なぜ空が夢を見るのかは、空がどのように見えたかによって説明されます。 そうでない場合は...
ほぼ 3 年間、リャザン高等空挺学校はアナトリーによって指揮されてきました...
ファッションとスタイル すべての自然数について n 実数と一致する あ、ん 、その後、彼らはそれが与えられると言います :
数列 1 , 数列 2 , 数列 3 , . . . , ある , . . . .
あ、ん
したがって、数列は自然引数の関数です。 数列 1 番号 呼ばれた シーケンスの最初のメンバー 数列 2 — 、 番号 シーケンスの第 2 項 数列 3 — 、 番号 三番目 実数と一致する 番号 等々。 番号シーケンス 、および自然数 n — 彼の番号 .
隣り合った2人のメンバーから ある そして ある +1 シーケンスメンバー ある +1 番号 その後 (相対的に 実数と一致する )、A 実数と一致する — 前の (相対的に ある +1 ).
シーケンスを定義するには、任意の番号を持つシーケンスのメンバーを検索できるメソッドを指定する必要があります。
多くの場合、シーケンスは次のように指定されます。 n項の公式 つまり、シーケンスのメンバーを番号によって決定できる式です。
例えば、
一連の正の奇数は次の式で与えられます。
ある= 2n- 1,
そして交互のシーケンス 1 そして -1 - 式
b n = (-1)n +1 . ◄
順番が決められる リカレントフォーミュラ, つまり、あるメンバーから始まり、前の (1 つ以上の) メンバーまでのシーケンスの任意のメンバーを表す式です。
例えば、
もし 数列 1 = 1 、A ある +1 = ある + 5
数列 1 = 1,
数列 2 = 数列 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
数列 3 = 数列 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
数列 4 = 数列 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
数列 5 = 数列 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
もし 1= 1, 2 = 1, ある +2 = ある + ある +1 , この場合、数列の最初の 7 項は次のように確立されます。
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
数列 6 = 数列 4 + 数列 5 = 3 + 5 = 8,
数列 7 = 数列 5 + 数列 6 = 5 + 8 = 13. ◄
シーケンスは次のとおりです。 ファイナル そして 無限の .
シーケンスは次のように呼ばれます 究極の 、メンバーの数が有限の場合。 シーケンスは次のように呼ばれます 無限の 、無限に多くのメンバーがいる場合。
例えば、
2 桁の自然数の列:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
ファイナル。
素数の列:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
無限。 ◄
シーケンスは次のように呼ばれます 増加する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより大きい場合。
シーケンスは次のように呼ばれます 減少する 、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーより小さい場合。
例えば、
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — 増加するシーケンス。
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — 減少するシーケンス。 ◄
数が増えても要素が減らない、あるいは逆に要素が増えない数列を数列といいます。 単調なシーケンス .
単調シーケンスは特に、増加シーケンスと減少シーケンスです。
等差数列
等差数列 は、2 番目から始まる各メンバーが前のメンバーと等しく、それに同じ番号が追加されるシーケンスです。
数列 1 , 数列 2 , 数列 3 , . . . , ある, . . .
任意の自然数の場合は等差数列です すべての自然数について 条件が満たされています:
ある +1 = ある + d,
どこ d - 特定の数。
したがって、特定の後の項と前の項の差は、 等差数列常に一定:
2 - 数列 1 = 3 - 数列 2 = . . . = ある +1 - ある = d.
したがって、数列は自然引数の関数です。 d 番号 等差数列の違い.
等差数列を定義するには、その最初の項と差を示すだけで十分です。
例えば、
もし 数列 1 = 3, d = 4 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
1 =3,
2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,
数列 5 = 数列 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
第 1 項の等差数列の場合 数列 1 そしてその違い d 彼女 すべての自然数について
ある = 1 + (n- 1)d.
例えば、
等差数列の 30 番目の項を見つけます
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, d = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (n- 2)d、
ある= 1 + (n- 1)d、
ある +1 = 数列 1 + nd,
それから明らかに
| ある=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
2 番目から始まる等差数列の各メンバーは、前後のメンバーの算術平均に等しくなります。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つが他の 2 つの算術平均に等しい場合に限り、算術数列の連続した項になります。
例えば、
ある = 2n- 7 、等差数列です。
上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
ある = 2n- 7,
n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
したがって、
| n+1 + n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = ある,
|
| 2
| 2
|
◄
ご了承ください すべての自然数について 等差数列の第 項は、次の方法だけで見つけることができます。 数列 1 、しかしそれ以前のものも ああ
ある = ああ + (n- k)d.
例えば、
のために 数列 5 書き留めることができます
5 = 1 + 4d,
5 = 2 + 3d,
5 = 3 + 2d,
5 = 4 + d. ◄
ある = N-K + kd,
ある = n+k - kd,
それから明らかに
| ある=
| ある n-k
+a n+k
|
| 2
|
等差数列の 2 番目から始まるすべての要素は、この等差数列の等間隔に配置された要素の合計の半分に等しくなります。
さらに、あらゆる等差数列に対して次の等式が成り立ちます。
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l。
例えば、
等差数列で
1) 数列 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (数列 9 + 数列 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, なぜなら
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= a 1 + a 2 + a 3 + 。 。 。+ ある,
初め すべての自然数について 等差数列の項は、極値項の合計の半分と項の数の積に等しくなります。
ここから特に、条件を合計する必要がある場合は、次のようになります。
ああ, ああ +1 , . . . , ある,
その場合、前の式はその構造を保持します。
例えば、
等差数列で 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
等差数列が与えられると、量は 数列 1 , ある, d, nそしてS すべての自然数について 2 つの式で結び付けられます。
したがって、これらの量のうち 3 つの値が指定されている場合、他の 2 つの量の対応する値はこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
等差数列は単調数列です。 この場合：
- もし d > 0 、その後は増加しています。
- もし d < 0 、その後は減少しています。
- もし d = 0 、その後、シーケンスは静止します。
幾何級数
幾何級数 は、2 番目から始まる各メンバーが、前のメンバーに同じ数値を乗算したものと等しいシーケンスです。
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .
任意の自然数の場合は等比数列です すべての自然数について 条件が満たされています:
bn +1 = bn · q,
どこ q ≠ 0 - 特定の数。
したがって、与えられた等比数列の後続の項の前の項に対する比率は定数になります。
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.
したがって、数列は自然引数の関数です。 q 番号 等比数列の分母.
等比数列を定義するには、その最初の項と分母を指定するだけで十分です。
例えば、
もし b 1 = 1, q = -3 、次に、次のようにシーケンスの最初の 5 つの項を見つけます。
b1 = 1,
b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 と分母 q 彼女 すべての自然数について 番目の項は次の式を使用して求めることができます。
bn = b 1 · キューン -1 .
例えば、
等比数列の第 7 項を見つける 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b1 · キューン -2 ,
bn = b1 · キューン -1 ,
bn +1 = b 1 · キューン,
それから明らかに
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
等比数列の各要素は、2 番目から始まり、前後の要素の幾何平均 (比例) に等しくなります。
逆もまた真であるため、次のステートメントが成り立ちます。
数値 a、b、c は、そのうちの 1 つの二乗が他の 2 つの積と等しい場合、つまり、数値の 1 つが他の 2 つの幾何平均である場合に限り、ある等比数列の連続した項になります。
例えば、
数式で与えられる順序が次のとおりであることを証明しましょう。 bn= -3 2 n 、等比数列です。 上記の文を使ってみましょう。 我々は持っています：
bn= -3 2 n,
bn -1 = -3 2 n -1 ,
bn +1 = -3 2 n +1 .
したがって、
bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 )・(-3・2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
これは望ましいステートメントを証明します。 ◄
ご了承ください すべての自然数について 等比数列の第 3 項は、 b 1 、ただし以前のメンバーも同様 bk 、これには次の式を使用するだけで十分です。
bn = bk · キューン - k.
例えば、
のために b 5 書き留めることができます
b5 = b1 · q 4 ,
b5 = b2 · 第3問,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · q. ◄
bn = bk · キューン - k,
bn = bn - k · qk,
それから明らかに
bn 2 = bn - k· bn + k
等比数列の 2 番目から始まる項の 2 乗は、この数列の等間隔の項の積に等しくなります。
さらに、どの等比数列でも等式が成り立ちます。
bm· bn= bk· ｂｌ,
メートル+ n= k+ 私.
例えば、
等比数列で
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , なぜなら
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn
初め すべての自然数について 分母を持つ等比数列のメンバー q ≠ 0 次の式で計算されます。
そしていつ q = 1 - 式によると
Sn= 注意 1
項を合計する必要がある場合は、
bk, bk +1 , . . . , bn,
次に、次の式が使用されます。
| Sn- Sk -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk · | 1 - キューン -
k +1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
等比数列で 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
等比数列が与えられると、量は b 1 , bn, q, nそして Sn 2 つの式で結び付けられます。
したがって、これらの量のいずれか 3 つの値が与えられると、他の 2 つの量の対応する値がこれらの式から決定され、2 つの未知数を含む 2 つの方程式系に結合されます。
第一項との等比数列の場合 b 1 と分母 q 次のことが起こります 単調性の性質 :
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度が増加します。
b 1 > 0 そして q> 1;
b 1 < 0 そして 0 < q< 1;
- 次の条件のいずれかが満たされると、進行度は減少します。
b 1 > 0 そして 0 < q< 1;
b 1 < 0 そして q> 1.
もし q< 0 の場合、等比数列は交互になります。奇数の項は最初の項と同じ符号を持ち、偶数の項は反対の符号を持ちます。 交互等比数列が単調ではないことは明らかです。
最初の製品 すべての自然数について 等比数列のメンバーは、次の式を使用して計算できます。
Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .
例えば、
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
無限減少等比数列
無限減少等比数列 分母の係数が小さい無限等比数列と呼ばれます 1 、つまり
|q| < 1 .
無限に減少する等比数列は減少数列ではない可能性があることに注意してください。 シーンにぴったりです
1 < q< 0 .
このような分母を使用すると、シーケンスは交互になります。 例えば、
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
無限に減少する等比数列の合計 最初の値の合計が無制限に近づく数に名前を付けます すべての自然数について 無制限に数が増加する進行のメンバー すべての自然数について 。 この数は常に有限であり、次の式で表されます。
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
例えば、
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
等差数列と等比数列の関係
算数と 等比数列は互いに密接に関係しています。 2 つだけ例を見てみましょう。
数列 1 , 数列 2 , 数列 3 , . . . d 、 それ
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . bd .
例えば、
1, 3, 5, . . . - 差のある等差数列 2 そして
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 分母付き等比数列 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - 分母付き等比数列 q 、 それ
ログ a b 1, ログ a b 2, ログ a b 3, . . . - 差のある等差数列 ログを記録するq .
例えば、
2, 12, 72, . . . - 分母付き等比数列 6 そして
LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 差のある等差数列 LG 6 . ◄
決断を始める前に 等差数列の問題, 等差数列は数列の特殊なケースであるため、数列とは何かを考えてみましょう。
数値シーケンスは数値セットであり、その各要素には独自のシリアル番号があります。。 このセットの要素はシーケンスのメンバーと呼ばれます。 シーケンス要素のシリアル番号はインデックスによって示されます。
シーケンスの最初の要素。
シーケンスの 5 番目の要素。
- シーケンスの「n 番目」の要素、つまり 番号 n の要素「キューに待機中」。
シーケンス要素の値とそのシーケンス番号の間には関係があります。 したがって、シーケンスは、引数がシーケンスの要素の序数である関数と考えることができます。 言い換えれば、次のように言えます。 シーケンスは自然引数の関数です。
シーケンスは 3 つの方法で設定できます。
1 . 順序はテーブルを使用して指定できます。この場合、シーケンスの各メンバーの値を設定するだけです。
たとえば、ある人が個人的な時間管理を始めることにし、まず、1 週間に VKontakte に費やす時間を数えてみることにしました。 時間をテーブルに記録すると、次の 7 つの要素で構成されるシーケンスが得られます。
表の最初の行は曜日を示し、2 行目は時間を分単位で示します。 つまり、月曜日には誰かがVKontakteに125分を費やし、木曜日には248分、金曜日にはわずか15分を費やしたことがわかります。
2 . 数列は、n 項の式を使用して指定できます。
この場合、シーケンス要素の値のその番号への依存性は、式の形式で直接表現されます。
たとえば、 の場合、
与えられた番号を持つシーケンス要素の値を求めるには、要素番号を n 番目の項の式に代入します。
引数の値がわかっている場合に関数の値を見つける必要がある場合にも、同じことを行います。 引数の値を関数方程式に代入します。
たとえば、 
、 それ
任意の数値関数とは異なり、シーケンスでは引数は自然数のみであることにもう一度注意してください。
3 。 シーケンスは、シーケンスのメンバー番号 n の値の、前のメンバーの値への依存性を表す式を使用して指定できます。
この場合、シーケンス メンバーの値を見つけるには、その番号だけを知っているだけでは十分ではありません。 シーケンスの最初のメンバーまたは最初のいくつかのメンバーを指定する必要があります。 
, 
たとえば、次のシーケンスを考えてみましょう シーケンスメンバーの値を見つけることができます一つ一つ
、3番目から: つまり、シーケンスの n 番目の項の値を見つけるたびに、前の 2 つの項に戻ります。 シーケンスを指定するこのメソッドは次のように呼ばれます。再発する 、ラテン語から繰り返し
- 戻ってくる。
等差数列 これで等差数列を定義できるようになりました。 等差数列は、数列の単純な特殊なケースです。
は数値シーケンスであり、2 番目から始まる各メンバーは、同じ番号に前のメンバーを加算したものと等しくなります。 等差数列の違い番号が呼ばれます
。 等差数列の差は、正、負、またはゼロに等しくなります。">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} if title="d>0.
増加する
たとえば、2; 5; 8; 11;... の場合、等差数列の各項は前の項より小さく、数列は次のようになります。.
減少する
たとえば、2; -1; -4; -7;... の場合、数列のすべての項は同じ数値に等しく、数列は次のようになります。.
静止した
たとえば、2;2;2;2;...
等差数列の主なプロパティ:
写真を見てみましょう。
それがわかります
、そして同時に
.
これら 2 つの等式を追加すると、次のようになります。
等式の両辺を 2 で割ってみましょう。
したがって、2 番目から始まる等差数列の各要素は、隣接する 2 つの要素の算術平均に等しくなります。
それがわかります
、 それ
さらに、以来、
、したがって">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
title="k>l で始まる等差数列の各項
第 3 項の式。
等差数列の項が次の関係を満たすことがわかります。
そして最後に 得た
n項の公式。重要！
等差数列の任意の要素は、and を使用して表現できます。 最初の項と等差数列の違いがわかれば、どの項も見つけることができます。
等差数列の n 項の合計。
任意の等差数列では、極値の項から等距離にある項の合計は互いに等しくなります。
最初に数列の項を数値の昇順に並べ、次に降順に並べてみましょう。
ペアで追加しましょう:
各括弧内の合計は 、ペアの数は n です。
得られるものは次のとおりです。
それで、 等差数列の n 項の合計は、次の式を使用して求めることができます。
考えてみましょう 等差数列の問題を解く.
1 . 数列は、n 番目の項の式で与えられます。 . この数列が等差数列であることを証明してください。
数列の 2 つの隣接する項間の差が同じ数に等しいことを証明しましょう。
シーケンスの 2 つの隣接するメンバー間の差は、その数に依存せず、定数であることがわかりました。 したがって、定義上、このシーケンスは等差数列です。
2 . 等差数列 -31 を指定すると、 -27;...
a) 進行の 31 項を見つけます。
b) この数列に数字 41 が含まれているかどうかを判断します。
A)それがわかります。
進行のための n 項の公式を書き留めてみましょう。
一般的に 
私たちの場合 
、 それが理由です 
数列の概念は、それぞれの自然数が何らかの実数値に対応することを意味します。 このような一連の数値は、任意の場合もあれば、特定の特性 (数列) を持つ場合もあります。 で 後者の場合シーケンスの後続の各要素 (メンバー) は、前の要素を使用して計算できます。
等差数列とは、隣接する項が互いに異なる数値のシーケンスです。 同じ番号(2 番目から始まるシリーズのすべての要素は同様の特性を持っています)。 この数値 (前の項と後の項の差) は一定であり、進行差と呼ばれます。
進行の違い: 定義
j 個の値からなるシーケンス A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j) を考えます。j は自然数 N の集合に属します。その定義によれば、数列は a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – というシーケンスです。 a(j-1) = d。 値 d は、この数列の望ましい差です。
d = a(j) – a(j-1)。
ハイライト:
- 増加する進行。この場合、d > 0。例: 4、8、12、16、20、...
- 進行を減少させ、その後 d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
差分進行とその任意要素
数列の任意の 2 つの項 (i 番目、k 番目) がわかっている場合、特定のシーケンスの差は次の関係に基づいて決定できます。
a(i) = a(k) + (i – k)*d、つまり d = (a(i) – a(k))/(i-k) を意味します。
進行の違いとその前期
この式は、シーケンス要素の数がわかっている場合にのみ、未知の値を決定するのに役立ちます。
進行の差とその合計
数列の合計は、その項の合計です。 最初の j 要素の合計値を計算するには、適切な式を使用します。
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j ただし、 a(j) = a(1) + d(j – 1) の場合、S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j。
重要な注意事項！
1. 数式の代わりに gobbledygook が表示される場合は、キャッシュをクリアします。 ブラウザでこれを行う方法はここに書かれています:
2. 記事を読み始める前に、ナビゲーターに最大限の注意を払ってください。 有用なリソースのために
数列
それでは、座って数字を書き始めましょう。 例えば：
任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます (この場合は数字があります)。 どれだけ数字を書いても、どれが 1 番目でどれが 2 番目というように最後まで言うことができ、つまり番号を付けることができます。 これは数値シーケンスの例です。
数列
たとえば、私たちのシーケンスの場合:
割り当てられた番号は、シーケンス内の 1 つの番号にのみ固有です。 言い換えれば、シーケンス内に 3 番目の数字は存在しません。 2 番目の数字 (th 番目の数字など) は常に同じです。
数字の付いた数を数列の第 項と呼びます。
通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。
私たちの場合: 
隣接する数字の差が同じで等しい数列があるとします。
例えば： 
等
この数列を等差数列といいます。
「進歩」という用語は、6 世紀にローマの作家ボエティウスによって導入され、無限の数列として広い意味で理解されました。 「算術」という名前は、古代ギリシャ人によって研究された連続比例の理論から移されました。
これは数値シーケンスであり、その各メンバーは、同じ数値に追加された前のメンバーと等しくなります。 この数を等差数列の差といい、指定します。
どの数列が等差数列であり、どの数列が等差数列ではないのかを判断してください。
a)
b)
c)
d)
わかった？ 答えを比較してみましょう。
は等差数列 - b、c。
そうではありません等差数列 - a、d。
与えられた数列 () に戻り、その第 3 項の値を見つけてみましょう。 存在する 二それを見つける方法。
1.方法
数列の第 項に到達するまで、前の値に数列番号を加算できます。 要約する必要があまりなく、3 つの値のみであるのは良いことです。
したがって、記述された等差数列の第 3 項は と等しくなります。
2.方法
数列の第 3 項の値を求める必要がある場合はどうすればよいでしょうか? 合計には1時間以上かかりますし、数字の足し算を間違えないわけではありません。
もちろん、数学者は等差数列の差を前の値に加算する必要がない方法を考え出しました。 描かれた絵をよく見てください...あなたはすでに特定のパターンに気づいているはずです。
たとえば、この等差数列の第 3 項の値が何で構成されているかを見てみましょう。 
言い換えると：
この方法で、指定された等差数列のメンバーの値を自分で見つけてみてください。
計算しましたか？ メモと答えを比較してください。
等差数列の項を前の値に順次追加したとき、前の方法とまったく同じ数値が得られたことに注意してください。
この公式を「非個人化」してみましょう。 全体像そして次のようになります:
|
等差数列方程式。 |
等差数列は増加または減少する可能性があります。
増加中- 項の後続の各値が前の値よりも大きくなる進行。
例えば：
降順- 後続の各項の値が前の値よりも小さくなる進行。
例えば：
導出された式は、等差数列の増加項と減少項の両方の項の計算に使用されます。
実際にこれを確認してみましょう。
次の数値で構成される等差数列が与えられています。この等差数列を計算するために数式を使用した場合、その数列の 番目の数が何になるかを確認してみましょう。
それ以来：
したがって、この式は減少および増加の両方の等差数列で機能すると確信しています。
この等差数列の第 3 項と第 3 項を自分で見つけてみてください。
結果を比較してみましょう。
等差数列プロパティ
問題を複雑にしてみましょう。等差数列の性質を導き出します。
次の条件が与えられたとします。
- 等差数列、値を見つけます。
「簡単だよ」と言って、すでに知っている公式に従って数え始めます。
ああ、それでは次のようにしましょう。
全くその通りです。 最初に検索し、それを最初の数値に加算して、探しているものを取得することがわかります。 進行状況が小さな値で表される場合は、何も複雑なことはありませんが、条件に数値が指定されている場合はどうなるでしょうか。 同意します、計算に間違いがある可能性があります。
ここで、何らかの公式を使用してこの問題を 1 ステップで解決できるかどうか考えてみましょう。 もちろん、それは私たちがこれから明らかにしようとしているものです。
等差数列の必要な項を次のように表します。それを求める公式は既知です。これは、最初に導いた公式と同じです。
、 それから：
- 進行の前の項は次のとおりです。
- 進行の次の項は次のとおりです。
進行の前後の項を要約してみましょう。
数列の前後の項の合計は、それらの間にある数列項の 2 倍の値であることがわかります。 つまり、既知の前後の値を使用して累進項の値を見つけるには、それらを加算して除算する必要があります。
そうです、同じ番号でした。 材料を確保しましょう。 進行度の値を自分で計算することは、まったく難しいことではありません。
よくやった！ あなたは進歩についてほぼすべてを知っています! 伝説によれば、史上最も偉大な数学者の一人である「数学者の王」カール・ガウスが、簡単に自分自身で導き出した公式をただ 1 つだけ見つけ出す必要があります...
カール ガウスが 9 歳のとき、ある教師は他のクラスの生徒の作業をチェックするのに忙しく、授業中に次の課題を出しました。「（他の情報源によると） to を含むすべての自然数の合計を計算してください。」 1分後、生徒の一人（これはカール・ガウスでした）がその課題に正しい答えを出したときの教師の驚きを想像してみてください。一方、命知らずのクラスメートのほとんどは、長い計算の末、間違った結果を受け取りました...
若きカール ガウスは、あなたも簡単に気づくことができる特定のパターンに気づきました。
- 番目の項で構成される等差数列があるとします。等差数列のこれらの項の合計を見つける必要があります。 もちろん、すべての値を手動で合計することはできますが、ガウスが探していたように、タスクで項の合計を求める必要がある場合はどうなるでしょうか?
私たちに与えられた進歩を描きましょう。 ハイライト表示された数値をよく見て、それらを使ってさまざまな数学的演算を実行してみてください。 
試してみましたか？ 何に気づきましたか? 右！ それらの合計は等しい
さて、教えてください、私たちに与えられた進行の中で、そのようなペアは合計で何組ありますか？ もちろん、それはすべての数字のちょうど半分です。
等差数列の 2 つの項の合計が等しく、類似したペアが等しいという事実に基づいて、合計は次と等しいことがわかります。
.
したがって、等差数列の最初の項の和の式は次のようになります。
問題によっては第 3 項が分からない場合もありますが、進行の違いは分かります。 第 3 項の式を和の式に代入してみます。
何を手に入れましたか？
よくやった！ さて、カール ガウスに出題された問題に戻りましょう。「th 番目から始まる数値の合計と th 番目から始まる数値の合計は何に等しいか」を自分で計算してください。
いくらもらいましたか？
ガウスは、項の合計が等しいこと、および項の合計が等しいことを発見しました。 それはあなたが決めたことですか？
実際、等差数列の項の和の公式は、3 世紀に古代ギリシャの科学者ディオファントスによって証明され、この時代を通じて、機知に富んだ人々が等差数列の特性を最大限に活用していました。
たとえば、想像してみてください 古代エジプトそして当時最大の建設プロジェクトであるピラミッドの建設...写真はその一面を示しています。 
ここでの進歩はどこにあると思いますか？ 注意深く見て、ピラミッドの壁の各列にある砂ブロックの数のパターンを見つけてください。 
なぜ等差数列ではないのでしょうか? 基礎にブロックレンガを配置した場合、1つの壁を構築するのに必要なブロックの数を計算します。 モニター上で指を動かしながら数を数えないことを祈りますが、最後の公式と等差数列について話したすべてを覚えていますか?
で この場合進行は次のようになります。
等差数列の違い。
等差数列の項の数。
データを最後の式に代入してみましょう (ブロック数を 2 つの方法で計算します)。
方法1.
方法2。
そして今、あなたはモニター上で計算することができます：得られた値をピラミッド内のブロックの数と比較します。 わかった？ うまくいきました。等差数列の n 番目の項の和をマスターしました。
もちろん、基礎部分のブロックからピラミッドを構築することはできません。 この条件で壁を建てるのに必要な砂レンガの数を計算してみてください。
なんとかなりましたか？
正解はブロックです。
トレーニング
タスク:
- マーシャは夏に向けて体調を整えています。 彼女は毎日スクワットの回数を増やしています。 マーシャが最初のトレーニングセッションでスクワットを行った場合、1週間に何回スクワットを行うことになりますか?
- に含まれるすべての奇数の合計は何ですか。
- ログを保存するとき、ロガーは各最上位層に含まれるログが前の層より 1 つ少なくなるようにログをスタックします。 石積みの基礎が丸太である場合、1 つの石積みには何本の丸太が入っていますか?
答え:
- 等差数列のパラメータを定義しましょう。 この場合
(週 = 日)。答え： 2週間以内に、マーシャは1日1回スクワットをする必要があります。
- 最初の奇数、最後の数字。
等差数列の違い。
ただし、 の奇数の数は半分ですが、等差数列の第 項を求める公式を使用してこの事実を確認してみましょう。数字には奇数が含まれます。
利用可能なデータを式に代入してみましょう。答え：に含まれるすべての奇数の合計は等しい。
- ピラミッドに関する問題を思い出してみましょう。 私たちのケースでは、各最上位層が 1 つのログだけ削減されるため、合計で多数の層が存在します。
データを式に代入してみましょう。答え：石積みの中に丸太があります。
要約しましょう
- - 隣接する数字間の差が同じで等しい数字列。 増加することも減少することもあります。
- 計算式を求める等差数列の第 3 項は、式 - で記述されます。ここで、 は数列内の数値の数です。
- 等差数列のメンバーのプロパティ- - ここで、 は進行中の数字の数です。
- 等差数列の項の合計次の 2 つの方法で見つけることができます。
, ここで、 は値の数です。
算術累進。 中級レベル
数列
座って数字を書き始めましょう。 例えば：
任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます。 しかし、どれが 1 番目でどれが 2 番目であるかなどをいつでも言うことができ、それらに番号を付けることができます。 これは数列の例です。
数列は一連の番号であり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。
言い換えれば、各数値は特定の自然数、および一意の自然数に関連付けることができます。 そして、この番号をこのセットの他の番号に割り当てることはありません。
番号が付いた番号は、シーケンスの 番目のメンバーと呼ばれます。
通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。
数列の第 3 項を何らかの式で指定できると非常に便利です。 たとえば、次の式は
シーケンスを設定します。
そして、式は次の順序になります。
たとえば、等差数列は数列です (ここでは最初の項が等しく、差が です)。 または（、違い）。
n項式
この式をリカレントと呼びます。この式では、 番目の項を見つけるために、前またはいくつか前の項を知る必要があります。
たとえば、この式を使用して数列の第 3 項を見つけるには、前の 9 項を計算する必要があります。 たとえば、そうしましょう。 それから：
さて、その公式が何であるかは明らかですか?
各行で、何らかの数値を加算したり、乗算したりします。 どれ？ 非常に単純です。これは現在のメンバーの数から次の値を引いたものです。
ますます便利になりましたね。 私たちは以下をチェックします:
自分で決めてください:
等差数列で、n 番目の項の式を求め、100 番目の項を求めます。
解決：
最初の項は等しいです。 違いは何ですか? 内容は次のとおりです。
(数列の連続する項の差に等しいため、差と呼ばれます)。
したがって、式は次のようになります。
この場合、100 番目の項は次と等しくなります。
から までのすべての自然数の合計は何ですか?
伝説によると、偉大な数学者カール ガウスは、9 歳の少年のときにこの金額を数分で計算しました。 彼は、最初と最後の数字の合計が等しい、2 番目と最後から 2 番目の数字の合計が同じ、最後から 3 番目と 3 番目の数字の合計が同じであることに気づきました。 このようなペアは合計で何組ありますか? そう、ちょうど全数字の半分です。 それで、
等差数列の最初の項の和の一般式は次のようになります。
例：
すべての 2 桁の倍数の合計を求めます。
解決：
その最初の数字はこれです。 後続の各数値は、前の数値に加算することによって取得されます。 したがって、関心のある数値は、最初の項とその差で等差数列を形成します。
この数列の第 3 項の式:
すべて 2 桁でなければならない場合、数列にはいくつの項がありますか?
とても簡単です: 。
進行の最後の項は等しくなります。 次に合計:
答え： 。
さあ、自分で決めてください:
- 毎日、アスリートは前日よりも多くのメートルを走ります。 初日にkm m走った場合、1週間で合計何km走ることになりますか?
- 自転車に乗る人は毎日、前日よりも多くのキロメートルを移動します。 初日、彼は数キロ移動しました。 1キロメートルを移動するには何日かかるでしょうか? 彼は旅の最終日で何キロ進むでしょうか?
- 店頭の冷蔵庫の価格は毎年同じ金額ずつ下がります。 ルーブルで売りに出された冷蔵庫が 6 年後にルーブルで売られた場合、その冷蔵庫の価格が毎年いくら下がったかを調べてください。
答え:
- ここで最も重要なことは、等差数列を認識し、そのパラメータを決定することです。 この場合、(週 = 日) となります。 この数列の最初の項の合計を決定する必要があります。
.
答え： - ここでは次のようになります: が見つかる必要があります。
明らかに、前の問題と同じ合計の公式を使用する必要があります。
.
値を代入します。ルートが明らかに合わないので、答えは次のとおりです。
第 3 項の式を使用して、最後の 1 日に移動した経路を計算してみましょう。
(km)。
答え： - 与えられた: 。 探す： 。
これ以上に簡単なことはありません。
（こする）。
答え：
算術累進。 主なものについて簡単に説明
これは、隣接する数字の差が同じで等しい数列です。
等差数列は増加 () または減少 () することができます。
例えば：
等差数列の n 項を求める公式
は次の式で記述されます。ここで、 は進行中の数字の数です。
等差数列のメンバーのプロパティ
これにより、隣接する用語がわかっている場合、数列の用語を簡単に見つけることができます (数列内の数値の数はどこにあるのか)。
等差数列の項の和
金額を確認するには次の 2 つの方法があります。
ここで、 は値の数です。
ここで、 は値の数です。
さて、この話題は終わりました。 これらの行を読んでいる場合、それはあなたがとてもクールであることを意味します。
なぜなら、独力で何かを習得できる人はわずか5％だからです。 最後まで読んでいただければ、あなたもこの 5% に入っています！
さて、最も重要なことです。
あなたはこのトピックに関する理論を理解しました。 そして、繰り返しますが、これは…これはまさにスーパーです！ あなたはすでに大多数の同僚よりも優れています。
問題は、これでは十分ではないかもしれないということです...
何のために？
成功するために 統一国家試験に合格する、予算内で大学に入学するため、そして最も重要なことに、生涯にわたって。
何も説得できないけど、一つだけ言っておきます…
受け取った人たち 良い教育、受け取らなかった人よりもはるかに多くの収入を得ています。 これは統計です。
しかし、これが主要なことではありません。
重要なことは、彼らがより幸せになるということです（そのような研究があります）。 おそらく、より多くのチャンスが彼らの前に開かれ、人生が明るくなったからでしょうか？ わかりません...
でも自分で考えてみてください...
統一国家試験で他の人より確実に優れ、最終的には幸せになるためには何が必要ですか?
このトピックに関する問題を解決して、手を獲得してください。
試験中に理論は問われません。
必要になります 時間をかけて問題を解決する.
そして、それらを（たくさん！）解決していない場合は、間違いなくどこかで愚かな間違いを犯すか、単に時間がないでしょう。
それはスポーツと同じで、確実に勝つためには何度も繰り返す必要があります。
どこにいてもコレクションを見つけられ、 必ず解決策が必要です 詳細な分析 そして決めて決めて決めて！
私たちのタスク (オプション) を使用することもできます。もちろん、それをお勧めします。
私たちのタスクをより上手に使用できるようにするには、現在読んでいる YouClever 教科書の寿命を延ばすことに協力する必要があります。
どうやって？ 次の 2 つのオプションがあります。
- この記事のすべての隠されたタスクのロックを解除します -
- 教科書の 99 記事すべてにあるすべての隠されたタスクへのアクセスのロックを解除します - 教科書を購入 - 499 RUR
はい、教科書にはそのような記事が 99 個あり、すべてのタスクにアクセスし、その中のすべての隠しテキストをすぐに開くことができます。
すべての非表示タスクへのアクセスは、サイトの存続期間中提供されます。
そして結論としては…
私たちの仕事が気に入らない場合は、他の仕事を見つけてください。 理論だけにとどまらないでください。
「わかる」と「解ける」は全く別のスキルです。 両方必要です。
問題を見つけて解決しましょう！
あるいは、算術は順序付けられた数値列の一種であり、その性質は学校の代数コースで学習されます。 この記事では、等差数列の和を求める方法について詳しく説明します。
これはどのような進行ですか?
質問 (等差数列の和を求める方法) に進む前に、私たちが何について話しているのかを理解する価値があります。
前の各数値から何らかの値を加算 (減算) することによって得られる実数のシーケンスは、代数 (算術) 数列と呼ばれます。 この定義を数学的な言語に翻訳すると、次のような形式になります。
ここで、i は行 a i の要素のシリアル番号です。 したがって、開始番号を 1 つだけ知っていれば、シリーズ全体を簡単に復元できます。 式中のパラメータ d は累進差と呼ばれます。
考慮している一連の数値については、次の等式が成り立つことが簡単にわかります。
a n = a 1 + d * (n - 1)。
つまり、n 番目の要素の値を順番に求めるには、差分 d を最初の要素 a 1 n-1 回加算する必要があります。
等差数列の和は何ですか: 公式
示された量の式を与える前に、簡単な特殊なケースを検討する価値があります。 1 から 10 までの自然数の数列が与えられた場合、その合計を求める必要があります。 数列 (10) には項がほとんどないため、問題を正面から解く、つまりすべての要素を順番に合計することが可能です。
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55。
興味深い点が 1 つ考慮される価値があります。各項は次の項と同じ値 d = 1 だけ異なるため、最初の項と 10 番目の項、2 番目の項と 9 番目の項などをペアごとに合計すると、同じ結果が得られます。 本当に：
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
ご覧のとおり、これらの合計は 5 つだけです。つまり、系列の要素数のちょうど 2 倍少ないことになります。 次に、合計の数 (5) と各合計の結果 (11) を乗算すると、最初の例で得られた結果が得られます。
これらの引数を一般化すると、次の式を書くことができます。
S n = n * (a 1 + a n) / 2。
この式は、行内のすべての要素を合計する必要はまったくなく、最初の a 1 と最後の a n の値、および項の合計数 n がわかれば十分であることを示しています。
ガウスが最初にこの等式を思いついたのは、学校の先生から与えられた最初の 100 個の整数の合計という問題の解決策を探していたときと考えられています。
m から n までの要素の合計: 式
前の段落で示した公式は、等差数列 (最初の要素) の合計を求める方法という質問に答えますが、多くの場合、問題では数列の途中で一連の数値を合計する必要があります。 これを行うにはどうすればよいでしょうか?
この質問に答える最も簡単な方法は、次の例を考慮することです。m 番目から n 番目までの項の合計を見つける必要があるとします。 この問題を解決するには、数列の m から n までの指定されたセグメントを新しい数列の形式で提示する必要があります。 この中で m番目の表現項 a m が最初になり、n には n-(m-1) の番号が付けられます。 この場合、合計の標準公式を適用すると、次の式が得られます。
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2。
数式の使用例
等差数列の和を求める方法を理解したら、上記の式を使用する簡単な例を検討する価値があります。
以下は数値シーケンスです。5 番目から始まり 12 番目で終わる項の合計を見つける必要があります。
指定された数値は、差 d が 3 に等しいことを示します。n 番目の要素の式を使用すると、数列の 5 番目と 12 番目の項の値を見つけることができます。 結果は次のとおりです。
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29。
考慮中の代数列の終端の数値の値がわかれば、またそれらが級数内でどの数値を占めるかもわかれば、前の段落で得た合計の公式を使用できます。 次のことがわかります。
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148。
この値は別の方法で取得できることに注意してください。最初に標準の式を使用して最初の 12 要素の合計を求め、次に同じ式を使用して最初の 4 要素の合計を計算し、次に最初の合計から 2 番目の要素を減算します。
