この資料では、同じ直線上にない 3 つの異なる点の座標がわかっている場合に、平面の方程式を見つける方法を見ていきます。 これを行うには、3 次元空間における直交座標系が何であるかを覚えておく必要があります。 まず、この方程式の基本原理を紹介し、特定の問題を解決するためにそれを使用する方法を正確に示します。

Yandex.RTB R-A-339285-1

まず、次のような公理を 1 つ覚えておく必要があります。

定義 1

3 つの点が互いに重ならず、同じ直線上にない場合、3 次元空間では 1 つの平面だけがそれらを通過します。

つまり、3つあれば、 異なる点、座標が一致せず、直線で結ぶことができない場合、それを通過する平面を決定できます。

直交座標系があるとします。 それを O xy z と表しましょう。 これには、接続できない座標 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を持つ 3 つの点 M が含まれています。直線。 これらの条件に基づいて、必要な平面の方程式を書き留めることができます。 この問題を解決するには 2 つのアプローチがあります。

1. 最初のアプローチでは、一般的な平面方程式を使用します。 文字形式では、A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 と書きます。 これを利用すると、最初に指定された点 M 1 (x 1, y 1, z 1) を通過する特定のアルファ平面を直交座標系で定義できます。 平面αの法線ベクトルの座標はA、B、Cとなることが分かります。

Nの定義

法線ベクトルの座標と平面が通過する点の座標がわかれば、この平面の一般方程式を書き留めることができます。

今後はこれをベースに進めていきます。

したがって、問題の条件に従って、平面が通過する目的の点 (3 点でも) の座標が得られます。 方程式を見つけるには、その法線ベクトルの座標を計算する必要があります。 それを n → と表します。

ルールを思い出してください。指定された平面のゼロ以外のベクトルは、同じ平面の法線ベクトルに垂直です。 次に、 n → は、元の点 M 1 M 2 → と M 1 M 3 → で構成されるベクトルに垂直であることがわかります。 次に、n → を M 1 M 2 → · M 1 M 3 → の形式のベクトル積として表すことができます。

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) および M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 なので(これらの等式の証明は、点の座標からベクトルの座標を計算することに特化した記事で示されています)、そして、次のことがわかります。

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

行列式を計算すると、必要な法線ベクトルの座標 n → が得られます。 これで、与えられた 3 つの点を通過する平面に必要な方程式を書き留めることができます。

2. M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を通る方程式を見つける 2 番目のアプローチ。ベクトルの同一平面性などの概念に基づいています。

一連の点 M (x, y, z) がある場合、直交座標系では、指定された点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2) の平面を定義します。 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) は、ベクトル M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 の場合のみです。 → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) と M 1 M 3 → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) は同一平面上になります。 。

図では次のようになります。

これは、ベクトル M 1 M → 、M 1 M 2 → 、M 1 M 3 → の混合積がゼロに等しいことを意味します: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 、これが共平面性の主な条件であるため、M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1)、M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) 、z 2 - z 1 ) および M 1 M 3 → = (x 3 - x 1、y 3 - y 1、z 3 - z 1)。

結果として得られる方程式を座標形式で書いてみましょう。

行列式を計算した後、同じ線上にない 3 つの点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2) に必要な平面方程式を取得できます。 、Ｍ ３ （ｘ ３ 、ｙ ３ 、ｚ ３ ）。

問題の条件で必要な場合は、結果の方程式から、セグメント内の平面の方程式または平面の正規方程式に進むことができます。

次の段落では、これまでに示したアプローチが実際にどのように実装されているかの例を示します。

3点を通る平面の方程式を作る問題の例

以前、目的の方程式を見つけるために使用できる 2 つのアプローチを特定しました。 問題を解決するためにこれらがどのように使用されるのか、また、それぞれをいつ選択する必要があるのか​​を見てみましょう。

例1

同一線上にない 3 つの点があり、座標は M 1 (- 3, 2, - 1)、M 2 (- 1, 2, 4)、M 3 (3, 3, - 1) です。 それらを通過する平面の方程式を書きます。

解決

両方の方法を交互に使用します。

1. 必要な 2 つのベクトル M 1 M 2 → 、M 1 M 3 → の座標を見つけます。

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 、 2 - 2 、 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 、 0 、 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 、 3 - 2 、 - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

次に、ベクトル積を計算してみましょう。 行列式の計算については説明しません。

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

必要な 3 つの点を通過する平面の法線ベクトルがあります: n → = (- 5, 30, 2) 。 次に、点の 1 つ、たとえば M 1 (- 3, 2, - 1) を取得し、ベクトル n → = (- 5, 30, 2) を持つ平面の方程式を書き留める必要があります。 - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0 がわかります。

これは、3 点を通過する平面に必要な方程式です。

2. 別のアプローチをとってみましょう。 3 つの点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を持つ平面の方程式を次のように書きます。次の形式:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

ここで、問題ステートメントのデータを置き換えることができます。 x 1 = - 3、y 1 = 2、z 1 = - 1、x 2 = - 1、y 2 = 2、z 2 = 4、x 3 = 3、y 3 = 3、z 3 = - 1 なので、その結果、次のようになります。

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

必要な方程式が得られました。

答え：-5x+30y+2z-73。

しかし、与えられた点がまだ同じ線上にあり、それらの点に対して平面方程式を作成する必要がある場合はどうなるでしょうか? ここで、この条件が完全に正しいわけではないことをすぐに言わなければなりません。 このような点を通過できる飛行機の数は無限にあるため、単一の答えを計算することは不可能です。 このような問題の定式化が正しくないことを証明するために、このような問題を考えてみましょう。

例 2

3 次元空間には直交座標系があり、その中に 3 つの点が座標 M 1 (5, - 8, - 2)、M 2 (1, - 2, 0)、M 3 (- 1, 1) で配置されています。 、1) 。 それを通過する平面の方程式を作成する必要があります。

解決

最初の方法を使用して、2 つのベクトル M 1 M 2 → と M 1 M 3 → の座標を計算することから始めましょう。 それらの座標を計算してみましょう: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2)、M 1 M 3 → = - 6, 9, 3。

外積は次のようになります。

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → なので、ベクトルは共線的になります (この概念の定義を忘れた場合は、ベクトルに関する記事をもう一度読んでください)。 したがって、初期点 M 1 (5, - 8, - 2)、M 2 (1, - 2, 0)、M 3 (- 1, 1, 1) は同一線上にあり、問題には無限に多くの点があります。選択肢の答え。

2 番目の方法を使用すると、次の結果が得られます。

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

結果の等価性から、指定された点 M 1 (5, - 8, - 2)、M 2 (1, - 2, 0)、M 3 (- 1, 1, 1) が同じ線上にあることもわかります。

この問題に対する無数の選択肢から少なくとも 1 つの答えを見つけたい場合は、次の手順に従う必要があります。

1. 直線 M 1 M 2、M 1 M 3、または M 2 M 3 の方程式を書き留めます (必要に応じて、このアクションに関する資料を参照してください)。

2. 直線 M 1 M 2 上にない点 M 4 (x 4, y 4, z 4) を取ります。

3. 同一直線上にない 3 つの異なる点 M 1、M 2、M 4 を通過する平面の方程式を書き留めます。

テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。

このレッスンでは、行列式を使用して作成する方法を見ていきます。 平面方程式。 行列式が何なのかわからない場合は、レッスンの最初の部分「行列と行列式」に進んでください。 そうしないと、今日の内容を何も理解できなくなる危険があります。

3 点を使用した平面の方程式

そもそもなぜ平面方程式が必要なのでしょうか? それは簡単です。それがわかれば、問題 C2 の角度、距離、その他のくだらない計算を簡単に計算できます。 一般に、この方程式なしでは成り立ちません。 したがって、次のように問題を定式化します。

タスク。 同じ線上にない空間に 3 つの点が与えられます。 彼らの座標:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

これら 3 点を通過する平面の方程式を作成する必要があります。 さらに、方程式は次のようになります。

Ax + By + Cz + D = 0

ここで、数値 A、B、C、D は実際に見つける必要がある係数です。

さて、点の座標だけがわかっている場合、どうやって平面の方程式を求めるのでしょうか? 最も簡単な方法は、座標を方程式 Ax + By + Cz + D = 0 に代入することです。簡単に解ける 3 つの方程式系が得られます。

多くの学生は、この解決策は非常に面倒で信頼性が低いと感じています。 昨年の数学の統一州試験では、計算ミスをする可能性が非常に高いことが示されました。

したがって、最も先進的な教師は、よりシンプルで洗練されたソリューションを探し始めました。 そして彼らはそれを見つけました！ 確かに、受信した受信はむしろ、 高等数学。 私個人としては、何の正当性も証拠もなくこの手法を使用する権利があることを確認するために、連邦教科書のリスト全体を調べなければなりませんでした。

行列式による平面の方程式

歌詞はこれくらいにして、本題に入りましょう。 まずは行列の行列式と平面方程式の関係についての定理。

定理。 平面を描画するために通過する 3 点の座標を次のように指定します。 M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3)。 次に、この平面の方程式は行列式を介して次のように書くことができます。

例として、問題 C2 で実際に発生する平面のペアを見つけてみましょう。 すべてがどれほど速く計算されるかを見てください。

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

行列式を作成し、それをゼロとみなします。

行列式を展開します。

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

ご覧のとおり、数値 d を計算するとき、変数 x、y、z が正しい順序になるように方程式を少し「検討」しました。 それだけです！ 平面の方程式が完成しました!

タスク。 点を通過する平面の方程式を書きます。

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

すぐに点の座標を行列式に代入します。

行列式を再度展開します。

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

ということで、再び平面の方程式が得られました！ 繰り返しますが、最後のステップで、より「美しい」式を得るために記号を変更する必要がありました。 この解決策ではこれを行う必要はまったくありませんが、問題のさらなる解決策を簡素化するために、そうすることをお勧めします。

ご覧のとおり、平面の方程式を作成するのがはるかに簡単になりました。 行列に点を代入し、行列式を計算します。これで方程式の準備は完了です。

これでレッスンが終了する可能性があります。 しかし、多くの学生は行列式の中身を常に忘れてしまいます。 たとえば、どの行に x 2 または x 3 が含まれているか、どの行に x だけが含まれているかなどです。 この問題を本当に解決するために、それぞれの数字がどこから来たのかを見てみましょう。

行列式を含む公式はどこから来たのでしょうか?

それでは、行列式を含むこのような厳しい方程式がどこから来たのかを考えてみましょう。 これは、それを覚えてうまく適用するのに役立ちます。

問題 C2 に登場するすべての平面は 3 つの点によって定義されます。 これらの点は常に図面上にマークされているか、問題の本文に直接示されている場合もあります。 いずれの場合でも、方程式を作成するには、座標を書き留める必要があります。

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3)。

任意の座標を持つ平面上の別の点を考えてみましょう。

T = (x, y, z)

最初の 3 つの点 (たとえば、点 M) から任意の点を取得し、そこから残りの 3 つの点のそれぞれにベクトルを描画します。 3 つのベクトルが得られます。

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 )。

ここで、これらのベクトルから正方行列を構成し、その行列式をゼロとみなしてみましょう。 ベクトルの座標は行列の行になり、定理で示されているまさに行列式が得られます。

この式は、ベクトル MN、MK、MT 上に構築される平行六面体の体積がゼロに等しいことを意味します。 したがって、3 つのベクトルはすべて同じ平面上にあります。 特に、任意の点 T = (x, y, z) はまさに私たちが探していたものです。

行列式の点と線を置き換える

行列式には、それをさらに簡単にするいくつかの優れた特性があります。 問題 C2 の解決策。 たとえば、どの点からベクトルを描くかは私たちにとって重要ではありません。 したがって、次の行列式は上記と同じ平面方程式を与えます。

行列式の行を入れ替えることもできます。 方程式は変わりません。 たとえば、多くの人は点 T = (x; y; z) の座標を一番上に持つ線を書きたがります。 ご都合がよければ：

行の 1 つに変数 x、y、z が含まれており、点を置き換えてもこれらの変数が消えないという事実に混乱する人もいます。 しかし、彼らは消えてはいけません！ 行列式に数値を代入すると、次の構造が得られます。

次に、レッスンの最初に示した図に従って行列式が展開され、平面の標準方程式が得られます。

Ax + By + Cz + D = 0

例を見てみましょう。 今日のレッスンの最後です。 答えが同じ平面の方程式を与えるように、意図的に行を入れ替えます。

タスク。 点を通過する平面の方程式を書きます。

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1)。

そこで、次の 4 つのポイントを考慮します。

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z)。

まず、標準の行列式を作成し、それをゼロとみなします。

行列式を展開します。

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

以上です。x + y + z − 2 = 0 という答えが得られました。

ここで、行列式の数行を並べ替えて、何が起こるかを見てみましょう。 たとえば、変数 x、y、z を一番下ではなく一番上に持つ行を書いてみましょう。

結果の行列式を再度展開します。

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

まったく同じ平面方程式、x + y + z − 2 = 0 が得られました。これは、実際には行の順序に依存しないことを意味します。 あとは答えを書き留めるだけです。

したがって、平面の方程式は直線の順序に依存しないと確信しています。 同様の計算を実行すると、平面の方程式が他の点から座標を差し引く点に依存しないことが証明できます。

上で検討した問題では、点 B 1 = (1, 0, 1) を使用しましたが、C = (1, 1, 0) または D 1 = (0, 1, 1) を採用することも十分に可能でした。 一般に、目的の平面上にある既知の座標を持つ任意の点。

空間内の任意の 3 点を通過して単一の平面を描画するには、これらの点が同じ直線上にないことが必要です。

一般的なデカルト座標系の点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を考えてみましょう。

任意の点 M(x, y, z) が点 M 1、M 2、M 3 と同一平面上にあるためには、ベクトルが同一平面上にある必要があります。

(
) = 0

したがって、

3 点を通過する平面の方程式:

2 つの点とその平面と同一線上にあるベクトルが与えられた平面の方程式。

点 M 1 (x 1,y 1,z 1)、M 2 (x 2,y 2,z 2) とベクトルが与えられるとします。
.

与えられた点 M 1 および M 2 と、ベクトルに平行な任意の点 M (x, y, z) を通る平面の方程式を作成しましょう。 .

ベクトル
そしてベクトル
同一平面上にある必要があります。つまり、

(
) = 0

平面方程式:

1 つの点と 2 つのベクトルを使用した平面の方程式、

飛行機と同一線上にあります。

2 つのベクトルが与えられるとします
そして
、同一線上にある平面。 次に、平面に属する任意の点 M(x, y, z) について、ベクトルは
同一平面上にある必要があります。

平面方程式:

点と法線ベクトルによる平面の方程式 .

定理。 空間上に点Mが与えられた場合 0 （バツ 0 、y 0 , z 0 )、点 M を通る平面の方程式 0 法線ベクトルに垂直 (あ, B, C) の形式は次のとおりです。

あ(バツ – バツ 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

証拠。 平面に属する任意の点 M(x, y, z) に対してベクトルを構成します。 なぜなら ベクター が法線ベクトルである場合、それは平面に対して垂直であるため、ベクトルに対して垂直になります
。 次にスカラー積

= 0

したがって、平面の方程式が得られます。

定理は証明されました。

セグメント内の平面の方程式。

一般方程式 Ax + Bi + Cz + D = 0 の場合、両辺を (-D) で割ります。

,

交換する
、セグメント内の平面の方程式を取得します。

数字 a、b、c はそれぞれ、平面と x、y、z 軸との交点です。

ベクトル形式の平面の方程式。

どこ

- 現在の点の半径ベクトル M(x, y, z)、

原点から平面に下ろした垂線の方向を持つ単位ベクトル。

、、および  は、このベクトルと x、y、z 軸によって形成される角度です。

p はこの垂線の長さです。

座標では、この方程式は次のようになります。

xcos + ycos + zcos - p = 0。

点から平面までの距離。

任意の点 M 0 (x 0, y 0, z 0) から平面 Ax+By+Cz+D=0 までの距離は次のとおりです。

例。点 P(4; -3; 12) が原点からこの平面に下ろした垂線の底辺であることがわかっているので、平面の方程式を求めます。

したがって、A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13、次の式を使用します。

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

例。 2 つの点 P(2; 0; -1) を通過する平面の方程式を求め、

平面 3x + 2y – z + 5 = 0 に垂直な Q(1; -1; 3)。

平面に対する法線ベクトル 3x + 2y – z + 5 = 0
目的の平面と平行になります。

我々が得る：

例。点 A(2, -1, 4) を通過する平面の方程式を求め、

平面に垂直な B(3, 2, -1) バツ + で + 2z – 3 = 0.

必要な平面の方程式は次の形式になります。 バツ+B y+C z+ D = 0、この平面に対する法線ベクトル (A、B、C)。 ベクター
(1, 3, -5) は平面に属します。 与えられた平面は、目的の平面に垂直であり、法線ベクトルを持ちます。 (1、1、2)。 なぜなら 点 A と B は両方の平面に属しており、これらの平面は相互に垂直である場合、

したがって、法線ベクトルは (11、-7、-2)。 なぜなら 点 A が目的の平面に属している場合、その座標はこの平面の方程式を満たす必要があります。 11×2 + 7×1 - 2×4 +D= 0;D= -21。

合計すると、平面の方程式が得られます: 11 バツ - 7y – 2z – 21 = 0.

例。点 P(4, -3, 12) が原点からこの平面に下ろした垂線の底辺であることを知って、平面の方程式を求めます。

法線ベクトルの座標を求める
= (4, -3, 12)。 必要な平面の方程式は次の形式になります。 4 バツ – 3y + 12z+ D = 0。係数 D を見つけるには、点 P の座標を方程式に代入します。

16 + 9 + 144 + D = 0

合計すると、必要な方程式が得られます: 4 バツ – 3y + 12z – 169 = 0

例。ピラミッドの頂点の座標は次のように与えられます: A 1 (1; 0; 3)、A 2 (2; -1; 3)、A 3 (2; 1; 1)、

辺 A 1 A 2 の長さを求めます。

エッジ A 1 A 2 と A 1 A 4 の間の角度を見つけます。

エッジ A 1 A 4 と面 A 1 A 2 A 3 の間の角度を見つけます。

まず、面の法線ベクトル A 1 A 2 A 3 を見つけます。 ベクトルの外積として
そして
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

法線ベクトルとベクトルの間の角度を求めてみましょう
.

-4 – 4 = -8.

ベクトルと平面の間の望ましい角度  は、  = 90 0 -  に等しくなります。

面A 1 A 2 A 3の面積を求めます。

ピラミッドの体積を求めます。

平面 A 1 A 2 A 3 の方程式を求めます。

3点を通る平面の方程式の公式を使ってみましょう。

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

パソコン版をご利用の場合「 高等数学コース」を使用すると、ピラミッドの頂点の任意の座標について上記の例を解くプログラムを実行できます。

プログラムを開始するには、次のアイコンをダブルクリックします。

開いたプログラム ウィンドウで、ピラミッドの頂点の座標を入力し、Enter キーを押します。 このようにして、すべての決定点を 1 つずつ取得できます。

注: プログラムを実行するには、Maple プログラム (→ Waterloo Maple Inc.) (MapleV Release 4 以降のバージョン) がコンピュータにインストールされている必要があります。

さまざまな方法で指定できます (1 点とベクトル、2 点とベクトル、3 点など)。 これを念頭に置いて、平面方程式はさまざまな形式を持つことができます。 また、特定の条件に従って、平面は平行、垂直、交差などになることがあります。 この記事ではこれについて説明します。 平面の一般方程式の作り方などを学びます。

方程式の正規形

直交する XYZ 座標系を持つ空間 R 3 があるとします。 最初の点 O から解放されるベクトル α を定義しましょう。ベクトル α の端を通して、それに垂直な平面 P を描きます。

P 上の任意の点を Q = (x, y, z) と表します。 点 Q の動径ベクトルに文字 p を付けてみましょう。 この場合、ベクトル α の長さは、р=IαI および Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) に等しくなります。

ベクトルαと同様に横向きの単位ベクトルです。 α、β、γ は、それぞれベクトル Ʋ と空間軸 x、y、z の正の方向との間に形成される角度です。 任意の点 QϵП のベクトル Ʋ への射影は、p に等しい定数値です: (p,Ʋ) = p(p≥0)。

上の方程式は、p=0 の場合に意味を成します。 唯一のことは、この場合の平面 P は座標の原点である点 O (α = 0) と交差し、点 O から放たれた単位ベクトル Ʋ はその向きに関係なく P に垂直になるということです。ベクトルƲが符号に対して正確に決定されることを意味します。 前述の方程式は、ベクトル形式で表された平面 P の方程式です。 しかし、座標では次のようになります。

ここでの P は 0 以上です。正規形の空間における平面の方程式が見つかりました。

一般式

座標の方程式にゼロ以外の数値を乗算すると、まさにその平面を定義する、これと等価な方程式が得られます。 次のようになります。

ここで、A、B、C は同時にゼロとは異なる数です。 この方程式を一般平面方程式といいます。

平面の方程式。 特殊なケース

の方程式 一般的な見解追加の条件に従って変更される場合があります。 それらのいくつかを見てみましょう。

係数 A が 0 であると仮定します。これは、この平面が指定された Ox 軸に平行であることを意味します。 この場合、方程式の形式は Ву+Cz+D=0 のように変わります。

同様に、方程式の形式は次の条件下で変化します。

• まず、B = 0 の場合、方程式は Ax + Cz + D = 0 に変わり、Oy 軸との平行度を示します。
• 次に、C=0 の場合、方程式は Ax+By+D=0 に変換され、指定された Oz 軸との平行度を示します。
• 第三に、D=0 の場合、方程式は Ax+By+Cz=0 のようになり、平面が O (原点) と交差することを意味します。
• 第 4 に、A=B=0 の場合、方程式は Cz+D=0 に変わり、Oxy と平行であることがわかります。
• 第 5 に、B=C=0 の場合、方程式は Ax+D=0 になります。これは、Oyz に対する平面が平行であることを意味します。
• 第 6 に、A=C=0 の場合、方程式は Ву+D=0 の形式になります。つまり、並列性が Oxz に報告されます。

セグメントの方程式のタイプ

数値 A、B、C、D がゼロではない場合、式 (0) の形式は次のようになります。

x/a + y/b + z/c = 1、

ここで、a = -D/A、b = -D/B、c = -D/C。

結果として、この平面が座標 (a,0,0)、Oy - (0,b,0)、および Oz - (0,0,c) の点で Ox 軸と交差することは注目に値します。 ）。

方程式 x/a + y/b + z/c = 1 を考慮すると、特定の座標系に対する平面の配置を視覚的に想像するのは難しくありません。

法線ベクトル座標

平面 P に対する法線ベクトル n には係数となる座標があります。 一般方程式与えられた平面、つまり n (A、B、C) の。

法線 n の座標を決定するには、特定の平面の一般方程式を知るだけで十分です。

x/a + y/b + z/c = 1 の形式を持つ方程式をセグメントで使用する場合は、一般方程式を使用する場合と同様に、特定の平面の法線ベクトルの座標を次のように書くことができます。(1/a + 1/b + 1/ 付き）。

法線ベクトルがさまざまな問題の解決に役立つことは注目に値します。 最も一般的なものには、平面の垂直度または平行度を証明する問題、平面間の角度、または平面と直線間の角度を求める問題が含まれます。

点と法線ベクトルの座標に応じた平面方程式の種類

特定の平面に垂直な非ゼロのベクトル n は、特定の平面の法線と呼ばれます。

座標空間 (直交座標系) で Oxyz が与えられると仮定します。

• 座標 (xₒ,yₒ,zₒ) を持つ点 Mₒ;
• ゼロベクトル n=A*i+B*j+C*k。

点 Mₒ を通り法線 n に垂直な平面の方程式を作成する必要があります。

空間内の任意の点を選択し、それを M (x y, z) と表します。 任意の点 M (x,y,z) の半径ベクトルを r=x*i+y*j+z*k とし、点 Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* の半径ベクトルとする。 i+yₒ*j+zₒ*k。 ベクトル MₒM がベクトル n に垂直であれば、点 M は特定の平面に属します。 スカラー積を使用して直交条件を書いてみましょう。

[MₒM, n] = 0。

MₒM = r-rₒ であるため、平面のベクトル方程式は次のようになります。

この方程式は別の形式をとることもできます。 これを行うには、スカラー積の特性が使用され、方程式の左側が変換されます。

= - 。 これを c と表すと、次の方程式が得られます: - c = 0 または = c。これは、平面に属する指定された点の動径ベクトルの法線ベクトルへの投影の恒常性を表します。

これで、平面 = 0 のベクトル方程式を記述する座標形式を取得できます。 r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k、および n = A*i+B *j+С*k の場合、次のようになります。

法線 n に垂直な点を通過する平面の方程式があることがわかります。

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0。

2 点の座標と平面と同一線上にあるベクトルに基づく平面方程式のタイプ

2 つの任意の点 M' (x',y',z') および M'' (x'',y'',z'') とベクトル a (a',a'',a‴) を定義しましょう。

これで、既存の点 M' と M''、および指定されたベクトル a に平行な座標 (x, y, z) を持つ任意の点 M を通過する指定された平面の方程式を作成できます。

この場合、ベクトル M'M=(x-x';y-y';z-z') および M''M=(x''-x';y''-y';z''-z') は、ベクトルと同一平面上にある必要があります。 a=(a',a'',a‴)、これは (M'M, M''M, a)=0 を意味します。

したがって、空間における平面方程式は次のようになります。

同じ直線に属さない 3 つの点 (x′,y′,z′)、(x″,y″,z″)、(x‴,y‴,z‴) があるとします。 与えられた３点を通る平面の方程式を書く必要があります。 幾何学の理論では、この種の平面は実際に存在すると主張していますが、それは唯一のものであり、ユニークです。 この平面は点 (x',y',z') と交差するため、方程式の形式は次のようになります。

ここで、A、B、C は同時にゼロとは異なります。 また、指定された平面はさらに 2 つの点 (x'',y'',z'') と (x‴,y‴,z‴) と交差します。 この点に関して、次の条件を満たす必要があります。

これで作曲できるようになりました 均質系未知の u、v、w の場合:

私たちの中で ケースx、yまたは、z は式 (1) を満たす任意の点として機能します。 方程式 (1) と方程式系 (2) および (3) を考慮すると、上図に示された方程式系はベクトル N (A,B,C) によって満たされますが、これは自明ではありません。 このシステムの行列式がゼロに等しいのはこのためです。

得られた式(1)は平面の方程式です。 正確に3点を通過するので確認しやすいです。 これを行うには、行列式を最初の行の要素に展開する必要があります。 行列式の既存の性質から、平面は最初に与えられた 3 つの点 (x′,y′,z′)、(x″,y″,z″)、(x‴,y‴,z‴) と同時に交差することがわかります。 。 つまり、私たちは自分たちに割り当てられた課題を解決しました。

平面間の上反角

二面角は空間を表します 幾何学模様、1 本の直線から伸びる 2 つの半平面によって形成されます。 言い換えれば、これはこれらの半平面によって制限される空間の部分です。

次の方程式を持つ 2 つの平面があるとします。

ベクトル N=(A,B,C) と N¹=(A¹,B¹,C¹) は、指定された平面に従って垂直であることがわかっています。 この点に関して、ベクトル N と N¹ の間の角度 φ は、これらの平面の間に位置する角度 (二面角) に等しくなります。 スカラー積の形式は次のとおりです。

NN¹=|N||N¹|cos φ、

まさにそのため

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))。

0≤φ≤π を考慮すれば十分です。

実際、交差する 2 つの平面は 2 つの角度 (二面角)、φ 1 と φ 2 を形成します。 それらの合計は π (φ 1 + φ 2 = π) に等しくなります。 それらの余弦は、絶対値が等しいですが、符号が異なります。つまり、cos φ 1 = -cos φ 2 となります。 方程式 (0) で A、B、C をそれぞれ数字 -A、-B、-C に置き換えると、得られる方程式は同じ平面、唯一の平面、方程式 cos の角度 φ を決定します。 φ= NN 1 /| N||N 1 | は π-φ に置き換えられます。

垂直面の方程式

間の角度が 90 度である平面は垂直と呼ばれます。 上に示した材料を使用すると、別の平面に垂直な平面の方程式を見つけることができます。 Ax+By+Cz+D=0 と A¹x+B¹y+C¹z+D=0 の 2 つの平面があるとします。 cosφ=0であれば直交すると言えます。 これは、NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0を意味します。

平行平面の方程式

共通点を含まない 2 つの平面は平行と呼ばれます。

条件 (それらの方程式は前の段落と同じです) は、それらに垂直なベクトル N と N¹ が同一線上にあることです。 これは、次の比例条件が満たされていることを意味します。

A/A¹=B/B¹=C/C¹。

比例条件を拡張すると、A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹、

これは、これらの平面が一致していることを示します。 これは、方程式 Ax+By+Cz+D=0 および A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 が 1 つの平面を表すことを意味します。

点から平面までの距離

方程式 (0) で与えられる平面 P があるとします。 座標(xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒの点からそこまでの距離を求める必要があります。 これを行うには、平面 P の方程式を正規形にする必要があります。

(ρ,v)=р (р≥0)。

この場合、ρ (x, y, z) は P 上にある点 Q の動径ベクトル、p はゼロ点から解放された垂線 P の長さ、v は単位ベクトルです。方向

P に属するある点 Q = (x, y, z) の差 ρ-ρ° 半径ベクトルと、与えられた点 Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) の半径ベクトルは、そのようなベクトルです。 v への投影の絶対値は、Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) から P までの距離 d に等しくなります。

D=|(ρ-ρ 0 ,v)| しかし、

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)。

それで判明しました

d=|(ρ 0 ,v)-р|。

したがって、結果の式の絶対値、つまり目的の d が見つかります。

パラメーター言語を使用すると、明らかなことがわかります。

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²)。

与えられた点 Q 0 が座標の原点のように平面 P の反対側にある場合、ベクトル ρ-ρ 0 と v の間には次の式が存在します。

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0。

点 Q 0 が座標の原点とともに P の同じ側に位置する場合、作成される角度は鋭角になります。

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 ,v)>0。

その結果、最初のケースでは (ρ 0 ,v)>р、2 番目のケースでは (ρ 0 ,v) であることがわかります。<р.

接平面とその方程式

接触点 M° における表面への接平面は、表面上のこの点を通って引かれた曲線へのすべての可能な接線を含む平面です。

このタイプの表面方程式 F(x,y,z)=0 では、接点 M°(x°,y°,z°) における接平面の方程式は次のようになります。

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0。

明示的な形式 z=f (x,y) でサーフェスを指定すると、接平面は次の方程式で記述されます。

z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°)。

2 つの平面の交差

Oxyz が位置する座標系 (長方形) には、交差するが一致しない 2 つの平面 П′ と П″ が与えられます。 直交座標系にある平面は一般方程式によって決定されるため、P' と P'' は式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A''x で与えられると仮定します。 +B”y+С”z+D”=0。 この場合、平面 P' の法線 n' (A',B',C') と平面 P'' の法線 n'' (A'',B'',C'') があります。 私たちの平面は平行ではなく、一致しないため、これらのベクトルは同一線上にありません。 数学の言語を使用すると、この条件は次のように書くことができます: n'≠ n'' ↔ (A',B',C') ≠ (λ*A'',λ*B'',λ*C''), λϵR。 P' と P'' の交点にある直線を文字 a で表すとします。この場合、a = P' ∩ P''。

aは、(共通)平面P'およびP''のすべての点の集合からなる直線です。 これは、線 a に属する任意の点の座標が方程式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A''x+B''y+C''z+D''=0 を同時に満たさなければならないことを意味します。 。 これは、点の座標が次の方程式系の部分解となることを意味します。

その結果、この連立方程式の（一般的な）解法により、P' と P'' の交点となる直線の各点の座標が決まり、直線が決定されることがわかります。空間の Oxyz (直交) 座標系における a。

平面の方程式。 平面の方程式はどうやって書くのでしょうか？
飛行機の相互配置。 タスク

空間幾何学は「平面」幾何学ほど複雑ではありません。宇宙への飛行はこの記事から始まります。 このトピックをマスターするには、以下をよく理解する必要があります ベクトルさらに、飛行機の形状についてよく理解しておくことをお勧めします。多くの類似点や類似点があるため、情報がよりよく理解されます。 私の一連のレッスンでは、2D の世界は記事から始まります。 平面上の直線の方程式。 しかし今、バットマンはフラットテレビの画面を離れ、バイコヌール宇宙基地から飛び立っています。

図面と記号から始めましょう。 概略的には、平面は平行四辺形の形で描くことができ、空間の印象を作り出します。

平面は無限ですが、私たちが描写できるのはその一部だけです。 実際には、平行四辺形に加えて、楕円形や雲も描かれます。 技術的な理由から、飛行機を正確にこの方法で、正確にこの位置で描写する方が都合がよいのです。 実際の平面は、実際の例で検討しますが、どのような方法でも配置できます。心の中で図面を手に取り、空間内で回転させて、平面に任意の傾きや角度を与えます。

指定: 飛行機は通常、小さなギリシャ文字で示されますが、これは明らかに飛行機と混同しないためです。 平面上の直線または一緒に 空間内の直線。 私は という文字を使うことに慣れています。 図面では「シグマ」の文字であり、穴ではありません。 とはいえ、穴の空いた飛行機は確かにかなり面白いです。

場合によっては、同じギリシャ文字に下付き文字を付けて平面を指定すると便利です (例: )。

平面が、同一線上にない 3 つの異なる点によって一意に定義されることは明らかです。 したがって、飛行機の3文字の指定は、たとえば、飛行機に属する点などによって非常に人気があります。 多くの場合、文字は括弧で囲まれます。 平面を別の幾何学的図形と混同しないようにするためです。

経験豊富な読者のために私は クイックアクセスメニュー:

• 点と 2 つのベクトルを使用して平面の方程式を作成するにはどうすればよいですか?
• 点と法線ベクトルを使用して平面の方程式を作成するにはどうすればよいですか?

長い待ち時間でも疲れることはありません。

一般的な平面方程式

平面の一般方程式は次の形式になります。ここで、係数は同時にゼロに等しくなりません。

多くの理論計算と実際的な問題は、通常の正規直交基底と空間のアフィン基底の両方に有効です (石油が石油の場合は、レッスンに戻ってください) ベクトルの線形 (非) 依存性。 ベクトルの基礎）。 簡単にするために、すべてのイベントは正規直交基底とデカルト直交座標系で発生すると仮定します。

では、空間想像力を少し練習してみましょう。 あなたのものが悪くても大丈夫です。今度はそれを少し発展させてみましょう。 緊張してプレーするにもトレーニングが必要です。

最も一般的なケースでは、数値がゼロに等しくない場合、平面は 3 つの座標軸すべてと交差します。 たとえば、次のようになります。

もう一度繰り返しますが、飛行機はあらゆる方向に無限に進み、私たちが描く機会はその一部だけです。

最も単純な平面の方程式を考えてみましょう。

この方程式をどう理解すればよいでしょうか? 考えてみてください。「X」と「Y」の値がどのような場合でも、「Z」は常にゼロに等しくなります。 これは「ネイティブ」座標面の方程式です。 実際、形式的には、方程式は次のように書き換えることができます。 ここから、「x」と「y」がどのような値を取るかは気にしないことがはっきりとわかりますが、「z」がゼロに等しいことが重要です。

同じく：
– 座標平面の方程式;
– 座標平面の方程式。

問題を少し複雑にして、平面を考えてみましょう (この段落のここおよび以降では、数値係数がゼロに等しくないことを前提としています)。 方程式を次の形式に書き直してみましょう。 それをどう理解すべきでしょうか？ 「X」は、「Y」と「Z」のどの値に対しても、常に特定の数に等しくなります。 この平面は座標平面と平行です。 たとえば、平面は平面に平行であり、点を通過します。

同じく：
– 座標平面に平行な平面の方程式。
– 座標平面に平行な平面の方程式。

メンバーを追加しましょう: 。 方程式は次のように書き換えることができます。つまり、「zet」は何でも構いません。 それはどういう意味ですか？ 「X」と「Y」は、平面上にある直線を描く関係で結ばれています（調べればわかります） 平面上の直線の方程式?)。 「z」は任意であるため、この直線は任意の高さで「複製」されます。 したがって、方程式は座標軸に平行な平面を定義します。

同じく：
– 座標軸に平行な平面の方程式。
– 座標軸に平行な平面の方程式。

自由項がゼロの場合、平面は対応する軸を直接通過します。 たとえば、古典的な「直接比例」: 。 平面に直線を引き、それを頭の中で上下に掛け合わせます (「Z」は任意なので)。 結論: 方程式で定義される平面は座標軸を通過します。

復習を完了します: 平面の方程式 原点を通過します。 さて、ここで、点がこの方程式を満たすことは明らかです。

そして最後に、図に示されているケースは次のとおりです。 – 平面はすべての座標軸と友好的ですが、常に 8 つの八分円のいずれかに位置する三角形を「切断」します。

空間内の線形不等式

情報を理解するにはよく勉強する必要があります 平面内の線形不等式, 多くのことが似てくるからです。 実際には非常にまれな内容であるため、この段落ではいくつかの例を示して簡単に概要を説明します。

方程式が平面を定義する場合、不等式は次のようになります。
聞く 半角スペース。 不等式が厳密でない場合 (リストの最後の 2 つ)、不等式の解には、半空間に加えて、平面自体も含まれます。

例5

平面の単位法線ベクトルを求める .

解決: 単位ベクトルとは、長さが 1 のベクトルです。 このベクトルを で表すことにします。 ベクトルが同一線上にあることは明らかです。

まず、平面の方程式から法線ベクトルを削除します。

単位ベクトルを見つけるにはどうすればよいですか? 単位ベクトルを見つけるには、次のものが必要です。 毎ベクトル座標をベクトルの長さで割ります.

法線ベクトルを次の形式に書き換えて、その長さを調べてみましょう。

上記によれば：

答え:

検証: 検証が必要なもの。

レッスンの最後の段落を注意深く研究した読者はおそらく次のことに気づいたでしょう。 単位ベクトルの座標は、正確にベクトルの方向余弦です。:

目前の問題から少し休憩しましょう。 任意の非ゼロベクトルが与えられたとき、条件に従って、その方向余弦を見つける必要があります (レッスンの最後の問題を参照してください) ベクトルの内積)、実際には、これと同一線上にある単位ベクトルが見つかります。 実際には 1 つのボトルに 2 つのタスクが含まれています。

数学的解析の一部の問題では、単位法線ベクトルを見つける必要性が生じます。

法線ベクトルを抽出する方法はわかったので、今度は逆の質問に答えてみましょう。

点と法線ベクトルを使用して平面の方程式を作成するにはどうすればよいですか?

法線ベクトルと点のこの厳密な構造はダーツボードではよく知られています。 手を前に伸ばして、空間内の任意の点 (たとえば、サイドボードの小さな猫) を心の中で選択してください。 明らかに、この点を通じて、手に垂直な単一の平面を描くことができます。

ベクトルに垂直な点を通る平面の方程式は次の式で表されます。