めます。

検索: 1) aA - bB、: 行列乗算ルールを使用します。

答え：

3. 特定の行列について、マイナー M 31 を見つけて行列式を計算します。

解決: マイナー M 31 は、A から得られる行列の行列式です。

3行目と1列目に取り消し線を引いた後、次のことがわかります。

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

行列式を変更せずに行列 A を変換しましょう (行 1 にゼロを作りましょう)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

ここで、行 1 に沿った展開によって行列 A の行列式を計算します。

答え: M 3​​1 = 0、detA = 0

ガウス法とクラマー法を使用して解きます。

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

× 1 + × 2 + 3 × 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

検索: 1) aA - bB、：確認しましょう

クレイマー法を使えばいい

この系の解: x 1 = D 1 / D = 2、x 2 = D 2 / D = -5、x 3 = D 3 / D = 3

ガウス法を適用してみましょう。

システムの拡張行列を三角形の形式に縮小してみましょう。

計算を簡単にするために、行を入れ替えてみましょう。

2行目を(k = -1 / 2 = -1 / 2 ) 3 番目に追加します。

	1 / 2		7 / 2

1行目を(k = -2 / 2 = -1 ) 2 番目に追加します。

元のシステムは次のように記述できます。

× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2行目からは次のように表現します

1行目から表現します

解決策も同じです。

答え: (2; -5; 3)

探す 一般的な解決策システムとFSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 – 4x 4 – 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

検索: 1) aA - bB、: ガウス法を適用してみましょう。 システムの拡張行列を三角形の形式に縮小してみましょう。

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
×1	×2	×3	×4	×5

1行目に(-11)を掛けます。 2行目に(13)を掛けてみましょう。 2 行目を 1 行目に追加しましょう。

	-2		-2	-3

2行目を(-5)倍します。 3行目に(11)を掛けてみましょう。 3 行目を 2 行目に追加しましょう。

3行目に(-7)を掛けます。 4行目に(5)を掛けてみましょう。 4 行目を 3 行目に追加しましょう。

2 番目の方程式は、他の方程式の線形結合です。

行列の順位を求めてみましょう。

	-18	-24	-18	-27
×1	×2	×3	×4	×5

選択されたマイナーは (可能なマイナーの中で) 最高の次数を持ち、ゼロではない (逆対角上の要素の積に等しい) ため、 rang(A) = 2 となります。

このマイナーは基本です。 これには、未知数 x 1 、x 2 の係数が含まれています。これは、未知数 x 1 、x 2 が依存 (基本) であり、x 3 、 x 4 、 x 5 が自由であることを意味します。

この行列の係数を持つシステムは元のシステムと同等であり、次の形式になります。

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

未知数を排除する方法を使用すると、次のようになります。 一般的な解決策:

× 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5

× 1 = - 1 / 3 × 3

(n-r) 個の解から構成される基本的な解系 (FSD) を見つけます。 この場合、n=5、r=2 であるため、基本的な解系は 3 つの解で構成され、これらの解は線形独立でなければなりません。

行が線形独立であるためには、行要素で構成される行列のランクが行数、つまり 3 に等しいことが必要十分です。

ゼロ以外の 3 次行列式の行から自由未知数 x 3 、 x 4 、 x 5 の値を与え、 x 1 、 x 2 を計算するだけで十分です。

最も単純なゼロ以外の行列式は単位行列です。

でも、ここを利用する方が便利です

一般的な解決策を使用すると、次のことがわかります。

a) x 3 = 6、x 4 = 0、x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2、x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4Þ

FSR の決定: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0、x 4 = 6、x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0、x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR ソリューション: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0、x 4 = 0、x 5 = 6 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0、x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

FSR の III 決定: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0)、(0; -6; 0; 6;0)、(0; - 9; 0; 0;6)

6. 与えられた場合: z 1 = -4 + 5i、z 2 = 2 – 4i。 検索: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

検索: 1) aA - bB、: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

答え: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i

させて M 0 – 線形方程式の均質系 (4) の解のセット。

定義6.12.ベクトル と 1 ,と 2 , …, p付き、同次一次方程式系の解は、と呼ばれます。 基本的なソリューションのセット(略称 FNR)、

1) ベクトル と 1 ,と 2 , …, p付き線形独立（つまり、どれも他のものに関して表現できない）。

2) 同次一次方程式系の他の解は、解の観点から表現できます。 と 1 ,と 2 , …, p付き.

場合に注意してください。 と 1 ,と 2 , …, p付き– 任意の f.n.r.、その後の式 k 1× と 1 + k 2× と 2 + … + kp× p付きセット全体を説明できます Mシステム (4) の解は 0 なので、こう呼ばれます。 システムソリューションの全体像 (4).

定理6.6。不定な一次方程式系には、基本的な解のセットがあります。

検索方法 基本セット解決策は次のとおりです。

同次一次方程式系の一般解を求めます。

建てる （ n – r）この系の部分解、自由未知数の値は恒等行列を形成する必要があります。

書き出す 全体像に含まれるソリューション M 0 .

例6.5。次のシステムに対する基本的なソリューションのセットを見つけます。

検索: 1) aA - bB、。 このシステムの一般的な解決策を見つけてみましょう。

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ この系には未知のものが 5 つあります ( n= 5)、そのうち 2 つの主な不明点があります ( r= 2)、自由な未知数が 3 つあります ( n – r)、つまり、基本解セットには 3 つの解ベクトルが含まれます。 それらを構築しましょう。 我々は持っています × 1と × 3 – 主な不明点、 × 2 , × 4 , × 5 – 無料の未知数

自由な未知数の値 × 2 , × 4 , × 5 単位行列を形成する E 3番目の順序。 ベクトルを理解しました と 1 ,と 2 , と 3 フォーム f.n.r. このシステムの。 このとき、この均一系の解の集合は次のようになります。 M 0 = {k 1× と 1 + k 2× と 2 + k 3× と 3 , k 1 , k 2 , k 3ОR）。

ここで、一次一次方程式系のゼロ以外の解が存在する条件、つまり、基本的な解のセットが存在する条件を調べてみましょう。

同次一次方程式系にはゼロ以外の解があります。つまり、

1) システムのメインマトリックスのランク 少ない数未知;

2) 同次一次方程式系では、方程式の数は未知数の数よりも少なくなります。

3) 同次一次方程式系において、方程式の数が未知数の数に等しく、主行列の行列式が 0 に等しい場合 (つまり、 | あ| = 0).

例6.6。 どのパラメータ値で ある同次一次方程式系 ゼロ以外の解はありますか?

検索: 1) aA - bB、。 この系の主行列を作成し、その行列式を見つけてみましょう: = = 1×(–1) 1+1 × = – あ– 4. この行列の行列式は、次の時点でゼロに等しくなります。 ある = –4.

答え: –4.

7. 算術 n-次元ベクトル空間

基本概念

前のセクションで、特定の順序で配置された実数のセットの概念をすでに説明しました。 これは行行列 (または列行列) であり、次の線形方程式系の解です。 n未知。 この情報は要約できます。

定義 7.1. n-次元算術ベクトルの順序集合と呼ばれる n実数。

手段 あ= (a 1 , a 2 , …, a n)、ここで、 私○R、 私 = 1, 2, …, n– ベクトルの全体像。 番号 n呼ばれた 寸法ベクトルと数値 私彼のと呼ばれる 座標.

例えば： あ= (1, –8, 7, 4, ) – 5 次元ベクトル。

準備完了 n-次元ベクトルは通常、次のように表されます。 Rn.

定義 7.2. 2 つのベクトル あ= (a 1 , a 2 , …, a n） そして b= (b 1 , b 2 , …, b n) 同じ次元の 等しいそれらの対応する座標が等しい場合にのみ、つまり a 1 = b 1 、 a 2 = b 2 、…、a n= b n.

定義 7.3.額二 n-次元ベクトル あ= (a 1 , a 2 , …, a n） そして b= (b 1 , b 2 , …, b n) をベクトルと呼びます ある + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

定義 7.4. 作品実数 kベクトルに あ= (a 1 , a 2 , …, a n) をベクトルと呼びます k× あ = (k×a1、 k×a 2 , …, k×a n)

定義7.5。ベクター ○= (0, 0, …, 0) が呼び出されます ゼロ（または ヌルベクトル).

ベクトルを加算したり実数を乗算したりするアクション (演算) には、次のような特性があることを確認するのは簡単です。 ある, b, c Î Rn, " k, 私О R:

1) ある + b = b + ある;

2) ある + (b+ c) = (ある + b) + c;

3) ある + ○ = ある;

4) ある+ (–ある) = ○;

5) 1× ある = ある、1ОR;

6) k×( 私× ある) = 私×( k× ある) = (私× k)× ある;

7) (k + 私)× ある = k× ある + 私× ある;

8) k×( ある + b) = k× ある + k× b.

定義 7.6.多くの Rnベクトルを加算し、それに与えられた実数を乗算する操作を伴う演算は、と呼ばれます。 算術 n 次元ベクトル空間.

フィールド上の同次一次方程式系

意味。 方程式系 (1) の基本的な解系は空ではない線形独立した解系であり、その線形スパンは系 (1) のすべての解の集合と一致します。

ゼロ解のみを持つ同次一次方程式系には基本的な解系が存在しないことに注意してください。

提案 3.11。 同次一次方程式系の 2 つの基本的な解系は、次のもので構成されます。 同じ番号決断。

証拠。 実際、等次方程式系 (1) の 2 つの基本的な解系は等価であり、線形独立です。 したがって、命題 1.12 により、それらの順位は等しいことになります。 したがって、1 つの基本システムに含まれる解の数は、他の基本解システムに含まれる解の数と同じになります。

等次方程式系 (1) の主行列 A がゼロの場合、 からのベクトルは系 (1) の解になります。 この場合、線形独立ベクトルのセットは基本的な解系となります。 行列 A の列ランクが に等しい場合、システム (1) には 0 という 1 つの解しかありません。 したがって、この場合、連立方程式 (1) には基本的な解系がありません。

定理 3.12. 同次一次方程式系 (1) の主行列のランクが変数の数 よりも小さい場合、系 (1) は解から構成される基本解系を持ちます。

証拠。 均質系 (1) の主行列 A のランクが 0 または に等しい場合、定理が真であることが上で示されました。 したがって、以下では、 を仮定して、行列 A の最初の列が線形独立していると仮定します。 この場合、行列 A は行単位で縮小された段階的行列と等価であり、系 (1) は次の縮小された段階的方程式系と等価です。

システム (2) の自由変数の値の系がシステム (2) に対する唯一の解に対応し、したがってシステム (1) に対応することを確認するのは簡単です。 特に、システム (2) とシステム (1) のゼロ解のみがゼロ値のシステムに対応します。

システム (2) では、自由変数の 1 つに 1 に等しい値を割り当て、残りの変数にはゼロ値を割り当てます。 その結果、連立方程式 (2) の解が得られ、これを次の行列 C の行の形式で記述します。

この行列の行系は線形独立です。 実際、等式から得られるスカラーについては、

平等は続く

したがって、平等

行列 C の行系の線形スパンが系 (1) のすべての解のセットと一致することを証明しましょう。

系(1)の任意の解。 次にベクトル

これはシステム (1) の解決策でもあり、

ガウス法には多くの欠点があります。ガウス法で必要なすべての変換が実行されるまで、システムが一貫しているかどうかを知ることは不可能です。 ガウスの方法は文字係数を持つシステムには適していません。

連立一次方程式を解くための他の方法を考えてみましょう。 これらの方法は、行列ランクの概念を使用し、一貫したシステムの解を、クラマーの法則が適用されるシステムの解に還元します。

例1.縮小均質系の基本解系と不均質系の特定解を使用して、次の線形方程式系の一般解を求めます。

1. マトリックスの作成 あおよび拡張システム マトリックス (1)

2. システムを探索する (1) 一体感のために。 これを行うには、行列のランクを見つけます。 あ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">) それが判明した場合、システムは (1) 互換性がありません。 それがわかったら であれば、このシステムは一貫しているので、それを解決します。 (互換性の検討はクロネッカー カペリの定理に基づいています)。

ａ． 私たちは見つけます rA.

見つけるには rA、行列の 1 次、2 次などの非ゼロのマイナーを順番に考慮します。 あそして彼らを取り囲む未成年者たち。

M1=1≠0 (行列の左上隅から 1 を取り出します) あ).

私たちは国境を接しています M1この行列の 2 行目と 2 列目。 。 私たちは国境を越え続けます M1 2 行目と 3 列目..gif" width="37" height="20 src=">。次に、ゼロ以外のマイナーの境界線を示します。 M2' 2番目の注文。

我々は持っています： (最初の 2 列が同じであるため)

(2 行目と 3 行目は比例しているため)。

それがわかります rA=2、 a は行列の基底マイナーです あ.

b. 見つけました。

かなり基本的なマイナー M2'行列 あ無料条件の列とすべての行で囲まれます (最後の行のみがあります)。

。 したがって、 M3''マトリックスの基本マイナーのまま https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

なぜなら M2'- 行列の基底マイナー あシステム (2) の場合、このシステムは次のシステムと同等です。 (3) 、システムの最初の 2 つの方程式で構成されます。 (2) （のために M2'は行列 A) の最初の 2 行にあります。

(3)

基本マイナーなので https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

この系には 2 つの自由な未知数があります ( ×2 そして ×4 ）。 それが理由です FSR システム (4) 2 つのソリューションで構成されます。 それらを見つけるために、自由な未知数を割り当てます。 (4) 価値観を第一に ×2=1 , x4=0 、 その後 - x2=0 , ×4=1 .

で ×2=1 , x4=0 得られるもの:

.

このシステムはすでに 唯一のこと 解決策（クラマーの法則またはその他の方法を使用して見つけることができます）。 2 番目の方程式から最初の式を減算すると、次のようになります。

彼女の解決策はこうなるだろう x1= -1 , x3=0 。 価値観を考えると ×2 そして ×4 、私たちが与えた、最初のものを取得します 根本的な解決策システム (2) : .

今、私たちは信じています (4) x2=0 , ×4=1 。 得られるものは次のとおりです。

.

クラマーの定理を使用してこの系を解きます。

.

システムの 2 番目の基本解を取得します。 (2) : .

ソリューション β1 , β2 そして仲直りする FSR システム (2) 。 その場合、その一般的な解決策は次のようになります。

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ここ C1 , C2 – 任意の定数。

4. 見つけてみましょう プライベート 解決 異種システム(1) 。 段落のように 3 、システムの代わりに (1) 等価なシステムを考えてみましょう (5) 、システムの最初の 2 つの方程式で構成されます。 (1) .

(5)

自由な未知数を右側に移動しましょう ×2そして ×4.

(6)

未知のものを無料で提供しましょう ×2 そして ×4 任意の値、たとえば、 ×2=2 , ×4=1 そしてそれらを入れてください (6) 。 システムを手に入れましょう

このシステムには独自のソリューションがあります (決定要因であるため) M2'0）。 これを（クラマーの定理またはガウスの方法を使用して）解くと、次のようになります。 x1=3 , ×3=3 。 自由な未知数の値を考えると ×2 そして ×4 、私たちは得ます 不均質系の特定の解(1)α1=(3,2,3,1)。

5. あとは書き留めるだけです 不均一系の一般解α(1) : 合計に等しい プライベートソリューションこのシステムと 還元された均一系の一般解 (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

これはつまり： (7)

6. 検査。システムを正しく解決したかどうかを確認するには (1) 、一般的な解決策が必要です (7) で置き換える (1) 。 それぞれの方程式が恒等式になれば ( C1 そして C2 破棄する必要があります)、解決策は正しく見つかります。

代用させていただきます (7) たとえば、システムの最後の方程式のみ (1) (×1 + ×2 + ×3 ‑9 ×4 =‑1) .

結果: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

ここで、-1=-1。 私たちはアイデンティティを手に入れました。 システムの他のすべての方程式を使ってこれを行います (1) .

コメント。通常、チェックは非常に面倒です。 次の「部分チェック」を推奨できます。 システムの一般的なソリューションでは (1) いくつかの値を任意の定数に代入し、得られた部分解を破棄された方程式（つまり、 (1) には含まれていませんでした。 (5) ）。 アイデンティティを取得できれば、 可能性が高い、システムソリューション (1) 正しく検出されました (ただし、このようなチェックは正確性を完全に保証するものではありません)。 たとえば、次の場合 (7) 置く C2=- 1 , C1=1とすると、x1=-3、x2=3、x3=-1、x4=0 が得られます。 システム (1) の最後の方程式を代入すると、次のようになります。 - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 つまり、-1=-1。 私たちはアイデンティティを手に入れました。

例2。連立一次方程式の一般解を求める (1) 、基本的な未知の部分を無料のもので表現します。

解決。のように 例1、行列を構成する あこれらの行列の https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">。ここでは、システムの方程式だけを残します。 (1) 、その係数はこの基本マイナーに含まれており (つまり、最初の 2 つの方程式があります)、それらから構成されるシステム (システム (1) と同等) を検討します。

自由未知数をこれらの方程式の右辺に移してみましょう。

システム (9) 右辺を自由項としてガウス法で解きます。

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

オプション 2。

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

オプション 4。

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

オプション 5。

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

オプション 6。

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

すべての自由項がゼロに等しい連立一次方程式はと呼ばれます。 均質な :

均質なシステムは常に一貫性を持っています。 ゼロ (つまらない ） 解決。 どのような条件下で均質系が自明でない解を得るのかという疑問が生じます。

定理5.2。均質システムは、基礎となる行列のランクがその未知数の数より小さい場合にのみ、自明ではない解を持ちます。

結果。 正方均質系は、系の主行列の行列式がゼロに等しくない場合にのみ、自明ではない解を持ちます。

例5.6。システムが非自明な解を持つパラメータ l の値を決定し、次の解を求めます。

検索: 1) aA - bB、。 このシステムは、主行列の行列式がゼロに等しい場合、自明ではない解を持ちます。

したがって、l=3 または l=2 の場合、システムは自明ではありません。 l=3 の場合、システムの主行列のランクは 1 です。次に、方程式を 1 つだけ残し、次のように仮定します。 y=あるそして z=b、私たちは得ます x=b-a、つまり

l=2 の場合、システムのメイン行列のランクは 2 です。次に、基底としてマイナーを選択します。

簡素化されたシステムが得られます

ここから、次のことがわかります。 x=z/4、y=z/2. 信じる z=4ある、私たちは得ます

均質系のすべての解のセットには非常に重要な要素があります。 線形特性 : 列 X の場合 1 そしてX 2 - 均質系の解 AX = 0, 次に、それらの線形結合ある × 1+b × 2 このシステムの解決策にもなります。 確かに、以来、 斧 1 = 0 そして 斧 2 = 0 、 それ あ( × 1+b × 2) = a 斧 1+b 斧 2 = a · 0 + b · 0 = 0。この性質のため、線形システムに複数の解がある場合、これらの解は無限に存在します。

線形に独立した列 E 1 , E 2 , エク均一系の解である、と呼ばれます。 解決の基本システム 同次一次方程式系。この系の一般解が次の列の線形結合として記述できる場合:

均質なシステムが n変数、およびシステムのメイン行列のランクは次と等しい r、 それ k = n-r.

例5.7。次の線形方程式系の基本的な解系を求めます。

検索: 1) aA - bB、。 システムのメイン行列のランクを見つけてみましょう。

したがって、この方程式系に対する一連の解は、次元の線形部分空間を形成します。 n-r= 5 - 2 = 3. ベースとしてマイナーを選択しましょう

.

次に、基本方程式 (残りはこれらの方程式の線形結合になります) と基本変数 (残り、いわゆる自由変数を右に移動します) だけを残し、簡略化された連立方程式を取得します。

信じる × 3 = ある, × 4 = b, × 5 = c、私たちは見つけます

, .

信じる ある= 1, b = c= 0 の場合、最初の基本解が得られます。 信じている b= 1, a = c= 0 の場合、2 番目の基本解が得られます。 信じている c= 1, a = b= 0 の場合、3 番目の基本解が得られます。 その結果、通常の基本的な解決システムは次のような形になります。

基本システムを使用すると、均一システムの一般解は次のように記述できます。

× = え 1 + なれ 2 + 中東 3. ある

不均質な一次方程式系の解のいくつかの性質に注目してみましょう。 AX=Bおよび対応する同次方程式系との関係 AX = 0。

異種システムの一般的な解決策は、対応する均質系 AX = 0 の一般解と不均質系の任意の特定解の和に等しい。 確かに、しましょう Y 0 は不均質系の任意の特定の解です。 年 0 = B、 そして Y- 異種システムの一般的な解決策、つまり AY=B。 一方の等式をもう一方の等式から引くと、次のようになります。
あ(Y-Y 0) = 0、つまり Y-Y 0 は、対応する均一系の一般解です。 斧=0。 したがって、 Y-Y 0 = ×、 または Y=Y 0 + ×。 Q.E.D.

不均質系の形式を AX = B とします。 1 + B 2 . このようなシステムの一般解は、X = X と書くことができます。 1 + × 2 , ここでAX 1 = B 1 とAX 2 = B 2. この特性は、線形システム一般 (代数、微分、関数など) の普遍的な特性を表します。 物理学では、この性質は次のように呼ばれます。 重ね合わせの原理、電気および無線工学 - 重ね合わせの原理。 たとえば、線形電気回路の理論では、任意の回路内の電流は、各エネルギー源によって個別に引き起こされる電流の代数和として取得できます。