なぜ空が夢を見るのかの説明は、空がどのように見えたかによって異なります。 そうでない場合は...
ほぼ 3 年間、リャザン高等空挺学校はアナトリーによって指揮されてきました...
線形画像フィルタリングは、空間領域と周波数領域の両方で実行できます。 「低い」空間周波数は画像の主な内容（背景や大きなオブジェクト）に対応し、「高い」空間周波数は小さなサイズのオブジェクト、大きな形状の細部、およびノイズ成分に対応すると考えられています。
従来、空間周波数の領域に移行するには、$\textit(フーリエ変換)$ に基づく手法が使用されてきました。 で 近年$\textit(wavelet-transform)$ に基づく方法も使用されることが増えています。
フーリエ変換。
フーリエ変換を使用すると、ほぼすべての関数またはデータ セットをそのような組み合わせとして表現できます。 三角関数サインやコサインと同様に、データ内の周期成分を識別し、元のデータの構造または関数の形式に対するそれらの寄与を評価できます。 従来、フーリエ変換には、積分フーリエ変換、フーリエ級数、離散フーリエ変換の 3 つの主な形式があります。
フーリエ積分変換は、実関数を一対の実関数に変換するか、または 1 つの複素関数を別の複素関数に変換します。
実関数 $f(x)$ は、三角関数の直交系で展開できます。つまり、次の形式で表されます。
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
ここで、$A(\omega)$ と $B(\omega)$ は、整数コサイン変換と整数サイン変換と呼ばれます。
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x ) \右)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\右)dx。 $$
フーリエ級数は、区間 $$ で定義された周期関数 $f(x)$ を、サインとコサインの無限級数として表します。 つまり、周期関数 $f(x)$ はフーリエ係数の無限シーケンスに関連付けられています。
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx 。 $$
離散フーリエ変換は、実数の有限シーケンスをフーリエ係数の有限シーケンスに変換します。
$\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ とします。これは一連の実数です。たとえば、画像のラインに沿ったピクセルの明るさのカウントです。 このシーケンスは、次の形式の有限和の組み合わせとして表すことができます。
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right) )、\quad i\le k フーリエ変換の 3 つの形式の主な違いは、積分フーリエ変換が関数 $f(x)$ の定義領域全体にわたって定義される場合、級数および離散フーリエ変換は離散集合上でのみ定義されることです。点の数、フーリエ級数の場合は無限、離散 1 変換の場合は有限です。 フーリエ変換の定義からわかるように、離散フーリエ変換はデジタル信号処理システムにとって最も興味深いものです。 デジタル メディアまたは情報ソースから受信したデータは、ベクトルまたは行列の形式で記述された順序付けられた数値のセットです。 通常、離散変換の入力データは $\Delta $ のステップを持つ一様なサンプルであり、値 $T=N\Delta $ がレコード長または基本周期と呼ばれるものであると想定されます。 基本周波数は $1/T$ です。 したがって、離散フーリエ変換は、入力データを基本周波数の整数倍の周波数に分解します。 入力データの次元によって決定される最大周波数は $1/2 \Delta $ に等しく、$\it(ナイキスト周波数)$ と呼ばれます。 離散変換を使用する場合、ナイキスト周波数を考慮することが重要です。 入力データにナイキスト周波数より高い周波数の周期成分が含まれている場合、離散フーリエ変換により高周波データがより低い周波数に置き換えられ、離散変換の結果の解釈に誤りが生じる可能性があります。 $\it(energy spectrum)$ もデータ分析のための重要なツールです。 周波数 $\omega $ での信号パワーは次のように決定されます。 $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ）。 $$ この量は、周波数 $\omega $ における $\it(信号エネルギー)$ と呼ばれることがよくあります。 パーシヴァルの定理によれば、入力信号の総エネルギーは、すべての周波数のエネルギーの合計に等しくなります。 $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i ) \右）） 。 $$ パワーと周波数のグラフは、エネルギー スペクトルまたはパワー スペクトルと呼ばれます。 エネルギー スペクトルを使用すると、入力データの隠れた周期性を特定し、入力データの構造に対する特定の周波数成分の寄与を評価できます。 離散フーリエ変換を記述する三角関数形式に加えて、$\it(複素表現)$ も広く使用されています。 フーリエ変換を記録する複雑な形式は、多次元解析、特に画像処理で広く使用されています。 三角関数から複素数形式への移行はオイラーの公式に基づいて実行されます $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) 。 $$ 入力シーケンスが $N$ 複素数の場合、その離散フーリエ変換は次の形式になります。 $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ そして逆変換 $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N))。 $$ 入力シーケンスが実数の配列である場合、それに対する複素数変換と離散サインコサイン変換の両方が存在します。 これらの考え方の関係は次のように表されます。 $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ 残りの $N/2$ 変換値は複素共役であり、追加情報は含まれません。 したがって、離散フーリエ変換のパワースペクトルのグラフは$N/2$に関して対称になります。 離散フーリエ変換 (DFT) を計算する最も簡単な方法は直接加算であり、各係数に対して $N$ 演算が行われます。 係数の合計は $N$ であるため、複雑さの合計は $O\left((N^2) \right)$ になります。 このアプローチは実用的ではありません。高速フーリエ変換 (FFT) と呼ばれる、DFT を計算するはるかに効率的な方法があり、その複雑さは $O (N\log N)$ です。 FFT は、長さ (要素数) が 2 の累乗であるシーケンスにのみ適用されます。FFT アルゴリズムの背後にある最も一般的な原理は、入力シーケンスを 2 つの半分の長さのシーケンスに分割することです。 最初のシーケンスには偶数番号のデータが入り、2 番目のシーケンスには奇数番号のデータが入ります。 これにより、次元 $N/2$ の 2 つの変換を通じて DFT 係数を計算できるようになります。 $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$ とすると、$G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_ (2n ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/ 2) ^(mn)\omega _N^m $。 百万ドルで< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. サイズ $M\times N$ の数値の 2 次元配列の離散フーリエ変換は、次のように定義されます。 $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$ そして逆変換 $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) )。 $$ 画像処理の場合、2次元フーリエ変換の成分は$\textit(空間周波数)$と呼ばれます。 2 次元フーリエ変換の重要な特性は、1 次元 FFT 手順を使用して計算できることです。 $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) )、$$ ここで、角括弧内の式は、データ行列の行の 1 次元変換であり、1 次元 FFT で実行できます。 したがって、2 次元フーリエ変換を取得するには、まず 1 次元の行変換を計算し、その結果を元の行列に書き込み、結果の行列の列の 1 次元変換を計算する必要があります。 2 次元フーリエ変換を計算すると、低周波数がマトリックスの隅に集中するため、受信した情報をさらに処理するのにはあまり不便です。 低周波が行列の中心に集中している 2D フーリエ変換表現を取得するために変換するには、実行できる簡単な手順は、元のデータに $-1^(m+n)$ を乗算することです。 図では、 図 16 は、元の画像とそのフーリエ変換を示しています。 ハーフトーン画像とそのフーリエ変換（LabVIEWシステムで取得した画像） 関数 $s(t)$ と $r(t)$ の畳み込みは次のように定義されます。 $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau 。 $$ 実際には、連続関数が均一グリッド (通常は整数グリッドが使用されます) のノードの値のセットに置き換えられる離散畳み込みを処理する必要があります。 $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k )。 $$ ここで、$-N$ と $P$ は、$r(t) = 0$ を超える範囲を定義します。 フーリエ変換を使用して畳み込みを計算する場合、周波数領域の関数のイメージの積が時間領域でのこれらの関数の畳み込みに等しいというフーリエ変換の特性が使用されます。 調整を計算するには、元のデータを周波数領域に変換する必要があります。つまり、そのフーリエ変換を計算し、変換結果を乗算し、逆フーリエ変換を実行して元の表現を復元する必要があります。 アルゴリズムの操作における唯一の微妙な点は、離散フーリエ変換 (連続フーリエ変換とは対照的に) の場合、2 つの周期関数が畳み込まれるという事実によるものです。つまり、値のセットが正確に軸の別のセクションの値だけではなく、これらの関数の期間も含めます。 つまり、アルゴリズムは、点 $x_(N )$ の後にはゼロではなく、点 $x_(0)$ が続き、以下同様に円が続くと考えます。 したがって、畳み込みを正しく計算するには、十分に長いゼロのシーケンスを信号に割り当てる必要があります。 線形フィルタリング手法は、高速畳み込みアルゴリズムとスペクトル解析に基づく効率的な計算スキームが開発されている、よく構造化された手法の 1 つです。 一般に、線形フィルタリング アルゴリズムは次の形式の変換を実行します。 $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ ここで、 $K(\zeta ,\eta)$ は線形変換のカーネルです。 信号を離散的に表現すると、この式の積分は、特定の開口内の元の画像のサンプルの加重和に縮退します。 この場合、1 つまたは別の最適性基準に従ってカーネル $K(\zeta ,\eta)$ を選択すると、多くの有用な特性 (画像の数値微分の問題を正則化するときのガウス平滑化など) が得られる可能性があります。 。 線形処理方法は、周波数領域で最も効果的に実装されます。 フィルタリング操作を実行するために画像のフーリエ変換が使用されるのは、主にそのような操作のパフォーマンスが高いためです。 通常、順方向および逆 2D フーリエ変換を実行し、フィルターのフーリエ画像の係数を乗算する方が、元の画像に対して 2D 畳み込みを実行するよりも時間がかかりません。 周波数領域フィルタリング アルゴリズムは、畳み込み定理に基づいています。 2D の場合、畳み込み変換は次のようになります。 $$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$ ここで、$G$ は畳み込み結果のフーリエ変換、$H$ はフィルターのフーリエ変換、$F$ は元の画像のフーリエ変換です。 つまり、周波数領域では、2 次元の畳み込みは、元の画像と対応するフィルターの画像の要素ごとの乗算に置き換えられます。 畳み込みを実行するには、次のことを行う必要があります。 周波数領域のフィルター関数と空間領域の関係は、畳み込み定理を使用して決定できます。 $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u、v) \right)、$$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u、v)\右)。 $$ 関数とインパルス関数の畳み込みは次のように表すことができます。 $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 )\right)=s(x_0 ,y_0)。 $$ インパルス関数のフーリエ変換 $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ left((x,y) \right) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(ミネソタ州)。 $$ $f(x,y) = \delta (x,y)$ として、畳み込みを行います。 $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right)。 $$ これらの式から、周波数領域と空間領域のフィルター関数がフーリエ変換を通じて相互に関係していることは明らかです。 周波数領域の特定のフィルター関数については、逆フーリエ変換を適用することで、空間領域で対応するフィルターを見つけることが常に可能です。 逆の場合も同様です。 この関係を使用して、空間線形フィルターを合成する手順を定義できます。 ($\textit(理想的なローパス フィルター)$) $H(u,v)$ の形式は $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(理想的なハイパス フィルター)$) は、理想的なローパス フィルターを反転することで得られます。 $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ ここでは、高周波成分は保存されたまま、低周波成分が完全に抑制されます。 ただし、理想的なローパス フィルターの場合と同様、その使用には大きな歪みが発生します。 歪みを最小限に抑えてフィルターを合成するには、さまざまなアプローチが使用されます。 その 1 つは指数ベースのフィルター合成です。 このようなフィルターは、結果として得られる画像に最小限の歪みをもたらすため、周波数領域での合成に便利です。 実ガウス関数に基づく一連のフィルターは、画像処理で広く使用されています。 $\textit(ローパスガウスフィルター)$ の形式は次のとおりです。 $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( と ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ 周波数領域でのフィルター プロファイルが狭くなる ($\sigma $ が大きくなる) ほど、空間領域でのフィルター プロファイルは広くなります。 ($\textit(ハイパス ガウス フィルター)$) の形式は $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2) ））。 $$ 2 次元の場合 ($\it(low-pass)$)、ガウス フィルターは次のようになります。 $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 ))。 $$ ($\it(High Pass)$) ガウス フィルターの形式は次のとおりです。 $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 ))。 $$ 周波数領域 (図 17 ～ 22) での画像フィルタリング (図 1) の例を考えてみましょう。 画像の周波数フィルタリングには、平滑化 ($\textit(ローパス フィルタリング)$) と、輪郭や小さいサイズのオブジェクトの強調表示 ($\textit(ハイパス フィルタリング)$) の両方の意味があることに注意してください。 図からわかるように。 図１７、図１９に示されるように、画像の低周波成分におけるフィルタリングの「パワー」が増加するにつれて、画像の「見かけの焦点ぼけ」または $\it(blur)$ の効果がますます顕著になります。 同時に、画像の情報内容の大部分は徐々に高周波成分に移行し、最初は物体の輪郭だけが観察されます（図18、20〜22）。 ここで、画像内に加法的ガウス ノイズが存在する場合 (図 7)、ハイパス フィルターとローパス フィルター (図 23 ～ 28) の動作を考えてみましょう。 図からわかるように。 図 23、25 に示されているように、付加的なランダム ノイズを抑制するための低周波フィルターの特性は、以前に検討した線形フィルターの特性と似ています。十分なフィルター出力があれば、ノイズは抑制されますが、その代償として、輪郭が大きくぼやけ、「焦点ぼけ」が発生します。 」全体の画像。 ノイズの多い画像の高周波成分は、輪郭や物体の情報に加えてノイズ成分も完全に存在するため、有益ではなくなります (図 27、28)。 周波数法の使用は、ノイズプロセスの統計モデルおよび/または画像伝送チャネルの光学伝達関数が既知である場合に最も適切です。 再構成フィルターとして次の形式の一般化制御フィルター (パラメーター $\sigma$ および $\mu$ による) を選択することによって、このような事前データを考慮すると便利です。 $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]。 $$ ここで $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. 線形フィルタリング手法の利点には、明確な物理的意味と結果の分析の容易さが含まれます。 ただし、S/N 比が急激に低下し、エリア ノイズの変化や高振幅のインパルス ノイズが存在する可能性があるため、線形前処理方法では不十分である可能性があります。 この状況では、非線形手法の方がはるかに強力です。 画像サンプルの行列の離散 2 次元フーリエ変換は、次の系列として定義されます。 ここで、 、離散逆変換の形式は次のとおりです。 連続フーリエ変換の用語から類推すると、変数は空間周波数と呼ばれます。 すべての研究者が定義 (4.97)、(4.98) を使用しているわけではないことに注意する必要があります。 逆変換の式にすべてのスケール定数を入れることを好む人もいますが、カーネル内の符号を反転する人もいます。 変換カーネルは対称で分離可能であるため、2 次元変換は画像マトリックスの行と列に沿った連続する 1 次元変換として実行できます。 基本的な変換関数は、サイン成分とコサイン成分に分解できる複素指数を備えた指数関数です。 したがって、 画像スペクトルには多くの興味深い構造的特徴があります。 周波数平面の原点におけるスペクトル成分 の増加に等しい N(元の平面上の) 画像の平均輝度値の倍。 等式への代入 (4.97) ここで、 と は定数であるため、次のようになります。 任意の整数値の場合、等価性の 2 番目の指数係数 (4.101) は 1 になります。 したがって、 のとき、 これは周波数面の周期性を示します。 この結果を図 4.14a に示します。 画像の 2 次元フーリエ スペクトルは、本質的に 2 次元場のフーリエ級数表現です。 このような表現が公平であるためには、元の画像も周期構造を持たなければなりません。 垂直方向と水平方向に繰り返されるパターンがあります (図 4.14、b)。 したがって、画像の右端は左端に隣接し、上端は下端に隣接します。 これらの場所での輝度値の不連続性により、周波数平面の座標軸上にある画像スペクトルに追加の成分が表示されます。 これらのコンポーネントは画像の内部点の輝度値には関係しませんが、その鮮明な境界を再現するために必要です。 画像サンプルの配列が輝度フィールドを表す場合、数値は実数で正になります。 ただし、この画像のフーリエ スペクトルは一般に複素数値を持ちます。 スペクトルには実数部と虚数部、または周波数ごとのスペクトル成分の位相と大きさを表す成分が含まれているため、フーリエ変換により画像の次元が増加するように見える場合があります。 ただし、複素共役に関して対称性があるため、これは当てはまりません。 等式 (4.101) で と を整数に等しいとすると、複素共役の後、等価性が得られます。 置換と src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> を使用すると、次のことがわかります。 複素共役対称性の存在により、スペクトル成分のほぼ半分が冗長であることがわかります。 それらは残りのコンポーネントから形成できます (図 4.15)。 下半面ではなく右半面にある高調波は、当然、冗長コンポーネントと見なすことができます。 画像処理におけるフーリエ解析は、1 次元信号の場合と同じ目的で使用されます。 ただし、周波数領域では、画像は意味のある情報をまったく表さないため、フーリエ変換は画像解析にはそれほど有用なツールではありません。 例えば、1次元のオーディオ信号にフーリエ変換を適用すると、時間領域の定式化が難しく複雑な波形が、周波数領域のわかりやすいスペクトルに変換されます。 比較すると、画像をフーリエ変換することにより、空間領域の順序付けられた情報が周波数領域の符号化された形式に変換されます。 つまり、フーリエ変換が画像にエンコードされた情報を理解するのに役立つとは期待しないでください。 同様に、フィルターを設計するときに周波数領域を考慮すべきではありません。 基本 特徴的な機能画像には境界線、つまり画像を区切る線があります 物体または 地域別の人から 物体または 地域。 画像の輪郭には広範囲の周波数成分が含まれているため、周波数スペクトルを操作して画像を変更しようとするのは非効率な作業です。 画像処理用のフィルターは通常、情報が最も単純でアクセスしやすい形式で表示される空間領域で設計されます。 画像処理の問題を解決するときは、むしろ操作の観点から操作する必要があります。 スムージングそして アンダースコア等高線（空間領域）の観点から見るよりも ハイパスフィルターそして ローパスフィルター(周波数領域)。 それにもかかわらず、フーリエ画像解析にはいくつかの有用な特性があります。 例えば、 畳み込み空間領域で対応する 乗算周波数領域で。 乗算は畳み込みよりも単純な数学演算であるため、これは重要です。 1D 信号と同様に、このプロパティにより、FFT を使用した畳み込みと、 さまざまな方法デコンボリューション。 他の 有用な特性周波数領域ではそれは フーリエセクター定理、画像とその投影の間の対応関係を確立します（同じ画像のタイプと さまざまな側面）。 この定理は、次のような方向の理論的基礎を形成します。 コンピュータ断層撮影法, 透視検査、医療や産業で広く使用されています。 画像の周波数スペクトルはいくつかの方法で計算できますが、スペクトルを計算する最も実用的な方法は FFT アルゴリズムです。 FFT アルゴリズムを使用する場合、元の画像には次のものが含まれている必要があります。 N線と N列と番号 N 2 の累乗の倍数でなければなりません。つまり、 256、512、1024、および 等 元の画像の寸法が 2 の累乗の倍数でない場合は、値がゼロのピクセルを追加して、画像を希望のサイズに完成させる必要があります。 フーリエ変換では情報の順序が維持されるため、低周波成分の振幅は 2 次元スペクトルの隅に位置し、高周波成分はその中心に位置します。 例として、オペアンプの入力段の電子顕微鏡像のフーリエ変換の結果を考えてみましょう (図 4.16)。 周波数ドメインには負の値を持つピクセルが含まれる可能性があるため、負の値が画像内の暗い点として認識され、ゼロ値がグレーの点として認識され、正の値が灰色の点として認識されるように、これらの画像のグレースケールがシフトされます。光点として認識されます。 通常、画像スペクトルの低周波成分は高周波成分よりも振幅がはるかに大きく、これはスペクトル画像の四隅に非常に明るい点と非常に暗い点が存在することを説明しています (図 4.16、b)。 図からわかるように、典型的なスペックは 19チケット 1. 拡張手術 2. 空間スペクトルの特徴 膨張操作。 A と B を空間 Z 2 からの集合とする。 セット A のセット B による（または B に関する）膨張は A⊕B で表され、次のように定義されます。 次のように書き換えることができます。 セット B を構造形成セットまたは膨張プリミティブと呼びます。 (11) は、初期座標 (中心 B) に対するセット B の中心反射を取得し、次にこのセットを点 z にシフトし、セット A を B に沿って拡張することに基づいています。このようなすべてのシフト z のセットは、 と A が一致する位置です。少なくとも 1 つの要素。 この定義それだけではありません。 ただし、拡張手順は、セットに対して実行される畳み込み演算といくつかの点で似ています。 空間スペクトルの特徴 (1.8) に従って、2 次元フーリエ変換は次のように定義されます。 どこ w×, やあ– 空間周波数。 スペクトルの二乗係数 M( w×, やあ) = |Ф( w×, やあ)| 2 を使用して、多くの特徴を計算できます。 機能統合 M(w×, やあ) 空間周波数平面上の角度によって、画像のシフトと回転に関して不変の空間周波数符号が得られます。 機能のご紹介 M(w×, やあ) 極座標では、この記号を次の形式で書きます。 どこ q= arctg( やあ/w×); r 2 = w× 2 +やあ 2 . 20チケット 1.侵食操作 させて f(× 1 , × 2) – 2 つの変数の関数。 1 次元フーリエ変換と同様に、2 次元フーリエ変換を導入できます。 ω 1、ω 2 の固定値に対する関数は、平面内の平面波を記述します × 1 , × 2 (図19.1)。 量 ω 1、ω 2 は空間周波数と次元の意味を持ちます。 mm−1、関数 F(ω 1, ω 2) は空間周波数のスペクトルを決定します。 球面レンズは光信号のスペクトルを計算できます (図 19.2)。 図 19.2 では、次の表記が導入されています: φ - 焦点距離、 図 19.1 - 空間周波数を決定するには 2 次元フーリエ変換には 1 次元変換のすべての特性があり、さらに 2 つの追加特性に注目します。その証明は 2 次元フーリエ変換の定義から簡単に得られます。 図 19.2 – を使用した光信号のスペクトルの計算 因数分解。 2次元信号を因数分解すると、 次に、そのスペクトルも因数分解されます。 放射対称性。 2 次元信号が放射対称である場合、つまり ここで、 は 0 次のベッセル関数です。 放射対称の 2 次元信号とその空間スペクトルの間の関係を定義する式は、ハンケル変換と呼ばれます。 講義 20. 離散フーリエ変換。 ローパスフィルター 直接 2 次元離散フーリエ変換 (DFT) は、空間座標系 ( x、y) を、周波数座標系 ( う、う): 逆離散フーリエ変換 (IDFT) の形式は次のとおりです。 DFT は複雑な変換であることがわかります。 この変換の係数は画像スペクトルの振幅を表し、DFT の実数部と虚数部の二乗和の平方根として計算されます。 位相 (位相シフト角) は、DFT の虚部と実部の比の逆正接として定義されます。 エネルギー スペクトルは、スペクトル振幅の 2 乗、またはスペクトルの虚数部と実数部の 2 乗の和に等しくなります。 畳み込み定理 畳み込み定理によれば、空間領域における 2 つの関数の畳み込みは、DFT の積の ODFT によって取得できます。 周波数領域でのフィルタリングでは、画像の DFT を使用して、必要な画像変換を行うフィルタの周波数応答を選択できます。 最も一般的なフィルターの周波数特性を見てみましょう。フーリエ変換の複素表現。
高速フーリエ変換。
二次元フーリエ変換。
フーリエ変換を使用した畳み込み。
周波数領域での画像のフィルタリング。
符号はスケールに関して不変です
球面レンズ
