すべての自然数について n 実数と一致する あ、ん 、その後、彼らはそれが与えられると言います 数列 :

ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん , . . . .

したがって、数列は自然引数の関数です。

番号 ある 1 呼ばれた 数列の最初の項 、 番号 ある 2 — シーケンスの第 2 項 、 番号 ある 3 — 三番目 等々。 番号 あ、ん 呼ばれた 第n期シーケンス 、および自然数 n — 彼の番号 .

隣り合った2人のメンバーから あ、ん そして あ、ん +1 シーケンスメンバー あ、ん +1 呼ばれた その後 (相対的に あ、ん )、A あ、ん — 前の (相対的に あ、ん +1 ).

シーケンスを定義するには、任意の番号を持つシーケンスのメンバーを検索できるメソッドを指定する必要があります。

多くの場合、シーケンスは次のように指定されます。 n項の公式 つまり、シーケンスのメンバーを番号によって決定できる式です。

例えば、

一連の正の奇数は次の式で与えられます。

あ、ん= 2n- 1,

そして交互のシーケンス 1 そして -1 - 式

b n = (-1)n +1 . ◄

順番が決められる リカレントフォーミュラ, つまり、あるメンバーから始まり、前の (1 つ以上の) メンバーまでのシーケンスの任意のメンバーを表す式です。

例えば、

もし ある 1 = 1 、A あ、ん +1 = あ、ん + 5

ある 1 = 1,

ある 2 = ある 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ある 3 = ある 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ある 4 = ある 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ある 5 = ある 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

もし 1= 1, 2 = 1, あ、ん +2 = あ、ん + あ、ん +1 , この場合、数列の最初の 7 項は次のように確立されます。

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ある 6 = ある 4 + ある 5 = 3 + 5 = 8,

ある 7 = ある 5 + ある 6 = 5 + 8 = 13. ◄

シーケンスは次のとおりです。 ファイナル そして 無限の .

シーケンスは次のように呼ばれます 究極の 、メンバーの数が有限の場合。 シーケンスは次のように呼ばれます 無限の 、無限に多くのメンバーがいる場合。

例えば、

2 桁の自然数の列:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ファイナル。

素数の列:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

無限。 ◄

シーケンスは次のように呼ばれます 増加する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより大きい場合。

シーケンスは次のように呼ばれます 減少する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより小さい場合。

例えば、

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — 増加するシーケンス。

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — 減少するシーケンス。 ◄

数が増えても要素が減らない、あるいは逆に要素が増えない数列を数列といいます。 単調なシーケンス .

単調シーケンスは特に、増加シーケンスと減少シーケンスです。

等差数列

等差数列 は、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーと等しく、それに同じ番号が追加されるシーケンスです。

ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . , あ、ん, . . .

任意の自然数の場合は等差数列です n 条件が満たされています:

あ、ん +1 = あ、ん + d,

どこ d - 特定の数。

したがって、特定の等差数列の後続の項と前の項の差は常に一定です。

2 - ある 1 = 3 - ある 2 = . . . = あ、ん +1 - あ、ん = d.

番号 d 呼ばれた 等差数列の違い.

等差数列を定義するには、その最初の項と差を示すだけで十分です。

例えば、

もし ある 1 = 3, d = 4 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。

1 =3,

2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,

ある 5 = ある 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

第 1 項の等差数列の場合 ある 1 そしてその違い d 彼女 n

あ、ん = 1 + (n- 1)d.

例えば、

等差数列の 30 番目の項を見つけます

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)d、

あ、ん= 1 + (n- 1)d、

あ、ん +1 = ある 1 + nd,

それから明らかに

2 番目から始まる等差数列の各メンバーは、前後のメンバーの算術平均に等しくなります。

数値 a、b、c は、そのうちの 1 つが他の 2 つの算術平均に等しい場合に限り、算術数列の連続した項になります。

例えば、

あ、ん = 2n- 7 、等差数列です。

上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：

あ、ん = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

したがって、

◄

ご了承ください n 等差数列の第 項は、次の方法だけで見つけられるわけではありません。 ある 1 、しかしそれ以前のものも ああ

あ、ん = ああ + (n- k)d.

例えば、

のために ある 5 書き留めることができます

5 = 1 + 4d,

5 = 2 + 3d,

5 = 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

あ、ん = N-K + kd,

あ、ん = n+k - kd,

それから明らかに

等差数列の 2 番目から始まるすべての要素は、この等差数列の等間隔に配置された要素の合計の半分に等しくなります。

さらに、あらゆる等差数列に対して次の等式が成り立ちます。

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l。

例えば、

等差数列で

1) ある 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ある 9 + ある 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, なぜなら

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= a 1 + a 2 + a 3 + 。 。 。+ あ、ん,

初め n 等差数列の項は、極値項の合計の半分と項の数の積に等しくなります。

ここから特に、条件を合計する必要がある場合は、次のようになります。

ああ, ああ +1 , . . . , あ、ん,

この場合、前の式はその構造を保持します。

例えば、

等差数列で 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

与えられた場合 等差数列、次に数量 ある 1 , あ、ん, d, nそしてS n 2 つの式で結び付けられます。

したがって、これらの量のうち 3 つの値が指定されている場合、他の 2 つの量の対応する値はこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。

等差数列は単調数列です。 この場合：

• もし d > 0 、その後は増加しています。
• もし d < 0 、その後は減少しています。
• もし d = 0 、その後、シーケンスは静止します。

幾何級数

幾何級数 は、2 番目から始まる各メンバーが、前のメンバーに同じ数値を乗算したものと等しいシーケンスです。

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

任意の自然数の場合は等比数列です n 条件が満たされています:

bn +1 = bn · q,

どこ q ≠ 0 - 特定の数。

したがって、与えられた等比数列の後続の項の前の項に対する比率は定数になります。

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

番号 q 呼ばれた 等比数列の分母.

設定するには 等比数列、最初の項と分母を指定するだけで十分です。

例えば、

もし b 1 = 1, q = -3 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 と分母 q 彼女 n 番目の項は次の式を使用して求めることができます。

bn = b 1 · qn -1 .

例えば、

等比数列の第 7 項を見つける 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

それから明らかに

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

等比数列の各要素は、2 番目から始まり、前後の要素の幾何平均 (比例) に等しくなります。

逆もまた真であるため、次のステートメントが成り立ちます。

数値 a、b、c は、そのうちの 1 つの二乗が他の 2 つの積と等しい場合、つまり、数値の 1 つが他の 2 つの幾何平均である場合に限り、ある等比数列の連続した項になります。

例えば、

数式で与えられる順序が次のとおりであることを証明しましょう。 bn= -3 2 n 、等比数列です。 上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

したがって、

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 )・(-3・2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

これは望ましいステートメントを証明します。 ◄

ご了承ください n 等比数列の第 3 項は、 b 1 、ただし以前のメンバーも同様 bk 、これには次の式を使用するだけで十分です。

bn = bk · qn - k.

例えば、

のために b 5 書き留めることができます

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · 第3問,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · q k,

それから明らかに

bn 2 = bn - k· bn + k

等比数列の 2 番目から始まる項の 2 乗は、この数列の等間隔の項の積に等しくなります。

さらに、どの等比数列でも等式が成り立ちます。

bm· bn= bk· ｂｌ,

メートル+ n= k+ 私.

例えば、

等比数列で

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , なぜなら

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

初め n 分母を持つ等比数列のメンバー q ≠ 0 次の式で計算されます。

そしていつ q = 1 - 式によると

Sn= 注意 1

項を合計する必要がある場合は、

bk, bk +1 , . . . , bn,

次に、次の式が使用されます。

例えば、

等比数列で 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

等比数列が与えられると、量は b 1 , bn, q, nそして Sn 2 つの式で結び付けられます。

したがって、これらの量のいずれか 3 つの値が与えられると、他の 2 つの量の対応する値がこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。

第一項との等比数列の場合 b 1 と分母 q 次のことが起こります 単調性の性質 :

• 次の条件のいずれかが満たされると、進行度が増加します。

b 1 > 0 そして q> 1;

b 1 < 0 そして 0 < q< 1;

• 次の条件のいずれかが満たされると、進行度は減少します。

b 1 > 0 そして 0 < q< 1;

b 1 < 0 そして q> 1.

もし q< 0 の場合、等比数列は交互になります。奇数の項は最初の項と同じ符号を持ち、偶数の項は反対の符号を持ちます。 交互等比数列が単調ではないことは明らかです。

最初の製品 n 等比数列の項は、次の式を使用して計算できます。

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .

例えば、

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

無限減少等比数列

無限減少等比数列 分母の係数が小さい無限等比数列と呼ばれます 1 、つまり

|q| < 1 .

無限に減少する等比数列は減少数列ではない可能性があることに注意してください。 シーンにぴったりです

1 < q< 0 .

このような分母を使用すると、シーケンスは交互になります。 例えば、

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

無限に減少する等比数列の合計 最初の値の合計が無制限に近づく数に名前を付けます n 無制限に数が増加する進行のメンバー n 。 この数は常に有限であり、次の式で表されます。

例えば、

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

等差数列と等比数列の関係

等差数列と等比数列は密接に関連しています。 2 つの例だけを見てみましょう。

ある 1 , ある 2 , ある 3 , . . . d 、 それ

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . bd .

例えば、

1, 3, 5, . . . - 差のある等差数列 2 そして

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 分母付き等比数列 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - 分母付き等比数列 q 、 それ

ログ a b 1, ログ a b 2, ログ a b 3, . . . - 差のある等差数列 ログを記録するq .

例えば、

2, 12, 72, . . . - 分母付き等比数列 6 そして

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 差のある等差数列 LG 6 . ◄

ここで、無限等比数列の和の問題を考えてみましょう。 与えられた無限数列の部分和をその最初の項の和と呼びましょう。 部分和を記号で表しましょう

あらゆる無限の進歩のために

その部分和の (無限の) シーケンスを構成することもできます

無制限に増加するシーケンスに制限を持たせる

この場合、数 S、つまり数列の部分和の極限を無限数列の和と呼びます。 無限減少等比数列には常に和があることを証明し、この和の公式を導き出します (また、無限数列に和がない場合は存在しないことも示します)。

部分和の式を式 (91.1) に従って数列の項の和として書き、次の部分和の極限を考えてみましょう。

定理 89 から、減少進行の場合は次のことがわかります。 したがって、差分極限定理を適用すると、次のようになります。

(ここでもルールが使用されています。定数係数は限界記号を超えて取得されます)。 存在が証明されると同時に、無限減少する等比数列の和の公式が得られます。

等価性 (92.1) は次の形式でも書くことができます。

ここで、無限数の項の合計に非常に明確な有限値が割り当てられるのは逆説的に見えるかもしれません。

この状況を説明するために、明確な例を挙げることができます。 一辺が 1 の正方形を考えてみましょう (図 72)。 この正方形を横線で2等分し、 上部辺2と辺で長方形が形成されるように、一番下のものに適用します。 この後、この長方形の右半分を再び水平線で半分に分割し、上の部分を下の部分に貼り付けます (図 72 を参照)。 このプロセスを継続して、面積が 1 に等しい元の正方形を同じサイズの図形に継続的に変換します (段階が薄くなった階段の形になります)。

このプロセスを無限に継続すると、正方形の面積全体が無限の数の項に分解されます。つまり、底辺が 1 で高さが等しい長方形の面積は、無限の減少数列、つまりその合計を正確に形成します。

つまり、ご想像のとおり、正方形の面積に等しいです。

例。 次の無限数列の合計を求めます。

解決策、a) この進行に気付きます。 したがって、式 (92.2) を使用すると、次のようになります。

b) ここで、同じ式 (92.2) を使用すると、次のようになります。

c) したがって、この数列には和がないことがわかります。

パラグラフ 5 では、無限減少数列の項の合計の公式を周期の逆数に適用する方法を示しました。 10進数公分数に変換します。

演習

1. 無限減少等比数列の和は 3/5 で、最初の 4 項の和は 13/27 です。 数列の最初の項と分母を求めます。

2. 交互の等比数列を形成する 4 つの数値を見つけます。2 番目の項は最初の項より 35 小さく、3 番目の項は 4 番目の項より 560 大きいです。

3. シーケンスが次の場合にそれを示します

無限に減少する等比数列を形成し、その後数列は

いずれにしても、それは無限に減少する等比数列を形成します。 このステートメントは次の場合に当てはまりますか?

等比数列の項の積の公式を導き出します。

物理学や数学の問題の中には、数列の特性を使用して解決できるものもあります。 学校で教えられる 2 つの最も単純な数列は、代数と幾何です。 この記事では、無限減少等比数列の和を求める方法について詳しく見ていきます。

幾何学的な進行

これらの単語は、要素 a i が次の式を満たす一連の実数を意味します。

ここで、i は系列内の要素の番号、r は分母と呼ばれる定数です。

この定義は、数列の要素とその分母がわかれば、一連の数値全体を復元できることを示しています。 たとえば、10 番目の要素がわかっている場合、それを r で割ると 9 番目の要素が得られ、さらにそれを割ると 8 番目の要素が得られ、以下同様になります。 これらの単純な引数を使用すると、検討中の一連の数値に対して有効な式を書き留めることができます。

分母が 2 の数列の例は、次の系列になります。

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

分母が -2 に等しい場合、まったく異なる系列が得られます。

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

幾何級数は代数級数よりもはるかに高速です。つまり、その項は急速に増加し、急速に減少します。

進行の i 項の合計

実際の問題を解決するには、検討中の数値列のいくつかの要素の合計を計算する必要があることがよくあります。 この場合、次の式が有効です。

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

i 項の合計を計算するには、1 と r という 2 つの数値だけを知っていればよいことがわかります。これらの数値はシーケンス全体を一意に決定するため、これは論理的です。

減少数列とその項の和

次に、特殊なケースを見てみましょう。 分母 r の係数が 1、つまり -1 を超えないと仮定します。

逓減等比数列は、その項の無限和が有限の実数に近づく傾向があるため、検討するのが興味深いです。

合計の公式を取得しましょう。これは、前の段落で与えられた S i の式を書き出すと簡単に実行できます。 我々は持っています：

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

i->∞の場合を考えてみましょう。 分母の係数は 1 未満なので、無限乗するとゼロになります。 これは、r=0.5 の例を使用して確認できます。

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

その結果、無限逓減等比数列の項の合計は次の形式になります。

この公式は、図形の面積を計算するなど、実際によく使用されます。 また、エレアのゼノと亀とアキレスのパラドックスを解決するためにも使用されます。

無限等比増加数列 (r>1) の和を考慮すると、S ∞ = + ∞ という結果が得られることは明らかです。

進行の最初の項を見つけるタスク

問題を解決する例を使用して、上記の公式を適用する方法を示しましょう。 無限等比数列の和は 11 であることが知られています。さらに、その第 7 項は第 3 項の 6 分の 1 です。 この数列の最初の要素は何ですか?

まず、7番目と3番目の要素を決定する2つの式を書き出してみましょう。 得られるものは次のとおりです。

最初の式を 2 番目の式で割って分母を表すと、次のようになります。

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

第 7 項と第 3 項の比は問題文に示されているので、それを代入して r を求めることができます。

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

r は小数点以下 5 桁まで計算しました。 結果の値は 1 未満であるため、累進は減少しており、無限和を求める式の使用が正当化されます。 和 S ∞ による最初の項の式を書いてみましょう。

既知の値をこの式に代入すると、答えが得られます。

a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166。

速いアキレスと遅い亀に関するゼノンの有名なパラドックス

エレアのゼノンは、紀元前 5 世紀に生きた有名なギリシャの哲学者です。 e. その頂点や逆説の多くは現在に至っており、数学における無限に大きいものと無限に小さいものの問題が定式化されています。

ゼノンの有名な逆説の 1 つは、アキレスと亀の競争です。 ゼノは、もしアキレスが亀に距離の点で多少のアドバンテージを与えたら、決して追いつくことはできないだろうと信じていた。 たとえば、アキレスが、たとえば目の前 100 メートルを這う動物の 10 倍の速度で走るとします。 戦士が 100 メートル走ると、亀は 10 メートル這って逃げます。再び 10 メートル走ると、アキレスは亀がさらに 1 メートル這うのを見ます。 このように無限に議論することができ、競争相手間の距離は確かに減少しますが、カメは常に前にいます。

ゼノは、動きは存在せず、周囲の物体の動きはすべて幻想であるという結論に導きました。 もちろん、古代ギリシャの哲学者は間違っていました。

このパラドックスの解決策は、絶えず減少するセグメントの無限の合計が有限数になる傾向があるという事実にあります。 上記の場合、アキレスが走った距離は次のようになります。

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

無限等比数列の和の公式を適用すると、次のようになります。

S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 メートル

この結果は、カメがわずか 11.111 メートル這ったときにアキレスが追いつくことを示しています。

古代ギリシャ人は、数学で無限の量を扱う方法を知りませんでした。 しかし、この矛盾は、アキレスが克服しなければならない無限のギャップではなく、ランナーが目標に到達するために必要な有限の歩数に注意を払えば解決できます。

エントリーレベル

幾何学的な進行。 例を含む包括的なガイド (2019)

数列

それでは、座って数字を書き始めましょう。 例えば：

任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます (この場合は数字があります)。 どれだけ数字を書いても、どれが 1 番目でどれが 2 番目というように最後までわかる、つまり番号を付けることができます。 これは数値シーケンスの例です。

数列は一連の番号であり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。

たとえば、私たちのシーケンスの場合:

割り当てられた番号は、シーケンス内の 1 つの番号にのみ固有です。 言い換えれば、シーケンス内に 3 番目の数字は存在しません。 2 番目の数字 (th 番目の数字など) は常に同じです。

番号が付いた番号は、シーケンスの n 番目のメンバーと呼ばれます。

通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。

私たちの場合:

最も一般的なタイプの数列は、算術数列と幾何数列です。 このトピックでは、2 番目のタイプについて説明します。 等比数列.

等比数列が必要な理由とその歴史?

古代においてさえ、ピサのイタリアの数学者修道士レオナルド (フィボナッチとしてよく知られています) は、貿易の実際的なニーズに対処していました。 僧侶は、製品の重さを量るのに使用できる最小の重りの数を決定するという課題に直面しました。 フィボナッチは著書の中で、このような重み付けシステムが最適であることを証明しています。これは、人々が等比数列に対処しなければならなかった最初の状況の 1 つであり、おそらくすでに聞いたことがあるでしょうし、少なくとも一般的な理解はあるでしょう。 このテーマを十分に理解したら、なぜそのようなシステムが最適なのかを考えてみましょう。

現在、生活習慣の中で、銀行にお金を投資する際、前期間に口座に蓄積された金額に利息が発生するとき、等比数列が現れます。 言い換えれば、貯蓄銀行に定期預金にお金を預けると、1 年後には元の金額、つまり 1 年後に預金額が増加します。 新しい金額は寄付金を乗じた額となります。 もう 1 年で、この金額はさらに増加し​​ます。 その時点で得られた金額が再び乗算され、以下同様になります。 同様の状況は、いわゆる計算問題でも説明されています。 複利- パーセンテージは、以前の利息を考慮して、アカウント内の金額から毎回計算されます。 これらのタスクについては後ほど説明します。

等比数列が適用される単純なケースは他にもたくさんあります。 たとえば、インフルエンザの蔓延: ある人が別の人に感染し、その人がまた別の人に感染し、感染の第 2 波が人に発生し、その人がまた別の人に感染した...というように続きます。 。

ちなみに、同じMMMである金融ピラミッドは等比数列の性質に基づいたシンプルかつドライな計算です。 面白い？ それを理解しましょう。

幾何学的な進行。

数値シーケンスがあるとします。

あなたは、これは簡単であり、そのような数列の名前は、項の違いを伴う等差数列であるとすぐに答えるでしょう。 これはどうでしょうか:

後続の数値から前の数値を減算すると、毎回新しい差が得られることがわかりますが (以下同様)、その順序は確実に存在しており、簡単に気づくことができます。後続の各数値は前の数値よりも何倍も大きいのです。

このタイプの数列は次のように呼ばれます。 等比数列と指定されています。

等比数列 () は、最初の項が 0 以外の数列であり、2 番目から始まる各項は前の項に同じ数を掛けたものと等しくなります。 この数は等比数列の分母と呼ばれます。

最初の項 ( ) は等しくなく、ランダムではないという制限があります。 それらが存在せず、最初の項が依然として等しく、q が等しいと仮定しましょう。うーん、そのままにしておきます。すると、次のようになります。

これはもはや進歩ではないことに同意します。

ご存知のとおり、ゼロ、a 以外の数値がある場合でも同じ結果が得られます。 このような場合、数値系列全体がすべてゼロか 1 つの数値で残りはすべてゼロになるため、単純に数列は存在しません。

ここで、等比数列の分母、つまり o について詳しく説明します。

繰り返しましょう: - これは番号です その後の各用語は何回変更されますか?幾何級数。

それは何だと思いますか? そうです、プラスとマイナスはありますが、ゼロではありません（これについてはもう少し上で話しました）。

私たちの値が陽性であると仮定しましょう。 私たちの場合、次のようにしましょう。 2期の価値は何ですか？ 次のように簡単に答えることができます。

それは正しい。 したがって、次の場合、数列の後続の項はすべて同じ符号を持ちます。 ポジティブです.

マイナスの場合はどうなりますか? たとえば、a. 2期の価値は何ですか？

これは全く別の話です

この進行の項を数えてみてください。 いくらもらいましたか？ 私は持っている。 したがって、if、then 等比数列の項の符号は交互になります。 つまり、メンバーの符号が交互に変化する進行が見られる場合、その分母は負になります。 この知識は、このトピックに関する問題を解決するときに自分自身をテストするのに役立ちます。

それでは、少し練習してみましょう。どの数列が等差数列で、どの数列が等差数列であるかを判断してください。

わかった？ 答えを比較してみましょう。

• 幾何級数 - 3、6。
• 等差数列 - 2、4。
• それは算術でも等比数列でもありません - 1、5、7。

前回の進行に戻って、算術の場合と同じように、その項を見つけてみましょう。 ご想像のとおり、それを見つけるには 2 つの方法があります。

各項を順番に乗算します。

したがって、記述された等比数列の第 3 項は と等しくなります。

すでにご想像のとおり、今度はあなた自身が等比数列の要素を見つけるのに役立つ式を導き出します。 それとも、すでに自分で開発して、メンバーを見つける方法を段階的に説明していますか? そうであれば、自分の推論が正しいかどうかを確認してください。

この数列の第 3 項を見つける例でこれを説明してみましょう。

言い換えると：

与えられた等比数列の項の値を自分で見つけてください。

うまくいきましたか？ 答えを比較してみましょう。

等比数列の前の各項を順番に乗算すると、前の方法とまったく同じ数値が得られることに注意してください。
この式を「非個人化」してみましょう。一般的な形式にすると次のようになります。

導出された式は、正と負の両方のすべての値に当てはまります。 次の条件で等比数列の項を計算して、これを自分で確認してください。

数えましたか？ 結果を比較してみましょう。

項と同じ方法で数列の項を見つけることは可能ですが、正しく計算されない可能性があることに同意します。 そして、等比数列の第 3 項がすでに見つかっている場合、式の「切り捨てられた」部分を使用するよりも簡単なことはありません。

無限に減少する等比数列。

最近では、ゼロより大きくても小さくてもよいという事実について話しましたが、等比数列と呼ばれる特別な値が存在します。 無限に減少する.

なぜこの名前が付けられたと思いますか?
まず、項から構成される等比数列をいくつか書き留めてみましょう。
それでは、次のように言ってみましょう。

後続の各項は前の項よりも係数が小さいことがわかりますが、何か数値があるでしょうか? あなたはすぐに「いいえ」と答えるでしょう。 だからこそ、それは無限に減少していくのです。どんどん減少していきますが、決してゼロになることはありません。

これが視覚的にどのように見えるかを明確に理解するために、進行状況のグラフを描いてみましょう。 したがって、この場合、式は次の形式になります。

したがって、グラフでは依存関係をプロットすることに慣れています。

式の本質は変わっていません。最初のエントリでは等比数列のメンバーの値がその序数に依存することを示し、2 番目のエントリでは単純に等比数列のメンバーの値を次のように取得しました。 、としてではなく、として序数を指定します。 あとはグラフを作成するだけです。
何が得られたか見てみましょう。 私が思いついたグラフは次のとおりです。

わかりますか？ 関数は減少し、ゼロに向かう傾向がありますが、それを横切ることはなく、無限に減少します。 グラフ上の点をマークし、同時にその座標が何を意味するかをマークしましょう。

第一項も等しい場合の等比数列のグラフを模式的に描いてみます。 前のグラフとの違いを分析してください。

なんとかなりましたか？ 私が思いついたグラフは次のとおりです。

等比数列のトピックの基本を完全に理解したので、等比数列が何であるか、その項を見つける方法がわかり、無限減少する等比数列が何であるかも知ったので、その主な性質に移りましょう。

等比数列の性質。

等差数列の項の性質を覚えていますか? はい、はい、この数列の項の前後の値がある場合に、数列の特定の数値の値を見つける方法です。 覚えていますか？ ここにあります：

さて、私たちは等比数列の項に関してまったく同じ問題に直面しています。 このような式を導き出すために、図を描いて推論してみましょう。 ご覧のとおり、非常に簡単で、忘れた場合でも自分で取り出すことができます。

別の単純な等比数列を考えてみましょう。 どうやって見つけますか? 等差数列なら簡単で簡単ですが、ここではどうでしょうか？ 実際、幾何学的にも複雑なことは何もありません。式に従って与えられた各値を書き留めるだけです。

あなたは、それに対して今何をすべきなのかと尋ねるかもしれません。 はい、とてもシンプルです。 まず、これらの式を図で表し、値を求めるためにさまざまな操作を行ってみましょう。

与えられた数字を抽象化し、式による表現だけに焦点を当てましょう。 隣接する用語を知って、オレンジ色で強調表示された値を見つける必要があります。 それらを使用してさまざまなアクションを実行して、その結果を得ることができるようにしてみましょう。

追加。
2 つの式を追加してみましょう。次のようになります。

この式からわかるように、どのような方法でも表現できないため、別のオプションである減算を試します。

引き算。

ご覧のとおり、これも表現できないので、これらの式を掛け合わせてみましょう。

乗算。

ここで、与えられた等比数列の項を乗算して何が得られるかを、求めるべきものと比較して注意深く見てください。

私が何を言っているのかわかりますか？ 正しくは、求めるには、目的の値に隣接する等比数列の数を掛け合わせたものの平方根を求める必要があります。

どうぞ。 あなた自身が等比数列の性質を導き出しました。 この式を一般的な形式で書いてみてください。 うまくいきましたか？

条件を忘れましたか？ 自分で計算してみるなど、なぜそれが重要なのかを考えてみましょう。 この場合はどうなるのでしょうか？ そうです、まったくナンセンスです。式は次のようになります。

したがって、この制限を忘れないでください。

では、それが何に等しいかを計算してみましょう

正解は ! 計算中に 2 番目の可能な値を忘れていなければ、あなたは素晴らしいので、すぐにトレーニングに移ることができます。忘れた場合は、以下で説明する内容を読み、両方のルートを書き留める必要がある理由に注意してください。答えの中で。

両方の等比数列を描画してみましょう。一方は値を持ち、もう一方は値を持ち、両方が存在する権利があるかどうかを確認してください。

このような等比数列が存在するかどうかを確認するには、その与えられた項がすべて同じかどうかを確認する必要があります。 最初と 2 番目のケースについて q を計算します。

なぜ 2 つの答えを書かなければならないかわかりますか? なぜなら、探している用語の符号は、それが正であるか負であるかによって異なるからです。 そして、それが何であるかわからないので、プラスとマイナスの両方の答えを書く必要があります。

要点をマスターし、等比数列の性質の式を導き出したので、見つけて、知り、

自分の答えと正しい答えを比較してください。

希望する数値に隣接する等比数列の項の値ではなく、そこから等距離にある項の値が与えられたらどうなるでしょうか。 たとえば、検索して与える必要があります。 この場合、私たちが導き出した公式を使用できますか? 最初に式を導出したときと同じように、各値が何で構成されているかを説明して、この可能性を確認または反論してみてください。
何を手に入れましたか？

もう一度注意深く見てください。
したがって、次のようになります。

これから、公式が機能すると結論付けることができます 隣同士だけでなく等比数列の目的の項を使用するだけでなく、 等距離メンバーが求めているものから。

したがって、最初の式は次の形式になります。

つまり、最初の場合にそう言った場合、今度はそれより小さい任意の自然数と等しくなり得ると言えます。 重要なことは、与えられた両方の数値が同じであるということです。

具体的な例を使って練習してください。ただし、細心の注意を払ってください。

1. 、。 探す。
2. 、。 探す。
3. 、。 探す。

決めた？ あなたが非常に注意深く、小さな落とし穴に気づいてくれたことを願っています。

結果を比較してみましょう。

最初の 2 つのケースでは、上記の式を落ち着いて適用し、次の値を取得します。

3 番目のケースでは、与えられた番号のシリアル番号を注意深く調べると、それらが探している番号から等距離にないことがわかります。これは前の番号ですが、ある位置で削除されているため、公式を適用することはできません。

どうやって解決すればいいでしょうか？ 実際は思っているほど難しくありません。 与えられたそれぞれの数字と探している数字が何で構成されているかを書き留めてみましょう。

したがって、 と があります。 彼らを使って何ができるか見てみましょう? で割ることをお勧めします。 得られるものは次のとおりです。

データを次の式に代入します。

次のステップは、結果の数値の立方根を求める必要があることです。

さて、私たちが持っているものをもう一度見てみましょう。 私たちはそれを持っていますが、それを見つける必要があります。そして、それは次と等しくなります。

計算に必要なデータはすべて見つかりました。 式に代入します。

私たちの答え: .

別の同様の問題を自分で解決してみてください。
与えられた: 、
探す：

いくらもらいましたか？ 私は持っている - 。

ご覧のとおり、基本的に必要なのは 公式を1つだけ覚えておいてください- 。 残りはすべて、いつでも簡単に自分で引き出すことができます。 これを行うには、最も単純な等比数列を紙に書き、上で説明した公式に従って、その各数値が何に等しいかを書き留めるだけです。

等比数列の項の合計。

ここで、指定された区間における等比数列の項の合計をすばやく計算できる式を見てみましょう。

有限等比数列の項の和の式を導出するには、上記の方程式のすべての部分に を掛けます。 得られるものは次のとおりです。

よく見てください。最後の 2 つの式に共通するものは何でしょうか? そうです、最初と最後のメンバーを除く、たとえば共通のメンバーなどです。 2 番目の式から 1 番目の値を引いてみましょう。 何を手に入れましたか？

次に、等比数列の項を式で表し、結果の式を最後の式に代入します。

式をグループ化します。 次のものを取得できるはずです:

あとは次のように表現するだけです。

したがって、この場合は。

もしも？ それではどのような公式が機能するのでしょうか？ の等比数列を想像してください。 彼女はどんな人ですか？ 一連の同じ数字は正しいので、式は次のようになります。

等差数列と等比数列の両方については多くの伝説があります。 その1つは、チェスの創始者であるセトの伝説です。

チェスのゲームがインドで発明されたことは多くの人が知っています。 ヒンドゥー教の王は彼女に会ったとき、彼女の機知と彼女の多様な立場に喜びました。 それが臣下の一人によって発明されたことを知った王は、彼に個人的に褒美を与えることに決めました。 彼は発明家を自分自身に呼び出し、望むものはすべて彼に尋ねるよう命じ、最も巧みな欲望さえも満たすことを約束しました。

セタは考える時間をくれと頼み、翌日セタが王の前に現れたとき、前例のない謙虚な要求で王を驚かせた。 彼は、チェス盤の最初のマス目に小麦一粒、二番目に小麦一粒、三番目、四番目に小麦一粒というように与えるように頼みました。

王は怒って、召使いの要求は王の寛大さに値しないと言ってセツを追い返しましたが、召使いには盤のすべてのマス分の穀物を受け取ると約束しました。

ここで質問です。等比数列の項の和の公式を使用して、セスが受け取るべき穀物の数を計算しますか?

推理を始めましょう。 条件に従って、セスはチェス盤の最初のマス目、二番目、三番目、四番目などに小麦一粒を要求したので、問題は等比級数に関するものであることがわかります。 この場合、それは何に等しいでしょうか?
右。

チェス盤の合計正方形。 それぞれ、 。 データはすべて揃っているので、あとはそれを式に当てはめて計算するだけです。

特定の数値の少なくともおおよその「スケール」を想像するには、次の次のプロパティを使用して変換します。

もちろん、必要に応じて電卓を使って最終的な数値を計算することもできます。そうでない場合は、私の言葉をそのまま信じてください。式の最終値は次のようになります。
つまり:

京、京、兆、億。

ふー）この数の巨大さを想像したい場合は、穀物の全量を収容するためにどのくらいの大きさの納屋が必要になるかを見積もってください。
納屋の高さが m、幅が m の場合、その長さは km、つまり 1 km 伸びる必要があります。 地球から太陽までの2倍の距離。

もし王が数学に長けていたなら、科学者自身を招いて穀物を数えることもできただろう。なぜなら、100万粒を数えるには、少なくとも1日は精力的に数え続ける必要があり、京を数える必要があることを考えると、彼の生涯を通じて穀物を数えなければならなかった。

次に、等比数列の項の和に関する簡単な問題を解いてみましょう。
クラス5Aのヴァシャの生徒はインフルエンザにかかりましたが、学校に通い続けています。 毎日、Vasya は 2 人に感染させ、その人がさらに 2 人に感染させ、というように続きます。 クラスには人しかいません。 何日以内にクラス全員がインフルエンザになるでしょうか?

したがって、等比数列の最初の項はヴァシャ、つまり人です。 等比数列の第 3 項は、彼が到着初日に感染させた 2 人です。 進級期間の合計は 5A の生徒の数に等しくなります。 したがって、次のような進行について話します。

データを等比数列の項の和の式に代入してみましょう。

数日以内にクラス全員が病気になるでしょう。 公式や数字を信じていませんか? 生徒たちの「感染」を自分自身で描いてみてください。 うまくいきましたか？ 私にとってそれがどのように見えるか見てください：

クラスに一人しかいなかった場合、各生徒がインフルエンザに感染するまでに何日かかるかを自分で計算してください。

どのような価値が得られましたか? 1日後には全員が体調を崩し始めたことが判明した。

ご覧のとおり、そのようなタスクとそのための図はピラミッドに似ており、後続のタスクが新しい人々を「連れてきます」。 しかし、遅かれ早かれ、後者が誰も惹きつけられなくなる瞬間が来ます。 私たちの場合、クラスが孤立していると想像すると、からの人がチェーンを閉じます()。 したがって、ある人が他の2人の参加者を連れてきた場合にお金が与えられるという金融ピラミッドに巻き込まれた場合、その人（または一般的に）は誰も連れてこないため、この金融詐欺に投資したすべてを失うことになります。

上で述べたことはすべて、減少または増加する等比数列を指しますが、覚えているように、無限に減少する等比数列という特別なタイプがあります。 メンバーの合計を計算するにはどうすればよいですか? そして、なぜこのタイプの進行には特定の特徴があるのでしょうか? 一緒に考えてみましょう。

そこで、最初に、この例の無限減少等比数列の図をもう一度見てみましょう。

ここで、少し前に導出した等比数列の和の公式を見てみましょう。
または

私たちは何のために努力しているのでしょうか？ そうです、グラフを見るとゼロに向かう傾向があることがわかります。 つまり、ほぼ得られる式を計算すると、at はそれぞれほぼ等しくなります。 この点に関して、無限に減少する等比数列の合計を計算する場合、この括弧は等しいため無視できると考えられます。

- 式は、無限に減少する等比数列の項の合計です。

重要！無限減少等比数列の項の和の公式は、和を求める必要があることが条件で明示されている場合にのみ使用します。 無限会員数。

特定の数 n が指定されている場合は、or の場合でも、n 項の合計の式が使用されます。

さあ、練習しましょう。

1. と を使用して等比数列の最初の項の和を求めます。
2. と を使用して、無限減少する等比数列の項の和を求めます。

細心の注意を払っていただければ幸いです。 答えを比較してみましょう。

これで等比数列についてすべてを理解できたので、理論から実践に移りましょう。 試験で遭遇する最も一般的な等比数列の問題は、複利を計算する問題です。 これらについてお話します。

複利の計算に関する問題。

おそらく、いわゆる複利計算式について聞いたことがあるでしょう。 それが何を意味するか理解していますか？ そうでない場合は、それを理解しましょう。プロセス自体を理解すれば、等比数列がそれにどのような関係があるかをすぐに理解できるからです。

誰もが銀行に行くと、預金にはさまざまな条件があることを知っています。これには、期間、追加サービス、利息が含まれており、単純な計算方法と複雑な計算方法の 2 つの異なる計算方法があります。

と 単利すべては多かれ少なかれ明らかです。利息は預金期間の終了時に 1 回発生します。 つまり、1年間100ルーブルを入金した場合、それらは年末にのみ入金されます。 したがって、預金の終わりまでにルーブルを受け取ることになります。

複利- これはそれが発生するオプションです 利息の資本化、つまり 入金額への追加とその後の収入の計算は、最初の入金額ではなく、累積入金額から行われます。 大文字化は常に発生するわけではありませんが、ある程度の頻度で発生します。 原則として、そのような期間は均等であり、銀行は月、四半期、または年を使用することがほとんどです。

同じルーブルを毎年預けるが、毎月の資本化が行われると仮定しましょう。 私たちは何をしているのでしょうか？

ここですべて理解できますか？ そうでない場合は、段階的に解決してみましょう。

私たちはルーブルを銀行に持っていきました。 月末までに、ルーブルとその利息からなる金額が口座に入金されるはずです。つまり、次のとおりです。

同意する？

それを括弧から取り出すと、次のようになります。

同意します。この式はすでに最初に書いたものにより似ています。 残っているのはパーセンテージを計算することだけです

問題文では年率について説明されています。 ご存知のとおり、乗算はしません。パーセンテージを小数に変換します。つまり、次のようになります。

右？ さて、その数字はどこから来たのかと疑問に思うかもしれません。 とてもシンプルです！
繰り返しますが、問題文には次のようなことが書かれています 年間発生する利息 毎月。 ご存知のとおり、1 年後、銀行は月ごとに年利の一部を請求します。

分かりましたか？ ここで、利息が毎日計算されると言ったら、式のこの部分がどのようになるかを書いてみてください。
なんとかなりましたか？ 結果を比較してみましょう。

よくやった！ タスクに戻りましょう。蓄積された入金額に利息が発生することを考慮して、2 か月目にアカウントにいくら入金されるかを書きます。
私が得たものは次のとおりです。

言い換えれば、次のようになります。

あなたはすでに、このすべてのパターンに気づき、等比数列を見たことがあると思います。 そのメンバーがいくらになるのか、言い換えれば、月末にどのくらいの金額を受け取るのかを書きます。
した？ チェックしてみよう！

ご覧のとおり、単利で 1 年間銀行にお金を預けるとルーブルが得られ、複利ではルーブルが得られます。 利益は小さいですが、これは 1 年目にのみ発生しますが、長期的には資本化の方がはるかに収益性が高くなります。

複利に関係する別のタイプの問題を見てみましょう。 理解した後は、それはあなたにとって初歩的なものになります。 したがって、タスクは次のとおりです。

Zvezda 社は 2000 年にドルを資金として業界への投資を開始しました。 2001 年以来、毎年、前年の資本金と同額の利益を得ています。 利益が流通から引き出されなかった場合、ズベズダ社は 2003 年末にどのくらいの利益を得るでしょうか?

2000年にズベズダ社の資本。
- 2001年にZvezda社の資本となりました。
- 2002年にZvezda社の資本となりました。
- 2003年にZvezda社の資本となりました。

または、簡単に次のように書くこともできます。

私たちの場合:

2000年、2001年、2002年、2003年。

それぞれ：
ルーブル
この問題では、パーセンテージが毎年与えられ、毎年計算されるため、by または by による除算がないことに注意してください。 つまり、複利の問題を読むときは、何パーセントが与えられ、どの期間で計算されるかに注意してから計算に進みます。
これで等比数列についてすべて理解できました。

トレーニング。

1. 等比数列の項がわかっている場合は、その項を見つけます。
2. 等比数列の最初の項の和がわかっている場合はそれを求めます。
3. MDM Capital 社は 2003 年にドル建ての資本で業界への投資を開始しました。 2004 年以来、毎年、前年の資本金と同額の利益を得ています。 MSK キャッシュ フロー社は、2005 年に業界に 10,000 ドルの投資を開始し、2006 年には 10,000 ドルの利益を上げ始めました。 利益が流通から引き出されていなかった場合、2007 年末時点で、一方の企業の資本金は他方の企業より何ドル大きくなりますか?

答え:

1. 問題文では、数列が無限であるとは述べておらず、その項の特定の数の合計を求める必要があるため、計算は次の式に従って実行されます。
2. 
   MDMキャピタル会社:

   2003、2004、2005、2006、2007。
   - 100%、つまり 2 倍に増加します。
   それぞれ：
   ルーブル
   MSKキャッシュフロー会社:

   2005、2006、2007。
   - 倍、つまり倍になります。
   それぞれ：
   ルーブル
   ルーブル

要約しましょう。

1) 等比数列 ( ) は、最初の項がゼロではなく、2 番目から始まる各項が前の項と同じ数を掛けた数列です。 この数は等比数列の分母と呼ばれます。

2) 等比数列の項の方程式は です。

3) およびを除く任意の値を取ることができます。

• 場合、数列の後続の項はすべて同じ符号を持ちます。 ポジティブです;
• if、その後の進行のすべての項 代替標識。
• when - 進行は無限減少と呼ばれます。

4) , at - 等比数列の性質 (隣接項)

または
、（等距離項）

見つけたら忘れずに 答えは2つあるはずです.

例えば、

5) 等比数列の項の合計は、次の式で計算されます。
または

進行状況が無限に減少している場合は、次のようになります。
または

重要！条件で無限数の項の和を求める必要があることが明示されている場合にのみ、無限減少等比数列の項の和の公式を使用します。

6) 複利の問題も、資金が流通から引き出されていなければ、等比数列の第 3 項の公式を使用して計算されます。

幾何学的進行。 主な内容について簡単に説明します

幾何級数( ) は数値列で、最初の項はゼロではなく、2 番目から始まる各項は前の項に同じ数を掛けたものに等しくなります。 この番号はと呼ばれます 等比数列の分母。

等比数列の分母と を除く任意の値を取ることができます。

• 数列の後続のすべての項が同じ符号を持つ場合、それらは正になります。
• 場合は、進行のすべての後続のメンバーが交互の記号になります。
• when - 進行は無限減少と呼ばれます。

等比数列の項の方程式 - .

等比数列の項の和次の式で計算されます。
または

あるシリーズについて考えてみましょう。

7 28 112 448 1792...

どの要素の値も前の要素のちょうど 4 倍であることは明らかです。 これは、このシリーズが進歩していることを意味します。

等比数列は無限の数列であり、その主な特徴は、前の数に特定の数を掛けることによって次の数が得られることです。 これは次の式で表される。

a z +1 =a z ·q、ここで z は選択された要素の番号です。

したがって、z ∈ N となります。

学校で等比数列を学ぶ時期は9年生です。 例は概念を理解するのに役立ちます。

0.25 0.125 0.0625...

この式に基づいて、数列の分母は次のように求められます。

q も b z もゼロにはできません。 また、数列の各要素はゼロであってはなりません。

したがって、一連の次の数値を求めるには、最後の数値に q を掛ける必要があります。

この数列を設定するには、最初の要素と分母を指定する必要があります。 この後、後続の項とその合計を求めることができます。

品種

q と a 1 に応じて、この数列はいくつかのタイプに分類されます。

• a 1 と q の両方が 1 より大きい場合、そのようなシーケンスは後続の要素ごとに増加する等比数列になります。 この例を以下に示します。

例: a 1 =3、q=2 - 両方のパラメーターが 1 より大きくなります。

次に、数値シーケンスは次のように書くことができます。

3 6 12 24 48 ...

• |q| の場合 が 1 より小さい、つまり、それに乗算することは除算と同等である場合、同様の条件を持つ数列は逓減等比数列です。 この例を以下に示します。

例: a 1 =6、q=1/3 - a 1 は 1 より大きく、q は小さいです。

次に、数値シーケンスは次のように書くことができます。

6 2 2/3 ... - 任意の要素は、それに続く要素より 3 倍大きくなります。

• 交互の記号。 qの場合<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

例: a 1 = -3、q = -2 - 両方のパラメーターがゼロ未満です。

次に、数値シーケンスは次のように書くことができます。

3, 6, -12, 24,...

数式

等比数列を便利に使用するための公式が多数あります。

• Z 項の式。 以前の数値を計算せずに、特定の数値の下の要素を計算できます。

例：q = 3, ある 1 = 4. 数列の 4 番目の要素を数える必要があります。

解決：ある 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• 番号が次と等しい最初の要素の合計 z。 シーケンスのすべての要素の合計を計算できます。z包括的な。

以来 (1-q) が分母にある場合、(1 - q)≠ 0 であるため、q は 1 に等しくありません。

注: q=1 の場合、数列は無限に繰り返される一連の数値になります。

等比数列の和、例:ある 1 = 2, q= -2。 S5を計算します。

解決：S 5 = 22 - 式を使用した計算。

• | の場合の金額q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

例：ある 1 = 2 , q= 0.5。 金額を求めてください。

解決：サイズ = 2 · = 4

サイズ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

いくつかのプロパティ:

• 特徴的なプロパティ。 以下の条件の場合 どれでも機能しますzの場合、指定された数列は等比数列になります。

z 2 = z -1 · あるz+1

• また、等比数列の任意の数値の 2 乗は、指定された系列内の他の 2 つの数値の 2 乗を加算することによって求められます (これらの数値がこの要素から等距離にある場合)。

z 2 = z - t 2 + z + t 2 、 どこt- これらの数値間の距離。

• 要素qが異なります一度。
• 数列の要素の対数も数列を形成しますが、算術数列、つまり、それぞれの要素が前の数列よりも特定の数だけ大きくなります。

いくつかの古典的な問題の例

等比数列とは何かをよりよく理解するには、クラス 9 の解決策を含む例が役に立ちます。

• 条件：ある 1 = 3, ある 3 = 48. 探すq.

解決策: 後続の各要素は、前の要素より大きくなります。q 一度。分母を使用して、ある要素を他の要素に関して表現する必要があります。

したがって、ある 3 = q 2 · ある 1

代用する場合q= 4

• 条件：ある 2 = 6, ある 3 = 12. S 6 を計算します。

解決：これを行うには、最初の要素である q を見つけて式に代入するだけです。

ある 3 = q· ある 2 したがって、q= 2

a 2 = q · a 1 、それが理由です a1 = 3

S6= 189

• · ある 1 = 10, q= -2。 進行の 4 番目の要素を見つけます。

解決策: これを行うには、最初の要素と分母を介して 4 番目の要素を表現するだけで十分です。

a 4 = q 3· a1 = -80

応用例：

• 銀行の顧客は 10,000 ルーブルの金額を預金しました。その条件では、顧客は毎年その額の 6% が元本に追加されます。 4年後に口座にあるお金はいくらになるでしょうか？

解決策: 最初の金額は 10,000 ルーブルです。 これは、投資から 1 年後にアカウントの残高が 10,000 + 10,000 になることを意味します。 · 0.06 = 10000 1.06

したがって、1年後の口座の金額は次のように表されます。

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

つまり、毎年1.06倍ずつ増えていることになります。 これは、4 年後の口座内の資金額を見つけるには、最初の要素が 10,000 に等しく、分母が 1.06 に等しい、数列の 4 番目の要素を見つけるだけで十分であることを意味します。

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

合計の計算に関する問題の例:

等比数列はさまざまな問題で使用されます。 合計を求める例は次のようになります。

ある 1 = 4, q= 2、計算しますS5.

解決策: 計算に必要なデータはすべてわかっているので、それらを式に代入するだけです。

S 5 = 124

• ある 2 = 6, ある 3 = 18. 最初の 6 つの要素の合計を計算します。

解決：

ジオムで。 つまり、合計を計算するには、要素を知る必要があります。ある 1 と分母q.

ある 2 · q = ある 3

q = 3

同様に、次のことを見つける必要があります。ある 1 、知っているある 2 そしてq.

ある 1 · q = ある 2

a1 =2

S 6 = 728.